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ANDRÉ L. MÜLLER SUBSÍDIOS PARA A UTILIZAÇÃO DA TEORIA DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS NA ANÁLISE DE LAJES Trabalho de Conclusão de Estágio Passo Fundo - RS 2000

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ANDRÉ L. MÜLLER

SUBSÍDIOS PARA A UTILIZAÇÃO DA TEORIA

DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS NA ANÁLISE DE LAJES

Trabalho de Conclusão de Estágio

Passo Fundo - RS

2000

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ANDRÉ L. MÜLLER

SUBSÍDIOS PARA A UTILIZAÇÃO DA TEORIA

DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS NA ANÁLISE DE LAJES

Trabalho de Conclusão de Estágio apresentado a Universidade de Passo Fundo

para aprovação na Disciplina de Estágio Supervisionado junto ao Curso de

Engenharia Civil

Orientador: Prof. Moacir Kripka

Passo Fundo - RS

2000

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A todos meus familiares e amigos,

em especial ao meu irmão Jorge.

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Agradecimentos

Ao professor Moacir Kripka, pela orientação e incentivo;

Aos demais professores da Faculdade de Engenharia e Arquitetura da Universidade de Passo

Fundo, em especial aos professores do Departamento de Estruturas;

À empresa Orion, onde realizei meu estágio;

Aos colegas e amigos que, de alguma maneira, colaboraram na realização deste trabalho.

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Resumo

O presente trabalho tem como objetivo principal demostrar a aplicabilidade da teoria das

charneiras plásticas na análise de lajes, apresentando e indicando critérios para a utilização

desta. Busca-se subsídios para a validação da analogia entre lajes com chanfros e lajes

retangulares quando da análise no regime plástico, sendo esta hipótese muitas vezes adotada,

porém sem a devida análise e verificação da segurança e economia. Apresenta-se também,

formulações que possibilitam a análise de lajes com um certo grau de esconsidade, assim

como comparações entre a análise elástica de lajes, realizada pelo processo de Marcus e a

análise plástica, realizada pela teoria das charneiras plásticas. Com os subsídios apontados e

com as formulações demostradas, desenvolveu-se um programa de computador para a análise

de lajes de concreto armado, objetivando ser este uma ferramenta auxiliar ao projetista. Com

os resultados até aqui apresentados é possível conhecer o comportamento das lajes para certas

simplificações.

Palavras-chave: Estruturas, lajes, charneiras plásticas.

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SUMÁRIO

1. Introdução.............................................................................................................................1

2 Revisão bibliográfica.............................................................................................................5

2.1 Comportamento das lajes..................................................................................................5

2.2 Fases do comportamento...................................................................................................5

2.3 Efeitos de arqueamento e membrana tracionada...............................................................6

2.4 Teoria das charneiras plásticas..........................................................................................7

2.4.1 Conceitos fundamentais...........................................................................................7

2.4.2 Materiais elasto-plásticos e rígido-plásticos............................................................8

2.4.3 Hipóteses gerais.......................................................................................................9

2.4.4 Isotropia, anisotropia e ortotropia............................................................................9

2.4.5 Transformação das lajes ortótropas em isótropas..................................................12

2.4.6 Configuração das charneiras..................................................................................12

2.5 Processo da energia.........................................................................................................15

2.5.1 Energia absorvida pelas charneiras.........................................................................15

2.5.2 Energia desenvolvida pelas cargas..........................................................................15

3. Lajes retangulares..............................................................................................................17

3.1 Introdução.....................................................................................................................17

3.2 Lajes simplesmente apoiadas........................................................................................17

3.3 Lajes com alguns lados engastados...............................................................................21

3.4 Comparação entre análise plástica e elástica................................................................23

4. Lajes com chanfros............................................................................................................27

4.1 Introdução.....................................................................................................................27

4.2 Lajes com chanfros inclinados em 45 graus.................................................................27

5. Lajes esconsas....................................................................................................................39.

5.1 Introdução.....................................................................................................................39

5.2 Lajes com formato trapezoidal......................................................................................39

5.3 Lajes em forma de triângulo retângulo.........................................................................45

6. Implementação computacional.........................................................................................48

6.1 Introdução.....................................................................................................................48

6.2 Descrição geral do programa........................................................................................48

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7. Conclusões e considerações finais......................................................................................50

ANEXO.....................................................................................................................................52

8.Referências bibliográficas...................................................................................................60

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LISTA DE FIGURAS

Figura 01 Fases do comportamento das lajes sub-armadas......................................................5

Figura 02 Comportamento dos materiais elasto-plástico e rígido-plástico..............................8

Figura 03 Charneira inclinada em relação a armadura...........................................................10

Figura 04 Exemplos de configuração de ruína para lajes.......................................................14

Figura 05 Laje simplesmente apoiada.....................................................................................17

Figura 06 Lajes com alguns lados engastados........................................................................22

Figura 07 Pavimento fictício...................................................................................................24

Figura 08 Primeiro limite para as charneiras em lajes com chanfro à 45 graus.....................25

Figura 09 Segundo limite para as charneiras em lajes com chanfro à 45 graus.....................26

Figura 10 Configuração das charneiras para ( 0.293 < chb < b-0.7071a ).............................27

Figura 11 Terceiro limite para as charneiras em lajes com chanfro à 45 graus......................30

Figura 12 1º limite para configuração das charneiras em laje com formato trapezoidal........36

Figura 13 Laje com formato trapezoidal.................................................................................37

Figura 14 2º limite para configuração das charneiras em laje com formato trapezoidal........39

Figura 15 Laje em forma de triângulo retângulo....................................................................43

Figura 16 Passos do programa................................................................................................46

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LISTA DE QUADROS

Quadro 01 Comparação entre charneiras nas posições exatas e inclinadas em 45 graus.......24

Quadro 02 Momentos para análise elástica e plástica............................................................25

Quadro 03 Comparação entre o peso de aço consumido para análise elástica e plástica.......29

Quadro 04 Comparação entre laje retangular e laje com chanfro igual a 0.293a...................32

Quadro 05 Comparação entre laje retangular e laje com chanfro igual a (b-0.7071a)...........36

Quadro 07 Rel. entre momento fletor para laje com forma trapezoidal e laje retangular.....45

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LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 01 Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 1.....................................................36

Gráfico 02 Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0,9..................................................37

Gráfico 03 Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0,8..................................................37

Gráfico 04 Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0,7..................................................37

Gráfico 05 Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0,6..................................................38

Gráfico 06 Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0,5..................................................38

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1. Introdução

A análise estrutural busca, através da adoção de modelos que reproduzam de forma mais

realista o comportamento das estruturas, concebê-las de maneira mais segura e econômica.

Na análise de lajes, quando são utilizados métodos de cálculo baseados no comportamento

elástico, acabam sendo adotadas, muitas vezes, soluções aproximadas ou mesmo, apenas

estimadas. Nas lajes, por ocasião da ruína, o material se comporta plasticamente. Logo,

contrariando as hipóteses da teoria elástica e conduzindo ao estudo dos métodos baseados no

comportamento plástico dos materiais.

Ao se trabalhar com estruturas correntes de edifícios, muitas vezes nos deparamos com lajes

de formato não convencional (lajes com chanfros, triangulares, circulares entre outros).

Adotar soluções aproximadas, considerando-as como se fossem retangulares ou dispor vigas

intermediárias, dividindo-as em elementos retangulares, é muito comum na prática, quando

da análise por métodos simplificados, porém, não se tem muitos subsídios para saber se a

mesma simplificação é eficiente e segura quando adotada a análise plástica, uma vez que a

geometria da laje está diretamente ligada à configuração de ruína da mesma.

A crescente utilização de programas de computador para análise, dimensionamento e

detalhamento de estruturas de edifícios em concreto armado, vem automatizando cada vez

mais este processo, deixando muitas vezes o engenheiro em segundo plano, sem que este

tome conhecimento de todos os critérios e métodos de cálculo utilizados pelo programa.

Como em muitos programas de computador faz-se a análise das lajes pela teoria das

charneiras plásticas, adotando para aquelas que possuem um certo grau de esconsidade

modelos simplificados, cabe ao engenheiro saber se tais simplificações podem, ou não, ser

adotadas.

Para a aplicação da teoria das charneiras plásticas, encontra-se um grande número de tabelas,

aplicáveis geralmente aos casos mais comuns de lajes, deixando de lado os casos não

corriqueiros.

O presente trabalho propõe a análise de lajes pela teoria das charneiras plásticas (processo das

linhas de ruptura), de modo a obter resultados mais realistas e que portanto expressem de

maneira mais significativa o comportamento das lajes. Busca-se subsídios para a validação da

analogia entre lajes com chanfros e lajes retangulares quando da análise no regime plástico,

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sendo esta hipótese muitas vezes adotada, porém sem a devida análise e verificação da

segurança e economia.

Tem-se, no conhecimento da teoria das charneiras plásticas, uma valiosa ferramenta para a

execução de projetos de lajes de concreto armado, independente do formato ou do tipo de

carregamento. A comparação entre a análise elástica e a análise plástica assume papel

importante, pois com esta, pode-se constatar, através de valores, os benefícios da análise

plástica de lajes.

