Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Curso de Licenciatura em Matemática

Andrey Vericius Cardoso

Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos do ensino médio na resolução de razões

trigonométricas.

Belém 2009

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Andrey Vericius Cardoso

Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos do ensino médio na resolução de razões trigonométricas.

Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Área de concentração: Matemática Orientadora: Profª.M.Sc. Acylena Coelho Costa

Belém 2009

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Andrey Vericius Cardoso

Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos do ensino médio na resolução de razões trigonométricas.

Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Área de concentração: Matemática

Banca Examinadora

________________________-Orientador Profª. Acylena Coelho Costa M.Sc. em Educação Matemática Universidade do Estado do Pará

____________________________ ____________________________

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Dados internacionais de publicação na catalogação (CIP)

__________________________________________________________________

Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos do ensino médio na resolução de razões trigonométricas. Andrey Vericius.Cardoso. Orientadora: Profª. M.Sc. Acylena Coelho Costa.__ 2007. Trabalho de Conclusão de Curso de (Graduação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2007.

Palavras-chave: Razões Trigonométricas, Ensino Médio, Ensino e Aprendizagem

___________________________________________________________________________

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AGRADECIMENTOS

A Deus, pela minha vida, e por tudo que me tem ofertado até hoje.

A professora Acylena, pela orientação, amizade e paciência.

À minha família, em especial à minha mãe, pelas batalhas vencidas dia após dia e

por ter vencido a maior de todas as batalhar criando dois filhos, conseguindo fazê-

los homens vencedores, ao meu Tio Manoel, por ser a coluna que “sustenta” e dá

força a nossa família, a minha avó por sempre ter cuidado de mim e a Tia Dita, pelos

sermões.

Aos meus amigos do campus da UEPA de São Miguel do Guamá e aos amigos que

fiz no CCSE em Belém, em especial aos de minha turma.

Aos colegas de trabalho que sempre me incentivaram a seguir em frente e aos

professores que estiveram ao meu lado durante este ano nos momentos de alegria e

de tristeza, sempre me dando força pra seguir nessa estrada, são eles: Klayton,

Carlos, Luiz, Bernard, Larissa, Lívia e Victor, e a nossa pedagoga de plantão Nígia.

A Suzy Tayrine, por estar ao meu lado neste momento, me dando força e apoiando

minhas decisões.

Ao Jerry pelos incentivos a continuar esforçando-me nos estudos e pela amizade.

E a todos que me acompanharam no decorrer destes “5 anos” de estudo e batalha.

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RESUMO

CARDOSO, Andrey Vericius. Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos do ensino médio na resolução de razões trigonométricas. 2009. 38 f. Trabalho de Conclusão de Curso de (Graduação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.

Essa pesquisa apresenta um estudo diagnóstico cujo objetivo foi analisar o

conhecimento de alunos do ensino médio sobre as razões trigonométricas. Os

sujeitos investigados foram 59 alunos do 1º ano do ensino médio das redes Pública

e Privada de ensino da cidade de Belém do Pará no primeiro bimestre de 2008. Os

dados desta pesquisa foram obtidos por meio da aplicação de um questionário

contendo questões sobre o referido assunto. Os resultados foram organizados em

categorias de erros e revelaram grandes quantidades de erros quanto as operações

matemática.

Palavras-chave: Razões trigonométricas, Ensino médio, Ensino e aprendizagem.

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ABSTRACT

CARDOSO, Andrey Vericius. A study of the major mistakes made by high school students in solving trigonometric reasons. 2009. 38 f. Completion of Work Course (Graduate) - University of the State of Pará, Belém, 2009. This research presents a study whose aim was to analyze diagnostic knowledge of high school students about the reasons trigonometric. The subjects investigated were 59 students from 1st year of high school networks of public and private schools of the city of Belém do Pará in the first two months of 2008. The data from this study were obtained through the application of a questionnaire containing questions on the subject. The results were organized into categories of errors and showed large amounts of errors in mathematical operations. Keywords: Why trigonometric, High School, teaching and learning.

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 01 – Função corda....................................................................................19

FIGURA 02 – Parte de uma tradução do Almagesto em latim, de 1451.................21

FIGURA 03 - Resposta do (a) aluno (a) A3..............................................................24

FIGURA 04 - Resposta do (a) aluno (a) A12.............................................................25

FIGURA 05 - Resposta do (a) aluno (a) A1...............................................................27

FIGURA 06 - Resposta do (a) aluno (a) A10.............................................................28

FIGURA 07 - Resposta do (a) aluno (a) A10.............................................................29

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LISTA DE TABELAS

TABELA I - Categoria de erros e total de questões................................................24

10

SUMÁRIO

1 – APRESENTAÇÃO................................................................................................12

2 – PESQUISAS CORRELATAS SOBRE TRIGONOMETRIA..................................13

2.1 – Ensino e aprendizagem da trigonometria: novas perspectivas

da educação matemática – Maria José Briguenti (1994)........................13

2.2 – O uso de tópicos históricos da trigonometria como perspectiva

metodológica no ensino de 2º grau - Iran Abreu Mendes (1998)..........15

2.3 – Conhecimentos de Estudantes do Ensino Médio sobre Razões

Trigonométricas no triângulo retângulo – Dilvana Maria Melo (2005)...15

2.4 - Problemática da pesquisa.......................................................................16

