anÁlise de um edifÍcio de concreto armado...

i

ANÁLISE DE UM EDIFÍCIO DE CONCRETO ARMADO

CONSIDERANDO O COLAPSO PROGRESSIVO

Rodrigo Costa Pereira

Rio de Janeiro

Março de 2015

Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro Civil.

Orientador:

Prof. Henrique Innecco Longo, D.Sc.

ii




PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

____________________________________

Henrique Innecco Longo

Prof. Associado, D.Sc., EP/UFRJ

(Orientador)

____________________________________

Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Prof. Associado, D.Sc. , EP/UFRJ

____________________________________

Bruno Martins Jacovazzo

Prof. Adjunto, D.Sc. , EP/UFRJ

Rio de Janeiro

Março de 2015

iii

Pereira, Rodrigo Costa

Análise de um Edifício de Concreto Armado Considerando o

Colapso Progressivo / Rodrigo Costa Pereira. – Rio de Janeiro:

UFRJ/ Escola Politécnica, 2014.

viii, 80 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Henrique Innecco Longo.

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Civil, 2015.

Referências Bibliográficas: p.96.

1. Colapso Progressivo. 2. Concreto Armado. 3.

GSA-Guidelines.

I. Longo, Henrique Innecco. II. Universidade Federal do

Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil.

III. Titulo.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais, Agnaldo e Cláudia, pelo contínuo incentivo, apoio,

opiniões e dedicação em toda a minha vida. Ao meu irmão Guilherme, pela amizade,

companheirismo e ensinamentos em todos os momentos. E a todos os familiares que

me apoiaram ao longo dessa jornada, principalmente meus padrinhos, Fernando e

Vania, meus tios, Carlos e Eliana e aos meus primos, Victor e Fernanda.

Agradeço à Thamiris pelo amor, cumplicidade, compreensão, incentivo e apoio

incondicional nesses dois anos de convivência. Obrigado por ter ficado ao meu lado e

me aguentado nos momentos de dificuldade e estresse. Sei que posso contar com

você para tudo, obrigado.

Agradeço a todos os meus amigos de faculdade, mas principalmente a Ana,

Camilo, Juliana, Luiz, Marina, Piter, Guilherme e Frederico, pelos cinco anos de

estudo, estresse e principalmente de amizade e companheirismo. Obrigado por tudo,

não teria conseguido sem vocês.

Aos meus amigos de colégio por todos esses anos de amizade.

Ao professor Henrique, pelos ensinamentos e por ser sempre tão solícito.

Aos meus amigos da PCE, por todo o ensinamento passado.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.




Março/2015

Orientador: Henrique Innecco Longo

Curso: Engenharia Civil

RESUMO

O colapso progressivo é um fenômeno conhecido no meio técnico há mais de 50 anos,

mas pouco estudado aqui no Brasil e praticamente ausente nas nossas normas. Então

este trabalho tem como objetivo apresentar esse tema, expondo o histórico,

definições, causas, princípios de projeto e métodos de análise. Um edifício de 12

pavimentos de concreto armado foi modelado em elementos finitos pelo programa

SAP2000 e foi analisado de acordo com os critérios do GSA para resistir à perda de

um dos pilares no térreo evitando o colapso progressivo. Nesta análise, foi feita uma

verificação dos momentos fletores e esforços cortantes nas vigas e os esforços

normais nos pilares.

Palavras-chave: Colapso Progressivo, Concreto Armado, GSA – guidelines.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

ANALYSIS OF A REINFORCED CONCRETE BUILDING

CONSIDERING THE PROGRESSIVE COLLAPSE


March/2015

Advisor: Henrique Innecco Longo

Course: Civil Engineering

ABSTRACT

The progressive collapse is a phenomenon known in the technical community for about

50 years, but not well studied in Brazil and hardly presented in our standards. So this

work aims to present the history, definitions, causes, design principles and methods of

analysis of progressive collapse. A building of 12 floors of reinforced concrete was

modeled in finite elements using the software SAP2000 and was analyzed in

accordance with the GSA criteria to resist the loss of one column on its base,

preventing the progressive collapse. In this analysis, the bending moments and shear

forces were verified on the beams and the axial forces in the columns.

Keywords: Progressive Collapse, Reinforced Concrete, GSA - guidelines.

vii

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................ 1

2. OBJETIVO .............................................................................................. 4

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................... 4

4. COLAPSO PROGRESSIVO .................................................................... 5

4.1. Definição............................................................................................................ 5

4.2. Causas ................................................................................................................ 7

4.3. Princípios de projeto ......................................................................................... 7

5. MÉTODOS DE ANÁLISE ........................................................................ 9

5.1. Método Indireto ................................................................................................ 9

5.2. Método direto ................................................................................................. 10

5.2.1. Método da Resistência Local Específica (MRLE) ....................................... 10

5.2.2. Método dos Caminhos Alternativos de Carga (MCAC) ............................. 11

6. MODELO A SER ANALISADO ............................................................. 14

6.1. Geometria ....................................................................................................... 14

6.2. Materiais ......................................................................................................... 15

6.3. Carregamentos e combinações ....................................................................... 16

6.3.1. Carregamentos .......................................................................................... 16

6.3.2. Combinações ............................................................................................. 16

6.4. Modelo computacional ................................................................................... 17

6.5. Casos estudados .............................................................................................. 18

7. ANÁLISE CONVENCIONAL ................................................................. 20

7.1. Vigas ................................................................................................................ 20

7.1.1. Dimensionamento ao momento fletor ..................................................... 20

7.1.2. Dimensionamento ao esforço cortante .................................................... 23

7.1.3. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para as vigas ......................... 24

7.2. Pilares .............................................................................................................. 25

7.2.1. Dimensionamento ..................................................................................... 25

7.2.2. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para os pilares ...................... 28

8. CASO 1: RETIRADA DO PILAR P1 ..................................................... 28

8.1. Análise das vigas .............................................................................................. 29

8.2. Análise dos pilares ........................................................................................... 38

viii


9.1. Análise das vigas .............................................................................................. 40

9.2. Análise dos pilares ........................................................................................... 46


10.1. Análise das vigas .......................................................................................... 49

10.2. Análise dos pilares ....................................................................................... 55




12. CASO 5: RETIRADA DO PILAR P10.................................................... 68



13. CONCLUSÃO ....................................................................................... 78

14. BIBLIOGRAFIA ..................................................................................... 79

1

1. INTRODUÇÃO

Desde o ano de 1968 em que aconteceu o acidente do edifício de

apartamentos Ronan Point no Reino Unido, o colapso progressivo tem sido estudado e

incluído em normas internacionais como a americana e a inglesa. No Brasil, o estudo

sobre esse tema ainda está no seu início, tendo sido impulsionada por eventos como a

Copa do Mundo de Futebol e as Olimpíadas, onde foram necessários projetos

especiais que englobassem o colapso progressivo. Além disso, na nossa norma NBR

6118 (2014) ele é citado apenas duas vezes: no item “Estados limites últimos”, onde

se diz que a estrutura deve ser verificada para o “estado limite último de colapso

progressivo” e no item “Colapso progressivo” onde se recomenda uma armadura nas

lajes lisas, sobre os pilares, “para garantir a ductilidade local e a consequente proteção

contra o colapso progressivo”, sem se dar maiores explicações.

Figura 1 – Acidente do edifício Ronan Point

Depois do acidente do edifício Ronan Point, onde uma explosão de gás na

cozinha do 18º andar expeliu parte de uma parede externa e consequentemente o

2

colapso dessa laje da cozinha se propagou para todos os andares do prédio, tivemos

vários outros acidentes relatados. O mais marcante foi o do dia 11 de Setembro de

2009 que marcou o início da guerra contra o terrorismo. Nesse dia, três aviões

comerciais colidiram contra as duas torres gêmeas, causando seu colapso total e

contra o Pentágono, causando apenas um colapso parcial. Esse edifício foi projetado

contra o colapso progressivo e conseguiu resistir ao fortíssimo impacto causado por

um Boeing 757.

Figura 2 – Pentágono após o acidente de 11 de Setembro

Além deste, o prédio Khobar Towers, na Arábia Saudita, em 25 de Junho de

1996 também sofreu apenas um colapso parcial depois de um atentado a bomba na

avenida em frente ao edifício. Com a explosão, criou-se uma cratera na avenida e

apenas a fachada da edificação foi destruída. Ele também foi projetado contra o

colapso progressivo.

Figura 3 – Edifício Khobar Towers depois de um atendado a bomba

3

Mais recentemente, no dia 24/11/2014, tivemos o caso de Kansas City, estado

do Missouri, nos Estados Unidos. Numa perseguição policial, uma criminosa bateu em

um pilar de um prédio que foi totalmente destruído. No Brasil, tivemos o caso do

Edifício Liberdade no Rio de Janeiro em 2012. Após a remoção de um pilar do 9º

andar da estrutura durante uma reforma, o colapso foi total.

Figura 4 – Sequencia das imagens do acidente em Kansas City

4

Figura 5 – Antes e depois do acidente no Edifício Liberdade

2. OBJETIVO

Este trabalho tem como objetivo apresentar o tema colapso progressivo,

mostrando suas definições, causas, prevenções, princípios de projeto e métodos de

análise. Por fim, foi usado como exemplo de estudo uma edificação de 12 andares em

concreto armado. Ela foi primeiramente dimensionada de acordo com as normas

brasileiras e depois analisada e dimensionada de forma que resista ao colapso

progressivo quando um elemento estrutural vertical é removido.

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Para este trabalho foram usadas principalmente as seguintes referências:

General Services Administration (GSA) (2013), projetos finais de BAÍA (2014), e

MENEZES (2014) e artigo de LARANJEIRAS (2010).

5

O primeiro documento foi desenvolvido por uma agência governamental

americana e visa principalmente evitar o colapso de estruturas devido a ataques

terroristas. Os seguintes dois textos expõem o tema e analisam uma estrutura contra o

colapso progressivo. O último apresenta uma introdução ao assunto, com definições,

causas, métodos e estudos de caso.

4. COLAPSO PROGRESSIVO

4.1. Definição

O GSA (2013) define o colapso progressivo como “a extensão de um dano ou

colapso, desproporcional à magnitude do evento inicial”. A ASCE 7-05 (2005) define o

colapso progressivo como “a propagação de uma falha inicial local de elemento para

elemento, eventualmente resultando no colapso de uma estrutura como um todo ou de

uma parte desproporcionalmente grande desta”.

Então, o colapso progressivo, ou colapso desproporcional, é identificado

quando um dano inicial, interno ou externo, se propaga para o resto da estrutura

gerando consequentes falhas em outros elementos estruturais, que não foram

projetados para resistir às solicitações dessa situação.

