análise e processamento de biosinais - fis.uc.pt · a resposta de um sistema contínuo, linear e...

Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra

Cap. 1- Introdução aos Sinais e Sistemas

Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra

Análise e Processamento de BioSinais

Slide 2 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Tópicos:

Convolução

O Integral de Convolução

Interligações de SLIT - Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Resposta a Degrau

Equações Diferenciais e de Diferenças para SLIT

Soluções para Equações Diferenciais e de Diferenças

Características dos Sistemas

Representação por Diagramas de Blocos


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


A Soma de Convolução

A Soma de Convolução para sinais discretos

Um sinal pode ser expresso por uma sobreposição de impulsos deslocados no tempo.

Considerando

Pode ser expresso como uma soma pesada de impulsos deslocados no tempo

Pode ser expresso por

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]knkxknnx

nxnnx

−=−

→=

δδ

δδ 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] L

L

+−+−+

+

+−++−+=

2211

0

1122

nxnx

nx

nxnxnx

δδ

δ

δδ

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knkxnx δ

δ

δ

δ

δ

δ


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Se H representar o operador do sistema

Sendo o sistema invariante no tempo qualquer deslocamento temporal da entrada provoca um deslocamento temporal da saída

onde h[n] é a resposta impulsional do SLIT com operador H. A resposta do sistema

Designado somatório de convolução

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] ∑∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−=−=

=

−==

kk

k

knHkxknkxH

knkxHnxHny

δδ

δ

[ ] [ ]knhknH −=−δ

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knhkxny

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=∗k

knhkxnhnx


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra




[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knhkxny

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=∗k

knhkxnhnx


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra




[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knhkxny

[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knkxnx δ


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Procedimento de Cálculo

Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução

Considere um SLIT discreto e representando um canal de comunicação com duas vias (uma via directa e uma via indirecta). A amplitude do sinal pela via indirecta vem atenuado de 50% resultando num sinal

O canal foi ensaiado com o que permitiu determinar a seguinte resposta impulsional

Determinar a resposta do sistema quando é aplicada a entrada

[ ] [ ] [ ]12

1−+= nxnxny

[ ]

=

=

=

outros

n

n

nh

,0

1,

0,1

21

[ ] [ ]nnx δ=

[ ]

=−

=

=

=

outros

n

n

n

nx

,0

2,2

1,4

0,2


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução

Solução

O sinal de entrada pode ser expresso por uma soma pesada de impulsos deslocados no tempo

Notar que entrada é nula para n<0 e n>2 sendo a saída y[n] calculada através de

Adicionando as respostas impulsionais obtemos a resposta

[ ] [ ] [ ] [ ]22142 −−−+= nnnnx δδδ

[ ]

≥

=−

=

=

=

<

=

4,0

3,1

2,0

1,5

0,2

0,0

n

n

n

n

n

n

ny

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]22142

22142

−−−+=

−−−+==

nhnhnh

nnnHnxHny δδδ

[ ]

=

=

=

outros

n

n

nh

,0

1,

0,1

21

[ ]

=−

=

=

=

outros

n

n

n

nx

,0

2,2

1,4

0,2


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Para sistemas discretos com resposta a impulso com equações mais extensas é possível estabelecer um procedimento sistemático para o cálculo do Somatório de Convolução

Definindo o sinal intermédio

Como nesta definição consideramos k como variável e tratamos o n como uma constante e redefinimos o Somatório de Convolução como

Notar que , que corresponde a uma reflexão de , seguido de um deslocamento -n


[ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−=k

knhkxny

[ ] [ ] [ ]knhkxkwn −=

[ ] [ ]∑∞

−∞=

=k

n kwny

[ ] [ ][ ]nkhknh −−=− [ ]kh

Somatório de vários valores do sinal de entrada, pesados pelos valores da resposta a impulso


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Integral de Convolução:

O Integral de ConvoluçãoA resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo também pode ser

descrita pela sua resposta impulsional composto com o sinal de entrada.