A análise de lajes pode ser efetuada, entre outras formas, pelas teorias elásticas de Marcus,

Czerny, analogia de grelha, ou pela teoria plástica, segundo a teoria das charneiras plásticas

(processo das linhas de ruptura). As primeiras seguem a teoria da elasticidade e são

amplamente utilizadas em lajes retangulares com carregamentos padrões, porém, em outros

casos as equações diferenciais e as condições de contorno, exigiriam o emprego de técnicas

mais sofisticadas, como a dos elementos finitos, recurso este nem sempre disponível. Além

desta, outra limitação nos métodos elásticos nos leva à busca de outras teorias, pois, por

ocasião da ruína, o material das lajes se comporta plasticamente, contrariando as hipóteses da

teoria da elasticidade. Já a teoria das charneiras plásticas, apresentada neste trabalho, é

excelente para encontrar soluções para o comportamento das lajes durante a ruína, não

importando a forma da laje ou o tipo do carregamento.

Segundo PINHEIRO (1983), os métodos de cálculo baseados na ruptura tiveram início em

1890 nos trabalhos desenvolvidos por Bach, seguidos por Mörsch e Suenson em 1916, sendo

que, em 1921, o dinamarquês Ingerslev iniciou a teoria das charneiras plásticas, melhor

desenvolvida por Johansen e por isso a este atribuída. Após as publicações de Johansen pouco

desenvolvimento foi dado à teoria das charneiras, sendo, somente após 1950 dado grande

impulso no exterior e em 1960 no Brasil, com a tradução, em apenas um volume, dos

trabalhos de Johansen e pelos expressivos trabalhos de Langendonck.

Com respeito a Langendonck, pode-se atribuir uma série de trabalhos, desde os realizados

para lajes quadrangulares, LANGENDONCK ( 1966 ), apresentando, entre outros, resultados

sobre condições de economia e bifurcações nos cantos das lajes, até seus estudos mais

significativos para lajes com formato de T ou L, os quais foram implementados por

PINHEIRO ( 1983 ) no seu estudo sobre charneiras plásticas em lajes com forma de T onde,

através de estudos experimentais confirmou os trabalhos de Langendonck.

Outros engenheiros deram grande importância ao estudo, publicação e aplicação da teoria das

charneiras plásticas, entre eles ROCHA (1986), que apresenta a teoria das charneiras

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plásticas e uma série de tabelas, visando a simplificação da aplicação deste processo. De

maneira semelhante, Montoya (1987), apresenta uma ampla formulação para a aplicação da

teoria, porém, em ambos os casos, dá-se ênfase aos tipos mais corriqueiros de lajes, no que se

refere à geometria.

Com a finalidade descrita apresenta-se no capítulo 2 deste trabalho os conceitos fundamentais

sobre o comportamento das lajes de concreto armado bem com a teoria das charneiras

plásticas, descrevendo os conceitos fundamentais e algumas particularidades da mesma.

Descreve-se de forma sucinta os critérios adotados para a determinação da configuração das

charneiras assim como o método adotado para a da determinação dos esforços de momento

fletor.

No capítulo 3 os conceitos anteriormente apresentados são aplicados às lajes retangulares,

primeiramente às simplesmente apoiadas e após às lajes retangulares com alguns lados

engastados, estando em ambos os casos submetidas a carregamentos uniformemente

distribuídos. Descreve-se os passos tomados e as conseqüentes formulações para esses tipos

de lajes. Demonstra-se, através de um exemplo, a comparação entre os resultados obtidos

para a análise plástica e análise elástica, demostrando com ele as vantagens obtidas quando da

realização da análise de lajes pelo processo da ruptura, assim como o grande número de

combinações possíveis entre os coeficientes que relacionam os momentos na laje.

O quarto capítulo traz o estudo das lajes simplesmente apoiadas submetidas a carregamento

uniformemente distribuído que possuam chanfros inclinados em 45 graus. Apresenta-se para

esses casos as possíveis configurações das charneiras e as respectivas formulações para a

determinação dos esforços de momento fletor adotadas em cada um desses casos. Além das

formulações apresenta-se através de quadros e gráficos uma série de subsídios ao engenheiro

calculista que usualmente adota a simplificação de tomar no lugar da laje real com chanfro

uma laje retangular.

O capítulo 5 apresenta o estudo de alguns casos de lajes esconsas, lajes com formato

trapezoidal e lajes em forma de triângulo retângulo. Igualmente às citadas acima, estas são

simplesmente apoiadas e submetidas a carregamento uniformemente distribuído. Dois são os

motivos relevantes neste capítulo. O primeiro demostra a fácil aplicação da teoria das

charneiras plásticas em lajes esconsas. O segundo, a importância de ter conhecimento sobre

alguma teoria ou processo de cálculo para a análise deste tipo de laje devido a crescente

diversidade de formatos das lajes nos edifícios atuais.

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O sexto capítulo descreve de forma simplificada alguns dados sobre a implementação

computacional da teoria das charneiras plásticas, assim como sua importância. Mesmo com as

limitações do programa, esse assume grande importância uma vez que se constitui num passo

inicial deste trabalho.

Com base nos resultados obtidos nos capítulos anteriores, no capítulo 7 são citadas as

principais conclusões do trabalho, apresentando algumas sugestões para o prosseguimento

deste trabalho, bem como as considerações finais a respeito do mesmo.

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2.Revisão bibliográfica

2.1 Comportamento das lajes

De acordo com PINHEIRO (1983), as lajes quando submetidas à flexão, podem atingir a

ruína de duas maneiras. A primeira por ruptura do concreto à compressão, caso na qual são

ditas super-armadas. Tais peças devem ser evitadas, pois há possibilidade da ruína ocorrer

sem que sejam visíveis os sintomas da sua iminência, e por sua característica antieconômica,

ocasionada pelo mau aproveitamento da armadura. A segunda maneira pela qual as lajes

podem atingir a ruína é por escoamento da armadura de tração, sendo denominadas peças sub-

armadas. Nas peças sub-armadas, a fissuração excessiva do concreto e as grandes deflexões

são indicativos visíveis da possibilidade de ruína.

2.2 Fases do comportamento

As lajes sub-armadas, submetidas à ação de cargas proporcionais, apresentam varias fases de

comportamento, visíveis no diagrama esquemático da figura 01.

Figura 01. Fases do comportamento das lajes sub-armadas - PINHEIRO ( 1983).

Fase elástica

Fase de fissuração

Fase de plastificação

A

0

B

CD

Carga

Flecha

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Segundo PINHEIRO ( 1983), nota-se que, para pequenos carregamentos, a laje encontra-se na

fase elástica (trecho 0A da figura 01), onde o concreto resiste à tração e a laje comporta-se de

acordo com a teoria das placas em regime elástico.

Com a acréscimo contínuo de carga, inicia-se a fase de fissuração, onde a resistência do

concreto à tração é ultrapassada nas seções mais solicitadas. A formação das fissuras ocasiona

um crescimento mais rápido dos momentos fletores nas seções não fissuradas, gerando novas

fissuras. Enquanto a armadura permanece em regime elástico-linear ( trecho AB da figura 01.)

a laje ainda se comporta de acordo com a teoria das placas em regime elástico desde que se

considere a redução de rigidez das seções fissuradas.

O crescimento das deformações é mais acentuado, quando a armadura ultrapassa o regime

elástico linear ( trecho BC da figura 01.).

A fase de plastificação ( trecho CD da figura 01.), gerada pelo crescimento dos momentos

fletores nas seções solicitadas e pelo início do escoamento da armadura, caracteriza-se pelas

grandes deformações. Nesta fase, há uma redistribuição dos esforços bem mais acentuada que

na fase anterior. Nas seções plastificadas, os momentos fletores mantém-se praticamente

constantes, sendo este ciclo interrompido somente após o completo desenvolvimento das

linhas de ruptura.

Após o desenvolvimento de todas as linhas de plastificação, o concreto rompe por compressão

nas seções mais solicitadas, impossibilitando a continuidade do carregamento sem ocorrer o

colapso da peça. A carga máxima aplicada à peça no momento do colapso é denominada

carga de ruína. As linhas de plastificação formadas são chamadas charneiras plásticas, sendo

que a configuração por elas apresentada é denominada configuração de ruína.

2.3 Efeitos de arqueamento e de membrana tracionada

Em lajes que possuem restrições a deslocamentos horizontais, mesmo quando completada a

configuração de ruína, ou até após, com as deformações plásticas já excessivas, é necessário

que se esgote uma reserva de resistência da laje para que se atinja a ruína. De acordo com

PINHEIRO ( 1983), essa resistência adicional se deve a não consideração dos efeitos das

forças longitudinais provenientes da mudança de forma do plano médio da laje, denominados

efeitos de membrana.

