analogia+de+grelha+equivalente
DESCRIPTION
Programa grelhaTRANSCRIPT
Lajes Maciças
Analogia de Grelha Equivalente
Estruturas II – Concreto Armado
Prof. M.Sc. Antonio de Faria
Agosto-2015
Introdução - Cenários
• Impossibilidade de resolver as placas com a equação
fundamental;
• As lajes como elementos isolados apoiados em
elementos rígidos;
• Microcomputadores;
• Programas de análise estrutural avançados;• Programas de análise estrutural avançados;
• Analisar o comportamento de um pavimento como um
todo e também lajes isoladas levando em consideração
a influência da flexibilidade dos apoios e da rigidez à
torção, tanto das lajes como das vigas, sendo ainda
possível incluir na análise a não linearidade física do
concreto armado;
Cálculo de Lajes Maciças com Analogia de
Grelha
• na substituição de um pavimento por uma grelha
equivalente;
• Lightfoot & Sawko (1959).
• Nos elementos de placa sendo a divisão entre eles de b e
a espessura da placa de h;
Cálculo de Lajes Maciças com Analogia de
Grelha
Inércia à torçãoInércia à flexão
12
hbI
3
f
⋅=
6
hbI2I
3
ft
⋅=⋅=
• Nos elementos de viga (considerando apenas retangular
com b=largura e h=altura;
3
bhI
3
t
⋅=
12
hbI
3
f
⋅=
Inércia à flexão Inércia à torção
Pavimento utilizado como exemplo de aplicação
com teoria das placas e grelha equivalente
Esquema estrutural das lajes do pavimento
Considerações
• O processo de se utilizar a teoria das placas com resolução
por série é muito simplificado e a solução não depende das
dimensões e vãos das vigas pois os contornos das lajes são
considerados indeslocáveis na vertical e não há impedimento
à rotação das lajes pelas vigas;
• A separação das lajes como feita na figura mostrada a seguir,
impede conhecer melhor a interferência de uma laje na outra
vizinha;vizinha;
Considerações
• Apesar de ser o mais demorado, o programa GPLAN, por ter sua geometria
gerada por arquivo texto, pode ser facilmente adatado para outras soluções,
tais como:
RESG
1, 12, 1, 1,0,0,
121,132,1,1,0,0,
Consideração de apoios indeslocáveis
nos contornos de L1, L2 e L3
Consideração apenas dos pilares
como apoio
RES
1,1,0,0,
7,1,0,0,
12,1 0,0,121,132,1,1,0,0,
73,79,1,1,0,0,
13,109,12,1,0,0,
19,115,12,1,0,0,
24,120,12,1,0,0,
12,1 0,0,
73,1,0,0,
79,1,0,0
121,1,0,0,
127,1,0,0
132,1,0,0,
- No caso da consideração apenas dos pilares como apoio é necessário corrigir as inércias
das vigas;
- Para considerar este mesmo pavimento sem vigas, bastaria colocar nas características
dos elementos do tipo 1 (vigas de contorno) e 3 (vigas internas) as características de laje;
Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,
mostrando os elementos
Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,
mostrando os nós
Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,
mostrando os pilares
Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,
mostrando as vigas laterais (tipo 1)
Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,
mostrando as vigas centrais (tipo 3)
Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,
mostrando as lajes
Listagem básica para o uso do GPLANOPTE 3,3,3,3,3,
EXEMPLO_5_6
TESE
PISO_Sem_cargas_Viga
NOGP
1,12,1,0.0,10.0,11.0,10.0,
121,132,12,0.0,0.0,11.0,0.0,
RES
1,1,0,0,
12,1,0,0,
7,1,0,0,
73,1,0,0,
79,1,0,0,
121,1,0,0,
127,1,0,0,
132,1,0,0,
BARG
1,11,1,1,1,2,1,1,
12,22,1,13,1,14,1,2,
23,33,1,25,1,26,1,2,
34,44,1,37,1,38,1,2,
132,141,1,2,12,14,12,2,
142,151,1,3,12,15,12,2,
152,161,1,4,12,16,12,2,
162,171,1,5,12,17,12,2,
172,181,1,6,12,18,12,2,
182,191,1,7,12,19,12,3,
192,201,1,8,12,20,12,2,
202,211,1,9,12,21,12,2,
212,221,1,10,12,22,12,2,
222,231,1,11,12,23,12,2,
232,241,1,12,12,24,12,1,
73,77,1,79,1,80,1,2,
PROP
1,1,0.06,1.25E-03,2.59E-04,
2,1,0.10,8.33E-05,1.67E-04,
3,1,0.06,1.25E-03,2.59E-04,
MATL
1,3E07,1.25E06,
FIMG
CARR1
CNOG34,44,1,37,1,38,1,2,
45,55,1,49,1,50,1,2,
56,66,1,61,1,62,1,2,
67,77,1,73,1,74,1,3,
78,88,1,85,1,86,1,2,
89,99,1,97,1,98,1,2,
100,110,1,109,1,110,1,2,
111,121,1,121,1,122,1,1,
122,131,1,1,12,13,12,1,
CNOG
1,132,1,-5,
1,12,1,2.5,
121,132,1,2.5,
13,109,12,2.5,
24,120,12,2.5,
FIMC
FIME.
