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Pedro Paulo Ventura Tecchio

ANÁLISE DO ESTIMADOR DE ESTADO PORMÍNIMOS QUADRADOS PONDERADOS, EMSISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA, NAS

REGIÕES PRÓXIMAS AO LIMITE DE MÁXIMOCARREGAMENTO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado àEscola de Engenharia de São Carlos, da

Universidade de São Paulo

Curso de Engenharia Elétrica com ênfase emEletrônica

ORIENTADOR: LUÍS FERNANDO COSTA ALBERTO

São Carlos2011

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento

da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP

Tecchio, Pedro Paulo Ventura.

T251a Análise do estimador de estado por mínimos quadrados

ponderados, em Sistemas Elétricos de Potência, nas

regiões próximas ao limite de máximo carregamento. /

Pedro Paulo Ventura Tecchio ; orientador Luís Fernando

Costa Alberto –- São Carlos, 2011.

Monografia (Graduação em Engenharia Elétrica com

ênfase em Eletrônica) -- Escola de Engenharia de São

Carlos da Universidade de São Paulo, 2011.

1. Sistemas elétricos de potência. 2. Medidas e

controle. 3. Estimação de estados. 4. Máximo

carregamento. 5. Colapso de tensão. I. Titulo.

Resumo

Este trabalho aborda os estudos preliminares realizados com o intuito de analisar o processo de Es-

timação de Estados baseado no Método de Mínimos Quadrados Ponderados, nas regiões próximas

ao máximo carregamento de um Sistema Elétrico de Potência. Com tal intuito, foram inteiramente

desenvolvidos os programas de Fluxo de Carga, Fluxo de Carga Continuado e Estimador de Estados.

Por fim, iniciou-se a análise dos resultados encontrados, contudo, em função de problemas na imple-

mentação de rotinas de Fatoração QR para o Estimador de Estados e na automatização do processo

de Estimação de Estados ao longo da curva de carregamento do sistema, somente serão apresenta-

dos os resultados para o Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras e utilizando apenas o método

de fatoração conhecido como Eliminação de Gauss. Dentre os resultados encontrados, destaca-se a

tendência de o Estimador de Estados WLS de produzir estimativas de carga inferiores às encontra-

das através do Fluxo de Carga Continuado, sendo esta tendência observada para os três conjuntos de

medidas analisados. No entanto, o aumento da redundância do conjunto de medidas provocou uma

diminuição significativa da diferença de resultados obtidos entre os diferentes métodos. Além disso,

foram encontradas taxas elevadas de não convergência, superiores a 25%, para a região próxima ao

máximo carregamento e utilizando apenas medidas críticas. Os resultados encontrados reafirmam a

necessidade de utilizar conjuntos de medidas com nível de redundância global próximo ou superior a

1,9 para o sistema analisado.

Palavras-chave: Sistemas Elétricos de Potência, Medidas e Controle, Estimação de Estados, Má-

ximo Carregamento, Colapso de Tensão.

i

Abstract

This work discusses the preliminary studies carried out in order to analyze the weighted least squares

state estimation process, in regions close to the maximum loading of an Electric Power System. To

that end, were fully developed programs for Power Flow, Continuation Power Flow and WLS State

Estimator. Finally, the analysis of the results were initiated. However, due to problems in the im-

plementation of QR factorization routines for the State Estimator and the automation of the states

estimation process along the curve of system load, it will only be shown the results for the Reduced

Southern Brazilian System with 45 bars and using only the numeric factorization method known as

Gaussian Elimination. Among the findings, there is the tendency of the WLS State Estimator to pro-

duce load estimates lower than those found through the Continuation Power Flow for the three sets of

measures analyzed. However, increasing the redundancy of the set of measures caused a significant

reduction of the difference in results between the WLS State Estimator and the Continuation Power

Flow. In addition, we found high rates of non-convergence, over 25 % for the region near the maxi-

mum loading and using only critical measures. The results reaffirm the need for using measurements

planes with global redundancy level near or greater than 1.9 for the system under consideration.

Keywords: Electric Power Systems, Measurement and Control, State Estimation, Maximum

Loadability, Voltage Colapse.

iii

Sumário

1 Introdução 1

2 Fundamentos Teóricos 52.1 O Fluxo de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 O Fluxo de Carga Continuado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Sobre o método da continuação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Sobre a parametrização da carga e da geração . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Síntese do sistema de equações do Fluxo de Carga Continuado . . . . . . . . 13

2.3 O Estimador de Estados WLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Demais algorítimos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Geração de erros aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Resolução de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2.1 Eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2.2 Fatoração QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Resultados 233.1 Da geração de valores aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Dos Fluxos de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Do Estimador de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Conclusão 41

Referências Bibliográficas 42

Apêndice 45

v

Lista de Figuras

2.1 Modelo-π Generalizado de Linha de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 Resultado gerado pela função ran1() dada uma semente igual a -1 . . . . . . . . . . 25

3.2 Resultado gerado pela função gasdev() dada uma semente igual a -1 . . . . . . . . . 25

3.3 Resultado gerado pela função ran1() dada uma semente igual a -90234 . . . . . . . . 26

3.4 Resultado gerado pela função gasdev() dada uma semente igual a -90234 . . . . . . . 26

3.5 Sistema Reduzido Sul Brasileiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6 Magnitude de Tensão da Barra 368 em PU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7 Fase de Tensão da Barra 368 em graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8 Magnitude de Tensão da Barra 407 em PU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9 Fase de Tensão da Barra 407 em graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10 Número de Condição para as Matrizes Jacobianas não fatoradas . . . . . . . . . . . 31

3.11 Número de Condição para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Eliminação de Gauss . . 31

3.12 Número de Condição para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Rotação de Givens . . . 32

3.13 Número de Condição para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Transformações de Hou-

sehölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.14 Sistema Reduzido Sul Brasileiro - Conjunto de Medidas 1 . . . . . . . . . . . . . . 33



3.17 Magnitude de Tensão Média Estimada da Barra 368 - Conjunto 1 . . . . . . . . . . . 35



3.20 Comparação entre a carga estimada e a carga real - Conjunto 1 . . . . . . . . . . . . 36



3.23 Comparação entre a carga estimada e a carga real (zoom) - Conjunto 3 . . . . . . . . 38

3.24 Taxa de não convergência para os diferentes casos e cargas . . . . . . . . . . . . . . 39

3.25 Comparação entre a carga estimada e carga real com diferentes desvios padrão - Con-

junto 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vii

Capítulo 1

Introdução

A cada novo dia, o aumento populacional, a busca pela melhoria da qualidade de vida das pessoas e

pela geração de riquezas promove um aumento significativo da demanda energética mundial. Assim,

a fim de suprir essa demanda, existe a necessidade constante de investir na geração e na distribuição

de energia pelo mundo.

As principais formas de energia conhecidas e utilizadas pelo homem são as de natureza física,

química e biológicas. Sendo as mais exploradas na atualidade a queima de compostos provenientes do

petróleo, do carvão e da biomassa, a extração de energia potencial de quedas d’água, de marés, eólica,

solar e de elementos radioativos. Contudo, grande parte dessas fontes de energia estão localizadas

em regiões afastadas dos centros consumidores principais ou então exigem facilidades e cuidados

específicos que inviabilizam a sua produção próxima a tais locais. Existe, desta forma, a necessidade

de se transportar a energia produzida de um local para o outro.

Em geral, uma das formas mais simples, seguras e eficientes de se transportar energia se dá

através da energia elétrica. Por tais motivos, as diversas formas de energia citadas anteriormente são

convertidas para energia elétrica a qual é transportada através de redes de transmissão e distribuição

que fazem parte de sistemas conhecidos como Sistemas Elétricos de Potência.

Os Sistemas Elétricos de Potência - SEP são constituídos pelas centrais produtoras e consumi-

doras, pelas linhas de transmissão e distribuição e pelas unidades existentes responsáveis por trans-

formar as características elétricas da energia sendo transportada. Dentre as características da energia

elétrica que podem ser transformadas citam-se o tipo de corrente que pode ser alternada ou constante,

a magnitude e fase de tensão e corrente, a frequência de oscilação e a quantidade de fases no caso de

corrente alternada.

Usualmente, a transmissão e a distribuição de energia elétrica é feita utilizando-se corrente e

tensão trifásica alternada com frequência de 50Hz ou 60Hz e diversos níveis de magnitude de tensão

e corrente. Os sistemas de transmissão são utilizados para transportar a energia das centrais geradoras

para as centrais de distribuição, enquanto os sistemas de distruibuição são utilizados para transportar a

energia das centrais de distribuição para todas as cargas existentes no sistema naquela região. Assim,

a distinção entre transmissão e distribuição é feita de acordo com os níveis de tensão e corrente das

linhas e com a variação da topologia da malha.

Outra distinção importante entre os sistemas de transmissão e distribuição é a distribuição de

1

Introdução

cargas entre as diferentes fases do sistema. Nos sistemas de distribuição há uma grande variação de

carga entre cada uma das fases de uma mesma linha devido à grande diversidade de cargas acopladas

na linha em uma mesma região. Tal fato não ocorre, usualmente, nos sistemas de transmissão, uma

vez que as cargas são, em geral, equilibradas em cada uma das fases das linhas de transmissão. Essa

característica dos sistemas de trasmissão facilita a análise dos mesmos, uma vez que pode-se modelar

o sistema como um equivalente monofásico, desprezando-se as pequenas variações existentes entre

as diferentes fases.

Logo, tendo-se em vista a importância dos Sistemas Elétricos de Potência e suas características

diversificadas, existe a necessidade de melhor conhecer e entender os mecanismos de funcionamento

desses sistemas, bem como o comportamento dos mesmos mediante a ocorrência de faltas de qualquer

natureza e severidade. Somente possuindo tal conhecimento é possível planejar, construir, manter e

operar os Sistemas Elétricos de Potência de modo seguro, econômico e produtivo, promovendo o

desenvolvimento da região em que são implantados.