Representando o sinal de entrada por uma sobreposição (aqui um integral) de sinais de impulso deslocados no tempo

e por H o sistema ao qual a entrada x(t) foi aplicada

Sendo o sistema invariante no tempo

Correspondendo ao Integral de Convolução

( ) ( ) ( ) ττδτ dtxtx ∫+∞

∞−

−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττδτττδτ dtHxdtxHtxHty ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

−=

−==

( ) ( ) ( ) ( )ττδδ −=−→= thtHthtH

( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtxdthxty ∗=−= ∫+∞

∞−

τττ


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Integral de Convolução:

Resposta a Impulso de um SLIT

δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtxdthxty ∗=−= ∫+∞

∞−

τττ

ENTRADA:: Impulso atrasado SAÍDA:: Resposta a impulso TAMBÉM atrasada


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Procedimento de Cálculo:

É possível estabelecer um procedimento para o cálculo do Integral de Convolução

Definindo o sinal intermédio

Como nesta definição consideramos ττττ como variável e tratamos o tempo t como uma constante podemos redefinir o Integral de Convolução como

Notar que corresponde a uma reflexão de e de seguida um deslocamento

( ) ( ) ( ) τττ dthxty ∫+∞

∞−

−=

( ) ( ) ( )τττ −= thxwt

( ) ( ) ττ dwty t∫+∞

∞−

=

( ) ( )( )thth −−=− ττ( )t−

( )τh

Composição do sinal de entrada, após serpesado pelos valores da resposta a impulso


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Calcular o integral de convolução de um sistema com uma entrada

e resposta a impulso

Solução:

( )τ−thDeterminarº1

τ

τ

τ

( ) ( ) ( )31 −−−= tututx

( ) ( ) ( )2−−= tututh

( ) ( ) ( )τττ −= thxwt

( ) ( ) ττ dwty t∫+∞

∞−

=

h(t-ττττ) ) ) )


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



( ) ∞= - tdepartir a de variaçãode intervalos os Determinarº2 τtw

( ) 0=τtw

ττττ ττττ

ττττ

ττττ

( ) ( ) ( )τττ −= thxwt

ττττ

ττττ

t

( ) <<

=outro

twt

,0

1,1 ττ

( ) <<−

=outro

twt

,0

32,1 ττ

1<t

31 <≤ t

53 <≤ t

( ) 0=τtw

5≥t


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



( ) ( ) de função e intervalo cada para saída a Determinarº3 τtwty

( ) ( ) 00 =→= tywt τ

ττττ ττττ

ττττ

ττττ

ττττ

ττττ

ττττ

ττττ

t

1<t

31 <≤ t

53 <≤ t

5≥t( ) ( ) ττ dwty t∫

+∞

∞−

=

( ) ( ) 11 −=→= ttywt τ

( )

( ) ( )23

,0

32,1

−−=→

<<−

=

tty

outro

twt

ττ


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



( ) ( ) de função e intervalo cada para saída a Determinarº3 τtwty

( ) ( ) 00 =→= tywt τ

t

1<t

31 <≤ t

53 <≤ t

5≥t

( ) ( ) ττ dwty t∫+∞

∞−

=( ) ( ) 11 −=→= ttywt τ

( ) ( ) ( )231 −−=→= ttywt τ

( )

≥

<≤−

<≤−

<

=

50

535

311

10

t

tt

tt

t

ty


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Suponha que a distância a um objecto é determinada por determinação do tempo

de propagação dum pulso de radiofrequência (RF) que é emitido segundo a expressão

A resposta a impulso do canal de propagação é medida através de emissão de um impulso de RF. A resposta foi um impulso atenuado e atrasado no tempo com a seguinte representação

Solução:

( )( )

≤≤

=outros

Ttttx

c

,0

0,sin 0ω

( )τ−thDeterminarº1

( ) ( )βδ −= tath

AtrasoAtenuação

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )βτδτβτδτβτδτ −−=−→+=−→−= tathahah


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



convolução de integral o Determinarº2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dthxthtxty ∫+∞

∞−

−=∗=

( ) ( )( )βτδτ −−=− tath

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )β

τβτδττττ

−=

−−=−= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

tax

dtaxdthxtr

Nota: Sinal é atenuado e atrasado no tempo

β β


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Interligações de SLIT

Se um sistema é interligado por diferentes componentes cujas respostas impulsionais são conhecidas então é possível determinar a resposta impulsional final de todo o sistema.