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Seja, por exemplo, uma laje engastada no contorno, submetida a um carregamento crescente

uniformemente distribuído. Durante a fase elástica, a linha neutra permanece próxima da linha

média da seção. Após o início da fase de fissuração, a linha neutra se desloca para as

proximidades da face comprimida, porém, por serem pequenos os deslocamentos transversais

da laje, a linha neutra permanece abaixo da linha neutra correspondente aos momentos

positivos, fazendo com que a laje tenha um comportamento de casca, caracterizando o efeito

de arqueamento ou efeito compressivo de membrana.

Quando a laje alcança a fase de plastificação, o efeito de arqueamento diminui, devido às

grandes deformações transversais, fazendo com que as forças longitudinais de compressão

passem a ser forças de tração. A laje nesse estado comporta-se como uma estrutura pênsil,

caracterizando o efeito de membrana tracionada.

Uma análise mais rigorosa dos efeitos de membrana não faz parte deste trabalho, uma vez que

os mesmos são usualmente desprezados, estando com isso a favor da segurança. Portanto, tais

efeitos não serão considerados quando da utilização do método das charneiras plásticas.

2.4 Teoria das charneiras plásticas

2.4.1 Conceitos fundamentais

Como destacado por PINHEIRO ( 1983), a teoria das charneiras plásticas apresenta um

método de cálculo baseado no comportamento plástico do material, que possibilita a obtenção

da carga de ruptura de lajes de concreto armado. Consiste na admissão de que uma laje, sob

ação da carga de ruptura, se divide em painéis que giram em torno de linhas ao longo das

quais atua um momento igual ao que a laje resiste na ruptura, segundo a direção normal a

estas linhas.

Existem dois processos de cálculo para a aplicação da teoria das charneiras plásticas. O

primeiro, denominado processo das forças nodais, empregado na teoria original de Johansen,

não será apresentado neste trabalho, pois possui algumas limitações e por estar se seguindo os

estudos realizados por Langendonck o qual utilizou um segundo processo, denominado

processo da energia ou processo do trabalho, que por sua vez não apresenta as limitações

encontradas no processo das forças nodais, tendo suas particularidades apresentadas no item

2.5 deste trabalho.

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2.4.2 Materiais elasto-plásticos e rígido-plásticos

Para uma laje, ou qualquer outra peça, constituída de material elasto-plástico, submetida a

cargas proporcionais, mantém-se, num primeiro momento, a proporcionalidade entre o

deslocamento de um de seus pontos e a carga ( fase elástica). Num segundo momento o

acréscimo dos deslocamentos é mais acentuado do que a carga ( fase elasto-plástica, trecho

AB da figura 02.a). Finalmente, após a fase elasto-plástica, e após a completa plastificação da

peça, a deformação cresce sob uma carga constante ( fase plástica).

Já para uma peça qualquer, constituída de material rígido-plástico, não ocorre nenhuma

deformação até o início da plastificação, que aparece então, abruptamente (figura 02.b).

Figura 02. Comportamento dos materiais elasto-plástico e rígido-plástico -PINHEIRO ( 1983)

Todavia, as cargas de ruína calculadas pelos teoremas fundamentais da teoria da plasticidade,

na qual se baseou a teoria das charneiras plásticas, são válidas, independente, se a peça for

constituída por material elasto-plástico ou rígido-plástico.

Sendo iguais os resultados das cargas de ruína para os dois tipos de materiais, outros motivos

levam a concluir que a consideração rígido-plástica é melhor que a elasto-plástica. Segundo

PINHEIRO (1983), parte-se da hipótese que para os materiais elasto-plásticos as deformações

mantém-se muito pequenas até se atingir a fase elasto-plástica. Isto ocorrendo, no instante que

se inicia a fase plástica, a forma da peça resulta muito próxima da inicial, e portanto,

comporta-se sensivelmente como se fosse rígida até este momento. Por outro lado, se as

deformações reais antes da fase plástica não são desprezíveis, ambas considerações estão

equivocadas, a primeira por não se verificar a hipótese referente às deformações e a segundo

por representar de maneira grosseira a peça real.

A

B

Carga

Flecha

Carga

Flecha

a) b)

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2.4.3 Hipóteses gerais

Sendo a teoria das charneiras plásticas um método de cálculo baseado no comportamento

plástico do material as lajes estudadas devem apresentar esse comportamento. Com o objetivo

de simplificar a teoria, e pelo fato dos estudos realizados até o presente demonstrarem que

esta consideração é a favor da segurança, não são consideradas as influências dos esforços de

membrana. Decorrentes destas afirmações as hipótese gerais da teoria das charneiras plásticas,

segundo PINHEIRO (1983), podem ser assim enumeradas:

a) As armaduras devem ser suficientemente fracas para que as seções sejam sub- armadas, isto

é, a ruptura deve ocorrer por escoamento da armadura e não por esmagamento do concreto. O

material deve possuir, nas seções plastificadas, capacidade de rotação, permitindo com isto, o

desenvolvimento de todas as charneiras necessárias para tornar a laje hipostática, antes de

ocorrer ruptura por esmagamento do concreto nas seções mais solicitadas.

b) Na fase de plastificação, o aço entra em escoamento formando as charneiras, enquanto as

regiões entre elas permanecem no regime elástico. Admitindo o material rígido-plástico, ou

seja, desprezando-se as deformações elásticas dessas partes em presença das deformações

plásticas das charneiras, a forma da superfície média da laje torna-se poliédrica, isto é, as

charneiras são consideradas retas que delimitam regiões planas. As charneiras curvas são

consideradas como sendo constituídas por infinitos segmentos de reta. As deformações

consideradas são as rotações relativas das regiões adjacentes a uma charneira em torno dela.

c) Ainda por decorrência da consideração do material rígido-plástico, os momentos fletores

positivo e negativo, correspondentes à formação das charneiras e denominados momentos de

plastificação, são admitidos constantes ao longo dessas charneiras.

d) Os esforços de arqueamento e de membrana tracionada, provenientes do impedimento dos

deslocamentos no plano da laje, não serão considerados.

2.4.4 Isotropia, anisotropia e ortotropia

As lajes que apresentam a mesma resistência à flexão, independente da direção da seção

transversal considerada são denominadas isótropas.

A armadura da laje, responsável pela absorção do momento fletor, geralmente é disposta de

maneira ortogonal como mostra a figura ( figura 03). Os momentos de plastificação serão,

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1m e 2m , respectivamente nas direções 1 e 2, e para uma seção genérica, inclinada de α

em relação a direção 1 o momento de plastificação será:

αααα

sec*cos**2sen***1

llmtglmm +

= logo:

αα 22 cos*2sen*1 mmm += (1)

Figura 03. Charneira inclinada em relação a armadura.

Esta conclusão é válida segundo LANGENDONCK (1970) apud PINHEIRO(1983), pois o

momento de plastificação observado na charneira inclinada nunca é menor do que aquele

dado pela fórmula (1).

Caso a laje for isótropa, o momento de plastificação numa seção inclinada de α terá valor

idêntico a 1m ou 2m pois:

m1

m2

Direção 1

m

Direção 2

α

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11

21 mm = e:

1)cos(sen1 22 mmm =+= αα (2)

Então, para que uma laje com armadura disposta ortogonalmente seja considerada isótropa

basta que os momentos de plastificação nas direções x e y sejam iguais, conclusão esta válida

tanto para os momentos positivos quanto para os negativos.

Levando em conta o fato das armaduras, geralmente não se encontrarem no mesmo nível, as

mesmas não serão iguais, sendo elas inversamente proporcionais às alturas úteis em que estão

localizadas.

As lajes que não apresentam a mesma resistência á flexão em qualquer direção considerada

são ditas anisótropas. Considera-se nestes casos que os momentos de plastificação que

atuarem na mesma direção sejam iguais.

Se uma laje anisótropa possuir armaduras dispostas em direções ortogonais e momentos de

plastificação positivos e negativos, e se esses momentos positivos mantiverem entre si uma

relação idêntica à relação entre os momentos de plastificação negativos correspondentes, a

laje será considerada ortótropa. Ou seja, uma laje com armaduras ortogonais com momentos

de plastificação positivos 1m e 2m e negativos 1'm e 2'm , será ortótropa se:

1*2 mlm = e 1'*2' mlm =

A relação l é denominada índice de ortotropia, e todas as lajes ortótropas poderão ser

calculadas como sendo isótropas, bastando para isso fazer uma modificação de suas

dimensões, como será apresentado no item 2.4.5.

O índice de ortotropia empregado, segundo ROCHA (1986), pode ser tomado de várias

maneiras diferentes.

a) Arbitrando-se um valor para l ;

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12

b)Com o objetivo de se aproximar da relação obtida quando aplicada a teoria de Marcus;

21

ε=l

onde : ε é a relação entre o menor e o maior lado da laje.

Para se obter o menor valor para a soma das seções das armaduras positivas nas duas

direções;

2

2

23 εε

−=l

Segundo LANGENDONCK (1966) o índice de ortotropia deve ser, por motivos de economia,

menor ou igual a 1.

2.4.5 Transformação de lajes ortótropas em isótropas

Segundo JOHANSEN (1932) apud PINHEIRO (1983), para considerar uma laje ortótropa

como sendo isótropa, basta alterar todas as dimensões na direção normal às das seções que

resistem a lm e 'lm , dividindo-as por l , Os valores das cargas distribuídas devem ser

mantidos, as cargas concentradas e as lineares devem ter, na laje transformada, seus valores

divididos por l .