Para tanto, no decorrer dos anos, foram desenvolvidas duas ferramentas importantes para a aná-

lise destes sistemas, o Fluxo de Carga e o Estimador de Estados. Ambas as ferramentas podem ser

caracterizadas como métodos numéricos de obtenção dos estados, magnitudes e fases de tensão, do

SEP. Contudo, elas possuem metodologias distintas, sendo a primeira determinística e baseada num

conjunto de estados, de medidas e de equações de mesma dimensão, enquanto a segunda baseada em

métodos de regressão linear utilizando um conjunto de medidas e de equações de dimensão maior do

que o conjunto de estados.

O Fluxo de Carga é mais simples de ser formulado e calculado, apresentando soluções mais

rápidas do que o Estimador de Estados, entretanto, por ser um sistema determinado, qualquer medida

errada no seu conjunto levará a obtenção de estados não condizentes com a realidade do sistema. Este

comportamento é altamente indesejado nos casos em que o sistema esteja sendo analisado em tempo

real, uma vez que variações e erros de medidas são comuns e podem não ser facilmente detectados.

Logo, com o intuito de tentar sanar ou ao menos atenuar o problema de uma ou mais medidas

erradas no conjunto de variáveis a serem analizadas, foram desenvolvidos os métodos de Estimação

de Estados. Tal como citado anteriormente, estes métodos são baseados nos métodos de regressão

linear e necessitam para tanto de um conjunto superdeterminado de medidas e equações.

Apesar de já serem amplamente utilizados e de existirem muitas variações de implementação,

os programas de Estimação de Estados precisam, ainda, de melhorias e ajustes, tais como uma me-

lhor análise de erros de medidas, aumento do tamanho máximo dos sistemas a serem analisados em

tempo hábil e verificação da sua funcionalidade quando o sistema encontra-se próximo do limite de

carregamento ou ainda próximo ao ponto de colapso de tensão.

A verificação da funcionalidade e da veracidade dos resultados gerados através de programas de

Estimação de Estados, nas regiões próximas ao limite de máximo carregamento, é de fundamental

importância para uma operação correta e segura dos Sistemas Elétricos de Potência. Já que tais

sistemas são muitas vezes operados exatamente dentro de tais regiões pelos mais diversos motivos,

tais como, custos de expansão e modernização de máquinas e equipamentos, taxas de crescimento de

carga maiores do que as anteriormente previstas para um dado sistema e grandes variações temporais

de carga. A insegurança de operação nessas regiões advem da possibilidade do sistema entrar em uma

2

Introdução

condição instável de operação, reversível ou não, sendo que no pior dos casos o colapso da tensão,

blecaute, pode ocorrer.

A operação segura só é possível, tendo-se o conhecimento do estado real do sistema e da margem

de estabilidade de tensão real. Desta forma, os estudos realizados e aqui apresentados buscaram ca-

racterizar, mesmo que apenas três conjuntos de medidas para um mesmo Sistema Elétrico de Potência,

o comportamento do Estimador de Estados baseado no método de Mínimos Quadrados Ponderados

implementado desde o ponto de carregamento inicial do sistema até o ponto de colapso de tensão,

ou de máximo carregamento. Com tal finalidade, foram implementados os programas de Fluxo de

Carga (Power Flow), Fluxo de Carga Continuado (Continuation Power Flow) e Estimador de Estado

por Mínimos Quadrados Ponderados (Weighted Least Squares State Estimator).

3

Capítulo 2

Fundamentos Teóricos

Este capítulo constitui uma síntese teórica sobre o Fluxo de Carga, o Fluxo de Carga Continuado

e o Estimador de Estados. Para cada uma destas ferramentas são apresentados, de forma simples e

direta, os equacionamentos teóricos e as idéias envolvidas na solução destes problemas. Além disso,

trata-se também sobre as funções e os métodos numéricos utilizados, tais como, geração de números

aleatórios, Eliminação de Gauss e Fatoração QR.

2.1 O Fluxo de Carga

O Fluxo de Carga é uma ferramenta que tem como intuito obter numericamente as magnitudes e fases

das tensões de todas as barras de um Sistema Elétrico de Potência, a partir de medidas de injeção

de potência e de magnitude de tensão, bem como dos parâmetros das linhas de transmissão e dos

equipamentos a elas acoplados.

A fim de se obter um conjunto de equações que caracterizem o fluxo de potência elétrica desse

tipo de sistema, faz-se necessário adotar um modelo de linha de transmissão generalizado. O modelo

aqui utilizado é denominado de Modelo-π Generalizado de Linha de Transmissão o qual está disposto

na Figura 2.1, [1] e [2].

Figura 2.1: Modelo-π Generalizado de Linha de Transmissão

5


O modelo de linha adotado é caracterizado por uma impedância série, ykm, duas impedâncias

shunts, yshkm e ysh

mk, e um trafo defasador cuja relação é 1 : tkm onde tkm = akme jϕkm . A tensão das barras

conectadas pela linha são iguais a Ek =Vke jθk e Em =Vme jθm .

Tomando-se o nó do secundário do trafo, cuja tensão é Ep =Vpe jθp , pode-se definir as seguintes

relações a partir do modelo de trafo ideal:

Vpe jθp

Vke jθk= tkm (2.1)

Ikm

Ipm + Ishp

= t∗km (2.2)

Desenvolvendo a equação (2.2) e utilizando a relação (2.1), pode-se obter a equação da corrente

entre as barras k e m:

Ikm = t∗km[(Ep−Em)ykm +Epyshkm]

Ikm = (t∗kmtkmEk− t∗kmEm)ykm + t∗kmtkmEkyshkm

Logo,

Ikm = a2kmEk(ykm + ysh

km)− t∗kmEmykm (2.3)

Com base na equação da corrente Ikm, pode-se equacionar a potência transmitida entre as barras,

uma vez que esta é dada pela relação S∗km = E∗k Ikm. Assim,

S∗km = a2kmV 2

k (ykm + yshkm)− t∗kmEmE∗k ykm

Desenvolvendo o termo t∗kmEmE∗k , tem-se que

t∗kmEmE∗k = akmVkVm[cos(θkm +ϕkm)− j sin(θkm +ϕkm)]

Onde θkm = θk−θm. Logo,

S∗km = a2kmV 2

k [ykm + yshkm]−akmVkVm[cos(θkm +ϕkm)− j sin(θkm +ϕkm)]ykm (2.4)

Impondo ykm = gkm + jbkm e yshkm = gsh

km + jbshkm, pode-se desenvolver ainda mais a equação (2.4) a

fim de se obter as expressões da potência real, ativa, e imaginária, reativa, transmitidas entre as barras

k e m, equações (2.5) e (2.6) respectivamente.

Pkm = a2kmV 2

k (gkm +gshkm)−akmVkVm[gkm cos(θkm +ϕkm)+bkm sin(θkm +ϕkm)] (2.5)

Qkm =−a2kmV 2

k (bkm +bshkm)+akmVkVm[bkm cos(θkm +ϕkm)−gkm sin(θkm +ϕkm)] (2.6)

As equações (2.5) e (2.6) caracterizam o fluxo de potência ou de carga entre duas barras genéricas

do Sistema Elétrico de Potência. Contudo, em geral, cada uma das barras do sistema está conec-

6


tada por uma linha de transmissão a uma ou mais barras desse mesmo sistema, sendo, desta forma,

necessário relacionar uma barra qualquer do sistema com todas as que estão à ela conectada. Para

tanto, utiliza-se a Lei das Correntes de Kirchoff de forma que vale a relação (2.7), onde Ik é a corrente

injetada na barra k, Ishk é a corrente demandada por uma impedância shunt conectada a esta barra e

Ikm representa a corrente entre a barra k em questão e uma barra m qualquer a ela conectada.

Ik = Ishk + ∑

m∈Ωκ

Ikm (2.7)

Nota-se que Ωκ indica o conjunto de todas as barras conectadas a barra k, com exceção dela

mesma. Enquanto K indica o conjunto de todas as barras conectadas a barra k incluindo ela mesma.

Assim, com base na equação de corrente Ikm, (2.3), e na equação Ishk = ysh

k Ek, pode-se desenvolver

a equação (2.7) de forma que ela possa ser representada por:

Ik = YkkEk + ∑m∈Ωκ

YkmEm = ∑m∈K

YkmEm (2.8)

Onde, Ykk = ysh

k + ∑m∈Ωκ

a2km(ykm + ysh

km)

Ykm =−ykmt∗km

(2.9)

Impondo-se que Ykm = Gkm + jBkm, denominada matriz admitância nodal, e sabendo-se que a

injeção de potência complexa na barra k é dada por S∗k = E∗k Ik, pode-se decompor a mesma de forma

que as potências ativa e reativa injetadas na barra sejam dadas, respectivamente, pelas equações (2.10)

e (2.11).

Pk =Vk ∑m∈K

Vm[Gkm cos(θkm)+Bkm sin(θkm)] (2.10)

Qk =Vk ∑m∈K

Vm[Gkm sin(θkm)−Bkm cos(θkm)] (2.11)

Por fim, decompondo a matriz adimitância nodal em suas componentes real e imaginária, obtém-

se: Gkk = gsh

k + ∑m∈Ωκ

[a2kmgkm +gsh

km]

Gkm =−akm[gkm cos(ϕkm)+bkm sin(ϕkm)]

(2.12)

Bkk = bsh

k + ∑m∈Ωκ

[a2kmbkm +bsh

km]

Bkm =−akm[bkm cos(ϕkm)−gkm sin(ϕkm)]

(2.13)

Observa-se que a resolução do sistema de equações não lineares formado pelas equações (2.10) e

(2.11), constitui a essência da metodologia por trás do programa de Fluxo de Carga, uma vez que elas

representam a relação entre as medidas de Injeção de Potência Ativa, Pk, e Reativa, Qk, na barra k,

com os Fluxos de Potência Ativa e Reativa presentes nas linhas conectadas àquela barra. Contudo, a

fim de se resolver tal sistema, deve-se caracterizar quais são as variáveis conhecidas e desconhecidas

do mesmo.