3 – HISTÓRICO DA TRIGONOMETRIA....................................................................17

3.1 – HIPARCO...............................................................................................18

3.2 – CLÁUDIO PTOLOMEU..........................................................................20

4 - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.............................................................22

4.1 – SUJEITOS INVESTIGADOS..................................................................22

4.2 – QUESTIONÁRIO APLICADO.................................................................22

4.3 – PROCEDIMENTO PARA COLETA DE DADOS....................................22

4.4 – CATEGORIAS........................................................................................23

4.4.1 - ERRO NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS........................................23

4.4.2 - ERRO DE INVERSÃO DOS VALORES DA RAZÃO

TRIGONOMÉTRICA............................................................................23

4.4.3 - RESPOSTAS INCOMPLETAS............................................................23

4.4.4 - RESPOSTAS EM BRANCO................................................................23

5 – ANÁLISE DOS RESULTADOS ALCANSADOS..................................................24

5.1 – ANÁLISE DOS ERROS POR CATEGORIA...........................................24

5.1.1 – CATEGORIA 1 - ERRO NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS............24

5.1.2 – CATEGORIA 2 - ERRO DE INVERSÃO DOS VALORES

DA RAZÃO TRIGONOMÉTRICA............................................................27

5.1.3 – CATEGORIA 3 – REPOSTAS INCOMPLETAS..................................28

11

5.1.4 – CATEGORIA 4 – RESPOSTAS EM BRANCO....................................29

6 – CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................30

6.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................30

6.2 – CONSIDERAÇÕES FINAIS....................................................................30

7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................31

8 – PESQUISAS ON LINE.........................................................................................33

APÊNDICES

12

1. APRESENTAÇÃO

Atualmente, a matemática tem sido tema de muita discussão e debate entre

professores, matemáticos, pesquisadores, pedagogos, entre outros profissionais da

área, para que haja, cada vez, mais uma proximidade entre a sala de aula e o

cotidiano do aluno. A respeito da importância de tal discussão sobre a matemática

no cotidiano, encontramos uma citação importante nos Parâmetros Curriculares

Nacionais-PCN‟s (1999) ao se referir a matemática “como um instrumento que ajuda

a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, além de desempenhar um papel

instrumental, visto que a mesma é uma ferramenta que serve para quase todas as

atividades da vida cotidiana”.

A escolha do assunto trigonometria para o desenvolvimento deste trabalho de

conclusão de curso deve-se ao fato deste ramo da matemática ter grande

aplicabilidade no dia-dia e em várias outras ciências.

Este foi um dos motivos que motivou-nos a optar pela realização deste

trabalho, iniciando-o com um breve contexto histórico a respeito de como surgiu e

como foi se aprofundando o estudo da trigonometria, até os tempos atuais. Após o

levantamento bibliográfico e dos dados históricos, foi realizada uma pesquisa de

campo com aplicação de questionários contendo questões subjetivas diretas e

problemas envolvendo as razões trigonométricas para 59 alunos do 1º ano do

Ensino Médio da rede Pública e da rede Particular de ensino da cidade de Belém do

Pará no primeiro bimestre de 2008, fazendo uma pesquisa direcionada a

compreensão da trigonometria pelos discentes de ambas as redes de ensino, e

assim analisar os principais erros cometidos por eles na resolução de questões

relacionadas ao seu dia-dia que envolvem o assunto aqui abordado.

Por fim foi realizado um trabalho de tabulação e análise dos dados

encontrados na aplicação dos questionários para os alunos da rede pública e da

rede particular de ensino da cidade de Belém, mais precisamente uma analise dos

erros cometidos por cada aluno, dividindo-os de acordo com uma categoria de erros.

13

2 – PESQUISAS CORRELATAS SOBRE TRIGONOMETRIA

Para melhor desenvolver este trabalho foi realizado um levantamento a

respeito de autores que já realizaram pesquisas sobre este tema, a trigonometria,

para verificar como está se dando o processo de ensino-aprendizagem a respeito

deste ramo da matemática. Ao realizar tal levantamento encontramos vários

trabalhos sobre o tema aqui desenvolvido, porém destacaremos apenas aqueles que

tiveram alguma similaridade com nosso trabalho, pelos contextos abordados pelos

mesmos, e por tratarem o assunto de forma semelhante com a abordagem que

fizemos.

2.1. Ensino e aprendizagem da trigonometria: novas perspectivas da educação

matemática – Maria José Briguenti (1994)

De acordo com sua experiência e prática em sala de aula a professora

Briguenti (1994) pôde perceber a dificuldade apresentada pelos alunos em relação á

trigonometria, com isso, resolveu elaborar métodos de ensino da trigonometria

através da educação matemática e das teorias de Piaget, Ausubel e Bruner,

propondo assim a construção do conhecimento pelo próprio aluno. A pesquisadora

resolveu realizar uma pesquisa com alunos de primeiro e segundo graus, atualmente

ensino fundamental e médio, em duas escolas públicas da cidade de Bauru – SP,

para a realização deste trabalho Briguenti(1994) teve como base a teoria de David

Ausubel, a teoria da assimilação de David Paul Ausubel, ou teoria da aprendizagem

significativa, é uma teoria cognitivista que procura explicar os mecanismos internos

que ocorrem na mente humana com relação ao aprendizado e à estruturação do

conhecimento. Contemporâneo de Piaget, Ausubel tem propostas que em alguns

pontos se assemelham às do biólogo suíço, mas que em outros se afastam

bastante.

