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Análise de ligações em asnas de madeira

Samuel Amorim Soares

Dissertação para obtenção do grau de mestre

Engenharia Civil

Orientador: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro

Júri

Presidente: Prof. Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientador: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro

Vogais: Prof. Augusto Martins Gomes

Julho 2014

i

Resumo

Sendo a reabilitação de estruturas um campo importante nos dias de hoje, é necessário ter o

máximo de informação da forma como actuam as estruturas mais antigas para conseguir obter

as melhores soluções para a reabilitação das mesmas.

Este trabalho faz o estudo da forma de transmissão dos entalhes tradicionais em estruturas de

asnas de madeira com enfâse no entalhe simples com um dente e no entalhe com dente

duplo. Este estudo foi efetuado através da utilização do programa de cálculo automático

SAP2000.

O trabalho expõe uma breve caracterização da madeira em termos das suas características

físicas e mecânicas. Os diferentes tipos de ligações usadas em estruturas de madeira também

são aboradadas neste trabalho: ligações tradicionais e ligações com conectores metálicos.

A compreensão dos modelos estruturais e dos resultados obtidos é complementada através de

figuras e gráficos e, também, a comparação de resultados obtidos para as diversas análises

efectuadas.

Palavras-chave:

Estruturas de madeira, ligações tradicionais em madeira, entalhe simples com um dente,

entalhe com dente duplo.

ii

Abstract

The rehabilitation of structures is one of the most importants fields nowadays making it

important to know the way that the older structures act and give the best solutions possible to

their rehabilitation.

This study consists to know the way that traditional joint of roof timber structures act with

emphasis to the birdsmouth joint with a single tooth and the birdsmouth joint with two teeth.

The analysis was done using the automatic calculation program SAP2000.

This paper presents a brief characterization of wood in terms of its physical and mechanical

characteristics. The diferents types of connections used in wood strctures are also refered in

this study: traditional joints and joints with metal connectors.

Figures and charts complement the understanding of the structural models and their results,

doing the comparison of the results for the multiple runs.

Key-words:

Timber structure, traditional timber joints, the birdsmouth joint with a single tooth, the

birdsmouth joint with two teeths.

iii

Agradecimentos

Em primeiro lugar queria agradecer aos meus pais que sem eles a conclusão deste trabalho

nunca poderia ter sido possível e, também, pelo ânimo que me foram dando durante este ano.

Ao professor Luis Guerreiro pela disponibilidade demonstrada e da prontidão com que sempre

me recebeu para o esclarecimento de qualquer problema.

Um agradecimento também ao resto da minha família e amigos que me conheceram e que

tive o privilégio de conhecer, não so durante a elaboração deste trabalho mas também ao

longo da minha vida académica. Uma mensão especial ao Pedro que sempre teve uma grande

disponibilidade para ajudar neste percurso académico.

iv

Índice

1. Introdução ............................................................................................................................. 1

1.1. Objetivo da dissertação ................................................................................................. 1

1.2. Organização da dissertação .......................................................................................... 1

2. Madeira, o material ............................................................................................................... 3

2.1. Estrutura da madeira .................................................................................................... 3

2.1.1. Células ................................................................................................................... 4

2.1.2. O plano lenhoso macroscópico ............................................................................. 4

2.2. Tipos de madeira ........................................................................................................... 7

2.2.1. Madeiras Resinosas ............................................................................................... 7

2.2.2. Madeiras Folhosas ................................................................................................. 7

2.3. Propriedades físicas....................................................................................................... 7

2.3.1. Higroscopia e Humidade ....................................................................................... 7

2.3.2. Densidade .............................................................................................................. 9

2.3.3. Retração ................................................................................................................ 9

2.3.4. Durabilidade Natural ........................................................................................... 10

2.3.5. Resistência ao fogo .............................................................................................. 10

2.4. Propriedades mecânicas ............................................................................................. 11

2.4.1. Valores característicos de elasticidade ............................................................... 12

2.4.2. Resistência à compressão longitudinal e transversal às fibras ........................... 13

2.4.3. Resistência à tração ............................................................................................. 14

2.4.4. Resistência à flexão ............................................................................................. 14

2.4.5. Resistência ao corte ............................................................................................ 14

2.4.6. Fendimento ......................................................................................................... 14

2.4.7. Dureza ................................................................................................................. 15

2.4.8. Fluência ............................................................................................................... 15