As interligações consideradas são:

Paralela

Série ou Cascata


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Configuração Paralela

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )thtxdthx

dththx

dthxdthx

thtxthtxtytyty

*

**

21

21

2121

=−=

−+−=

−+−=

+=+=

∫

∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

τττ

ττττ

ττττττ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ththtxthtxthtx 2121 *** +=+

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] nhnhnxnhnxnhnx 2121 *** +=+

Sistema contínuo

Sistema discreto


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Configuração Série

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−−== τττ dthzthtzty 22*

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−−== dvvthvxhxtz 11* ττ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−−=−−= dvdvthhvxdvdthvhvxty ηηητττ 2121

v−=τη variávelde mudança

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ththtxthtxdvvthvx

dvdvthhvxty

21

21

*** ==−=

−−==

∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−ηηηL

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ththdthhth 2121 *=−= ∫∞

∞−ηηη


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Configuração Série

Propriedade Associativa

Propriedade Comutativa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnhnxnhnhnx

ththtxththtx

2121

2121

****

****

=

=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]nhnhnhnh

thththth

1221

1221

**

**

=

=

Sistema contínuo

Sistema discreto

Sistema contínuo

Sistema discreto


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Sistema com 4 interligações

Considere o sistema da figura cujos

Módulos têm a seguinte resposta

Impulsional:

Determinar a resposta impulsional do sistema.

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ].

,2

,2

,

4

3

2

1

nunh

nnh

nununh

nunh

nα

δ

=

−=

−+=

=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Sistema com 4 interligações

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ].

,2

,2

,

4

3

2

1

nunh

nnh

nununh

nunh

nα

δ

=

−=

−+=

=

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]nhnhnhnhnhn 4321 * −+=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2212 +=−++= nununununh

[ ] [ ] [ ] [ ]nunnunh =−+= 2*2123 δ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nunununhnhnh nn αα −=−=−= 14123


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Propriedades de um SLIT

A resposta impulsional caracteriza completamente o comportamento entrada/saída de um SLIT.

As propriedades de um sistema podem ser relacionadas com a resposta a impulso.

Podemos obter relações para propriedades tais como

Memória de um Sistema

Sistema Causal

Estabilidade do Sistema


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Memória de um SLIT

Um SLIT não tem memória se a sua resposta no instante t depende unicamente do valor de entrada no instante t.

Para um sistema sem memória:

Condição é:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] LL +−+++−+=

−== ∑∞

−∞=

11011

*

nxhnxhnxh

knxkhnxnhnyk

[ ] [ ] [ ] 0 com de depende não de depende só - ≠−→ kknxnxny

[ ] [ ][ ] 0 para 0

0 de excepção à nulosser deverão termosos todos-

≠=⇒ kkh

nxh

[ ] [ ] constante uma com ckckh δ=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Condição para SLIT sem memória de um SLIT

Para o caso discreto.

Para caso contínuo:

[ ] [ ] constante uma com ckckh δ=

( ) ( ) constante uma com cch τδτ =


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



SLIT CausalUm SLIT é causal se depender só dos valores presentes e passados do

sinal de entrada.

Para um sistema discreto é equivalente a

Para um sistema contínuo no tempo

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] LL +−+++−+= 11011 nxhnxhnxhny

[ ] 0, ≥kkhPresente

Passado

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

=−=→<=

0 0,0

kknxkhnykkh

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= τττ dtxhty

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

−=→<=0

0,0 τττττ dtxhtyh


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



SLIT Estável

Sendo o SLIT estável para uma entrada

então o correspondente sinal de saída será estável e obedecerá à restrição

A resposta impulsional de um SLIT discreto e estável deverá obedecer àrestrição

No caso contínuo a

[ ] ∞≤≤ yMny

[ ] ∞≤≤ xMnx

[ ] ∞<∑∞

−∞=k

kh

( ) ∞<∫∞

∞−ττ dh


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Invertível

O sistema será invertível se a entrada do sistema pode ser recuperada a partir da saída a menos de um factor de escala.

O processo de recuperar x(t) a partir de h(t)*x(t) é o inverso de uma convolução (“deconvolução”).