Lajes Maciças - Exemplo Comparativo
• Determinar os esforços no pavimento de lajes maciças cuja
planta de formas está indicada a seguir, utilizando o sistema
CALCO (Grelha Equivalente) e o Sofware CYPECAD (M.E.F.);
• Considerar que as salas serão utilizadas para escritórios, que
as lajes deverão ter todas a mesma espessura (12,0 cm) e que
o revestimento inferior de gesso, para efeito de cálculo de
carga, pode ser desprezado;carga, pode ser desprezado;
• Serão admitidos os seguintes dados de projeto:
� Contrapiso com espessura de 2,0 cm - γ = 19 kN/m3;
� Piso emborrachado, cujo peso de 0,20 kN/m2 íncluí a cola;
� Sobrecarga na laje 2,0 kN/m2 (escritório);
� Vigas: largura bw = 20 cm e altura h = 50 cm;
� Concreto com resistência característica fck = 20 MPa;
� Peso de paredes (internas e externas) = 5,0 kN/m
Pavimento utilizado como exemplo de aplicação
com teoria das placas e grelha equivalente
• Configuração 01;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, considerando os pilares como
indeslocáveis na vertical;
– Os elementos de viga tem características de viga e com torção baixa;
– Carga P atuando em cada nó – P = 8,58x1,0x1,0 = 8,58 kN;
Configuração Estrutural 01
Pavimento do exemplo com forma e grelha
gerada pelo programa CALCOP ( x )1 20 20 P ( x )2 20 20 P ( x )3 20 20V ( x )1 12 50
Laje
Lx= cmLy= cm
e= cm
600
600
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B 10 B 11
B 12 B 13 B 14 B 15 B 16 B 17 B 18 B 19 B 20 B 21 B 22
B 23 B 24 B 25 B 26 B 27 B 28 B 29 B 30 B 31 B 32 B 33
B 34 B 35 B 36 B 37 B 38 B 39 B 40 B 41 B 42 B 43 B 44
B 45 B 46 B 47 B 48 B 49 B 50 B 51 B 52 B 53 B 54 B 55
122
B123
B124
B125
B1
26
132
B133
B134
B135
B1
36
142
B143
B144
B145
B1
46
152
B153
B154
B155
B1
56
162
B163
B164
B165
B1
66
172
B173
B174
B175
B1
76
182
B183
B184
B185
B1
86
192
B193
B194
B195
B1
96
202
B203
B204
B205
B2
06
212
B213
B214
B215
B2
16
222
B223
B224
B225
B2
26
232
B233
B234
B235
B2
36
P ( x )4 20 20 P ( x )5 20 20
P ( x )6 20 20 P ( x )7 20 20 P ( x )8 20 20
V ( x )2 12 50
V ( x )3 12 50
V (
x )
412
50
V (
x )
512
50
V (
x )
612
50
Laje
Lx= cmLy= cm
e= cm
600
400
12
Laje
Lx= cmLy= cm
e= cm
500
1000
12
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
B 56 B 57 B 58 B 59 B 60 B 61 B 62 B 63 B 64 B 65 B 66
B 67 B 68 B 69 B 70 B 71 B 72 B 73 B 74 B 75 B 76 B 77
B 78 B 79 B 80 B 81 B 82 B 83 B 84 B 85 B 86 B 87 B 88
B 89 B 90 B 91 B 92 B 93 B 94 B 95 B 96 B 97 B 98 B 99
B100 B101 B102 B103 B104 B105 B106 B107 B108 B109 B110
B111 B112 B113 B114 B115 B116 B117 B118 B119 B120 B121
126
B127
B128
B129
B130
B131
B
136
B137
B138
B139
B140
B141
B
146
B147
B148
B149
B150
B151
B
156
B157
B158
B159
B160
B161
B
166
B167
B168
B169
B170
B171
B
176
B177
B178
B179
B180
B181
B
186
B187
B188
B189
B190
B191
B
196
B197
B198
B199
B200
B201
B
206
B207
B208
B209
B210
B211
B
216
B217
B218
B219
B220
B221
B
226
B227
B228
B229
B230
B231
B
236
B237
B238
B239
B240
B241
B
Configuração Estrutural 01 - Calco
Configuração Estrutural 01 - Calco
Nó 72 (Laje 02)
δmáx = 33,72 mm
Configuração Estrutural 01 - Cypecad
Cota (11,0; 5,0 m)
δmáx = 32,36 mm
Configuração Estrutural 01 - Grelha
Configuração Estrutural 01 - Grelha
Configuração Estrutural 01 - Grelha
Nó 72 (Laje 02)
δmáx = 33,82 mm
• Configuração 02;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, considerando que todos os
pontos que pertencem as vigas são indeslocáveis na vertical;
– A ação a considerar em cada nó correspondente;
– Carga P atuando em cada nó – P = 6,33x1,0x1,0 = 6,33 kN;
Configuração Estrutural 02
Configuração Estrutural 02
Configuração Estrutural 02
Configuração Estrutural 02 - Calco