Diferentemente de Piaget, cujo foco principal de pesquisa não era a

aprendizagem que ocorria na sala de aula, Ausubel concentra-se principalmente

nesta questão, de modo que dos seus trabalhos percebe-se uma proposta concreta

para o cotidiano acadêmico. Como Piaget, Ausubel acredita no valor da

aprendizagem por descoberta, mas volta a valorizar a aula do tipo expositiva, que

será o grande foco da sua pesquisa.

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Neste sentido, o maior legado deixado por Ausubel é justamente o de técnicas e

reflexões acerca da aula do tipo “tradicional”, e do tipo de enfoque, cuidado e

trabalho ideais que um professor deveria ter neste contexto, no sentido de propiciar

o melhor aprendizado possível para seus alunos. A aprendizagem significativa tem

lugar quando as novas idéias vão se relacionando de forma não-arbitrária e

substantiva com as idéias já existentes. Por “não-arbitriedade” entende-se que existe

uma relação lógica e explícita entre a nova idéia e alguma(s) outra(s) já existente(s)

na estrutura cognitiva do indivíduo. Assim, por exemplo, entender o conceito do

termômetro só será de fato significativo para o indivíduo, se de alguma forma houver

uma clara relação entre este e o conceito de temperatura.

Na escola de Primeiro grau (ensino fundamental), a experiência foi

desenvolvida com 36 alunos da 8ª série (atual 9º ano) no turno da manhã, tal

trabalho foi aplicado durante duas semanas com duração de 6 horas/aulas.

Na escola de segundo grau (ensino médio), foi realizado um trabalho de 3

meses, com uma carga horária de 60 horas/aula, numa turma de 2º ano, com 29

aluno no turno da manhã.

Este trabalho trata sobre os alunos do ensino fundamental, o qual abordou a

trigonometria no triângulo retângulo com atividades propostas em duas folhas, a

pesquisa iniciou-se “salientando a importância das idéias de proporcionalidade e

semelhança para a resolução de problemas que aparecem no cotidiano” (p. 129).

Após esta atividade, foi entregue para os alunos uma folha xerocada, onde os

indivíduos investigados deveriam construir triângulos retângulos semelhantes, e

observar que a razão entre as medidas dos lados era constante e assim construir a

definição das razões seno, cosseno e tangente do ângulo agudo. Com o termino

dessa fase da pesquisa, inicia-se uma nova fase onde os alunos resolveram uma 2ª

folha de exercícios contendo 10 questões sendo as duas ultimas contextualizadas,

respectivamente sobre um foguete e um navio.

Por fim, a professora (pesquisadora) realizou uma entrevista coletiva com os

alunos, para que os mesmos fizessem suas considerações a respeito da pesquisa

realizada com eles. Assim, ela pode observar que a maioria dos alunos sentiram-se

motivados e que grande parte deles gostou da forma como o assunto foi abordado.

O trabalho da professora Briguenti (1994), foi de suma importância para a

realização de meu trabalho de conclusão de curso, por sua fundamentação teórica,

por seus aspectos históricos e por ser um trabalho semelhante ao que tentamos

15

fazer, aplicando questionário e entrevista aos alunos, por isso relatá-lo seria

inevitável.

2.2. O uso de tópicos históricos da trigonometria como perspectiva

metodológica no ensino de 2º grau - Iran Abreu Mendes (1998)

Para realizar o trabalho apresentado acima, o professor Iran Abreu relatou

que sentiu-se motivado pelo interesse apresentado pelos professores de matemática

de Natal – RN, tal estudo tem como base o aprofundamento histórico sobre a

trigonometria, o que contribuiu bastante também para a realização deste trabalho de

conclusão de curso.

O objetivo principal do trabalho de Mendes (1998) é utilizar a história da

trigonometria como uma estratégia alternativa para o ensino da mesma, para alunos

do 2º grau, propondo também, atividades de redescoberta para auxiliar na

construção de conceitos da trigonometria, cabendo assim ao professor, apenas a

função de orientar as atividades propostas aos seus alunos, onde o mesmo (aluno)

irá construir seu conhecimento através de seu raciocínio e da história por ele

pesquisada, aplicando-a na resolução de problemas práticos que a exigem.

No entanto, é reconhecido por Mendes (1998) que não basta apenas este

método para que o aluno possa ter a competência de resolver problemas, é

importante que se complemente a aprendizagem com atividades voltadas à fixação

ou com um uso adequado de recursos como o livro didático, afim de assim

desenvolver o conteúdo programático sugerido pela escola.

Este trabalho mostra principalmente a importância da base histórica, para que

possamos ter um melhor aproveitamento por parte do aluno “uma aprendizagem

significativa” e não apenas para este assunto, assim como para os demais, o que

mostra a importância do contexto histórico contido em nosso trabalho.