Ainda de acordo com o GSA (2013), o colapso progressivo é caracterizado

quando atinge não somente os elementos estruturais diretamente ligados ao elemento

inutilizado, se estendendo por mais de um vão. Para o NIST – National Institute of

Standards and Tecnology – (2007), o colapso progressivo vai além de 100 m² e dois

pavimentos do dano.

6

Figura 6 – Limites para o colapso não progressivo (planta)

Figura 7 – Limites para o colapso não progressivo (corte)

7

4.2. Causas

As três principais causas do colapso desproporcional são os erros de projeto

ou de construção, as ações variáveis abusivas e ações excepcionais.

Os erros de projeto e de construção são as principais causas de colapsos em

edifícios. Eles podem ocorrer mesmo com profissionais de qualidade e quando se

utilizam normas de projeto e construção adequadas. Eles podem ser minimizados por

uma melhor supervisão e controle e gestão de qualidade.

As ações variáveis abusivas levam a esforços não previstos nos projetos. Essa

sobrecarga inadequada, mesmo com a majoração dos esforços e minoração da

resistência, pode causar a falha de elementos estruturais.

As ações excepcionais são, por exemplo, explosão de gás e de bombas,

colisão de veículos e aviões, incêndio, transporte e estocagem de materiais perigosos

e ações ambientais extremas. As construções de edificações que resistam a tais

impactos são bem mais caras e por isso não são cogitadas em prédios usuais.

4.3. Princípios de projeto

Um edifício projetado para resistir ao colapso progressivo tem como objetivo

resistir aos esforços por um tempo mínimo para a evacuação das pessoas e atuação

de bombeiros, policiais e médicos para salvar o maior número possível de vidas. Um

princípio fundamental para se evitar esse tipo de colapso é a robustez estrutural, que

garanta maior resistência a explosões, colisões, incêndios e erros humanos. Ela é

obtida através das seguintes medidas:

Continuidade: garante uma melhor redistribuição vertical e horizontal

das cargas pela estrutura, além de prover resistência a possíveis

inversões de esforços, o que é muito comum na perda de um pilar. Para

isso, nas ligações entre vigas e pilares as armaduras superiores e

8

inferiores devem ser contínuas. Além disso, sem continuidade não há

redundância;

Redundância: oferece alternativas para a redistribuição dos esforços.

Ao se ter um apoio danificado, ela oferece alternativas de redistribuição

das cargas para outros apoios. Por isso, o espaçamento entre os pilares

da estrutura em pórtico é limitado e as vigas de transição devem ser

evitadas;

Ductilidade: capacidade de plastificação da estrutura, o que permite a

sustentação de cargas mesmo com grandes deformações. Segundo

LARANJEIRAS (2010), os pilares cintados suportam maiores

deformações (encurtamentos) antes de atingir o colapso total, por isso

têm grande importância na prevenção de colapsos progressivos e seu

uso deveria ser resgatado e estimulado.

Figura 8 – Diferença entre um pilar não cintado e cintado

Outros princípios também devem ser adotados:

Amarrações: a conectividade ao longo de toda a estrutura feita com

amarrações em diferentes direções dá ao sistema estrutural a

9

possibilidade de caminhos alternativos para transferência de cargas,

segundo MENEZES (2014);

Resistência ao esforço cortante: a ruptura por esforço cortante tem

característica frágil, por isso os elementos estruturais devem ser

dimensionados para que rompam antes por flexão.

Como o custo para tornar uma estrutura resistente ao colapso desproporcional

aumenta, fica ainda distante a adoção de tais medidas para edifícios usuais.

5. MÉTODOS DE ANÁLISE

Existem dois métodos de análise do colapso progressivo, o método indireto e o

método direto. Ambos foram explicitados a seguir em diferentes itens, dando ênfase

ao método direto, que é o método utilizado para a análise do modelo neste trabalho.

5.1. Método Indireto

O método indireto é uma aproximação simplificada para dar a estrutura um

nível mínimo de conectividade entre os diversos componentes estruturais. Nesse

método não é necessária uma análise adicional da estrutura. Ele é recomendado pelas

normas inglesas desde 1970, depois do acidente de Ronan Point.

O método é um nível básico de proteção contra o colapso progressivo,

fornecendo uma condição mínima de resistência, continuidade e ductilidade à

estrutura através de uma série de critérios como um bom layout em planta, sistema

estrutural redundante, entre outras. O principal deles é um sistema de amarrações.

São as amarrações verticais, longitudinais, transversais e periféricas que garantem

uma estrutura mais contínua, dúctil e com caminhos alternativos para a transferência

dos esforços.

10

Figura 9 – Sistema de amarrações no método indireto

5.2. Método direto

Diferentemente do método anterior, o método direto se baseia na análise de

situações específicas. Existem dois tipos de métodos diretos, que serão explicitados

nos itens a seguir.

5.2.1. Método da Resistência Local Específica (MRLE)

O Método da Resistência Local Específica (MRLE) se baseia na análise de

situações excepcionais, obtendo a resistência contra o colapso progressivo pelo

aumento de resistência dos elementos principais a essa determinada ação.

Assim, no MRLE é definida a causa do colapso, como explosão de bombas ou

de gás e impactos de veículos, e os elementos estruturais são dimensionados para

essa específica ação excepcional prevista, garantindo a integridade da estrutura. Para

esse dimensionamento são necessárias análises dinâmicas não lineares, tornando o

método pouco prático.

11

5.2.2. Método dos Caminhos Alternativos de Carga (MCAC)

O Método dos Caminhos Alternativos de Carga (MCAC) tem como objetivo

projetar a estrutura para que ela possa transferir os esforços em torno de um

determinado local de ruptura.

Então, no MCAC a estrutura é dimensionada para resistir à perda de um

importante elemento de sustentação do edifício. Ele é utilizado pela maioria das

instituições governamentais americanas, como o GSA (2013), na prevenção de

colapsos desproporcionais por não necessitar da descrição da causa do colapso nem

de analises não lineares, tornando-o mais prático. Por isso, ele foi utilizado nesse

trabalho na análise do modelo.

Com a utilização do MCAC a estrutura se torna mais dúctil, redundante e

contínua, com propriedades de absorver energia, reduzindo a possibilidade de um

colapso progressivo.

Para a aplicação do método, primeiro a estrutura deve ser dimensionada de

forma convencional para a combinação do estado limite último. Depois, os pilares da

estrutura são retirados, um de cada vez, em posições estratégicas para ser feita uma

nova análise. Com o novo modelo, os novos esforços são analisados através de uma

combinação específica conforme indica o GSA (2013). Esses esforços são

comparados com as resistências últimas das peças e através de um critério de

aceitação podemos concluir se elas têm risco minimizado de sofrer colapso

desproporcional ou se elas têm grande risco de sofrer esse tipo de colapso. Correndo

risco de sofrer esse colapso, os elementos estruturais devem ser novamente

dimensionados.

O GSA (2013) recomenda que em sendo os pilares retirados, não se perca a

continuidade da estrutura mesmo com a perda de apoio, transferindo-se as cargas

para os elementos adjacentes. Além disso, os pilares devem ser retirados nos cantos

12

das fachadas, adjacentes aos de canto, próximos à metade do maior e menor lado em

planta, assim como pilares internos próximos à metade de cada lado.

Figura 10 – Forma correta de remoção dos pilares

Figura 11 – Pilares a serem removidos

13

A análise dos resultados dos modelos sem um pilar é feita através da

verificação da Relação Demanda-Capacidade (RDC). O valor do RDC é dado por:

𝑅𝐷𝐶 = 𝑄𝑢𝑑

𝑄𝑐𝑒

Sendo: Qud – esforço (demanda) no elemento estrutural (momento fletor (Md), força

axial (Nd) e cortante (Vd)) na combinação do GSA e Qce – capacidade máxima

resistente esperada em serviço do elemento.

Para calcularmos a capacidade máxima resistente em serviço para o momento

fletor (Mu) das vigas, primeiramente calculamos a profundidade da linha neutra (x)

considerando a resistência do concreto e do aço em serviço, conforme a GSA (2013),

e em seguida calculamos o momento último da viga, Mu, como sugere LONGO (2014),

também utilizando a resistência do aço em serviço:

𝑥 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘

0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘

𝑀𝑢 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥)

Sendo: As a área de aço, b a base da viga e d a altura útil.

Para calcularmos o cortante último, Vu, fazemos da mesma maneira que o

momento. Consideramos a resistência do aço e do concreto em serviço e substituímos

na fórmula do cortante Vsd por Vu.

𝐴𝑠𝑤

𝑠=

𝑉𝑢 − 𝑉𝑐

0,9. 𝑑. 𝑓𝑦𝑘

O esforço normal último dos pilares é calculado através dos ábacos. Com a

armadura calculada no dimensionamento para o estado limite último, temos o valor de

w:

𝑤 =𝐴𝑠 × 𝑓𝑦𝑑

𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑

Sendo: b e h as dimensões do pilar em corte.

14

E com o momento (MGSA) encontrado no modelo sem o pilar para a combinação

GSA encontramos o valor de µ:

µ =𝑀𝐺𝑆𝐴

𝑏 × ℎ² × 𝑓𝑐𝑑

Entrando com esses valores no ábaco obtemos o valor de 𝜂 para que assim

tenhamos o valor do esforço normal último (Nu):

𝑁𝑢 = 𝜂 × 𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑

Valores de RDC maiores que 2,0 significam grandes riscos de sofrer sérios

danos ou até o mesmo o colapso. Nesse caso, os elementos devem ser

redimensionados. Valores entre 1,0 e 2,0 significam que o esforço pode ser

redistribuído para os outros elementos estruturais.

6. MODELO A SER ANALISADO

Na estrutura estudada foi analisada a capacidade de um edifício de concreto

armado resistir ao colapso progressivo. Para isso, os elementos estruturais foram

dimensionados de forma convencional conforme a NBR 6118 (2014) para o estado

limite último. Em seguida, utilizando o método dos Caminhos Alternativos de Carga

(MCAC), foram retirados pilares da estrutura para ser feita a análise contra o colapso

progressivo de forma linear estática. Essa análise foi feita com a utilização do

“software” SAP2000 (2009), com um modelo de elementos finitos em 3D.

6.1. Geometria

O modelo estudado foi um edifício de 12 pavimentos com lajes, vigas e pilares

de concreto armado. São 24 pilares espaçados em 6 metros com 6 linhas e 4 colunas,

como mostrado na Figura 12, com pé direito de 3 m. Desses 24 pilares, 2 são pilares

paredes situados na caixa de elevadores. A área total do pavimento é de 530 m². Os

pavimentos são compostos por escritórios, assim tendo fins comerciais. Os pilares tem

seção de 30 cm x 60 cm, os pilares parede tem seção de 15 cm x 300 cm, as vigas de

15 cm x 50 cm e a laje possui espessura de 10 cm.