Nó 70 (Laje 2)
δmáx = 5,58 mm
Configuração Estrutural 02 - Cypecad
Cota (8,75; 4,75 m)
δmáx = 4,96 mm
Configuração Estrutural 02 - Grelha
Nó 70 (Laje 2)
δmáx = 5,21 mm
• 1) Configuração 03;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, acrecentando-se um pilar e uma
viga a estrutura, de modo a reduzir a viga vertical da direita, de um vão de
10,0 para 5,0 m e ainda prolongando-se a viga horizontal de tal forma que
se tenha 04 lajes ao invés de 03;
– A ação a considerar em cada nó correspondente;
– Carga P atuando em cada nó – P = 6,33x1,0x1,0 = 6,33 kN;
Configuração Estrutural 03
– Carga P atuando em cada nó – P = 6,33x1,0x1,0 = 6,33 kN;
Configuração Estrutural 03
Configuração Estrutural 03 - Calco
Nó 40 (Laje 1)
δmáx = 11,44 mm
Configuração Estrutural 03 - Cypecad
Cota (2,75; 7,00 m)
δmáx = 11.70 mm
Configuração Estrutural 03 - Grelha
Nó 88 (Laje 1)
δmáx = 11,33 mm
• 1) Configuração 04;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, aumentando-se a dimensão da
viga lateral direita de 20 x 50 para 20 x 100 cm;
– A ação a considerar em cada nó correspondente;
– Carga P atuando em cada nó – P = 4,56x1,0x1,0 = 4,56 kN;
Configuração Estrutural 04
Configuração Estrutural 04
Configuração Estrutural 04 - Calco
Nó 40 (Laje 1)
δmáx = 11,78 mm
Configuração Estrutural 04 - Cypecad
Cota (2,75; 7,00 m)
δmáx = 11.94 mm
Configuração Estrutural 04 - Grelha
Nó 88 (Laje 1)
δmáx = 11,75 mm
Comparativo de Flechas (mm)
Modelo Local CALCO Cypecad Grelha% Dif.
Grelha/Calco
% Dif.
Grelha/Cypecad
1 V6 - Centro 33,72 32,36 33,82 +0,297% +0,451%
Resultados encontrados e comentários
2 Laje 2 - Centro 5,58 4,96 5,21 -6,631% +5,040%
3 Laje 1 - Centro 11,44 11,70 11,33 -0,962% -3,162%
4 Laje 1 - Centro 11,78 11,94 11,75 -0,255% -1,591%
• Toda vez que se considera apenas os pilares como pontos há,
sem dúvida, uma variação muito grande das derivadas da função
deslocamento, ou seja, os momento serão elevados;
• Desta forma toda vez que ocorre um ponto (e apenas ele na
região do entorno) indeslocável na vertical, ocorre um momento
fletor (negativo para cargas verticais aplicadas), de grande valor;
• Este ponto pode ser considerado como um ponto de
Resultados encontrados e comentários
• Este ponto pode ser considerado como um ponto de
“perturbação” nas deformações, conforme se mostra nas figuras
a seguir:
ponto de perturbação Zona de perturbação
• Esquemas estruturais do pavimento com o pilar sendo
o ponto de perturbação e no segundo caso com a barra
de placa após o pilar se apresentando como zona de perturbação
Resultados encontrados e comentários
• Assim é fato que as vigas interferem bastante no cálculo, sendo que
se tiverem grande inércia fazem com que os momentos negativos
da placa aumentem;
• Assim pode-se dizer que quanto maior a rigidez dos elementos de
contorno da placa mais possibilidade de momentos negativos altos
ocorre;
• Em CARVALHO (1994) como se usou a inércia das vigas como Te, os
Resultados encontrados e comentários
• Em CARVALHO (1994) como se usou a inércia das vigas como Te, os
resultados encontrados foram mais que nos exemplos aqui
realizados em que se considerou a inércia da laje apenas com seção
retangular;
• Uma maneira de se atenuar o efeito de perturbação dos pilares é
fazer uma malha de elementos pouco espaçados na região do pilar
(conforme detalhe apresentado a seguir);
• Além de considerar um número maior de nós e barras considera-se
que estas (barras internas ao pilar) tenham rigidez muito grande;
Esquema estrutural considerando mais barras
em torno do pilar, para diminuir o efeito da
perturbação
pilar pilar com malha refinada
pilar