2.3. Conhecimentos de Estudantes do Ensino Médio sobre Razões

Trigonométricas no triângulo retângulo – Dilvana Maria Melo (2006)

Através da aplicação de questionários investigou as respostas de 37 alunos

do 2º ano do ensino médio de uma escola pública no Pará, cujo objetivo foi o de

verificar quais os conhecimentos destes sujeitos quanto às definições, às relações e

aos problemas envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

16

A coleta de dados ocorreu por meio de um teste escrito. Os resultados,

indicam que os alunos não conseguem identificar corretamente, os elementos (lados

e ângulos) do triângulo retângulo e, consequentemente apresentam dificuldades nas

definições das razões trigonométricas. No que refere-se às relações trigonométricas,

os alunos não estabeleceram corretamente as relações entre os elementos, pois

escreveram as razões trocando termos ou utilizando termos desconhecidos.

2.4. Problemática da pesquisa

Do nosso ponto de vista, a trigonometria, tema central desta pesquisa, serve

como base para os estudos em outras disciplinas do Ensino Médio, auxiliando o

aluno a ter uma aprendizagem significativa e possibilitando-lhe uma visão de onde

pode aplicar tal conhecimento em seu dia-dia.

O estudo da trigonometria no ensino médio, como qualquer outro ramo da

matemática, consegue adquirir caráter significativo, quando possibilita o

desenvolvimento de habilidades consideradas significativas no que diz respeito à

leitura e interpretação de fatos reais que envolvem não somente os conhecimentos

matemáticos, mas as demais atividades da vida do aluno.

Apoiados nos estudos supracitados, levantamos como problemática de nossa

pesquisa a seguinte questão:

Qual o desempenho de alunos do 1º ano do ensino médio em atividades que

envolvem os conhecimentos sobre trigonometria, especificamente as razões

trigonométricas?

Desse modo, nossa pesquisa visa contribuir para o ensino da trigonometria e

para isso nos propomos a analisar as dificuldades apresentadas por alunos do

ensino médio quando resolvem questões envolvendo as razões trigonométricas.

17

3. BREVE HISTÓRICO SOBRE A TRIGONOMETRIA:

No decorrer desta seção faremos uma breve explanação sobre a história da

trigonometria, sua origem e evolução, assim como também, sobre autores

importantes que ajudaram no desenvolvimento desta ciência, visto que ao meu

entender, é de vital importância saber de onde surgiu determinado conteúdo, para

que se possa ter uma aprendizagem significativa, visto que, hoje em dia um dos

grandes questionamentos por parte dos alunos é saber como surgiu, de onde surgiu

e principalmente para que serve tal assunto, ou seja, pra que eles estão estudando

este conteúdo.

Brolezzi (2000) faz referência a importância da história da matemática para o

ensino da mesma, mostrando que é de vital importância o uso deste recurso como

“algo” motivador, para que possamos revelar ao aluno o significado daquilo que

queremos ensinar.

Iniciaremos falando sobre o significado da palavra trigonometria, esta palavra

tem origem grega e seu significado é: TRI = três; GONO = ângulos ou lados e

METRIA = medida. Podemos ainda considerar que a palavra TRIGONOMETRIA

vem do grego TRIGÕNON que significa triângulo e METRUN, que significa medida.

Logo podemos entender que trigonometria significa medida dos lados e ângulos de

polígonos de três lados, ou dos triângulos. Na antiguidade os egípcios e os

babilônios a chamavam de TRILATEROMETRIA, pois a entendiam apenas como

medidas dos lados.

A trigonometria desenvolveu-se a partir da necessidade do homem, em

calcular medidas de distancias impossíveis de serem calculadas diretamente, esses

cálculos podiam ser encontrados na Astronomia, na Navegação e na Agrimensura

entre outros, hoje em dia, porém, sabemos que a trigonometria pode ser relacionada

a outras ciências como a Física e a Engenharia.

No ramo da astronomia, entretanto, encontram-se os primeiros vestígios de

cálculos envolvendo relações trigonométricas, tendo destaque nessa área do

conhecimento o maior astrônomo grego da antiguidade que se tem conhecimento:

HIPARCO (Séc. II a.C.) que segundo alguns historiadores e o conhecimento que

chegou até nossos dias, foi o responsável pelos primeiros cálculos envolvendo

relações trigonométricas, foi ele quem introduziu na Grécia o círculo em 360º, e seu

papel para o desenvolvimento da trigonometria foi de vital importância para a

18

trigonometria que conhecemos atualmente. Hiparco também é responsável pela

construção da primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de doze cordas, a

qual Hiparco utilizou para seus estudos em Astronomia, evidentemente.

3.1 - Hiparco

Foi copilada a primeira tabela trigonométrica pelo astrônomo

Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.), que assim ganhou o direito de

ser chamado O Pai da Trigonometria. Aristarco sabia que num

dado circulo a razão do arco para a corda diminui quando o arco

diminui de 180º para 0º, aproximando-se do limite l. Antes de

Hiparco ninguém tinha tabulado valores correspondentes do arco e

da corda para toda uma série de ângulos. (BOYER, 1974, p. 118).

Não se sabe ao certo, como Hiparco construiu tal tabela, pois suas obras

perderam-se com o tempo e algumas atualmente nem existem mais. “É provável

que seus métodos fossem semelhantes aos de Ptolomeu”(BOYER, 1974).