2.4.9. Resistência à Fadiga ............................................................................................ 16

2.4.10. Coeficiente de Poisson ........................................................................................ 17

2.5. Classificação da madeira ............................................................................................. 17

2.5.1. Classificação visual .............................................................................................. 17

2.5.2. Classificação mecânica ........................................................................................ 18

2.5.3. Classes de resistência .......................................................................................... 18

3. Soluções estruturais de cobertura ...................................................................................... 21

v

4. Ligações em estruturas de madeira .................................................................................... 23

4.1. Ligações tradicionais ................................................................................................... 23

4.2. Ligações modernas ...................................................................................................... 25

4.2.1. Ligações por pregagem ....................................................................................... 25

4.2.2. Ligações por parafusos de porca ......................................................................... 26

4.2.3. Ligações por parafusos correntes ....................................................................... 26

4.2.4. Ligação por cavilhas............................................................................................. 27

4.2.5. Ligadores de superfície ........................................................................................ 27

5. Modelos de cálculo em entalhes na ligação Linha e Perna de uma asna ........................... 29

5.1. Entalhe simples com um dente ................................................................................... 30

5.2. Entalhe com dente simples posterior ......................................................................... 33

5.3. Entalhe com dente duplo ............................................................................................ 34

6. Modelação e análise ............................................................................................................ 37

6.1. Introdução ................................................................................................................... 37

6.2. Características físicas e geométricas ........................................................................... 37

6.3. Análise não linear ........................................................................................................ 42

6.4. Análise e tratamento de resultados ............................................................................ 42

6.4.1. Entalhe simples ................................................................................................... 43

7. Conclusões........................................................................................................................... 60

7.1. Conclusões gerais. ....................................................................................................... 60

7.2. Desenvolvimentos futuros .......................................................................................... 60

8. Bibliografia .......................................................................................................................... 62

vi

Índice de Figuras Figura 1 - Esquema da parede celular de uma madeira resinosa (Core, H. et al., 1979) .............. 4

Figura 2 – Corte transversal do caule de uma árvore (LNEC E31 1955). ....................................... 5

Figura 3 – Crescimento anual da árvore do ponto de vista celular. Madeira de verão e

primavera. (Dupraz, P-A., et al. 2009) ........................................................................................... 6

Figura 4 – Direções principais da madeira. (Simões, A. Et al 2012) .............................................. 6

Figura 5 - Variação dimensional da madeira em função do teor em água. (Dupraz, P-A., et al.

2009) ............................................................................................................................................. 8

Figura 6 – Secção de uma viga de madeira lamelada colada, exposta ao fogo durante 30

minutos. (Pinto, E. 2004) ............................................................................................................. 11

Figura 7 - Relação entre o tempo de atuação das cargas e a resistência (Mateus, T. 1978) ...... 12

Figura 8 - Diagrama tensão/deformação para madeiras resinosas submetidas a esforços de

tração e de compressão paralelas às fibras. (Natterer, J., et al 1983) ........................................ 13

Figura 9. Esforços de compressão longitudinais, localizadas e transversais em relação às fibras.

(Natterer, J., et al 1983) .............................................................................................................. 13

Figura 10 – Deformações em função do tempo em dias. (Natterer, J., et al, 1983) ................... 15

Figura 11 - (a) Diagrama da carga em relação ao tempo; (b) Comportamento viscoelástico sob

carga constante. (Melo, R. & Menezzi, C., 2010) ....................................................................... 16

Figura 12 – Tipologia mais frequente de asnas de madeira (Branco, Santos, & Cruz 2010). ..... 21

Figura 13 – Ligação por respiga e mecha. ................................................................................... 24

Figura 14 – Entalhe em asnas de madeira. a) Dente simples anterior b) Dente simples posterior

c) Dente duplo (CECOBOIS 2012) ................................................................................................ 24

Figura 15 – Pregos Correntes. (Mendes, P.,1994) ....................................................................... 25

Figura 16 – Parafusos de porca. (Mendes, P.,1994) .................................................................... 26

Figura 17 – Parafusos correntes. (Mendes, P.,1994) .................................................................. 26

Figura 18 – Exemplo de ligação tipo cavilha. (ITABOLT) ............................................................. 27

Figura 19 – Pormenor de barras de perfil retangular e perfil T. (Mendes, P.,1994) ................... 28

Figura 20 – Esquema tradicional de ferragens para asnas de madeira. (Costa, F., 1955) .......... 28