2.4.6 Configuração das charneiras

As configurações das charneiras dependem, do tipo e da distribuição das cargas, e da

disposição das armaduras, levando em conta as condições de apoio da laje, de maneira a ser

geometricamente possível a formação da superfície poliédrica da laje deformada. O teorema

do limite superior, onde uma carga calculada, baseada em um mecanismo suposto será maior

ou pelo menos igual a verdadeira carga limite, também deve ser respeitado.

Todas as configurações das charneiras , possíveis de ocorrer em uma laje, são denominadas

configurações possíveis. Para cada configuração existe uma carga que propicia a energia

consumida no desenvolvimento das charneiras. A carga efetiva de ruína de uma laje,

denominada carga de ruína, deve ser a menor entre todas as cargas possíveis de ocorrer. Ou

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13

seja, para uma laje, a menor carga correspondente as configurações de ruína, será a carga de

ruína e a configuração geradora de tal carga será a configuração de ruína.

Logo, num problema de dimensionamento, a configuração de ruína é aquela responsável pelo

maior valor de momento de plastificação, devendo ser este utilizado para o dimensionamento

da laje.

Para se determinar a configuração de ruína de uma laje, todas as possíveis configurações

devem ser analisadas. Segundo PINHEIRO (1983), existem algumas regras básicas para

determinação dessas configurações.

a)Cargas distribuídas geralmente originam charneiras retilíneas, embora nem sempre a

configuração definida por elas seja a mais desfavorável à laje.

b) Ao longo dos contornos engastados, formam-se charneiras sendo estas negativas

correspondentes aos momentos negativos.

c) Cada charneira passa pelo ponto de interseção dos eixos de rotação das regiões delimitadas

por essas charneiras negativas.

d) Os eixos de rotação das diversas regiões divididas pelas charneiras coincidem com lados

simplesmente apoiados, ou com lados engastados, ou passam pelos pontos de apoio isolados.

Pode-se notar, pela figura 4.a, que para cada caso existe um conjunto de configurações

possíveis caracterizadas por certas incógnitas. No caso mencionado as configurações

dependem do angulo α , que define a direção da charneira AB, e também o ponto de

bifurcação da mesma.

Quando em uma laje houver um contorno curvilíneo, como na figura 04.f, o mesmo pode ser

considerado como limite para o qual tende o contorno poligonal, com lados cujos

comprimentos tendem para zero. As charneiras que deveriam convergir para os vértices do

polígono, ficarão encostadas umas às outras, e formarão uma superfície regrada não plana que

se admite ser possível.

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14

Figura 04. Exemplos de configuração de ruína para lajes- PINHEIRO ( 1983).

b)

c)

d)

f) Superfície regradae) Superfície poliédrica

AB

a)

α

Eixo de rotaçãoBorda simplesmente apoiada

Borda livre Apoio pontual

Convenções:

Charneira Borda engastada

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15

2.5 Processo da energia

Tendo-se uma configuração possível das charneiras, há necessidade de se conhecer a

intensidade da carga que corresponde a essa configuração. Faz-se, para tal, uso do processo da

energia, que consiste em igualar a energia desenvolvida pela carga durante a deformação da

laje à energia consumida pelas charneiras para se deformarem, ou seja, aplica-se o princípio

dos trabalhos virtuais, igualando-se o trabalho das forças externas (Te ) ao trabalho das forças

internas (Ti ).

2.5.1 Energia absorvida pelas charneiras

Aplicando-se um deslocamento unitário a um ponto da laje na direção perpendicular ao seu

plano, determinam-se os ângulos de rotação iθ das charneiras positivas e i'θ das

charneiras negativas. Considerando-se m e 'm os momentos de plastificação por unidade de

comprimento e la e 'la os comprimentos das charneiras positivas e negativas

respectivamente, a energia absorvida pelas charneiras ao se deformarem será:

∑ ∑+= iilaimilaimiTi '*'*'** θθ (3)

Com a possibilidade de transformar uma laje qualquer em outra de mesma resistência à flexão

que seja isótropa, gerando com isto momentos de plastificação constantes pode-se escrever:

∑ ∑+= iilaimilaimTi '*''* θθ (4)

2.5.2 Energia desenvolvida pelas cargas

De acordo com PINHEIRO (1983), ao se deslocar as cargas concentradas de fj, e as

distribuídas de f, tem-se para a energia desenvolvida pelas cargas o seguinte:

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16

∑ ∫+=A

dAfqfjPjTe *** (5)

Onde f é dado em função da posição do elemento dA da área da laje.

Como neste trabalho serão tratadas as lajes submetidas a cargas uniformemente distribuídas

temos para a energia desenvolvida pelas cargas:

∫ ∫ ===A A

VqdAzqdAzqTe **** (6)

Sendo A a superfície média poligonal da placa, z o deslocamento de um ponto genérico e V o

volume varrido pela placa ao se deformar. É cômodo dar ao valor do deslocamento o valor

unitário.

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17

3.Lajes retangulares

3.1 Introdução

Trata-se neste capítulo das lajes retangulares submetidas a cargas uniformemente distribuídas,

pois são essas as situações mais corriqueiras nas edificações e por serem realizadas, no

capítulo seguinte, comparações entre lajes com chanfros e lajes retangulares.

Apresentam-se nos sub-itens seguintes a aplicação da teoria das charneiras plásticas para lajes

retangulares simplesmente apoiadas e para lajes retangulares com alguns lados engastados,

incluindo exemplos e comparações com a análise elástica. Descrevem-se ainda expressões

genéricas que possibilitam a obtenção dos esforços em lajes analisadas pela teoria das

charneiras plásticas além da verificação da possível simplificação no que se refere à

configuração das charneiras.

3.2 Lajes simplesmente apoiadas

Para a determinação dos momentos de plastificação é necessário conhecer as possíveis

configurações das charneiras. Seguindo-se as regras básicas apresentadas no item 2.4.6, tem-

se, para uma laje retangular simplesmente apoiada a configuração das charneiras como mostra

a figura 05.

Figura 05. Laje simplesmente apoiada

θ1

θ2α

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18

Para a posição exata das charneiras o valor de x deve ser calculado, para a posição das linhas

de ruptura que conduzam ao máximo momento m . Aplicando os fundamentos já

apresentados temos:

2

11 atg =θ a21 ≈θ

xtg 12 =θ

x11 ≈θ

Pelo método da energia: TeTi =

Para as placas 1 e 2 temos:

abmbmTi *21** == θ

( )

+−=

31*

21*

2*2

21*

2*2 axaxbqTe

−=

3*

4* xabaqTe

Para as placas 3 e 4 temos:

xamamTi *2** == θ

=

31*

21** xaqTe

6** xaqTe =

Como TeTi ∑∑ =

+−=

+

6*

3*

4****2 xaxabaq

xam

abm

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19

+

−= 2

22

*22*3

12*

axbxxbaqm (7)

Para maxm temos:

0=∂∂xm

Fazendo:

+

−∂∂

2

2

*22*3axbxxb

x temos:

babaax

8*48164 2242 +±−

= (8)

Para o cálculo do ângulo α exato utiliza-se a seguinte expressão:

2242 *48164*4

abaabaarctg++−

=α (9)

De acordo com ROCHA (1986), verifica-se, que para as linhas de ruptura inclinadas em 45

graus em relação aos lados do retângulo, independente da relação entre os lados da laje, uma

variação não superior a 3%, em comparação aos resultados obtidos para as linhas de ruptura

nas posições exatas. Com o objetivo de confirmar esta simplificação apresenta-se os cálculos

seguintes.

Adota-se em lugar de x o valor de 2a , logo:

2

11 atg =θ a21 ≈θ

2

12 atg =θ a22 ≈θ

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Pelo método da energia : TeTi =

Para as placas 1 e 2 temos:

abmbmTi *21** == θ

( )

+−=

31*

21*

2*

21*

2* aaaabqTe

−=

64* 2abaqTe

Para as placas 3 e 4 temos:

mamTi 22** == θ

12*

31*

21*

2*

2aqaaqTe =

=

Como: TeTi ∑∑ =

+−=

+

1264*2*2 22 aabaqm

abm

+

−=

ab

abqam223

4

2

(10)

Para o aplicação dos coeficientes de ortotropia apresentados no item 2.4.4 temos:

+

−=

lab

abqamx*22

34

2

(11)

Sendo x referente a direção do menor vão

mxlmy *=

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21

Os valores apresentados no quadro 01. confirmam a possibilidade da adoção das charneiras na

posição simplificada. Onde MEX, representa o momento de plastificação para as charneiras

nas posições exatas; M45, representa o momento de plastificação para as charneiras inclinadas

de 45 graus em relação aos lados do retângulo; M45/MEX, representa a relação entre os dois

momentos de plastificação.

