R =variação na diferença de nível, m

variação na taxa de fluxo, m3/s

Capacitância C Resistência R

Para fluxo turbulento, temos:

onde Q = taxa de fluxo de líquido em estado estacionário, m3/sK = coeficiente, m2,5/s H = altura do nível de líquido em estado estacionário, m

Para definir a resistência Rt fazemos:

Para fluxo laminar, temos:Q = KH

onde Q = taxa de fluxo de líquido em estado estacionário, m3/sK = coeficiente, m2/sH = altura do nível de líquido em estado estacionário, m

Note que a lei é análoga à lei de Ohm onde é possível definir a resistência Rl

ADL09

SISTEMAS DE NÍVEL DE LÍQUIDO (K. OGATA 2ª Edição)

Regimes de fluxo :Se o número de Reynolds > 3.000 ~ 4.000, -> fluxo turbulento => equações diferenciais não-linearesSe o número de Reynolds < 2000 -> fluxo laminar => equações diferenciais linearesProcessos industriais geralmente são turbulentos

Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido:

Fluxo através de um pequeno cano interligando dois tanques.Definimos:

Altura denível deLiquido

_H

Juntando com as definições anteriores, temos

Portanto,

Portanto,

O valor da resistência Rt, em fluxo turbulento depende da taxa de fluxo e da altura do nível de líquido. Entretanto pode ser considerado constante se as variações na altura do nível e na taxa de fluxo forem pequenas.Então:

Tal linearização é válida, contanto que as variações na altura do nível e na taxa de fluxo, em relação aos seus respectivos valores em estado estacionário, sejam pequenas.

Em muitos casos práticos, o valor do coeficiente K na equação (2.50), que depende tanto do coeficiente de fluxo como da área da restrição, não é reconhecido. A resistência pode ser então determinada construindo-se o gráfico da curva altura de nível versus taxa de fluxo, baseado em dados experimentais, e calculando-se posteriormente a inclinação da curva na condição de operação. Um exemplo de um gráfico deste tipo é indicado na figura abaixo. Na figura, o ponto P é o ponto de operação em estado estacionário. A linha tangente à curva no ponto P intercepta a ordenada no ponto (H, Q). Portanto, a inclinação desta tangente é 2H/Q. Uma vez que a resistência no ponto de operação P é dada por 2H/Q, a resistência Rt, é a inclinação da curva no ponto de operação.

Considere a condição de operação na vizinhança do ponto P. Defina um pequeno desvio da altura da coluna a partir do valor em regime estacionário como h e a correspondente pequena variação da taxa de fluxo como q. Então, a inclinação da curva no ponto P pode ser dada por

Inclinação da curva no Ponto

A capacitância C de um tanque é definida como:

C =variação no líquido armazenado, m3

variação na altura do nível, m

Note que capacidade (m3) e capacitância (m2) são diferentes. A capacitância do tanque é igual à sua área da seção transversal. Se esta for constante, a capacitância é constante para qualquer altura do nível de líquido.

Sistemas de nível de líquidoAs variáveis são definidas como :

Q = taxa de fluxo em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), nrVsqi = pequeno desvio da taxa de fluxo de entrada em relação a seu valor em regime estacionário,m3/s qo - pequeno desvio da taxa de fluxo de saída em relação a seu valor de regime estacionário,m3/sH = altura do nível em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), mh = pequeno desvio na altura do nível em relação a seu valor em regime estacionário, m

Por analogia com os sistemas elétricos,

C dh = (qi — qo) dt

Considerando a definição de resistência, a relação entre qo e h é dada por:

A equação diferencial para este sistema para um valor constante de R é :

Note que RC é a constante de tempo do sistema. Considerando as transformadas de Laplacede ambos os lados da equação (2.52), supondo uma condição inicial nula, obtemos

onde

Se qi é a entrada e h a saída, a função de transferência do sistema é:

Se, qo é considerada a saída,

Sistemas de nível de liquido com interaçãoConsidere o sistema abaixo. Neste sistema os dois tanques interagem. Podemos obter as seguintes equações para este sistema:

Se q é considerada a entrada e q2 a saída, q1 , h1 , h2 variáveis intermediárias, a função de transferência do sistema é:

Observe que este resultado é diferente do que seria obtido multiplicando as FT’s de cada tanque.A multiplicação de FT’s só poderia ser feita se não houvesse influência do tanque posterior para o anterior, como a influência de h2 em q1 .