7


Na formulação básica do problema, definem-se três tipos de barras em Sistemas Elétricos de Po-

tência que são PQ, barra de carga, PV , barra de geração, e V θ , barra de referência. Sendo conhecidas

para cada uma delas, respectivamente, ambas as injeções de potência, a injeção de potência ativa e

a magnitude de tensão, e a magnitude e fase de tensão. Assim, percebe-se que como incógnitas do

sistema não linear temos as magnitudes e fases das barras tipo PQ, as fases e injeções de potência

reativa das barras tipo PV e as injeções ativa e reativa da barra tipo V θ . Salienta-se que a barra V θ

possui grande importância para a resolução do sistema, uma vez que ela atua tanto como barra de

referência para o sistema quanto para o fechamento do balanço de carga do mesmo.

Outro ponto importante a se notar reside sobre o fato de que as injeções de potências ativas e

reativas são, em geral, fornecidas como potências geradas, Pmedgk

e Qmedgk

, ou consumidas, Pmedlk e Qmed

lk ,

sendo que, desta forma, os valores utilizados para as injeções representam o saldo da diferença entre

a potência gerada e a consumida para aquela barra, Pmedk = Pmed

gk−Pmed

lk e Qmedk = Qmed

gk−Qmed

lk .

Desta forma, caso existam NPQ barras do tipo PQ, NPV barras do tipo PV e NV θ barras do tipo

V θ , então o sistema é constituído por 2NPQ+NPV equações possuindo, também, o mesmo número

de estados desconhecidos. Entretanto, como prática computacional, é comum montar um sistema

considerando todas as barras do tipo PQ e em seguida impor restrições de igualdade ao sistema para

as magnitudes de tensões das barras tipo PV e V θ e para a fase da tensão da barra V θ , desta forma, o

sistema tem 2NB equações, sendo NB número de barras do sistema.

Contudo, uma vez que o sistema encontrado é não linear, deve-se utilizar algum método numérico

iterativo para a sua solução. Dentre os métodos existentes, o mais utilizado e aqui adotado é o método

de Newton-Raphson caracterizado por utilizar a formulação f(xv) =−J(xv)∆xv. Onde, f(xv) indica o

valor das funções não lineares quando se aplica os valores dos estados, xv, na iteração v; J(xv) indica

a matriz Jacobiana do sistema calculada para o estado da iteração atual e ∆xv representa a diferença

entre o estado da iteração atual e o estado da iteração anterior.

Assim, tomando-se f(xv), (2.14), vetor de funções formado pelas diferenças entre o saldo das me-

didas de injeções de potência ativa e reativa de cada uma das barras do sistema e a respectiva equação

que a caracteriza, (2.10) e (2.11), calculada para os estados da iteração em questão; e, sendo J(xv)

formulada tal como em (2.15), obtém-se um sistema de equações lineares que pode ser solucionado

atráves de métodos numéricos tais como Eliminação de Gauss e Fatoração QR, a serem explicados a

posteriori.

f(x) =

[∆P∆Q

]=

[Pmed−PQmed−Q

], x =

[θθθ

V

]= 0 (2.14)

O resultado deste sistema linear, ∆xv, é incrementado no vetor de estados da iteração anterior e

o processo é repetido até que o erro, max(f(xv)− f(xv−1)), seja inferior a um valor pré-determinado.

Ao fim deste processo iterativo, os valores das magnitudes e fases de tensões de todas as barras do

sistema estarão calculados. É importante observar que as condições iniciais dos estados são definidas,

em geral, como sendo iguais a 1p.u. para as magnitudes de tensão e 0 para as fases de tensão.

8


A formulação da matriz Jacobiana é dada a seguir:

J(x) =

δ∆Pδθθθ

δ∆PδV

δ∆Qδθθθ

δ∆QδV

(2.15)

Onde,

δ∆Pk

δθm=

VkVm(Gkm sin(θkm)−Bkm cos(θkm)) , se k 6= m

−V 2k Bkk−Vk ∑

m∈KVm(Gkm sin(θkm)−Bkm cos(θkm)) , se k = m

(2.16)

δ∆Pk

δVm=

Vk(Gkm cos(θkm)+Bkm sin(θkm)) , se k 6= m

VkGkk + ∑m∈K

Vm(Gkm cos(θkm)+Bkm sin(θkm)) , se k = m(2.17)

δ∆Qk

δθm=

−VkVm(Gkm cos(θkm)+Bkm sin(θkm)) , se k 6= m

−V 2k Gkk +Vk ∑

m∈KVm(Gkm cos(θkm)+Bkm sin(θkm)) , se k = m

(2.18)

δ∆Qk

δVm=

Vk(Gkm sin(θkm)−Bkm cos(θkm)) , se k 6= m

−VkBkk + ∑m∈K

Vm(Gkm sin(θkm)−Bkm cos(θkm)) , se k = m(2.19)

9


2.2 O Fluxo de Carga Continuado

O Fluxo de Carga Continuado pode ser entendido como uma aplicação sequencial sucessiva e au-

tomatizada do Fluxo de Carga para um mesmo Sistema Elétrico de Potência, sendo que para cada

aplicação há um incremento da carga total consumida e gerada no sistema de acordo com um pa-

râmetro de carregamento, λ , e características associadas aos geradores e às áreas de distribuição de

carga deste sistema. Ou seja, a partir do resultado do fluxo de carga inicial, denominado de caso base,

é realizado um incremento parametrizado da demanda e da geração de potência no sistema, sendo

calculado um novo fluxo de carga a partir dos novos valores de injeções de potências ativas e reativas.

Este programa permite, portanto, traçar os perfis de magnitude e fase de tensão para cada uma

das barras do sistema em função do carregamento do mesmo. Estes perfis auxiliam no entendimento

e caracterização do comportamento de um sistema sob diversas situações de carregamento, tornando

possível visualizar casos críticos, tal como o Ponto de Colapso de Tensão (ponto de carregamento

onde ocorre inflexão das curvas de tensão), [5] e [4].

Para a implementação deste programa, foram analizadas, inicialmente, duas metodologias distin-

tas. A primeira consistia em resolver os fluxos de carga a partir de pequenos incrementos de carga

de tamanho máximo pré-definidos. Sendo que a condição inicial utilizada para o cálculo dos estados

do sistema para a condição λ i+1 era igual ou aproximadamente igual aos valores encontrados para

os estados na condição λ i. Esta solução, contudo, começa a falhar próximo ao Ponto de Colapso de

Tensão, uma vez que a Jacobiana do sistema tende a singularidade nesta região.

A segunda metodologia resolve o problema da singularidade da Jacobiana através da utilização de

uma equação de parametrização da curva de carregamento. Logo, a dimensão do sistema é aumentada

de uma unidade, passando o parâmetro de carregamento, λ , a fazer parte do conjunto de estados x.

O programa implementado utiliza a segunda metodologia, uma vez que ela é mais robusta e per-

mite traçar toda a curva de carregamento do sistema. A principal referência para o desenvolvimento

deste programa foi o artigo [3]. Ressalta-se, entretanto, que foram realizadas pequenas modificações

em relação ao método exposto no artigo, tais como a não implementação dos controles de reativo

dos geradores; a não utilização do método da tangente como preditor para os dois primeiros pontos

de carregamento do sistema que foram aqui resolvidos pelo Fluxo de Carga simples; a utilização de

comprimentos de arco, ∆s, constantes durante todo o processo e a utilização de parametrização do

carregamento do sistema baseada nos trabalhos [4] e [5].

O equacionamento apresentado para o Fluxo de Carga na seção anterior deve sofrer as modifica-

ções necessárias, para que o programa de Fluxo de Carga Continuado desenvolvido fique totalmente

caracterizado.

2.2.1 Sobre o método da continuação

O método da continuação utilizado é baseado na implementação de um função de parametrização da

curva de comportamento dos estados do sistema em análise, aliada a um algoritmo estilo preditor-

corretor.

Tal como anteriormente citado, é acrescentada uma função ao sistema de equações (2.14), sendo

que esta função atua de forma a vincular a variação dos estados do sistema em função da variação do

10


parâmetro λ . A função utilizada é denominada de comprimento de arco (2.20), e pode ser visualizada

como uma medida de distância entre os estados dos fluxos de carga com carregamentos λ v e λ v−1.

2NB

∑i=1

(xv−1i − xv

i )2 +(λ v−1−λ

v)2− (∆s)2 = 0 (2.20)

Onde, v indica a iteração do Fluxo de Carga Continuado, xi, indica o estado, magnitude ou fase

de tensão, da barra i e ∆s indica o comprimento do arco estipulado entre dois carregamentos distintos,

ou seja, o passo utilizado no incremento da carga. ∆s pode ter seu valor alterado dinamicamente

durante a execução do algoritimo de forma a reduzir ou aumentar o comprimento do passo entre os

fluxos calculados, para tanto, tais alterações devem levar em consideração o comportamento da curva

parametrizada a fim de que os passos utilizados não provoquem problemas de convergência. No

entando, a fim de simplificar a resolução do problema, decidiu-se por adotar um valor fixo e igual a

0.05 para este parâmetro. Este valor foi escolhido empiricamente para o SEP utilizado em função de

produzir uma quantidade de passos satisfatória para o esboço das curvas de carregamento do sistema,

sem que houvessem problemas de convergência. Tal procedimento não acarreta nenhum problema

desde que o passo escolhido seja suficientemente pequeno de forma a não provocar problemas de

convergência.