Quadro 01. Comparação entre charneiras nas posições exatas e inclinadas em 45 graus

LADO B ÂNGULO EXATO ÂNGULO 45 MEX M45 M45/MEX b = a 45 45 qa²/24 qa²/24 1.000 b = 2a 37.5 45 qa²/14.14 qa²/14.4 0.981 b = 3a 34.96 45 qa²/10.66 qa²/10.9 0.978

3.3 Lajes com alguns lados engastados

Para a determinação dos momentos de plastificação em lajes com alguns lados engastados

age-se de maneira análoga ao item 3.2 acrescentando, porém, os momentos negativos nos

lados engastados e os coeficientes que relacionam os momentos no meio do vão com os

momentos negativos. Para a configuração de ruptura das charneiras adotou-se os seguintes

critérios:

a) Entre dois apoios do mesmo tipo a inclinação da charneira será de 45 graus;

b) A inclinação da charneira será de 60 graus a partir do apoio engastado quando o outro for

simplesmente apoiado.

As equações a seguir expressam os momentos de plastificação mx em relação ao menor vão

da laje, uma vez que para a determinação do momento my faz-se lmx * , onde l é o

coeficiente de ortotropia. 1k e 2k são a relação entre os momentos no meio do vão e os

momentos negativos, respectivamente em relação aos lados menor e maior. As condições de

apoio consideradas estão expostas na figura 06. Os resultados obtidos com as equações

propostas são iguais aos obtidos para equações sugeridas por outros autores, validando desta

maneira os critérios adotados no trabalho.

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22

Figura 06. Lajes com alguns lados engastados

Para os casos da figura 06. temos:

a) ( )( )lkl

ab

aqaabaqmx*21547,11547,34

*2276,01138,0366,125,02 22

++

++−= (12)

b) ( ) ( )l

abk

ab

aabqaabqaqmx4641,3*15773,13094,4

1547,0*3169,00893,0*183,0*122,0 222

++

−+−+= (13)

c) ( ) ( )2*5773,13094,4*15773,13094,4

*6666,12113,0*3169,0122,0*183,0 22

kllabk

ab

aqaabqaabqmx+++

+−+−= (14)

d)

abk

abl

abaqaqmx

*1449282,6

0962,0*412*0962,0 22

++

−+

= (15)

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e) ( ) ( )2*1547,31547,3*15773,13094,4

2679,0*3169,01547,0*183,0*2113,0 222

kllabk

ab

aabqaabqaqmx+++

−+−+= (16)

f) ( )lkl

ab

aqaabqmx*23094,23094,24

*2886,02886,0*25,02 22

++

+−= (17)

g) ( )( )lkl

abk

ab

aqaabaqmx*224641,5*144

*1314,00657,07886,025,02 22

+++

++−= (18)

h) lkl

abk

ab

aqabaqmx

*244*144

*61

61*25,02 22

+++

+

= (19)

3.4 Comparação entre análise plástica e elástica

Para a análise de lajes retangulares, utiliza-se geralmente métodos baseados na análise

elástica. Tais métodos são muito difundidos, e tem fácil aplicação prática. Em contra partida,

o método das charneiras plásticas, que tem sua aplicação à lajes retangulares tão ou mais

simples que os métodos elásticos, ( formulário apresentado no item 3.3 ) é utilizado

basicamente para lajes que apresentam um certo grau de esconsidade. Com o intuito de

demostrar a aplicação do processo das charneiras plásticas em lajes retangulares, assim como

o de comparar os resultados obtidos na análise elástica com os da análise plástica apresenta-

se a seguir o dimensionamento de um pavimento fictício, ( figura 07.) que possui as seguintes

características:

a) As lajes estão submetidas a uma carga de 7 KN/m²;

b) A espessura das lajes é de 8 cm;

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24

c) Será utilizado aço CA-50A e concreto com fck 20 MPa;

Figura 07. Pavimento fictício.

Para a análise elástica das lajes do pavimento optou-se pelo processo de Marcus. Outro fator

abordado neste exemplo é o grande número de possibilidades de combinação entre os

coeficientes que relacionam os momentos de plastificação positivos (l), assim como os

coeficientes que relacionam os momentos de plastificação positivos com os negativos (k). Os

resultados obtidos estão apresentados nos quadros 02. e 03. Onde: Mx e My são os momentos

de projeto segundo as direções x e y respectivamente; Xx e Xy são os momentos de

engastamento segundo as direção x e y respectivamente; As, a área de aço calculada para os

referidos momentos; Peso/Peso M, a relação entre o peso de aço necessário para as lajes

segundo o processo da ruptura e o processo de Marcus.

Quadro 02. Momentos para análise elástica e plástica.

CASO Mx (KNm) My (KNm) Xx (KNm) Xy (KNm)

Marcus 5.43 2.41 -11.69 -5.19

Ruptura 1 4.44 4.44 -4.44 -4.44

Ruptura 2 5.70 2.53 -5.70 -2.53

Ruptura 3 6.48 1.36 -6.48 -1.36

Ruptura 4 5.70 2.53 -5.70 -2.53

Ruptura 5 3.50 3.50 -7.00 -7.00

Ruptura 6 4.50 2.00 -9.00 -4.00

Ruptura 7 5.11 1.07 -10.23 -2.15

Ruptura 8 4.50 2.00 -9.00 -4.00

Ruptura 9 3.39 3.39 -7.30 -7.30

Ruptura 10 4.36 1.93 -9.38 -4.17

Ruptura 11 4.95 1.04 -10.66 -2.24

Ruptura 12 4.36 1.93 -9.38 -4.17

L1

L3

L2

L4

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Quadro 03. Comparação entre o peso de aço consumido para análise elástica e plástica. CASO As Mx (cm²/m) As My (cm²/m) As Xx (cm²/m) As Xy (cm²/m) Peso /Peso M

Marcus 2.92 1.23 7.23 2.78 1.00

Ruptura 1 2.35 2.35 2.35 2.35 0.86

Ruptura 2 3.08 1.30 3.08 1.30 0.85

Ruptura 3 3.55 1.20 3.55 1.20 0.88

Ruptura 4 3.08 1.30 3.08 1.30 0.85

Ruptura 5 1.82 1.82 3.88 3.88 0.80

Ruptura 6 2.38 1.20 5.20 2.10 0.81

Ruptura 7 2.73 1.20 6.09 1.20 0.70

Ruptura 8 2.38 1.20 5.20 2.10 0.81

Ruptura 9 1.76 4.07 1.76 4.07 0.82

Ruptura 10 2.30 1.20 5.47 2.19 0.76

Ruptura 11 2.64 1.20 6.41 1.20 0.69

Ruptura 12 2.30 1.20 5.47 2.19 0.76

Para os casos em que as lajes foram analisadas pelo processo da ruptura adotou-se as

seguintes combinações para os coeficientes k e l:

Ruptura 1 – l1,k1;

Ruptura 2 – l2,k1;

Ruptura 3 – l3,k1;

Ruptura 4 – l4,k1;

Ruptura 5 – l1,k2;

Ruptura 6 – l2,k2;

Ruptura 7 – l3,k2;

Ruptura 8 – l4,k2;

Ruptura 9 – l1,k3;

Ruptura 10 – l2,k3;

Ruptura 11 – l3,k3;

Ruptura 12 – l4,k3;

Os valores utilizados para o coeficiente l seguem o sub-item 2.2.4 onde:

l1 = 1;

l2 = 21

ε;

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26

l3 = 2

2

23 εε

−;

l4 = Mesma relação obtida com o uso do processo de Marcus;

k1 = 1;

k2 = 2, indicada por LANGENDONCK (1966) como relação mais econômica;

k3 = Mesma relação obtida com o uso do processo de Marcus.

No Quadro 3 verifica-se uma redução significativa no consumo de aço para a análise plástica,

realizada pela teoria das charneiras plásticas , em relação a análise elástica realizada pelo

processo de Marcus, variando no exemplo, entre 12 e 31%. Nota-se também, que em alguns

casos a economia demostrada poderia ser maior, uma vez que para certos momentos utilizou-

se armadura mínima no dimensionamento da laje ( armadura mínima para o exemplo, 1,20

cm²/m). A hipótese de ser a relação ( k=2), afirmada por LANGENDONCK (1966), como a

mais econômica não é confirmada no exemplo. Demostra-se também, que independente dos

valores atribuídos aos coeficientes l e k a análise das lajes realizada pela teoria das charneiras

plásticas é mais econômica que a realizada pelo processo de Marcus, entretanto, recomenda-

se os coeficientes l2, k2 e l4, k3.

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27

4. Lajes com chanfros

4.1 Introdução

Como citado anteriormente neste trabalho, o engenheiro calculista ao se defrontar com lajes

que possuam chanfros e estando este utilizando de métodos clássicos de análise, usualmente

toma uma laje retangular em substituição à laje real. De maneira semelhante, alguns

programas de computador que realizam a análise e o dimensionamento de estruturas de

concreto armado também adotam essa simplificação. Porém, não se conhece, na literatura que

trata desse assunto, subsídios que confirmem essa simplificação ou então que apontem limites

para a mesma. Com o objetivo de avaliar esta simplificação e de apontar limites para sua

utilização, apresenta-se neste capítulo o estudo das lajes simplesmente apoiadas que possuam

chanfros submetidas a carregamento uniformemente distribuído.

4.2 Lajes com chanfros inclinados em 45 graus

Para a elaboração da formulação para a análise das lajes com chanfros segue-se os conceitos

anteriormente apresentados, desprezando-se o efeito de báscula, sendo o fator relevante nestes

casos a configuração das charneiras. Quando o tamanho do chanfro for pequeno em relação

aos lados da laje apresenta-se uma dada configuração para as charneiras, porém, com o

aumento do tamanho do chanfro a configuração das charneiras é alterada. Para as possíveis

configurações das charneiras, calcula-se os limites para o tamanho do chanfro como

demostrado a seguir.

A figura 08 apresenta o primeiro limite para as charneiras em lajes com chanfro inclinado de

45 graus.

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Figura 08. Primeiro limite para as charneiras em lajes com chanfro à 45 graus

Para a determinação do comprimento x temos:

5.6721 == αα

13521 =+ αα

9032 =+ αα

5.223 =α

aaytg

5.05.05.22 −

=

ay 707.0=

ax 293.0= limite.

Para determinação da expressão que represente o momento fletor na laje da figura 08, aplica-

se os conceitos anteriormente apresentados, chegando ao seguinte resultado:

+−

=ababaqm

6571.343619.0

2* 2

(20)

Comparando os resultados obtidos para uma laje com chanfro de comprimento igual a

(0.293a) com os resultados de uma laje retangular verifica-se uma diferença praticamente

α1 α2

α3

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29

inexistente. O quadro 04 apresenta essa comparação, onde Mre, representa o momento para

laje retangular; Mch, representa o momento para laje com chanfro.

Quadro 04. Comparação entre laje retangular e laje com chanfro igual a 0.293a.

Lado b Mre Mch Mch / Mre

b = a 24* 2aq

24* 2aq

1.000

b = 1.3a 03.19

* 2aq 88.18

* 2aq 1.007

b = 1.6a 42.16

* 2aq 24.16

* 2aq 1.011

b = 2a 14.14

* 2aq 23.14

* 2aq 0.993

A figura 09 apresenta o segundo limite para as charneiras em lajes com chanfro inclinado de

45 graus.

Figura 09. Segundo limite para as charneiras em lajes com chanfro à 45 graus

Para a determinação do comprimento máximo do chanfro b ( chb) temos:

α3

α1α2

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30

5.6721 == αα

5.223 =α

axtg5.0

5.22 =

ax 2071.0=

logo: abchb 7071.0−<

Para determinação da expressão que represente o momento fletor para o a configuração das

charneiras como apresentado na figura 10, onde ( 0.293a < chb < b-0.7071a ) temos:

Figura 10. Configuração das charneiras para ( 0.293 < chb < b-0.7071a ).

chaa =1

( ) 45sen2 chaaa −=

( )chaaa −=3

chbb =1

( )achbbb 7071.02 −−=

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31

( )25.023 aabbb ++−=

Pelo processo da energia temos:

Para a placa 1:

( )a

bbmTi 21−=

+

=

31*

21*

2*7071.0

21*

2*21 aaabqTe

Para a placa 2:

aamTi 2**=

=

31*

21*

2*2 aaqTe

Para a placa 3:

abmTi 2**=

( )

+

+

+

= atxaaaabqTe

3*

21*2

31*

21*

2*

221*

2*23 2 onde:

aax 22

=

−+

−+

=

31*

21*3*2

2*

21*3*2

22*2*3 xbaaxbaaxabat

Para a placa 4:

2*3*axamTi =

=

3*

21*2*34 xaaqTe

Para a placa 5:

abamTi 2*11* 22 +=

( )

+

+

= atxaaaaqTe

3*

21*2*2929.0*3

31*

21*

2*2071.05

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32

Fazendo: TeTi ∑∑ = temos:

+++++

++++=

aba

aa

ab

TeTeTeTeTem22 1123222

ab1-b2

54321 (21)

Comparando os resultados obtidos para uma laje com chanfro de comprimento igual a (b-

0.7071a) com os resultados de uma laje retangular verifica-se um decréscimo do momento

fletor entre 0 e 45%, sendo esta diferença tanto maior quanto maior for a diferença entre as

dimensões da laje. Para o chanfro com tamanho no intervalo de (0.293 < chb < b-0.7071a)

esta tendência é mantida. O quadro 05 apresenta essa comparação, onde Mre, representa o

momento para laje retangular; Mch, representa o momento para laje com chanfro.

Quadro 05. Comparação entre laje retangular e laje com chanfro igual a (b-0.7071a).

Lado b Mre Mch Mch / Mre

b = a 24* 2aq

24* 2aq

1.000

b = 1.3a 03.19

* 2aq 00.22

* 2aq 0.865

b = 1.6a 42.16

* 2aq 26.23

* 2aq 0.705

b = 2a 14.14

* 2aq 68.25

* 2aq 0.550

A figura 11 apresenta o terceiro limite para as charneiras em lajes com chanfro inclinado de 45 graus.

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33

Figura 11. Terceiro limite para as charneiras em lajes com chanfro à 45 graus

Para determinação da expressão que represente o momento fletor para o a configuração das

charneiras como apresentado na figura 11, onde ( chb > b-0.7071a ) temos:

2451 =α

( ) 45sen1 chbbx −=

( ) 5.222 tgchbax +=

45sen*23 xx =

( ) 45sen4 chaax −=

315xxx =

346xxx =

5.22*17 tgxx =

5.22*48 tgxx =

Pelo processo da energia temos:

Para a placa 1:

α1

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34

( )15*xxchbbmTi −=

( )

−=

35*

21*45sen1 2 xchbbqTe

Para a placa 2:

31**x

amTi =

( )

+

+

= atxxxqTe

31*

21*3

35*

21*12 22 onde:

211 ccat +=

( ) ( ) ( )

−−−+

−−= 5*

21*31*13

25*1*311 xxxaxxxxxxac

( ) ( )

−−−=3

61*21*31*132 xxxaxxc

Para a placa 3:

31**x

bmTi =

( )

+

+

= 2

36*

21*4

31*

21*33 22 atxxxqTe onde:

432 ccat +=

( ) ( ) ( )

−−−+

−−= 6*

21*43*43

26*4*433 xxxxxbxxxxbc

( ) ( )

−−−=3

61*21*43*434 xxxxxbc

Para a placa 4:

( )46**xxchaamTi −=

( )

−=

36*

21*4*4 xxchaaqTe

Para a placa 5:

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35

31** 22

xchbchamTi +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++

−−−+

−−= 3416*

21*43*43

26*4*435 atcatxxxxxbxxxxbqTe

+

=

36*

21*4*8

35*

21*1*73 xxxxxxat

Fazendo TeTi ∑∑ = temos:

++

−+++

++++=

33333

5432122

xchbcha

xchaa

xb

xa

xcbb

TeTeTeTeTem (22)

Dentre as três configurações possíveis para as charneiras é com a terceira que se verificam as

maiores diferenças entre os valores de momento fletor em comparação aos valores obtidos

numa laje retangular. Para o segundo e para o terceiro caso o limite do tamanho do chanfro a é

o próprio comprimento a O terceiro caso tem como limite para o chanfro b o próprio

comprimento b, ou seja, a laje converge para uma laje triangular.

Verifica-se, para todos os casos de lajes com chanfros inclinados de 45 graus que

considerando a laje como sendo retangular estará a mesma sendo dimensionada a favor da

segurança, uma vez que os esforços de momento fletor diminuem para este caso. Porém, em

alguns casos estar-se-ia contra a economia, para isso apresenta-se no quadro 6 uma série de

dados onde são relacionados o momento fletor para lajes com chanfro e lajes retangulares,

possibilitando ao engenheiro calculista, que esse, com seus próprios critérios, decida por

calcular a laje real, utilizando as expressões anteriormente apresentadas, ou uma laje

simplificada, ou seja, retangular.

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36

Quadro 06. Relação entre momento fletor para laje com chanfro e laje retangular.

Chanfro a / lado a ( a = lado menor )

a/b 0.293 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

1.00 1.00 0.95 0.87 0.78 0.67 0.56 0.44

0.90 1.00 0.96 0.89 0.81 0.71 0.61 0.50

0.80 1.00 0.97 0.92 0.84 0.76 0.66 0.56

0.70 1.00 0.98 0.93 0.88 0.81 0.73 0.64

0.60 1.00 0.99 0.95 0.91 0.85 0.78 0.71

0.50 1.00 1.00 0.97 0.93 0.89 0.84 0.78

Para uma melhor visualização das relações demostradas no Quadro 06 apresenta-se a seguir

os seguintes gráficos, onde Mch representa o momento para a laje com chanfro e Mre o

momento para a laje retangular:

Gráfico 01. Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 1.

00,20,40,60,811,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1cha/a

Mch/Mre

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37

Gráfico 02. Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0.9.

Gráfico 03. Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0.8.

Gráfico 04. Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0.7.