15

Figura 12 – Planta de formas do pavimento tipo – unidades em cm (sem

escala)

6.2. Materiais

Os materiais utilizados no dimensionamento da estrutura foram o concreto C40 e

o aço CA-50.

O concreto possui as seguintes características:

Resistência característica à compressão (fck):

𝑓𝑐𝑘 = 40 𝑀𝑃𝑎

16

Módulo de elasticidade secante (Ecs), conforme NBR 6118(2014):

𝐸𝑐𝑠 = 0,85 × 5600 × √𝑓𝑐𝑘 = 0,85 × 5600 × √40 = 30104,88 𝑀𝑃𝑎

O aço CA-50 possui tensão de escoamento característica de fyk = 500 MPa e o

concreto armado possui peso específico de 25 kN/m³.

6.3. Carregamentos e combinações

6.3.1. Carregamentos

As cargas consideradas no modelo foram:

Peso próprio: carga permanente já calculada pelo próprio programa;

Revestimento: carga permanente considerada igual a 0,5 kN/m²;

Peso próprio das paredes: carga permanente considerando paredes de

alvenaria de 15 cm de espessura, pé direito de 3 m e peso específico do

tijolo de 13 kN/m³, sendo essa carga aplicada sobre as vigas:

𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 = 13 × 3 × 0,15 = 5,85 𝑘𝑁/𝑚

Sobrecarga: carga acidental considerada igual a 2 kN/m² em todo o

pavimento, conforme indicado na norma NBR 6120 (1980) para

escritórios.

As cargas horizontais de imperfeições geométricas e de vento não foram

consideradas no modelo por simplificação.

6.3.2. Combinações

No programa serão utilizadas 3 tipos de combinações:

Estado limite último (ELU): para o dimensionamento convencional da

estrutura

𝐸𝐿𝑈 = 1,4 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 + 1,4 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠

= 1,4 × 𝑝𝑝 + 1,4 × 𝑟𝑒𝑣 + 1,4 × 𝑝𝑝𝑎 + 1,4 × 𝑠𝑐

Sendo: pp-peso próprio, rev-revestimento, ppa-peso próprio das paredes e sc-

sobrecarga.

Estado limite de serviço (ELS):

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𝐸𝐿𝑆 = 1,0 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 + 0,3 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠

= 1,0 × 𝑝𝑝 + 1,0 × 𝑟𝑒𝑣 + 1,0 × 𝑝𝑝𝑎 + 0,3 × 𝑠𝑐

Combinação para a análise do Método dos Caminhos Alternativos de

Carga e cálculo da Relação Demanda-Capacidade (RDC) indicada no

GSA (2013):

𝐺𝑆𝐴 = 2,0 × (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 + 0,25 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠)

= 2,0 × 𝑝𝑝 + 2,0 × 𝑟𝑒𝑣 + 2,0 × 𝑝𝑝𝑎 + 0,5 × 𝑠𝑐

Esta combinação foi utilizada quando os pilares forem removidos em cada

caso. O fator de multiplicação 2,0 é utilizado para considerar o efeito dinâmico devido

à remoção instantânea do pilar e o fator de multiplicação 0,25 das cargas acidentais é

utilizado porque dificilmente o edifício estará em plena capacidade simultaneamente à

carga de remoção do pilar.

6.4. Modelo computacional

O modelo foi desenvolvido com os dados acima apresentados, como mostrado

na Figura 13. As vigas e os pilares foram modelados como elementos lineares com

seções respectivamente de 15 cm x 50 cm e 30 cm x 60 cm. As lajes e os pilares

parede foram modelados como elementos de casca com uma malha de elementos

finitos de 60 cm x 60 cm. Como as fundações não são objeto de estudo desse

trabalho, os pilares foram considerados como apoiados em sua base, assumindo que

não haja recalques nas fundações.

18

Figura 13 – Modelo computacional desenvolvido no programa SAP2000

6.5. Casos estudados

Primeiramente, a estrutura foi dimensionada de forma convencional para o

estado limite último e depois foi feito um estudo da estrutura considerando o colapso

progressivo. Para isso, os pilares foram retirados um de cada vez para a análise da

estrutura. Os pilares retirados foram P1, P5, P9, P6 e P10, nessa ordem, conforme

mostrado na Figura 14. O P9 foi escolhido por ser o pilar mais solicitado da maior

fachada, o P1 por ser um pilar de canto, o P5 por ser o pilar adjacente ao de canto e o

P6 e P10 por serem pilares internos.

Em cada caso, foram analisadas as vigas e os pilares adjacentes ao pilar

removido, porque é nessa região onde são esperadas as maiores diferenças nas

19

solicitações e inclusive a inversão de sinal do momento fletor nas vigas. Também

foram comparados os esforços normais de todos os pilares antes e depois da remoção

dos pilares. Além disso, para impedir a propagação de danos estruturais, é essencial

que os elementos adjacentes tenham resistência suficiente para resistir àquelas

diferenças. Nessa análise, foi feito o cálculo do RDC para verificar a resistência dos

elementos estruturais e a comparação dos esforços antes e depois da remoção do

pilar para a análise do Método dos Caminhos Alternativos de Carga.

Figura 14 - Pilares a serem retirados - unidades em cm (sem escala)

20

Tabela 1 – Vigas e pilares a serem analisadas em cada caso

Pilar removido Vigas adjacentes a serem analisadas Pilares adjacentes a serem analisados

P1 V1, V2, V7 e V8 P2, P5 e P6

P5 V1, V2, V3, V7 e V8 P1, P2, P6, P9 e P10

P9 V2, V3, V4, V7 e V8 P5, P6, P10, P13 e P14

P6 V1, V2, V3, V7, V8 e V9 P1, P2, P3, P5, P7, P9 e P10

P10 V2, V3, V4, V7, V8 e V9 P5, P6, P7, P9, P13 e P14

7. ANÁLISE CONVENCIONAL

Como dito no item anterior, primeiramente a estrutura foi dimensionada de

forma convencional com a combinação de Estado Limite Último, a partir de resultados

obtidos do “software” SAP2000. Também foi calculada a capacidade máxima

resistente das vigas e dos pilares. Para simplificação, os elementos foram

dimensionados para o maior valor encontrado da solicitação correspondente,

repetindo-se o dimensionamento para os demais elementos da estrutura.

7.1. Vigas

7.1.1. Dimensionamento ao momento fletor

Devido à combinação ELU, o maior momento positivo encontrado no modelo foi

de 75,8 kNm, como mostrado na Figura 15, na viga V9 do 12º pavimento.

21

Figura 15 – Maior momento positivo encontrado (kNm)

Assim, segue-se o dimensionamento:

𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑

𝑏 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑=

75,8

0,15 × 0,452 × 400001,4⁄

= 0,08

Sendo: Md o momento de cálculo, b a base, d a altura útil da viga. Pela tabela de KMD

temos que:

𝐾𝑧 = 0,95

𝐴𝑠 = 𝑀𝑑

𝐾𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑=

75,8

0,95 × 0,45 × 501,15⁄

= 4,08 𝑐𝑚2

Então, será adotado para todas as vigas um 𝐴𝑠+ = 5 𝑐𝑚² (4ϕ12,5), que é maior

que a armadura encontrada.

22

Devido à combinação ELU, o maior momento negativo encontrado no modelo

foi de 165,6 kNm, como mostrado na Figura 16, na viga V5 do 11º pavimento.

Figura 16 – Maior momento negativo encontrado (kNm)

Assim, segue-se o dimensionamento:

𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑

𝑏 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑=

165,6

0,15 . 0,452. 400001,4⁄

= 0,191

𝐾𝑧 = 0,872

𝐴𝑠 = 𝑀𝑑

𝐾𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑=

165,6

0,872 . 0,45 . 501,15⁄

= 9,71 𝑐𝑚2

Então, foi adotado para todas as vigas um 𝐴𝑠− = 10 𝑐𝑚² (8ϕ12,5), que é maior

que a armadura encontrada.

23

Além disso, o diagrama de momentos fletores não foi decalado e as armaduras

positivas e negativas se estenderão ao longo de toda a viga para atender a prática de

continuidade e ductilidade que possibilitam caminhos alternativos de carga e que são

essenciais ao combate contra o colapso progressivo.

7.1.2. Dimensionamento ao esforço cortante

Devido à combinação ELU, o maior esforço cortante encontrado no modelo foi

de 118,92 kN, como mostrado na Figura 17, na viga V9 do 11º pavimento. Segundo a

norma NBR 6118 (2014), o cortante máximo pode ser reduzido adotando-se o valor a

d/2 da face do apoio. Dessa maneira, conforme Figura 18, o cortante reduzido foi igual

a 113,245 kN.

Figura 17 – Posição do maior esforço cortante encontrado

24

Figura 18 – Cortante máximo reduzido a d/2 do apoio (kN)

Verificação da compressão diagonal do concreto:

𝛼𝑣2 = 1 −𝑓𝑐𝑘

250= 1 −

40

250= 0,84

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 . 𝛼𝑣2 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑑 = 0,6 × 1,75 × 0,15 × 0,45 × 103 = 70,88 𝑘𝑁

Sendo: bw a base e d a altura útil da viga. Assim, a armadura por metro (Asw/s) é:

𝐴𝑠𝑤

𝑠=

𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐

0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑=

113,245 − 70,88

0,9 × 0,45 ×50

1,15

= 2,4𝑐𝑚2

𝑚

1 𝑟𝑎𝑚𝑜 = 2,4

2= 1,2 𝑐𝑚²/𝑚 (∅6,3 c 25)

A armadura mínima é igual a:

𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 . 𝑓𝑐𝑘

2

3 = 0,3 × 402

3 = 3,51 𝑀𝑃𝑎

𝜌𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 0,2 .𝑓𝑐𝑡,𝑚

𝑓𝑦𝑤𝑘= 0,2 ×

3,51

500= 0,14%

𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛

𝑠= 𝜌𝑤 𝑚𝑖𝑛 . 𝑏𝑤 . sin 𝛼 =

0,14

100× 15 × 100 = 2,1 𝑐𝑚²/𝑚 (∅6,3 c 15)

Assim a armadura adotada foi a mínima, que corresponde a ∅6,3 c 15.

Além disso, os estribos se estenderão ao longo de toda a viga, inclusive nas

regiões de encontro com os pilares, para atender à prática de continuidade e

ductilidade que possibilitam caminhos alternativos de carga e que são essenciais ao

combate contra o colapso progressivo.

7.1.3. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para as vigas

Como dito anteriormente, para calcularmos a capacidade máxima resistente

para o momento fletor (Mu), calculamos a profundidade da linha neutra (x)

considerando a resistência do concreto e do aço em serviço, conforme a GSA (2013):

25


0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=

5,0 × 50

0,68 × 0,15 × 40000= 0,06 𝑚

Sendo: As a área de aço e b a base da viga.