O sistema modificado, novamente não linear, deve ser numericamente resolvido, contudo, ao con-

trário do Fluxo de Carga, este sistema depende dos valores dos estados de carregamentos anteriores

para ser resolvido. Por tal motivo, faz uso do método preditor-corretor, que consiste em calcular uma

estimativa dos estados para o carregamento λ v em função dos estados de carregamentos anteriores, e

em seguida, realizar um procedimento corretor de forma a minimizar o erro desta estimativa.

O algoritmo preditor utilizado é baseado no método da secante, ou seja, dados dois estados,

(xv−2,λ v−2) e (xv−1,λ v−1), pode-se obter (xv,λ v) de acordo com a equação (2.21).

(xv,λ v) = (xv−1,λ v−1)+h(xv−1−xv−2,λ v−1−λv−2) (2.21)

Onde,

h =

√√√√√√ ∆s2NB

∑i=1

(xv−1i − xv−2

i )2 +(λ v−1−λv−2)2

Por sua vez, o algoritmo corretor utilizado é a solução do sistema não linear (2.36) através do

método de Newton-Raphson de forma semelhante ao explicado para o Fluxo de Carga, a não ser pelo

uso da estimativa calculada pelo preditor como condições iniciais dos estados do sistema.

Observa-se que o método da secante não pode ser utilizado como preditor para a primeira e se-

gunda iterações do Fluxo de Carga Continuado, uma vez que não existem estados anteriores definidos.

Uma forma de contornar tal problema seria o desenvolvimento de um método baseado na tangente, tal

como exposto em [3], contudo esta solução exige o desenvolvimento de algumas rotinas numéricas

mais complexas, necessitando, desta forma, de um maior esforço computacional.

Uma solução mais simples, e não menos eficaz, consiste em resolver dois fluxos de carga simples,

o caso base, λ = 1, e outro muito próximo ao caso base, λ ≈ 1, de forma a gerar os dois conjuntos de

11


estados necessários para executar o algoritmo preditor. Sendo está última, a solução escolhida para o

programa desenvolvido.

2.2.2 Sobre a parametrização da carga e da geração

A parametrização da variação de crescimento da carga e de geração do Sistema Elétrico de Potência

possui grande influência nos resultados encontrados e na sua correlação com a realidade do sistema

em estudo. Logo, é importante utilizar um sistema que consiga simular esta variação de forma seme-

lhante com a realidade.

A parametrização da carga ativa total PlT , em função de λ e da carga ativa total do caso base PlT0,

é dada pela equação (2.22), sendo λ o parâmetro de carregamento.

PlT (λ ) = λ ·PlT0(2.22)

Em geral, o crescimento da carga não é uniforme dentro de um SEP, uma vez que as cargas que

ele engloba podem ter características bem distintas uma das outras, além disso, podem existir áreas

em que o crescimento das cargas se dá de maneira semelhante. Assim, serão utilizado dois tipos de

fatores de participação, um específico para cada uma das barras do sistema, fpb (fator de participação

da barra), e outro para grupos de barras desse sistema, fpa (fator de participação da área). Define-se,

também, a idéia de potência total, PlAi, de uma área i qualquer, (2.23), e sua relação com a potência

total, (2.24).

PlAi= ∑

j∈Ai

Pl j (2.23)

PlT0= ∑PlAi0

(2.24)

O crescimento de carga de uma área i qualquer é dado pelo parâmetro α de forma que:

PlAi= PlA0i

(1+ fpaiα) (2.25)

Utilizando as equações (2.22), (2.24) e (2.25), pode-se isolar o valor de α .

α =∑PlA0i

(λ −1)

∑PlA0ifpai

(2.26)

Impondo, βAi =∑PlA0i

∑(PlA0ifpai)

, a equação de potência para uma área i qualquer é dada por (2.27).

PlAi(λ ) = PlA0i

[1+ fpaiβAi(λ −1)] (2.27)

De forma semelhante pode-se especificar o crescimento de carga para barras específicas dentro

de uma determinada área i, (2.31).

PlB j= PlB0 j

(1+ fpb jγ) (2.28)

12


γ =PlA0i

[fpaiβAi(λ −1)]

∑j∈Ai

PlB0 jfpb j

(2.29)

βB j =PlA0i

[fpaiβAi ]

∑j∈Ai

PlB0 jfpb j

(2.30)

PlB j(λ ) = PlB0 j

[1+ fpb jβB j(λ −1)] (2.31)

De maneira análoga pode-se obter as equações para o incremento de potência reativa no sistema,

mantendo, é claro, distinção entre os fatores de participação de cada barra e área para as potências

ativas e reativas.

Por sua vez, o incremento de geração foi parametrizado em função do momento de inércia dos

geradores e da variação da carga do sistema, de acordo com a relação (2.32).

∆Pgi =Mi

MT∆PlT (2.32)

Sendo que, Mi representa o momento de inércia do gerador i, MT , o momento de inércia total das

máquinas do sistema, ∆PlT , representa a variação total de carga das barras, e ∆Pgi indica a variação da

potência ativa do gerador i, (2.33).

∆PlT =NB

∑j=1

(Pl(λ )−Pl0) (2.33)

Assim,

∆Pgi =Mi

MT

NB

∑j=1

(Pl(λ )−Pl0) (2.34)

Logo, a potência ativa fornecida por cada gerador do sistema pode ser obtida atráves da soma da

potência gerada original mas o incremento fornecido por aquele gerador para o incremento de carga

λ especificado.

Pgi(λ ) = Pg0i+

Mi

MT

NB

∑j=1

(Pl j(λ )−Pl0 j) (2.35)

Observa-se que a ponderação utilizada pelo momento de inércia é arbitrária e que outras ponde-

rações poderiam ser facilmente definidas e utilizadas tendo-se um maior conhecimento do SEP em

análise e da capacidade dos geradores que fazem parte do mesmo.

2.2.3 Síntese do sistema de equações do Fluxo de Carga Continuado

De forma resumida, o sistema de equações a ser resolvido no fluxo de carga continuado, a partir da

terceira iteração do programa consiste em resolver (2.36) através do método iterativo de Newton-

Raphson, com as condições iniciais calculadas pela equação (2.21).

13


f(x,λ ) = 02NB

∑i=1

(xv−1i − xv

i )2 +(λ v−1−λ

v)2− (∆s)2 = 0(2.36)

O sistema linearizado a ser iterado está disposto a seguir:δ∆Pv

δθθθ

δ∆Pv

δVδ∆Pv

δλδ∆Qv

δθθθ

δ∆Qv

δVδ∆Qv

δλδ∆Sv

δθθθ

δ∆Sv

δVδ∆Sv

δλ

·∆θθθ

∆V∆λ

=−

∆Pv

∆Qv

∆Sv

(2.37)

Sendo válidas as seguintes relações para o termo independente:

∆P = Pg(λ )−Pl(λ )−Pmed (2.38)

∆Q = Qg(λ )−Ql(λ )−Qmed (2.39)

∆Sv = (∆s)2−

[2NB

∑i=1

(xv−1i − xv

i )2 +(λ v−1−λ

v)2

](2.40)

Por sua vez, a matriz Jacobiana é formada pelas equações a seguir em conjunto com as equações

(2.16), (2.17), (2.18) e (2.19):

δ∆Pvk

δλ= Pl0k

fpbativakβBativak

− Mk

MT

NB

∑j=1

Pl0 jfpbativa j

βBativa j(2.41)

δ∆Qvk

δλ= Ql0k

fpbreativakβBreativak

(2.42)

δ∆Sv

δθk= 2(θ v−1

k −θvk ) (2.43)

δ∆Sv

δVk= 2(V v−1

k −V vk ) (2.44)

δ∆Sv

δλ= 2(λ v−1−λ

v) (2.45)

14


2.3 O Estimador de Estados WLS

O processo de estimação de estados implementado é baseado no método de regressão linear utilizando

o modelo de equações não linear dado por (2.46), [1] e [15]. Esta metologia difere das anteriores

principalmente em função de não gerar um resultado único, mas sim, um resultado específico para

um dado conjunto de medidas e ponderação e para uma determinada formulação do equacionamento.

Dentre as formulações existentes, a utilizada neste trabalho é baseado na equação Normal e no método

de Mínimos Quadrados Ponderados, portanto, o estimador implementado é conhecido como WLS -

Weighted Least Squares.

z = h(x)+ e (2.46)

O modelo (2.46) relaciona o vetor de medidas, z, sendo a dimensão do vetor de medidas dado por

dim(z) = m; o vetor de equações não lineares, h(.), dim(h(.)) = m; o vetor de estados verdadeiros x,

dim(x) = n e o vetor de erros nas medidas e cuja dim(e) = m. Além disso, define-se que n < m, ou

seja, o sistema não linear é obrigatoriamente superdeterminado, bem como, assume-se que o vetor de

erros das medidas possui média zero e variância Wz.

Aplicando as condições de optimalidade sobre o índice J(x), que é expresso pela equação (2.47),

encontra-se a expressão optimal de primeira ordem para este modelo, equação (2.48). Onde σ j é o

elemento ( j, j) da matriz de covariância de erros das medidas, Wz.

