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Lei de Little Lei de Little

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Page 1: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Lei de LittleLei de Little

Page 2: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Recursos limitadosRecursos limitados

Geração de filasGeração de filas

Tomada de decisõesTomada de decisões

Ferramentas simplesFerramentas simples

Lei de LittleLei de Little

Otimização de recursosOtimização de recursos

Lei de LittleLei de Little

Page 3: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Lei de Little Parâmetros de uma Fila

L: número médio de usuários no sistema LQ: número médio de usuários na fila

W: tempo médio que um usuário permanece no sistema

WQ: tempo médio que um usuário permanece na fila

LQ

L LS

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Lei de Little

Idéia de custo:

Cada usuário que entra ao sistema paga uma

quantia de dinheiro, de acordo a certa regra. Identidade de custo: Velocidade média com que o sistema ganha dinheiro = taxa média

de chegada ao sistema multiplicada pela quantia paga por cada usuário.

S

S S

Page 5: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Lei de Little

Definições:Vs: velocidade média com que o sistema ganha

dinheiro

a: taxa média de chegada de usuários ao sistema

: quantia paga por cada usuário

Identidade de custo em termos matemáticos:S aV

Page 6: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Lei de Little Demonstração intuitiva da identidade de custo:

T: período de observação

$(T): quantia média ganha pelo sistema em [0,T]

N(T): número de usuários que entra no sistema em [0,T]

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Lei de Little

Tem-se que:

$(T) = Vs T (1)

$(T) = N(T). (2)

N(T) a.T (3)

De (1), (2) e (3), tem-se que:

Portanto: asV

TTV as

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Lei de Little

Aplicações de identidade de custo: regra 1

Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no sistema.

[$/ut]

W[$/pessoa] Sistema

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Lei de Little

Definição:

D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro

W: quantia paga por um usuário (já que ele está há W unidades de tempo no sistema)

Então, da igualdade de custo :

]/[$ utWD a

Page 10: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Lei de Little

Aplicações da identidade de custo:

outro enfoque

Ponto de vista do “caixa” à entrada do sistema, que observa que há L usuários no sistema.

L usuários

Sistema

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Lei de LittleLei de Little

Definição:

D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro [$/ut]

L: número médio de usuários no sistema

Cada usuário paga 1$ por unidade de tempo. Então:

Juntando ambos pontos de vista:

L Wa

]/[$1. utLD

Page 12: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Aplicações da identidade de custo: regra 2

Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está na fila.

Definição:

Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro.

Wq: quantia paga por um usuário (já que está há W unidades de tempo na fila)

Então, valor que corresponde aos pagamentos feitos pelos usuários: ]/[$ utWD qaq

Lei de LittleLei de Little

Page 13: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Lei de LittleLei de Little Aplicações da identidade de custo: outro

enfoque

Ponto de vista do “caixa” à entrada da fila, que observa que há N usuários na fila.

Definição:

Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro

Lq: número médio de usuários na fila

Resumo da regra:

Juntando ambos pontos de vista:

]/[$1. utD Lqq

qaq WL

Page 14: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Aplicações da identidade de custo: regra 3

Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no servidor.

Definição:

E[s]: tempo médio em que cada usuário está no servidor

Ls: número médio de usuários em serviço

Então, da igualdade de custo:

Lei de Little

S

][sEL aS

Lei de LittleLei de Little

Page 15: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Aplicações da identidade de custo: outro enfoque

Ponto de vista do “caixa” à entrada da zona de serviço, que observa que há N usuários em serviço.

Definição:

Ds: velocidade com que o serviço ganha dinheiro

Ls: número médio de usuários em serviço

Então, da igualdade de custo :

Juntando ambos pontos de vista:

]/[$1. utLD ss

][sEL as

Lei de LittleLei de Little

Page 16: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Aplicações da Lei de LittleAplicações da Lei de Little

Page 17: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Transmissão de pacotesTransmissão de pacotes

: taxa média de chegada de pacotes a uma rede de computadores

Nq: número médio de pacotes esperando na fila

: tempo médio de transmissãoX

Pacotes em espera

Pacotes emtransmissão

destinofonteLinha de transmissão

Pode ser modelado por:

X

N q

Page 18: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Pergunta 1: qual é o tempo médio de

permanência de um pacote na fila?