Figura 21 – Tensão de compressão com um determinado ângulo em relação ao fio. (EN1995-1-

1, 2004) ....................................................................................................................................... 29

Figura 22 – Geometria e forças que atuam num entalhe simples. (Natterer, J., et al 2004) ...... 30

Figura 23 – Variação da transmissão das forças num entalhe simples. (Natterer, J., et al 2004)

..................................................................................................................................................... 31

Figura 24 – Decomposição do esforço de compressão N. (Natterer, J., et al 2004) ................... 32

Figura 25 – Largura da perna para o entalhe simples. (CECOBOIS 2012) ................................... 33

Figura 26 – Geometria e forças atuantes num entalhe com dente posterior. (Natterer, J., et al

2004) ........................................................................................................................................... 33

Figura 27 – Espaçamento necessário para que não exista fissuração devido à retracção.

(Natterer, J., et al 2004) .............................................................................................................. 34

Figura 28 – Geometria e forças atuantes num entalhe com dente duplo. (Natterer, J., et al

2004) ........................................................................................................................................... 35

Figura 29 – Modelação do entalhe simples com um dente – β = 30 , v = 0.15. .......................... 38

Figura 30 – Modelação do entalhe com dente duplo – β = 30 , v = 0.15. ................................... 39

Figura 31 – Pormenorização do entalhe simples – Sobreposição dos nós na superfície de

ligação dos elementos. ................................................................................................................ 39

vii

Figura 32 – Pormonerização do entalhe duplo – Sobreposição dos nós na superfície de ligação

dos elementos. ............................................................................................................................ 40

Figura 33 – Características das ligações na junção da perna à linha. Entalhe com um dente. ... 41

Figura 34 – Características das ligações na junção da perna à linha. Entalhe duplo. ................. 41

Figura 35 – Apoios existentes na modelação da asna................................................................. 41

Figura 36 - Análise não linear – Força aplicada em função do tempo. ....................................... 42

Figura 37 – Tensões S11 do entalhe simples com um dente, ângulo de 30⁰. ............................. 43

Figura 38 - Força actuante em função do ângulo. ...................................................................... 44

Figura 39 – Notação utilizada para as superfícies de contacto ................................................... 45

Figura 40 - Força actuante em funçaõ do ângulo – calculado atravês da resultante de tensões.

..................................................................................................................................................... 45

Figura 41 – Diagrama das forças atuantes. ................................................................................. 46

Figura 42 – Diagrama das componentes das forças a atuar nas superfícies. ............................. 47

Figura 43 – Localização dos apoios verticas para o entalhe de 40⁰ a) com ν = 10 cm b) com ν =

30 cm. .......................................................................................................................................... 48

Figura 44 - Numeração dos elementos finitos, dos nós e eixos dos elementos, para o entalhe

simples de 40⁰. ............................................................................................................................ 49


simples de 30⁰. ............................................................................................................................ 49

Figura 46 - Tensões na direção 1 ao longo do entalhe simples de 40⁰ ....................................... 50



Figura 49 - Notação utilizada para as forças transmitidas em cada superfície. .......................... 51

Figura 50 - Força actuante em função do ângulo ....................................................................... 52

Figura 51 – a) Entalhe de 30⁰ sem nenhum corte na parte traseira do entalhe. b) Entalhe de 25⁰

com aponta mais espessa do que a restante peça ..................................................................... 53

Figura 52 - Força atuante em função do ângulo. ........................................................................ 54


duplo de 45⁰. ............................................................................................................................... 55


duplo de 30⁰. ............................................................................................................................... 56

Figura 55 - Tensões na direção 1 ao longo do entalhe duplo de 45⁰ .......................................... 56




viii

Tabela 1 – Classe de resistência e valores característicos segundo a norma EN 388. Espécies

resinosas e folhosas. ................................................................................................................... 19

Tabela 2 – Classe de Qualidade e Classe de resistência para algumas espécies de madeira.