J(x) =12

m

∑j=1

(z j−h j(x)

σ j

)2

(2.47)

g(x) =δJ(x)

δx=−

m

∑j=1

(z j−h j(x)

σ j

)δh j(x)

δx(2.48)

Sendo que g(x) denota o gradiente de j(x), podendo-se encontrar o conjunto solução para g(x) =0, através do método iterativo de Newton-Raphson. Para tanto, deve-se fazer a expansão de Taylor da

função gradiente, (2.48), gerando a expressão (2.49).

g(x+∆x)∼= g(x)+G(x)∆x (2.49)

Onde G(x) é a matrix Hessiana do índice J(x):

G(x) =δ 2J(x)

δx2 = H′(x)W−1z H(x)−

m

∑j=1

(∆x

δ 2h j(x)δx2

)(2.50)

Uma vez que o método de Newton-Raphson utiliza apenas as derivadas de primeira ordem, as

derivadas de ordem superior podem ser ignoradas, e dessa forma, a matrix ganho é dada por:

G(x) = H′(x)W−1z H(x) (2.51)

15


Por fim, o vetor de estados estimados, x, pode ser obtido iterando-se o sistema dado por:(H′(xv)W−1

z H(xv))

∆xv = H′(xv)W−1z r(xv)

xv+1 = xv +∆xv(2.52)

Sendo, H(.), (2.53), a matrix Jacobiana de h(.) e r(xv) = z− h(xv). A condição de parada do

método iterativo utilizada é tal que min∆z(xv)≤ erro_processo, onde erro_processo é um valor pré-

definido.

J(x) =

δ∆Pk

δθθθ

δ∆Pk

δVδ∆Qk

δθθθ

δ∆Qk

δVδ∆Pkm

δθθθ

δ∆Pkm

δVδ∆Qkm

δθθθ

δ∆Qkm

δVδ∆Vk

δθθθ

δ∆Vk

δV

(2.53)

Onde, ∆Pk e ∆Qk indicam as medidas de injeção de potência ativa e reativa nas barras k e cujas

derivadas são dadas em (2.16),(2.17), (2.18) e (2.19); ∆Pkm e ∆Qkm são as medidas de fluxo de potên-

cia ativa e reativa entre as barras k e m e cujas derivadas são dadas por (2.54), (2.55), (2.56) e (2.57),

e ∆Vk indicam as medidas de magnitude de tensão, com derivadas (2.58) e (2.59).δ∆Pkm

δθk= akmVkVm[gkm sin(θkm +ϕkm)−bkm cos(θkm +ϕkm)]

δ∆Pkm

δθm=−akmVkVm[gkm sin(θkm +ϕkm)−bkm cos(θkm +ϕkm)]

(2.54)

δ∆Pkm

δVk= 2a2

kmVkgkm−akmVm[gkm cos(θkm +ϕkm)+bkm sin(θkm +ϕkm)]

δ∆Pkm

δVm=−akmVk[gkm cos(θkm +ϕkm)+bkm sin(θkm +ϕkm)]

(2.55)

δ∆Qkm

δθk=−akmVkVm[bkm sin(θkm +ϕkm)+gkm cos(θkm +ϕkm)]

δ∆Qkm

δθm= akmVkVm[bkm sin(θkm +ϕkm)+gkm cos(θkm +ϕkm)]

(2.56)

δ∆Qkm

δVk=−2a2

kmVk(bkm +bshkm)+akmVm[bkm cos(θkm +ϕkm)−gkm sin(θkm +ϕkm)]

δ∆QδVm

= akmVk[bkm cos(θkm +ϕkm)−gkm sin(θkm +ϕkm)](2.57)

δ∆Vk

δθk= 0

δ∆Vk

δθm= 0

(2.58)

δ∆Vk

δVk= 1

δ∆Vk

δVm= 0

(2.59)

Contudo, obter o vetor de estados estimados x pura e simplesmente não fornece nenhuma garantia

16


de que tais estados estão próximos da realidade do sistema, uma vez que o conjunto de medidas uti-

lizados pode conter uma ou mais medidas com erros significativos, denominados de erros grosseiros.

A utilização de medidas com erros grosseiros leva a obtenção de estados errados ou até mesmo a não

convergência do processo de estimação.

Assim, fica evidente que rotinas e algoritmos de identificação de erros grosseiros nas medidas são

de extrema importância para o uso correto e seguro dos métodos de estimação de estados. Alguns

métodos conseguem apenas verificar a existência de erros grosseiros no conjunto de medidas tal como

o Teste do Índice Jx, outros conseguem verificar a existência e identificar, na maioria dos casos, as

medidas com erro grosseiro, tal como o Teste do Resíduo Normalizado, [1] e [15].

Por causa de tais motivos, foi implementado no programa de estimação de estados utilizado, o

Teste do Resíduo Normalizado. Este teste atua de forma a correlacionar os resíduos das diversas

medidas existentes de uma forma que a comparação direta da ordem de magnitude dos mesmos seja

possível. O vetor resíduo de estimação, r = z−h(x), pode ser entendido como um conjunto de erros

entre os valores das medidas, zi, e os valores estimados para essas medidas, hi(x). Entretanto, cada

uma dessas medidas possui uma variância especificada pelo equipamento utilizado para realizá-la,

não sendo possível desta forma, comparar diretamente os resíduos de diferentes tipos de medidas

entre si. A normalização dos resíduos faz com que este problema seja extinto, tornando a comparação

direta entre os resíduos normalizados possível.

O método de normalização dos resíduos consiste em calcular a matriz de covariância dos resíduos,

Ωr, (2.60), e aplicar a equação (2.61). Sendo que, rNi representa o resíduo normalizado da medida i,

ri o resíduo da medida i e σri =√

Ω−1ii é o desvio padrão do resíduo desta medida.

Ωr = W−1−H(H′WH)−1H′ (2.60)

rNi =

ri

σri

(2.61)

Assim, após a normalização é feita uma verificação em busca do maior valor contido no vetor de

resíduos normalizados. Caso esse valor seja superior a um determinado padrão adotado, é aceito que

haja um erro grosseiro no valor desta medida, sendo então esta eliminada do conjunto dando início a

um novo processo de estimação de estados e verificação de erros grosseiros. O ciclo inerente deste

processo termina quando nenhum outro resíduo superior ao padrão adotado é encontrado ou quando

a estimação de estados se torna impossível devido a problemas de observabilidade ou problemas

numéricos de convergência.

Em geral, o padrão utilizado para determinar se uma medida possui erros grosseiros ou não é

o valor 3. Este valor é escolhido em função de testes estatísticos relacionados ao processo sendo

aqui adotado sem maiores discussões. Além disso, cabe ressaltar que este processo não consegue

identificar todos os tipos de erros grosseiros, como exemplo, têm-se os erros grosseiros em medidas

críticas as quais tem resíduo nulo, [6] e [8]. Outro ponto importante, reside no fato de que apenas

uma medida com resíduo normalizado superior a 3 deva ser eliminada por vez, sendo esta a de maior

resíduo normalizado. Tal fato decorre essencialmente das interações existentes no sistema, sendo

tais iterações responsáveis por propagar o erro existente em uma medida para os resíduos de outras

17


medidas.

18


2.4 Demais algorítimos utilizados

Os algorítimos que serão apresentados nesta seção foram utilizados para inserir erros pseudo-aleatórios

nos arquivos de entrada do Estimador de Estados e no desenvolvimento das rotinas de solução de sis-

temas lineares dos programas descritos anteriormente.

2.4.1 Geração de erros aleatórios

Com a finalidade de testar robustamente o Estimador de Estados implementado, buscou-se inserir

erros pseudo-aleatórios em todas as medidas utilizadas constantes nos arquivos de entrada. Para

tanto, foram utilizadas as funções gasdev() e ran1(), sendo estas encontradas em [11] e dispostas no

Apêndice deste trabalho.

Tal como descrito nos comentários da função gasdev(), o algorítmo utilizado gera um valor de

desvio com média zero e variância unitária, assim, deve-se usar a equação (2.62) para aplicar erros às

medidas do sistema.

z = zCPFLOW +σz · ez (2.62)

Onde, z representa a medida acrescida de erro e que será utilizada para a estimação, zCPFLOW

representa a medida original sem erro gerada pelo programa de Fluxo de Carga Continuado, σz cor-

responde ao valor adotado para o desvio padrão da medida em questão e ez é o valor pseudo-aleatório

com distribuição normal padrão obtido a partir da função gasdev().

2.4.2 Resolução de sistemas lineares

Os sistemas lineares do tipo Ax = b foram numericamente resolvidos empregando métodos de fato-

ração matricial e o método conhecido como substituição reversa.

A substituição reversa pode ser aplicada em um sistema linear Ux = c a fim de encontrar os

valores de x, desde que a matriz U seja triangular superior, [13] e [14]. Para tanto, basta resolver a

equação (2.63) para todos os valores de i = n, n−1, n−2, ..., 1.

xi =

(bi−

n

∑j=i+1

ui jx j

)/uii (2.63)

Nota-se que as dimensões dos elementos desses sistemas lineares devem ser dim(A) = dim(U) =

n ·n, dim(x) = dim(b) = dim(c) = n.

Contudo, em geral o sistema linear original é caracterizado por possuir uma matriz A quadrada

qualquer, assim, utilizam-se métodos de fatoração matricial com o intuito de transformar o sistema

original do tipo Ax = b em um sistema equivalente Ux = c, onde a matriz U é uma matriz quadrada

triangular superior. Sendo, o conjunto solução formado pelo vetor x igual em ambos os casos.

Dentre os métodos de fatoração existentes, foram implementados a Eliminação de Gauss e a

Fatoração QR.

19


2.4.2.1 Eliminação de Gauss

O método conhecido como Eliminação de Gauss é utilizado com o intuito de transformar uma matriz

A qualquer em uma matriz triangular superior U equivalente. O processo a ser desenvolvido consiste

em aplicar n matrizes de transformações de Gauss, Tk, sobre a matriz original A, sendo dim(A)= n ·n.

Ou seja, U = TnTn−1Tn−2 · · ·T1A, [13] e [14].

As matrizes de transformação de Gauss são construídas de acordo com a equação (2.64).