Para sistemas contínuos

Para sistemas discretos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tththtxththtxinvinv δ=⇒= ***

[ ] [ ] [ ]nnhnhinv δ=*


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Invertível

Estabilidade

Causal

Sem Memória

DiscretoContínuoPropriedade

[ ] [ ] [ ]nnhnhinv δ=*

[ ] [ ] ncnh δ=( ) ( )tcth δ=

( ) 0,0 <= tth [ ] 0,0 <= nnh

[ ] ∞<∑∞

−∞=k

kh( ) ∞<∫∞

∞−dtth

( ) ( ) ( )tththinv δ=*


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Resposta Degrau:

A aplicação de um sinal degrau poderá ser utilizado para caracterizar a resposta de um SLIT

Caso discreto

Caso contínuo

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−==k

knukhnunhns *

Resposta impulso

Resposta do SLIT

Sinal de entrada - degrau

[ ][ ]

[ ] [ ]∑−∞=

=→

≤=−

>=− n

k

khnsnkknu

nkknu

,1

,0 Somatório da resposta impulso

( ) ( ) ττ dhtst

∫ ∞−=

Resposta impulsoResposta do SLIT


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Resposta Degrau:

Notar que as relações anteriores podem ser invertidas de forma a obter a resposta a impulso:

Desta forma a resposta a impulso fica caracterizada.

[ ] [ ] [ ]1 −−= nsnsnh

( ) ( )tsdt

dth =

[ ] [ ]∑−∞=

=n

k

khns

( ) ( ) ττ dhtst

∫ ∞−=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Resposta Degrau:

Exemplo: Circuito RC: Resposta a DegrauConsiderando que a resposta impulsional do circuito

em anexo é

Determine a resposta a degrau.A partir do instante t=0 é aplicada uma tensão constante na fonte e o

condensador carrega até atingir a tensão da fonte.

( ) ( )tueRC

th RC

t−

=1

( )

≥−

<=

≥

<

= −−

∫ 0,1

0,0

0,1

0,0

0 te

t

tdeRC

t

tsRC

ttRC ττ

( ) ( )∫ ∞−

−

=t

RC dueRC

ts τττ

1


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Resposta Degrau:

Exemplo: Circuito RC: Resposta a Degrau

Resposta a degrau de um circuito RC para RC = 1.

( )

≥−

<= −

0,1

0,0

te

tts

RC

t


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Representações para SLITs :

Equações Diferenciais e de Diferenças

Equações diferenciais e equações lineares de coeficientes constantes são uma forma de representar SLITs.

As equações de diferenças são utilizadas para representações de sistemas discretos

As equações de diferencias são utilizadas para representações de sistemas contínuos

A ordem de uma equação de diferenças ou diferencial corresponde ao de dispositivos de memória/armazenamento de energia do sistema.

Muitas vezes e então a ordem é só descrita por

( )M, N

( ) ( )txdt

dbty

dt

da

M

kk

k

k

N

kk

k

k ∑∑==

=00

M ≥N N

[ ] [ ]∑∑==

−=−M

k

k

N

k

k knxbknya00


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Equações Diferenciais:

Exemplo: Equação Diferencial

Considerando a saída y(t) correspondente à corrente que circula no circuito RLC da figura e função da tensão de entrada x(t):

Esta expressão é de ordem N=2 (tem dois dispositivos de armazenamento de energia).

( ) ( ) ( ) ( )txdyC

tydt

dLt Ry

t

=++ ∫ ∞−ττ

1

( ) ( ) ( ) ( )txdt

dty

Cty

dt

dLty

dt

d R =++

12

2


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Equações Diferenças:

o Exemplo: Equação Diferenças

Um exemplo de uma equação de diferenças de ordem N=2 é

que representa a relação entre a entrada e a saída de sinais de um sistema que processa os dados em computador.

A ordem indica o número de unidades de memória necessárias.

o As equações de diferenças podem ser reorganizadas de forma a dar uma igualdade que expressa a saída expressa de forma recorrente:

Nesta expressão é possível obter y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1224

11 −+=−+−+ nxnxnynyn y

[ ] [ ] [ ]knyaa

knxba

nyN

k

k

M

k

k −−−= ∑∑== 1000

11


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra




Considerando a equação de diferenças

Podemos reescrever esta equação da forma

Que permite calcular y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1224

11 −+=−+−+ nxnxnynyn y

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]24

1112 −−−−−+= nynynxnxn y

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] L 04

111222

14

100211 2

4

111200

yyxxy

yyxxyyyxx y

−−+=

−−−+=−−−−−+=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra




O calculo anterior exige valores para e .