(LNEC M1, 1997) .......................................................................................................................... 19

Tabela 3 – Características físicas da madeira utilizada na modelação........................................ 37

Tabela 4 – Características geométricas dos elementos constituintes do entalhe. ..................... 37

Tabela 5 – Profundidades e comprimento ν nos diferentes tipos de entalhe. ........................... 38

Tabela 6 – Características das ligações entre a perna e a linha. ................................................. 40

Tabela 7 – Força transmitida por cada superfícies de corte do entalhe ..................................... 44

Tabela 8 – Comprimento das superfícies de contacto. ............................................................... 44

Tabela 9 – Força transmitida por cada superfície de contacto – Calculado através da resultante

de tensões ................................................................................................................................... 45

Tabela 10 – Percentagem da força absorvida por parte das superfícies do entalhe .................. 47

Tabela 11 - Numeração dos nos para a Figura 46, Figura 47 e Figura 48 ................................... 49

Tabela 12 – Força transmitida por cada superfície de contacto. ................................................ 52

Tabela 13 – Comprimento das superfícies de contacto. ............................................................. 52

Tabela 14 – Força transmitida por cada superfície de contato – calculado a partir da resultante

de tensões. .................................................................................................................................. 53

Tabela 15 – Percentagem da componente vertical absorvida por parte de cada superfície do

entalhe duplo. ............................................................................................................................. 55

Tabela 16 – Percentagem da componente horizontal absorvida por parte de cada superfície do

entalhe duplo. ............................................................................................................................. 55

Tabela 17 – Numeração dos nos para os gráficos 10 e 11. ......................................................... 58

Tabela 18 – Comparação das forças atuantes na superfície para o modelo e pelas equações

existentes na literatura atual. ..................................................................................................... 60

1

1. Introdução

A madeira surge como um dos recursos naturais mais usado pelo homem devido à sua

disponibilidade para a construção de diversos elementos, desde mobiliário a edifícios. Desde

os primórdios, a madeira sempre foi muito utilizada pelo Homem, marcando a sua presença

em grande parte do património nacional e mundial.

Em Portugal, grande parte dos edifícios antigos é constituída por asnas de madeira. Desta

forma, o interesse para o maior conhecimento estrutural deste tipo de elementos seja elevado

para se conseguir efetuar a reabilitação e a conservação de edifícios da melhor forma.

Já existiu uma grande evolução no que diz respeito às ligações usadas começando por ligações

mais tradicionais como entalhes, até à utilização de conectores metálicos. Nesta dissertação

será estudada a forma de funcionamento dos entalhes mais tradicionais usados na construção

de asnas de madeira, focando principalmente o entalhe tradicional com dente simples e com

dente duplo.

1.1. Objetivo da dissertação

As asnas de madeira já caíram em desuso nas construções novas, mas mantém uma grande

presença nas construções antigas. Estando-se numa época em que as remodelações de

edifícios se apresentam cada vez mais importantes, a relevância de ter informação detalhada a

propósito deste tipo de estrutura é elevada.

As ligações por entalhe vão estar no centro do estudo desta dissertação. Estas são as ligações

mais elementares das asnas de madeira e são compostas por diversos tipos, sendo as mais

usadas o entalhe simples com um dente e o entalhe com dente duplo. A informação existente

sobre o entalhe duplo não é de grande pormenorização. Esta falta de informação deve-se,

sobretudo, como já se referiu anteriormente, à falta de uso destes tipos de ligações nas

construções novas. Portanto o estudo do trabalho vai se focar na forma como este tipo de

entalhe funciona, em termos de transmissão das forças de compressão existentes.

1.2. Organização da dissertação

O trabalho está dividido em 7 capítulos de forma a obter uma estruturação adequada para

uma mais fácil compreensão.

No primeiro capítulo é feita a introdução do trabalho, delineando todos os objetivos a atingir e

a sua respetiva organização.

No segundo capítulo é feita a abordagem geral às propriedades e características da madeira,

começando pela caracterização da sua estrutura e dos diferentes tipos de madeira existente.

2

Também são mencionadas as propriedades físicas da madeira, em termos de higroscopia,

densidade, retração, durabilidade e resistência ao fogo. Quanto às propriedades mecânicas

referem-se os valores característicos de elasticidade, de resistência à compressão, tração,

flexão e corte. O fendimento, a dureza, a fluência, a resistência à fadiga e o coeficiente de

Poisson são igualmente propriedades mecânicas apontadas neste trabalho. A madeira sendo

um material orgânico apresenta características que variam de árvore para árvore, por essa

razão também são abordadas os tipos de classificações existentes para a categorização do

material.

No capítulo 3 são abordadas as soluções estruturais existentes de coberturas em madeira,

focalizando-se mais nas asnas.

No capítulo 4 é feita uma caracterização de vários tipos de ligações existentes em estruturas

de madeira começando pelo mais elementar até às mais contemporâneas. As ligações por

pregagem, parafusos, cavilhas e ligadores de superfície são abordadas neste trabalho.