00,20,40,60,811,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1cha/a

Mch/Mre

00,20,40,60,811,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1cha/a

Mch/Mre

00,20,40,60,811,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1h /

Mch/Mre

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38

Gráfico 05. Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0.6.

Gráfico 06. Relação Mch/Mre para lajes com a/b igual a 0.5.

00,20,40,60,811,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1cha/a

Mch/Mre

00,20,40,60,811,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

cha/a

Mch/Mre

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39

5. LAJES ESCONSAS

5.1 Introdução

Tendo em vista a diversidade das formas estruturais dos edifícios atuais, apresenta-se neste

capítulo, a aplicação da teoria das charneiras plásticas para lajes com um certo grau de

esconsidade, uma vez que esta teoria se demostra muito eficiente para a análise deste tipo de

estrutura. Num primeiro momento, serão estudadas as lajes de formato trapezoidal,

simplesmente apoiadas e submetidas a carregamento uniformemente distribuído, sendo após

tratadas as lajes em forma de triângulo retângulo, também simplesmente apoiadas e

submetidas a carregamento uniformemente distribuído. Serão apresentadas as formulações

para a determinação dos momentos fletores nestes tipos de lajes, assim como subsídios para

sua utilização.

5.2 Lajes com formato trapezoidal

Este sub-item trata da análise de lajes com formato trapezoidal simplesmente apoiadas e

submetidas a carregamento uniformemente distribuído. Como demostrado nos capítulos

anteriores, cabe saber como se apresentará a configuração das charneiras, para posteriormente

determinar os esforços de momento fletor.

Figura 12. Primeiro limite para configuração das charneiras em laje com formato trapezoidal.

αα1

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40

A configuração das charneiras, representada no figura 12, possui o seguinte limite

( ( )12900 αα −≤≤ ) onde o ângulo 1α vale:

abaarctg5.0

5.01−

=α (23)

Tendo a configuração das charneiras é possível determinar a expressão que represente o

momento fletor para as lajes de forma trapezoidal. Pelo processo da energia, temos para a laje

genérica da figura 13 o seguinte:

Figura 13. Laje com formato trapezoidal.

1902 αα −=

2sen1sen*

ααabc −=

cbac −==2sen1sen2

αα

22 21 cax +=

α1

α2β2

β3

β1

1

2

3 4

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41

21901 α

β−

=

221802 α

β−

=

211803 βββ −−=

3sen2sen*12

ββxx =

( ) 211sen xy βα +=

22 aybb −−=

21sen*2*11 βxxA =

42

2aA =

2

14321 a==== σσσσ

Para a placa 1:

1*1* σxmTi =

31*1*1 AqTe =

Para a placa 2:

2** σamTi =

31*2*2 AqTe =

Para a placa 3:

3** σcmTi =

3*3 AqTe = onde: ( )

−−+

=

12*22

21*

2*23 abcbabA

Para a placa 4:

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42

4** σbmTi =

4*4 AqTe = onde: ( )

−+

=

12*2

21*

2*24 abbabA

Fazendo: ∑ ∑= TeTi temos:

+++

+++=

ab

ac

ax

TeTeTeTem 222124321 (24)

Quando a configuração das charneiras não atender o limite ( ( )12900 αα −≤≤ ), teremos de

acordo com a figura 14:

Figura 14. Segundo limite para configuração das charneiras em laje com formato trapezoidal.

21902 α

α−

=

453 =α

321804 ααα −−=

1905 αα −=

α1

α2

α4

α3

α5

α6α7

3

1

4

2

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43

251806 α

α−

=

61357 αα −=

4sen2sen1

ααbx =

45sen12 xx =

5sen1sen1

ααac =

12 cbc −=

7sen6sen23

ααcx =

45sen34 xx =

245xxx =

646

αtgxx =

Para determinação do esforço de momento fletor, aplicando o processo da energia teremos:

Para a placa 1:

21**x

amTi =

( )

+

+

= 1

31*

21*2

35*

21*41 22 atxxxqTe onde:

211 ttat +=

( ) ( ) ( )

−−−+

−−= 5*

21*42*42

25*4*421 xxxaxxxxxxat

( ) ( )

−−−=3

51*21*42*422 xxxaxxt

Para a placa 2:

45*2*xxcmTi =

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44

=

35*

21*4*22 xxcqTe

Para a placa 3:

21*1* 22

xcamTi +=

( ) ( )

+

+= 2

35*

21*4*613 atxxxatqTe onde:

( ) ( )[ ]

−−−−+=

31*

21*2*64212 22 xxxxacaat

Para a placa 4:

21**x

bmTi =

( )

+

= 2

31*

21*24 2 atxqTe

Fazendo: ∑ ∑= TeTi , teremos:

++

++

+++=

221

45*2

2

432122

xb

xca

xxc

xa

TeTeTeTem (25)

Como no caso das lajes com chanfros, mostra-se no Quadro 07 comparações entre os

momentos obtidos para as lajes com formato trapezoidal e lajes retangulares, para que o

engenheiro tenha subsídios no momento da análise desse tipo de laje. Porém, com a aplicação

das expressões apresentadas no item 5.2 isso não se faz necessário, obtendo com elas os

valores para as dimensões reais da laje. No quadro 07 o ângulo α corresponde ao ângulo

1α das figuras 13 e 14.

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45

Quadro 07. Relação entre momento fletor para laje com forma trapezoidal e laje retangular

Ângulo α

Relação a/b 15=α 30=α 45=α

1.00 0.84 0.61 L.T.

0.90 0.86 0.66 0.40

0.80 0.90 0.72 0.47

0.70 0.92 0.82 0.55

0.60 0.94 0.86 0.58

0.50 0.96 0.90 0.81

Nota-se, no Quadro 07, que as lajes com a relação entre os lados igual a um e um ângulo

α =45 graus, apresentam formato triangular, sendo estas lajes tratadas o sub-item 5.3.

5.3 Lajes em forma de triângulo retângulo

As formas triangulares apresentam-se como alternativa para os projetos arquitetônicos que

buscam formas diferentes das tradicionais. Para isso apresenta-se a seguir, de maneira

semelhante aos itens anteriores a aplicação da teoria das charneiras plásticas, bem como a

formulação para a obtenção dos esforços de momento fletor em lajes em forma de triângulo

retângulo simplesmente apoiadas e submetidas a carregamento uniformemente distribuído.

A figura 15 representa uma laje em forma de triângulo retângulo, sendo a formulação para

este caso apresentada como segue abaixo.

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46

Figura 15. Laje em forma de triângulo retângulo.

Para figura 15, temos:

2901 α

α−

=

212902 α

α−

=

11351 αβ −=

121802 ααβ −−=

213603 βββ −−=

1sen45sen*1

βbx =

1sen1sen*3

βαbx =

3sen45sen*2

βax =

1sen*1 αxy =

1

2

3

α1

α

α2

β2 β1

β3

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47

y1

22 bah +=

22sen**21 αhxA =

21sen**12 αbxA =

22sen**23 αaxA =

Pelo processo da energia:

Para a placa 1:

θ**hmTi =

31*1 AqTe =

Para a placa 2:

θ**bmTi =

32*2 AqTe =

Para a placa 3:

θ**amTi =

33*3 AqTe =

Fazendo: ∑ ∑= TeTi , temos:

( )

++++

=abhTeTeTem

θ321 (26)

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48

6. Implementação computacional

6.1 Introdução

A teoria das charneiras plásticas, e os estudos realizados principalmente por

LANGENDONK (1966) e ROCHA (1986), disponibilizam ao engenheiro um grande número

de possibilidades factíveis quanto a escolha dos coeficientes que relacionam os momentos

positivos entre si e os momentos negativos com os momentos positivos ( coeficientes l e k,

respectivamente) Portanto, um programa de computador que trate da teoria das charneiras

plásticas, e que permita a escolha dos coeficientes a serem adotados permite uma melhor

análise dos resultados, sendo este um dos maiores problemas encontrados pelos engenheiros

quando utilizam para a realização de seus projetos programas de computados que não

informam os critérios adotados e nem possibilitam a escolha dos mesmos.

Em função dos valores obtidos na análise do exemplo apresentado no capítulo 4, onde se

mostrou muito eficaz a aplicação da teoria das charneiras plásticas para lajes retangulares e

pelas expressões genéricas, para a determinação dos esforços de momento fletor , para alguns

casos de lajes esconsas, apresenta-se, neste capítulo, a descrição geral do programa

implementado para o dimensionamento de lajes de concreto armado, o qual executa a análise

plástica de lajes pela teoria das charneiras plásticas e a análise elástica, para lajes

retangulares, pelo processo de Marcus.

6.2 Descrição geral do programa

Uma vez apresentada a teoria e determinada a formulação a ser utilizada, descreve-se de

forma sucinta a estrutura do programa desenvolvido, estando o manual de utilização do

mesmo apresentado no anexo do trabalho. Representa-se na figura 16 os principais passos do

programa, seguindo-se a descrição dos mesmos.

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49

Figura 16. Passos do programa.