Estas valores são as condições iniciais do sistema.

O número de valores para as condições iniciais do sistema é igual àmemória do sistema.

Para uma equação de diferenças de ordem N os valores a determinar são

Para um equação diferencial de ordem N os valores a determinar são

[ ]1−y

[ ] [ ] [ ]1,,1, −+−− yNyN y L

[ ]2−y

( ) ( ) ( )−−

−

=

−

−

==

0

1

1

00

,,,

t

N

N

tt

tydt

dty

dt

dty L


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra




Determine os dois primeiros valores da saída para o sistema descrito por

Assuma que a entrada é dada por

e as condições iniciais são

Os valores iniciais são:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]24

1112 −−−−−+= nynynxnxn y

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )4

72-

4

1-1-0211

4

100211

2

12-

4

1-1-0212

4

111200

=××+=−−−+=

=××+=−−−−−+=

yyxxy

yyxx y

[ ] ( ) [ ]nun xn

21=

[ ] [ ] 22,11 −=−=− y y


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Solução das Equações :

A saída de um sistema descrito por uma equação de diferenças ou uma equação diferencial pode ser expressa pela adição de duas componentes:

Solução homogénea (solução da equação diferencial ou de diferenças)

Solução particular (uma qualquer outra solução da equação original)

A solução completa é

Solução Homogénea

A forma homogénea de uma equação diferencial ou de diferenças éobtida igualando a zero todos os termos que envolvam a entrada.

Para um sistema contínuo

( )h y

( )p y

( ) ( )phyy y +=

( )( ) 00

=∑=

tydt

da

hN

kk

k

k Solução homogénea ( )( ) ∑=

=N

i

tr

i

h iect y1Equação homogénea


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra




Para um sistema contínuo

Em que são as N raízes da equação característica

No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma

i r

( )( ) 00

=∑=

tydt

da

hN

kk

k

k Solução homogénea ( )( ) ∑=

=N

i

tr

i

h iect y1

∑=

=N

k

k

k ra 0

0

Equação homogénea

trptrtr jjj ette e1,,, −

L


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra




Para um sistema discreto

Em que são as N raízes da equação característica do sistema discreto

No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma

i r

( )[ ] 00

=−∑=

knya h

N

k

k Solução homogénea ( )[ ] ∑=

=N

i

n

ii

hrcn y

1

∑=

− =N

k

kN

k ra 0

0

Equação homogénea

n

j

pn

j

n

j rnnr r1,,, −

L


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Circuito RC: Solução Homogénea

A relação entre a tensão na fonte e os terminais do condensador do circuito RC da figura pode ser descrito por

A sua equação homogénea é

Utilizando para N=1 obtemos a solução

Em que é a raiz é solução da equação característica

com

( ) ( ) ( )txtydt

dRCt y =+

( ) ( ) 0=+ tydt

dRCt y

( )( ) ∑=

=N

i

tr

i

h iect y1

( )( ) [ ]Voltsect ytrh 1

1=

∑=

=N

k

k

k ra 0

0

1 r 01 1 =+ RCr

RC r

11 −=

( )( ) [ ]Voltsect yt

RCh

1

1

−

=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Homogénea

A equação homogénea do sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças

A sua correspondente equação homogénea é

Utilizando para N=1 obtemos a solução

Em que é a raiz é solução da equação característica

com

[ ] [ ] [ ]nxnyn y =−− 1ρ

1 r 01 =− ρr

ρ=1 r

( )[ ] nhcn y ρ1=

[ ] [ ] 01 =−− nyn y ρ

∑=

− =N

k

kN

k ra 0

0

( )[ ] ∑=

=N

i

n

ii

hrcn y

1

( )[ ] nhrcn y 11=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Particular

Determinar a solução particular para o sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças

quando se aplica a entrada .