Tk = I−vkek (2.64)

Onde I representa a matriz identidade de ordem n, vk é o vetor coluna construído tal como disposto

em (2.65) e ek é um vetor linha que possui todos os seus elementos nulos à excessão do elemento k

que é igual a unidade.

vk =

0 , se i < k

Ak−1ik /Ak−1

kk , se i≥ k(2.65)

Ak−1ik representa o elemento da linha i coluna k da matriz Ak−1 = Tk−1Tk−2Tk−3 · · ·T1A. O

elemento Ak−1kk pode ser descrito de forma análoga ao anterior, sendo este elemento, em geral, deno-

minado de pivô, o qual tem uma importância fundamental na qualidade dos resultados obtidos por

este método.

Como pode ser facilmente observável, este método falha somente na condição de pivô nulo, con-

tudo, caso o pivô tenha um valor próximo de zero, os resultados encontrados podem possuir problemas

numéricos. Assim, de forma a evitar tais problemas numéricos, são realizadas normalmente rotinas

de pivotamento. Dentre as rotinas existentes para tal fim, implementou-se a que define o pivô como o

maior valor dentre os elementos Ak−1ik com i≥ k.

Devido aos problemas relacionados ao pivô no método de Eliminação de Gauss para sistemas mal

condicionados, buscou-se implementar outro método de fatoração denominado de QR.

2.4.2.2 Fatoração QR

A Fatoração QR de uma matriz consiste em encontrar duas matrizes Q e R de tal forma que valha a

relação a seguir, e que a matriz Q seja ortogonal e que R seja triangular superior, [11], [12], [13] e

[14].

A = QR (2.66)

Uma matriz é dita ortogonal caso valha a relação Q′Q = I, onde Q′ equivale a matriz transposta

de Q e I é a matriz identidade de mesma ordem da matriz Q, ou também Q′ = Q−1. Assim, dado o

sistema original, Ax = b, e a relação (2.66), vale:

QRx = b (2.67)

Utilizando a característica de ortogonalidade,

Q′QRx = Q′b

20


Rx = Q′b (2.68)

Assim, a partir da fatoração realizada pode-se aplicar o método de substituição reversa a fim de re-

solver o sistema de forma que valham U=R e c=Q′b. Importante notar que se Q=Q1Q2Q3 · · ·Qn =

(QnQn−1Qn−2 · · ·Q1)−1 então Q′ = QnQn−1Qn−2 · · ·Q1.

Dentre os métodos existentes para este tipo de fatoração, foram implementados os baseados nas

Transformações de Househölder e nas Rotações de Givens.

As Transformações de Househölder podem ser calculadas através da equação (2.69), onde P é a

matriz resultante que representa a transformação ou reflexão, I é a matriz identidade de dimensão n ·ne v é um vetor de dimensão n não nulo.

P = I− 2v′v

vv′ (2.69)

A utilização dessas transformações na fatoração QR se dá uma vez que ela pode ser utilizada para

anular vários elementos de um vetor. Ou seja, suponha que y1 seja um vetor coluna com elementos

iguais aos da primeira coluna da matriz A, e que w1 seja um vetor coluna de mesma dimensão que y1,

sendo que todos os elementos de w1 sejam nulos à excessão do primeiro w11 . Impondo ‖y1‖= ‖w1‖e v = w1−y1, pode-se encontrar uma matriz ortogonal P1 = Q1 que irá anular todos os elementos da

primeira coluna de Q1A.

De forma semelhante, para o vetor y2 que representa a segunda coluna da matriz Q1A, e para

o vetor w2 que possui todos os elementos não nulos à excessão de w21 e w22 , impondo as mesmas

condições anteriores e fazendo w21 = y21 , pode-se encontrar P2 = Q2 tal que todos os elementos da

segunda coluna de Q2Q1A sejam nulos à excessão dos dois primeiros. Tal procedimento pode ser

repetido n-1 vezes até que a matriz A esteja fatorada.

Por sua vez, as Rotações de Givens atuam de forma a anular elemento a elemento de uma matriz,

sendo que a forma mais básica do algorítmo consiste em criar matrizes de rotação Qij que zerem o

elemento (i, j) de QijA. Qij é construida de forma que todos os elementos da diagonal, à excessão

dos elementos (i, i) = c e ( j, j) = c são iguais a unidade, e que todos os demais elementos à excessão

de (i, j) =−s e ( j, i) = s são nulos.

Os valores de c e s podem ser calculados através de (2.70), sabendo que a representa o elemento

( j, j) da matriz A e b respresenta o elemento (i, j) desta mesma matriz.c = 1;s = 0 ,se b = 0

t = a/b;s = 1/√

1+ t2;c = s · t ,se |b|> |a|

t = b/a;c = 1/√

1+ t2;s = c · t ,se |b|< |a|

(2.70)

Assim, basta aplicar as relações acima para todos os elementos não nulos abaixos da diagonal

principal da matriz A de forma a fatora-la para uma matriz triangular superior.

21

Capítulo 3

Resultados

O presente capítulo apresenta os principais resultados encontrados durante a execução deste trabalho.

Inicialmente, busca-se mostrar o correto funcionamento das funções de geração de números

pseudo-aleatórios, utilizadas para inserir erros pseudo-aleatórios com distribuição normal nos valores

de magnitude de tensão, de fluxos e de injeções de potência ativa e reativa produzidos pelo programa

de Fluxo de Carga Continuado. Desta forma, tais resultados puderam ser utilizados como medidas

para a execução do Estimador de Estados. Em seguida, são apresentados os resultados dos programas

implementados, com enfoque no Fluxo de Carga Continuado e no Estimador de Estados.

Para o Fluxo de Carga Continuado são mostradas curvas de magnitude e fase de tensão em função

do parâmetro de carregamento, λ , com comparações entre os resultados encontrados quando utiliza-

dos os diferentes métodos numéricos de Eliminação de Gauss e Fatoração QR. Apresenta-se, também,

uma análise inicial da variação dos números de condição das matrizes jacobianas utilizadas.

Os resultados mostrados para o Estimador de Estados buscam analisar, em média, a precisão e

a confiabilidade dos resultados produzidos por esta ferramenta para Sistemas Elétricos de Potência

com conjuntos de medidas próximos da realidade habitual encontrada na prática, ou seja, sistemas

que possuam medidas críticas e conjuntos críticos de medidas. Com tal intuito, foram realizadas

comparações entre os resultados, de magnitudes de tensão e de carga total do sistema, produzidos pelo

Estimador de Estados e pelo Fluxo de Carga Continuado. Além disso, de forma a gerar resultados

mais abrangentes, foram utilizados três conjuntos de medidas com diferentes graus de redundância.

É importante salientar que para todas as estimações de estado realizadas, foi executado o proce-

dimento de Eliminação de Erros Grosseiros pelo método do Resíduo Normalizado, tal como descrito

na Seção 2.3 deste trabalho. Além disso, não foi feita nenhuma restrição sobre os erros pseudo-

aleatórios inseridos nos valores utilizados como medidas para a estimação, ou seja, erros com mais

de 3 vezes o desvio padrão da medida foram inseridos nos conjuntos de medidas utilizados. Logo, não

foi incomum encontrar casos em que o Estimador de Estados encontrou e eliminou um ou mais Erros

Grosseiros dos conjuntos de medidas utilizados nos mais diversos pontos de operação do sistema.

Por fim, ressalta-se que as medidas de injeção nula existentes no sistema foram tradadas da mesma

forma que as medidas de uma barra de carga tipo PQ normal.

23

Resultados

3.1 Da geração de valores aleatórios

Tal como descrito anteriormente na Seção 2.4.1, as funções ran1() e gasdev() são responsáveis por

gerar valores com distribuições respectivamente uniforme e normal. Para tanto, basta tomar um valor

numérico como semente inicial do processo e armazenar os valores obtidos um a um sequencialmente.

Este processo foi usado para gerar os gráficos contidos nas Figuras 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4, sendo que para

as duas primeiras figuras a semente inicial foi igual a −1 e para as duas últimas foi igual a −90234.

Além disso, em todos os casos foram armazenados exatamente 10.000 valores.

Nota-se facilmente pelos histogramas aqui apresentados que as distribuições dos conjuntos de

valores gerados por cada uma das funções está de acordo com o esperado independentemente da

semente utilizada, validando, assim, a utilização de tais funções para a geração dos erros aleatórios

com distribuição normal nas medidas do estimador de estados.

24

Resultados

Figu

ra3.

1:R

esul

tado

gera

dope

lafu

nção

ran1

()da

daum

ase

men

teig

uala

-1

Figu

ra3.

2:R

esul

tado

gera

dope

lafu

nção

gasd

ev()

dada

uma

sem

ente

igua

la-1

25

Resultados

Figu

ra3.

3:R

esul

tado

gera

dope

lafu

nção

ran1

()da

daum

ase

men

teig

uala

-902

34

Figu

ra3.

4:R

esul

tado

gera

dope

lafu

nção

gasd

ev()

dada

uma

sem

ente

igua

la-9

0234

26

Resultados

3.2 Dos Fluxos de Carga

O programa de Fluxo de Carga implementado foi testado comparativamente com resultados previa-

mente obtidos através do programa ANAREDE desenvolvido pelo CEPEL - Centro de Pesquisas de

Energia Elétrica ligado a Eletrobras. Os teste realizados foram feitos com base em informações bá-

sicas disponíveis sobre quatro Sistemas Elétricos de Potência IEEE 14 barras, IEEE 57 barras, IEEE

118 barras e Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras.

Os resultados encontrados para este programa foram equivalentes aos gerados pelo ANAREDE.

Concluiu-se, assim, que a implementação do Fluxo de Carga estava correta. Estes resultados não

estão aqui disponíveis por não caracterizarem o interesse principal deste trabalho e por não serem

facilmente visualizados.

Por sua vez, os resultados a serem apresentados para o Fluxo de Carga Continuado foram todos

produzidos tendo como base o Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras. Um diagrama contendo

a configuração deste sistema está disposto na Figura 3.5. Observa-se nesta figura que este sistema

possui 10 barras de geração, sendo uma delas escolhida como barra de referência, além disso, existem

também algumas barras de injeção nula.