Com o valor da linha neutra podemos calcular o momento último da viga, Mu,

como sugere LONGO (2014), também utilizando a resistência do aço em serviço:

𝑀𝑢 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 5,0 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,06) = 106,5 𝑘𝑁𝑚

Sendo: d a altura útil.

Para o momento negativo, a linha neutra, x, e momento último da viga, Mu são:


0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=

10,0 × 50

0,68 × 0,15 × 40000= 0,12 𝑚

𝑀𝑢 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 10,0 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,12) = 201,0 𝑘𝑁𝑚

Para calcularmos o cortante último, Vu, fazemos da mesma maneira que o

momento. Consideramos a resistência do aço e do concreto em serviço e substituímos

na fórmula do cortante Vsd por Vu.

𝐴𝑠𝑤

𝑠=


0,9. 𝑑. 𝑓𝑦𝑘

2,1 =𝑉𝑢 − 70,88

0,9 × 0,45 × 50

𝑉𝑢 = 113,41 𝑘𝑁

7.2. Pilares

7.2.1. Dimensionamento

Devido à combinação ELU, a maior força de compressão, Nd, encontrada no

modelo foi de 4478,7 kN, como mostrado na Figura 19, no pilar P18. Como a estrutura

é simétrica, a mesma carga é encontrada no pilar P6.

26

Figura 19 – Maior força de compressão encontrada (kN)

Como não foram consideradas as cargas horizontais, os momentos nos pilares

são pequenos, sendo menores que os momentos mínimos de primeira ordem. Por

isso, estes foram calculados e utilizados no dimensionamento. Com esses valores, os

pilares foram dimensionados para a flexão composta reta nas duas direções com

armadura simétrica ao longo da base de 60 cm.

Figura 20 – Seção do pilar – medidas em cm (sem escala)

27

𝑁𝑑 = −4478,7 𝑘𝑁

𝑀1𝑑 𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03. ℎ) = 4478,7 × (0,015 + 0,03 × 0,3) = 107,49 𝑘𝑁𝑚

𝑀1𝑑 𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03. 𝑏) = 4478,7 × (0,015 + 0,03 × 0,6) = 147,8 𝑘𝑁𝑚

A armadura mínima (Asmin) vale:

𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 =0,15 × 𝑁𝑑

𝑓𝑦𝑑≥ 0,4% 𝐴𝑐

Sendo: Ac a área de concreto da seção do pilar.

𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 =0,15 × 4478,7

501,15⁄

= 15,45 𝑐𝑚2 > 0,4% × 30 × 60 = 7,2 𝑐𝑚2

E a armadura máxima é igual a:

𝐴𝑠,𝑚á𝑥 = 4% × 𝐴𝑐 = 0,04 × 30 × 60 = 72 𝑐𝑚²

Calculando a flexão composta reta em x (b=60 cm e h=30 cm), temos:

𝜂 =𝑁𝑑

(𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = −4478,7(0,6 × 0,3 × 40.000/1,4)⁄ = −0,871

𝜇 =𝑀𝑑

(𝑏 × ℎ2 × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = 107,49(0,6 × 0,32 × 40.000/1,4)⁄ = 0,07

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑′ = 0,05𝑚 → 𝑑′

ℎ= 0,166 ~ 0,15 ; 𝑆𝑒çã𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 1 → Á𝑏𝑎𝑐𝑜 3

𝜔 = 0,16 (á𝑏𝑎𝑐𝑜)

𝐴𝑠 =𝜔 . 𝑏 . ℎ . 𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑=

0,16 × 0,6 × 0,3 × 400001,4⁄

501,15⁄

= 18,93 𝑐𝑚2

E para a flexão composta reta em y (b=30 cm e h=60 cm), obtemos:

𝜂 =𝑁𝑑

(𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = −4478,7(0,3 × 0,6 × 40.000/1,4)⁄ = −0,871

𝜇 =𝑀𝑑

(𝑏 × ℎ2 × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = 107,49(0,3 × 0,62 × 40.000/1,4)⁄ = 0,048

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑′ = 0,05𝑚 → 𝑑′

ℎ= 0,083 ~ 0,15 ; 𝑆𝑒çã𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 3 → Á𝑏𝑎𝑐𝑜 11

𝜔 = 0,09 (á𝑏𝑎𝑐𝑜)

𝐴𝑠 =𝜔 . 𝑏 . ℎ . 𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑=

0,09 × 0,3 × 0,6 × 400001,4⁄

501,15⁄

= 10,6 𝑐𝑚2

28

Assim, a flexão composta reta crítica é em x e a armadura adotada é 8φ20

(25,1 cm²).

7.2.2. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para os pilares

Como o esforço normal último dos pilares depende do momento encontrado na

combinação GSA, ele será calculado para cada pilar nos diferentes casos estudados,

apresentados nas seções seguintes.

8. CASO 1: RETIRADA DO PILAR P1

Nesse caso, foi retirado o pilar P1 para análise. Foi utilizado o mesmo modelo

desenvolvido no programa de elementos finitos SAP2000 (2009) com exceção do pilar

P1, conforme a Figura 21.

Figura 21 – Modelo com o pilar P1 removido

Como dito no item 6.5, os elementos a serem analisados nesse caso serão as

vigas: V1, V2, V7 e V8 e os pilares P2, P5 e P6. Os elementos estruturais analisados

foram as vigas e em seguida os pilares.

29

8.1. Análise das vigas

Nesta seção, as vigas foram analisadas da seguinte forma: primeiro os

momentos fletores, comparando-os com os da análise convencional, calculando o

RDC. Por último foi estudada uma armadura especial contra o colapso progressivo.

Depois, foram analisados os esforços cortantes, comparando-os com os da análise

convencional e calculando o RDC para a estrutura.

As figuras a seguir ilustram os diagramas dos momentos fletores na estrutura

antes e depois da remoção do P1 para a combinação GSA.

Figura 22 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V1 antes da

remoção (a) e depois (b)

30





31



A partir das figuras anteriores, nota-se que as maiores diferenças nos

momentos fletores se deram nas vigas V1 e V7, no encontro do pilar P1. É possível,

inclusive, visualizar a inversão dos momentos nessas vigas. Nas vigas V2 e V8, os

esforços não tiveram grandes variações, se mantendo praticamente os mesmos.

A partir destes diagramas foram considerados os maiores valores dos

momentos, positivos e negativos, por andar em cada uma das quatro vigas. Com

esses valores e com o seu momento último, como mostrado no item 7.1.3, foram

calculados os RDC para cada andar de cada uma das vigas, como mostrado nas

tabelas a seguir.

Tabela 2 – Valor para o RDC da viga V1

PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu

(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu

(-) (kNm) RDC

1 213,3 106,5 2,00 não OK 361,6 201 1,80 OK

2 228,5 106,5 2,15 não OK 375,7 201 1,87 OK

3 204,3 106,5 1,92 OK 352,7 201 1,75 OK

4 188,0 106,5 1,77 OK 336,6 201 1,67 OK

32




(-) (kNm) RDC

1 73,5 106,5 0,69 OK 144,0 201 0,72 OK

2 69,4 106,5 0,65 OK 166,0 201 0,83 OK

3 70,0 106,5 0,66 OK 167,6 201 0,83 OK




(-) (kNm) RDC

1 163,4 106,5 1,53 OK 313,5 201 1,56 OK

2 211,2 106,5 1,98 OK 354,8 201 1,77 OK

3 188,0 106,5 1,77 OK 333,5 201 1,66 OK




(-) (kNm) RDC

1 81,1 106,5 0,76 OK 136,6 201 0,68 OK

2 72,6 106,5 0,68 OK 133,8 201 0,67 OK

3 74,1 106,5 0,70 OK 129,0 201 0,64 OK

Nas tabelas 2 a 5 foram omitidos os andares cujo resultado do RDC foi menor

que 2,0 visto que esse valor tende a diminuir nos pavimentos superiores, juntamente

com o valor do momento, demonstrando que os andares superiores correm menos

risco de sofrer o efeito do colapso progressivo. Isso se os outros elementos dos

andares inferiores foram capazes de resistir ao colapso desproporcional.

Como foi mostrado nas figuras 23 e 25, onde foram comparados os momentos

antes e depois da retirada do pilar, as vigas V2 e V8 não sofreram grandes mudanças

nos momentos. Por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do RDC maior ou

igual a 2,0.

Para as vigas V1 e V7 percebemos que o RDC só foi maior que o limite para os

momentos positivos da viga V1. Isso se deve ao fato de que sem o pilar P1, houve

uma inversão no diagrama de momentos, aumentando expressivamente o momento

33

positivo, a ponto da armadura calculada não ser suficiente para suportá-lo. Os

momentos negativos também aumentaram de valor, porém esse aumento não foi

suficiente para que o valor do RDC fosse maior que 2,0. Além disso, a armadura

negativa sendo maior que a positiva, também influenciou para que o valor do RDC

fosse menor que o limite. Porém, como os valores para o momento positivo foram

maiores que 2,0, essa viga corre alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme

critério do GSA (2013).

Contra o colapso desproporcional, pode ser adotada uma armadura, tanto na

face inferior quanto na face superior das vigas nas regiões de apoio dos pilares.

LONGO (2014) recomenda que ela possa ser estimada considerando: um braço de

alavanca z = 0,9d, sendo d a altura útil da viga, o diagrama retangular de tensões de

compressão no concreto e a posição da linha neutra x = 0,25d. Para essas

considerações, o momento fletor de cálculo, Md, é:

𝑀𝑑 = 0,153 × 𝑏 × 𝑑² × 𝑓𝑐𝑑

Sendo: b a base e d a altura útil da seção da viga.

Assim a armadura contra o colapso progressivo é

𝐴𝑠 𝐶𝑃 = 𝑀𝑑

𝑧 × 𝑓𝑦𝑑

No presente caso temos

𝑀𝑑 = 0,153 . 𝑏 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑 = 0,153 . 0,15 . 0,452.40000

1,4= 132,8 𝑘𝑁𝑚

𝐴𝑠 𝐶𝑃 = 𝑀𝑑

𝑧 × 𝑓𝑦𝑑=

132,8

0,9 × 0,45 × 50/1,15 = 7,5 𝑐𝑚²

Assim, foi adotado uma armadura contra o colapso progressivo de 4ϕ16

(8,0 cm²) na face inferior das vigas.

Refazendo os cálculos para acharmos o novo momento último positivo para as

vigas, com a armadura contra o colapso progressivo temos


0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=

8,0 × 50

0,68 × 0,15 × 40000= 0,10 𝑚

34

𝑀𝑢+ = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 8,0 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,10) = 164 𝑘𝑁𝑚

Com esse novo valor, atualizamos os valores do RDC para os momentos

positivos das vigas V1 e V7.