Assumindo uma solução

Sendo obtemos a solução

[ ] [ ] [ ]nxnyn y =−− 1ρ

( )[ ] ( )n

p

pcn y

21=

[ ] ( )nn x 21=

[ ] [ ] [ ]nxnyn y =−− 1ρ ( ) ( ) ( )nn

p

n

p c c211

21

21 =−

−ρ ( ) 121 =− ρp c

( )ρ21

1

−=p c

( )[ ] ( )npn y

21

211

ρ−=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Circuito RC: Solução Particular

Considerando o circuito RC da figura, determine a solução particular quando este sistema é sujeito à entrada

A equação diferencial do sistema é

Assumindo a solução particular da forma

Igualando os termos em e obtemos

( ) ( ) ( )txtydt

dRCt y =+

( )( ) tctct yp

0201 sincos ωω +=

( ) ( )ttx 0cos ω=

( ) ( )ttx 0cos ω=

( ) ttctcRCtct c 0020100201 coscossinsincos ωωωωωω =−−+t 0cosω t 0sinω

=+−

=+

0

1

210

201

ccRC

cRCc

ω

ω

( )( )( ) ( )

ttt yRC

RC

RC

p

0101

1 sincos 20

0

20

ωωω

ω

ω +++=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Solução Completa

A solução completa é obtida por adição da solução homogénea com uma

solução particular:

Para obter a expressão final determinam-se os coeficientes desconhecidos na

expressão utilizando condições iniciais.

1º - Determinar a solução a partir das raízes da equação característica.

2º - Determinar a solução assumindo que é forma idêntica que a entrada

mas com termos independentes da solução homogénea.

3º - Determinar os coeficientes da solução homogénea

de forma que satisfaça as condições iniciais do sistema.

( ) ( )phyy y +=

( )hy

( )py

( ) ( )phyy y +=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Circuito RC: Solução Completa

Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a solução completa quando e este sistema é sujeito

à entrada

A solução homogénea é

A solução particular é

Colocando obtemos a solução completa

em que pois o sinal de entrada não introduz impulsos na parte direita da equação

( ) ( ) ( )tuttx 0cos ω=

10 === RCω

( )( )( ) ( )

ttt yRC

RC

RC

p

0101

1 sincos 20

0

20

ωωω

ω

ω +++=

( )( ) [ ]Voltsect yt

RCh

1

1

−

=

( ) 0 com ,sincos21

21 >++= −

tttcet yt

( ) 20 =−y

( ) ( ) 200 == +−yy

23 0sin0cos2

21

21

210 =→+=++= ++− +

ccce


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Por vezes é bastante informativo exprimir a resposta de um sistema em função da soma de duas componentes:

• Componente associada só às condições iniciais – resposta natural

• Componente associada só ao sinal de entrada – resposta forçada

Neste caso a solução completa é

Resposta Natural

A resposta natural corresponde à saída do sistema para uma entrada de sinal nula e dessa forma permite descrever como o sistema dissipa a sua energia ou memória do passado e representada pelas condições iniciais.

Resposta Forçada

A resposta forçada corresponde à saída do sistema a um sinal na entrada mas assumindo condições iniciais nulas. Nessa situação assumimos que o sistema está em repouso e não existe energia armazenada no sistema ou a sua memória está vazia.

( )n y

( )f y

( ) ( )fnyy y +=


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Circuito RC: Resposta Natural

O circuito RC da figura pode ser descrito por

Mas pretende-se obter a sua resposta natural assumindo que

Sendo a solução homogénea

Se for a constante for calculada de forma a satisfazer a condição inicial

Então e resposta natural do sistema é

( ) ( ) ( )txtydt

dRCt y =+

( )( ) [ ] 0,2 ≥= −tvoltset y

tn

1 c

( )( ) thect y

−= 1

( ) FCRV y 1,1,20 =Ω==

( ) 20 = y

21 = c


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Exemplo: Circuito RC: Resposta Forçada

Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a sua resposta forçada assumindo que

e a entrada é

Sabendo que a resposta completa é

A resposta forçada é determinada escolhendo c quando o sistema está em repouso, ou seja quando:

Nesse caso e a resposta forçada é dada por

( ) ( ) ( )tuttx cos=

( ) 0 com ,sincos21

21 >++= −

tttcet yt

FCR 1,1 =Ω=

( ) ( ) 000 == +−yy

21−=c

( )( ) [ ]voltsttet y tf sincos21

21

21 ++−= −


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Resposta a Impulso

Sendo conhecida a resposta a degrau podemos determinar a resposta a impulso através da relação matemática entre as duas respostas.