Aplicando a Lei de Little:

Pergunta 2: qual é o número médio de pacotes na linha de transmissão?

Seja o número de pacotes na linha de transmissão. Pela Lei de Little:

N qW

Transmissão de pacotesTransmissão de pacotes

X

Page 19: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Rede de computadoresRede de computadores

1,2,…,n: taxa de chegada de pacotes aos n nós

N: número médio de pacotes dentro da rede

1

2

Linha de transmissão

1

i

n

Rede de computadores

2

i

n

Page 20: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Pergunta: qual é o atraso médio de um pacote?

Ao sistema chegam

pacotes por unidade de tempo. Aplicando a Lei de Little:

Além disso,

onde

Ni: número médio de pacotes no nó i

Ti: atraso médio de pacotes no nó i

ni ......21

n

iiNT

1

/

Rede de computadoresRede de computadores

i i iN T

Page 21: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Um concentrador de dados possui 40 terminais a ele conectados. Cada terminal gera pacotes com comprimento médio de 680 bits. 40 bits de informação de controle são agregados a cada pacote antes deste ser transmitido ao enlace de saída, que tem capacidade de 7200 b/s.20 dos terminais geram um pacote cada 10 seg. em média.

10 dos terminais geram um pacote cada 5 seg. em média.

10 dos terminais geram um pacote cada 2.5 s em média.

CONCENTRADOR

TERMINAL

TERMINAL

TERMINAL

TERMINAL

Análise de outro concentradorAnálise de outro concentrador

Page 22: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

20 terminais: um pacote a cada 10 s em média

10 terminais: um pacote a cada 5 s em média

10 terminais: um pacote a cada 2.5 s em média

Modelo: as estatísticas de entrada tem distribuição de Poisson.

seg/pacotes8251

1051

10101

20

seg1.07200

406801

0 8.

Análise de outro concentradorAnálise de outro concentrador

Page 23: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

22

22

1

2)(

TE

4.2)1(2

11

)(

seg4.0)1(2)(

)(

22

2

nE

TEWE

0

1)(

2

22

TE seg2.0)( WE

Análise de outro concentradorAnálise de outro concentrador

4.2)( nE

Page 24: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Linha de transmissãoLinha de transmissão

K: período de chegada de um pacote à linha

K: tempo de transmissão do pacote ( < 1)

P: atraso de processamento e propagação do pacote

Partida dosegundopacote

1

2

3

K 2K 3K

K+P

Chegadado primeiro

pacote

Chegada dosegundopacote

Partida doprimeiropacote

t

N(t)

K K+P 2K

Page 25: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Pergunta 1: qual é a taxa de chegada de

pacotes ao sistema?

Como os pacotes chegam com períodos iguais, sua taxa de chegada será:

1

K

Linha de transmissãoLinha de transmissão

Page 26: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Pergunta 2: qual é o número de pacotes no

sistema?

Cada pacote permanece dentro do sistema:

De acordo com a Lei de Little tem-se que:

T K P

N TP

K

Linha de transmissãoLinha de transmissão

Page 27: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Observação 1:

N(t) é determinístico e variável no tempo.

Observação 2:

A Lei de Little é correta, caso interprete-se N(t) como uma média no tempo, ou seja:

t

dNN

t

t

0)(

lim

Linha de transmissãoLinha de transmissão

Page 28: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Sistema fechado com K servidoresSistema fechado com K servidores

Considere um sistema de uma fila com K servidores e com N ( K) usuários (seja na fila ou em serviço). O sistema está sempre cheio, isto é, o sistema começa com N usuários e quando um usuário sai do sistema é imediatamente substituído por um novo usuário.

Tempo meio de serviço = E[x].

Pergunta : T = ?