O comentador Têon de Alexandria (século IV) atribuiu a Hiparco

um Tratado em doze livros que se ocupa da construção de Tábuas

de Cordas posterior, devido a Cláudio Ptolomeu, que fornece os

comprimentos das cordas dos ângulos centrais de um circulo

dado, de ½º a 180º, pode ter-se baseado na de Hiparco. Divide-se

o raio do circulo em 60 partes e se expressam os comprimentos

das cordas sexagesimalmente em termos dessas partes.(EVES,

1997, p. 203).

Há uma justificativa para que Hiparco tenha divido o raio em 60 partes, essa

justificativa pode ser encontrada em CARMO (1992):

19

Todos os matemáticos gregos que eram obrigados em seus

trabalhos a efetuar cálculos com frações, utilizavam as frações

sexagesimais babilônias, devido à facilidade com que elas

introduziam em seus cálculos, daí a razão de raio de comprimento

60. (CARMO, 1992. p. 103).

Hiparco também é responsável pela criação de uma função trigonométrica,

denominada hoje em dia de Função Corda (dado um circulo de raio R, a função

corda associa a cada ângulo “alfa” de vértice no centro do circulo, o valor da medida

da respectiva corda geométrica). (EVES,1997). Por esses e outros feitos

relacionados a Trigonometria, Hiparco é considerado por muitos como o Pai da

Trigonometria.

Figura 01 – Função Corda

Após Hiparco, com sua notável contribuição para o surgimento e o avanço da

Trigonometria, falarei um pouco a respeito do autor da maior e mais importante obra

da trigonometria na antiguidade; Cláudio Ptolomeu (87 – 151), autor de um tratado

composto por treze livros, denominado ALMAGESTO (SINTAXIS MATHEMÁTICA).

Almagesto significa em árabe “A Maior”, pois era considerada a maior obra existente

na época pelos árabes.

20

3.2 - Cláudio Ptolomeu

“As obras de Autólico, Euclides, Ipsicle e Aristóteles em Astronomia, juntas,

formavam Coleção Menor de Astronomia, a obra de Ptolomeu era a Coleção Maior,

e as duas juntas eram indispensáveis para se entender o legado do astrônomo da

antiguidade grega” (LORIA, 1982).

No primeiro livro do Almagesto, Ptolomeu descreve informações preliminares

a respeito da matemática, tais informações eram indispensáveis para se investigar

os fenômenos celestes daquela época. Os conteúdos abordados nesse primeiro

capítulo falam sobre proposições de geometria esférica, métodos de calculo, uma

tábua de cordas e explicações sobre os diferentes corpos celestes.

Nos capítulos 10 e 11 do primeiro livro, Ptolomeu faz uma abordagem a

respeito da trigonometria, no capitulo 11 ele mostra uma tabela de cordas e no

capitulo 10 ele ensina como calcular essa tabela de cordas, os demais livros

dedicam-se ao estudo da Astronomia.

A função corda do arco x era definida como sendo o

comprimento da corda que corresponde a um arco de x graus

em um círculo cujo raio é 60. Assim, na tabela de cordas de

Ptolomeu existiam três colunas; a primeira listando os arcos, a

segunda o comprimento da corda correspondente a cada arco

e a terceira que dava o aumento médio de crd x

correspondente a um acréscimo de um minuto em x. esta

coluna era usada para interpolações, isto é, para achar o valor

de crd x se x estivesse entre duas entradas na coluna de arcos

(COSTA, 2003, p. 63).

21

No Almagesto encontramos:

a) Uma tabela mais completa que a de Hiparco, com ângulos de meio em meio

grau, de 0º a 180º;

b) O uso da base 60, com a circunferência dividida em 360º e raio em 60 partes e

frações sexagesimais não só para expressar ângulos mais para qualquer tipo de

calculo, com exceção dos de medida de tempo;

c) O resultado que passou a ser conhecido como Teorema de Ptolomeu: Se ABCD

é um quadrilátero convexo inscrito num circulo, então a soma dos produtos dos

lados opostos é igual ao produto das diagonais.

Figura 2

Parte de uma tradução do Almagesto em latim, de 1451.

Esse estudo histórico fez-se importante em nosso trabalho, pois contribuiu

para que compreendêssemos melhor as dificuldades apresentadas pelos alunos

investigados, além disso, possibilitou aprofundar nossos conhecimentos acerca do

tema investigado contribuindo para nossa formação.

22

4 . PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

4. 1. Sujeitos investigados

Os sujeitos participantes de nossa pesquisa foram 59 alunos do 1º ano do Ensino

Médio da rede Pública e da rede Particular de ensino da cidade de Belém do

Pará, com faixa etária entre 15 e 17 anos.

4. 2. Questionário aplicado

O instrumento de coleta de dados utilizado em nossa pesquisa foi um

questionário (APENDICE A) contendo 6 questões envolvendo os conteúdos sobre

razões trigonométricas. A primeira questão foi dividida em 4 itens, os quais

destinavam-se a calcular o valor de x para se determinada a medida do lado do

triangulo indicado. A segunda questão contém 2 problemas de aplicação do referido

tema em situações cotidianas.