Tabela 6 – Valores atualizados do RDC para as vigas V1 e V7

PAVIMENTO VIGA V1 com arm. CP VIGA V7 com arm. CP

MMÁX(+) (kNm) Mu

(+) (kNm) RDC MMÁX(+) (kNm) Mu

(+) (kNm) RDC

1 213,3 164,0 1,30 OK 313,5 164,0 1,91 OK

2 228,5 164,0 1,39 OK 211,2 164,0 1,29 OK

3 204,3 164,0 1,25 OK 188,0 164,0 1,15 OK

A partir da Tabela 6, nota-se que com a armadura contra o colapso

progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem um

risco menor de sofrer colapso desproporcional.

As figuras a seguir ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas antes

e após a remoção do pilar P1 para a combinação GSA.

Figura 26 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V1 antes da


35





36



A partir das figuras anteriores, nota-se que as maiores diferenças nos esforços

cortantes se deram nas vigas V1 e V7, no encontro do pilar P1. É possível, inclusive,

visualizar a não inversão do cortante nessas vigas. Nas vigas V2 e V8, os esforços

cortantes não tiveram grandes variações, se mantendo praticamente os mesmos.

A partir do modelo foram considerados os maiores valores em módulo dos

cortantes por andar de cada uma das quatro vigas. Com esses valores e com o seu

cortante último, como mostrado no item 7.1.3, foram calculados os RDC para cada

andar de cada uma das vigas, como mostrado nas tabelas a seguir.


PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu

(kN) RDC

1 167,7 113,4 1,48 OK

2 171,8 113,4 1,51 OK

3 163,6 113,4 1,44 OK

37



(kN) RDC

1 137,8 113,4 1,22 OK

2 145,8 113,4 1,29 OK

3 146,3 113,4 1,29 OK



(kN) RDC

1 148,1 113,4 1,31 OK

2 163,6 113,4 1,44 OK

3 155,8 113,4 1,37 OK



(kN) RDC

1 120,9 113,4 1,07 OK

2 133,5 113,4 1,18 OK

3 131,4 113,4 1,16 OK

Nas tabelas anteriores foram omitidos os andares superiores ao terceiro porque

em todos os casos o resultado do RDC foi menor que 2,0, demonstrando que as vigas,

com relação ao cortante, correm menos risco de sofrer colapso progressivo.

Como foi constatado nas figuras 27 e 29, as vigas V2 e V8 não sofreram

grandes mudanças nos seus valores de cortante, por isso elas tiveram os menores

valores do RDC.

Para as vigas V1 e V7 percebemos que os cortantes aumentaram de valor,

porém esse aumento não foi suficiente para que o valor do RDC fosse maior que 2,0.

Por isso, como os valores foram menores que o limite, essas vigas, através de seus

valores de cortante, tem risco minimizado de sofrer colapso progressivo, conforme

critério do GSA (2013) e não serão necessárias armaduras contra o colapso

desproporcional.

38

8.2. Análise dos pilares

Nesta seção, primeiramente os pilares foram analisados calculando-se o valor

do RDC para os pilares adjacentes como descrito no item 7.2.2. Depois disso, foi

verificada a redistribuição dos esforços verticais, analisando a carga em cada pilar

antes e depois da remoção.

Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para os pilares adjacentes.

Tabela 11 – Valor do RDC para os pilares

PILAR NGSA (kN) MGSA (kNm) µ η Nu (kN) RDC

P2 4732,7 244,3 0,158 0,54 2777,1 1,70 OK

P5 4818,2 170,0 0,110 0,79 4052,6 1,19 OK

P6 5232,6 0,3 0,000 1,08 5554,3 0,94 OK

A partir Tabela 11 concluímos que nenhum dos pilares corre grande risco de

sofrer colapso progressivo já que o RDC não foi maior ou igual a 2,0 em nenhum caso.

Mesmo com o aumento da carga normal e do momento fletor, os pilares foram

capazes de suportar esses esforços.

Na Tabela 12, estão os esforços normais antes e depois da remoção do pilar

P1, ambos na combinação GSA para melhor comparação.

39

Tabela 12 – Comparação dos esforços normais antes e depois da remoção do pilar P1

PILAR Nd antes da

remoção (kN) Nd depois da remoção (kN)

Aumento de carga (%)

P1 2280,9 - -

P2 3434,8 4732,7 37,8

P3 3441,2 3523,6 2,4

P4 2202,0 2169,9 -1,5

P5 3601,9 4818,2 33,8

P6 5117,6 5232,6 2,2

P7 4989,3 4975,1 -0,3

P8 3416,0 3303,9 -3,3

P9 3611,8 3610,2 0,0

P10 5072,7 5057,1 -0,3

P11 - - -

P12 1960,8 1786,1 -8,9

P13 3611,8 3658,7 1,3

P14 5072,7 5079,1 0,1

P15 - - -

P16 1960,8 1855,1 -5,4

P17 3601,9 3624,5 0,6

P18 5117,6 5124,3 0,1

P19 4989,3 5016,3 0,5

P20 3416,0 3395,8 -0,6

P21 2280,9 2247,7 -1,5

P22 3434,8 3384,8 -1,5

P23 3441,2 3371,0 -2,0

P24 2202,0 2122,7 -3,6

Da Tabela 12 podemos observar que todas as variações foram menores que

10%, exceto nos pilares exatamente adjacentes ao pilar retirado. Assim, fica

comprovada que a redistribuição dos esforços se dá nos elementos adjacentes ao pilar

removido e também que a redundância é uma diretriz contra o colapso progressivo.

Nesses pilares, P2 e P5, esse aumento foi cerca de 35%. Como foi dito anteriormente,

mesmo com essa variação, o RDC foi menor que o limite e os pilares têm menos risco

de sofrer colapso progressivo.

40







As figuras a seguir ilustram a diferença dos momentos fletores nas vigas. Como

visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças nos momentos se notam nas vigas

que encontram o pilar removido.

41





42

A partir das figuras anteriores, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas,

principalmente na viga V7. Nessa viga, a remoção do pilar P5 fez com que o vão

dobrasse de tamanho, aumentando, principalmente, o valor do momento positivo.




(-) (kNm) RDC

1 47,6 106,5 0,45 OK 105,4 201 0,52 OK

2 44,1 106,5 0,41 OK 117,0 201 0,58 OK

3 44,7 106,5 0,42 OK 44,7 201 0,22 OK




(-) (kNm) RDC

1 187,0 106,5 1,76 OK 393,3 201 1,96 OK

2 196,7 106,5 1,85 OK 403,2 201 2,01 não OK

3 164,4 106,5 1,54 OK 164,4 201 0,82 OK




(-) (kNm) RDC

1 73,3 106,5 0,69 OK 137,4 201 0,68 OK

2 69,7 106,5 0,65 OK 160,5 201 0,80 OK

3 70,3 106,5 0,66 OK 70,3 201 0,35 OK




(-) (kNm) RDC

1 242,7 106,5 2,28 não OK 349,1 201 1,74 OK

2 258,3 106,5 2,43 não OK 385,1 201 1,92 OK

3 236,7 106,5 2,22 não OK 236,7 201 1,18 OK

4 224,6 106,5 2,11 não OK 349,5 201 1,74 OK

5 212,8 106,5 2,00 OK 338,0 201 1,68 OK

43




(-) (kNm) RDC

1 85,9 106,5 0,81 OK 143,1 201 0,71 OK

2 76,2 106,5 0,72 OK 129,1 201 0,64 OK

3 77,9 106,5 0,73 OK 77,9 201 0,39 OK

Como já dito, as vigas V1, V3 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus

valores de momentos, por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do RDC

maior que o limite.

Na viga V2 o RDC somente foi maior que o limite em um andar para o

momento negativo. Isso se deve ao fato de que o pilar P5 é um pilar de extremidade

dessa viga, não aumentando expressivamente o momento positivo e sim o momento

negativo. Além disso, como o valor do RDC foi próximo de 2,0, isso mostra que a

armadura negativa é grande e que foi quase capaz de suportar a perda de um pilar.

O maior dano foi na viga V7. O RDC foi maior que 2,0 nos quatro primeiros

andares, apenas no momento positivo. Como, o pilar P5 é um pilar no meio da viga,

isso fez com que o vão dobrasse de tamanho, aumentando notavelmente o momento

positivo. Juntamente com a pequena armadura positiva da viga, isso fez com que a

viga não fosse capaz de suportar a remoção do pilar. Assim, as vigas V2 e V7

possuem alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme o critério do GSA (2013).

Adotando uma armadura contra o colapso progressivo de 4∅20 (12,6 cm²) na

face superior das vigas, verificaremos o valor do RDC. Para isso, primeiramente

vamos calcular o momento último negativo, para podermos analisar a viga V7. Após

isso, será apresentada uma tabela com os novos valores do RDC.


0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=

12,6 × 50

0,68 × 0,15 × 40000= 0,15 𝑚

𝑀𝑢− = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 12,6 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,15) = 245,7 𝑘𝑁𝑚

44



MMÁX(-) (kNm) Mu

(-) (kNm) RDC MMÁX(+) (kNm) Mu

(+) (kNm) RDC

1 393,3 245,7 1,60 OK 242,7 164,0 1,48 OK

2 403,2 245,7 1,64 OK 258,3 164,0 1,58 OK

3 - - - 236,7 164,0 1,44 OK

4 - - - 224,6 164,0 1,37 OK




As figuras seguintes ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas.

Como visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças do esforço cortante se

notam nas vigas que encontram o pilar removido.



45



A partir das figuras anteriores, nota-se a não inversão do cortante nessas

vigas. Na viga V2, como o pilar P5 é um pilar de extremidade, o vão correspondente

ficou apenas com cortante positivo e no caso da viga V7, como o vão dobrou de

tamanho, ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.



(kN) RDC

1 85,1 113,4 0,75 OK

2 88,7 113,4 0,78 OK

3 89,4 113,4 0,79 OK



(kN) RDC

1 205,9 113,4 1,82 OK

2 210,3 113,4 1,85 OK

3 198,5 113,4 1,75 OK

46



(kN) RDC

1 136,1 113,4 1,20 OK

2 144,2 113,4 1,27 OK

3 145,0 113,4 1,28 OK



(kN) RDC

1 167,1 113,4 1,47 OK

2 186,7 113,4 1,65 OK

3 178,8 113,4 1,58 OK



(kN) RDC

1 127,2 113,4 1,12 OK

2 128,6 113,4 1,13 OK

3 130,3 113,4 1,15 OK

As vigas V1, V3 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de

cortante, por isso elas tiveram os menores valores do RDC.


porém esse aumento não foi suficiente para que o valor do RDC desse maior que 2,0.


valores de cortante, tem risco minimizado de sofrer colapso desproporcional, conforme


progressivo.


Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para todos os pilares adjacentes.