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Calcular T em função do tempo médio de serviço E[x]

Aplicando a Lei de Little ao sistema:

Aplicando a Lei de Little ao servidor:

Eliminando das duas equações anteriores se chega a :

N T

K E x [ ]

TNE x

K

[ ]

Sistema fechado com K servidoresSistema fechado com K servidores

Page 30: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Sistema fechadoSistema fechado

K: número de servidores no sistema

T: tempo médio de um usuário no sistema

N: número de usuário no sistema (N K)

: tempo médio de serviço por usuário

X

1

2

K

i

N-Kusuários

servidores

Page 31: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Hipóteses:

sistema começa com N usuários sistema fechado

Qual é o tempo médio que um usuário permanece no sistema?

Aplicando a Lei de Little no sistema:

(1)N T

Sistema fechadoSistema fechado

Page 32: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Considerando-se que todos os servidores estão

sempre ocupados, aplicando a Lei de Little ao subsistema do servidor:

(2)

de (i) e (ii) tem-se que:

K X

TNXK

Sistema fechadoSistema fechado

Page 33: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Controle de fluxo pela janelaControle de fluxo pela janela

X

N: largura da janela para cada sessão

: taxa de chegada de pacotes ao sistema

T: atraso médio de cada pacote

Transmissor Receptor

0

1

2

34

N

.

.

Page 34: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Hipóteses:

A sessão sempre tem pacotes para enviar. Os acks de resposta têm duração desprezível. Quando o pacote i chega a destino, o pacote i+N

é imediatamente introduzido na rede.

Análise pela Lei de Little:

Se T aumenta, então diminui Para máximo fixo um incremento no tamanho

da janela somente incrementa o atraso T

Controle de fluxo pela janelaControle de fluxo pela janela

N T

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Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado

Arquitetura:

Computador

R

P

T1

T2

TN

D

Page 36: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Parâmetros do sistemaParâmetros do sistema

N: número de terminais R: tempo médio de pensar em cada terminal P: tempo médio de processamento de cada

tarefa D: tempo médio desde que um trabalho é submetido

ao computador até que termine sua execução T = R+D: tempo médio de uma tarefa no sistema : throughput do sistema

Page 37: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Condição de sistema fechado:

N = constante no sistema

Condição máxima de utilização:

Sempre existe um usuário com uma tarefa quando outro acaba de ser atendido.

Problema: encontrar os valores máximos e mínimos de e T.

Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado

Page 38: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

ModeloModeloTime sharing:

T

B1 / P

CPU

TERMINAL1

TERMINAL2

TERMINALN

R

R

R

D

P

R

A

Page 39: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Análide: devido à hipotese, sempre existem N terminais que estão processando. Aplicando a Lei de Little entre os pontos (A) e (B):

Atraso mínimo de um trabalho

Dmin = P Atraso máximo de um trabalho

Dmax = NP

N T/

Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado

Page 40: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Conclusão

P D NP

Portanto,

R + P T R + NP (1)

Aplicando a Lei de Little em (1)

(2)

Como o processamento de uma tarefa demora P, tem-se que:

(3)

N

R NP

N

R P

1

P

Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado

Page 41: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Combinando (2) e (3), obtem-se:

(4)

Usando-se a Lei de Little, chega-se aos limites de tempo para o sistema

(5)

N

R NP p

N

R P

min{ , }

1

max{ , }NP RP T R NP

Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado

Page 42: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Atraso máximo e mínimo do Atraso máximo e mínimo do sistemasistema

R+P

T

NÚMERO DE TERMINAIS N

R

1

NP

R+NP

zona de operação

Page 43: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Throughput máximo e mínimoThroughput máximo e mínimo

NÚMERO DE TERMINAIS

TH

RO

UG

HP

UT

1 / P

1 + R / P

Page 44: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Processos de nascimento e Processos de nascimento e mortemorte

Page 45: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Ek-1 EkEk+1

k-1 k

k k+1

Processos de nascimento e Processos de nascimento e mortemorte

É o caso especial de uma cadeia de Markov na qual as únicas transições permitidas (ou possíveis) a partir de um estado Ek, são aos estados Ek-1 ou Ek+1, se estes estados existem.

