Ângulos, a sua medida e rosáceas.

O conjunto de actividades que a seguir se propõe visam construir e consolidar:

• a noção de ângulo e de sua amplitude;

• propiciar um ambiente favorável ao aparecimento natural da medida de um

ângulo;

• desenvolver simetrias por rotação e o estudo de rosáceas.

Pretende-se que a noção de ângulo recto surja como o ângulo que resulta da divisão do

plano em quatro partes geometricamente iguais. Os estudantes através de sucessivas

manipulações de quadriláteros e triângulos vão construindo a noção de ângulo agudo e

ângulo obtuso.

Fig. 1

Parte da actividade atrás citada já foi, com sucesso implementada em duas turmas do

quarto ano. A avaliação é francamente positiva pelos professores que a implementaram e

pelos alunos.

Identificaram com facilidade os ângulos fazendo a comparação das suas amplitudes.

Recortaram e uniram os mesmos e apareceu então uma noção nova: «o ângulo giro», que eles

fixaram de forma rápida e segura.

Seguidamente apresentei-lhes o segundo quadrilátero. Após um diálogo bem partilhado,

professora/alunos, rapidamente se aperceberam que este quadrilátero era diferente do anterior.

Seguiu-se o procedimento de comparação dos ângulos e suas amplitudes. Após a comparação

dos ângulos deste quadrilátero com os da figura anterior, chegaram à conclusão que tinham

amplitudes diferentes.

Quando uniram os ângulos do segundo quadrilátero e verificaram que tinha resultado

outro ângulo giro, ficaram surpreendidos.

Registo de uma das professoras que realizou a tarefa.

As actividades de identificação dos ângulos rectos, agudos e obtusos partem de dois

teoremas clássicos sobre a amplitude de polígonos de três e quatro lados. O potencial da

tarefa reside na constatação e descoberta dos estudantes de uma regularidade que

interpretam e utilizam para contextualizar a noção de ângulo e como base para chegarem

ao sistema de medida destes.

Recorrendo a instrumentos de desenho que os estudantes conhecem, como sejam os

esquadros isósceles e escalenos, e a noção de múltiplos pretende-se induzir o valor de 360

como medida do ângulo giro e a partir daqui passar ao estudo do transferidor.

Da manipulação de 8 esquadros isósceles, 6 e 12 esquadros escalenos podem obter-se

os seguintes padrões:

fig. 2

Resulta daqui que os estudantes podem observar que estes instrumentos dividem o

ângulo giro em 6, 8 e 12 partes geometricamente iguais. Já tinham observado com as

actividades anteriores que o ângulo recto era a divisão do ângulo giro em 4.

O professor poderá então questionar os estudantes:

Qual será um valor adequado par a medida do ângulo giro?

Os alunos poderão sugerir vários valores contudo deverão ser alertados para que a

divisão do valor sugerido por 4, 6, 8 e 12 deve ser exacta.

A resposta deverá assumir os contornos de uma pequena actividade de investigação. Os

estudantes poderão ser:

• auxiliados ou não por uma calculadora;

• criarem tabelas com os múltiplos de 4, 6, 8 e 12;

• usar outra estratégia que considerem oportuna.

Depois de discutir vários valores possíveis deverá encontrar-se o menor valor possível.

Observe-se que existem vários valores da medida de ângulo a divisão do dia em 360

partes deve-se a Hiparco de Niceia, influenciado pelo sistema sexagésimal conhecido pelos

babilónicos. (Boyer, 1996, p. 110)

Existem outros sistemas de medida como seja o grado que divide o ângulo giro em 400

partes. Note-se que nos nossos dias a influência do sistema sexagésimal babilónico ainda

subsiste na divisão do ano em meses e dias e na medida do tempo.

Finalmente pretende-se trabalhar as rosáceas como padrões obtidos por rotação dum

módulo. Admite-se que houve junto dos estudantes de um trabalho prévio com livro de

espelhos onde se iniciou a abordagem das rosáceas como composição de simetrias.

As imagens que ajudam a introduzir a medida de ângulo (fig. 2) devem ser interpretadas

como rosáceas geradas por rotações de ângulo 60º, 30º e 45º respectivamente. O esquadro

constitui o módulo do padrão. A posição que o módulo tem em relação ao centro de rotação

condiciona o padrão da rosácea obtida.

fig. 3

Assim as imagens da fig. 3 são rosáceas geradas pelo mesmo módulo e ângulo. O

padrão obtido é diferente devido a posição do módulo relativamente ao ponto centro de

rotação.

A simetria do módulo pode em alguns casos criar um padrão que possa ser obtido por

um sub-módulo e outro ângulo de rotação. Como se pode ver na última imagem da figura 4 o

padrão pode ser obtido por rotação de ângulo de 60º sobre um ponto de simetria do módulo.

módulo

α=120º

O

O

O

O

A abordagem das rosáceas no 1º ciclo deve ser entendida como o primeiro contacto

que o estudante tem com as rotações. Existem muitos motivos, do quotidiano, plenos destas

estruturas, o estudante deve em casos concretos, em padrões do quotidiano, identificar o

módulo, o centro de rotação e o ângulo que permite gerar o padrão. Para além de interpretar

a realidade o estudante pode também recriar padrões por rotação através de recorte, de

dobragens e de trabalhos de expressão plástica.

Para além da manipulação dos esquadros, atrás sugerida, apresenta-se algumas

actividades para serem realizadas sobre papel de grelha triangular e quadrangular para além

de sugerir-se a manipulação de espelhos.

Referencias: Boyer, Carl B. (1996). História da Matemática (2ª ed.). S. Paulo: Editora

Edgard Blücher, ltda.