anÃlise do controle da Ãgua em escavaÇÕes pelo …
TRANSCRIPT
ANÃLISE DO CONTROLE DA ÃGUA EM ESCAVAÇÕES PELO Ml',:TODO
DOS ELEMENTOS FINITOS
FRANCISCO DE REZENDE LOPES
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSI
DADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISI
TOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE "MESTRE EM
CitNCIAS" (M. Se.) .
Aprovada por:
~ '~ ,.G__ A)(~ '--O'-'( { J__J)_, 'N --------~-----
Rio .de Janeiro
Estado da Guanabara - Brasil
Setembro de 1974
.. •
ii
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Patrick Pichavant,pelos ensinarnen
tos de elementos finitos
Ao Professor Dirceu A. Velloso, pela discussão
dos resultados
Ao Professor Willy A. Lacerda,pelas sugestões
A todos os professores e colegas do Programa
de Engenharia Civil da COPPE, em particular aos professores
Jacques de Medina, Raul Feijóo e Claudio F. Mahler, ·: . pelo
constante incentivo
Ao Professor A. J. da Costa Nunes, por minha
formação profissional
Ao Engenheiro Cesar A. G. Cerqueira, pelo estí
mulo no estudo da Mecânica dos Solos
À COPPE, na pessoa do seu Diretor, Professor
Sydney M. G. dos Santos
À CAPES, pelo apoio financeiro
À Tecnosolo S.A., Estacas Franki Ltda. e Sisal
S.A., que facilitaram dados e observações de obras.
iii
RESUMO
'
O Método dos Elementos finitos é aplicado à análise
da percolação estacionária e ao controle da água em escava
ções. A análise de casos de drenagem e rebaixamento do lençol
d'água com condições de fronteira complexas é possível por
programas que determinam a posição da superfície livre.
A aplicação do método a casos com solução conhecida a
presenta boa precisão e a análise de duas obras de rebaixa
mento do lençol d'água mostra boa concordância com as obser
vações de campo.
' '
ABSTRACT
The Finite Elernent Method is applied to steady state
seepage analysis and to the dewatering of excavations. The
analysis of open pumping and of water table lowering in cases
with complex boundary conditions is possible by
that determine the free surface location.
programs
The application of the method to cases with known solu
tion shows good precision and the analysis of two water table
lowering jobs show good agreement with field observations.
V
INDICE
Pag •
•
CAPITULO 1 INTRODUÇÃO 1
CAPITULO 2 SISTEMAS DE CONTROLE DA ÁGUA EM ESCAVAÇÕES 3
2.1 DRENAGEM INTERNA DA ESCAVAÇÃO 5
2.2 REBAIXAMENTO DO LENÇOL D'ÁGUA POR PONTEIRAS FIL
TRANTES E POÇOS PROFUNDOS 5
2.3 ALIVIO DE PRESSÕES
CAPITULO 3 MtTODOS DE ANÁLISE
3.1 ESCAVAÇÕES DRENADAS INTERNAMENTE
3.1.l Métodos Analíticos
3.1.2 Métodos Numéricos
3.1.3 Método Gráfico
3.1.4 Métodos Analógicos
3.1.5 Modelos Reduzidos
3.2 REBAIXAMENTO DO LENÇOL D'ÁGUA
3.2.1 Por Ponteiras Filtrantes
3.2.2 Por Poços Profundos
3.3 ALIVIO DE PRESSÕES
CAPITULO 4 O MtTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE
DA PERCOLAÇÃO NO SOLO
4.1
4.2
CÁLCULO VARIACIONAL
MtTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
4.3 FORMULAÇÃO PARA UM ELEMENTO TRIANGULAR DE TR~S
PONTOS NODAIS
7
11
11
12
13
14
14
17
17
17
18
22
23
24
28
34
vi
Pag.
CAPÍTULO 5 APLICAÇÃO A CASOS COM SOLUÇÃO CONHECIDA 37
5.1 DRENAGEM DA ESCAVAÇÃO 38
5.2
5.3
POÇO DE REBAIXAMENTO ISOLADO
ALÍVIO DE PRESSÕES
CAPÍTULO 6 APLICAÇÃO A OBRAS
6.1 INTERCEPTOR OCEÂNICO - Rebaixamento do
çol d'água por ponteiras filtrantes
len
6.2 HOTEL MERIDIEN-COPACABANA - Rebaixamento do
lençol d'água por poços profundos
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES
BIBLIOGRAFIA
NOTAÇÃO
APtNDICE MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA FPM 500/
ESCAV
46
46
51
51
64
73
75
87
90
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
"When groundwater and seepage
are uncontrolled, they can
cause serious economic
lasses and take many human
lives. Controlled, they need
not be feared."
Harry R. Cedergren
O controle da água e necessário à construção de
inúmeras obras de engenharia e ao funcionamento permanente
de muitas outras. Eclusas, diques, barragens, tuneis, gale
rias enterradas e fundações para edifícios e pontes necessl
tam frequentemente escavações abaixo do nível d'água para
sua construção. Algumas destas obras têm, ainda, projetos
mais econômicos com o nível d'água rebaixado ou pressoes ar
tesianas aliviadas permanentemente.
Até fins do século passado, o Único processo de
que se dispunha para o controle da agua
era a drenagem, pelo bombeamento a partir
nas escavaçoes
de poços rasos em
seu interior. O desenvolvimento de sistemas de rebaixamento
do lençol d'água pelo bombeamento a partir de poços profun
dos e ponteiras ocorreu na Alemanha e Inglaterra entre 1870
e 1890 e alcançou os Estados Unidos por volta de 1900 (apud
Terzaghi e Peck, 1967). Para solos finos, cuja drenagem ap~
2
nas pela gravidade é insuficiente, desenvolveu-se mais tar
de a aplicação de vácuo e de eletricidade (processo eletros
motico) aos poços e ponteiras.
O estudo da percolação no solo mereceu atenção
de engenheiros e pesquisadores desde meados do século pass~
do. Ao trabalho experimental de Darcy (1856), seguiram os
estudos teóricos de Dupuit (1863), Boussinesq (1868),
Thiem (1870), Forchheimer (1886) e Zhukovsky (1889). Atual
mente a análise da percolação em obras de engenharia atin
giu grande desenvolvimento,em particular por métodos numéri
cos devido a crescente utilização de computadores digitais.
Entre estes, o Método dos Elementos Finitos vem ganhando a
aceitação dos projetistas devido a poder tratar meios hete-
rogeneos, de geometria complexa e constituídos por mate-
riais anisotropos.
Estuda-se no presente trabalho o Método dos Ele
mentos Finitos e sua aplicação à análise do controle da
água em escavações. Os sistemas tratados controlam a
drenando-a convenientemente, não incluindo, portanto,
cessos que a mantém afastada (injeções, congelamento
agua, utilização de ar comprimido, etc).
água
pro
da
Uma exposição dos sistemas de controle da água
e seus métodos de análise para fluxos estacionários e obede
cendo a lei de Darcy é feita. A seguir apresenta-se o Méto-
do dos Elementos Finitos no estudo da percolação, desenvol
vendo-se a formulação para um elemento triangular de tres
pontos nodais. Adaptado um programa para o estudo proposto,
faz-se nos capítulos s·ubsequentes aplicação a casos já est):!
dados por outros métodos e a duas obras recentes de rebaix~
mento do lençol d'água. Estas obras apresentam um interesse
especial pois são escavações escoradas por cortinas imper -
meáveis, com a instalação de rebaixamento colocada interna-
mente, situação que é estudada com dificuldade por outros
métodos .. Em apêndice está a descrição do programa e instru
ções para sua utilização.
3
CAPÍTULO 2
SISTEMAS DE CONTROLE DA ÃGUA EM ESCAVAÇÕES
O controle da água em escavaçoes pode ser feito
de várias maneiras. Para a escolha do sistema mais adequado
a uma determinada obra é necessária uma avaliação cuidadosa
do perfil geotécnico, das caracteristicas dos lençois
d'água, da contribuição de águas superficiais, das facilida
des exigidas pela execução da obra e das construções vizi
nhas, além de conhecimento dos equipamentos e experiência
neste tipo de trabalho. A instalação do sistema requer a su
pervisão de um profissional especializado, devendo ser fei
tas observações durante a execução da obra (também após a
conclusão naquelas que utilizam controle permanente da água)
Estas observações, tais como medições do nivel d'água e das
pressões neutras, verificação do carreamento de particulas·
de solo (observada em tanques de sedimentação na descarga
das bombas), medição de recalques em construções, etc, fre-
quentemente impõem medidas adicionais durante
Os sistemas usualmente utilizados
a obra.
no controle
da água em escavações são a drenagem por esgotamento inter
no da escavação ou a utilização de ponteiras filtrantes e
poços no rebaixamento do lençol d'água e no alivio de pres
sões neutras. Apresenta-se em seguida uma breve apreciação
destes métodos, restrita ao fluxo gravitacional, conseguido
nos solos dentro da faixa mostrada na Fig. 2-1.
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5
2.1 DRENAGEM INTERNA DA ESCAVAÇÃO
Este processo, também chamado drenagem por bom
beamento direto da escavaçao ou drenagem a céu aberto, con
siste simplesmente em deixar a água surgir nos taludes e
fundo da escavação e conduzi-la por valas de drenagem a po
ços rasos, de onde e removida por bombeamento (Fig. 2-2a).
Este sistema apresenta vários inconvenientes
tais como encharcamento e amolecimento dos taludes e fundo
·da escavação e erosão interna do terreno, especialmente du
rante bombeamentos longos, provocando abatimento da superff
cie do terreno e de fundações próximas. A utilização de es-
coramentos impermeáveis (Fig. 2-2b), embora possa minorar
estes inconvenientes, está sujeita ainda à ocorrência de
condição "quick" no fundo da escavação. Assim, o processo
deve ser aplicado apenas em solos resistentes à erosão in
terna, não contendo lentes de material mais permeável. Em
obras de maior porte, a drenagem interna pode ser inadequa
da devido ao risco e à progressão lenta dos trabalhos em so
lo encharcado.
2.2 REBAIXAMENTO DO LENÇOL D'ÁGUA POR PONTEIRAS FILTRANTES
E POÇOS PROFUNDOS
Os inconvenientes do sistema anterior podem ser
evitados pelo rebaixamento do lençol d'água por ponteiras
filtrantes, poços profundos ou pela combinação destes pro
cessos.
O termo ponteiPa se refere à extremidade infe
rior perfurada (num trecho de 0,4 a l,Om) de um tubo de
1 1/2 "a 3" que tem dupla finalidade de revestimento dopo
ço e tubo de sucção. A base da ponteira pode ter um orifí
cio que permite a injeção de água para facilitar sua insta-
bomba
6
NA oríginal~ ---- - -::;:- ~
(a)
NT
NT
NA oríginal _
. (b)
Fig,2-2
7
lação no terreno, bem como criar um filtro em torno de todo
o tubo pela expulsão das partículas finas do solo natural.
Quando não é possível instalar as ponteiras por este proces
so (conhecido como Zançagem), elas sao colocadas em furos
abertos mecanicamente e envolvidas por material filtrante.
As ponteiras são espaçadas de 0,5 a 3,0m e ligadas por um
coletor a urna bomba especial para este tipo de trabalho.
O sistema de ponteiras filtrantes é utilizado
em um único estágio quando a altura a rebaixar não ultrapa~
sa cerca de 5,0m. Caso contrário, sao utilizados
(Fig. 2-3a) ou mais estágios.
dois
Em escavaçoes profundas, sao utilizados com van
tagem poços profundos com diâmetro bastante grande (20 a
60cm) para permitir a operaçao de bombas submersas ou inje
tores em seu interior. Como as ponteiras, os poços profun -
dos tem na extremidade inferior um trecho perfurado de
5,0 a 20,0m, envolto por tela e material filtrante. Estes
poços sao espaçados de 6,0 a 50,0m e dispostos geralmente
na crista das escavações taludadas. Em escavações escoradas,
podem ser colocados externamente ou internamente, como mos
trado à esquerda ou direita da Fig. 2-3b, respectivamente.
2.3 ALIVIO DE PRESSÕES
Nos depósitos naturais frequentemente ocorrem
camadas alternadas de maior e menor permeabilidade, forman
do aquiferos sob diferentes pressões neutras. Quando o fun
do da escavação esta numa camada de baixa permeabilidade SQ
brejacente a outra mais permeável sob pressão neutra exces
siva, há o risco de levantamento do fundo se sua espessura
(h na Fig. 2-4a) for insuficiente para equilibrar esta pres
são. É o caso também da escavação mostrada na Fig. 2-4b, em
que as cortinas de escoramento atingem urna camada relativa-
8
------.--- -------NA original 19 estagio
29 estagio
-------
/
po o externo
_·_ N~ original ·
11 11
11
11 l 1
11 11 o
(a l
(b)
.Fig.2-3
poço interno
11
11
11
\
NT
l 1 11
~
bomba submersa
9
mente impermeável.
O alivio de pressoes nestes aquiferos confinados
pode ser feito por poços, com ou sem bombeamento (Fig. 2-4b
e 2-4a, respectivamente), por ponteiras filtrantes, ou pela
combinação destes processos. No caso da camada de baixa per
meabilidade separar dois aquiferos, o primeiro sofrendo re
baixamento, pode-se utilizar ainda drenos verticais de areia
para interligá-los, promovendo-se assim o alivio do aquifero
inferior.
piezometro
aquífero confinado
poço externo
1 1 1 I 1 1 11 o
10
superfície piezometrica
antes do alivio -
( a)
(b)
Fig,2-4
após
----
. 11
11 poço de alivio , , tJ
poço interno
'1 l 1
11 lJ
NT
NA freático
11
CAPITULO 3
MÉTODOS DE ANÁLISE
Embora a maioria dos sistemas de controle da água
em escavações seja relativamente flexível com relação ao au
mento de sua capacidade, o seu dimensionamento é extremamente
importante para o planejamento da obra, avaliação dos custos,
do consumo de energia, etc. Escavações próximas a prédios ou
quaisquer outras obras existentes, onde recalques (pela dimi
nuição da pressão neutra nas camadas compressíveis) podem pr.9.
vocar sérios danos, devem ser cuidadosamente analisadas. A ex
posição dos métodos de análise feita neste capítulo nao in
clui o Método dos Elementos Finitos, que será estudado em se
guida.
3.1 ESCAVAÇÕES DRENADAS INTERNAMENTE
Nas escavações drenadas é possível ocorrerem duas
situações que exigem tratamentcsdiferentes: escavações sem e~
coramente ou quando o mesmo é permeável (Fig. 2-2a) e escava
çoes com escoramento impermeável. No caso de escoramento por
cortinas impermeáveis, pode-se ter fluxo confinado, quando há
uma lamina d' água acima do terreno atrás da cortina (Fig. 5-7a),
e não confinado* (Fig. 2-2b). Os métodos de análise podem ser
* Fluxo nao confinado é aquele que possui como uma das fron
teiras de seu domínio uma superfície livre (ou freática).
12
classificados em analíticos, gráficos, numéricos, analógicos
e por modelos reduzidos.
3.1.1 Métodos Analíticos
Os métodos analíticos, embora conduzam à forma de
solução mais precisa, são limitados à análise de fluxo bidimen
sional e axissimétrico em meios homogêneos e isotrópicos com
fronteiras de geometria simples. Estes métodos fornecem porém
algumas soluções de interesse imediato e de valor na interpre
tação de casos mais complexos. Casos simples de heterogeneida
de e anisotropia podem ainda ser transformados em homogeneos e
isotrópicos pela técnica apresentada por Barron (1948), além
da transformação possível de meios estratificados constituídos
por camadas isotrópicas em meios homogêneos anisotrópicos.
Entre os autores que apresentam extenso tratamen
to destes métodos estão Muskat (1937), Polubarinova-Kochina
(1962), Harr (1962), Bear, Zaslavsky e Irmay (1968) e
(1972).
Bear
Escavações com escoramento impermeável e fluxo
confinado (caso geralmente das ensecadeiras) tém soluções (apJ:!:.
sentadas ainda sob a forma de ábacos) por Muskat (1937),
McNamee (1949), Polubarinova-Kochina (1962), Harr (1962) e
King e Crockroft (1972), entre outros. A técnica utilizada, o
mapeamento conforme, consiste em determinar uma função que
transforme o domínio onde a solução é procurada em outro onde
ela é conhecida.
O estudo de fluxos nao confinados pode ser feito
por métodos exatos (hodografo de velocidade e funções de
Zhukovsky) ou assumindo-se as hipóteses de Dupuit (1863). Das
soluções possíveis por métodos exatos,
gens podem ser utilizadas no estudo de
.escoramento (ou quando o escoramento é
as obtidas para barra-
escavaçoes
permeável)
longas sem
se a alimen-
13
tação do aquifero se situar a curta ou média distância e for
paralela â escavação. Barragens sobre fundação impermeâvel e
com ambos os taludes verticais ou com o de jusante inclinado
foram estudadas por Muskat (1937), Chapman (1957) e Lo (1971),
entre outros. Polubarinova-Kochina (1962) apresenta ainda o
estudo de uma escavação de seção trapezoidal em aquifero frei
tico. Escavações com taludes verticais, podem ser estudadas
por fórmulas desenvolvidas para trincheiras drenantes (no ca
so de fluxo bidimensional) ou para poços (no caso de fluxo
axissimétrico) se forem assumidas as hipóteses de Dupuit
Mansur e Kaufman (1962) apresentam fórmulas para algumas si
tuações. As soluções baseadas nas hipóteses de Dupuit sao
aceitáveis, desde que conhecidas suas limitações.
3.1.2 Métodos Numéricos
Método das Diferenças Finitas
O Método das Diferenças Finitas consiste inicial
mente na substituição da equação diferencial por uma equaçao
algébrica de diferenças finitas exprimindo o valor da variá
vel dependente (carga hidráulica, p.ex.) num ponto discreto
em função de seu valor em pontos vizinhos. Escolhido um núme-
rode pontos no interior do domínio do fluxo, situados numa
malha, e estabelecidas equações para pontos no interior e nos
diversos tipos de fronteira, a determinação do valor da variá
vel dependente nestes pontos pode ser feita pela resolução si
multânea do sistema de equações ou por processo iterativo (r~
laxação).
A técnica mais corrente e com a utilização da ma
lha quadrangular ortogonal que apresenta dificuldade no acom
panhamento das fronteiras físicas, frequentemente cortando a
malha. Mais recentemente, Tomlin (1966) utilizou redes assimé
14
tricas, compostas de triângulos, que facilmente contornam es
ta dificuldade.
O processo pode tratar meios heterogeneos e aniso
trópicos e fluxo não confinado, quando a posição da superfí -
cie livre é conhecida a priori. Alguns casos simples em que a
superfície livre não é conhecida podem ser previamente trans
formados por mapeamento conforme, como propõe Jeppson (1968).
3.1.3 Método Gráfico
o método, proposto por Forchheimer (1930), permi
te a obtenção de redes de fluxo sem a resolução analítica ou
numérica da equação de Laplace. Se o fluxo é -não confinado, a
resolução começa pela determinação da superfície livre, feita
por métodos semi-empíricos como o proposto por
(1937). Estes métodos porém não são aplicáveis a
Casagrande
escavaçoes
com escoramento impermeáveis. Fluxos axissimétricos podem ser
tratados graficamente como mostra Taylor (1948) e
(1967), porém, de maneira trabalhosa.
Cedergren
3.1.4 Métodos Analógicos
Os métodos analógicos sao baseados na semelhança
entre a equação que governa o fluxo de fluidos em meios poro-
sos e as que governam fenomenos pertencentes a outros
da Física:
Analogia Elétrica
Na analogia elétrica temos tres tipos: o
ramos
modelo
elétrico contínuo (tanque eletrolítico, para análise tridimen
sional, e papel condutor, para análise bidimensional), o mode
15
lo elétrico discreto (rede de resistências e de resistências
e capacitares) e o modelo de movimentação iônica.
o primeiro tipo, embora teoricamente pudesse con
siderar a heterogeneidade, fazendo-se uma separação entre so
luções de diferentes concentrações por placas de lucite com
pinos de estanho nos tanques eletrolíticas ou combinando-se
papeis condutores para se conseguir diferentes espessuras, so
é utilizado simulando meios homogêneos e isotrópicos devido
às incorreções que estes procedimentos introduzem. A geome
tria do meio pode porém ser transformada, como foi dito no
item 3.1.1, antes da construção do modelo elétrico.
Deve-se observar entretanto que não existe no flu
xo elétrico o efeito de forças de massa e, portanto, a corren
te elétrica atravessa todo o corpo condutor e as linhas de
fluxo limites coincidem com suas
simulação de fluxo não confinado
fronteiras físicas. Assim,na
a superfície livre precisa
ser introduzida artificialmente, variando-se sucessivamente
as fronteiras físicas do modelo, bem como a face de drenagem,
colocando-se um eletrodo de potencial variável linearmente
com a altura. Molnar (1968) conduziu uma investigação da dre
nagem de escavações com escoramento impermeável, cujos resul
tados serao mostrados no capítulo 5.
O modelo elétrico discreto, pode ter sua analogia
estabelecida de uma maneira matemática, baseada na aproxima -
ção de diferenças finitas, ou de uma maneira física, baseada
na substituição de elementos de solo por resistências, forma~
do uma rede. Redes quadrangulares ortogonais são usadas na st
mulação de fluxos em duas ou tres dimensões e, mais recente -
mente, Butterfield e Howey (1973) utilizaram redes triangula
res assimétricas na simulação de fluxos bidimensionais. Este
modelo pode tratar fluxo não confinado, como no modelo contí-
nuo, corrigindo-se a rede sucessivamente. Herbert e Rushton
(1966) utilizaram uma rede especial para facilitar a correçao
da superfície livre.
16
As redes de resistências e capacitores sao utiliza
das por analogia com fluxos em que há difusão, sendo os capact
tores colocados nos nós da rede para simular a capacidade de
armazenamento do aquifero.
O modelo de movimentação iônica é baseado no fato
que a velocidade dos ions em uma solução eletrolítica sob um
gradiente de tensão para corrente continua é análoga à veloci
dade média das particulas de um fluido sob gradiente hidráuli
co em um meio poroso. Este modelo é utilizado apenas em análi
ses bidimensionais (na horizontal) em que a gravidade não é
considerada.
Analogia com membrana
Estes modelos se baseiam na analogia com a distri
buição das deformações em uma membrana elástica uniformemente
tensionada. Os bordos da membrana são mantidos suspensos em nI
veis proporcionais à carga hidráulica e sua distribuição no
meio pode ser determinada por estensometros. O processo é uti
lizado em análises bidimensionais de meios homogêneos e isotró
picos, podendo considerar uma geometria complexa e poços ou
alimentações localizadas dentro do domínio do fluxo.
Analogia com o fluxo viscoso
A analogia com o fluxo viscoso, desenvolvida por
Hele - Shaw em 1897, é um instrumento para análise bidimensio
nal, consistindo em duas placas paralelas (pelo menos uma
transparente, em lucite, p.ex.) mantidas distantes alguns mili
metros e contendo a forma da estrutura a ser estudada, por on
de escoa um fluido viscoso (água, glicerina ou Óleo). Embora o
modelo de Hele - Shaw possa ser aplicado ao estudo de meios he
terogéneos (fazendo-se variar o espaçamento entre as placas) e
anisotrópicos (utilizando-se uma das placas com estrias), es-
17
tas aplicações sofrem sérias restrições, segundo Bear (1972)
A análise de fluxo não confinado é, ainda, prejudicada pela ca
pilaridade.
3.1.5 Modelos Reduzidos
Estes modelos sao geralmente utilizados na simula
çao de fluxo confinado, uma vez que a capilaridade prejudica a
análise no caso não confinado ( a franja capilar nos modelos e
em geral desproporcionadamente maior que no prototipo). Dixon
(1967) propõe um pré-tratamento do meio poroso com silicone es
pecial (repelente da água) para minimizar este efei.to e poder
tratar casos não confinados.
O processo é bastante utilizado ainda no estudo de
alguns fenomenos relacionados com o aspecto microscópico do
meio, como fluxo não saturado, fluxo simultâneo de dois ou
mais fluidos, pressões capilares, etc.
Diversos pesquisadores utilizaram modelos no estu
do de escavações, como Marsland (1953), que realizou uma série
de experiências com modelos de ensecadeiras (fluxo confinado),
comparando seus resultados com soluções analíticas, observando
o mecanismo de rutura do fundo e estabelecendo regras para a
penetração da cortina para diversas combinações de diferentes
camadas de solo.
3.2 REBAIXAMENTO DO LENÇOL D'ÁGUA
3.2.l Por Ponteiras Filtrantes
Para a análise de rebaixamento por ponteiras fil
trantes, Mansur e Kaufman (1962) sugerem que linhas de pontei
ras pouco espaçadas sejam assimiladas a trincheiras drenantes
18
e feitas algumas correçoes devidas a esta hipótese. Outros au
tores recomendam a análise como a de um sistema de poços (ver,
p.ex., Széchy, 1965 e Herth e Arndts, 1973).
Uma outra maneira é estimar o espaçamento entre
ponteiras para se conseguir um determinado rebaixamento a par
tir de ábacos empíricos. Estes ábacos são fornecidos por fabri
cantes de ponteiras (Moretrench, ~üdig, etc.) e construídos
com base em testes em diversos tipos de solo. A utilização de~
tes ábacos, além da limitação ao equipamento do fabricante, d~
ve ser cuidadosa porque são baseados em características médias
de cada tipo de solo.
3.2.2 Por Poços Profundos
Nos projetos de rebaixamento por poços, dispõe-se
de um grande número de fórmulas para poços perfeitos (penetra
ção total) ou não, isolados e em grupos e para diversas formas
de alimentação do aquífero freático. Muskat (1937) apresenta
um dos trabalhos mais extensos sobre o assunto, tratado ainda
por Todd (1959), Mansur e Kaufman (1962) e Herth e Arndts (1973).
As deduções admitem as hipóteses de Dupuit e a homogeneidade e
isotropia do meio. As expressões assim obtidas para a vazao
são corretas, o que não acontece com as obtidas para a forma
da superfície de rebaixamento na proximidade dos poços.
Apenas do ponto de vista didático são apresentadas
algumas expressoes para um poço perfeito isolado e para um si~
tema de poços múltiplos num aquífero com alimentação distante.
Poço isolado com penetração total
19
R
Q
h
------:--~---=· :__ __ N~ original · 1 I . · 1 1 h •
1 1
~I 2rw i 1
Fig.3-1
A vazao é obtida por
Q = 7fk (H 2 -hi)
ln R/rw
e a equaçao da curva de rebaixamento e
h 2- h 2 + - w
R
r rw
H
r
(3-1)
(3-2)
As expressoes acima sao obtidas com as condições
mostradas na Fig. 3-1 na qual a superfície livre durante o bom
beamento é tangente à superfície original a alguma distància R,
chamada Paio de infZuência do poço.
Observando que a expressão (3-1) é pouco sensível
ao valor do raio de influência, concluimos que qualquer adoção
razoável de R conduz a uma estimativa bastante precisa da vazão.
O valor de R depende das condições geológicas-geotécnicas do lo
cal, da duração do bombeamento e da altura do rebaixamento
Sichardt (1928) propos a expressao empírica,,
R = c h' /k' (3-3)
tendo encontrado o valor de c em torno de 3000 para as unida-
20
des em metro e segundo.
Quanto à curva de rebaixamento, diversos pesquisa
dores apresentaram correções para o ponto de saída da superfí -
cie livre, que Schneebeli (1966) resumiu na Fig. 3-2.
LEGENDE
3,0
h 2 - h 2
1 w
'º I " "
1 o Boulto~
-l o Hall
V Zee Pelenon
Q/rrk
1 1
1 " "' ~~
1
,, ' '"
2,0
1,0 ""'" ' ~
1
u
o 1 10
Fig.3-2 (apud Schneebeli,1966)
et Bodr:
Babbilt et Caldwell
o u...,
' 'º " "'<.
100
\ \
h
r 2 .10 3
w Q/rrk
real 7 /
/ Dupuit /
A hipótese da homogeneidade'e isotropia do meio su
gere que a permeabilidade do local onde será executado o rebai~
xamento seja determinada pelo ensaio de bombeamento "in situ" ,
que submete o solo ao mesmo tipo de fluxo que ocorrerá na oca
sião da obra e que é interpretado admitindo esta mesma hipótese.
A expressão (3-1) é ainda correta se considerarmos o meio homo
gêneo anisotrópico desde que nela seja computada a permeabilid~
de horizontal. Schneebeli (1966) observou que a anisotropia pr~
judica bastante a eficiência de um poço no rebaixamento do len-
çol d'água. A eficiência será tão menor quanto maior a razao
kH / kv.
A
~
21
Sistema de poços múltiplos (caso geral)
º1 Qi
. 1 Opoço n
01 --11- · __ · li
~ r 11
p . 11 · n
'- p r H r.
1 1 h
11 l.
2 r3 o Oi A 2 o ~ 3
(a) Planta (b) Corte AA
Fig.3-3.
A equaçao da curva de rebaixamento e
Ri ri
(3-4)
Se todos os poços tiverem a mesma vazao (Q) e o
mesmo raio de influência (R) , tem[se
___gQ_ 1 n H2-h2 = (ln R -
i~l ln ri) TTk n
(3-5)
Fazendo
1 n I: ln ri = ln r n i=l
(3-6)
obtem~·se ·'
22
R
r
n
r = V ( 3-7)
Deve-se observar ainda que a capacidade dos poços
(isto se aplica também a ponteiras)·é limitada pela velocidade
máxima com que a água consegue percolar no solo, sob o efeito
da gravidade. Segundo Sichardt (1928) esta velocidade vale
V = lk"' 15
para as unidades em metro e segundo.
3.3 ALIVIO DE PRESSÕES
(3-8)
Como foi visto no item 2.3, o alívio de pressões
pode ser feito por poços de alívio (sem bombeamento), por po
ços com bombas submersas ou por ponteiras filtrantes. Este úl
timo processo pode ser projetado com fórmulas para trincheiras
artesianas como propõe Mansur e Kaufman (1962), Os poços de
alívio, com ou sem bombas, foram bastante estudados analitica
mente (Muskat, 1937 e Middlebrooks e Jervis, 1947, p.ex.), por
analogia (U.S. Army, Corps of Engineers, 1963, p.ex.) e por m2_
delos (Turnbull e Mansur, 1954, p.ex.), dispondo-se de fórmu -
las e ábacos para poços isolados e em grupos e para diversas
formas de alimentação do aquífero confinado. Observe-se que o
fluxo sendo confinado, não se utilizam as hipóteses de Dupuit
e as expressoes para a superfície piezométrica são absolutamen
te corretas.
Com os poços penetrando totalmente o aquífero co~
finado, o fluxo é bidimensional (horizontal) e pode ser anali
sado ainda por método gráfico,. como fizeram, por exemplo, Mansur
e Kaufman (1960) na eclusa de Port Allen e Zeevaert (1972) na
escavaçao para construção da Torre Latino Americana, em que ha
via realimentação atrás das cortinas de escoramento.
23
CAPÍTULO 4
O METODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE DA PERCOLAÇÃO
NO SOLO
o Método dos Elementos Finitos, originalmente;·',de "-~~ -
senvolvido para a análise estrutural, foi estendido a outros
campos da engenharia como a mecânica dos solos e das rochas,
percolação em meios porosos, transferência de calor, etc. En
tre os que inicialmente utilizaram o método em percolação (es
tacioriária) estão Zienkiewicz, Mayer e Cheung (1966), Taylor
e Brown (1967), Liam Finn (1967) e Neuman e Witherspoon
(1970). A extensão a fluxos transientes, nao darcianos ou
não saturados, foi feita ainda por Witherspoon, Javandel e
Neuman (1968), Volker (1969), McCorquodale (1970), France ,
Parekh, Peters e Taylor (1971), Desai e Sherman (1971), Desai
(1972 a, 1972 b) e Neuman (1973).
Atualmente, o Método dos Elementos Finitos pode
ser considerado um método direto do Cálculo de Variações.
24
4.1 CÁLCULO VARIACIONAL
Pelo cáculo Variacional (ver, p. ex., Mikhlin e
Smolitskiy, 1967 ou Mikhlin, 1970), dado o problema de va
lor de contorno
A u = f
u = TI
em íl
em ôíl
( 4-1)
(4-2)
se A é um operador linear positivo definido simétrico
(Au,u) ~ O, (Au,v) = (Av ,u), (Au,v) = f íl v Au díl), a solu
çao u 0 de (4-1) e (4-2) minimiza o funcional
F(u) = (Au,u) - 2(f,u) (4-3)
Inversamente, se existe uma função u 0 satisfa -
zendo a (4-2) que minimiza o funcional (4-3), ela satisfaz
à equação (4-1). A condição necessária para que seja minimo
um funcional F(u), é que sua primeira variação, ôF(u), seja
nula.
Isto se demonstra por:
Se u(x) E D(A), sendo D(A) o dominio de defini
ção do operador A (conjunto das funções que cumprem com
(4-2) e que sejam continuamente diferenciáveis as vezes ne
cessárias), e n(x) E D(A), também (u+n(x)) E D(A), se
D(A) é um espaço linear. n(x) é conhecida como "variação ad
missível 11•
Seja u 0 a função que minimiza F(u). Então
u = u0 + n (x) E D (A)
F (u0 + n (x)) = (A (u0 + n (x)) , (u0 + n (x)) ) - 2 (f, u0 + n (x))
F(uo + n(x)) = (Au0 ,uo) + 2(Auo,n(x)) + (An(x) ,n(x)) -
- 2 (f,uo + n(x))
25
A condição necessária para o minimo é que
8F(n(x))I =O
n(x)=O
uma vez que para n(x)=O, u=u0
8F(n(x)) l = 12.(Au0 ,8n(x)) + 2(An(x), 8n(x)) -
n(x)=O
- 2(f,8n(x))I .=O
n(x)=O
l(A(u0 + n (x)) ,8n (x)) - (f,8n(x))I =O
. n (x)=O
(Au0 - f,8n(x)) =O
Como on (x)
sibilidade de anulação
cálculo de Variações)
é uma função arbitrária, a Única
será dada por (lema fundamental
Aíio - f = O
Au 0 = f
po~
do
Pode-se demonstrar ainda que u 0 - u 0 , e e Única
(p.ex., Mikhlin, 1970).
No caso de fluxo bidimensional em meios porosos*,
o operador A é
-<-ª- (kx' -º-) + a (ky' +y>> ax ax ~ ov (4-4)
* _o estudo tridimensional nao envolve qualquer dificuldade
adicional.
26
para o sistema x,y coincidindo com as direções principais de
peril_leabiJidade X 1 , y I e
f = Q , Q = (4-5)
Qi para ~ E {~i}
onde ~i = {xi,Yi} é o vetor das coordenadas dos pontos i on
de existe alimentação ou retirada d'água localizada, de va
lor Õi (Fig. 4-1).
Fig. 4-1
·x -2
íl
. x. -l.
Adotando a carga hidraulica como a função u e p~
ra as condições homogêneas de contorno
H = H = o
2 onde asi = u aiíl e tal que a 1sin a 2íl =~, sendo~ o
i=l
vazio, o funcional (4-3) toma a forma
F(H) = (AH,H) - 2(Q,H)
(4-6)
(4-7)
conjunto
27
F(H) =
- 2Jíl Q H díl
Integrando por partes o primeiro termo (do 29
membro) , tem-se' ·.....__-~
+ J (k _1.!!_ _1.!!_ + k ,_1.!!_ _1.!!_) díl 2J Q H díl íl x' ax ilx Y ily ily - íl
Por (4-6) e (4-7), segue que
(4-8)
A minimização deste funcional<:.._.) conduz a
ilF(H) = ilH ax
o il H
ilx + ky• il H
ay o _1.!!_) díl -
ôy
il H ax
Vx + ky• ilH ily
Vy)oH dilíl -
- 2! <-ª- (k 1 _1.!!_) + íl dX X dX
ª (ky•-2.!!_)) oH díl - 2J o oH díl = o ily ily íl
Pelo lema fundamental do Cálculo de Variações, se
gue
a (kx•-2.!!_) + -ª- (k ,_1.!!_) + Q = o ilx · ax ily Y ily
,-), " em íl '(4-:-9)
e (condições de contorno)
H = H
28
pois õH = O
ª1º
e, corno õH e arbitrário em a2íl, tem-se
k 1 X
oH ax
oH ay
(4-10)
= o ( 4-11)
O significado físico de (4-10) é de carga hidrau
lica prescrita e de (4-11) de contorno impermeável.
4.2 Mt:TODO DOS ELEMENTOS FINITOS-
Corno foi dito, o M.E.F. corno um método direto do
cálculo de Variações permite, dado um funcional F(u), deter
minar urna solução aproximada de u0
, função que minimiza F(u).
Suponha-se íl (Fig. 4-2), subdividido em E subdomi
nios íle, chamados elementos finitos, tais que
íl .Oíl. - i , ]_ J
se i -1 j (4-12a)
E íl = u íle (4-12b)
e=l
1 2
Ne e
v---<>------0 3
(b) elemento e
29
Fig. 4-2
Define-se sobre íl, G
íl . J
(a) modelo global
pontos nodais globais x. -l.
i = 1,2, ... ,G e em íle' Ne pontos nodais locais e ~
N = 1,2, ... ,Ne, tais que
G (e) N (e) N 1 se o no N do elemento
e ~ = z íl x. íl i = e coincidir com o i do
i=l i -l.
modelo global
o caso contrário
o que equivale a impor a coincidência entre os pontos nodais
no contorno rij que separa íli e ílj.
Em cada íle adota-se a função de interpolação da
carga hidráulica ºNM (delta de Kronecker) ,
ºNM=l, ºNM=O se NfM
O para x díl - Y- e
sendo tN conhecida como função de interpolação local cor
respondente ao nó N, ou
30
(e) j? ~ H =
onde ~T = l*1' 1jJ 2 , ••• , ljJNe 1
HT -N =IH1, H2, • • • ' ~el
De (4-12a) e (4-12b) tem-se que o funcional (4-8)
pode ser expresso por
E (e) F(H)= E F(H)
e=l
Exprimindo F((H)) na forma matricial tem-se
(e) k o 3 H
(e) (e) ( e) 1 x' élx (Hl díle
F ( H ) = fe
L..!!_, .ª-.!L a <Hi díle - 2! Q
élx ély o k íle y' ély
Se
(e) éllji élljJNe .ª-.!L =
__ !, ... , ~
élx élx élx
(e) 1 éllji "a~ = élyl, ••• , élljJNe 1 ély
H -N
ª*1 élljJNe ax ~
B = ( 4-13)
ª*1 élljJNe ãy ~
1
(e) 3 H ax'
(e) 1 .ª--JL. = (B H )T ay :..""N
31
e se k x' o
k = k x'y' = xy k o y'
então
F ( (R) ) = f HT BT kxy B ~ díle - 2 f HT
~ Q díle -N -N íle íle
. ' = ~ f BT k B díle) H - 2~ f !!! Q díle ( 4-14)
íle xy -N - íle
Onde a matriz de fluxo do elemento e o vetor das vazoes pres
critas nos pontos nodais do elemento sao, respectivamente
ainda que
(e l BT díle ( 4-15) K = f k B íle xy
\ (e.)
1 Q(~!> '· • · ,Q(~el 1 T
.Q = !) ,jJ Q díle = -N íle -
Como oF(H) = O conduz à solução do problema, tem-se
oF(H) E (e)
= 8 l: F( H) = e=l
(e l
E (e) l: oF(H)=O
e=l
A contribuição de oF ( H ) a oF (H) sera dada por
(e l ôF( H)
(e) Ô i!N
=
(e l ôF ( H )
(e) ô Hl
(e) ôF ( H )
(e)
a HNe
(e) (e)
= 2 K ~ - 2 QN
(4-16)
32
De ( 4-16) chega-se a
oF (H) = K H - Q = o (4-17)
onde
HT = Hl' H2 ' ... 'HG 1
QT = Q(~l), ••• ,Q(~G>I
E (e) K = u K ( 4-18)
e=l
E (e) (4-19) º = u QN e=l
Por (4-18) e (4-19) se faz a montagem da matriz
global K e do vetor de termos independentes Q da forma usual
na análise matricial das estruturas.
Observe-se que os eixos x,y foram considerados
coincidentes com os eixos principais de permeabilidade do
elemento. Para trabalhar num sistema x,y fazendo um ángulo
e com x' ,y' (Fig. 4-3), precisa-se apenas em (4-14) utilizar
onde
R =
k xy -1
= R kx'y' R
cose - sen e
sen e cos e
(4-20)
33
y
y'
~---------------------~ X
Fig.4-3
34
4.3 FORMULAÇÃO PARA UM ELEMENTO TRIANGULAR DE 3 PONTOS
NODAIS
Procurando inicialmente estabelecer em coordena
das globais as funções locais de interpolação, ~N' para um
elemento triangular de 3 pontos nodais (Fig. 4-4a), adota~se:
a função da carga hidraulica no elemento (e) do tipo linear
(4-21)
Escrevendo a equaçao (4-21) em cada ponto nodal
do elemento
Hl 1 e e xl Y1
~N = H2 = A A = 1 e e (4-22) Cl , x2 Y2 -H3 1 e e
X3 Y3
exprimi:se:; o vetor das constantes, ct , em função das cargas
hidraulicas nestes pontos
ct = A-l ~
onde
ª11 ª12 ª13
-1 1 A = ã ª21 ª22 ª23 =
ª31 ª32 ª33
35
e;, e e e e e e e e e e e e x2 Y3 - X Y2 X3 Y1 - xl Y3 xl Y2 - x2 Y1 3 1 e e e e e e = 26 Y2 - Y3 Y3 - Y1 Y1 - Y2
e e e e e e X3 - x2 xl - X3 x2 - xl
sendo 6 a area do elemento.
Substituindo (4-23) em (4-21), tem~~~)
ª11 + ª21x + ª31Y T
Hl
(e) 1 3 H = ª12 + ª22x + ª32Y H2 = í: ij)N (~) ~ a N=l
ª13 + ª23X + ª33Y H3.
de onde conclu±:=-:Se;;que
i/!1 1
(all + ª21x + ª31Yl = a
i/!2 1
(ª12 + ª22x + ª32Yl = a
Estas funções são ainda equação das superflcies mostradas na
Fig. 4-4b. A matriz B (de ordem 2x3, no caso) e obtida pela
equação (4-13)
Observando que todos os termos dentro da inte-
gral na equaçao ( 4-15) independem de x e y, segue que
(e) BT k Jíle·díle = BT k B /', K = B xy xy
(4-24)
y
1 e
2 ..__ ____________ x
(a)
ij,l
2 2 3 X X X
(b)
Fig.4-4
o
2 3
//
w
"'
37
CAPÍTULO 5
APLICAÇÃO A CASOS COM SOLUÇÃO CONHECIDA
Neste capítulo o Método dos Elementos Finitos e
aplicado a casos estudados por outros-métqdos,verificando-se
assim sua precisão. O programa utilizado é uma adaptação do
FPM 500, desenvolvido por Taylor e Brown na Universidade da
California, Berkeley. O programa permi~e analisar fluxo esta.
cionário, bidimensional e axissimétrico, confinado e não con
·finado.No caso não confinado, o programa determina a posi
ção da superfície livre automaticamente, deslocando a super
fície inicialmente arbitrada até que satisfaça às condições
de interface água-ar. A adaptação inclui a introdução da
subrotina WELPT, para a análise de rebaixamento por pontei
ras, e da perfuração opcional de cartões em formatos compatí
veis com programas de elementos
-deformação de obras sujeitas a
finitos para análise tensão
percolação e com programas
para cálculo de estabilidade de taludes ou fundações por mé
todos de equilíbrio limite. A saída de cartões pode ser uti-
lizada ainda para plotar redes de elementos finitos e/ou
equipotenciais (utilizando, p.ex., o programa "Numerical
Surface" da IBM). Uma melhor descrição do programa, bem como
instruções para .sua utilização, é encontrada em apêndice.
38
5.1 DRENAGEM DA ESCAVAÇÃO
Escolheram-se escavaçoes com escoramento por corti
nas impermeáveis para as verificações de drenagem por bornbea.
rnento direto. O caso nao confinado foi estudado por Molnar
(1968) que pesquisou com 35 modelos elétricos (bidirnens io-
nais) a influência da espessura do aquífero e da penetração
da cortina (ficha) na vazao, forma da curva de rebaixamen
to e gradientes hidráulicos.
Procurando comparar os resultados do M.E.F. com
os obtidos por Molnar, foram realizados 4 testes, dois com
penetração nula da cortina e diferentes espessuras do aquífe
roe dois com diferentes penetrações e mesma espessura do
aquífero. As redes de elementos finitos de entrada constam
das Figs. 5-1 e 5-2 e duas das redes de saída (depois de es
tabelecida a posição da superfície livre) , das Figs .5-3 e 5-4.
Os resultados dos testes, superpostos com os de
Molnar, podem ser melhor apreciados em gráficos (Figs. 5-5 e
5-6) onde se-pode observar boa concordância dos mesmos.
Para o caso confinado,.o rnétodQ foi aplicado a
urna ensecadeira, com escavação parcial numa camada permeável
homogênea de espessura finita (Fig. 5-7a). A rede de elemen
tos finitos utilizada consta da Fig. 5-7b.
A limitação das fronteiras laterais que estariam
no infinito, tende a reduzir a vazão (ver p.ex., Massad e
Mori, 1970). Assim, o valor obtido para Q/kh, 9,3, é 5% me
nor que a média entre os limites 9,6 e 10,0 entre os quais
estaria compreendido o valor real, segundo King e
(1972).
Cockroft
A média dos gradientes nos 3 elementos que têm o
ponto nodal P (Fig. 5-7a) comum, 1,03, é bastante próxima do
valor fornecido em ábaco por McNamee (1949), cerca de 1,07
Contribuindo para esta pequena diferença para menos, está a
espessura da cortina de escoramento, desprezada pelos auto-
39
TESTE 1 83 Elementos, 105 pontos nodais
,. . '
2,0 15,0
TESTE 2 125 Elementos, 150 pontos nodais
. .• . ..
1
Fig.5-1
convençao <1 = pressao prescrita
,.
,.
, .
,-
,.
. ~
~
' .
.. ,_
,.
,. ~
4
1
4
-
6
,O
,O ..
,O
• o
40
. , TESTE 3 · 128 Elementos 156 pontos nodais
-
" , - 4 ,O
.
o,t .
' ' 2 ,O
.
•
. , TESTE 4 · 127 Elementos 156 pontos nodais
. ,. ~
4 ,O ,. ~
. , .
l,t ·- ·- . ·-,.
2 ,_ '.
,O
,
1 ,, 1-1 Tl 2,0 0,2 15,0
Fig.5-2
TESTE 2 -------------e::===~ -e::::== L-----~e:::::::::::~ 1-::.-
Fig.5-3
TESTE 3
----
Fig.5-4
h
t
43
-----1 -----
(a) Notação
1
1 . . 1
·1
O Molnar (1968)
N D TESTE N
0,6-,------------------------'--------~
Q/kh
0,3 1/h ce3,8
h/b =2 ,O
f =O
0,0 -1----,-----r-----r----.----~---~---~-....J o
Q/kh
2 4 6
0,6,-------------------~
1/h ,,3, 8
t/b =1,0 O, 3-
h/b '' _3
=2,0 -- r\ 4
0,0 ---t----------,----------~ 1
0,0 0,5 1,0
f/b
Fig.5-5
t/b
i 0,6 max
0,0
44
0,5
f/b
Fig.5-6
1,0 1/h ~3,8
t/b =1,0
h/b =2 ,O
45
h=5,0 -------------11 - -- --
1
2,0
• .,
2,0
1 1
1 2 o T l
0,2
p
. - ...
NT NA
• ( a)
•
(b)
Fig.5-7
2,0
9 8
NA
0,2
NT
2 , O
0,6
. • .. .
1 ..
l
128 elementos
156 pontos nodais
46
res acima citados.
5.2 POÇO DE REBAIXAMENTO ISOLADO
A Fig. 5-Ba mostra, à esquerda, um meio poroso
com um poço de rebaixamento de 0,30m de raio e alimentação a
6,00m e, à direita, sua representação em elementos finitos.
Como foi dito no item 3.2.2, poços isolados fo
ram objeto de estudo em modelos elétricos e hidráulicos, o
que permite conhecer uma faixa em que estaria o ponto de saí
da da superfície livre (Fig. 3-2). Aplicado o programa are
de da Fig. 5-Ba, obteve-se uma vazão de 9,5 x 10-4 m3 /s, bas
tante próxima (3%) da fornecida pela expressao (3-1)
9,2 x 10-4 m3 /s. A rede de elementos finitos de saída
(Fig. 5-Bb) tem o ponto nodal 7 a 1,69m, dentro, portanto,
da faixa mencionada acima.
5.3 ALIVIO DE PRESSÕES
O problema idealizado na Fig. 5-9 consiste numa
escavaçao longa em argi_la de permeabilidade muito baixa e
sobrejacente a uma camada de areia fina, a meia distância en
tre dois canais. Uma rápida verificação de estabilidade indi
ca que a escavaçao abaixo da profundidade 3,90m correria ris
co de levantamento do fundo.
Para estudar o efeito de duas linhas de poços de
alívio, de 50cm de diâmetro do filtro e espaçados de l,OOm,
nas pressões neutras na base da camada de argila, construiu-se
a rede de elementos finitos mostrada na Fig. 5-lOa. Devido â
simetria do problema, representou-se apenas a metade da esca
vação. A linha de poços foi assimilada a uma trincheira com
material de filtro, de permeabilidade l0-1cm/s. Todas as
fronteiras foram consideradas impermeáveis, com exceçao da-
47
.
-~ ' . . . .
3,00 k=l0- 4
. m/s 1.
o. ·5of-. . ·,
/ / / / /
' J"
(a)
-------/~---~
1 7
V ------1...----" ~
1
~ r--...
(b)
Fig. 5-8
42 Elementos, 56 Pontos Nodais
,_ . , . REDE DE
ENTRADA ,. ,_ ,.
11
NT
2,8 -8 k=lO cm/s
NA
o
""' (X)
3,0
1 O 11
3
li
=l,6t/m
11 li
Ysat
:1 4,0 i1
'I 11
li r
-+t-, 50 8,0 . 3
k=5·10- cm/s
28,5 4,5
Fig.5-9
49
quelas entre os pontos nodais 154 e 162 (com pressão hidrostã
tica de 11,0 a 3,0 t/m 2) e 45 e 54 (com pressão 1,0 t/m2 ). o
diagrama obtido para as pressoes na base da argila consta da
Fig. 5-lOb e a vazão fornecida pelo programa, 2,6 x 10- 5 m3/s
por metro transversal, concorda com a obtida por fórmulas (co
mo a que consta do U.S. Army, Corps of Engineers, 1952),
2,7 x 10-5 m3/s por poço. o estudo da penetração mais econômi
ca dos poços para se obter uma determinada segurança, pode
ser feito facilmente atribuindo-se sucessivamente aos elemen
tos na coluna dos poços o material 2.
45 54
i 8,0
,
136 Elementos
162 Pontos Nodais
* 00 o o o . ri ri
50
33,0
1 .
Material 1
Material 2
..
162
. . . . . . . . . . 154
-5 k =k =5•10 m/s x' y' -3 k =k =10 m/s x' y'
(a) Rede de elementos finitos
N 8
" .µ o o . M
(b) Diagrama de pressoes
Fig.5-10
51
CAPÍTULO 6
APLICAÇÃO A OBRAS
Pela aplicação do método a duas obras de rebaixa
mento das quais se dispõe de alguns dados e observações, pr2
cura-se verificar sua adequabilidade a análise de problemas
reais.
6.1 INTERCEPTOR OCEÂNICO - Rebaixamento do lençol d'água por
ponteiras filtrantes
Para a ligação do Interceptor Oceânico sob o de
pósito da Antártica na rua Gal. Severiano, executou-se esca
vação de 48,0m de comprimento, 3,90m de largu_ra e 8,60m de
profundidade, escorada por paredes de concreto armado molda
das no solo e estroncas metálicas (ver Figs. 6-1 e 6-2).
O subsolo local é constituído por camadas de
areia fina compacta de diferentes colorações até uma profun
didade média de 25,0m, onde começa o embasamento gnaissico
o nível d'água médio está na cota -4,0m (ver Figs. 6-3 e
6-4) .
O rebaixamento necessário no interior das pare -
des, da ordem de 6,0m, foi conseguido em dois estágios. O
primeiro estágio, com o coletor assente sobre a primeira li-
5 2
Fig . 6- 1 Vista da Escavação
1· 'í o "' ____::;,_
53
3 90 ' -~-
1 \ •0,00: NT
rõ- I!! estágio
1
PI.ANTA escalo 1: 250
e desligado>
E o o r:
MORRO DO
PASMAOO
E
8_ Q
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"' ll:: U)
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4,60
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-~ ~ 22
CORTE AA
escola 1:200
V ~
2 2 est
- 8,60 1 em
.ll
-11,00 __!l_
Fig.6-2
ágio • - 5.90 operação)
E o o o
E o o
l
. 1 ll:: U)
,t -~ 4,50 m . ... ii! o ~~ !li a:
<~ :, "' a:
N• 1
a: "'
-f • . ~.,
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AF~EIA
. AREIA Fl~lA
··,-· .: ·'•',.
·;
SR-1 SR-3 20,00rn
------··
2~/ao -------~--------,---,-~
AO/\ B/30 -1,4~--:----,--...,.--,.--,--..,-,----,- -+:--~ UHHM Nlrn I i;.:c':=-----,-_:_,..,.-~~--,- -..,----ANl'I A flNA' _ SHEI.BY -------,------::- "'"' M ESCURA z,uo- À MÉDIA_, M_ARRO SHELBY. AF~EIA FINA
16/30 3 4!1 ' ·
21/30
2"..!/30
-- '--~,.t:f..==--~-AREIA FINA A SI L TOflA' MAHfWM MÉDIA' rouco
22/30
29/30
2.5/3(ó
28/30
27/30
2B/30
26/JC
8/30
2'(/30 FINA 23/30
25/jQ
26,'~m
CLARA ..
AREIA E SE:IRANQUICAOA FINA 1
. ' . ,-:fr ' p,'/
' /-;T' /:::::.i.
,.
· · · FACOIDAL
/' .· #. ONAIB~SE A I .,/::·
.· :ur_J ' '/.· ·.-. ,·,, -~ ,,· ;;.{i-'/(.-- _; 1 _ (:.-
eÃo
Fig,6-3 • 1· r -!r r- , "' ,,.,,., .- '
,-,~ ~ . ·rr- :·
14/30
.15/30
18/30
22/ 30
7.0/30
i..'.2/ 30
24/ 30
23/ 30
21/ 30
24/ 30
25/ 30
' . ' ... .,_, ~:::\'-.:~- ,•' .... 400~ -·. · .· ~1\Et:.. · .·~---..,--~-
SHELBY
, ...
2 .1,00:...__ _ _:__ __ ~~-:c~:-. ·
A · MEDIA
ESCURA
-,-·--.
-:--------:--------,..---.. __ FINA A MÉDIA
AHEIA CIN',.'j\ ESCURA ARCHLOSA
... - 30,lOm ,, ,- ~.-
= ~
~~-----:--:--:--::~~;,2~0~,;0~0~m;~-;::I~====:;1::::==---SR- 2 ;,;~,.,, ~" ' 0,. ~ "'" --:-,----:- . .. .
---:----:----~-:----- J~~J ----,~·~··~E~i°A~.~·~'.":·~·~·--:-~··~·::·:·:~--:----:----:---:--~=:-:·.1J1~.~E,~}~B~J~~~~-·· .• · ... · l9/30 1,46 . . . A MARROM CLAR!L 'f
-,-:---:-,~--:-:-~:---e--:-'"~.· · 1 SHELBV A '-1E01
. AREIA ~INA •A ESCURA -,----:--:--· ..... L .. F .. _ · ··i.130 ~- · SHE~BY
~-:---. 5;--;i6
SR-4
. 2l/
POUCO AREIA FINA RA · CLA SILTOSA CINZA
Fig.6-4
. 23/30 '.
23/30
28/30
AREIA
26/30
. 215/30
. 3.1/23
23/17
.r"BRANQUIÇADA f lNA s:...> .
'A C!N~A
........... ~ ·.
. l! /30
l~/~O 19/30 . 20/ 30 · 20/30
20/30
21/:,0
23/ ~o• 22/30
. 23/,q
. 24/ 30
. 24/ · l8,4&m
'~ ..
·.u, : u:,
. -... __ ...: ·, ~-- .
. · ---- -----:
---------- ------ ----
56
nha de estroncas, permitiu a escavaçao até a cota -7,0m,quag
do então foi colocado o segundo estágio, com o coletor naco
ta média -5,90m. A este coletor estão ligadas 27 ponteiras
de 11/2" de diametro e 7,00m de comprimento com os 0,40m f!
nais perfurados. A bomba (autoescorvante) ligada a este se
gundo estágio tem 7,5 HP.
Medições na descarga do segundo estágio indica -
ram uma vazão média de 3 1/s. No interior da parede, a agua
atingia o topo do trecho filtrante das ponteiras (aprox.
-10,50m) o que foi revelado pela vazão intermitente da bomba
(as ponteiras admitiam ar).
A permeabilidade da areia foi estimada por fórm~
las. Estas fórmulas podem ser classificadas em dois grupos :
(a) correlações empíricas entre uma Única propriedade física
do solo e sua permeabilidade, e (b) relações teóricas ou qu~
se teóricas entre uma ou mais propriedades físicas e a per
meabilidade. Duncan et al. (1972) fazem uma extensa análise
destes métodos, da qual apenas um quadro resumo (6-1) é apr~
sentado. Utilizou-se as expressões de Hazen e de Sherman e
Banks uma vez que se dispunha de curvas granulométricas da
areia (Figs. 6-5 e 6-6). A equação de Hazen foi obtida de en
saios de permeabilidade em areias com diâmetros efetivos en
tre 0,1 e 3 mm e coeficiente de uniformidade (C) não maior . u que 5. A expressão de Sherman e Banks foi obtida de ensaios
em materiais uniformes com porosidades entre 35% e 45%. As
duas expressões se aplicam tanto a areias peneiradas como a
materiais de depósitos naturais (sedimentos aquíferos apenas).
A aplicação das referidas expressões à areia da
obra do Interceptor Oceânico (Quadro 6-2) mostra que os val2
res fornecidos pela segunda expressão são superiores. Acred!
ta-se que isto se deve à inadequabilidade da expressão de
Sherman e Banks a areias de compacidade elevada, como a do
caso, que deve apresentar porosidade inferior à faixa para
57
Equation Reference Defini t:J.on o f the T1;rm.s
Hazen 1 in Taylor DlO . 10 percent size, cm
k = 100 D2 . (1948) 10 k . cm/sec .
2 u.s. Army Corps of nso . 50 percent size, cm
k = 45 nso Engineers, Sherman and Banb· (1970) k - cm/sec
Kozeny, in Carman e . Kozeny_ constant, 0 0. 5 f~c
cn3 (1956) all crase secti~n shapes
k • s - surface area of solid
TS2 per unit bulk volume,
-1 cm
T . tortuosity, k ~ cm2
3 Kozeny-Carman in ko . pvre shape factor ~2. 5
k = n Carman (1956) T = tortuosity =l?l = -y-i. 2 2 2
k0
T s0
(1-n) 50 = specific surface, cm-1
cen3 Sullivan (1942) in e = p~re shape factor
k = Scheidegger (1960) e = particle orientatícn S2(1-n)2 fact::or '\t tortuosity o
Pirscm (1958) ~ = particle shape factor fo·r . n3 interna! r~ughne5s,~ 2.5
k • 2 2 t = p:ire shape factor, ""' l. to
tTt 5
50
(1-n) s 1.27
Taylor (1948) e . pare shape factor, 1/2
3 for circlea 1 1/3 for
k = ~D2 parallel places; e= void l+e s ratio; D = diameter of a
sphericaf grain which has sarne specific surface as an average soil grain
Kozeny-Carman ~. = particle shape factor,
~; n3 Table 3.
2 e - pore shape factor 2. 36 k = 2 0so (Ward, 1966)
36CT(l-n) T - tortuosity = 2.0 (Ward, 1966)
~2 n3 Kozeny-Carman d l
xi :::2 weight
i - xi ;
s m n fraction of k -
36CT(l-n)2 l: m
dpi total parti-i•l eles of dia-
meter, d pi
Kozeny-Carman in M . geometric mean grain size, ~2 3 M2 Ward (1966)
g cm. s n ••
k -o - geometric standard devia-
36CT(l-n/o foo g tion of the particle size g
g distribut.ion
Quadro 6-1 Equações de Permeabilidade
(apud Duncan et al., 1972)
- -
1
,1
11
1 1
1
1 1 11 1
10
58
Furo Prof. (m)
S-1 2,00-2,33
----- S-2
------ S-3
-· ·~ t ,-~~ ,, J
1 '
1\~ 'i 1 ~'. 1
l'
r 1
1
1 ' :' 1
' 1
1 111
' '
1 li 111 1
y 1
J. ' 11 ' 1 i\\' ~· " _ l I I I
·~ 1 • 1 :t r::±::: 1~ 1~
1 0,1
Diâmetro dos grãos em mm
Fig.6-5
-
1
2,00-2,38
2,00-2,45
1
1
1
1
1 1
,1 111
100%
0% 0,01
1 1
11 1 1 1 -
1
i 11 1 1,1 1
10
- 1~ 1
1
1
1
1
11 ,
r 111 1.
1
1
59
~ 1'
Furo Prof. (m)
S-3 4,00-4,45
S-3
S-4
6,00-6,45
2,00-2,40
1
1 \'
.~1.
K w 1 ·:
~r1J 1 'I 1
'~
.1 :~ 1 1 1 11
1 \ ' l 1 . i' ' 1
1 I 11
' 1
1
il
*-;íl 11. '
1\
1 1
\ tfkt ~ il
1 ~~ 1 '
0,1
Diâmetro dos graos em mm
Fig.6-6
li 1
1
1
1 i '
1
'
1:
1
1
1
1
1
1
1
100%
0% o ,iill
60
a qual a expressao foi estabelecida.
0 10 D60 0 so cu k=lOO D2 10 k=45 o; 0
SONO. Prof. (rrun) (rrun) (rrun) (cm/s) (cm/s)
Sl 2,00-2,33 0,18 0,27 0,26 1,5 0,032 0,030
S2 2,00-2,38 0,18 0,27 0,26 1,5 0,032 0,030
S3 2,00-2,45 0,14 0,27 0,23 1,9 0,020 0,024
S3 4,00-4,45 0,08 0,26 0,22 3,2 0,0064 0,022
S3 6,00-6,45 0,06 0,24 0,20 4,0 0,0036 0,018
S4 2,00-2,40 0,18 0,28 0,26 1,5 0,032 0,030
Quadro 6-2
Adotou-se assim para permeabilidade da areia o valor médio for
necido pela expressão de Hazen aplicada às amostras retiradas
na região sujeita a percolação, 5 x 10-3 cm/s.
Para a análise por elementos finitos, o fluxo foi
assimilado a bidimensional, com influência dada pela equaçao
( 3-3)
~~!'=': c h' /k = 3000 x 6,0 Is x 10-s "' 120,0m
A rede de entrada (Fig. 6-7) tem os pontos nodais 8 e 9 ( tre-
cho perfurado) com vazão prescrita que, de acordo com
ma, é aumentada até que um ponto da superfície livre
uma posição pré estabelecida (ponto nodal 10 atingir
o progr~
atinja
-10, 20m).
Para esta situação, a vazão retirada
0,00006 m3 /s que, multiplicada pelo·s
ce 2,9 1/s. A rede de fluxo de saída
pelas ponteiras era de
48,0m de escavação, forne
(Fig. 6-8) apresenta o ní
vel d'água atrás da parede na cota -7,20m. Uma verificação de~
te nível d'água no centro da obra, para onde é válida a presen
* 1
-8,5 o
) -10,59, 8' l-
-~
-17, O
-25,0
~
--
-4,00
l
/ ~ / ~ / ~
/ ~ / ~ / ~ ..
127 Elementos
144 Pontos Nodais
.
~ / ~ / ~
120, O
Fig.6-7
. °' f-'
62
'·
1 . 1 - - -- - 1
1
I / --- --- \~
~< , / / -- V ~' ' \ t / /
1 --
'
' \ '
, I / / y ~ , I / --
O,
t t I I / / 1)( t \ ' I 1~ / --- ---, ... -- ... --· t--.,
\
1/ 1
\ \ r- f - -- - 1
1, 1 ./ 1~
1
~L-' 1
e.'( 1, ' - - - 1º·3 1
0,2
\ \ ' ' --- - - 1/! ' ' r- ._.__ - - - ~! -
. .
Fig. 6-8
63
te análise, nao foi possível devido à utilização do local pa
ra passagem de caminhões e da escavadeira. Pode-se apenas ob
servar o nível d'água, a -6,60m, num furo a trado (Fig. 6-2),
feito para a instalação de ponteiras adicionais atrás da par~
de e próximas às cabeceiras da escavação onde a água encontra
va-se mais alta que no centro e surgia no fundo.
O diagrama de pressões neutras nas paredes de es
coramento, necessário a seu cálculo de estabilidade, e também
fornecido pelo programa e consta da Fig. 6-9.
-8,60
9,17t/m
l 1
9, 38t/m
Fig.6-9
64
6.2 HOTEL MERIDIEN-COPACABANA - Rebaixamento do lençol d'água
por poços profundos
A construção de três pavimentos de subsolo e fun
dação em radier para o Hotel Meridien-Copacabana, exigiu esca
vaçao de 12,70m de profundidade (Fig. 6-10).
O subsolo local é constituído por uma camada su
perficial de aterro até a cota -1,00m { 0,00 no topo do meio
fio da Rua Gustavo Sampaio) e de areia fina, cinza clara, me
dianamente compacta a compacta até a cota -3,00m, onde se en
contra o lençol d'água freático, passando a muito compacta.
Abaixo da cota -17,00m, a areia apresenta cor cinza e fragme~
tos de mariscos. Embora as sondagens dentro do terreno do ho
tel tenham parado a -20,0m, as realizadas em terrenos próxi
mos indicam que a camada de areia atinge cerca de 30,0m de
profundidade.
Como a escavaçao iria abranger toda a área do ter
reno, adotou-se o escoramento por paredes de concreto armado
moldadas no solo e tirantes pretendidos, solução esta sugeri
da ainda pela proximidade de um prédio vizinho {av. Atlântica
1010), com fundações assentes na cota -6,00m {ver Fig. 6-11).
O sistema de rebaixamento do lençol d'água adotado foi de po
ços profundos com bombas submersas internos à escavação, devi
do à grande altura a ser rebaixada (cerca de 10,0m). 10 poços
foram dispostos no perimetro da escavação e 2 próximos ao cen
tro (ver locação dos poços na Fig. 6-11).
A execução dos poços constou das seguintes etapas
(ver Fig. 6-12):
- escavação de 60cm de diâmetro por trado mecânico auxiliado
por bentonita até cerca de 16,0m de profundidade
- instalação de um tubo de diâmetro 60cm no terreno até a co
ta -19,SOm (escavando o restante por piteira no interior do
tubo)
65
··:j ~~:\ . .. ,.~::-:;iú~: .:,i t
o ,-f
1 \D
CONVENÇÃO
+ +
Poço Prof.
l?iezometro
PLANTA escala 1:250
Fig.6-11 \
:,,, <: . '11 ~ H z íl tTJ (/J :,,, H (/J :,,, tJj tTJ t<
R. GUSTAVO SAMPAIO 2+-3+ 4+-
2+ 39,74 o
/ 3+ (X)
VI
+1 ' 4+ :,,, <: . w
"' :,,, rt ,o >-' (X) 01 ::, rt "' /~· "'
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>-' o
00
>-' -39,40
(X)
o
::::::::====================::::::E========::::::J 8 10+ 9+
AV. ATLANTICA
67
alimentação e
controle da bomba
b
K
. . . . . .
. .
brita nQl .
.
tubo f3 0,30
.
. . .
eletrodo
-14,00
eletrodo
-16,50 . . . .
omba submersa
SB-BPD 262/2 .
1
1 ' ' 1
' 1
1
1 1 1 1 1
1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 il
1 1 ~ 1: 1 ~I 1 :i;.L , ..... . 1~ it]
.T. y "
NT= -0,50 . . . . .
. . . . ' •
. poço f3 0,60
, . • .
.
. . 1
. . . Fig.6-12
. 8,00
.
.
. i
.
0,50 :..19, 5 o . sz
68
- retirada da bentonita por lavagem do interior do tubo
- colocação do tubo parede do poço, de diâmetro 30cm, ficando
cerca de 50cm levantado do fundo do furo
- enchimento lateral com brita n9 1 ã medida que se levantava
o tubo externo
- instalação da bomba submersa, tipo KSB
(30 a 3~ m3 /h), no interior do poço
modelo BPD 262/2
- colocação de eletrodos para controle do nível d'água no in
terior do poço, nas cotas -14,00m (liga a bomba) e -16,50m
(desliga a bomba).
Para um melhor acompanhamento do comportamento do
lençol d'água sob bombeamento, foram instalados 11 piezome
tros tipo Casagrande, diâmetro de l" e base na cota -19,50m,
entre 25/4 e 10/5/73 (ver locação dos piezometros na Fig. 6-11).
Durante a operação da instalação de rebaixamento, observou-se
que as bombas trabalharam com sua capacidade plena e sem in
terrupção. Leituras efetuadas nos piezometros no período de
1/6 a 15/7/73 indicaram uma constante oscilação em seus ní
veis, dentro de uma gama de -10,0m a -12,0m, motivada princi
palmente pelas marés. O nível d'água no interior da escavação
foi encontrado, em alguns pontos (a meia distância entre po
ços), em torno da cota -12,0m. Como a escavaçao deveria atin
gir -12,70m, um estágio de ponteiras filtrantes foi aí insta
lado, a partir de 15/7/73, permitindo o prosseguimento dos
trabalhos. A presente análise está restrita à fase da obra em
que apenas trabalharam os poços profundos.
Devido ao programa utilizado tratar apenas casos
bidimensionais ou axissimétricos, assimilou-se o problema a
segunda opção, o que permite somente uma análise aproximada
Foram utilizadas três redes de ·elementos finitos (Fig. 6-13),
com fronteira lateral (raio de influência) a 102,0, 155,0 e
-3,00 -1
0,30 19,50 0,60 ._.._
-13,0 ~
- 5,70 D _,,,,-
"--,/'
'-----1
/
"" "" 1
"" "" Rl =
R2 = R3 =
REDE 1
REDE 2
REDE 3
102,00 m
155,00 m
245,00 m
Fig.6-13
343 Pontos Nodais, 309 Elementos
357 Pontos Nodais, 321 Elementos
399 Pontos Nodais, 357 Elementos
~
~
~ / ~ -30,00
-
"' "'
245,0m. Como o nível d'água médio no interior dos poços nao
deveria estar muito abaixo da cota onde foi encontrado na
escavaçao, adotou-se este nível a -13,0m:
Aplicando o programa às três redes, observou-se
pequena diferença na forma da superfície livre nos três ca
sos que, no fnterior da escavação subiu a -12,60m e no exte
rior desceu a -10,00m (Fig. 6-14). A rede de fluxo (a posi
ção das equipotencias apenas) apresenta, naturalmente, dife
rença nos três casos, sendo que esta diferença é decrescente
com o aumento do raio de influência. As pressões neutras me
dias fornecidas pelo programa para o raio de influência a
155,0 e 245,0m nos pontos nodais 158 e 189 ( correspondentes
aos piezometros interno··, e externos, respectivamente) são 7 ,9
:_.~; e 8,5 t/m 2• Assim, pi~;ometros colocados nestes pontos te
riam seus níveis a -11,6 e 11,0m, dentro, portanto, da gama
observada na obra. _2
Para a permeabilidade de 2 x 10 cm/s, estimada
para a areia na região do fluxo com base na observação dor~
baixamente para o Interceptor Oceànico de Copacabana, obser
va-se que o raio de influência proposto por Sichardt (1928)
R = c.h'.. . /k = 3000 x 9 ,0/2 x 10- 4 " 380 ,Om .,
nao deve ter ocorrido devido a proximidade do mar (cerca de
250, Om) e à ação das marés. Plotando-se o gráfico vazão-raio
de influência (Fig. 6-15) pode-se observar o mesmo, lembran
do que a vazão retirada pelas bombas era de aproximadamente
O,lm 3 /s.
1
/ _.....
\ / X
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I ,
0,1 0,2 0,3
Fig.6-14
72
0,2
Q O, 1
(m 3 /s)
o 100 200 300
R (m)
.. Fig.6-15
73
CAPITULO 7
CONCLUSÕES
Os resultados obtidos nos capítulos 5 e 6 permi
tem concluir que o Método dos Elementos Finitos e perfeitame~
te adequado à análise do controle da água em escavações, po
dendo tratar sem dificuldade casos com condições de fronteira
complexas.
Os elementos utilizados nas aplicações (triangu -
lar de três pontos nodais ou quadrangular formado por quatro
destes triangulares) fornecem resultados bastante precisos se
forem adotadas redes mais finas nas regiões onde há grande va
riação dos gradientes hidráulicos.
As aplicações as obras no capítulo 6 mostram a
vantagem de se dispor de um programa tridimensional. Este pr2
grama .poderia utilizar um elemento isoparamétrico, matematic~
mente mais refinado, que permite a discretização do meio por2
so com um menor número de elementos.
Para se utilizar toda a potencialidade do método,
e necessária uma avaliação precisa da permeabilidade e de sua
distribuição no meio. Assim, impõe-se estudos mais apurados
74
da permeabilidade através da realização de programas de en
saios cuidadosamente elaborados face as características do
terreno, submetendo-se, quando conveniente, os resultados a
tratamento estatístico.
Recomenda-se ainda a instrumentação de escava
çoes para observação dos resultados do controle da água, a
fim de que se possa avaliar a confiabilidade nos parametros
e no método de análise adotados, única maneira de se aprimo
rar uma técnica.
Como em qualquer método aproximado, os resulta -
dos do M.E.F. precisam ser cuidadosamente interpretados, cog
siderando as hipóteses matemáticas feitas e as dificuldades
numéricas inerentes à resolução por computador.
O Método dos Elementos Finitos nao substitui o
trabalho de julgamento do engenheiro no tratamento de um pro
blema, constituindo, porém, uma ferramenta auxiliar valiosa
na quantificação dos fenomenos envolvidos.
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NOTAÇÃO
b
c
E
f
G
h
h'
H
87
- semi largura da escavaçao
- constante
- numero de elementos finitos da rede
- ficha
- número de pontos nodais globais
- altura; altura da agua
- altura rebaixada
- altura da agua num poço
- altura do ponto de saída da superfície livre
- carga de posição
- carga piezometrica
- carga hidráulica (total); altura da água num
aquífero freático antes do rebaixamento.
i
k
k X
k V
1
n
Ne
p
Q
r
k , k y z
r,h
r w
R
V
88
- gradiente hidráulico
- coeficiente de permeabilidade (de Darcy)
- coeficientes principais de permeabilidade
- coeficientes de permeabilidade segundo x,y,z
- coeficiente de permeabilidade na direção ho
rizontal
- coeficiente de permeabilidade na direção ver
tical
- distância da alimentação
- número de poços num sistema de poços múltiplos
- número de pontos nodais locais
- pressao no fluído (água)
- vazao
- raio
- sistema de coordenadas cilíndricas
- raio do poço
- raio de influência
- velocidade de percolação aparente (de Darcy)
x, y, z
x', y•, z'
u
n
y
89
- sistema de coordenadas cartesianas (utiliza
do na definição da rede de elementos finitos)
- sistema de coordenadas cartesianas segundo
as direções principais de permeabilidade
- união
- interseção
- peso específico do fluído (água)
- delta de Kronecker
- área do elemento triangular
90
APfNDICE
MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA FPM 500/ESCAV
Podendo utilizar os sistemas IBM/360 e 370, o
programa FPMSOO/ESCAV encontra-se gravado em disco no Nú
cleo de Computação Eletrônica da Universidade Federai do
Rio de Janeiro, sendo necessária para sua utilização uma au
torização da COPPE-UFRJ, Programa de Engenharia Civil. Sua
finalidade é a análise de fluxos bidimensionais ou axissimé
tricos, estacionários, obedecendo a lei de Darcy. Na análise
de fluxo não confinado, o programa apresenta a facilidade
de determinar a posição da superfície livre por
iterativo.
processo
O programa consiste em um programa principal
(MAIN) e nove subrotinas ( MESHIN, WRMESH, FORM, WELPT,
QDFLOW, TRIFL, MODIFY, SYMBC, ELFLOW) e utiliza tanto o ele
mente triangular de tres pontos nodais (Fig. A-la) como o
quadrangular formado por tres destes triangulares que so
fre.]) condensação estática do nó interno (Fig. A-lb).
91
K = L
I J
{a)
Fig.A-!
L
/
I
(b)
K
/ /
J
Na análise de rebaixamento do lençol d'água por
ponteiras filtrantes, prescreve-se vazão (inferior à espera
da) nos pontos nodais correspondentes ao trecho perfurado
das ponteiras e fornece-se ainda (cartão h) um incremento p~
ra esta vazão, bem como um ponto nodal de cheque e sua orde
nada de cheque.
exemplo
Ponto Nodal de Cheque
4-folga4
ordenada de cheque
Sup livre .
------ -~
/ -~escavaçao prevista /
// ,
,/
/O
/o
Fig.A-2
92
o programa faz, através da subrotina WELPT, sucessivos in
crementas na vazão inicialmente prescrita até que o ponto
nodal de cheque atinja sua ordenada. No rebaixamento por P2 ços profundos, prescreve-se pressão (hisdrostática) nos pon
tos nodais do poço a partir de um nível d'água escolhido
nível este que será mantido pela bomba submersa.
Para a entrada dos dados, faz-se inicialmente
uma representação em elementos finitos do domínio do fluxo.
Elementos e pontos nodais devem então ser numerados, de bai
xo para cima e da esquerda para a direita, em duas sequen-' cias, ambas começando por 1. O seguinte conjunto de cartões
define numericamente a análise a ser feita:
a) CARTÃO DE IDENTIFICAÇÃO (12A6)
Coluna
1 a 12
13 a 72
(, :~ --- ci?.!; -....___...- - __ .,~ ---FPM500 /E S CA V
Título do Problema (será impresso junto com
os resultados)
b} CARTÃO DE CONTROLE (6I5, I3, I2, FS.3, 3Fl0.3, IS, FS.3)
1 a 5
6 a 10
11 a 15
16 a 20
21 a 25
26 a 30
Número de pontos nodais
Número de elementos
Número de materiais diferentes
Número de pontos nodais deslocáveis (na su
perfície livre)
Tipo de problema I O = fluxo axissimétrico
1 = fluxo bidimensional
Número de cartões de vazão prescrita na fron
teira (cartões f)
93
33 Subrotina Welpt nao será utilizada
sera utilizada
o = nao perfu-
ra
1 = perfura os
potenciais
nos pontos
35 Tipo de perfuração de cartões nodais
36 a 40
41 a 50
51 a 60
61 a 70
71 a 75
76 a 80
(formato 2Fl0.7) 2 = perfura as
pressoes
nos pontos
nodais
Peso específico do fluído
Cota de referência do potencial
Carga hidráulica disponível nesta cota
Fator de correção da superfície livre (adotar
entre 0.5 e 1.0)
Número máximo de iterações para determinação
da superfície livre
Erro tolerável
c) CARTÕES DE IDENTIFICAÇÃO DOS MATERIAIS (IS, 2Fl0.0). Um
cartão para cada material.
1 a 5
6 a 15
16 a 25
Número do material
Permeabilidade principal 1
Permeabilidade principal 2
94
d) CARTÕES DE PONTOS NODAIS (2I5, 3Fl0.0). Um cartão para ca
da ponto nodal.
1 a 5
9 a 10
11 a 20
21 a 30
31 a 40
Ponto nodal
Codigo
1 = nó com pressao prescrita
O= não há pressao nem vazao prescrita no no
-1= nó com vazão prescrita
Ordenada x (ou r)
Ordenada y (ou h)
valor da pressao ou da vazao prescrita, se for
o caso
Os cartões devem estar em sequência númérica. Se
cartões sao omitidos, estes pontos nodais são gerados em in
tervalos iguais numa linha reta entre os pontos nodais forne
cidos em cartão. o código é tomado como zero. Uma perfuração
auxiliar (1, por ex.) na coluna 7 faz com que o código do caE_
tão seja reproduzido nos pontos nodais gerados em seguida e o
valor da pressão ou vazão prescrita é distribuido linearmente
entre a deste cartão e a do próximo fornecido.
e) CARTÕES DE ELEMENTOS (6I5, FlO.O). Um cartão para cada ele
mento.
1 a 5
6 a 10
11 a 15
16 a 20
21 a 25
26 a 30
31 a 40
Elemento
NÓ I
NÓ J
NÓ K
NÓ L
Número do material que constitui o elemento
Ângulo em graus entre a direção principal de
permeabilidade 1 e o eixo x (ou r).
95
Os cartões devem estar em sequência numérica. Se
cartões sao omitidos, o programa gera estes elementos aumen -
tando de 1 os números dos nós do último elemento fornecido e
mantendo o número do material e o ângulo da direção principal
de permeabilidade. O Último elemento deve sempre ser forneci
do. A sequência dos nós (I, J, K, L) é antihorária. Se o ele
mento for triangular, fazer K=L.
f) CARTÕES DE VAZÃO PRESCRITA NA FRONTEIRA (2IS, FlO.O). um
cartão para cada lado do elemento onde a vazão é prescrita.
1 a 5 NÓ I
6 a 10 NÓ J
11 a fíõ,) Velocidade de percolação (aparente) ao longo
de IJ
fuma opçao a prescrever diretamente
pontos nodais I e J.
vazao nos
g) DESCRIÇÃO DA SUPERF!CIE LIVRE (IS, FlO.O). Um cartão para
cada ponto nodal cuja posição na superfície livre é desco-, .
nhecida.
1 a 5
6 a 15
Ponto nodal
Ângulo em graus entre a direção de correçao e
o eixo x (ou r)
Após cada iteração no processo de correçao da su
perfície livre, os pontos nodais gerados pelo programa (pon -
tos nodais situados entre o Último ponto nodal fornecido em
cartão e o da superfície livre) sofrem deslocamento também
96
(ver Fig. A-3). Assim, os pontos nodais
diferentes camadas devem ser fornecidos
superfície livre fornecida
1 5
•
2
"~
4
3
Fig,A-3
....-· _,,, __ -- - -- ~ --..~ --nas \!r?~i~:r:,as_:::el};l::te e não gerados.
superfície livre após a 19" iteração
Ainda, se a superfície livre estiver sujeita a um deslocamen
to grande, os pontos nodais próximos deverão ser gerados pois
poderão criar dificuldades. Por exemplo na Fig. A-3, se o
ponto nodal 23 tivesse sido fornecido em cartão, com o deslo
camento do 24, o elemento 15 teria área negativa, interrompe~
do assim a resolução do programa.
h) DADOS PARA A SUBROTINA WELPT (IS, FlO.O, IS, Fl5.0).
1 a 5 Ponto nodal de cheque
6 a 15 Ordenada de cheque
16 a 20 Número máximo de incrementes
21 a 35 Incremento nas vazões prescritas
97
INFORMAÇÕES IMPRESSAS
1) Todos os dados fornecidos e os gerados automaticamente
2) Cada iteração na correção da superfície iivre~ (se o probl~
ma for não confinado)
3) Pressões e potenciais nos pontos nodais
4) Velocidade de percolação (aparente) no centro de cada ele
mento e sua direção em relação ao eixo x.
5) o resultado de cada incremento nas vazoes prescritas ( se
for o caso de uso da subrotina WELPT)
OBSERVAÇÃO
O programa pode resolver vários problemas seguidos
todos começando com o cartão de identificação (a). Após os da
dos do Último problema deve ser colocado um cartão com STOP
nas colunas 1 a 4.