2.8 SISTEMAS TÉRMICOS

Envolvem a transferência de calor de uma substância para outra.Analisados de forma aproximada em termos de resistência e de capacitância concentradas.Para análise precisa, os modelos de parâmetros distribuídos devem ser usados. Aqui, no entanto, para simplificar a análise admitiremos que um sistema térmico possa ser representado por um modelo de parâmetros concentrados, que aquelas substâncias que são caracterizadas pela resistência ao fluxo de calor têm capacitância térmica desprezível, e que aquelas que são caracterizadas pela capacitância térmica têm resistência desprezível ao fluxo de calor.

Há três diferentes maneiras pelas quais o calor pode fluir de uma substância para outra: condução, convecção e irradiação.

Para transferência de calor por condução ou convecção,

onde q = taxa de fluxo de calor, kcal/s∆θ = diferença de temperatura, °CK = coeficiente, kcal/s °C

o coeficiente K é dado por

na condução

na convecção

ondek = condutividade térmica, kcal/m s °C A = área normal ao fluxo de calor, m2

∆X = espessura do condutor, mH = coeficiente de convecção, kcal/m2 s °C

Na transferência de calor por irradiação, o fluxo de calor é dado por

ondeq = taxa de fluxo de calor, kcal/s

Kr - coeficiente que depende da emissividade, tamanho e configuração da superfície de emanação e aquelas da superfície de recepçãoθ1, = temperatura absoluta no emissor, Kθ2 = temperatura absoluta do receptor, K

A constante Kr é um número muito pequeno e a transferência de calor por irradiação é apreciável somente se a temperatura do emissor for muito alta comparada à do receptor, portanto é possível aproximar para

onde

Resistência térmica e capacitância térmica. A resistência térmica R para transferência de calor entre duas substâncias pode ser definida como se segue:

Uma vez que os coeficientes de condutividade e de convecção térmica são quase constantes, a resistência térmica tanto para condução quanto para convecção é constante. A resistência térmica para transferência de calor por irradiação pode ser dada por

onde θ é uma diferença de temperatura efetiva do emissor e do receptor. A capacitáncia térmica C é definida por

C =variação no calor armazenado, kcal

variação na temperatura, °C

variação de diferença de temperatura, °CR =

variação de taxa de fluxo de calor, kcal/s

A resistência térmica para transferência de calor por condução ou por convecção é dada por

Ex: Considere o exemplo da figura

onde W = peso da substância considerada, kg

cp = calor específico da substância, kcal/kg °C

�i = Temperatura em regime estacionário do líquido entrando, °C�o = Temperatura em regime estacionário do líquido saindo, °CG = Taxa de fluxo do líquido em regime estacionário, Kg/sM = massa do líquido no tanque, Kgc = calor especifico do liquido, cal/Kg °CR = resistência térmica, °C s/cal

C = capacitância térmica, cal/°CH = taxa de entrada de calor em regime estacionário, cal/s

ou

Note que a constante de tempo do sistema é igual a RC A função de transferência relacionando θe h, é dada por

onde

Se a temperatura do líquido fluindo na entrada for subitamente variada enquanto a taxade entrada de calor H e a taxa de fluxo de líquido G são mantidas constantes, então a equação diferencial para este caso é

ou

O que implica na FT

Se o sistema térmico está sujeito tanto a variações na temperatura do líquido que flui na entrada como na taxa de entrada de calor, enquanto a taxa do fluxo de líquido é mantida constante, a variação θ na temperatura do líquido que flui na saída pode ser dada pela seguinte equação:

A equação diferencial para este sistema é

Isto implica em um sistema com duas entradas e uma saída, porém linear.