47



P1 3480,3 117,0 0,076 0,88 4500,0 0,77 OK

P2 3545,3 49,4 0,032 0,98 5040,0 0,70 OK

P6 6337,1 280,9 0,182 0,38 1954,3 3,24 não OK

P9 4893,5 163,3 0,106 0,80 4114,3 1,19 OK

P10 5222,9 2,7 0,002 1,06 5451,4 0,96 OK

A partir dela concluímos que apenas o pilar P6 corre grande risco de sofrer

colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento da viga é

transferido para o pilar e já que a viga V2 apresentou um grande aumento no valor

desse esforço, o valor do momento no pilar P6 é grande, diminuindo o esforço normal

último e consequentemente aumentando o RDC. Para que o risco de sofrer colapso

progressivo seja minimizado, precisamos adotar uma armadura de 40,8 cm²,

diminuindo o valor do RDC para 1,98.

Na tabela seguinte, seguem os esforços normais antes e depois da remoção do

pilar P5, ambos na combinação GSA para melhor comparação.

48


PILAR Nd antes da



P1 2280,9 3480,3 52,6

P2 3434,8 3545,3 3,2

P3 3441,2 3442,2 0,0

P4 2202,0 2099,0 -4,7

P5 3601,9 - -

P6 5117,6 6337,1 23,8

P7 4989,3 5000,0 0,2

P8 3416,0 3295,6 -3,5

P9 3611,8 4893,5 35,5

P10 5072,7 5222,9 3,0

P11 - - -

P12 1960,8 1774,9 -9,5

P13 3611,8 3584,8 -0,7

P14 5072,7 5059,8 -0,3

P15 - - -

P16 1960,8 1849,7 -5,7

P17 3601,9 3616,4 0,4

P18 5117,6 5117,4 0,0

P19 4989,3 4996,5 0,1

P20 3416,0 3397,0 -0,6

P21 2280,9 2303,3 1,0

P22 3434,8 3449,7 0,4

P23 3441,2 3432,2 -0,3

P24 2202,0 2185,7 -0,7





Nesses pilares, P1, P6 e P9, esse aumento foi de 52,6%, 23,8% e 35,5%,

respectivamente.

49




P9, ver a Figura 35.






50





51

A partir das figuras acima, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas,

principalmente na viga V7. Nessa viga, a remoção do pilar P9 fez com que o vão

dobrasse de tamanho, aumentando, principalmente, o valor do momento positivo.




(-) (kNm) RDC

1 75,1 106,5 0,71 OK 140,5 201 0,70 OK

2 70,4 106,5 0,66 OK 161,8 201 0,80 OK

3 71,1 106,5 0,67 OK 164,1 201 0,82 OK




(-) (kNm) RDC

1 195,2 106,5 1,83 OK 395,7 201 1,97 OK

2 204,8 106,5 1,92 OK 407,7 201 2,03 não OK

3 172,0 106,5 1,62 OK 377,2 201 1,88 OK




(-) (kNm) RDC

1 73,5 106,5 0,69 OK 133,0 201 0,66 OK

2 69,7 106,5 0,65 OK 155,0 201 0,77 OK

3 70,5 106,5 0,66 OK 157,6 201 0,78 OK




(-) (kNm) RDC

1 237,3 106,5 2,23 não OK 341,2 201 1,70 OK

2 238,5 106,5 2,24 não OK 372,1 201 1,85 OK

3 225,1 106,5 2,11 não OK 350,4 201 1,74 OK

4 212,1 106,5 1,99 OK 338,5 201 1,68 OK




(-) (kNm) RDC

1 79,0 106,5 0,74 OK 127,8 201 0,64 OK

2 70,1 106,5 0,66 OK 124,9 201 0,62 OK

3 71,8 106,5 0,67 OK 126,7 201 0,63 OK

52

Como já dito, as vigas V2, V4 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus

valores de momentos. Por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do RDC

maior ou igual a 2,0.

Na viga V3 o RDC somente foi maior que o limite em um andar no momento

negativo. Isso se deve ao fato de que o pilar P9 é um pilar de extremidade dessa viga,

não aumentando expressivamente o momento positivo e sim o momento negativo.

Além disso, como o valor do RDC foi próximo de 2,0, isso mostra que a armadura

negativa é grande e que foi quase capaz de suportar a perda de um pilar.

O maior dano foi na viga V7. O RDC foi maior que 2,0 nos três primeiros

andares, apenas no momento positivo. Como o pilar P9 é um pilar no meio da viga,

isso fez com que o vão dobrasse de tamanho, aumentando notavelmente o momento

positivo. Juntamente com a pequena armadura positiva da viga, isso fez com que a

viga não fosse capaz de suportar a remoção do pilar. Assim, as vigas V3 e V7

possuem alto risco de sofrer colapso desproporcional, conforme critério do GSA

(2013).

Utilizando a armadura contra o colapso progressivo que é de 4ϕ20 para M(-) e

4ϕ16 para M(+), verificaremos o valor do RDC após a utilização dessa armadura.



MMÁX(-) (kNm) MMÁX

(-) (kNm) RDC MMÁX(+) (kNm) Mu

(+) (kNm) RDC

1 395,7 245,7 1,61 OK 237,3 164,0 1,45 OK

2 407,7 245,7 1,66 OK 238,5 164,0 1,45 OK

3 - - - 225,1 164,0 1,37 OK


desproporcional, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem

um risco menor de sofrer colapso progressivo.

53

As figuras a seguir ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas. Como

visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças do esforço cortante se notam nas

vigas que encontram o pilar removido.





54


vigas. Na viga V3, como o pilar P9 é um pilar de extremidade, o vão correspondente

ficou apenas com cortante positivo e no caso da viga V7, como o vão dobrou de

tamanho, ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.



(kN) RDC

1 138,5 113,4 1,22 OK

2 145,4 113,4 1,28 OK

3 146,0 113,4 1,29 OK



(kN) RDC

1 205,6 113,4 1,81 OK

2 211,9 113,4 1,87 OK

3 200,4 113,4 1,77 OK



(kN) RDC

1 134,3 113,4 1,18 OK

2 141,8 113,4 1,25 OK

3 142,7 113,4 1,26 OK



(kN) RDC

1 165,4 113,4 1,46 OK

2 172,9 113,4 1,52 OK

3 165,6 113,4 1,46 OK

55



(kN) RDC

1 113,7 113,4 1,00 OK

2 121,3 113,4 1,07 OK

3 121,7 113,4 1,07 OK

As vigas V2, V4 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de

cortante, por isso elas tiveram os menores valores do RDC.


porém esse aumento não foi suficiente para que o valor do RDC fosse maior que 2,0.


valores de cortante, tem risco minimizado de sofrer colapso desproporcional, conforme


progressivo.





P5 4862,5 166,6 0,108 0,78 4011,4 1,21 OK

P6 5263,0 14,0 0,009 1,04 5348,6 0,98 OK

P10 6269,0 286,1 0,185 0,38 1954,3 3,21 não OK

P13 4852,8 158,3 0,103 0,80 4114,3 1,18 OK

P14 5221,2 11,7 0,008 1,04 5348,6 0,98 OK

A partir Tabela 37 concluímos que apenas o pilar P10 corre grande risco de

sofrer colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento da viga é




56


diminuindo o valor do RDC para 1,98.

Na tabela seguinte, seguem os esforços normais antes e depois da remoção do



PILAR Nd antes da



P1 2280,9 2279,3 -0,1

P2 3434,8 3415,4 -0,6

P3 3441,2 3441,8 0,0

P4 2202,0 2131,2 -3,2

P5 3601,9 4862,5 35,0

P6 5117,6 5263,0 2,8

P7 4989,3 4996,5 0,1

P8 3416,0 3331,7 -2,5

P9 3611,8 0,0 -

P10 5072,7 6269,0 23,6

P11 - - -

P12 1960,8 1804,5 -8,0

P13 3611,8 4852,8 34,4

P14 5072,7 5221,2 2,9

P15 - - -

P16 1960,8 1827,3 -6,8

P17 3601,9 3575,3 -0,7

P18 5117,6 5102,3 -0,3

P19 4989,3 4998,0 0,2

P20 3416,0 3364,0 -1,5

P21 2280,9 2326,4 2,0

P22 3434,8 3438,8 0,1

P23 3441,2 3435,4 -0,2

P24 2202,0 2156,6 -2,1





57

Nesses pilares, P5, P10 e P13, esse aumento foi de 35,0%, 23,6% e 34,4%,

respectivamente.




P6, ver a Figura 40.






58





59

A partir das figuras acima, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas. A

remoção do pilar P6 fez com que os vãos dobrassem de tamanho, aumentando,

principalmente, o valor do momento negativo.




(-) (kNm) RDC

1 47,7 106,5 0,45 OK 80,8 201 0,40 OK

2 44,2 106,5 0,42 OK 100,5 201 0,50 OK

3 45,3 106,5 0,43 OK 108,9 201 0,54 OK




(-) (kNm) RDC

1 258,4 106,5 2,43 não OK 442,4 201 2,20 não OK

2 250,3 106,5 2,35 não OK 479,8 201 2,39 não OK

3 222,5 106,5 2,09 não OK 456,9 201 2,27 não OK

4 204,2 204,2 1,92 OK 446,1 201 2,22 não OK

5 193,4 193,4 1,82 OK 435,2 201 2,17 não OK

6 184,2 184,2 1,73 OK 426,1 201 2,12 não OK

7 176,4 176,4 1,66 OK 418,4 201 2,08 não OK

8 170,1 170,1 1,60 OK 412,2 201 2,05 não OK

9 165,2 165,2 1,55 OK 407,5 201 2,03 não OK

10 159,7 159,7 1,50 OK 402,9 201 2,00 não OK

11 159,9 159,9 1,50 OK 408,0 201 2,03 não OK

12 144,4 144,4 1,36 OK 361,7 201 1,80 OK




(-) (kNm) RDC

1 76,2 106,5 0,72 OK 131,7 201 0,66 OK

2 72,0 106,5 0,68 OK 159,3 201 0,79 OK

3 72,8 106,5 0,68 OK 167,4 201 0,83 OK




(-) (kNm) RDC

1 54,7 106,5 0,51 OK 82,4 201 0,41 OK

2 47,2 106,5 0,44 OK 82,5 201 0,41 OK

3 48,8 106,5 0,46 OK 86,1 201 0,43 OK

60




(-) (kNm) RDC

1 211,0 106,5 1,98 OK 369,9 201 1,84 OK

2 219,7 106,5 2,06 não OK 411,7 201 2,05 não OK

3 193,2 106,5 1,81 OK 380,4 201 1,89 OK




(-) (kNm) RDC

1 87,3 106,5 0,82 OK 144,7 201 0,72 OK

2 77,3 106,5 0,73 OK 132,9 201 0,66 OK

3 79,3 106,5 0,74 OK 135,4 201 0,67 OK

Como já dito, as vigas V1, V3, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos

seus valores de momentos, por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do

RDC maior ou igual a 2,0.