Page 46: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Ek+1

Ek-1

Ek

Ek

DefiniçõesDefinições

Nascimento: transição ao estado adjacente superior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode chegar no máximo um usuário ao sistema).

Morte: transição ao estado adjacente inferior

(hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode sair no máximo um usuário do sistema).

Page 47: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

DefiniçõesDefinições Razão de nascimento: número médio de nascimentos por

unidade de tempo. Esta razão é dependente do estado, isto é, para o estado k: kqk,k+1

Razão de morte: número médio de mortes por unidade de tempo quando o sistema está num determinado estado k: kqk,k-1

Como a EBG estabelece que qk,i = 0

Então: qk,k = - (k + k)

Page 48: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Ek

Ek-1

Ek

Ek+1

t+tt

Deseja-se obter: P N( + ) = Ekt t

Solução dos PNMSolução dos PNM

Evolução temporal de um PNM no intervalo (t, t+t):

Page 49: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Solução dos PNMSolução dos PNM

Hipótese: quando se está no estado E0, não é possível uma morte (0 = 0), mas é possível um nascimento (0 0) (exemplo: geração espontânea)

Page 50: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Solução dos PNMSolução dos PNM

Logo, as possibilidades de estar no estado Ek no instante t + t, a partir do estado no instante t, são:

Ek

Ek-1

Ek

Ek+1

t+tt

1 morte

Não mudou

1 nascimento

Page 51: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

B1(k,t) = P[um nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek]

= k t + o(t)

D1(k,t) = P[uma morte em (t,t+t) | N(t)=E k]

= k t + o(t)

B0(k,t) = P[nenhum nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek]

= 1 - k t + o(t)

D0(k,t) = P[nenhuma morte em (t,t+t) | N(t)=E k]

= 1 - kt + o(t)

DefiniçõesDefinições

Page 52: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

DefiniçõesDefinições

Sejam:

k(t) = P[N(t) = Ek]

pi,j(t,t+t) = P[N(t+t) = Ej | N(t) = Ei], para |i-j| < 1

Page 53: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Logo:

pk,k(t,t+t) = B0(k,t) D0(k,t) + o(t)

pk-1,k(t,t+t) = B1(k,t) D0(k,t) + o(t)

pk+1,k(t,t+t) = B0(k,t) D1(k,t) + o(t)

Desenvolvendo:

pk,k(t,t+t) = 1 - (k + k)t + o(t)

pk-1,k(t,t+t) = k t + o(t)

pk+1,k(t,t+t) = k t + o(t)

DefiniçõesDefinições

Page 54: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Solução dos PNMSolução dos PNM

Pelo teorema das probabilidades totais, tem-se que:

Ek

Ek-1

Ek

Ek+1

t+tt

1 morte

Não muda

1 nascimento

k k k,k

k-1 k-1,k

k+1 k+1,k

o( ) , k 1

( ) ( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

t t t p t t t

t p t t t

t p t t t t

0 0 0,0

1 1,0 o( , k 0

( ) ( ) ( , )

( ) ( , ) )

t t t p t t t

t p t t t t

Page 55: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Solução dos PNMSolução dos PNM Substituindo, agrupando e tomando ,

obtém-se:

Além disso,

t 0

1k ),()()()()(

1+k1+k 1-k1-k kk k k tttdt

td

0k ,)()()(

11 00 0 ttdt

td

0 ,1)(0

k

tt

k

Page 56: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Logo,obtém-se o seguinte sistema:

d t

dtt t t

k

k k k k-1 k-1 k+1 k+1

( ) , k 1 ( ) ( ) ( ) ( )

d t

dtt t

0

0 0 1 1

( ) , k 0 ( ) ( )

k ( ) 1 k

t

Solução dos PNMSolução dos PNM

Page 57: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Para uma cadeia de Markov qualquer:

Para um PNM, tem-se que:

Observa-se que esta equação coincide com a da transparência anterior.