Figura 3.5: Sistema Reduzido Sul Brasileiro

Percebe-se, também pela Figura 3.5, que o sistema foi divido em duas áreas tal como em [4] e

[5], sendo a área 1 a demarcada pelas barras com nome em preto, e a área 2 por aquelas em vermelho.

A taxa de crescimento de carga da área 1 é duas vezes mais rápida do que a da outra área, sendo o

crescimento de carga simulado tal como anteriormente descrito neste trabalho. A carga total desse

sistema no caso base, λ = 1, é de 6472MW .

As Figuras 3.6 e 3.7 representam respectivamente a magnitude de tensão, em PU, e a fase de

tensão, em graus, da barra de carga número 368. Percebe-se que com o aumento da carga, crescimento

de λ , há a diminuição da magnitude de tensão nessa barra até o ponto de máximo carregamento

do sistema, caracterizado pela inflexão da curva V λ . Para o caso analisado, o ponto de máximo

27

Resultados

Figura 3.6: Magnitude de Tensão da Barra 368 em PU

Figura 3.7: Fase de Tensão da Barra 368 em graus

carregamento ocorreu com um λ ≈ 1.33, ou seja, houve um aumento de 33% em relação a carga total

do sistema no caso base.

O comportamento de uma barra de geração pode ser visualizado através das Figuras 3.8 e 3.9,

nas quais a magnitude e fase de tensão da barra de geração 407 estão respectivamente dispostas. A

curva de magnitude de tensão é típica de um gerador ideal sem limites de reativos, demonstrando

28

Resultados

que no programa desenvolvido não foi implementada nenhuma técnica com o intuito de controlar tal

parâmetro.

Ressalta-se que todas as barras de carga e de geração do sistema tiveram comportamentos seme-

lhantes aos encontrados para as barras aqui apresentadas, não havendo desta forma nenhum motivo

especial para a escolha destas barras como representantes para os resultados gerados pelo Fluxo de

Carga Continuado.

Figura 3.8: Magnitude de Tensão da Barra 407 em PU

Além disso, percebe-se através das Figuras 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9, que a utilização dos diferentes tipos

de métodos numéricos, anteriormente explicados, para a fatoração matricial não gerou resultados

diferenciados para os estados do sistema. Contudo, foi realizada uma análise do número de condição

da matriz jacobiana utilizada na resolução do sistema não linear. Essa análise foi feita com o auxílio

do software Matlab da empresa The MathWorks. Para tanto, foi desenvolvido um script responsável

por gerenciar a leitura dos arquivos de texto gerados pelo Fluxo de Carga Continuado que continham

as matrizes jacobianas e o respectivo cálculo do número de condição dessas matrizes através de rotina

própria deste programa.

O número de condição de uma matriz é calculado a partir da razão entre o maior e menor autovalor

da matriz em questão, no caso da utilização da norma 2. Este número pode fornecer uma estimativa

da sensibilidade do resultado de um sistema linear, no que se refere a presença de erros no conjunto

de dados deste sistema. Um sistema é dito bem condicionado quando este número está próximo de 1,

[16].

Com o intuito de facilitar a visualização de possíveis diferenças entre os números de condição

das matrizes antes e após a aplicação dos métodos de fatoração para resolução dos sistemas lineares

gerados para cada uma das iterações do método de Newton-Raphson para cada um dos pontos de

29

Resultados

Figura 3.9: Fase de Tensão da Barra 407 em graus

carregamento, foram gerados gráficos para ambos os casos para todos os métodos. Óbviamente os

valores dos números de condição para as jacobianas não fatoradas são idênticos, independentemente

do método numérico utilizado, sendo o mesmo disposto na Figura 3.10. Os gráficos contidos nas

Figuras 3.11, 3.12 e 3.13 representam respectivamente os valores obtidos de número de condição das

matrizes jacobianas fatoradas pelos métodos de Eliminação de Gauss e Fatoração QR por Rotações

de Givens e por Transformações de Househölder respectivamente.

30

Resultados

Figura 3.10: Número de Condição para as Matrizes Jacobianas não fatoradas

Figura 3.11: Número de Condição para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Eliminação de Gauss

Percebe-se, através da comparação das Figuras 3.10, 3.11, 3.12 e 3.13, que não há variação al-

guma no condicionamento da matriz após a aplicação dos metódos baseados nas Rotações de Givens

e Transformações de Househölder. O mesmo não ocorre após a utilização da Eliminação de Gauss,

cujo resultado é distintamente diferente entre os passos 3 e 40 da curva, havendo também ligeiras

modificações no restante da curva. Assim, pode-se ter em mente que os métodos baseados na Fa-

toração QR apresentarão problemas numéricos somente no caso da matriz original já apresentar tais

31

Resultados

Figura 3.12: Número de Condição para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Rotação de Givens

Figura 3.13: Número de Condição para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Transformações de Hou-sehölder

problemas, não há uma melhora ou piora do condicionamento da matriz ao longo do processo.

Além disso, o salto existente entre o segundo e terceiro ponto está diretamente ligado a mudança

de algorítmo que ocorre neste momento. Os dois primeiros pontos são resolvidos através de fluxos

de carga simples, sem a utilização do parâmetro λ , o que não ocorre nos demais. Há, portanto, um

aumento da quantidade de variáveis do sistema e uma piora no condicionamento do mesmo.

32

Resultados

3.3 Do Estimador de Estados

Os resultados gerados pelo Estimador de Estados a serem aqui apresentados foram novamente base-

ados no Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras.

Com o intuito de gerar resultados mais abrangentes, foram considerados três conjuntos de me-

didas para este sistema. Sendo o primeiro deles, disposto na Figura 3.14, composto totalmente por

medidas críticas. O segundo, Figura 3.15, possui 104 medidas com 29 medidas críticas e 7 conjuntos

críticos. Por fim, o terceiro, Figura 3.16, possui 171 com apenas 3 conjuntos críticos. Onde medida

crítica é definida como uma medida que caso perdida torna um sistema observável não observável,

além de sempre possuir resíduo nulo, [6] e [8]. Por sua vez, conjunto crítico (de medidas) é um con-

junto formado por medidas redundantes, não críticas, em que a eliminação de uma medida qualquer

deste conjunto, torna as outras críticas, [6] e [9]. A análise das características qualitativas desses

conjuntos de medidas foi realizada utilizando o algoritmo proposto em [7].

Ressalta-se que todas as medidas de potência, fluxos e injeções, foram sempre tomadas aos pares

de medidas ativa e reativa. Desta forma, pode-se calcular o Nível de Redundância Global, NRG,

definido como a razão entre a quantidade de medidas e de estados do sistema, para cada um dos três

conjuntos de medidas utilizado. Assim, o NRG de cada um dos conjuntos utilizado é respectivamente

igual a 1, 1,156 e 1,9.

Figura 3.14: Sistema Reduzido Sul Brasileiro - Conjunto de Medidas 1

Para todos os pontos de carregamento gerados pelo Fluxo de Carga Continuado situados entre o

caso base e o de máximo carregamento, λ ≈ 1,33, foram realizadas 31 estimações de estados, sendo

acrescidos erros pseudo-aleatórios, a partir da equação (2.62), para cada uma das medidas utilizadas

sem que houvesse qualquer controle sobre a magnitude do erro inserido. Além disso, considerou-se,

inicialmente, que todas as medidas possuiam desvios padrão iguais a 0.033. Assim, para cada ponto

de carregamento foi possível produzir uma estimativa média do estados e das cargas estimadas, com

os respectivos desvios padrão. Este processo foi repetido para cada um dos três conjuntos de medidas.

Ressalta-se, novamente, que foi utilizado o método do Resíduo Normalizado para a Eliminação de

33

Resultados



Erros Grosseiros em todas as estimações de estado realizadas.

As Figuras 3.17, 3.18 e 3.19 contêm uma comparação entre os resultados calculados a partir do

Fluxo de Carga Continuado, especificado na legenda por CPFlow (abreviatura inglesa para Fluxo de

Carga Continuado), e as médias calculadas a partir de todas as 31 estimações realizadas por ponto

de carregamento, especificadas na legenda por SE (abreviatura inglesa para Estimador de Estados).

Percebe-se que com o aumento da redundância das medidas há uma melhoria significativa nas médias

calculadas para os estados estimados. Além disso, em geral, as médias calculadas possuem valores

inferiores aos calculados pelo Fluxo de Carga Continuado.

Um outro resultado interessante é encontrado ao se comparar os parâmetros de carregamento, λ ,

calculados a partir das cargas médias estimadas para cada ponto da curva com o respectivo parâmetro

fornecido pelo programa de Fluxo de Carga Continuado. Estes resultados estão dispostos nas Figuras

3.20, 3.21 e 3.22, que correspondem respectivamente aos casos 1, 2 e 3. A Figura 3.23 consiste

34

Resultados

Figura 3.17: Magnitude de Tensão Média Estimada da Barra 368 - Conjunto 1


35

Resultados


Figura 3.20: Comparação entre a carga estimada e a carga real - Conjunto 1

numa visão ampliada da região de maior carga do gráfico da Figura 3.22. O símbolo ∗ é utilizado

nas figuras supra-citadas para representar o valor médio do parâmetro de carregamento estimado,

enquanto as linhas verticais tem comprimento proporcional ao valor do desvio padrão das médias

36

Resultados


realizadas naquele ponto.

Percebe-se, pela Figura 3.20, que, em geral, a carga média estimada é inferior à carga real calcu-

lada pelo Fluxo de Carga Continuado. Esta tendência se torna mais significativa conforme o sistema

se aproxima do ponto de máximo carregamento. Tal comportamento pode parecer estranho uma vez

que a carga estimada deveria ser igual a carga real para qualquer ponto de operação de um sistema

com conjunto crítico de medidas. Contudo, nota-se pela Figura 3.24, que o número de casos diver-

gentes se torna muito significativo com a proximidade do limite de máximo carregamento do sistema.