Por P6 ser um pilar interno, nas vigas V2 e V8, ele fez com que o vão dobrasse

de tamanho, aumentando principalmente o momento negativo. Na viga V8, o RDC foi

maior que o limite em apenas um andar, para ambos os momentos. O grande número

de vãos da viga V8 concede a ela maior resistência à perda do pilar. Por isso, mesmo

com o dobro do vão, o valor do RDC está próximo de 2,0 e ela quase foi capaz de

suportar a perda do pilar P6.

Já na viga V2 o dano foi muito maior. Apenas no último andar o RDC foi menor

que o limite no momento negativo, porque a viga V2 possui menos vãos, apenas 2,

isso oferece a ela menos resistência do que a viga V8. Mesmo com a maior armadura

negativa da viga, ela não foi capaz de suportar a remoção do pilar. Com relação ao

momento positivo, nos 3 primeiros andares o RDC foi maior que 2,0. Isso mostra que o

aumento do momento positivo não foi tão grande e que a pequena armadura positiva

das vigas quase fez com que a viga fosse capaz de suportar a perda de um apoio.

61

Assim, as vigas V2 e V8 possuem alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme




Tabela 45 – Valores atualizados do RDC para as vigas V2

VIGA V2 com arm. CP



(-) (kNm) RDC

1 258,4 164,0 1,58 OK 442,4 245,7 1,80 OK

2 250,3 164,0 1,53 OK 479,8 245,7 1,95 OK

3 222,5 164,0 1,36 OK 456,9 245,7 1,86 OK

4 - - - - 446,1 245,7 1,82 OK

5 - - - - 435,2 245,7 1,77 OK

6 - - - - 426,1 245,7 1,73 OK

7 - - - - 418,4 245,7 1,70 OK

8 - - - - 412,2 245,7 1,68 OK

9 - - - - 407,5 245,7 1,66 OK

10 - - - - 402,9 245,7 1,64 OK

11 - - - - 408,0 245,7 1,66 OK


VIGA V8 com arm. CP



(-) (kNm) RDC

1 211,0 164,0 1,29 OK 369,9 245,7 1,51 OK

2 219,7 164,0 1,34 OK 411,7 245,7 1,68 OK

A partir das tabelas 45 e 46, nota-se que com a armadura contra o colapso

desproporcional, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem

um risco menor de sofrer colapso progressivo.




62





63


vigas. Como o pilar P6 é um pilar interno, os vãos das vigas V2 e V8 dobraram de

tamanho e ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.



(kN) RDC

1 77,7 113,4 0,69 OK

2 83,8 113,4 0,74 OK

3 86,5 113,4 0,76 OK



(kN) RDC

1 257,2 113,4 2,27 não OK

2 268,3 113,4 2,37 não OK

3 259,3 113,4 2,29 não OK

4 254,5 113,4 2,24 não OK

5 249,9 113,4 2,20 não OK

6 246,0 113,4 2,17 não OK

7 242,7 113,4 2,14 não OK

8 240,0 113,4 2,12 não OK

9 238,0 113,4 2,10 não OK

10 236,2 113,4 2,08 não OK

11 237,6 113,4 2,10 não OK

12 221,7 113,4 1,95 OK



(kN) RDC

1 129,5 113,4 1,14 OK

2 139,3 113,4 1,23 OK

3 142,9 113,4 1,26 OK



(kN) RDC

1 71,3 113,4 0,63 OK

2 78,0 113,4 0,69 OK

3 79,9 113,4 0,70 OK

64



(kN) RDC

1 210,6 113,4 1,86 OK

2 242,3 113,4 2,14 não OK

3 230,3 113,4 2,03 não OK

4 226,5 113,4 2,00 OK

5 222,2 113,4 1,96 OK



(kN) RDC

1 129,0 113,4 1,14 OK

2 130,7 113,4 1,15 OK

3 132,3 113,4 1,17 OK

As vigas V1, V3, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de

cortante, por isso elas tiveram em nenhum caso o valor do RDC maior ou igual a 2,0.


de tamanho, aumentando os valores do cortante. Na viga V8, o RDC foi maior que o

limite em dois andares. Já na viga V2 o dano foi muito maior. Apenas no último andar

o RDC foi menor que 2,0. Assim como P6 é um pilar interno, as V2 e V8 também são

vigas internas e por linha de influência atraem mais carga para si. Aliado a isso está a

pequena armadura ao cortante, que foi calculada como a mínima. Por isso, essas

vigas não foram capazes de suportar a perda do pilar e possuem alto risco de sofrer

colapso progressivo, conforme critério do GSA (2013).

Contra o colapso desproporcional, pode ser adotada uma armadura maior, ao

longo de toda a viga, para aumentar a armadura do cortante. Podemos adotar uma

armadura de ∅8 c 12,5 (4,0 cm²/m). Com esse novo valor, primeiramente calculamos o

cortante último resistente e após isso atualizamos os valores do RDC para as vigas V2

e V8.

65

𝐴𝑠𝑤

𝑠=


0,9. 𝑑. 𝑓𝑦𝑘

4,0 =𝑉𝑢 − 70,88

0,9 × 0,45 × 50

𝑉𝑢 = 151,88 𝑘𝑁



QMÁX (kN) Vu (kN) RDC QMÁX (kN) Vu

(kN) RDC

1 257,2 151,88 1,69 OK 210,6 151,88 1,39 OK

2 268,3 151,88 1,77 OK 242,3 151,88 1,60 OK

3 259,3 151,88 1,71 OK 230,3 151,88 1,52 OK

4 254,5 151,88 1,68 OK - - - -

5 249,9 151,88 1,65 OK - - - -

6 246,0 151,88 1,62 OK - - - -

7 242,7 151,88 1,60 OK - - - -

8 240,0 151,88 1,58 OK - - - -

9 238,0 151,88 1,57 OK - - - -

10 236,2 151,88 1,56 OK - - - -

11 237,6 151,88 1,56 OK - - - -


progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem

risco minimizado de sofrer colapso desproporcional.





P1 2393,6 101,4 0,066 0,90 4628,6 0,52 OK

P2 4496,3 0,9 0,001 1,08 5554,3 0,81 OK

P3 3566,1 0,2 0,000 1,08 5554,3 0,64 OK

P5 4813,1 502,5 0,326 0,38 1954,3 2,46 não OK

P7 6224,1 278,2 0,180 0,38 1954,3 3,18 não OK

P9 3758,7 159,2 0,103 0,80 4114,3 0,91 OK

P10 6270,0 16,2 0,011 1,04 5348,6 1,17 OK

66

A partir Tabela 54 concluímos que apenas os pilares P5 e P7 correm grande

risco de sofrer colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento

da viga é transferido para o pilar e já que a viga V2 apresentou um grande aumento no

valor desse esforço, o valor do momento nos pilares P5 e P7 é grande, diminuindo o

esforço normal último e consequentemente aumentando o RDC. Para que o risco de

sofrer colapso progressivo seja minimizado, precisamos adotar uma armadura de

91,08 cm², fazendo com que o valor do RDC seja menor que 2,0 em ambos os pilares.

Porém, essa armadura equivale a uma taxa de 5% da área de concreto, que é maior

que a permitida pela norma 6118 (2014) de 4%. Assim, nesse caso seria melhor

aumentarmos a seção do pilar para que o risco de ocorrer colapso desproporcional

seja minimizado.

Na tabela a seguir, seguem os esforços normais antes e depois da remoção do


67


PILAR Nd antes da



P1 2280,9 2393,6 4,9

P2 3434,8 4496,3 30,9

P3 3441,2 3566,1 3,6

P4 2202,0 2188,9 -0,6

P5 3601,9 4813,1 33,6

P6 5117,6 - -

P7 4989,3 6224,1 24,7

P8 3416,0 3414,5 0,0

P9 3611,8 3758,7 4,1

P10 5072,7 6270,0 23,6

P11 - - -

P12 1960,8 1967,4 0,3

P13 3611,8 3596,4 -0,4

P14 5072,7 4987,5 -1,7

P15 - - -

P16 1960,8 1953,9 -0,4

P17 3601,9 3601,7 0,0

P18 5117,6 5118,7 0,0

P19 4989,3 4992,6 0,1

P20 3416,0 3414,7 0,0

P21 2280,9 2287,5 0,3

P22 3434,8 3441,1 0,2

P23 3441,2 3446,9 0,2

P24 2202,0 2207,0 0,2





Nesses pilares, P2, P5, P7 e P10, esse aumento foi de 30,9%, 33,6%, 24,7% e 23,6%,

respectivamente.

68










69





70

A partir das figuras acima, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas. A

remoção do pilar P10 fez com que os vãos dobrassem de tamanho, aumentando,

principalmente, o valor do momento negativo.




(-) (kNm) RDC

1 78,0 106,5 0,73 OK 134,2 201 0,67 OK

2 72,9 106,5 0,68 OK 161,4 201 0,80 OK

3 73,5 106,5 0,69 OK 170,2 201 0,85 OK




(-) (kNm) RDC

1 234,9 106,5 2,21 não OK 443,3 201 2,21 não OK

2 245,0 106,5 2,30 não OK 486,0 201 2,42 não OK

3 227,4 106,5 2,14 não OK 463,7 201 2,31 não OK

4 214,8 106,5 2,02 não OK 453,1 201 2,25 não OK

5 203,6 106,5 1,91 OK 442,6 201 2,20 não OK

6 193,9 106,5 1,82 OK 433,7 201 2,16 não OK

7 185,7 106,5 1,74 OK 426,2 201 2,12 não OK

8 179,1 106,5 1,68 OK 420,0 201 2,09 não OK

9 173,8 106,5 1,63 OK 415,4 201 2,07 não OK

10 169,9 106,5 1,60 OK 410,9 201 2,04 não OK

11 170,7 106,5 1,60 OK 416,5 201 2,07 não OK

12 150,6 106,5 1,41 OK 367,9 201 1,83 OK




(-) (kNm) RDC

1 76,2 106,5 0,72 OK 131,7 201 0,66 OK

2 72,1 106,5 0,68 OK 160,0 201 0,80 OK

3 72,9 106,5 0,68 OK 168,7 201 0,84 OK




(-) (kNm) RDC

1 51,1 106,5 0,48 OK 80,7 201 0,40 OK

2 44,6 106,5 0,42 OK 76,5 201 0,38 OK

3 45,9 106,5 0,43 OK 80,6 201 0,40 OK

71




(-) (kNm) RDC

1 225,9 106,5 2,12 não OK 384,7 201 1,91 OK

2 223,5 106,5 2,10 não OK 408,8 201 2,03 não OK

3 200,7 106,5 1,88 OK 382,5 201 1,90 OK




(-) (kNm) RDC

1 81,0 106,5 0,76 OK 135,2 201 0,67 OK

2 77,8 106,5 0,73 OK 134,1 201 0,67 OK

3 76,2 106,5 0,72 OK 135,3 201 0,67 OK

Como já dito, as vigas V2, V4, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos

seus valores de momentos, por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do

RDC maior ou igual a 2,0.

Por P10 ser um pilar interno, nas vigas V3 e V8, ele fez com que o vão

dobrasse de tamanho. Na viga V8, o RDC foi maior que o limite no primeiro e segundo

andares, o momento positivo no primeiro e em ambos os momentos no segundo. O

grande número de vãos da viga V8 concede a ela maior resistência à perda do pilar.

Por isso, mesmo com o dobro do vão, o valor do RDC deu próximo de 2,0 e ela quase

foi capaz de suportar a perda do pilar P10.

Já na viga V3 o dano foi muito maior. Apenas no último andar o RDC foi menor

que o limite, no momento negativo porque a viga V3 possui menos vãos, apenas dois,

isso oferece a ela menos resistência do que a viga V8. Mesmo com a maior armadura

negativa da viga, ela não foi capaz de suportar a remoção do pilar. Com relação ao

momento positivo, nos três primeiros andares o RDC foi maior que 2,0. Isso mostra

que o aumento do momento positivo não foi tão grande e que a pequena armadura

positiva das vigas quase fez com que a viga fosse capaz de suportar a perda do pilar.

72

Assim, as vigas V3 e V8 possuem alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme





VIGA V3 com arm. CP



(-) (kNm) RDC

1 234,9 164,0 1,43 OK 443,3 245,7 1,80 OK

2 245,0 164,0 1,49 OK 486,0 245,7 1,98 OK

3 227,4 164,0 1,39 OK 463,7 245,7 1,89 OK

4 214,8 164,0 1,31 OK 453,1 245,7 1,84 OK

5 - - - - 442,6 245,7 1,80 OK

6 - - - - 433,7 245,7 1,77 OK

7 - - - - 426,2 245,7 1,73 OK

8 - - - - 420,0 245,7 1,71 OK

9 - - - - 415,4 245,7 1,69 OK

10 - - - - 410,9 245,7 1,67 OK

11 - - - - 416,5 245,7 1,70 OK


VIGA V8 com arm. CP



(-) (kNm) RDC

1 225,9 164,0 1,38 OK 384,7 245,7 1,57 OK

2 223,5 164,0 1,36 OK 408,8 245,7 1,66 OK

A partir das tabelas 62 e 63, nota-se que com a armadura contra o colapso






73





74


vigas. Como o pilar P10 é um pilar interno, os vãos das vigas V3 e V8 dobraram de

tamanho e ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.



(kN) RDC

1 131,9 113,4 1,16 OK

2 141,0 113,4 1,24 OK

3 144,8 113,4 1,28 OK



(kN) RDC

1 255,3 113,4 2,25 não OK

2 269,3 113,4 2,37 não OK

3 260,7 113,4 2,30 não OK

4 256,3 113,4 2,26 não OK

5 252,1 113,4 2,22 não OK

6 248,4 113,4 2,19 não OK

7 245,4 113,4 2,16 não OK

8 242,9 113,4 2,14 não OK

9 241,0 113,4 2,13 não OK

10 239,2 113,4 2,11 não OK

11 241,1 113,4 2,13 não OK

12 223,5 113,4 1,97 OK



(kN) RDC

1 129,6 113,4 1,14 OK

2 139,6 113,4 1,23 OK

3 143,5 113,4 1,27 OK



(kN) RDC

1 71,1 113,4 0,63 OK

2 75,1 113,4 0,66 OK

3 75,9 113,4 0,67 OK

75



(kN) RDC

1 201,7 113,4 1,78 OK

2 212,2 113,4 1,87 OK

3 201,9 113,4 1,78 OK



(kN) RDC

1 150,4 113,4 1,33 OK

2 144,1 113,4 1,27 OK

3 143,8 113,4 1,27 OK

As vigas V2, V4, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de

cortante, por isso elas tiveram em nenhum caso o valor do RDC maior ou igual a 2,0.


de tamanho, aumentando os valores do cortante. Porém, a viga V8 não teve o valor de

RDC maior que o limite em nenhum andar. Já na viga V2 o dano foi muito maior.

Apenas no último andar o RDC foi menor que 2,0. Assim como P10 é um pilar interno,

a V3 também é uma viga interna e por linha de influência atraem mais carga para si.

Aliado a isso está à pequena armadura ao cortante, que foi calculada como a mínima.

Por isso, essa viga não foi capaz de suportar a perda do pilar e possui alto risco de

sofrer colapso progressivo, conforme critério do GSA (2013).

Utilizando a armadura contra o colapso progressivo que é de ϕ8 c 12,5,

verificaremos o valor do RDC após a utilização dessa armadura.

76

Tabela 70 – Valores atualizados do RDC para a viga V3

PAVIMENTO VIGA V3 com arm. CP

QMÁX (kN) Vu (kN) RDC

1 255,3 151,88 1,68 OK

2 269,3 151,88 1,77 OK

3 260,7 151,88 1,72 OK

4 256,3 151,88 1,69 OK

5 252,1 151,88 1,66 OK

6 248,4 151,88 1,64 OK

7 245,4 151,88 1,62 OK

8 242,9 151,88 1,60 OK

9 241,0 151,88 1,59 OK

10 239,2 151,88 1,57 OK

11 241,1 151,88 1,59 OK


progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem

risco minimizado de sofrer colapso desproporcional.


Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para todos os pilares.



P5 3755,0 162,2 0,105 0,80 4114,3 0,91 OK

P6 6346,7 28,6 0,019 1,01 5194,3 1,22 OK

P7 5122,5 20,2 0,013 1,00 5142,9 1,00 OK

P9 4851,9 503,8 0,327 0,38 1954,3 2,48 não OK

P13 3765,7 159,3 0,103 0,80 4114,3 0,92 OK

P14 6318,9 15,4 0,010 1,04 5348,6 1,18 OK

A partir dela concluímos que apenas o pilar P9 corre grande risco de sofrer

colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento da viga é



77



diminuindo o valor do RDC para 1,98. Porém, essa armadura equivale a uma taxa de

4,5% da área de concreto, que é maior que a permitida pela norma 6118 (2014) de

4%. Assim, nesse caso seria melhor aumentarmos a seção do pilar para que o risco

de ocorrer colapso desproporcional seja minimizado.

Na tabela a seguir, estão os esforços normais antes e depois da remoção do


Tabela 72 – Comparação dos esforços normais antes e depois da remoção do pilar

P10

PILAR Nd antes da



P1 2280,9 2265,2 -0,7

P2 3434,8 3346,8 -2,6

P3 3441,2 3422,3 -0,5

P4 2202,0 2194,8 -0,3

P5 3601,9 3755,0 4,3

P6 5117,6 6346,7 24,0

P7 4989,3 5122,5 2,7

P8 3416,0 3410,8 -0,2

P9 3611,8 4851,9 34,3

P10 5072,7 - -

P11 - - -

P12 1960,8 2043,4 4,2

P13 3611,8 3765,7 4,3

P14 5072,7 6318,9 24,6

P15 - - -

P16 1960,8 1965,2 0,2

P17 3601,9 3588,7 -0,4

P18 5117,6 5030,0 -1,7

P19 4989,3 4954,9 -0,7

P20 3416,0 3409,7 -0,2

P21 2280,9 2287,3 0,3

P22 3434,8 3438,3 0,1

P23 3441,2 3443,9 0,1

P24 2202,0 2199,9 -0,1

78

Da tabela acima podemos observar que todas as variações foram menores que




Nesses pilares, P6, P9 e P14, esse aumento foi de 24%, 34,3%, e 24,6%,

respectivamente.

13. CONCLUSÃO

A partir dos casos estudados, percebemos que a estrutura dimensionada de

acordo com a norma NBR 6118 (2014) corre grande risco de sofrer colapso

progressivo, segundo o critério do GSA (2013). Os pilares e as vigas não foram

capazes de resistir aos esforços de um colapso desproporcional, porque o valor do

RDC foi maior que o limite estipulado, utilizando o método dos caminhos alternativos

de carga.

Analisando-se o momento fletor das vigas, os casos que causaram maior dano

na estrutura foram os casos dos pilares de meio de vão, porque o vão dobra de

tamanho e causa a inversão dos esforços, aumentando tanto o momento positivo o

que acarretou maiores danos nos casos dos pilares externos P5 e P9, quanto o

momento negativo, que causou maiores esforços nos casos dos pilares externos P6 e

P10. Para o esforço cortante foi verificado que o RDC foi maior que 2,0 apenas nas

situações onde os pilares retirados foram os internos, P6 e P10. Assim, as vigas não

impedem a propagação do efeito, caracterizando o colapso progressivo da estrutura.

Porém isso pode ser evitado com a adoção de armaduras maiores, contra o

colapso progressivo. Com essa nova configuração o sistema estrutural foi capaz de

resistir aos novos esforços solicitantes e também de redistribui-los. Além disso, o valor

da relação demanda-capacidade ficou abaixo do limite em todas as situações. Então

essa medida pode ser utilizada em edificações de concreto armado que resistam ao

79

colapso desproporcional. Nesses casos, a armadura deveria ser otimizada para que o

valor do RDC fosse próximo de 2,0, diminuindo o aumento do custo da estrutura.

Para os pilares, o único caso em que nenhum pilar apresentou RDC maior que

o limite foi o caso: retirada do pilar P1. Por ser um pilar de canto ele atrai menos carga

para si e aumenta pouco o esforço normal nos pilares adjacentes, que resistem ao

aumento desse esforço. Com relação aos outros casos, os piores foram os casos em

que o pilar retirado foi o interno, P6 e P10. Eles absorvem mais carga para si,

aumentando muito o esforço normal dos pilares adjacentes. Somente nesses casos

que a armadura, necessária para que o valor do RDC fosse menor que 2,0, é maior

que a taxa permitida pela norma. Assim, nesses casos seria melhor aumentar a seção

do pilar para que o risco do ocorrer colapso progressivo fosse minimizado. Além disso,

o caso: retirada do P6 foi o único caso em que 2 pilares apresentaram RDC maior que

o limite. Nos casos dos pilares externos P5 e P9, apenas um aumento da armadura é

necessário para que a estrutura corra menos risco de sofrer colapso desproporcional.

Mesmo que o risco de ocorrer colapso progressivo seja pequeno e que o custo

da estrutura aumente, a vida humana não tem preço e as estruturas devem ser

projetadas para preservar vidas. Por isso, o colapso progressivo deve ser introduzido

em nossas normas para que se dê maior atenção a ele no Brasil.

14. BIBLIOGRAFIA

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procedimento, 1980.

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