No capítulo 5 é feita a abordagem teórica dos modelos de cálculo já existentes para o entalhe

simples com um dente, o entalhe com dente simples posterior e pelo entalhe com dente

duplo.

No capítulo 6 é referida a modelação efetuada e a respetiva análise. São referidos os passos

realizados para a modelação dos entalhes, são mencionadas as características físicas e

geométricas utilizadas para os entalhes e o tipo de análise efetuada. Neste capítulo também

está exposta a discussão dos resultados das análises efetuadas.

No capítulo 7 são efetuadas algumas considerações finais, apresentando as conclusões sobre

os resultados obtidos e os possíveis desenvolvimentos que podem ser efetuados no futuro.

3

2. Madeira, o material

A madeira surge como um dos únicos materiais existentes com origem viva e renovável. A

energia necessária à sua elaboração provém unicamente do Sol. Sendo um material

proveniente da árvore, este tem características particulares de durabilidade e de

comportamento, sendo necessário conhecê-lo de maneira exaustiva para ser utilizado em

construções de forma adequada.

Este capítulo não tem por objetivo oferecer uma visão exaustiva das características físicas e

mecânicas da madeira mas unicamente para oferecer bases de compreensão suficientes para a

aplicação deste material em construções.

2.1. Estrutura da madeira

A madeira apresenta-se como um material orgânico com uma estrutura química baseada em

carbono. De facto, a primeira fonte de energia dos seres vivos provém da energia luminosa

proveniente do sol que é transformada pelas folhas das árvores em glucose, através do

processo de fotossíntese. Este processo ocorre dentro da própria folha graças a clorofila que

se encontra na mesma. Este elemento capta a radiação luminosa do sol transformando-a em

energia química que desencadeia o crescimento da árvore.

Esta reação implica os seguintes elementos:

Dióxido de carbono (CO2), que se encontra no ar;

Água (H2O), obtido no solo;

Energia luminosa fornecida pelo sol (ν);

A expressão da fotossíntese é a seguinte:

6CO2 + 6H2O + ν C6H12O6 + 6O2

Os glúcidos gerados são seguidamente decompostos durante o processo de respiração celular

permitindo liberar a energia da ligação celular.

A diferença entre a energia produzida pela fotossíntese e a que se perde durante o processo

de respiração é utilizada para formar a parede da célula, sendo esta composta principalmente

por celulose que é um derivado da glucose (C6H12O6). A celulose é um dos compostos

essenciais da matéria lenhosa influenciando as propriedades mecânicas desta (Dupraz, P-A., et

al. 2009).

A celulose e a hemicelulose encontram-se na madeira sob a forma de fibras, orientadas

longitudinalmente, constituídas por cadeias moleculares tridimensionais, conferindo à madeira

boa resistência à tração e à compressão axial. Outro dos constituintes das paredes celulares é

a lenhina que é o ligante para assegurar a rigidez transversal às fibras.

4

2.1.1. Células

A madeira é um conjunto de tecidos de origem secundário, constituídos por diferentes tipos

de células. Algumas dessas células estão presentes em todas as espécies enquanto outras são

específicas a uma família. Estas células assumem várias funções tais como o transporte de

seiva, a resistência ou a proteção contra agentes externos. A resistência do material é a função

mais importante a estudar, de ponto de vista construtivo, e será esta que será analisada. A

resistência oferecida por este material é o feito da parede celular.

Os diferentes elementos constituintes da parede celular são os seguintes:

Uma camada intercelular: camada que cimenta as células

Uma parede primária: parede muito fina que se localiza contra a camada intercelular,

constituída por microfibras de celulose.

Uma parede secundária.

A parede secundária é densa e rígida, e contém uma forte proporção de celulose. Esta se

subdivide em três camadas S1, S2 e S3 (Figura 1). As camadas S1 e S3 funcionam como reforço

da camada S2, sendo esta a que representa a maior percentagem da espessura total da parede

celular, constituída por microfibras de celulose densas.

Figura 1 - Esquema da parede celular de uma madeira resinosa (Core, H. et al., 1979)

Estas três camadas permitem reduzir a anisotropia da parede da célula.