Por definição a resposta a degrau assume que o sistema está em repouso ou seja, com condições iniciais nulas.

Para um sistema contínuo a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de

Para um sistema discreto a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de

( ) ( )tsdt

dt h =

Resposta a degrauResposta a impulso

[ ] [ ] [ ]1−−= nsnsn h

Resposta a degrauResposta a impulso


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Linear e Invariante

A resposta forçada de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das entradas.

De forma semelhante a resposta natural de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das condições iniciais.

( )

( )f

f

yx

y x

22

11

a

a ( ) ( ) ( )fffyyyxxx 2121 βαβα +=+=⇒ a

( )

( )n

n

yI

yI

22

11

iniciais condições

iniciais condições

a

a( ) ( ) ( )nnn

yyyII 2121 βαβα +=+ a


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra



Equação Característica – As suas raízes

A resposta forçada depende do sinal de entrada e das raízes da equação característica.

A resposta natural depende das raízes da equação característica.

Daqui podemos concluir que as raízes da equação característica têm um papel fundamental no comportamento do sistema.

A estabilidade de um sistema está relacionada com as raízes equação característica.

A condição de estabilidade BIBO (entrada limitada, saída limitada) implica que a resposta natural seja limitada:

Caso discreto

Caso contínuo

irr n

i ∀< ,1limitadaser deverá 1a

ire i

tri ∀< ,0Relimitadaser deverá a


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Diagramas de Blocos

Representações por Diagramas de Blocos

Um diagrama de blocos é uma representação para as operações elementares que são realizadas num sistema.

Um sistema com uma determinada característica entrada/saída pode ser representada por diferentes diagramas de blocos.

As três operações elementares nos sinais são:

Multiplicação Escalar

Adição

Integração

(para sistemas contínuos)

Deslocamento temporal

(para sistemas discretos)

∫ ( ) ( )∫∞−

=t

dxty ττ


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Diagramas de Blocos


[ ] [ ] [ ] [ ]21 210 −+−+= nxbnxbnxbn w [ ] [ ] [ ] [ ]21 21 −−−−= nyanyanwn y

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2121 21021 −+−++−−−−= nxbnxbnxbnyanyan y

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2121 21021 −+−+=−+−+ nxbnxbnxbnyanyan y

Equação diferenças de ordem 2


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Diagramas de Blocos


Para SLITs não existe uma única descrição por diagrama de blocos.

Assumindo que o sistema ao lado

é um SLIT composto por 2 sub-sistemas

em série, é possível trocar a ordem

dos elementos sem alterar a sua relação

entrada/saída.

Definindo f[n] como a saída do novo

sistema intermédio

f[n] será a entrada para o subsistema

seguinte

[ ] [ ] [ ] [ ]21 210 −+−+= nfbnfbnfbn y

[ ] [ ] [ ] [ ]nxnfanfan f +−−−−= 21 21


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Diagramas de Blocos


Forma Directa I.

Forma Directa II

A forma directa II utilizaa memória de forma maiseficiente.


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Diagramas de Blocos

Exemplo: Diagramas de Blocos: Forma Directa I e Forma Directa II

Desenhe o diagrama de blocos correspondente ao sistema

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]1281141 −+=−+−+ nxnxnynyn y

Forma directa I.

Forma directa II.

[ ] [ ] [ ][ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]nxnfnfnf

nfnfn y

+−−−−=

−+=

281141

1


Un

ive

rsid

ad

e d

e C

oim

bra


Sumário

o Convolução

o O Integral de Convolução

o Interligações de SLIT - Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

o Resposta a Degrau

o Equações Diferenciais e de Diferenças para SLIT

o Soluções para Equações Diferenciais e de Diferenças

o Características dos Sistemas

o Representação por Diagramas de Blocos

análise e processamento de biosinais - fis.uc.pt · a resposta de um sistema contínuo, linear e...

Documents