Sendo que, muitos destes casos de não convergência podem ser associados a medidas errôneas de

carga que estão acima do máximo ponto de carregamento. Assim, uma vez que os casos não conver-

gentes não são levados em conta para o cálculo das médias, as médias de carga resultam em valores

inferiores aos reais.

Observa-se um comportamento semelhante para o conjunto de medidas número 2. Ou seja, no-

vamente os valores estimados de carga são inferiores aos reais, principalmente na região próxima ao

máximo carregamento. No entanto, este caso apresenta menos problemas de não convergência do

que o caso formado apenas por medidas críticas. O primeiro conjunto de medidas apresentou mais de

25% de casos não convergentes para λ ≥ 1,319, enquanto o segundo conjunto apresentou menos de

5% de não convergência, tal como disposto na Figura 3.24. Desta forma, os valores de carga estimada

inferiores aos reais devem também ser explicados como uma característica aparentemente inerente do

Estimador de Estados WLS de atrair os estados estimados para dentro da área viável de convergência,

até mesmo, para cargas com medidas maiores do que a máxima possível, [10].

A Figura 3.22 mostra que, com o aumento da redundância das medidas, existe uma diminuição

extremamente significativa da diferença entre as cargas médias estimadas e as cargas reais. Contudo,

esta diferença continua existindo para este caso, sendo mais uma vez a carga estimada inferior a real,

37

Resultados


Figura 3.23: Comparação entre a carga estimada e a carga real (zoom) - Conjunto 3

como pode ser melhor visualizado através da Figura 3.23.

Ao contrário do esperado, o problema de não convergência se manteve praticamente constante

para os casos 2 e 3, mesmo com o aumento da carga do sistema em direção ao ponto de máximo

carregamento. A taxa de não convergência para estes casos foi ainda maior para os casos em que o

sistema estava menos carregado, Figura 3.24.

Foram também conduzidos testes utilizando um desvio padrão para as medidas igual a 0,1, ao

38

Resultados

Figura 3.24: Taxa de não convergência para os diferentes casos e cargas

Figura 3.25: Comparação entre a carga estimada e carga real com diferentes desvios padrão - Con-junto 3

invés de 0,033. Uma comparação entre os resultados para ambos os valores de desvio padrão das

medidas para o conjunto de medidas número 3 é apresentado na Figura 3.25. Nota-se nesta figura que

existe a mesma tendência encontrada nos casos anteriores, ou seja, a carga média estimada é inferior

a real, sendo esta diferença mais acentuada. Além disso, houve um grande aumento na quantidade

de casos não convergentes, principalmente para os conjuntos de medidas 1 e 2, tornando até mesmo

inviável a apresentação dos resultados destes casos.

Infelizmente, não foi possível realizar os estudos relacionados às comparações dos diferentes

métodos de fatoração numérica de matrizes, tal como foi realizado para o Fluxo de Carga Continuado,

uma vez que a implementação destes métodos para o programa de Estimação de Estados é feita de

39

Resultados

maneira distinta, exigindo, portanto, modificações nas rotinas numéricas utilizadas que não puderam

ser feitas em função do tempo existente para realização deste trabalho.

40

Capítulo 4

Conclusão

Este trabalho buscou caracterizar o comportamento do Estimador de Estados WLS sob várias con-

dições de carga e de redundância dos conjuntos de medidas. Para tanto, foram necessários primei-

ramente estudar e implementar os programas de Fluxo de Carga, Fluxo de Carga Continuado e de

Estimação de Estados. Tais programas foram corretamente implementados, contudo eles possuem

algumas limitação, tais como a não utilização dos métodos de Fatoração QR para a resolução do sis-

tema linearizado do Estimador de Estados, e a falta de controle de reativos dos geradores presentes

nos sistemas em análise.

Entretanto, mesmo com as limitações existentes nos programas, foi possível produzir resultados

interessantes na análise comparativa entre o Estimador de Estados e o Fluxo de Carga Continuado.

Verificou-se que o Estimador de Estados tende a produzir problemas de convergência mais acentuados

para conjuntos de medidas críticas, de forma semelhante aos programas de fluxo de carga. Além disso,

ao contrário das espectativas, obteve-se uma taxa de não convergência razoavelmente constante para

os sistemas com maior redundância, sendo esta taxa maior para os casos de menor carga do que para

os de maior carga.

Outro resultado interessante obtido, foi a constatação de que para os casos analisados houve uma

tendência por parte do Estimador de Estados de produzir resultados com cargas estimadas médias

inferiores as reais. O que pode gerar problemas para os operadores de sistemas que podem fazer

previsões erradas de crescimento de carga e de margens de estabilidade do sistema, levando a uma

operação insegura do sistema.

Em última análise, os resultados obtidos para o Estimador de Estados reafirmam a necessidade de

se utilizar conjuntos mais redundantes de medidas, mesmo que os custos para a implantação de novos

equipamentos de medidas. Todavia, os resultados aqui apresentados são preliminares e necessitam de

maiores estudos e análises.

41

Referências Bibliográficas

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international series in engineering and computer science. Kluwer Academic Publishers, 1999.

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power system steady-state stationary behavior due to load and generation variations. IEEE

Transactions on Power Systems, 10(2):623 – 634, Maio 1995.

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os limites de potência reativa dos geradores. Teses de Mestrado,USP - Universidade de São

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de Mestrado,USP - Universidade de São Paulo, 2009.

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de transmissão através de diversas amostras de medidas. Teses de Doutorado,USP - Universi-

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teristics for state-estimation purposes. IET Generation Transmission & Distribution, 2007.

[8] Clements, K.A.; Krumpholz, G.R.; Davis, P.W. Power system state estimation residual analysis:

an algorithm using network topology. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,

1981.

[9] Ayres, M.; Haley, P.H. Bad Data Groups in Power System State Estimation. IEEE Transactions

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[10] Tecchio, P.P.V.; Benedito, R.A.S.; Alberto, L.F.C. The behavior of WLS State Estimator near the

maximum loadability point of power systems. 2010 IEEE Power and Energy Society General

Meeting, 2010.

[11] Press, W.H. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge University

Press, 1992.

43


[12] Press, W.H. Numerical recipes: the art of scientific computing. Cambridge University Press,

2007.

[13] Golub, G.H. and Loan, C.F.V. Matrix computations. Johns Hopkins studies in the mathematical

sciences. Johns Hopkins University Press, 1996.

[14] Notas de aula da disciplina SME300 - Cálculo Numérico, 2007. Docente: Prof. Gustavo Carlos

Buscaglia.

[15] Notas de aula da disciplina SEL5717 - Estimação de Estado em Sistemas Elétricos de Potência,

2008. Docentes: Prof. João Bosco Augusto London Junior e Prof. Newton Geraldo Bretas.

[16] Documentação de ajuda do programa Matlab sobre a função cond(). The MathWorks.

44

Apêndice

Este apêncice contêm os códigos das funções gasdev() e ran1()utilizadas para gerar valores pseudo-

aleatórios com distribuição normal e uniforme, tal como descrito na Seção 2.4.1. Estes códigos foram

retirados de [11].

float gasdev(long *idum)

//Returns a normally distributed deviate with zero mean and unit variance,

//using ran1(idum) as the source of uniform deviates.

static int iset = 0;

static float gset;

float fac, rsq, v1, v2;

if (*idum < 0) iset = 0; //Reinitialize.

if (iset == 0) //We don’t have an extra deviate handy, so

do

//pick two uniform numbers in the square extending from -1

//to +1 in each direction,

v1 = 2.0*ran1(idum) - 1.0;

v2 = 2.0*ran1(idum) - 1.0;

//see if they are in the unit circle, and if they are not,

//try again.

rsq = v1*v1 + v2*v2;

while (rsq >= 1.0 || rsq == 0.0);

fac = sqrt(-2.0*log(rsq)/rsq);

//Now make the Box-Muller transformation to get two normal

//deviates. Return one and save the other for next time.

gset = v1*fac;

iset = 1; //Set flag.

return v2*fac;

else //We have an extra deviate handy,

iset = 0; //so unset the flag,

45


return gset; //and return it.

#define IA 16807

#define IM 2147483647

#define AM (1.0/IM)

#define IQ 127773

#define IR 2836

#define NTAB 32

#define NDIV (1+(IM-1)/NTAB)

#define EPS 1.2e-7

#define RNMX (1.0-EPS)

float ran1(long *idum)

int j;

long k;

static long iy = 0;

static long iv[NTAB];

float temp;

if (*idum <= 0 || !iy)

//Initialize.

if (-(*idum) < 1) *idum = 1; //Be sure to prevent idum = 0.

else *idum = -(*idum);

for (j=NTAB+7;j>=0;j--)

//Load the shue table (after 8 warm-ups).

k = (*idum)/IQ;

*idum = IA*(*idum-k*IQ) - IR*k;

if (*idum < 0) *idum += IM;

if (j < NTAB) iv[j] = *idum;

iy = iv[0];

//Start here when not initializing.

k = (*idum)/IQ;

//Compute idum = (IA*idum) % IM without over flows by Schrage’s method

*idum = IA*(*idum-k*IQ) - IR*k;

46


if (*idum < 0) *idum += IM;

j = iy/NDIV; //Will be in the range 0..NTAB-1.

//Output previously stored value and rell the shue table.

iy = iv[j];

iv[j] = *idum;

//Because users don’t expect endpoint values.

if ((temp=AM*iy) > RNMX) return RNMX;

else return temp;

47

anÁlise do estimador de estado por mÍnimos … · 2 fundamentos teóricos 5 2.1 o fluxo de carga...

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