d t

dtt

( )( ) Q

Q =

0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

0 0 0

0 0

0 0

0 0

( )

( )

( )

Solução dos PNMSolução dos PNM

Page 58: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Um processo de Poisson é um processo de nascimento puro, onde:

k k kk

As equações anteriores são reduzidas a:

Condição inicial:

d t

dtt t

k

k k-1

( ) , k 1 ( ) ( )

d t

dtt

0

0

( ) , k 0 ( )

0 ( )0 1

ExemploExemplo

Page 59: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Resolvendo, se tem que:

0

- = e( )t t

1

- = e( )t t t

k

k- =

( )e( )

!t

t

kt

Logo, por indução obtém-se:

Processo de Poisson

ExemploExemplo

Page 60: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Q = 0

kk 1

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

Em estado estacionário (t) é independente do tempo, logo (tvai ser representado somente por

A EBG se reduz a:

Além disso:

Page 61: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

k 1 k

0k ,0 1100

Solução de um PNM em equilíbrio

Logo:

1k ,)(0 1+k1+k 1-k1-kkk k

Page 62: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Solução de um PNM em equilíbrio

O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira:

Fluxo que sai = Fluxo que entra

Ek-1 EkEk+1

k

k-1 k

k+1

Page 63: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Solução de um PNM em equilíbrio

O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira:

(k+k)k = Fluxo que entra

Ek-1 EkEk+1

k

k-1 k

k+1

Page 64: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Solução de um PNM em equilíbrio

O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira:

(k+k)k = k-1k-1 + k+1k+1

Ek-1 EkEk+1

k

k-1 k

k+1

Page 65: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Reorganizando-se:

Por outro lado, definindo-se gk como:

1+k1+kkkkk1-k1-k

1+k1+kkkk g

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

Page 66: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Reconhecendo gk na EBG:

com:

k-1 k-1 k k k k k+1 k+1

gk k k k+1 k+1

gk

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

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Reconhecendo gk na EBG :

com

k-1 k-1 k k k k k+1 k+1

gk-1 gk =

gk k k k+1 k+1

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

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Reconhecendo gk na EBG :

logo,

k-1 k-1 k k k k k+1 k+1

gk é constante com respeito a k

gk-1 gk=

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

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Além disso, num PNM:

Da EBG para o estado 0, se vê que g0 = 0. Juntando-se com a equacao que diz que gk+1 = gk, tem-se que:

gk = 0 k 0

2

E 0 E1

1

0 1-1

0

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

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Além disso, num PNM:

de onde

2

E 0 E1

1

0 1-1

0

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

g-1 0

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Além disso, num PNM:

de onde

2

E 0 E1

1

0 1-1

0

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

g-1 0 k k k+1 k+1

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A equação anterior corresponde a uma equação de balanço local (EBL), isto é:

Equação de balanço local

Ek+2

k+1

Ek-1 EkEk+1

k

k-1 k

k+1

k

=k k

k+1 k+1

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Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo:

20

E 0 E1

10

01

32

3003

E3 E2

Equação de balanço localEquação de balanço local

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Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo:

20

E 0 E1

10

01

32

3003

E3 E2

Equação de balanço localEquação de balanço local

Page 75: Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l

Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo:

20

E 0 E1

10

01

32

3003

E3 E2

Equação de balanço localEquação de balanço local

32

23

=32 23

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Logo, segundo a EBL:

Ek+2

k+1

Ek-1 Ek Ek+1

k

k-1 k

k+1

k

=k k

k+1 k+1

A EBL estabelece que, em estado estacionário,o FLUXO entre dois estados adjacentes é IGUAL

Equação de balanço localEquação de balanço local

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É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que:

Para: k = 0: , k = 1:

k k k+1 k+1

10 0

1

21 1

2

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

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É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que:

Para: k = 0: , k = 1:

Por indução:

k k k+1 k+1

10 0

1

21 1

2

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

ki

ii

k

010

1

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Além disso:

Logo:

k k

0

1

0

10

1

1

1

1

i

ii

k

k

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio