ANALISE DE UM SISTEMA PIEZOELETRICO DE COLHEITA ENERGETICA

DE VIBRACOES DE ESTRUTURAS AERONAUTICAS GERADAS POR

RAJADAS DE VENTO

Henrique Perinni Kiepper

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Marcelo Amorim Savi

Rio de Janeiro

Setembro de 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecanica

DEM/POLI/UFRJ

ANALISE DE UM SISTEMA PIEZOELETRICO DE COLHEITA ENERGETICA

DE VIBRACOES DE ESTRUTURAS AERONAUTICAS GERADAS POR

RAJADAS DE VENTO

Henrique Perinni Kiepper

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECANICO.

Aprovada por:

Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.

Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.

Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

SETEMBRO DE 2018

Kiepper, Henrique Perinni

Analise de um Sistema Piezoeletrico de Colheita

Energetica de Vibracoes de Estruturas Aeronauticas

Geradas por Rajadas de Vento/ Henrique Perinni Kiepper.

– Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica, 2018.

XIII, 81 p.: il.; 29, 7cm.

Orientador: Marcelo Amorim Savi

Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Mecanica, 2018.

Referencias Bibliograficas: p. 80 – 81.

1. Piezoeletricidade. 2. Colheita de Energia. 3.

Sistemas de Colheita Energetica. 4. Turbulencia. 5.

Rajadas de Vento. 6. Gusts. 7. Vibracoes. 8.

Parametros Distribuıdos. I. Amorim Savi, Marcelo. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso

de Engenharia Mecanica. III. Analise de um Sistema

Piezoeletrico de Colheita Energetica de Vibracoes de

Estruturas Aeronauticas Geradas por Rajadas de Vento.

iii

A minha famılia que, apesar da

distancia, sempre estive ao meu

lado.

A minha namorada, Maria Stela,

e aos meus amigos, por todo o su-

porte.

iv

Agradecimentos

Agradeco a minha famılia, aos meus amigos e a minha namorada, Maria Stela, por

todo o apoio e suporte.

v

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico

ANALISE DE UM SISTEMA PIEZOELETRICO DE COLHEITA ENERGETICA

DE VIBRACOES DE ESTRUTURAS AERONAUTICAS GERADAS POR

RAJADAS DE VENTO

Henrique Perinni Kiepper

Setembro/2018

Orientador: Marcelo Amorim Savi

Programa: Engenharia Mecanica

As mudancas climaticas e o crescente aumento da demanda energetica dos equi-

pamentos modernos levam a busca por novas e limpas fontes de energia. Dentre

estas, a piezoeletricidade vem ganhando bastante destaque, especialmente para a

industria aeroespacial, tendo em vista que pode ser utilizada para aumentar a au-

tonomia de aeronaves nao tripuladas atraves da colheita de energia proveniente do

vento, alem de auxiliar na prevencao de efeitos potencialmente destrutivos, como fa-

lhas por fadiga e flutter. O foco deste estudo consiste na modelagem e analise de um

sistema de colheita piezoeletrico para captacao da energia proveniente de vibracoes

em componentes aerodinamicos flexıveis, excitados por rajadas de vento discretas.

A estrutura bi-morfa do sistema e baseada num modelo a parametros distribuıdos

para uma viga Euler-Bernoulli. O carregamento aerodinamico e derivado da teoria

de estados finitos de Peters et. al (1995), enquanto as equacoes eletrodinamicas sao

obtidas a partir da forma integral da lei de Gauss e das equacoes constitutivas dos

materiais piezoeletricos. O sistema de equacoes diferencias e solucionado atraves

do metodo Runge-Kutta de quarta ordem, possibilitando a caracterizacao do sis-

tema de colheita para uma aeronaves leves e a identificacao das cargas resistivas que

maximizam a colheita energetica em funcao do gradiente de turbulencia.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

ANALYSIS OF A PIEZOELECTRIC ENERGY HARVEST SYSTEM FROM

AERONAUTIC STRUCTURES VIBRATIONS GENERATED BY GUSTS

Henrique Perinni Kiepper

September/2018

Advisor: Marcelo Amorim Savi

Department: Mechanical Engineering

The climate changes and the growing energetic demand from modern devices,

lead us to search new and clean energy sources. Among all of them, the piezoelec-

tricity has gained prominence, especially for the aerospace industry, which has the

opportunity to improve the autonomy of unmanned aerial vehicles by harvesting

energy from the wind and to help preventing from potential destructive effects, such

as fatigue failure and flutter. This study is focused on modeling and analyzing a

piezoelectric energy harvesting system for harvesting vibration energy from flexible

aerodynamic components excited by discrete gust loads. The bimorph structure is

based on a distribute parameter model of an Euler-Bernoully beam. The finite-state

theory of Peters et. al. (1995) is used to derive the unsteady aerodynamic loads,

while the equations of the electrical circuits are obtained from the integral form

of Gauss’ law and from the constitutive equations of piezoelectric materials. The

system of differential equations is numerically solved using Runge-Kutta forth order

method, allowing to characterize the energy harvesting system for light aircraft and

to identify the resistive loads for maximizing the energy harverst as a function of

turbulence gradient.

vii

Sumario

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xiii

1 Introducao 1

2 Piezoeletricidade 4

2.1 Equacoes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Coletores de Energia Piezoeletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Equacoes Reduzidas para Vigas Finas Operando no modo 31 . 8

3 Estruturas e Componentes Aerodinamicos 10

3.1 Asas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Longarinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 Nervuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.3 Revestimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Cargas Aerodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Aerodinamica Nao-estacionaria 19

4.1 Modelo de Theodorsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Modelo de Estados-Finitos de Peters et al. (1995) . . . . . . . . . . . 23

4.3 Rajadas de Vento e Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.1 Intensidade e Distribuicao de Rajadas . . . . . . . . . . . . . 30

5 Modelagem Matematica 34

5.1 Fundamentos e Premissas do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Vibracao Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

viii

5.2.1 Frequencias e Modos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Vibracao Torcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Frequencias e Modos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5 Normalizacao de Autofuncoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5.1 Vibracao Transversal - Normalizacao com Relacao a Massa . . 48

5.5.2 Vibracao Torsional - Normalizacao com Relacao ao Momento

Polar de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.6 Equacoes Mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.7 Acoplamento Eletromecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.8 Equacoes Eletromecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Simulacoes Numericas 61

6.1 Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Condicoes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3 Resultados para Rajadas de Vento Discretas . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Conclusao 78

Referencias Bibliograficas 80

ix

Lista de Figuras

2.1 Material piezoeletrico operado nos modos (a) 33 e (b) 31 . . . . . . . 7

2.2 Configuracao bi-morfa com circuitos conectados (a) em serie e (b) em

paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Componentes de uma aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Formatos tıpicos de asas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Asas dos tipos cantilever, semi-cantilever e externamente apoiadas. . 12

3.4 Componentes estruturais das asas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Asa mono-longarina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6 Secoes transversais tipicamente usadas em longarinas metalicas. . . . 14

3.7 Longarinas de secao transversal I e H com reforcadores. . . . . . . . . 15

3.8 Diferentes tipos de nervuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.9 Projeto stressed-skin, onde revestimento suporta parte dos esforcos

aplicados a asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.10 (a) Distribuicao de pressao no contorno do aerofolio e (b) Sustentacao,

arraste e momento resultante atuando no centro aerodinamico AC . . 17

3.11 Distribuicao da forca de sustentacao ao longo da asa. . . . . . . . . . 18

4.1 Esquema ilustrando a geometria de um aerofolio simetrico . . . . . . 20

4.2 Diagrama das partes real e imaginaria de C(k) por 1/k . . . . . . . . 21

4.3 Diagrama do corpo livre para um aerofolio . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Perfil de rajada 1 - cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5 Perfil de rajada ”1-Cosseno”em funcao da distancia gradiente H para

uma aeronave com caracterısticas similares a Embraer Phenom 100 . 33

x

5.1 (a)Asa mono-longarina, (b) circuito eletrico acoplado em serie e (c)

circuito eletrico conectado acoplado em paralelo . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Diagrama do corpo livre para viga em flexao com carregamento dis-

tribuıdo ao longo comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Vibracao torcional de um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Autofuncao (funcao de forma) φ(x) para os 5 primeiros modos de flexao. 49

5.5 Autofuncao (funcao de forma) ψ(x) para os 5 primeiros modos de

torcao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.6 Circuito equivalente a um elemento piezoeletrico alimentando uma

carga resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.7 Circuitos equivalentes para as configuracoes (a) em paralelo e (b) em

serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1 Secao transversal do modelo de asa utilizado nas simulacoes . . . . . 63

6.2 Deflexao transversal da asa em t=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) veloci-

dade transversal e (d) velocidade angular da ponta da asa conside-

rando um circuito conectado em serie com R = 10kΩ para diversos

valores de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em serie

com R = 10kΩ para diversos valores de H . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.5 (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) veloci-

dade transversal e (d) velocidade angular da ponta da asa conside-

rando um circuito conectado em paralelo com R = 1000Ω para diver-

sos valores de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.6 (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em

paralelo com R = 10kΩ para diversos valores de H . . . . . . . . . . 71

6.7 Comparacao entre os circuitos conectados em serie e em paralelo dos

valores absolutos maximos obtidos para (a) o deslocamento transver-

sal, (b) o deslocamento angular, (c) a velocidade transversal e (d) a

velocidade angular da ponta da asa, considerando R = 10kΩ . . . . . 72

6.8 Total de energia coletada atraves do circuito eletrico acoplado ao

sistema para R = 10kΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

xi

6.9 Valores absolutos maximos atingidos para os deslocamentos (a) trans-

versal e (b) angular da ponta da asa, (c) tensao eletrica e (d) corrente

eletrica em funcao da resistencia equivalente do circuito (H = 35ft

(10, 67m)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.10 Total de energia coletada pelo sistema em funcao da resistencia

eletrica equivalente (H = 35ft (10, 67m)) . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.11 Energia coletada em funcao da resistencia eletrica para diversos gra-

dientes de rajadas discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.12 Maxima energia possıvel de ser coletada pelo sistema em funcao do

gradiente de rajada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.13 Resistencia eletrica equivalente do circuito eletrico necessaria para

maximizar a coleta de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

xii

Lista de Tabelas

4.1 Propriedades do Embraer Phenom 100 (Aeronave da categoria VLJ) . 31

4.2 Velocidade de referencia e fator de alıvio . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1 Autovalores (parametros de frequencia) para uma viga Euler-

Bernoulli homogenea na condicao engaste-livre . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Termo de acoplamento eletromecanico modal e capacitancia equiva-

lente do sistema de colheita de energia piezoeletrico conectado em

serie e em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1 Dimensoes da asa e dos componentes estruturais . . . . . . . . . . . . 64

6.2 Parametros de voo e turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Propriedades fısicas dos componentes estruturais . . . . . . . . . . . . 65

6.4 Frequencias naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

xiii

Capıtulo 1

Introducao

Fomentados pelas mudancas climaticas causadas pela queima de combustıveis fosseis

e pelo aumento da demanda energetica dos equipamentos atuais, os esforcos para

obtencao de novas fontes de energia alternativa tem crescido nas ultimas decadas.

Uma das formas que tem ganhado bastante relevancia na comunidade academica

consiste no uso de materiais piezoeletricos para coletar energia proveniente de vi-

bracoes mecanicas e diretamente converte-la em eletricidade. Este tipo de tecnolo-

gia e especialmente atrativa em situacoes remotas onde ha a necessidade de suprir

dispositivos moveis de baixo consumo ou de recarregar dispositivos de armazena-

mento, como baterias e capacitores. Dentre as diversas areas de aplicacao, o uso

de ceramicas piezoeletricas na industria aeroespacial tem sido cada vez mais abor-

dado, dada a exposicao direta a vibracoes causadas pela incidencia de vento sobre

superfıcies aerodinamicas e a praticidade de aplicacao junto a componentes flexıveis,

como asas. O objetivo deste trabalho consiste na modelagem de um sistema de co-

lheita de energia de vibracoes induzidas por rajadas de vento discretas que incidem

sobre componentes aerodinamicos utilizando ceramicas piezoeletricas. O potencial

de colheita energetica e a resposta dinamica do sistema sao avaliados atraves de

simulacoes numericas, permitindo a caracterizacao e a identificacao de condicoes

otimas de aplicacao do sistema.

A piezoeletricidade consiste na propriedade que alguns materiais possuem de ge-

rar eletricidade quando expostos a um carregamento mecanico e vice-versa, podendo

ser utilizada tanto em sensores quanto em atuadores. Esta propriedade foi desco-

berta no final de seculo XIX pelos irmao Curie e, a partir de entao, diversos esforcos

1

vem sendo aplicados a fim de melhor explora-la. Atualmente, a piezoeletricidade ja e

utilizada em diversos equipamentos modernos, tais como balancas de precisao e sen-

sores de pressao em geral, microfones, alto-falantes, guitarras-eletricas e outros. Com

a crescente demanda por novas fontes de energia e o aumento da demanda energetica

dos equipamentos, os esforcos atuais estao concentrados na capacidade de colheita

de energia a partir de fontes de vibracao diversas, dentre as quais destacam-se o

vento incidente sobre superfıcies aerodinamicas e construcoes, o trafego de veıculos

e pessoas em ambientes de alta concentracao, como em pontes, aeroportos e ro-

doviarias, e o movimento humano. Alem disso, os efeitos negativos causados por

vibracoes podem ser amenizados com o uso de dispositivos piezoeletricos, auxili-

ando, por exemplo, na prevencao de falhas por fadiga em componentes estruturais.

Um dos ramos em que mais se discute a aplicacao de dispositivos piezoeletricos

para fins de colheita de energia e reducao de vibracoes e na industria aeroespacial.

O progresso na fabricacao e a crescente popularizacao das aeronaves nao tripuladas,

tanto em aplicacoes militares, quanto em civis, fomentam os esforcos para aumentar

a autonomia destas, incentivando pesquisas relacionadas a sistemas capazes de cole-

tar o maximo de energia disponıvel a partir do ambiente. Alem do mais, fenomenos

aeroelasticos autoexcitantes, como o flutter, representam um grande potencial de

falha em aeronaves. O uso de dispositivos piezoeletricos pode contribuir para am-

pliacao dos limites de projeto em componentes estruturais e aerodinamicos, con-

tribuindo tambem para alıvio de efeitos decorrentes de turbulencias durante voos,

como a perda parcial de controle da aeronave.

O grande desafio para a colheita de energia a partir de componentes piezoeletricos

reside no dimensionamento de sistemas capazes de coletar o maximo de energia a

partir de uma dada fonte de vibracao, a fim de superar a relativamente baixa densi-

dade energetica gerada entre os polos do material [1]. Para tal, faz-se necessario o uso

de um modelo mecanico confiavel, que permita caracterizar o sistema e identificar

as condicoes mais favoraveis de aplicacao. Os esforcos deste trabalho sao voltados

para a modelagem e analise de um sistema piezoeletrico utilizado para captar a

energia proveniente de rajadas de vento discretas, que incidem sobre componentes

aerodinamicos flexıveis de aeronaves durante voos de cruzeiro. O sistema proposto

e composto por piezoceramicas perfeitamente acopladas as extremidades superior

2

e inferior da longarina, principal componente estrutural de uma asa. Um circuito

puramente resistivo conecta os polos das piezoceramicas, permitindo a passagem de

corrente eletrica. Utilizando uma modelagem a parametros distribuıdos e conside-

rando a estrutura como uma viga Euler-Bernoulli, e possıvel avaliar a dinamica ao

longo de toda a estrutura e contabilizar o efeito de multiplos modos de vibracao. O

acoplamento eletromecanico e formulado a partir da lei de Gauss e das propriedades

constitutivas dos materiais piezoeletricos. A teoria de estados-finitos de Peters et.

al. (1995) [2] e usada para obter expressoes para as cargas aerodinamicas em regime

nao-estacionario no domınio do tempo. O sistema de equacoes diferencias obtido e

resolvido a partir do metodo numerico Runge Kutta de quarta ordem, permitindo

explorar a resposta dinamica e a energia coletada pelo sistema.

Atraves de uma analise parametrica, investiga-se a influencia de rajadas de vento

discretas com perfil ”1-Cosseno”[3], cuja distancia gradiente varia entre 35 e 350 ft,

sobre a capacidade de colheita energetica do sistema. Variando a carga resistiva apli-

cado ao circuito eletrico, identifica-se os valores que permitem maximizar a colheita

de energia para um gradiente de rajada especıfico. Com isso, e possıvel construir

uma curva da capacidade maxima de colheita energetica em funcao da intensidade

da rajada de vento, assim como apontar os valores de carga resistiva que maximizam

a colheita energetica em funcao da distancia gradiente de rajada.

3

Capıtulo 2

Piezoeletricidade

A piezoeletricidade consiste na habilidade que alguns cristais e ceramicas tem de

gerar carga eletrica quando carregados mecanicamente. Esta propriedade e conhe-

cida como efeito piezo direto e foi descoberta em 1880 pelos irmaos Pierre e Jacques

Curie, que a demonstraram em turmalina, quartzo, topaz, cana de acucar e sal de

Rochele (tartarato de sodio e potassio tetrahidratado) [4]. Um ano apos a descoberta

dos irmao Curie, Gabriel Lippmann descobriu que os mesmos materiais apresentam

o efeito piezo reverso, ou seja, os materiais tendem a se deformar quando expos-

tos a um campo eletrico. A partir de entao, intensas pesquisas exploraram estas

propriedades, sendo a primeira utilizacao pratica feita por Paul Langevin no de-

senvolvimento de sonares durante a primeira guerra mundial, que utilizou cristais

de quartzo acoplados a massas metalicas para gerar ultrassom na faixa de algumas

dezenas de kHz’s [5]. Devido a necessidade de geradores de alta tensao para estimu-

lar a fabricacao de transdutores (dispositivo que transforma um tipo de energia em

outro) de quartzo, iniciou-se uma corrida pela fabricacao de materiais piezoeletricos

sinteticos apos a primeira guerra mundial. Nas decadas de 40 e 50, a URSS e o

Japao desenvolveram ceramicas piezoeletricas de Titanato de Bario (BaTiO3). Na

mesma epoca, os EUA criaram as ceramicas piezoeletricas de Titanato Zirconato

de Chumbo (Pb[ZrxTi1−x]O3), que consistem em cristais mistos de zirconato de

chumbo (PbZrO3) e titanato de chumbo (PbT iO3). Estas sao conhecidas como

PZT’s (uma abreviacao da formula quımica) e sao as mais utilizadas atualmente

devido suas diversas variacoes e eficiencia elevada, sendo capazes de converter ate

80% da energia mecanica aplicada em energia eletrica, o que equivale a cerca de 100

4

vezes a eficiencia dos cristais de quartzo [5].

2.1 Equacoes Constitutivas

Considerando o tensor de tensao T , o tensor de deformacao S, o tensor campo

eletrico E e o tensor de deslocamento eletrico D, as equacoes constitutivas para um

material piezoeletrico sao expressas na forma matricial mostrada em 2.1

S

D

=

sE dt

d εT

T

E

(2.1)

onde s E, d e ε T representam as constantes elasticas, as constantes piezoeletricas e

as constantes dieletricas do material, respectivamente. Os termos sobrescrito E e T

indicam, nesta ordem, que as constante sao avaliadas a um campo eletrico e a uma

tensao constante, enquanto t representa transposicao matricial. Em geral, piezo-

ceramicas polarizadas sao materiais transversalmente isotropicos [1], sendo o plano

de isotropia definido aqui como plano 12. Neste caso, os materiais piezoeletricos

exibem simetria com relacao ao eixo 3, que e o eixo de polarizacao do material, o

que resulta em sE11 = sE22, sE12 = sE21, s

E44 = sE55, s

E45 = sE54, e

T11 = eT22, d14 = d15 e

d31 = d32.

Usando a notacao de Voigt para representar as componentes de tensao e de-

formacao (11→ 1, 22→ 2, 33→ 3, 23→ 4, 13→ 5, 12→ 6)

S1

S2

S3

S4

S5

S6

=

S11

S22

S33

2S23

2S13

2S12

e

T1

T2

T3

T4

T5

T6

=

T11

T22

T33

T23

T13

T12

(2.2)

A forma expandida da Equacao 2.1 e obtida aplicando-se 2.2 e as propriedades

5

isotropicas do material:

S1

S2

S3

S4

S5

S6

D1

D2

D3

=

sE11 sE12 sE13 0 0 0 0 0 d31

sE12 sE11 sE13 0 0 0 0 0 d31

sE13 sE13 sE33 0 0 0 0 0 d31

0 0 0 sE55 0 0 0 d15 0

0 0 0 0 sE55 0 d15 0 0

0 0 0 0 0 sE66 0 0 0

0 0 0 0 d15 0 εT11 0 0

0 0 0 d15 0 0 0 εT11 0

d31 d31 d33 0 0 0 0 0 εT33

T1

T2

T3

T4

T5

T6

E1

E2

E3

(2.3)

2.2 Coletores de Energia Piezoeletricos

Coletores de energia piezoeletricos sao projetados com o objetivo de converter parte

da energia mecanica em eletrica. Para identificar possıveis configuracoes que podem

ser utilizadas para este fim, observa-se separadamente o vetor deslocamento eletrico

a partir da Equacao 2.3

D1

D2

D3

=

0 0 0 0 d15 0

0 0 0 d15 0 0

d31 d31 d33 0 0 0

T1

T2

T3

T4

T5

T6

+

εT11 0 0

0 εT11 0

0 0 εT33

E1

E2

E3

(2.4)

Observando o primeiro termo do lado direito da Equacao 2.4, nota-se que o com-

ponente de acoplamento eletromecanico d15 esta relacionado apenas com as tensoes

cisalhantes T4 e T5, que nao sao interessantes do ponto de vista de colheita de ener-

gia [4]. Por outro lado, d31 e d33 se relacionam com as tensoes normais aplicadas

sobre o material, e correspondem aos modos 31 e 33, respectivamente, ilustrados na

Figura 2.1. O primeiro numero (3) indica o eixo de polarizacao do material, onde

a tensao eletrica e gerada. Os eletrodos devem ser acoplados a superfıcies perpen-

diculares a este eixo, que, neste caso, e o eixo z. O segundo numero representa a

6

(a)

(b)

Figura 2.1: Material piezoeletrico operado nos modos (a) 33 e (b) 31

Fonte: [4]

direcao de aplicacao da tensao. Desta forma, no modo 33 a tensao e aplicada no

mesmo eixo em que o material e polarizado. No modo 31, a tensao e aplicada ao

longo do eixo 1 (ou 2), e o material e polarizado no eixo z (3).

Apesar de d33 ser superior a d31 (d31 ≈ 0, 5d33 para PZT [4]), a configuracao 31 e

preferıvel para fins de coleta de energia, pois as frequencias naturais de ressonancia

para vibracoes transversais (flexao) sao inferiores as encontradas em vibracoes lon-

gitudinais (tracao/compressao diretamente aplicada) e mais proximas do espectro

de frequencia de vibracoes encontradas no ambiente. Sendo assim, o modo 31 pode

ser aplicado de forma mais eficiente e num maior numero de situacoes do que o 33

para coleta de energia de vibracoes. Um exemplo de aplicacao do modo 31 se da

em configuracoes bi-morfas, ilustradas na Figura 2.2. Esta configuracao consiste

em duas camadas piezoeletricas acopladas uma a outra ou as superfıcies superior

e inferior de uma terceira estrutura central. Quando a viga e fletida no sentido

negativo do eixo 3 (com curvatura concava para baixo), a camada superior e tra-

cionada, enquanto a camada inferior e comprimida. O oposto acontece quando a

viga e fletida na sentido positivo de z. Para a configuracao bi-morfa, e possıvel co-

7

nectar um circuito eletrico aos eletrodos das camadas piezoeletricas de duas formas

distintas: em serie, quando as camadas sao polarizadas em sentidos opostos (Fi-

gura 2.2(a)); e em paralelo. quando as camadas sao polarizadas no mesmo sentido

(Figura 2.2(b)). O circuito conectado em serie gera o dobro da tensao eletrica e

possui metade da capacitancia do sistema uni-morfo, enquanto a corrente perma-

nece inalterada. O circuito conectado em paralelo gera a mesma tensao eletrica,

mas em compensacao apresenta o dobro da corrente eletrica e da capacitancia em

comparacao com o sistema uni-morfo. A derivacao destas propriedades e realizada

em detalhes no Capıtulo 5- Secao 5.7.

(a)(b)

Figura 2.2: Configuracao bi-morfa com circuitos conectados (a) em serie e (b) em paralelo

Fonte: [4]

2.2.1 Equacoes Reduzidas para Vigas Finas Operando no

modo 31

Para vigas finas sob flexao modeladas a partir da teoria de Euler-Bernoulli, apenas

o componente de tensao T1 apresenta valores significativos [1], ou seja:

T2 = T3 = T4 = T5 = T6 = 0

Aplicando este valores a Equacao tensorial 2.3, tem-se S1

D3

=

sE11 d31

d31 εT33

T1

E3

(2.5)

Que pode ser reescrita na forma sE11 0

−d31 1

T1

D3

=

1 −d310 εT33

S1

E3

(2.6)

8

Multiplicando ambos lados da Equacao 2.6 pela inversa do tensor de constantes

presente no lado direito, a equacao que permite obter a tensao e o deslocamento

eletrico em funcao da deformacao e do campo eletrico e alcancada. T1

D3

=

cE11 −e31e31 εT33

S1

E3

(2.7)

onde

cE11 =1

sE11, e31 =

d31sE11

, εS33 = εT33 −d231sE11

(2.8)

A barra horizontal indica que a constante foi reduzida da forma tri-dimensional

para o estado plano de tensoes e o sobrescrito S representa que a constante foi

avaliada sob deformacao constante.

9

Capıtulo 3

Estruturas e Componentes

Aerodinamicos

Os componentes estruturais de uma aeronave sao projetados para transportar cargas

e resistir a esforcos aos quais estao sujeitos durante o voo e operacoes em solo.

A analise estrutural destes componentes deve garantir que os esforcos aplicados

durante as operacoes nao extrapolem os limites estipulados por criterios de falha

pre-estabelecidos. O objetivo deste capıtulo consiste em descrever as caracterısticas

dos componentes aerodinamicos de uma aeronave, assim como suas funcoes e as

cargas a que estao expostos durante as operacoes. Uma breve descricao dessas

estruturas e apresentada, com o intuito de auxiliar na determinacao de parametros

a serem utilizados na modelagem das equacoes dinamicas e simulacoes numericas.

De acordo com a Federal Aviation Administration (FAA) [6], aeronaves con-

vencionais sao geralmente compostas por tres partes principais: fuselagem, asas e

estabilizadores. A fuselagem comporta a tripulacao e uma carga util, que e a carga

a ser transportada, podendo variar de passageiros a armamentos, dependendo do

tipo da aeronave. As asas sao responsaveis por gerar a sustentacao necessaria du-

rante o voo, enquanto estabilizadores horizontais e verticais garantem a estabilidade

direcional da aeronave. Aileron e lemes permitem ao piloto manobrar a aeronave

durante o voo, enquanto flapes acoplados as asas fornecem o aumento ou diminuicao

de sustentacao para decolagem ou pouso, respetivamente. Spoilers, posicionados no

extradorso da asa (parte superior), sao acionados durante os pousos para aumentar

o arrasto e, consequentemente, a desaceleracao da aeronave.

10

Figura 3.1: Componentes de uma aeronave

Fonte: [6]

3.1 Asas

As asas sao os componentes responsaveis por gerar a sustentacao necessaria a aero-

nave durante os voos. Elas podem ser construıdas em diferentes formatos e tama-

nhos, dependendo das exigencias e do tipo de operacao da aeronave. A quantidade

de sustentacao gerada, a velocidade de operacao e o controle da aeronave sob di-

ferentes velocidades estao entre os fatores a serem considerados na determinacao

do tipo e do formato das asas a serem usadas no projeto. Diferentes formatos sao

mostrados na Figura 3.2

Na maioria das aeronaves atuais, as asas sao do tipo em balanco (i.e. sem ne-

nhum tipo de escoramento externo), sendo o suporte das cargas atribuıdo somente

aos membros estruturais internos. O combustıvel fina armazenado em tanques no

interior da asas. Em modelos mais antigos, suportes ou cabos externos eram utiliza-

dos para auxiliar na contencao do peso e das cargas aerodinamicas, como ilustrado

na Figura 3.3.

A estrutura das asas e composta por longarinas (spars), nervuras (ribs), re-

forcadores e revestimento (skin). As longarinas sao os principais membros estru-

turais da asa, sendo responsaveis por suportar as cargas os esforcos de flexao e

11

Figura 3.2: Formatos tıpicos de asas

Fonte: [6]

Figura 3.3: Asas dos tipos cantilever, semi-cantilever e externamente apoiadas.

Fonte: [6]

12

torcao gerados pelas forcas e momentos aerodinamicas, assim como o peso da fu-

selagem, trens de pouso e motores (quando fixados as asas) em operacoes no solo.

O revestimento transfere os esforcos as nervuras, que os transmite as longarinas.

Reforcadores sao adicionados entre as nervuras e o revestimento para aumentar a

resistencia estrutural destes componentes.

Figura 3.4: Componentes estruturais das asas.

Fonte: [6]

3.1.1 Longarinas

As longarinas sao barras dispostas perpendicularmente a fuselagem ou paralelas as

asas, que se estendem da raiz em direcao a ponta. Sao acopladas a fuselagem atraves

de fixadores de aviacao, vigas planas ou trelicas [6]. O numero de longarinas usadas

na construcao das asas depende do projeto e do tipo da aeronave, podendo variar

entre uma (asas mono-longarinas), duas (asas bi-longarinas) ou mais (asas multi-

longarinas). Sao os principais componentes responsaveis por resistir aos esforcos de

flexao e torcao gerados pelas cargas aerodinamicas, alem de resistir ao peso da asa,

do combustıvel e demais equipamentos instalados nas asas, como motores, turbinas

e armamentos.

Alem das longarinas convencionais, tambem sao utilizadas longarinas de aileron,

tambem chamadas de longarinas falsas. Estas se estendem apenas por uma parte

da envergadura e servem como suporte as dobradicas do aileron.

Os materiais utilizados na fabricacao das longarinas podem variar entre madeira

de aviacao (geralmente espruce), ligas metalicas e materiais compositos. Atual-

mente, a maioria das aeronaves possuem longarinas fabricadas a partir de uma

13

Figura 3.5: Asa mono-longarina.

unica peca de alumınio extrudado ou por secoes de alumınio rebitadas [6]. Algumas

secoes transversais tipicamente usadas em longarinas metalicas sao mostrados na

Figura 3.6. Em longarinas de secao transversal do tipo I ou H, as mesas funcio-

Figura 3.6: Secoes transversais tipicamente usadas em longarinas metalicas.

nam como base para fixacao do revestimento. Reforcadores verticais ou no formato

de quilha sao usados em determinadas secoes para aumentar a rigidez e prevencao

contra flambagem.

3.1.2 Nervuras

Nervuras sao membros estruturais dispostos perpendicularmente a direcao da en-

vergadura, que se estendem da borda de ataque ate a longarina traseira ou ate a

borda de fuga da asa. Elas compoem a armacao da asa, fornecendo o formato de ae-

rofolio necessario para gerar sustentacao. Tambem sao responsaveis por transmitir

os esforcos do revestimento e reforcadores as longarinas.

14

Figura 3.7: Longarinas de secao transversal I e H com reforcadores.

Fonte: [6]

As nervuras sao fabricadas de madeira ou metal, sendo que apenas nervuras

metalicas sao utilizadas em conjunto com longarinas metalicas. O dimensionamento

destas depende principalmente da localizacao ao longo da envergadura. Em regioes

mais proximas a ponta da asa, onde as tensoes sao menores, as nervuras tem basica-

mente a funcao de dar a forma de aerofolio a asa. Para estas aplicacoes, estruturas

leves e com baixa rigidez sao suficientes. Por outro lado, em regioes proximas a raiz,

e necessaria uma construcao mais robusta, a fim de absorver e transmitir tensoes

maiores.

Figura 3.8: Diferentes tipos de nervuras.

Fonte: [6]

3.1.3 Revestimento

A principal funcao do revestimento e formar uma superfıcie impermeavel para su-

portar a distribuicao de pressao aerodinamica da qual a capacidade de sustentacao

15

da asa e derivada [7]. Em geral, o revestimento e projetado para suportar parte dos

esforcos aplicados a asa, em conjunto com as nervuras e longarinas. Este tipo de

projeto e conhecido como stressed-skin e e ilustrado na Figura 3.9.

Figura 3.9: Projeto stressed-skin, onde revestimento suporta parte dos esforcos aplicados a asa

Fonte: [6]

Embora o revestimento seja eficiente em suportar tensoes de cisalhamento e de

tracao, ele tende a flambar sob cargas compressivas inferiores quando comparado aos

demais componentes da asa [7]. Ao inves de aumentar a espessura do revestimento, o

que aumentaria consideravelmente o peso da estrutura, reforcadores sao adicionados

entre o ele e as nervuras, dividindo-o em pequenos paineis e aumentando a resistencia

a flambagem.

Como nos demais componentes citados, o revestimento e geralmente fabricado

em madeira, materiais compositos, alumınio e outras ligas metalicas leves.

3.2 Cargas Aerodinamicas

Segundo Megson [7], as forcas atuantes sobre componentes aerodinamicos (como

asas, e caudas horizontais e verticais) sao basicamente resultantes do diferencial

de pressao em torno do revestimento, que e gerada pela incidencia de vento, cur-

vatura ou uma combinacao dos dois [7]. Esta diferenca de pressao (ilustrada na

Figura 3.10(a)) causa forcas resultantes nas direcoes vertical (sustentacao) e ho-

rizontal (arrasto), que atuam no centro de pressao (CP) do aerofolio. A posicao

de CP muda com a variacao da distribuicao de pressao, causada pelo aumento da

velocidade (U) ou do angulo de incidencia do vento sobre a asa (α). Entretanto,

ha um ponto fixo no aerofolio em que o momento gerado pela sustentacao e pelo

arrasto permanece constante. Este ponto, chamado de centro aerodinamico (AC de

aerodynamic center), pode ser usado no lugar de CP para representar as forcas e

16

momentos atuantes na secao do aerofolio. A Figura 3.10(b) mostra o diagrama do

corpo livre das forcas e momentos atuantes em AC. [7].

(a) (b)

Figura 3.10: (a) Distribuicao de pressao no contorno do aerofolio e (b) Sustentacao, arraste e

momento resultante atuando no centro aerodinamico AC

Fonte: [7]

De acordo com Anderson [8], em aerofolios simetricos o centro de pressao CP

e o centro aerodinamico AC estao ambos localizados a 0, 25c a partir da borda

de ataque, onde c representa a corda do aerofolio. Em condicoes estacionarias, a

forca de sustentacao L e o momento aplicado em AC M1/4, ambos por unidade de

comprimento da asa, sao dados por

L = 2παρ∞U2b (3.1)

M1/4 = 0 (3.2)

onde b = c/2 e a semi-corda do aerofolio.

A distribuicao da forca de sustentacao ao longo da envergadura da asa depende

do formato da mesma. Em asas trapezoidais, defini-se a razao de afilamento da asa

como λasa = ct/cr, onde cr e ct sao as cordas da raiz e da ponta, respectivamente. A

Figura 3.11 ilustra a real distribuicao de L ao longa da envergadura da asa l (semi-

envergadura da aeronave). E possıvel notar que L e proporcional a corda local, como

exposto pela Equacao 3.1, com excecao de regioes proximas a ponta, onde ocorre

um decaimento abrupto da magnitude.

A forca de sustentacao total da aeronave e obtida integrando a Equacao 3.1 ao

17

Figura 3.11: Distribuicao da forca de sustentacao ao longo da asa.

longo da envergadura.

LTotal =

∫ l

−lL(x)dx = 4παρ∞U

2∞

∫ l

0

b(x)dx (3.3)

Para asas retangulares (λasa = 1.0), em que a secao do aerofolio e constante, a

Equacao 3.3 pode ser simplificada

LTotal = 4παρ∞U2∞bl (3.4)

18

Capıtulo 4

Aerodinamica Nao-estacionaria

Durante a incidencia de rajadas de vento, manobras aereas ou mudancas subitas

na densidade do ar, instabilidades dinamicas associadas a variacoes da magnitude

e direcao das cargas aplicadas as superfıcies aerodinamicas podem gerar vibracoes

e perda parcial de estabilidade. Estes fenomenos estao relacionados ao campo da

aerodinamica nao-estacionaria e, quando negligenciados, podem levar a fenomenos

auto-excitantes como o flutter, capazes de induzir a falhas catastroficas e causar

graves acidentes.

Diferentes modelos e tecnicas de engenharia relacionadas a aerodinamica nao-

estacionaria sao discutidos em [2]. A origem da forca de sustentacao e do momento

aerodinamico atuante sobre superfıcies aerodinamicas sao decorrentes de dois efeitos

distintos: efeitos circulatorios e nao-circulatorios.

Os efeitos circulatorios sao mais relevantes para os componentes aerodinamicos

de aeronaves [2], uma vez que sao os responsaveis por mante-las suspensas durante

voos de altitude estavel. Tais efeitos surgem devido a uma diferenca entre as veloci-

dades dos escoamentos de ar nas superfıcies superior e inferior dos aerofolios. Este

perfil de velocidade pode ser representado como um fluxo de velocidade constante

somado a vortices locais. Em situacoes nao estacionarias, as mudancas de magni-

tude e direcao da velocidade do ar, causadas pelo movimento do aerofolio, fazem

com que a intensidade dos vortices varie. Consequentemente, o angulo de ataque

efetivo e a forca de sustentacao tambem sofrem variacoes.

Somado a este efeito, ha a geracao de vortices na borda de fuga do aerofolio.

O downwash destes vortices, por sua vez, altera o fluxo que colide no aerofolio,

19

afetando o angulo de ataque efetivo e, por consequencia, a forca de sustentacao.

Os efeitos nao-circulatorios, conhecidos como efeitos de massa e inercia aparente,

apesar de apresentarem menor relevancia, tambem contribuem na alteracao das

cargas aerodinamicas. Estes efeitos sao decorrentes da aceleracao de partıculas de ar

na proximidade das superfıcies do aerofolios. [2]. Como estas partıculas apresentam

massa finita, surgem forcas de inercia opostas ao movimento do aerofolio.

4.1 Modelo de Theodorsen

Uma das principais teorias no campo da aerodinamica nao-estacionaria foi desen-

volvida por Theodorsen (1934) para estudar o efeito de flutter sobre aerofolios de

perfis finos imersos em escoamentos invıscidos e incompressıveis. As equacoes 4.1

e 4.2, desenvolvidas por Theodorsen, modelam a sustentacao e o momento aplicado

no centro aerodinamico, respectivamente, permitindo avaliar a resposta dinamica de

um aerofolio em situacoes nao-estacionarias.

Figura 4.1: Esquema ilustrando a geometria de um aerofolio simetrico

L = 2πρ∞UbC(k)

[Uθ − w + b

(1

2− a)θ

]+ πρ∞b

2(Uθ − baθ − w) (4.1)

M1/4 = −πρ∞b3[Uθ + b

(1

8− a

2

)θ − 1

2w

](4.2)

A Figura 4.1 ilustra as dimensoes de um aerofolio, onde c representa a corda

do aerofolio, b a semi-corda (c = 2b), θ o angulo de inclinacao da borda de ataque

com relacao a horizontal. AC e o centro aerodinamico (localizada a 1/4c da borda

20

de ataque em aerofolios simetricos [8]), P e onde esta localizado o eixo elastico

da asa ponto (onde w, w e w sao medidos) e QC e o ponto de concentracao de

vortices, localizado a 3/4c da borda de ataque (1/2c de corda da borda de fuga).

U representa a velocidade relativa do escoamento livre e ρ∞ a densidade do ar.

A constante adimensional a varia entre −1 e 1 e e usada como parametro para

localizacao de P ao longo da corda do aerofolio, cuja posicao referente a borda de

ataque e dada por (1 + a)b.

A sustentacao L e afetada por ambos efeitos circulatorios e nao circulatorios,

enquanto o momento a aplicado no centro aerodinamico (localizado a 1/4 da borda

de ataque) M1/4 e inteiramente decorrente de efeitos nao circulatorios. A inclinacao

da curva de sustentacao e igual a 2π, o que e valido apenas para aerofolios simetricos

finos. O primeiro termo da forca de sustentacao equivale aos efeitos circulatorios. A

funcao de valores complexos C(k), tambem conhecida como funcao de Theodorsen,

representa os efeitos causados pela a esteira de vortices formada na borda de fuga

do aerofolio, sendo k a frequencia reduzida, dada por:

k =bω

U(4.3)

C(k) = F (k) + iG(k) (4.4)

Figura 4.2: Diagrama das partes real e imaginaria de C(k) por 1/k

Fonte: [2]

21

onde ω e a frequencia do movimento oscilatorio do aerofolio.

A partir da Figura 4.2, observa-se que C(k) e real e igual a 1 para o caso es-

tacionario (i.e. k = 0). Quanto maior o valor de k, maior a magnitude da parte

imaginaria G(k) e menor da parte real F (k). Quando k tende a infinito, C(k) tende

a 0, 5, embora em situacoes praticas k raramente excede o valor de 1, 0. Quando

uma funcao harmonica e multiplcada por C(k), sua magnitude e reduzida e uma

defasagem e introduzida.

Os efeitos nao-circulatorios estao presentes no segundo termo da forca de sus-

tentacao e no momento aplicado no centro aerodinamico. Note que estes termos

dependem da aceleracao e da aceleracao angular do aerofolio, sendo decorrentes da

massa das partıculas de ar aceleradas pelo movimento do aerofolio. E possıvel notar

ainda que o coeficiente que multiplica o termo nao circulatorio na forca de sus-

tentacao (πρ∞b2) equivale a massa de ar por unidade de comprimento contida num

cilindro de raio b, ou seja, a quantidade de ar a que e perturbada pelo movimento

do aerofolio.

A expressao para o angulo de ataque efetivo pode ser extraıda da Equacao 4.5

α = C(k)

[θ +

w

U+b

U

(1

2− a)θ

](4.5)

α e o angulo de ataque medido a uma distancia de 3/4c da borda de ataque,

considerando o valor medio de escoamento induzido ao longo de toda a corda. Em

casos de aerodinamica estavel, o angulo de ataque efetivo equivale ao angulo de

inclinacao da borda de ataque (i.e. α = θ). No entanto, para casos nao-estacionarios,

α passa a depender tambem de C(k), w e θ. Esses parametros adicionais introduzem

mudancas na magnitude e fase entre θ e α. Consequentemente, a magnitude da

forca de sustentacao nao estacionaria e reduzida em comparacao com a sustentacao

estacionaria.

O caso em que C(k) = 1 (i.e. k = 0) e conhecido como quase-estacionario. Esta

aproximacao e valida para valores pequenos de k, como em casos de oscilacoes com

baixa frequencia.

22

4.2 Modelo de Estados-Finitos de Peters et al.

(1995)

Embora o modelo formulado por Theodorsen forneca uma excelente representacao

das cargas aerodinamicas em situacoes nao estacionarias, a dependencia da forca

de sustentacao pela funcao de valores imaginarios C(k) impede o seu uso direto

nas equacoes diferencias referentes a estrutura analisada. Sendo assim, e necessario

buscar equacoes capazes de representar estas cargas no domınio do tempo. O modelo

de estados finitos para escoamentos invıscidos e incompressıveis criado por Peter et

al. (1995) apresenta uma solucao aproximada da forca de sustentacao apresentada

por Theodorsen.

No modelo de Peters et al. (1995), os efeitos nao circulatorios sao os mesmos

apresentados por Theodorsen, havendo apenas distincao na apresentacao dos efeitos

circulatorios. A formulacao destes efeitos e apresentada em [2], sendo reproduzida

a seguir considerando os efeitos de rajadas de vento (gusts) perpendiculares a asa .

Figura 4.3: Diagrama do corpo livre para um aerofolio

Considerando o diagrama do corpo livre de uma secao de aerofolio simetrico na

figura 3.10, ~U e o vetor da velocidade relativa do ar, ~UG e o vetor de velocidade da

rajada de vento vertical que incide sobre a asa, ~Uef e a velocidade efetiva do ar, w e

velocidade de deslocamento do eixo elastico do aerofolio, ~L e a forca de sustentacao,

aplicada no centro aerodinamico AC e cuja direcao e considerada perpendicular a

corda do aerofolio, e ~M1/4 e o momento aerodinamico aplicado na direcao (1).

Sendo θef (x, t) o angulo entre a borda de ataque e a horizontal, obtido a partir da

23

soma do angulo de ataque de projeto θ0 e do angulo de torcao θ(x, t). α representa

o angulo de ataque efetivo (i.e. o angulo formado entre a corda do aerofolio e a

velocidade efetiva do ar), medido a 3/4 da borda de ataque.

θef (x, t) = θ0 + θ(x, t) (4.6)

Como θ0 e constante, a velocidade e aceleracao angular efetiva dependem apenas

dos efeitos de torcao

θef (x, t) = θ(x, t) e θef (x, t) = θ(x, t)

Definindo-se os sistemas de referencias:

1. I, que acompanha a translacao horizontal da asa e permanece fixo com relacao

a horizontal e a vertical, sendo composto pelos unitarios ortogonais i, j, k

2. S2, solidario ao corpo do aerofolio e obtido a partir de um giro de angulo

θef (x, t) no sentido horario (negativo) do eixo x (1) a partir de I, composto

pelos unitarios ortogonais i2, j2, k2.

3. S3, solidario a velocidade efetiva do ar ~Uef e obtido a partir de um giro de

angulo αef no sentido anti-horario (positivo) do eixo x (1) a partir de S2,

composto pelos unitarios ortogonais i3, j3, k3

As matrizes de rotacao referentes aos sistemas sao apresentadas a seguir

[ITS2 ] =

1 0 0

0 cos θef − sin θef

0 sin θef cos θef

(4.7)

[S2TS3 ] =

1 0 0

0 cosα sinα

0 − sinα cosα

(4.8)

Desta forma, um vetor de coordenadas espaciais quaisquer ~u pode ser represen-

tado em qualquer um dos sistemas I, S2 e S3, utilizando as expressoes que seguem

para alterar o sistema de referencia quando necessario

~uS2 = [ITS2 ]~uI e ~uS3 = [S2TS3 ]~uS2

24

A transformacao reversa e obtida utilizando as transpostas das matrizes de

rotacoes

~uI = [ITS2 ]T~uS2 e ~uS2 = [S2TS3 ]

T~uS3

As teorias de escoamento induzido aproximam os efeitos da esteira de vortices

com base nas alteracoes causadas por estes no campo de escoamento [2]. Assim,

o campo de velocidades e obtido a partir da velocidade de escoamento livre ~U e

de uma componente adicional para contabilizar os efeitos do escoamento induzido.

Embora o escoamento induzido varie ao longo da corda da secao, ele e aproximado

no modelo de Peters et al. pela media das velocidades λ0k2 ao longo desta. Assim,

a velocidade do ar e

~U =

0

U

Ug

I

+

0

0

λ0

S2

(4.9)

O angulo de ataque efetivo pode ser calculado a partir do vetor da velocidade

do ar efetiva com relacao ao aerofolio, considerando os movimentos de translacao e

rotacao do mesmo.

~Uef = ~U − ~vQ (4.10)

onde ~vQ representa a velocidade do ponto Q, localizado a 3/4c.

~vQ =

0

0

w − (1

2− a)bθ

S2

(4.11)

Aplicando a Equacao 4.11 em 4.10 e expressando o resultado no sistema de

referencia S2

~Uef =

0

U cos θef − Ug sin θef

U sin θef + Ug cos θef − w + (1

2− a)bθ + λ0

S2

(4.12)

A velocidade efetiva do ar tambem pode ser expressa em funcao do angulo de

25

ataque efetivo

~Uef =

0

Uef

0

S3

=

0

Uef cosα

Uef sinα

S2

(4.13)

Igualando as Equacoes 4.12 e 4.13

Uef

0

cosα

sinα

= U

0

cos θef −UgU

sin θef

sin θef +UgU

cos θef −w

U+ (

1

2− a)b

θ

U+λ0U

(4.14)

De 4.13

tan(α) =U sin θef + Ug cos θef − w + (

1

2− a)bθ + λ0

U cos θef − Ug sin θef(4.15)

Uef =

√(U cos θef − Ug sin θef )

2 +

[U sin θef + Ug cos θef − w + (

1

2− a)bθ + λ0

]2(4.16)

Considerando pequenos angulos incidencia e assumindo que a magnitude da ve-

locidade de cruzeiro U seja muito superior aos demais fatores que compoem Uef , as

Equacoes 4.15 e 4.16 podem ser simplificadas

α = θef +UgU− w

U+

(1

2− a)bθ

U+λ0U

(4.17)

Uef = U (4.18)

Na Equacao 4.17, α representa o angulo de ataque efetivo obtido a partir da

da velocidade relativa efetiva do ar Uef , medida a uma distancia 3/4c a partir da

borda de ataque, que leva em conta os efeitos de escoamento induzido atraves de

λ0. Vale ressaltar que, devido ao movimento da asa e ao campo de escoamento

induzido, tanto a magnitude quanto a direcao da velocidade efetiva do vento nao

26

sao constantes no tempo e, como consequencia, α nao e equivalente ao angulo de

ataque efetivo θef .

De acordo com a teoria dos estados finitos de Peters et al. [2], a velocidade

media do fluxo induzido pela esteira de vortices λ0 e calculada a partir de N estados

induzidos λ1, λ2, λ3, ..., λN ,

λ0 ≈1

2

N∑n=1

bnλn (4.19)

Sendo os valores de bn obtidos a partir do metodo de mınimos-quadrados. Par-

tindo da premissa de que a esteira de vortices permenece no mesmo plano do aerofolio

e trafega a juzante, com velocidade igual a do escoamento, as velocidades induzidas

pelos segmentos de vortices podem ser obtidas a partir de N equacoes diferenciais

de primeira ordem.

[A]λ+U

bλ = c

[−w + Uθ + b

(1

2− a)θ

](4.20)

onde λ e um vetor que contem as velocidades induzidas pelos segmentos de vortices

λ1, λ2, ..., λN . [A] e c sao matrizes definidas em funcao dos N numeros de estados

considerados [2].

[A] = [D] + dbT + cdT +1

2cbT (4.21)

onde

Dnm =1

2nn = m+ 1

= − 1

2nn = m− 1

= 0 n 6= m± 1

(4.22)

bn = (−1)n−1(N + n− 1)!

(N − n− 1)!

1

(n!)2n 6= N

= (−1)n−1 n = N

(4.23)

dn =1

2n = 1

= 0 n 6= 1(4.24)

27

e

cn =1

2(4.25)

A equacao da porcao circulatoria da forca de sustentacao (Lc) e analoga a

Equacao 3.1 para aerofolios simetricos, diferindo apenas pelo fato de que α nao

e constante no tempo.

Lc = 2παρ∞U2b (4.26)

Aplicando a Equacao 4.17 a Equacao 4.26 e somando a porcao a parcela nao-

circulatoria (equivalente ao modelo de Thoedersen), a forca de sustentacao nao-

estacionaria pelo modelo de Peters et al. e finalmente alcancada.

L = πρ∞b2(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub

[Uθef + Ug − w + b

(1

2− a)θ + λ0

](4.27)

Deve-se observar as semelhancas entre as equacoes para a sustentacao encontra-

das a partir do modelo de Theodersen (Equacao 4.1) e de Peters et al (Equacao 4.27).

Em geral, desconsiderando diferencas nas notacoes e a velocidade Ug (incrementado

apenas na formulacao do segundo modelo) a diferenca entre os modelos e resumida

a formulacao dos efeitos advindos do fluxo induzido pela circulacao dos vortices.

Pode-se observar que para o caso quase-estatico, em que C(k) = 1 e λ0 = 0, os

modelos fornecem exatamente as mesmas expressoes.

Uma vez que o momento depende apenas dos efeitos nao-circulatorios, os modelos

de Peters et al. e Theodorsen apresentam expressoes identicas para tal.

M1/4 = −πρ∞b3[Uθ + b

(1

8− a

2

)θ − 1

2w

](4.28)

A expressao para o momento aplicado no eixo elastico e dada pela Equacao 4.29

MP = M1/4 + (1/2 + aP )bL

= −πρ∞b3[Uθ + b

(1

8− a

2

)θ − 1

2w

]+

.(1/2 + a)b

πρ∞b

2(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub

[Uθef + Ug − w + b

(1

2− a)θ + λ0

](4.29)

28

4.3 Rajadas de Vento e Turbulencia

Os movimentos do ar em turbulencia sao conhecidos como rajadas de vento ou gusts

e provocam mudancas no angulo de incidencia da asa, levando a uma subita ou

gradual perda ou aumento de sustentacao da aeronave [7]. Isto pode ser crıtico para

aeronaves de grande porte ou em altas velocidade de cruzeiro.

Um dos metodos mais utilizados em criterios preliminares de projeto e certi-

ficacoes de aeronaves e o de rajada de vento discreta, que consiste na determinacao

da resposta dinamica da aeronave devido a incidencia de uma rajada de vento de

perfil ao longo de uma certa distancia ou perıodo de tempo.

Figura 4.4: Perfil de rajada 1 - cosseno

Fonte: [7]

O perfil de rajada ’1 - Cosseno’ e o mais comumente utilizado na modelagem de

rajadas de vento discretas para determinacao de cargas de rajada e turbulencia [3].

Este perfil modela uma rajada de vento segundo uma funcao cossenoide, dada pela

Equacao 4.30

Ug =Uds2

[1− cos

(πs

H

)]0 ≤ s ≤ 2H (4.30)

onde Ug representa a velocidade da rajada, Uds a velocidade maxima da rajada,

tambem chamada de velocidade de projeto de rajada, s a distancia adentrada na

regiao de turbulencia e H e a distancia gradiente, definida como a distancia percor-

rida do inıcio da rajada ate o momento em que Ug atinja o valor maximo (i.e. Uds),

que para o perfil ”1-Cosseno”, tambem e equivalente a metade do comprimento da

zona afetada pela rajada.

29

A velocidade de projeto Uds e obtida atraves da Equacao 4.31

Uds = UrefFg

(H

350

) 16

(4.31)

Sendo Uref a velocidade de referencia da rajada, dada em ft/s, e Fg o fator

de alıvio de perfil de voo. Considerando a velocidade de cruzeiro de projeto da

aeronave Vc, o valor de 56, 0ft/s deve ser considerado para Uref a nıvel do mar [3].

Para diferentes altitudes Z, as equacoes a seguir devem ser usadas

Uref = 56, 00− 8.00× 10−4Z 0 ≤ Z ≤ 15000ft

= 51, 71− 5, 14× 10−4Z 15000ft < Z ≤ 50000ft(4.32)

Fg deve decrescer linearmente em funcao altitude de voo a partir do valor ao

nıvel, dado pela Equacao 4.33, ate 1,0, na maxima altitude de operacao.

Fg = 0, 5

[1− Zmo

250000+

√ZFW

MTOWtan

(π

4

MLW

MTOW

)](4.33)

Sendo MLW o peso maximo de pouso, MTOW o peso maximo de decolagem,

e ZFW o peso maximo sem combustıvel da aeronave.

O tempo de duracao e a magnitude da rajada sao fatores importantes uma vez

que influenciam a forca de sustentacao e o momento aplicado em AC. Rajadas de

curta duracao causam um subito aumento e, em seguida, uma subita diminuicao da

velocidade relativa do ar, gerando impulsos de maior frequencia. Por outro lado, a

velocidade maxima da rajada Uds aumenta em funcao de H, contribuindo para maio-

res deflexoes dos componentes aerodinamicos. Estudos envolvendo rajadas de vento

discretas focam em analisar a resposta dinamica do sistema em funcao da distancia

gradiente H para a maxima velocidade de cruzeiro da aeronave. Analises deste

tipo sao exigidas a fim de se determinar as respostas e cargas limite de estruturas

aerodinamicas, considerando valores de H entre 30 e 350ft [3].

4.3.1 Intensidade e Distribuicao de Rajadas

Utilizando as equacoes descritas na secao 4.3, e possıvel obter a intensidade e o

perfil de rajadas de vento para qualquer tipo de aeronave. Nas simulacoes realizadas

nos proximos capıtulos, considera-se uma aeronave de transporte civil da categoria

30

Tabela 4.1: Propriedades do Embraer Phenom 100 (Aeronave da categoria VLJ)

Informacoes Gerais

Nome Phenom 100

Fabricante Embraer

Pais de Origem Brasil

Ano de Introducao 2008/2009

Dimensoes Externas

Envergadura (2l) 12,29 m

Corda da raiz (cr) 2,03 m

Corda da ponta (cp) 0,82 m

Pesos da Aeronave e Combustıvel

Peso basico de Operacao 3235 kgf

Peso Maximo de Decolagem (MTOW) 4750 kgf

Peso Maximo de Pouso (MLW) 4430 kgf

Peso Maximo sem Combustıvel (ZFW) 3830 kgf

Peso do Combustıvel Utilizavel Maximo (Wfuel) 1272 kgf

Altitude

Velocidade maxima nivelado (UMax) 722 km/h

Altitude Maxima de Operacao (Zmo) 12495 m [41000 ft]

31

Very Light Jet (VLJ). Os parametros utilizados foram baseados no modelo Embraer

Phenom 100, cujas propriedades sao listadas na Tabela 4.1.

A partir dos dados expressos na Tabela 4.1, pode-se calcular a velocidade de

referencia (Uref ) e o fator de alıvio (Fg) para uma aeronave deste tipo operando a

altitude maxima (Zmo), atraves das Equacoes 4.32 e 4.33, respectivamente.

Tabela 4.2: Velocidade de referencia e fator de alıvio

Propriedade Valor

Velocidade de Referencia (Uref ) 9.34 m/s [30.63 ft/s]

Fator de Alıvio (Fg) 0.8438

Os valores na Tabela 4.2 devem ser aplicados na Equacao 4.31 para obter a

velocidade maxima da rajada Uds para uma dada distancia gradiente H. Assim,

o perfil da rajada ao longo da distencia percorrida pela aeronave s e obtido pela

Equacao 4.30.

Perfis de rajada para diferentes distancias gradientes H sao mostrados na Fi-

gura 4.5

32

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

6

7

8

s (ft)

Ug (

m/s

)

H=35 ft

H=105 ft

H=175 ft

H=280 ft

H=350 ft

Figura 4.5: Perfil de rajada ”1-Cosseno”em funcao da distancia gradiente H para uma aeronave

com caracterısticas similares a Embraer Phenom 100

33

Capıtulo 5

Modelagem Matematica

Neste capıtulo sao apresentadas as equacoes que governam a dinamica do sistema

de colheita de energia na estrutura aeronautica, uma asa na qual se adiciona com-

ponentes piezoeletricos com o intuito de coletar a energia de vibracao. A ideia e

converter a energia mecanica em eletrica que pode ser utilizada para abastecer ba-

terias ou capacitores para uso posterior ou diretamente suprir dispositivos eletricos

como sensores e luzes de sinalizacao conectados a asa. Alem disso, os sinais ge-

rados podem ser diretamente interpretados por atuadores a fim de reduzir efeitos

indesejaveis causados pela vibracao da asa, como desconfortos e perdas parciais de

controle da aeronave durante turbulencias.

5.1 Fundamentos e Premissas do Modelo

A asa do tipo mono-longarina e modelada como uma viga em balanco, como ilus-

trado na Figura 5.1(a). Considera-se que a rigidez estrutural da asa (tanto de torcao,

quanto de flexao) e gerada apenas pela longarina. Os materiais que compoem a lon-

garina e os componentes piezoeletricos sao considerados uniformes e apresentam

comportamento linear. O acoplamento entre eles e perfeito, de modo que nao ha

movimento relativo entre as superfıcies em contato. Os eletrodos que recobrem as

faces superior e inferior dos componentes piezoeletricos tem espessura desprezıvel

em relacao aos demais componentes. Alem disso, sao considerados condutores per-

feitos, de modo que a diferenca de potencial eletrico e uniforme ao longo de todo

o seu comprimento. Consequentemente, o campo eletrico instantaneo induzido nas

34

Figura 5.1: (a)Asa mono-longarina, (b) circuito eletrico acoplado em serie e (c) circuito eletrico

conectado acoplado em paralelo

camadas piezoeletricas tambem e uniforme em todo o domınio. As direcoes dos eixos

x, y e z, mostrados na Figura 5.1, coincidem, respectivamente, com as direcoes das

propriedades piezoeletricas 1, 2 e 3. No circuito eletrico, as camadas piezoeletricas

sao modeladas como capacitores eletricos e uma resistencia eletrica (representada

por R) foi adicionada ao circuito. As camadas piezoeletricas sao identicas e as de-

formacoes instantaneas medias devido a flexao sao sempre de igual magnitude e com

sentidos opostos (i.e. quando a camada superior esta sob tracao, a inferior esta sob

compressao e vice-versa). Quando as camadas sao polarizadas em sentidos opostos

na direcao da espessura (direcao de z), tem-se a configuracao em serie (Figura 5.1a),

capaz de produzir maior tensao eletrica. De maneira analoga, quando o circuito e

organizado de forma que o sentido de polarizacao nas camadas e o mesmo, tem-se a

configuracao em paralelo (Figura 5.1b), que permite alcancar uma amplitude supe-

rior de corrente eletrica. Desta forma, e possıvel configurar o circuito dependendo

das necessidades que se deseja.

35

5.2 Vibracao Transversal

A Figura 5.2 ilustra o diagrama de corpo livre de uma viga, representando a asa,

onde M(x, t) representa o momento fletor, V (x, t) a forca cortante e f(x, t) a forca

externa aplicada a esta por unidade de comprimento.

Figura 5.2: Diagrama do corpo livre para viga em flexao com carregamento distribuıdo ao longo

comprimento

Fonte: [9]

Atraves do somatorio das forcas atuantes em z e dos momentos na direcao de y

com origem em O e aplicando a 2a Lei de Newton, as seguintes equacoes sao obtidas:

−(V + dV ) + f(x, t)dx+ V = m(x)dx∂2w

∂t2(x, t) (5.1)

(M + dM)− (V + dV )dx+ f(x, t)dxdx

2−M = 0 (5.2)

onde m(x) e a massa por unidade de comprimento da secao transversal. Reescre-

vendo a forca cortante e o momento fletor como

dV =∂V

∂xdx

dM =∂M

∂xdx

e desconsiderando os termos elevados a segunda potencia em dx, as Equacoes 5.1 e

5.2 podem ser reescritas da seguinte forma

−∂V∂x

(x, t) + f(x, t) = m(x)∂2w

∂t2(x, t) (5.3)

36

∂M

∂x(x, t)− V (x, t) = 0 (5.4)

Substituindo V = δM/δx, da Equacao 5.4, na Equacao 5.3,

−∂2M

∂x(x, t) + f(x, t) = m(x)

∂2w

∂t2(x, t) (5.5)

O momento fletor atuando numa secao transversal qualquer da viga e obtido

integrando-se o produto da tensao normal a direcao longitudinal da longarina (σ11)

pela distancia a linha neutra no domınio da secao.

M(x, t) = −∫A

σ11zdA = −bm

[∫ −hs/2−hp−hs/2

σp11zdz +

∫ hp+hs/2

hs/2

σp11zdz +

∫ hs/2

−hs/2σs11zdz

](5.6)

onde σS11 e σp11 sao as tensoes normais na direcao (1) atuante na longarina e nas

camadas piezoeletricas, respectivamente, e bs e a largura da longarina. Os termos

sobrescrito s e p fazem referencia ao componente estrutural (i.e. longarina) e as ca-

madas piezoeletricas, nesta ordem. Considerando materiais lineares na zona elastica,

a tensao normal a (1) para a a longarina e obtida a partir da lei de Hooke. A tensao

nas camadas piezoeletricas e dada pela Equacao 2.7

σs11 = Esεs1

σp11 = cE11εp1 − e31E3

(5.7)

Sendo Es o modulo de elasticidade (ou modulo de Young) do material da longa-

rina, cE11 o modulo de elasticidade da piezo-ceramica a um campo eletrico constante,

e31 a constante de tensao piezoeletrica efetiva e E3 o campo eletrico na direcao

(3) (direcao de z ou direcao de polarizacao), descritos previamente no Capıtulo 2.

Considera-se que o componente da deformacao axial na direcao (1) ε1 e devido ape-

nas a flexao. Desta forma, a deformacao axial para um elemento localizado numa

secao em x e proporcional a distancia a linha neutra e a a curvatura da viga, con-

forme expresso pela Equacao 5.8.

ε1(x, z, t) = −z∂2w(x, t)

∂x2(5.8)

Na convencao de sinais adotada, o momento fletor e positivo quando produz com-

pressao nas fibras superiores e tracao nas inferiores. O sinal da curvatura acompanha

o momento fletor, sendo positiva se a viga fletir com concavidade para cima.

37

O campo eletrico E3 na equacao 3.10 deve ser expresso em funcao da tensao

eletrica desenvolvida nas camadas piezo-ceramicas. A partir daqui, faz-se necessario

a distincao na modelagem para as configuracoes em serie e em paralelo. Como

as camadas piezo-ceramicas sao identicas, a tensao eletrica desenvolvidas entre os

eletrodos de cada uma delas e dada por por v(t)/2 na configuracao em serie, e

v(t) na configuracao em paralelo. Por conta da oposicao dos polos, a constante de

tensao piezoeletrica efetiva e31 tem sinais opostos nas camadas inferior e superior

na configuracao em serie, de forma que o campo eletrico desenvolvido em ambas

camadas apresenta o mesmo sentido.

Esup3,s = Einf

3,s = −v(t)

2hp

esup31,s = −einf31,s = e31

(5.9)

Por outro lado, na configuracao em paralelo a polarizacao ocorre no mesmo

sentido em ambas camadas, de modo que e31 possui o mesmo sinal para as camadas

superior e inferior. O campo eletrico instantaneo, por sua vez, apresenta sentidos

opostos.

Esup3,p = −Einf

3,p = −v(t)

hp

esup31,p = einf31,p = e31

(5.10)

Os termos sobrescritos sup e inf fazem referencia as camadas superior e inferior,

respetivamente.

Reescrevendo a Equacao 5.6 e desenvolvendo as operacoes necessarias, as

equacoes do momento fletor para as configuracoes em serie e em paralelo sao obtidas

M(x, t) =∂2w(x, t)

∂x2EI − kcΘvs(t) [H(x)−H(x− l)] (5.11)

onde EI representa a rigidez de flexao da secao composta para um campo eletrico

constante aplicado sobre as piezo-ceramicas (condicao de curto-circuito), dada por:

EI = EsIy,s + cE11Iy,p (5.12)

Iy,s e o momento de inercia de area da secao da longarina e Iy,p e o momento de

inercia de area das ceramicas piezoeletricas, ambos com relacao ao eixo y(2).

38

Tendo em vista que o termo eletrico na Equacao 5.11 e funcao apenas do tempo,

e necessario multiplica-lo por [H(x)−H(x− l)] para que este permaneca apos a de-

rivacao espacial, onde H(x) e a funcao de Heaviside. Na Equacao 5.11, Θ representa

o coeficiente de acoplamento eletromecanico, sendo obtido pela Equacao 5.13 e a

constante kc faz a distincao entre os acoplamentos em serie (kc = 0, 5) e em paralelo

(kc = 1, 0)

Θ = bs(hs + hp)e31 (5.13)

Substituindo a Equacao 5.11 na equacao Equacao 5.5, realizando a diferenciacao

com relacao a x e reagrupando os termos, a equacao diferencial parcial acoplada e

obtida

m∂2w(x, t)

∂t2+ EI

∂4w(x, t)

∂x4− kcΘv(t)

[dδ(x)

dx− dδ(x− l)

dx

]= f(x, t) (5.14)

onde δ e a funcao delta de Dirac (i.e. primeira derivada da funcao de Heaviside),

cuja enesima derivada satisfaz a condicao descrita na Equacao 5.15 [1]∫ ∞−∞

d(n)δ(x− x0)dx(n)

g(x) = (−1)nd(n)g(x)

dx(n)

∣∣∣∣x=x0

(5.15)

Para uma funcao qualquer g(x), contınua e diferenciavel em todo domınio.

5.2.1 Frequencias e Modos Naturais

Na condicao de curto-circuito (limR→0v(t) = 0 ) e livre de carregamento externo

(f(x, t) = 0), a Equacao 5.14 fica reduzida a:

m∂2w(x, t)

∂t2+ EI

∂4w(x, t)

∂x4= 0 (5.16)

Que permite realizar a analise modal da estrutura a fim de identificar os modos

naturais de vibracao. Aplicando o metodo de separacao de variaveis, assume-se

a hipotese de que a resposta dinamica da estrutura pode ser expressa como uma

combinacao linear de duas variaveis independentes: φ(x) e η(t).

w(x, t) = φ(x)η(t) (5.17)

Substituindo a Equacao 5.17 na Equacao 5.16 e reagrupando os termos espaciais

e temporais em lados distintos

EI

m

1

φ(x)

d4φ(x)

dx4= − 1

η(t)

d2η(t)

dt2(5.18)

39

Como x e t sao independentes, o argumento padrao do metodo de separacao de

variaveis diz que ambos lados da equacao devem ser iguais a mesma constante γ:

EI

m

1

φ(x)

d4φ(x)

dx4= − 1

η(t)

d2η(t)

dt2= γ (5.19)

O que implica que:

d4φ(x)

dx4− γ m

EIφ(x) = 0 (5.20)

d2η(t)

dt2+ γη(t) = 0 (5.21)

A partir da Equacao 5.20, pode-se inferir que a constante γ deve ser positiva para

que a condicao de vibracao (oscilacao) do sistema seja verdadeira, caso contrario

a amplitude poderia crescer ou decair indefinidamente com o tempo. Sendo assim,

torna-se conveniente substituir tal constante como o quadrado de uma outra: γ = ω2

d4φ(x)

dx4− ω2 m

EIφ(x) = 0 (5.22)

d2η(t)

dt2+ ω2η(t) = 0 (5.23)

As solucoes das Equacoes 5.22 e 5.23 sao dadas a seguir

φ(x) = A cos

(λ

lx

)+B cosh

(λ

lx

)+ C sin

(λ

lx

)+D sinh

(λ

lx

)(5.24)

η(t) = E cosωt+ F sinωt (5.25)

onde

λ4 = ω2ml4

EI(5.26)

As constante A, B, C e D podem ser obtidas a partir das condicoes de contorno

do sistema. Para uma viga em balanco engastada em uma das extremidades (x = 0)

e livre na outra (x = l), as condicoes de contorno sao

w(0, t) = 0

∂w(x, t)

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0

M(l, t) = EI∂2w(x, t)

∂x2

∣∣∣∣x=l

= 0

V (l, t) = EI∂3w(x, t)

∂x3

∣∣∣∣x=l

= 0

(5.27)

40

As condicao de contorno para a funcao de forma sao obtidas ao substituir a

Equacao 5.17 no sistema de Equacoes 5.27

φ(0) = 0

dφ

dx

∣∣∣∣x=0

= 0

d2φ

dx2

∣∣∣∣x=l

= 0

d3φ

dx3

∣∣∣∣x=l

= 0

(5.28)

Substituindo a Equacao 5.22 nas duas primeiras condicoes de contorno descritas

em 5.28, tem-se

A+B = 0→ B = −A (5.29)

C +D = 0→ D = −C (5.30)

Assim, a Equacao 5.28 pode ser reescrita como:

φ(x) = A

[cos

(λ

lx

)− cosh

(λ

lx

)]+ C

[sin

(λ

lx

)− sinh

(λ

lx

)](5.31)

Apenas as constantes A e C permanecem desconhecidas. Aplicando 5.31 nas

duas ultimas condicoes em 5.28

cosλ+ coshλ sinλ+ sinhλ

sinλ− sinhλ − cosλ− coshλ

A

C

=

0

0

(5.32)

Utilizando qualquer uma das equacoes de 5.32, obtem-se a equacao caracterıstica

de autovalor diferencial para uma viga em flexao na condicao engaste-livre

1− cosλ coshλ = 0 (5.33)

Os valores positivos de λ que satisfazem a Equacao 5.33 sao os autovalores do

sistema. Como o problema em questao e positivo-definido, ha infinitos autovalores

positivos, levando a infinitos modos naturais de vibracao. O autovalor (ou parametro

de frequencia) para o n-esimo modo natural de vibracao e denominado de λn. Os

cinco primeiros autovalores do sistema estao listados na Tabela 5.1.

Ainda a partir do sistema 5.32, pode-se extrair a razao entre as constantes A e

C

ζ =C

A=

sinλ− sinhλ

cosλ+ coshλ(5.34)

41

Utilizando a razao ζn = ζ(λn), a autofuncao para o enesimo modo pode ser

reescrita a partir da Equacao 5.31 de forma a conter apenas uma constante.

φn = An [cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)] (5.35)

Em 5.35, a constante modal An, tambem chamada de constante de amplitude,

representa o valor maximo que pode ser alcancado pelas autofuncoes de forma. x e

a coordenada adimensional, definida por

x =x

l(5.36)

A frequencia natural do sistema (ou auto-frequencia) para o enesimo modo na-

tural de vibracao e obtida a partir da Equacao 5.26

ωn = λ2n

√EI

ml4(5.37)

Tabela 5.1: Autovalores (parametros de frequencia) para uma viga Euler-Bernoulli homogenea na

condicao engaste-livre

Modo Autovalor (λr)

1 1.87510407

2 4.69409113

3 7.85475744

4 10.9955407

5 14.1371684

O movimento natural do enesimo modo de vibracao e expresso por

wn(x, t) = φn(x)ηn(t) (5.38)

ηn(t) e dada pela Equacao 5.25. As constantes En, Fn podem ser obtidas a partir

das condicoes iniciais do problema w(x, 0) e∂w(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

.

Uma vez que o sistema de parametros distribuıdos apresenta infinitos modos de

vibracao independentes, a resposta generica e uma combinacao linear das contri-

42

buicoes de todos os modos de vibracao

w(x, t) =∞∑n=1

φn(x)ηn(t) (5.39)

5.3 Vibracao Torcional

A figura 3.4 ilustra uma viga de secao nao-uniforme submetida a um torque externo

fT (x, t) por unidade de comprimento [9]. Sendo θ(x, t) o angulo de torcao da secao

transversal, a relacao entre a deflexao torcional e o momento torcor Mt(x, t) e dada

por:

Mt(x, t) = GJ(x)∂θ(x, t)

∂x(5.40)

Figura 5.3: Vibracao torcional de um eixo

Fonte: [9]

Aplicando a segunda lei de Newton, a equacao do movimento e obtida:

(Mt + dMt)−Mt + f(x, t)dx = Ix(x)dx∂2θ

∂t2(5.41)

Expressando dMt na forma∂Mt

∂xdx e aplicando 5.40 em 5.41, a equacao diferen-

cial que modela a dinamica de uma viga de secao qualquer sob torcao e alcancada

43

∂

∂x

[GJ(x)

∂θ

∂x(x, t)

]+ fT (x, t) = Ix

∂2θ

∂t2(x, t) (5.42)

Para vigas de secao transversal uniforme (i.e. J(x) = J), a Equacao 5.42 e

resumida a

GJ∂2θ

∂x2+ fT (x, t) = Ix

∂2θ

∂t2(x, t) (5.43)

onde G e o modulo de cisalhamento e J e a constante de torcao da secao, cuja

rigidez torsional e dada por GJ(x). Vale observar que para secoes circulares (solidas

ou vazadas), J e equivalente ao momento polar de area da secao. Para perfis fechados

de parede fina, J pode ser obtido pela Equacao 5.44

J =4A2

m(x)∫ lm0

ds

e

(5.44)

onde Am e a area delimitada pela linha media da parede do perfil, lm o perımetro

contornado da linha media e e a espessura da secao. Se a espessura e da secao e

constante, a Equacao 5.44 pode ser simplificada

J =4eA2

m

lm(5.45)

Para vigas de secoes abertas finas, como por exemplo perfis em I ou H, o calculo

de J pode ser aproximado atraves da analogia da membrana de Prandtl, descrita

em [7].

J =1

3

∫sec

e3ds (5.46)

5.3.1 Frequencias e Modos Naturais

Reescrevendo a Equacao 5.43 para o caso de vibracao livre de excitacao externa (i.e.

fT (x, t) = 0)

GJ∂2θ

∂x2= Ix

∂2θ

∂t2(x, t) (5.47)

A partir de entao, segue-se os mesmos passos usados na analise modal para

vibracao transversal. A variavel θ(x, t) e expressa em funcao do produto de uma

variavel espacial φ(x) e uma temporal χ(t)

θ(x, t) = ψ(x)χ(t) (5.48)

44

Aplicando 5.48 em 5.47) e reagrupando os termos espaciais e temporais em lados

distintos da equacao

GJ

Ix

1

ψ(x)

d2ψ(x)

dx2=

1

χ(t)

d2χ(t)

dt2= υ (5.49)

onde os lados dependentes do espaco e do tempo sao equivalentes e iguais a uma

constante υ. As equacoes diferenciais do espaco e do tempo sao extraıdas a partir

da Equacao 5.49

d2ψ(x)

dt2− υ Ix

GJψ(x) = 0 (5.50)

d2χ(t)

dt2− υχ(t) = 0 (5.51)

Observando as Equacao 5.51, pode-se notar que para que a amplitude do sistema

nao cresca ou diminua de forma indeterminada com o tempo, e necessario υ < 0.

Desta forma, e conveniente escrever υ = −ω2θ , sendo ωθ outra constante real.

d2ψ(x)

dt2+ ω2

θ

IxGJ

ψ(x) = 0 (5.52)

d2χ(t)

dt2+ ω2

θχ(t) = 0 (5.53)

As solucoes das Equacoes diferenciais 5.52 e 5.53 sao apresentadas a seguir

ψ(x) = G cosωθpx+H sin

ωθpx (5.54)

χ(t) = M cosωθx+N sinωθx (5.55)

Sendo G, H, I e J constantes desconhecidas e p =√GJ/Ix.

As condicoes de contorno para engaste-livre sao:

θ(0, t) = 0→ ψ(0) = 0 (5.56)

∂θ

∂x(l, t) = 0→ dψ

dx

∣∣∣∣x=l

= 0 (5.57)

Aplicando as condicoes das Equacoes 5.56 e 5.57 na equacao 5.54

G = 0

H

(ωθp

)cos

ωθpl = 0

(5.58)

45

Para solucoes nao triviais (i.e. H 6= 0)

cosωθpl = 0→ ωθ,rl

p= (2r − 1)

π

2

ωθ,r = (2r − 1)π

2

√GJ

Ixl2

(5.59)

Sendo r = (1, 2, 3...) e ωθ,r a frequencia natural do r-ezimo modo de vibracao

torcional. As constantes M e N dependem das condicoes iniciais.

A autofuncao em 5.54 pode ser reescrita a partir das expressoes 5.58 e 5.59

ψr(x) = Hr sin (2r − 1)π

2x (5.60)

Na Equacao 5.60, Hr e a constante de amplitude da autofuncao espacial. A

resposta dinamica para o r-ezimo modo de vibracao e obtida pela Equacao 5.61

θr(x, t) = ψr(x)χr(t) (5.61)

A resposta dinamica do sistema e alcancada atraves de um somatorio das res-

postas individual de cada um dos infinitos modos de vibracao do sistema.

θ(x, t) =∞∑r=1

ψr(x)χr(t) (5.62)

5.4 Ortogonalidade

Uma funcao e dita ortogonal num domınio especıfico sempre que a integral sobre o

produto desta funcao por qualquer outra neste domınio resultar em zero [9]. Ou seja,

considerando duas funcoes distintas f(x) e g(x), tais funcao sao ditas ortogonais no

domınio x0 ≤ x ≤ xf somente se a condicao 5.63 for satisfeita

∫ xf

x0

f(x)g(x)dx = 0 ∀f 6= g (5.63)

Para ilustrar esta propriedade, considere o caso de vibracao transversal descrito

anteriormente. Sendo φi(x) e φj(x) autofuncoes do sistema que correspondem as

frequencias naturais wi e wj, respetivamente, onde i 6= j. Pela equacao 5.22

d4φi(x)

dx4− w2

i

m

EIφi(x) = 0 (5.64)

d4φj(x)

dx4− w2

j

m

EIφj(x) = 0 (5.65)

46

Multiplicando as Equacoes 5.64 por φj(x), a equacao 5.64 por φi(x) e integrando

ambas de 0 a l ∫ l

0

[d4φi(x)

dx4φj(x)− w2

i

m

EIφi(x)φj(x)

]dx = 0 (5.66)

∫ l

0

[d4φj(x)

dx4φi(x)− w2

j

m

EIφj(x)φi(x)

]dx = 0 (5.67)

Subtraindo as Equacoes resultantes uma pela outra∫ l

0

φi(x)mφj(x)dx =EI

w2j − w2

i

∫ l

0

[d4φj(x)

dx4φi(x)− d4φi(x)

dx4φj(x)

]dx (5.68)

Usando integracao por partes para resolver o lado direito da Equacao 5.68

∫ l

0

φimφjdx =EI

w2j − w2

i

[φiφ

′′′

j − φjφ′′′

i + φ′

jφ′′

i − φ′

iφ′′

j

]∣∣∣l0

(5.69)

onde [∗]′ representa uma diferenciacao com relacao a x. Aplicando as condicoes de

contorno expressas pelas Equacao 5.28 a 5.69, o lado direito e reduzido a 0.∫ l

0

φimφjdx = 0, ∀i 6= j (5.70)

A Equacao 5.70 demonstra que a autofuncao φ(x) e ortogonal.

A condicao em 5.70 pode ser demonstrada de forma analoga para o caso de

vibracao torcional. Considerando ψr(x) e ψs(x) autofuncoes referentes as frequencias

naturais wθ,r e wθ,s, respetivamente, onde r 6= s. Pela equacao 5.52

d2ψr(x)

dx2+ w2

θ,r

IxGJ

ψr(x) = 0 (5.71)

d2ψs(x)

dx2+ w2

θ,s

IxGJ

ψs(x) = 0 (5.72)

Multiplicando 5.71 por ψ e 5.72 por ψr e integrando de 0 a l∫ l

0

[d2ψr(x)

dx2ψ(x) + w2

θ,r

IxGJ

ψr(x)ψ(x)

]dx = 0 (5.73)

∫ l

0

[d2ψs(x)

dx2ψr(x) + w2

θ,s

IxGJ

ψs(x)ψr(x)

]dx = 0 (5.74)

Subtraindo 5.74 de 5.73 e reagrupando as diferenciais de mesma ordem em lados

distintos∫ l

0

ψr(x)Ixψs(x)dx =GJ

w2θ,r − wθ,s

∫ l

0

[d2ψs(x)

dx2ψr(x)− d2ψr(x)

dx2ψs(x)

]dx (5.75)

47

Integrando por partes o lado direito da Equacao 5.74∫ l

0

ψr(x)Ixψs(x)dx =GJ

w2θ,r − wθ,s

[ψ

′

sψr − ψ′

rψs

]∣∣∣l0

(5.76)

Aplicando as condicoes de contorno 5.56 e 5.57, o lado direto da equacao 5.76 e

reduzido a zero. Sendo assim∫ l

0

ψrIxψsdx = 0, ∀r 6= s (5.77)

5.5 Normalizacao de Autofuncoes

A partir da condicao de ortogonalidade, e possıvel obter valores para as constantes

de amplitude An, para vibracao transversal, e Hr, para vibracao torcional, de tal

maneira que as autofuncoes resultantes sejam normalizadas com relacao a massa m

e ao momento de inercia polar Ix.

5.5.1 Vibracao Transversal - Normalizacao com Relacao a

Massa

Reescrevendo a condicao de ortogonalidade descrita em 5.70∫ l

0

φimφjdx = δij (5.78)

onde δij e o Kronecker Delta, que equivale a 0, se i 6= j, e 1, se i = j. Substituindo

a Equacao 5.35 em 5.78 e resolvendo para os caso i = j = n, obtem-se a seguinte

expressao para An:

A2n =

ml

∫ 1

0

[cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)]2 dx

−1(5.79)

A integral em 5.79 pode ser resolvida por meio de metodos numericos ou utili-

zando softwares que permitam manipular variaveis simbolicas. Independentemente

do metodo empregado na solucao, a integral do lado direito sempre resultara em 1.

Logo

An = A = ±√

1

ml(5.80)

48

Como A representa a amplitude da autofuncao, e conveniente adotar apenas o

valor positivo. A autofuncao para vibracao transversal normalizada com relacao a

massa m e alcancada substituindo A na Equacao 5.35

φn(x) =

√1

ml[cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)] (5.81)

Os 5 primeiros modos de flexao sao mostrados na Figura 5.4.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

x

φ(x

)

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

Figura 5.4: Autofuncao (funcao de forma) φ(x) para os 5 primeiros modos de flexao.

A Equacao 5.78 ainda pode ser usada na Equacao 5.64 para alcancar a seguinte

relacao ∫ l

0

d4φi(x)

dx4EIφj(x) = δijw

2i (5.82)

5.5.2 Vibracao Torsional - Normalizacao com Relacao ao

Momento Polar de Inercia

Reescrevendo a condicao de ortogonalidade para torcao descrita em 5.77

∫ l

0

ψrIxψsdx = δrs (5.83)

49

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x

ψ(x

)

r=1

r=2

r=3

r=4

r=5

Figura 5.5: Autofuncao (funcao de forma) ψ(x) para os 5 primeiros modos de torcao.

Sendo δrs e o Kronecker Delta, que equivale a 0 para r 6= s e 1 para r = s.

Substituindo a autofuncao para torcao 5.60 em 5.83 e resolvendo para s = r, obtem-

se a seguinte expressao para a constante de amplitude torcional Hr:

H2r =

Ixl

∫ 1

0

sin2[(2r − 1)

π

2x]dx

−1→ Hr = H =

√2

Ixl(5.84)

Segundo a Equacao 5.84, a constante H independe do modo de vibracao. Re-

escrevendo 5.60 na forma normalizada com relacao ao momento polar de Inercia

Ix

ψr(x) =

√2

Ixlsin[(2r − 1)

π

2x]

(5.85)

A funcao de forma ψ(x) para os 5 primeiros modos de torcao e mostrada na

Figura 5.5.

Ainda e possıvel aplicar a Equacao 5.83 na Equacao 5.73 para obter a seguinte

expressao ∫ l

0

d2ψr(x)

dx2GJψs(x) = −δrsw2

θ,r (5.86)

50

5.6 Equacoes Mecanicas

As expressoes obtidas a partir da propriedade de ortogonalidade das auto-funcoes,

definidas na Secoes 5.4, podem ser utilizadas na simplificacao das equacoes mecanicas

do sistema. As cargas de sustentacao e momento aplicado sobre o centro aero-

dinamico para situacoes nao-estacionarios, descritas no Capıtulo 4, assim como as

equacoes referentes ao circuito eletrico, sao entao utilizadas na obtencao das equacoes

diferenciais ordinarias que modelam a dinamica e coleta de energia.

Aplicando a Equacao 5.39 na Equacao 5.14 e substituindo f(x, t) pela forca de

sustentacao por unidade de comprimento da asa L(x, t)

m∞∑n=1

φn(x)d2ηn(t)

dt2+ EI

∞∑n=1

ηn(t)d4φn(x)

dx4− kΘv(t)

[dδ(x)

dx− dδ(x− l)

dx

]= L(x, t)

(5.87)

Multiplica-se ambos os lados da equacao por φm e integra-se de 0 a l

∫ l

0

∞∑n=1

φmmφn(x)d2ηn(t)

dt2dx+

∫ l

0

∞∑n=1

ηn(t)φmEId4φn(x)

dx4dx

− kΘv(t)

[∫ l

0

φmdδ(x)

dxdx−

∫ l

0

φmdδ(x− l)

dxdx

]=

∫ l

0

φm(x)L(x, t)dx

(5.88)

As condicoes de ortogonalidade expressas em 5.78 e 5.82 e a propriedade da

funcao Dirac Delta, dada em 5.15, podem ser entao aplicadas para simplificar a

Equacao 5.88

d2ηn(t)

dt2+ ω2

mηn(t)− kcΘv(t)

(− dφm(x)

dx

∣∣∣∣x=0

+dφm(x)

dx

∣∣∣∣x=l

)=

∫ l

0

φm(x)L(x, t)dx

(5.89)

Aplicando a condicao de contorno dada em 5.28 a Equacao 5.89

d2ηm(t)

dt2+ ω2

mηm(t)− Θmv(t) =

∫ l

0

φm(x)L(x, t)dx (5.90)

onde Θm e dado por

Θm = kcΘdφm(x)

dx

∣∣∣∣x=l

(5.91)

51

Substituindo L(x, t) em 5.90 pela Equacao 4.27

ηm + ω2mηm − Θmv(t) =∫ l

0

φm(x)

πρ∞b

2(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub

[U(θ0 + θ) + Ug − w + b

(1

2− a)θ + λ0

]dx

(5.92)

Aplicando as condicoes 5.39 e 5.70 aos termos w e w no lado direito da

Equacao 5.92 e reagrupando os termos:

(1 +

πρ∞b2

m

)ηm(t) +

2πρ∞Ub

m˙ηm(t) + ω2

mηm(t)− Θmv(t) =

2πρ∞Ub

∫ l

0

φm(x)

[Uθ0 + Ug(t) + λ0(x, t) + Uθ(x, t) + b(1− a)θ(x, t)− b2a

2Uθ(x, t)

]dx

(5.93)

Pode-se observar que os termos dependentes da posicao x na Equacao 5.93 desa-

parecerem quando se realiza a integracao na envergadura da asa, de forma a restar

apenas variaveis em funcao do tempo. Para que isto fique explıcito, o deslocamento

angular θ(x, t) e suas derivadas θ(x, t) e θ(x, t) devem ser expressos na forma de

variareis separaveis (Equacao 5.62)

θ(x, t) =∑∞

r=1 ψr(x)χr(t), θ(x, t) =∑∞

r=1 ψr(x)χr(t), θ(x, t) =∑∞

r=1 ψr(x)χr(t)

Reescrevendo a Equacao 5.93(1 +

πρ∞b2

m

)ηm(t) +

2πρ∞Ub

m˙ηm(t) + ω2

mηm(t)− Θmv(t) =

2πρ∞Ub

∫ l

0

φm(x) [Uθ0 + Ug(t)] +

N∑n=1

bnλφm,n + φm(x)

∞∑r=1

ψr(x)

[Uχr(t) + b(1− a)χr(t)−

b2a

2Uχr(t)

]dx

(5.94)

onde λφm,n e a forma modal referente ao modo de vibracao transversal m da veloci-

dade induzido pelo n-esimo estado λn. As velocidades induzidas pelos segmentos de

vortices na forma modal sao obtidas a partir de N equacoes diferenciais de primeira

ordem, apresentadas em 5.95

[A]λφm+U

bλφm = c

−ηm +

∫ l

0

φm(x)∞∑r=1

ψr(x)

[Uχr + b

(1

2− a)χr

](5.95)

52

Na e 5.95, a matriz de constantes [A] e os vetores de constantes b e c depen-

dem do numero de estados finitos considerados na analise, calculados atraves das

Equacoes 4.21, 4.23 e 4.25.

Para o deslocamento angular da asa, aplica-se o angulo de torcao dado por 5.62

a Equacao 5.43, substituindo fT (x, t) pelo momento aerodinamico aplicado no eixo

de torcao MP (x, t).

∞∑r=1

Ixψr(x)d2χr(t)

dt2−∞∑r=1

GJχr(t)d2ψr(x)

dx2= MP (x, t) (5.96)

Multiplicando ambos lados da equacao por ψ e integrando de 0 a l∫ l

0

∞∑r=1

ψsIxψr(x)d2χr(t)

dt2dx−

∫ l

0

∞∑r=1

χrψsGJ(t)d2ψr(x)

dx2dx =

∫ l

0

ψs(x)MT (x, t)dx

(5.97)

Essa equacao e simplificada ao aplicar as condicoes de ortogonalidade da auto-

funcao ψ(x), expressas em 5.83 e 5.86. MT (x, t) e dado pela Equacao 4.29

d2χs(t)

dt2+ ω2

θ,sχs(t) =

− πρ∞b3∫ l

0

ψs(x)

[Uθ + b

(1

8− a

2

)θ − 1

2w

]+

(1/2 + a)

∫ l

0

ψs(x)

πρ∞b

3(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub2

[Uθef + Ug − w + b

(1

2− a)θ + λ0

](5.98)

Expressando w, w e w, em funcao de φ(x) e η(t) (atraves da Equacao 5.39) e θ, θ

e θ em funcao ψ(x) e χ(t) (atraves da Equacao 5.62), alem de aplicar a propriedade

da auto-funcao 5.77 e reagrupar os termos[1 +

πρ∞b4

Ix(1/8 + a2)

]χs(t) + (1/2 + 2a2)

πρ∞b3U

Ixχs(t) +

[ω2θ,s −

2πρ∞b2U2(1/2 + a)

Ix

]χs(t) =

πρ∞b2U

∫ l

0

(1 + 2a)

[ψs(x)(Uθ0 + Ug) +

N∑n=1

bnλψs,n

]− ψs(x)

∞∑m=1

φm(x)[2U2(1/2 + a)ηm(t)− abηm(t)

]dx

(5.99)

em que λψs,n e a forma modal do modo de vibracao torcional s da velocidade induzido

pelo n-esimo estado λn. As velocidades induzidas pelos segmentos de vortices na

forma modal referentes ao modo s sao obtidas a partir de N equacoes diferenciais

53

de primeira ordem, apresentadas em 5.100

[A]λψs+U

bλψs = c

−∫ l

0

ψs

∞∑m=1

φm(x)ηmdx+ Uχs + b

(1

2− a)χs

(5.100)

A solucao da integral que engloba as autofuncoes φm(s) e ψr(s), dada em 5.101,

pode ser obtida atraves de tecnicas convencionais de integracao ou por metodos de

integracao numerica.∫ l

0

φm(x)ψr(x)dx =

√2

mIx

∫ 1

0

[cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)] sin[(2r − 1)

π

2x]dx

(5.101)

As Equacoes 5.94 e 5.99 modelam a resposta dinamica de uma asa equipada com

ceramicas piezoeletricas sob condicoes aerodinamicas nao-estacionarias e podem ser

utilizas para simular o comportamento desta sob condicoes adversas de voo, como

durante a incidencia de rajadas de vento descritas no Capıtulo 4.

5.7 Acoplamento Eletromecanico

Considera-se inicialmente apenas uma da camada piezoeletrica conectada ao circuito

eletrico. Como a unica fonte de deformacao na camada piezoeletrica e a tensao axial

devido a flexao σP11, a expressao para o deslocamento eletrico na superfıcie do eletrodo

e dada pela Equacao 2.7

D3 = e31ε1 + εS33E3 (5.102)

A corrente eletrica desenvolvida no circuito e obtida a partir da lei de Gaus

aplicada a superfıcie do eletrodo e derivando em relacao ao tempo [1].

d

dt

(∫A

D · ndA)

=v(t)

R(5.103)

onde D e o vetor de deslocamento eletrico e n e o vetor unitario normal a superfıcie

A do eletrodo. Como a superfıcie dos eletrodos e perpendicular a direcao 3 (eixo z),

resta apenas a componente D3 do deslocamento eletrico apos o produto escalar.

Aplicando a Equacao 5.102 a Equacao 5.103, considerando a deformacao media

na camada piezoceramica expressa em termos da curvatura e o campo eletrico em

54

funcao da diferenca potencial (E3 = −v(t)/hp), otem-se:

d

dt

∫ l

0

[−e31

(hs + hP

2

)∂2w(x, t)

∂x2− εS33

v(t)

hp

]bmdx =

v(t)

R(5.104)

Reordenando os termos na Equacao 5.104

εS33bml

hp

dv(t)

dt+v(t)

R+ bm

(hs + hP

2

)e31

∫ l

0

∂3w(x, t)

∂x2∂tdx = 0 (5.105)

Nas Equacoes 5.104 e 5.105, o termo (hs + hP )/2 representa a distancia entre a

linha neutra e o centro da camada piezoeletrica. A capacitancia interna do elemento

piezoeletrico e dada por [1]

Cp =εS33bml

hp(5.106)

Substituindo as Equacoes 5.106 interna e 5.13 e expandindo na forma modal

Cpdv(t)

dt+v(t)

R+

1

2Θ∞∑i=1

dφi(x)

dx

∣∣∣∣l

dηi(t)

dt= 0 (5.107)

De acordo com Iman e Erturk [1], um elemento piezoeletrico pode ser repre-

sentado como uma fonte de corrente conectada em paralelo com sua capacitancia

interna. Sendo assim, o sistema analisado pode ser representado como na Figura 5.6.

Figura 5.6: Circuito equivalente a um elemento piezoeletrico alimentando uma carga resistiva

i(t) =1

2Θ∞∑i=1

dφi(x)

dx

∣∣∣∣l

dηi(t)

dt(5.108)

A equacao final do circuito eletrico para uma camada piezoeletrica conectada a

uma carga resistiva e obtida substituindo a Equacao 5.108 na Equacao 5.107

Cpdv(t)

dt+v(t)

R+ i(t) = 0 (5.109)

55

A partir do circuito equivalente para uma unica camada, e possıvel construir

os circuitos equivalentes para as configuracoes bi-morfas conectadas em serie e em

paralelo.

Figura 5.7: Circuitos equivalentes para as configuracoes (a) em paralelo e (b) em serie

A Figura 5.7(b) ilustra um circuito equivalente para a conexao em serie. Para

tal, aplica-se as leis de Kirchhoff a fim de se obter a capacitancia interna e a fonte

de corrente equivalentes

Csp =

Cp2, is(t) = i(t) =

1

2Θ∞∑i=1

dφi(x)

dx

∣∣∣∣l

dηi(t)

dt(5.110)

Logo, a equacao eletrodinamica do circuito eletrico conectado em serie e

Cp2

dv(t)

dt+v(t)

R+ i(t) = 0 (5.111)

Para o circuito em paralelo, ilustrado na Figura 5.7(a), a capacitancia interna e

a fonte de corrente equivalente obtidas a partir das leis de Kirchhoff sao

Cpp = 2Cp, ip(t) = 2i(t) = Θ

∞∑i=1

dφi(x)

dx

∣∣∣∣l

dηi(t)

dt(5.112)

A equacao eletrodinamica do circuito eletrico conectado em paralelo

Cpdv(t)

dt+v(t)

2R+ i(t) = 0 (5.113)

56

Por fim, as Equacoes 5.111 e 5.113 para os circuitos acoplados em serie e em para-

lelo, respectivamente, devem ser utilizadas em conjunto com as equacoes dinamicas

descritas na Secao 5.6 para obter a quantidade de energia coletada pelas camadas pi-

ezoeletricas. A potencia eletrica instantanea Pelet(t) desenvolvida no circuito eletrico

e calculada a partir da Equacao 5.114.

Pelet(t) =v(t)

R2(5.114)

A energia total coletada pelo sistema e obtida integrando 5.114 no tempo:

Eelet =

∫ tf

0

v(t)

R2dt (5.115)

57

5.8 Equacoes Eletromecanicas

As equacoes diferenciais que governam as respostas das coordenadas modais

(Equacoes 5.94 e 5.99) e a tensao eletrica desenvolvida no circuito eletrico conec-

tado em serie (Equacao 5.111) e em paralelo (Equacao 5.113) sao reescritas com o

intuito de se obter as equacoes eletromecanicas do sistema de colheita energetico

piezoeletrico.

η+ [Cw]η+ [Kw]η − [Θw]v(t) = Fw (5.116)

χ+ [Cθ]χ+ [Kθ]χ = Tθ (5.117)

Ceqp

dv(t)

dt+v(t)

Req+∞∑m=1

Θmdηm(t)

dt= 0 (5.118)

onde η e χ sao vetores contendo as coordenadas modais de flexao e torcao,

respectivamente, e v(t) e a tensao eletrica do circuito eletrico. Os elementos das

matrizes diagonais [Cw], [Kw], [Θ], [Cθ] e [Kθ] sao dados por

Cwi,i =

2πρ∞Ub

m(1 + rm)

Kwi,i =

ω2i

1 + rm

Θwii =

Θi

(1 + rm)

Cθj,j = (1/2 + 2a2)

πρ∞b3U

Ix(1 + rI)

Kθj,j =

1

(1 + rI)

[ω2θ,j −

2πρ∞b2U2(1/2 + a)

Ix

]

(5.119)

58

sendo as constantes rm e rI expressas por

rm =πρ∞b

2

m

rI =πρ∞(1/8 + a2)b4

Ix

(5.120)

Apesar das equacoes referentes as vibracoes transversais e angulares terem sido

derivadas separadamente, observa-se que o acoplamento entre elas ocorre atraves

dos vetores de carregamento mecanico Fw e Tθ, obtidos a partir das Equacoes

5.121 e 5.122.

Fw,i =2πρ∞Ub

1 + rm

∫ l

0

φi(x) [Uθ0 + Ug(t)] +

N∑n=1

bnλφm,n(t) +

φi(x)

∞∑r=1

ψr(x)

[Uχr(t) + b(1− a)χr(t)−

b2a

2Uχr(t)

]dx

(5.121)

Tθ,j =πρ∞b

2U

1 + rI

∫ l

0

(1 + 2a)

[ψs(x)(Uθ0 + Ug) +

N∑n=1

bnλψs,n(t)

]−

ψs(x)

∞∑m=1

φm(x)[2U2(1/2 + a)ηm(t)− abηm(t)

]dx

(5.122)

A solucao para os deslocamentos da estrutura e obtida atraves da superposicao

dos modos naturais de vibracao.

As formas modais das velocidades dos escoamentos induzidos por segmentos de

vortices λφs,n(t) e λψs,n(t) sao encontradas atraves das equacoes diferenciais 5.95 e

5.100. O termo de acoplamento eletromecanico modal Θm e a capacitancia equiva-

lente do circuito eletrico Ceqp para os circuitos conectados em serie e em paralelo sao

mostrados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2: Termo de acoplamento eletromecanico modal e capacitancia equivalente do sistema de

colheita de energia piezoeletrico conectado em serie e em paralelo

Circuito em Serie Circuito em Paralelo

Θmbs(hs + hp)e31

2

dφm(x)

dx

∣∣∣∣x=l

bs(hs + hp)e31dφm(x)

dx

∣∣∣∣x=l

Ceqp

1

2

εS33bml

hp2εS33bml

hp

Os deslocamentos transversais e angulares sao encontrados a partir da super-

posicao dos modos naturais de vibracao atraves das Equacoes 5.39 e 5.60.

59

As equacoes diferenciais do sistema de colheita eletro-mecanico apresentadas

podem ser resolvidas com o uso de metodos numericos e softwares matematicos a fim

de avaliar a resposta dinamica do sistema e o potencial de colheita energetica a partir

de rajadas de vento que incidem sobre a superfıcie de componentes aerodinamicos.

As Equacoes 5.114 e 5.114 permitem calcular a potencia instantanea e a energia

coletada pelo sistema.

60

Capıtulo 6

Simulacoes Numericas

Este capıtulo apresenta as simulacoes numericas associadas a uma asa retangular

mono-longarina, com perfil de aerofolio NACA0015, a qual foi acoplado um sistema

de colheita piezoeletrico com o objetivo de absorver parte da energia proveniente

de rajadas de vento que incidem sobre o componente aerodinamico. As equacoes

diferenciais que modelam a dinamica e eletrodinamica do sistema sao resolvidas

atraves do metodo Runge-Kutta de 4a ordem. Atraves de uma analise parametrica,

e possıvel identificar o potencial de colheita energetica do sistema em funcao do gra-

diente de rajada, assim como a carga resistiva aplicada ao circuito eletrico conectado

que leva a maxima eficiencia em termos de colheita energetica.

6.1 Parametros

O perfil NACA0015 pertence a serie de aerofolios de quatro dıgitos desenvolvi-

dos pela National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), em que os qua-

tro dıgitos que compoem a nomenclatura do perfil referem-se as suas propriedades

geometricas. Os dois primeiros dıgitos estao relacionados a curvatura do aerofolio,

sendo que o primeiro representa o percentual da curvatura maxima com relacao a

corda, enquanto o segundo da a posicao da curvatura maxima ao longo da corda do

aerofolio a partir da borda de ataque. Os dois ultimos dıgitos representam a largura

maxima do aerofolio com relacao a corda (τ), sendo a localizacao desta equivalente

ao dobro deste valor a partir da borda de ataque (por definicao para esta serie de

aerofolios). No caso do perfil NACA0015, sua curvatura e zero, uma vez que e um

61

aerofolio simetrico com relacao a corda, e a largura maxima equivale a 15% da corda,

estando localizada a 30% da borda de ataque do aerofolio.

O objeto de estudo baseia-se no modelo Embraer Phenom 100, cujas propriedades

estao listadas em Tabela 4.1. Diferentemente da asa analisada, que e retangular, as

asas do Embraer Phenom 100 sao trapezoidais (i.e. a corda decai linearmente da

raiz ate a ponta). Desta forma, faz-se necessario obter um valor para a corda tal

que a area de planagem AP seja equivalente. Neste caso, a corda c equivale a corda

media do modelo base.

Ap = lc =l

2(cr + cp)

c =cr + cp

2

(6.1)

De acordo com a Equacao 3.1, a forca de sustentacao em aerofolios simetricos e

nula quando o angulo de ataque e nulo. Logo, para que as asas gerem forca de

sustentacao suficiente para manter o aviao num nıvel de altitude estavel em voos

de cruzeiro, e preciso dimensionar o angulo de ataque de projeto θ0. Considerando

o peso da aeronave com tanque de combustıvel completamente abastecido igual a

WTotal = (ZFW +Wfuel), em que ZFW e Wfuel sao obtidos da Tabela 4.1.

L = WTotal → θ0 =(ZFW +Wfuel)

4πρ∞U2∞bl

(6.2)

A estrutura da asa e formada por uma longarina de secao transversal em I com-

posta de alumınio AA7050, posicionada no centro aerodinamico do aerofolio (1/4c

da borda de ataque), com camadas de ceramica PZT-5A instaladas sobre as me-

sas. A Figura 6.1 ilustra a disposicao dos componentes numa secao do aerofolio,

enquanto as dimensoes sao dadas na Tabela 6.1. O alumınio AA7050 e uma liga

com elevado limite de escoamento e resistencia a tracao, frequentemente utilizada

em projetos aeroespaciais [10]. O PZT-5A e uma das piezo-ceramicas mais utiliza-

das em projetos de engenharia [1]. A Tabela 6.3 fornece as propriedades fısicas dos

componentes estruturais da asa.

As condicoes de operacao da aeronave e as propriedades atmosfericas sao for-

necidas na Tabela 6.2. Sao consideradas rajadas de vento verticais e horizontais

de igual magnitude e distancia gradiente, modeladas atraves do perfil “1-Cosseno”,

detalhado na Secao 4.3.

62

O metodo Runge Kutta de 4a Ordem e utilizado para solucionar as equacoes

diferenciais que modelam a dinamica (5.93 e Equacoes 5.99) e eletrodinamica

(Equacoes 5.111 e 5.113) do sistema. Intervalos temporais de 1 × 10−4s sao usa-

dos nas simulacoes, que levaram em conta os 5 primeiros modos de flexao e de

torcao (m, s ≤ 5), alem de 15 estados finitos na determinacao da velocidade media

do fluxo induzido λ0 (Equacao 4.19). Desta forma

w(x, t) =5∑

m=1

φm(x)ηm(t)

θ(x, t) =5∑s=1

ψs(x)χs(t)

λ0(x, t) =1

2

15∑n=1

bnλn(x, t)

(6.3)

Figura 6.1: Secao transversal do modelo de asa utilizado nas simulacoes

63

Tabela 6.1: Dimensoes da asa e dos componentes estruturais

Propriedade Valor

Semi-envergadura l 6,1450 m

Corda c = 2b 1,4250 m

Espessura Maxima τc 0,2137 m

Angulo de Ataque de Proj, θ0 1,06

Posicao do Eixo Elastico a -0,50

Largura da Alma ba 0,0100 m

Altura da Alma ha 0,1616 m

Largura das Mesas bm 0,1058 m

Altura das Mesas hm 0,0200 m

Largura dos Piezos bp 0,1058 m

Altura dos Piezos hp 0,0050 m

Tabela 6.2: Parametros de voo e turbulencia

Propriedade Valor

Densidade Atmosferica ρ∞ 1,225kg/m3

Velocidade de voo U 722 km/h [200,56 m/s]

Altitude de voo Z 12495 m [41000 ft] m

64

Tabela 6.3: Propriedades fısicas dos componentes estruturais

Longarina

Propriedade Sımbolo Valor

Material - Alumınio AA7050

Densidade ρs 2830 kg/m3

Modulo de Elasticidade Es 70,3 GPa

Modulo de Cisalhamento Gs 26,6 GPa

Limite de Escoamento SY 450 MPa

Massa por uni, de comprimento ms 16,55 kg/m

Momento de Inercia de Area (y) Iy,s 3, 856× 10−5m4

Momento de Inercia de Area (z) Iz,s 3, 962× 10−6m4

Momento Polar de Inercia de Area (x) Ix,s 4, 252× 10−5m4

Constante de Torcao Js 6, 182× 10−7m4

Rigidez de Flexao EIs 2, 71× 106Nm2

Rigidez de Torcao GJs 1, 65× 104Nm2

Camadas Piezoeletricas

Propriedade Sımbolo Valor

Material - PZT-5A

Densidade ρp 7750 kg/m3

Modulo de Elasticidade cE11 61,0 GPa

Modulo de Cisalhamento Gp 23,1 GPa

Constante de tensao piezo, efetiva e31 -10,4 C/m2

Permissividade a tensao constante εS33 13, 3× nF/m

Capacitancia Cp 1, 73× 10−6F

Massa por uni, de comprimento mp 8,20 kg/m

Momento de Inercia de Area (y) Iy,p 1, 129× 10−5m4

Momento de Inercia de Area (z) Iz,p 9, 871× 10−7m4

Momento Polar de Inercia de Area (x) Ix,p 1, 228× 10−5m4

Constante de Torcao Jp 4, 41× 10−9m4

Rigidez de Flexao EIp 6, 89× 105Nm2

Rigidez de Torcao GJp 1, 02× 102Nm2

65

Com base nos parametros listados na Tabela 6.3, e possıvel calcular as frequencias

naturais do sistema para flexao e torcao a partir das Equacoes 5.37 e 5.59, respecti-

vamente. As frequencias naturais dos cinco primeiros modos de cada um dos tipos

de vibracao sao apresentadas na Tabela 6.4

Tabela 6.4: Frequencias naturais

Modo Flexao [Hz] Torcao[Hz]

1 35, 5 70, 9

2 216, 3 212, 6

3 605, 5 354, 3

4 1186, 6 496, 1

5 1961, 5 637, 8

6.2 Condicoes Iniciais

O sistema encontra-se inicialmente sob repouso, sendo as condicoes iniciais dadas

por:

η1

η2

η3

η4

η5

t=0

=

η1

η2

η3

η4

η5

t=0

=

χ1

χ2

χ3

χ4

χ5

t=0

=

χ1

χ2

χ3

χ4

χ5

t=0

=

0

0

0

0

0

e v(t = 0) = 0

(6.4)

Os deslocamentos devido a flexao w(x, 0) e torcao θ(x, 0), causadas pela forca

de sustentacao e momento aerodinamico estacionarios, sao calculadas aplicando as

Condicoes Iniciais 6.4 as Equacoes 5.93 e 5.99, respectivamente.

66

η1

η2

η3

η4

η5

t=0

=

−1, 3343

−0, 0188

−0, 0014

−0, 0003

−0, 0001

e

χ1

χ2

χ3

χ4

χ5

t=0

=

0

0

0

0

0

(6.5)

Note que χ(0) = 0 deve-se ao posicionamento do eixo elastico sobre AC (a =

−1/2). Isso faz que o momento sobre AC e, consequentemente, o momento torcor

sejam nulos ao longo de toda a envergadura da asa em situacoes estacionarias.

Substituindo os resultados de 6.5 nas Equacoes 6.3, obtem-se w(x, 0) e θ(x, 0):

w(x, 0) =5∑

m=1

φm(x)ηm(0)

θ(x, 0) =5∑r=1

ψr(x)χr(0) = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

250

x/l

w(x

,t =

0)

[mm

]

Figura 6.2: Deflexao transversal da asa em t=0.

67

6.3 Resultados para Rajadas de Vento Discretas

A resposta dinamica do sistema e a potencia eletrica desenvolvida no circuito sao

calculadas para rajadas de vento discretas que incidem sobre as asas. Os parametros

descritos na Tabela 6.2 sao mantidos constantes, enquanto varia-se a distancia gra-

diente H (i.e. a intensidade e duracao das rajadas) e a resistencia equivalente do

circuito eletrico R.

0 0.5 1 1.5 2 2.5100

200

300

400

500

600

700

Tempo [s]

Deslo

cam

ento

da P

onta

[m

m]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo [s]

Desl. A

ngula

r da P

onta

[°]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tempo [s]

Velo

cid

ade d

a P

onta

[m

/s]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Tempo [s]

Vel. A

ngula

r da P

onta

[°/

s]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(d)

Figura 6.3: (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) velocidade transversal e

(d) velocidade angular da ponta da asa considerando um circuito conectado em serie com R = 10kΩ

para diversos valores de H

As Figuras 6.3 e 6.4 apresentam os resultados obtidos para 5 valores diferentes

de gradientes de rajadas (variando entre o 35ft (10,67m) e 350ft (106,68m) para o

circuito conectado em serie. A resistencia equivalente do circuito eletrico utilizada

68

0 0.5 1 1.5 2 2.5−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

Tempo [s]

Tensão E

létr

ica [V

]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

50

100

150

200

250

300

Tempo [s]

Potê

ncia

Elé

tric

a [W

]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(b)

Figura 6.4: (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em serie com R = 10kΩ

para diversos valores de H

na simulacao equivale a 10kΩ. E possıvel observar que a amplitude e a duracao do

deslocamento transversal da ponta da asa (Figura 6.3(a)) aumentam com o aumento

da distancia gradiente. Em contrapartida, o deslocamento angular (Figura 6.3(c)) e

superior em rajadas de curta duracao, uma vez que estas induzem maiores variacoes

de velocidade, gerando maior momento no centro aerodinamico. Isto tambem e

refletido na tensao eletrica desenvolvida no circuito eletrico (Figura 6.4(a)), uma vez

que esta e proporcional a velocidade do deslocamento, consequentemente levando a

uma maior potencia eletrica gerada no circuito (Figura 6.4(b)). Resultados similares

sao obtidos ao considerar o circuito conectado em paralelo (Figuras 6.5 e 6.6).

Comparando os resultados obtidos para o circuito em serie com os alcancados

com o circuito em paralelo (Figuras 6.3 e 6.5), e possıvel observar que a escolha do

tipo de circuito nao exerce grande efeito sobre a dinamica do sistema quando uma

carga resistiva de R = 10kΩ e aplicada ao circuito. Isso fica explıcito na Figura 6.7,

que compara o valores absolutos maximos dos deslocamento e velocidades na ponta

da asa. Em contrapartida, a tensao eletrica e a potencia instantanea desenvolvida

no circuito eletrico variam bastante de uma conexao para outra, sendo que valores

superiores sao atingidos quando a conexao do circuito em paralelo e utilizada. Isto

e refletido na energia total coletada pelo sistema, como mostrado na Figura 6.8.

69

0 0.5 1 1.5 2 2.5100

200

300

400

500

600

700

Tempo [s]

Deslo

cam

ento

da P

onta

[m

m]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo [s]

Desl. A

ngula

r da P

onta

[°]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tempo [s]

Velo

cid

ade d

a P

onta

[m

/s]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Tempo [s]

Vel. A

ngula

r da P

onta

[°/

s]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(d)

Figura 6.5: (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) velocidade transversal

e (d) velocidade angular da ponta da asa considerando um circuito conectado em paralelo com

R = 1000Ω para diversos valores de H

70

0 0.5 1 1.5 2 2.5−2500

−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

2500

Tempo [s]

Tensão E

létr

ica [V

]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Tempo [s]

Potê

ncia

Elé

tric

a [W

]

H=35ft (10,7m)

H=105ft (32,0m)

H=175ft (53,3m)

H=280ft (85,3m)

H=350ft (106,7m)

(b)

Figura 6.6: (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em paralelo com R =

10kΩ para diversos valores de H

A fim de investigar os efeitos causados pela resistencia eletrica do circuito sobre

as respostas dinamica e eletrica do sistema, sao realizadas simulacoes com valores

de cargas resistivas variando entre 100Ω e 100MΩ. Os resultados sao apresentados

nas Figuras 6.9 e 6.10, para uma rajada de vento com distancia gradiente de 35ft

(10,67m). A carga resistiva e expressa em escala logarıtmica, sendo resistencia

eletrica de referencia Rref = 1Ω.

A partir da Figura 6.9 percebe-se que o deslocamento da ponta da asa decai com

o aumento da resistencia eletrica do circuito, permanecendo praticamente estavel

para valores acima de 1000kΩ (independentemente do tipo de circuito utilizado).

Como esperado, voltagens superiores sao alcancadas com o uso do circuito em serie.

Por outro lado, maiores amplitudes de corrente eletrica podem ser atingidas com o

circuito conectado em paralelo, permitindo escolher o tipo de conexao do circuito

eletrico mais indicado para aplicacoes especıficas.

A Figura 6.10 contem as curvas de energia coletada em funcao da resistencia

eletrica para cada um dos circuitos avaliados, considerando H = 35ft(10, 67m).

Uma vez que a corrente e a tensao eletrica se comportam de maneiras opostas com

relacao a carga resistiva (i.e a corrente e inversamente proporciona a resistencia,

enquanto a tensao eletrica e diretamente proporcional a esta) e sabendo que a energia

coletada e obtida a partir da integral da potencia eletrica, produto entre a corrente

e a tensao eletrica, no tempo, pode-se notar que a energia coletada nao apresenta

71

0 20 40 60 80 100 120500

550

600

650

700

H [m]

De

slo

ca

m.

Ab

s.

Ma

x d

a P

on

tat

[mm

]

Serie

Paralelo

(a)

0 20 40 60 80 100 1200.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

H [m]

Desl. A

ngula

r A

bs. M

ax. da P

onta

[º]

Serie

Paralelo

(b)

0 20 40 60 80 100 1201

2

3

4

5

6

7

H [m]

Velo

c. A

bs. M

ax. da P

onta

[m

/s]

Serie

Paralelo

(c)

0 20 40 60 80 100 1200

5

10

15

20

25

30

35

40

H [m]

Ve

loc.

An

g.

Ab

s.

Ma

x.

da

Po

nta

[º/

s]

Serie

Paralelo

(d)

Figura 6.7: Comparacao entre os circuitos conectados em serie e em paralelo dos valores absolutos

maximos obtidos para (a) o deslocamento transversal, (b) o deslocamento angular, (c) a velocidade

transversal e (d) a velocidade angular da ponta da asa, considerando R = 10kΩ

72

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

50

60

H [m]

Energ

ia C

ole

tada [J]

Serie

Paralelo

Figura 6.8: Total de energia coletada atraves do circuito eletrico acoplado ao sistema para R =

10kΩ

um comportamento monotonico em funcao da resistencia, havendo determinados

valores de resistencia que maximizam a colheira energetica. Apesar do ponto de

maxima coleta de energia ser alcancado para diferentes valores de resistencia eletrica

em cada um dos circuitos, a magnitude da energia maxima coletada e de cerca de

41J para ambos circuitos. Estes pontos sao atingidos com o uso de resistencias

eletricas de R ' 35, 1kΩ e R ' 10, 0kΩ para os circuitos em serie e em paralelo,

respectivamente. A energia coletada em funcao da resistencia para outros gradientes

de rajada e mostrada na Figura 6.11. Pode-se inferir que a distribuicao da energia

coletada em funcao da resistencia e aproximadamente parabolica para todos em todo

o regime de gradientes de rajada passıveis de atingir a aeronave.

A maxima energia coletada pelo sistema a partir de rajadas de vento discretas

em funcao da distancia gradiente e apresentada na Figura 6.12, enquanto a Fi-

gura 6.13 mostra a resistencia eletrica necessaria que este valor seja alcancado. A

partir dos resultados, nota-se que a capacidade de coleta dos sistemas conectados

em serie e em paralelo e bastante proxima ao logo de todo o intervalo de distancias

gradientes. O pico de energia registrado em torno do gradiente 20m e devido a pro-

ximidade da frequencia natural do primeiro modo de vibracao transversal do sistema

(ω1 = 34, 5Hz). Com excecao deste ponto, percebe-se que a capacidade de colheita

73

2 3 4 5 6 7 8512

512.5

513

513.5

514

514.5

515

log(R/Rref

)

Máx. D

eslo

c. A

bs. da P

onta

[m

m]

Paralelo

Paralelo − Cubic Spline

Série

Série − Cubic Spline

(a)

2 3 4 5 6 7 80.85

0.851

0.852

0.853

0.854

0.855

0.856

0.857

0.858

log(R/Rref

)

Max. D

esl. A

ngula

r A

bs. da P

onta

[º]

Paralelo

Paralelo − Cubic Spline

Série

Série − Cubic Spline

(b)

2 3 4 5 6 7 80

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

log(R/Rref

)

Ma

x.

Te

nsã

o E

létr

ica

[V

]

Paralelo

Paralelo − Cubic Spline

Série

Série − Cubic Spline

(c)

2 3 4 5 6 7 80

50

100

150

200

250

300

350

400

log(R/Rref

)

Ma

x.

Cu

rre

nte

Elé

tric

a [

mA

]

Paralelo

Paralelo − Cubic Spline

Série

Série − Cubic Spline

(d)

Figura 6.9: Valores absolutos maximos atingidos para os deslocamentos (a) transversal e (b) angu-

lar da ponta da asa, (c) tensao eletrica e (d) corrente eletrica em funcao da resistencia equivalente

do circuito (H = 35ft (10, 67m))

74

2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

40

45

log(R/Rref

)

Energ

ia C

ole

tada [J]

Série

Série − Cubic SplineParalelo

Paralelo − Cubic Spline

Figura 6.10: Total de energia coletada pelo sistema em funcao da resistencia eletrica equivalente

(H = 35ft (10, 67m))

aumenta com o aumento do gradiente de rajada, o que e explicado pelo aporte de

energia ao sistema (i.e quanto maior a intensidade e duracao da rajada de vento,

mais energia e fornecida ao sistema). A resistencia eletrica requerida para maxi-

mizar a colheita energetica tende a crescer com o gradiente de turbulencia, sendo

sempre superior para circuitos conectados em serie.

Os resultados obtidos nas simulacoes realizadas permitem avaliar a resposta

dinamica do sistema para diferentes situacoes de turbulencia que podem ser en-

contradas durante voos de cruzeiro ou em manobras aereas. A caracterizacao do

sistema de colheita energetica a partir de materiais piezoeletricos permite compre-

ender o processo de colheita energetica, podendo ser aplicada no dimensionamento

eficiente de sistemas reais. Alem do mais, o modelo apresentado nesta analise e

bastante abrangente, podendo ser empregado em diversas outras aplicacoes de en-

genharia com pequenas modificacoes nos parametros e cargas utilizadas.

75

2 4 6 8 10 120

10

20

30

40

50

60

70

log(R/Rref

)

En

erg

ia C

ole

tad

a [

J]

Série

Série − Cubic SplineParalelo

Paralelo − Cubic Spline

(a) H=70ft (21,36m)

2 4 6 8 10 120

10

20

30

40

50

60

70

log(R/Rref

)

En

erg

ia C

ole

tad

a [

J]

Série

Série − Cubic SplineParalelo

Paralelo − Cubic Spline

(b) H=140ft (42,62m)

2 4 6 8 10 120

10

20

30

40

50

60

70

log(R/Rref

)

En

erg

ia C

ole

tad

a [

J]

Série

Série − Cubic SplineParalelo

Paralelo − Cubic Spline

(c) H=270ft (82,30m)

2 4 6 8 10 120

10

20

30

40

50

60

70

80

log(R/Rref

)

En

erg

ia C

ole

tad

a [

J]

Série

Série − Cubic SplineParalelo

Paralelo − Cubic Spline

(d) H=350ft (106,68m)

Figura 6.11: Energia coletada em funcao da resistencia eletrica para diversos gradientes de rajadas

discretas.

76

20 30 40 50 60 70 80 90 10040

45

50

55

60

65

70

75

Gradiente de Rajada [m]

Ma

x.

Ene

rgia

Cole

tad

a [

J]

Circ. em Serie

Circ. em Paralelo

Figura 6.12: Maxima energia possıvel de ser coletada pelo sistema em funcao do gradiente de

rajada

20 30 40 50 60 70 80 90 1004

4.5

5

5.5

Gradiente de Rajada [m]

log(R

/Rre

f) para

Max. C

olh

eita E

nerg

ética

Circ. em Serie

Circ. em Paralelo

Figura 6.13: Resistencia eletrica equivalente do circuito eletrico necessaria para maximizar a coleta

de energia

77

Capıtulo 7

Conclusao

O objetivo deste trabalho consiste em investigar a resposta dinamica e a capacidade

de colheita de energia a partir de vibracoes geradas pela incidencia de rajadas de

vento sobre componentes aerodinamicos de aeronaves atraves do uso de materiais

com propriedades piezoeletricas. O sistema de colheita energetico e modelado como

um sistema contınuo, permitindo analisar a dinamica do sistema ao longo de toda

a sua extensao e contabilizar o efeito de multiplos modos de vibracao. As cargas

aerodinamicas sao derivadas da teoria de estados-finitos de Peters et al. (1995),

com o intuito de abordar efeitos aerodinamicos nao-estacionarios. Sao considera-

das rajadas de vento do tipo “1-Cosseno”, seguindo as orientacoes estabelecidas

em [3]. A solucao do sistema de equacoes diferenciais que modela a dinamica e

eletrodinamica do sistema e obtida utilizando o metodo numerico Runge Kutta de

quarta ordem, possibilitando obter a resposta dinamica e a capacidade de colheita

de energia do sistema em funcao do gradiente de turbulencia e do carga resistiva do

circuito eletrico.

A estrutura da asa e modelada como uma viga Euler-Bernoulli contınua em

balanco, engastada em uma das extremidades e livre na outra, com camadas de

material piezoeletrico acopladas as extremidades superior e inferior. As cargas aero-

dinamicas nao-estacionarias foram extraıdas do modelo de estados-finitos de Peters

et al. (1995), descrito em [2], com pequenas modificacoes a fim de considerar os

efeitos causados pela incidencia das rajadas de vento com perfil “1-Cosseno”. Uti-

lizando o metodo de separacao de variaveis, as frequencias naturais e as funcoes de

forma do sistema sao encontradas. Com isso, pode-se dividir as equacoes diferenci-

78

ais parciais que modelam a mecanica do sistema em infinitas equacoes diferenciais

ordinarias. As equacoes do circuito eletrico sao derivadas com base na integral da

lei de Gauss e das equacoes constitutivas dos materiais piezoeletricos.

Considerando os cinco primeiros modos de vibracao transversal e angular, si-

mulacoes numericas sao realizadas utilizando o metodo Range-Kutta de 4a ordem,

com parametros baseados numa aeronave de transporte civil da categoria Very Light

Jet. Os resultados obtidos permitem analisar a resposta dinamica e o potencial de

colheita energetica do sistema para diversos valores de carga resistiva do circuito

eletrico e gradientes de turbulencia. E possıvel observar a dependencia da capaci-

dade de colheita energetica em funcao da carga resistiva do circuito eletrico, tanto

para circuitos conectados em serie, quanto para circuitos em paralelo. Para um

gradiente de rajada especıfico, a colheita de energia apresenta um comportamento

parabolico em funcao da resistencia eletrica do circuito, podendo ser maximizada

com o uso de cargas resistivas especıficas. O mapeamento das resistencias eletricas

que levam a maxima colheita energetica, assim como o maximo potencial de co-

lheita em funcao do gradiente de rajada, sao apresentados em forma grafica. Como

esperado, o potencial de colheita energetica cresce com o gradiente de rajada, com

um maximo local na proximidade da primeira frequencia de ressonancia do sistema.

Apesar de ser possıvel reduzir os efeitos das vibracoes geradas pelas incidencia de

rajadas, os ganhos sao desprezıveis quando comparados ao deslocamento estatico da

estrutura.

Comparando os tipos de conexao em serie e em paralelo, e possıvel concluir

que a capacidade de colheita do sistema independe do tipo de conexao do circuito

(i.e. ambos circuitos apresentam potencial de colheita praticamente equivalentes

para uma determinada magnitude de turbulencia). Como esperado, maiores volta-

gens eletricas sao alcancadas para circuitos em serie, enquanto correntes eletricas

superiores sao obtidas a partir de circuitos conectados em paralelo, o que permite

selecionar o tipo de circuito mais adequado para determinadas aplicacoes.

79

Referencias Bibliograficas

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81