4.3. Procedimento para coleta de dados

A aplicação do questionário ocorreu em situação de sala de aula em horário

combinado com os professores de matemática das turmas investigadas. Em contato

com os alunos avisamos que o questionário deveria ser respondido individualmente.

O tempo médio utilizado para resolver as questões aplicadas foi de 30 minutos.

Ao obtermos os resultados apresentados pelos alunos investigados optamos

por realizar nossas análises considerando os tipos de erros cometidos por estes

sujeitos. Esses erros foram organizados em categorias as quais serão descritas a

seguir.

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4.4. Categorias:

Ao realizar a correção das questões presentes nos protocolos dos alunos

investigados, foi possível observar diversos tipos de erros, os quais foram

considerados nas análises de resultados de nossa pesquisa.

Os erros analisados foram organizados em 4 categorias pelo fato de serem

encontrados regularmente nas respostas encontradas pelos estudantes

investigados. Para elaboração destas categorias nos baseamos no trabalho de

Melo (2005) e , o qual também analisou os tipos de erros cometidos por alunos ao

resolverem questões envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

4.4.1. CATEGORIA 1: ERRO NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS:

Identificamos como erro nas operações matemáticas, quando o aluno não

efetua de modo correto uma operação matemática (adição, subtração, multiplicação

e divisão) ou suas proposições apresentando assim um resultado incorreto do ponto

de vista matemático.

4.4.2. CATEGORIA 2: ERRO DE INVERSÃO DOS VALORES DA RAZÃO

TRIGONOMÉTRICA:

Levamos em consideração como erro de inversão dos valores da razão

trigonométrica as situações em que o aluno não modela corretamente o contexto

verbal do problema nas razões seno, cosseno ou tangente.

4.4.3. CATEGORIA 3: RESPOSTAS INCOMPLETAS:

As respostas incompletas foram consideradas como sendo todas as situações

em que modela corretamente a razão trigonométrica, mas não consegue apresentar

a conclusão do problema.

4.4.4. CATEGORIA 4: RESPOSTAS EM BRANCO:

Consideramos como respostas em branco quando nenhuma informação foi

identificada nas questões aplicadas.

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5. ANÁLISE DOS RESULTADOS ALCANÇADOS

Apresentaremos a seguir a análise dos resultados alcançados nessa pesquisa

a partir da aplicação do questionário, levando em consideração os tipos de erros

realizados pelos sujeitos investigados na resolução das questões envolvendo as

razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Tabela 1 - categoria de erros e total de questões:

CATEGORIA DE ERROS TOTAL DE QUESTÕES

Erros nas operações matemáticas. 21

Erros nas inversões de valores da razão trigonométrica.

12

Respostas incompletas. 07

Respostas em branco. 19

5.1. ANÁLISE DOS ERROS POR CATEGORIA

5.1.1 CATEGORIA 1: Erro nas operações matemáticas.

As analises dos protocolos dos sujeitos investigados possibilitou-nos inferir

que esse tipo de erro foi freqüente entre os alunos.

As respostas apresentadas pelos alunos (as) A3, A12, A21, entre outros,

evidenciam tal dificuldade, como a apresentada na alternativa C da questão 1.

Figura 3: Resposta do (a) aluno (a) A3

25

Ao observar a produção escrita do aluno A3 podemos evidenciar que o

mesmo comete vários erros em relação a estrutura matemática, a começar pelas

relações seno e cosseno do angulo x, observamos que o mesmo aplicou a mesma

razão, tanto para o seno quanto para o cosseno, e não fez a relação correta entre

os catetos oposto e adjacente, podendo ser classificado na classe de erro de

inversão de valores, e na seqüência observamos que o mesmo comete um erro de

operação matemática quando aplica de forma incorreta a simplificação das frações

com radical no numerador e no denominador encontrando como respostas para o

seno e o cosseno de x o valor √2, e nem preocupa-se em analisar as respostas

encontradas.

Percebemos também esse tipo de erro na resposta do aluno A12,em relação a

questão 1a, observamos que o problema do mesmo encontra-se mais precisamente

na 7ª série do ensino fundamental, no conteúdo produtos notáveis. Observe a figura

4 a seguir que se refere a produção escrita do aluno A12.

Figura 4: Resposta do(a) aluno(a) A12.

Ao observar a resposta do aluno A12 observamos que o mesmo consegue

perceber a relação existente sobre no triângulo a respeito do Teorema de Pitágoras,

porém o erro encontra-se no momento em que o mesmo irá fazer a substituição dos

valores, onde o aluno acaba invertendo o papel da hipotenusa com um dos catetos,

erro este que pode ter ocorrido pelo fato de que o aluno ao ver o x isolado em um

dos lados do triângulo, fez com que o aluno tivesse a falsa impressão de que aquele

seria o valor do lado referente a hipotenusa. Fazendo assim a seguinte

representação:

26

X2 = (x + 3)2 + (x +6)2

Quando a substituição dos valores correta segundo a representação figural

mostrada na figura seria a seguinte:

(x +6)2 = (x + 3)2 + X2 ou (x +6)2 = X2 + (x + 3)2

Este erro também poderia ser considerado como um erro de inversão de

valores, porém o que caracteriza este erro como um erro de operação matemática

cometido pelo aluno A12 nesta questão, é quando o mesmo tenta desenvolver as

expressões (x +6)2 e (x + 3)2, que para as estruturas matemáticas representam

quadrados da soma de dois termos.