• Criação do projeto: Tem como objetivo o controle e a organização do trabalho;

• Dados e critérios gerais: Leitura e determinação dos dados do projeto bem como dos

critérios a serem adotados na análise da laje;

• Dados da laje: Leitura dos dados da laje;

• Análise: Realiza a análise da laje, determina os esforços de momento fletor para a análise

plástica pelo método das charneiras plástica e para análise elástica pelo processo de

Marcus;

• Dimensionamento: Realiza o dimensionamento da laje para o esforço determinado;

• Resultados: Impressão de todas as informações lidas e dos resultados obtidos;

Criação do projeto

Dados e critério gerais

Dados da laje

Análise

Dimensionamento

Resultados

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50

7. Conclusões e considerações finais

O presente trabalho teve como objetivo principal demostrar a aplicabilidade da teoria das

charneiras plásticas na análise de lajes de concreto armado. Neste sentido, apresentou-se os

conceitos fundamentais que regem tal teoria demonstrando através de exemplos sua aplicação.

A teoria das charneiras plásticas para análise de lajes vem sendo muito utilizada pois

apresenta-se como uma ferramenta de fácil utilização, principalmente quando a laje em estudo

possui um certo grau de esconsidade. Contudo, a carência de subsídios específicos para o uso

da teoria das charneiras plásticas faz com que em muitos casos sejam adotadas soluções não

muito criteriosas, exemplo disso pode ser percebido quando, em substituição a uma laje com

chanfro é analisada uma laje retangular (consideração usualmente adotada).

Com o intuito de preencher uma lacuna em relação ao uso da simplificação acima citada,

realizou-se uma série de análises para indicar ao engenheiro projetista valores referentes a

adoção dessa simplificação, possibilitando a este uma tomada de decisão rápida e coerente.

Acredita-se que o estudo efetuado neste sentido, ainda que bastante limitado, uma vez que

estudou-se apenas as lajes simplesmente apoiadas submetidas a cargas uniformemente

distribuídas e com chanfro inclinado de 45 graus, pode ser considerado promissor, devendo no

entanto ser complementado com a análise para outras vinculações e inclinações de chanfro.

Adicionalmente, objetiva-se a determinação de parâmetros específicos para as lajes com

comportamento elástico, uma vez que indícios nos levam a acreditar que para esse tipo de

comportamento outros limites serão obtidos.

De maneira semelhante à realizada para as lajes com chanfro, apresentou-se subsídios para a

possível adoção de uma laje retangular em substituição a uma laje com formato trapezoidal.

Porém demonstrou-se para ambos os casos, que essa consideração apesar de segura, a partir

de certos limites apresenta-se antieconômica, devendo então ser efetuada a análise da laje real.

Para esse fim foram apresentadas as formulações genéricas para cada um desses casos.

Tratando-se de lajes retangulares foram apresentadas formulações que possibilitam a obtenção

dos esforços de momento fletor, tanto para as lajes simplesmente apoiadas quanto para as

lajes com alguns lados engastados. Além destas formulações realizou-se, para um exemplo, a

comparação entre a análise plástica efetuada pela teoria das charneiras plásticas e a análise

elástica realizada pelo processo de Marcus, verificando de uma forma geral, a economia de

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aço consumida para as lajes dimensionadas para os esforços obtidos através da análise

plástica.

Com os conceitos, fundamentações e subsídios verificados no trabalho deu-se início ao

desenvolvimento de um programa de computador, objetivando ser este uma ferramenta

auxiliar ao projetista, que possibilite ao usuário adotar critérios de cálculo eficientes.

Quanto ao programa em desenvolvimento pretende-se eliminar gradualmente as limitações

existentes, sempre objetivando a interação do projetista com os critérios adotados pelo

programa. É proposta ainda a viabilização de uma formulação para uma configuração

geométrica qualquer.

Pretende-se que os estudos aqui apresentados se constituam não unicamente na demonstração

da aplicação da teoria das charneiras plásticas, mas sim em um passo efetivo, ainda que

modesto, no sentido de estudar soluções praticamente adotadas que não estejam devidamente

comprovadas e registradas. Assim como o desenvolvimento de ferramentas computacionais

que acarretem agilidade e propiciem confiança ao usuário.

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ANEXO

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Manual de utilização do programa lajes

1. Introdução

Lajes, na sua versão 1.0, é um programa de computador criado para a realização da análise

plástica de lajes de concreto armado, bem como para o dimensionamento das mesmas. A

análise elástica de lajes também é realizada pelo programa, porém, não é este o objetivo

principal do programa. Para a análise elástica o computador segue o processo de Marcus e

para a análise plástica a teoria das charneiras plásticas.

Dentre as principais características do programa pode-se citar:

• Fácil operação;

• Organização do trabalho através do arquivo de resultados;

• Análise de lajes não retangulares;

• Critérios de cálculo à escolha do usuário, possibilitando com isso uma melhor análise dos

resultados.

2. Apresentação do programa

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2.1 Sobre o programa

3. Para utilização do programa

3.1 Criar projeto

O primeiro passo para utilização do programa é criar um projeto novo, para isso, no menu

arquivo clique em criar projeto e após informe o nome do mesmo. Clique em OK para

confirmar. A figura a baixo apresenta a janela para esta informação.

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3.2 Dados e critérios gerais

A figura abaixo apresenta a tela para a informação dos dados e dos critérios gerais.

Dados gerais:

- Digite o nome do projeto; - Digite o nome do pavimento;

Critérios gerais:

- Informe a tensão de escoamento do aço em MPa utilizado para o dimensionamento

das lajes; - Informe a resistência característica do concreto utilizado para o dimensionamento

das lajes; - Escolha o tipo de aço a ser utilizado no dimensionamento das lajes; - Informe o coeficiente de majoração das cargas; - Informe o coeficiente de minoração da resistência do concreto; - Informe o coeficiente de minoração da resistência do aço;

Critérios M: - Relação entre Mx e My:

Escolha uma das opções para a relação entre os momentos positivos: Onde: M1=1;

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M2= 21

ε, onde

yx

=ε , e x = menor dimensão da laje;

M3= 2

2

23 εε

−;

M4= mesma relação obtida para análise obtido pelo processo de Marcus;

- Relação entre M(+) e M(-):

Escolha uma das opções para a relação entre os momentos positivos e negativos: Onde: M5=1;

M6=2; M7= mesma relação obtida para análise obtido pelo processo de Marcus;

Importante: Após informar os dados clique em salvar.

3.3 Dados da laje

A figura abaixo apresenta a tela para a informação dos dados da laje.

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Laje e vinculações: Informe o número da laje; Escolha a configuração da laje;

Dimensões e carregamento: Informe o comprimento x em metros; Informe o comprimento y em metros; Informe a altura da laje em centímetros; Para lajes com chanfro inclinado de 45 graus, informe o comprimento do chanfro; Para lajes com formato trapezoidal, informe o ângulo teta;

Importante: Após informar os dados clique em salvar.

3.4 Análise

A figura abaixo apresenta a tela com os resultados da análise da laje.

Para análise da laje clique em : Processo da ruptura, para análise plástica. Processo de Marcus, para análise elástica. OBS: Caso se opte por um dos critérios: M4 ou M7 deve-se realizar a análise elástica antes da análise plástica.

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3.5 Dimensionamento

A figura abaixo apresenta a tela para a realização do dimensionamento da laje.

Para o dimensionamento: Informe o momento em kNm/m para o qual a laje deve ser dimensionada; Clique no botão dimensionar;

Repita os dois últimos procedimentos para os demais momentos. Importante: Após informar os dados clique em salvar. OBS: Para o dimensionamento das demais lajes do pavimento repete-se os itens 3.3, 3.4 e 3.5. 3.6 Visualizar resultados Para visualizar os resultados clique no menu visualizar, dados do projeto. Aparecerá uma janela como a da figura seguinte.

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No menu arquivo, clique em abrir arquivo de dados. O arquivo de dados terá o nome que foi informado em criar projeto.

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8. Referências bibliográficas

PINHEIRO, Libânio M. Charneiras plásticas em lajes com forma de T estudo

experimental. São Carlos, 1983. Dissertação (Mestrado em Engenharia) – Escola de

Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

ROCHA, Aderson M. Concreto armado. Vol. I, São Paulo: Nobel, 1986. 476p.

TIMONSHENKO, Stephen P., GERE, James E. Mecânica dos sólidos. Vol. II, Rio de

Janeiro: LTC – Livros técnicos e científicos, 1984. 446p.

LANGENDONCK, Telêmaco. Charneiras plásticas em lajes de edifícios. São

Paulo:Associação Brasileira de Cimento Portland, 1966. p. 9-46.

MONTOYA, Jiménez P., MESEGUER, Garcia A., CABRE, Morán F. Hormigón armado.

Vol I, Barcelona: Gustavo Gili S.A., 1987. p. 540-554.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de

obras de concreto armado: NBR 6118. Rio de Janeiro, 1978.

PFEIL, Walter. Concreto armado. Rio de Janeiro: LTC- Livros técnicos e científicos, 1988.

p. 191-193.

LEONHARDT, Fritz. Construções de concreto. Vol. IV, Rio de Janeiro: Interciência, 1979.

p. 192- 204.