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Aula 3

Circuitos Complexos via Método das Malhas1. Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.2. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas transformadas de Laplace3. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha.4. Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha.5 Definir as variáveis de:

- Entrada- Saída- V. Intermediárias

6. Resolver o sistema de equações em termos da saída.7. Eliminar as V. Intermediárias e elaborar a função de transferência.

Exemplo 2.10

Função de transferência — múltiplas malhas

Ao longo da Malha 1, onde circula I1(s),

Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s),

A V. Intermediária I1(s) deve ser eliminada:

Podemos usar a regra de Cramer (ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações) para resolver a Eq. (2.80) em termos de I2(s)

Problema Dado o circuito da Fig. 2.6(a),

obter a função de transferência, I2(s)/V(s)

Solução: seguindo os passos acima:

Elaborando a função de transferência, G(s), resulta

Antes de deixar o exemplo, observamos a ocorrência de um padrão ilustrado em primeira mão pela Eq. (2.72). A forma tomada pela Eq. (2.80) é

(2.83a)

(2.83b)

Circuitos Complexos via Método dos Nós

No exemplo anterior, escrevemos as equações de malha usando a lei de Kirchhoff definamos primeiro admitância, Y(s), como o inverso da impedância, ou seja,

(2.84)

Exemplo 2.11

Função de transferência — nós múltiplos

Problema Obter a função de transferência, VC(s)/V(s), para o circuito na Fig. 2.6(b). Usar o método

dos nós.

Solução Neste problema, somamos correntes nos nós em vez de somar tensões ao longo das malhas. Com base na Fig. 2.6(b) as somas das correntes que saem dos nós designados por VL (s) e VC (s) são, respectivamente,

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Expressando as resistências como condutâncias, G1 = 1 /R1 e G2 = 1/R2obtemos:

Observe que VL (s) é uma V. Intermediária. Eliminando VL (s) obtemos a função de transferência,

Técnica para Solução de ProblemasRepetição de um padrão nas equações que podemos usar a nosso favor.

Exemplo 2.13

Equações de malha via inspeção

Problema Escrever, mas não resolver, as equações de malha do circuito mostrado na Fig. 2.9.

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Solução A equação para a Malha 1 terá a seguinte forma:

(2.91)

De modo semelhante, as Malhas 2 e 3 são, respectivamente.

(2.92)

(2.93)

Substituindo os valores da Fig. 2.9 nas Eqs. (2.91) a (2.93), resulta

que pode ser resolvida simultaneamente para qualquer função de transferência desejada, por exemplo, I3(s)/V(s).

Amplificadores OperacionaisUm amplificador operacional, esboçado na Fig. 2.10(a), é um amplificador eletrônico usado como bloco construtivo básico para implementar funções de transferência. Possui as seguintes características:

1. Entrada diferencial, v2(t) — v1(t)2. Elevada impedância de entrada, Zi = � (ideal)3. Baixa impedância de saída, Zo = 0 (ideal)4. Elevado ganho de amplificação, A = � (ideal)

A saída, vo(t), é dada por

(2.95)

Amplificador Operacional Inversor

Para o amplificador operacional inversor, temos (entrada v1(t) ligada à terra)

função de transferência do amplificador operacional inversor

(2.97)

(2.96)

48 Exemplo 2.14

Função de transferência — circuito com amplificador operacional

Problema Obter a função de transferência, Vo(s)/Vi(s), para o circuito dado na Fig. 2.11.

Solução A função de transferência do circuito amplificador operacional é dada pela Eq. (2.97). Como as admitâncias de componentes em paralelo se somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias, ou seja,

(2.98)

Para Z2(s), as impedâncias se somam, ou seja,

(2.99)

Substituindo as Eqs. (2.98) e (2.99) na Eq. (2.97) e simplificando, obtemos

(2.100)

O circuito resultante é chamado controlador PID e pode ser usado para melhorar o desempenho de um sistema de controle. Exploramos esta possibilidade mais adiante no Cap. 9.

Amplificador Operacional Não-inversor

Um outro circuito que pode ser analisado para se obter a função de transferência é o circuito amplificador operacional não-inversor mostrado na Fig. 2.12. Vamos agora deduzir a função de transferência. Vemos que

Vo(s) = A(Vi(s) - V1(s)) (2.101)Porém, usando divisão de tensão,

(2102)

Substituindo a Eq. (2.102) na Eq. (2.101), rearrumando e simplificando, obtemos

(2.103)

Para valores elevados de A, despreza-se a unidade no denominador e a Eq. (2.103) se torna

(2.104)

Função de transferência — circuito amplificador operacional não-inversor

Problema Obter a função de transferência, Vo(s)/ Vi(s), para o circuito dado na Fig. 2.13.

Solução Obtemos cada uma das funções impedância, Z1(s), Z2(s) , e em seguida as substituímos na Eq. (2.104). Assim,

(2.105)

(2.106)

Substituindo as Eqs. (2.105) e (2.106) na Eq. (2.104) resulta

(2.107)