Observamos que o aluno desenvolve esses quadrados da seguinte forma:

(x +6)2 = 2x + 12 e

(x + 3)2 = 2x + 6;

Onde podemos perceber nitidamente que o aluno ao elevar a variável x ao

expoente 2, obtém como resultado o valor 2x, e ao elevar os valores 6 e 3, também

ao quadrado ele obtém 12 e 6 como respostas, respectivamente, causando assim

um erro no ponto de vista da estrutura matemática. Percebemos então, que o aluno

ao invés de aplicar as leis dos produtos notáveis, mais precisamente do quadrado

da soma, como foi citado anteriormente, acabou por multiplicar as bases com os

expoentes, sem ao menos aplicar a potenciação aos mesmos.

A forma correta no ponto de vista matemático para a resolução deste

problema seria:

(x +6)2 = x2 + 2.x.6 + 62 → x2 + 12x + 36

(x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 → x2 + 6x + 9.

O que evidência que o aluno em questão além de não saber trabalhar

corretamente com as potências, não teve uma boa base com relação aos produtos

27

notáveis, fazendo assim, com que o mesmo não pudesse reconhecer que os

cálculos apresentados no problema tratavam de quadrados da soma.

5.1.2. CATEGORIA 2: Erro de inversão dos valores da razão trigonométrica.

Ao observar os questionários respondidos pelos alunos, encontramos

freqüentes erros também em relação a esta categoria, onde alunos trocavam seno

por cosseno, por exemplo.

Pudemos evidenciar esse tipo de erro nas respostas apresentadas pelo aluno

(a) A1, entre outros, na alternativa A da questão 1.

Figura 5: Resposta do(a) aluno(a) A1.

Na questão 1a em analise, é dada a figura referente a questão, podendo

assim observar que a razão a ser usada, de acordo com o raciocínio que o aluno A1

tentou desenvolver, seria a razão seno, que é definida, como sendo a razão entre o

„‟cateto oposto sobre a hipotenusa‟‟, o desenvolvimento do individuo investigado até

a 2ª linha está de acordo com a estrutura matemática e com a intenção que o

mesmo teve em tentar representar a razão seno, visto que o seno e o cosseno de

45º possuem valores congruentes, porém o mesmo caracteriza como cosseno a

razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, tendo assim, um erro de inversão de

valores.

Observamos ainda que o aluno A1 no término da questão, na antepenúltima

linha, mais precisamente, fez algumas simplificações, „’cortes‟‟, que não estão de

acordo com as estruturas matemáticas que conhecemos, encontrando assim um

valor referente a X que não se enquadra no valor real procurado na questão.

Por fim, o aluno A1 obtém como resposta X = √2 † √2, na forma de fração

deixando a questão incompleta no ponto de vista matemático, mesmo, encontrando

28

um valor para X que não corresponde ao valor procurado, visto que o correto seria

racionalizar a fração cujo denominador é um número irracional, podemos então

classificá-lo ainda, na classe de respostas incompletas, as quais veremos a seguir.

5.1.3. CATEGORIA 3: Respostas incompletas.

Foi verificado, nos questionários aplicados, que as respostas de alguns dos

indivíduos investigados estavam de forma incompleta, ou seja, os alunos

começavam a resolver a questão, mas paravam em certa parte, deixando-a sem

resposta.

Esse tipo de erro pode ser melhor evidenciado na resposta do aluno (a) A10,

também encontrado na alternativa A da questão 1.

Figura 6: Resposta do (a) aluno (a) A10.

Seguindo o raciocínio de que questão incompleta é aquela onde o aluno

inicia seu raciocínio matemático e não consegue completá-lo, podemos observar

que na produção escrita do aluno A10, a questão 1a não está completa, causando

assim a inclusão de sua resposta na classe de questões incompletas.

Podemos observar por meio da produção escrita do aluno investigado que o

mesmo tenta fazer uso do Teorema de Pitágoras, o qual pode ser considerado o

caminho mais prático para a resolução do problema em questão, observamos que o

aluno faz corretamente o destaque na figura dos catetos e da hipotenusa, porém no

momento de substituir esses valores ele acaba fazendo-o de forma incorreta,

atrapalhando assim seu raciocínio, o que deve ter colaborado para que o mesmo se

desmotiva-se em prosseguir com o término da questão e encontrar assim um

resultado conveniente de acordo com as estruturas matemáticas.

29

5.1.4. CATEGORIA 4: Resposta em branco.

Analisando as respostas dos alunos investigados, encontramos num total de

19 respostas que não foram ao menos iniciadas pelos mesmos, sendo assim

consideras como respostas em branco, as mesmas foram encontradas em vários

questionários, como por exemplo, nos problemas A e B da 2ª questão, deixada em

branco pelo aluno (a) A11.

Figura 7: Resposta do (a) aluno (a) A10.

30

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

6.1. introdução

Nesta seção apresentaremos as conclusões obtidas após o termino do

trabalho, onde fica claro o diagnóstico feito por mim sobre a aplicação dos

questionários e levantamentos bibliográficos realizados e posto aqui, em pratica,

realizando assim as considerações finais a respeito deste trabalho de conclusão de

curso.

6.2. Considerações finais:

Nosso trabalho teve como objetivo analisar o desempenho de alunos do 1º

ano do ensino médio em atividades que envolvem os conhecimentos sobre

trigonometria, especificamente as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Após as análise dos resultados encontrados podemos observar que grande

parte dos erros cometidos pelos alunos estão relacionados as operações

matemáticas, visto que muitas vezes o aluno até conhece as razões seno, co-seno

e tangente e sabe iniciá-las de forma correta no ponto de vista matemático, porém

na hora de desenvolver alguns problemas relacionados a trigonometria,

principalmente os problemas contextualizados e sem a presença da figura o

individuo acaba realizando as operações matemáticas de forma errônea que não

condiz com o modelo correto sob o ponto de vista matemático.

Apesar do número de sujeitos investigados em nossa pesquisa ser

relativamente pequeno, foi possível obter indicações significativas a respeito do

processo de ensino e aprendizagem das razões trigonométricas no triângulo

retângulo. Tais indicações nos levam a refletir que se faz necessário algumas

mudanças na forma como os conteúdos matemáticos vêm sendo trabalhados em

sala de aula para que desse modo estratégias pedagógicas inovadoras sejam

criadas possibilitando aos alunos uma aprendizagem significativa dos tópicos

matemáticos estudados.

31

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BICUDO, M.A.V. Pesquisa em educação matemática: concepções & perspectivas.

São Paulo: UNESPE, 1999.

BOYER, C., R. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide e Edgar Blucher.

São Paulo: Edusp, 1974.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF,

1999.

BRIGUENTI,M.J.L. Ensino e aprendizagem da trigonometria: novas

perspectivas da educação matemática. Dissertação de mestrado, UNESP - Rio

Claro, 1994.

CARMO, M. P. do et al. Trigonometria e números complexos. Rio de Janeiro:

Sociedade Brasileira de Matemática, 1992.

COSTA, N. M. L. A história da trigonometria. In: Educação Matemática em

Revista. São Paulo, ano 10, nº 13.

EVES, H. Introdução à historia matemática. 2 ed. São Paulo: Unicamp, 1997.

GIOVANNI & G. JR. Matemática pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2000.

KENNEDY, E. História da trigonometria. São Paulo: Atual, 1992.

SILVA, D.M.M. & THOMAZ NETO, M.O. Conhecimentos de Estudantes do

Ensino Médio sobre Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. In Anais

do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação - Centro de

Educação. Universidade Federal de Pernambuco, 2006. 1 CD-ROM

32

MENDES, Iran Abreu. Ensino de trigonometria através de atividades históricas.

(Mestrado em Educação). Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte,

1997.

MENDES, Iran Abreu. O uso de tópicos históricos da trigonometria com

perspectivas metodológicas no ensino de 2º grau. Dissertação de mestrado

em desenvolvimento. Natal: UFRN – RN, 1998.

MORI, I. Matemática: Idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2002.

NETTO, S. P. Matemática: Conceitos e histórias. 2ª ed. São Paulo: Scipione, 1995.

REVISTA NOVA ESCOLA – Edição Especial. Parâmetros curriculares nacionais

fáceis de entender. São Paulo: Abril, 2002.

33

8 - PESQUISAS ON-LINE:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Almagesto

http://greciantiga.org/ini/ini02-2.asp

http://br.geocities.com/saladefisica9/biografias/ptolomeu.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hiparco

http://br.geocities.com/saladefisica9/biografias/hiparco.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/historia_trigonometria.htm

http://anamixa.tripod.com/id9.html

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/historia.htm

34

APÊNDICE

35

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIENCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Caro aluno,

Este questionário visa obter informações para a formulação de

propostas de melhoria de ensino da matemática. Por este motivo, solicitamos que

você preencha este questionário, com tranqüilidade, pois, sua identidade será

preservada. Desde já agradeço a sua colaboração.

DADOS PESSOAIS:

1 – Escola (onde você estuda): ______________________________________

2 – Série: _____ ( ) Particular ( ) Pública.

3 – Idade: _____

4 – Você trabalha? ( ) Sim ( ) Não Onde?_____________________

Resolva as questões abaixo de acordo com seus conhecimentos em trigonometria,

vistos na 8ª série do ensino fundamental.

1) Nos triângulos abaixo, encontre as medidas que se pede:

a) C

45º x + 6

X

A B x + 3

36

b) D

x

E 30° F

8

c) G

10 y 5 x H M

d)

10

F 45º J

x

37

2) Resolva os problemas abaixo de acordo com seus conhecimentos em

trigonometria do triângulo retângulo, utilizando seno co-seno ou tangente:

a) Uma arara está pousada no ponto mais alto de uma árvore de 19,5m de

altura. Ela é observada por um garoto de 1,5m de altura. Que se encontra

afastado 18m da árvore. Determine o ângulo sob o qual o garoto observa a

arara.

b) (UFSM-RS) Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal, tem

25m de altura. Um cabo de aço, esticado, liga o topo da torre ao plano,

fazendo com este um ângulo de 60º. Qual o comprimento do cabo de aço?

38

Centro de Ciências Sociais e da Educação Curso de Licenciatura em Matemática

Av. Djalma Dutra s/n 66030-010 Belém - PA