2.1.2. O plano lenhoso macroscópico

Do ponto de vista macromolecular distinguem-se várias zonas dentro do corte transversal da

árvore, sendo os seus principais constituintes a raiz, o tronco e a copa. No tronco encontra-se

para além da madeira utilizada nas construções, o único grupo de células que tem a faculdade

de se separar. Estas células dividem-se na direção radial para aumentar de diâmetro e na

direção tangencial para assegurar o crescimento da circunferência. Estas células dividem-se

para o exterior para formar a casca e para o interior para formar o lenho. Na parte exterior, a

5

casca subdivide-se em duas camadas, o líber ou entrecasco, constituído por células vivas com a

função de proteger o lenho e efetuar o transporte de seiva para o crescimento da árvore e, a

camada epidérmica ou ritidoma, constituída por células mortas com função de proteção do

lenho.

O lenho por sua vez é constituído pelo borne e pelo cerne. O borne situa-se na parte exterior

do lenho correspondendo à madeira mais jovem da árvore e é constituído por células vivas

com função condutora da seiva bruta por ascensão capilar, desde a raiz até à copa. Quanto ao

cerne, este assegura a manutenção da árvore e é constituído por células mortas que por vezes

se carregam de substâncias como resinas ou taninos que protegem a madeira contra agressões

de micro organismos.

Figura 2 – Corte transversal do caule de uma árvore (LNEC E31 1955).

A medula é a parte central do tronco e é composta por tecido sem qualquer resistência

mecânica e durabilidade.

O câmbio tem como função gerar novas células, sendo constituído pelo tecido merismático

que está em permanente transformação celular. Deste modo, a atividade do meristema líbero-

lenhoso é responsável pelo engrossamento e transformação do líber e do borne onde serão

visíveis os anéis de crescimento anual resultantes deste processo.

Por fim, os raios medulares ligam todas as camadas entre si e têm como função transportar a

seiva transversalmente e armazenar as substâncias nutritivas. Estes se estendem radialmente

e de forma perpendicular ao eixo do tronco. Também são importantes para a classificação da

madeira e para as suas propriedades, contribuindo para a rigidez da estrutura do tronco. Os

raios medulares são constituídos por tecido laminar que é mais brando do que a restante

madeira. Estes podem provocar o enfraquecimento da madeira, criando zonas de menor

resistência quando submetida a cargas, podendo originar fendas e deslocamentos transversais

capazes de provocar roturas.

Observando a secção do lenho atestam-se os anéis de crescimento anual, que resultam do

crescimento transversal através da adição de novas camadas concêntricas e periféricas devido

à ação do meristema líbero-lenhoso. Na primavera, com a retoma da vegetação, é necessário

um transporte importante de seiva, tendo-se assim uma madeira com cor mais clara e células

longas, de paredes finas e com escassez de fibras. Durante o verão, esta necessidade é

reduzida e observa-se a formação de células estreitas de paredes grossas, aumentando a

6

quantidade de fibras e diminuindo a quantidade de vasos. Desta forma, o lenho de primavera

forma-se mais rapidamente que o lenho de verão. De referir que a largura e distinção dos

anéis de crescimento varia consoante as diferentes espécies de madeira e, dentro da mesma

espécie, depende da altura da árvore e das condições em que esta está exposta. Também é

influenciado por fatores ambientais e climáticos.

Figura 3 – Crescimento anual da árvore do ponto de vista celular. Madeira de verão e primavera. (Dupraz, P-A., et al. 2009)

Para além de registarem a idade da árvore, os anéis de crescimento dão informação para a

consideração e estudo de anisotropia de madeira. O plano lenhoso é, assim, analisado segundo

três secções ortogonais. As direções consideradas são (Figura 4):

- Direção tangencial, direção transversal tangencial aos anéis de crescimento;

- Direção radial, direção transversal radial dos anéis de crescimento:

- Direção axial, no sentido das fibras, longitudinal em relação ao tronco.

Figura 4 – Direções principais da madeira. (Simões, A. Et al 2012)

7

A análise de uma amostra de madeira segundo estes três planos permite a identificação da

madeira.

2.2. Tipos de madeira

A madeira divide-se em dois grupos botânicos consoante a sua estrutura atómica: as

Gimnospérmicas - mais conhecidas por resinosas ou madeiras brandas - e as Angiospérmicas –

geralmente denominadas por folhosas ou madeiras duras.

2.2.1. Madeiras Resinosas

As madeiras resinosas surgiram antes das madeiras folhosas na história fitogenética tendo

assim uma estrutura menos evoluída. As resinosas apresentam um crescimento rápido, que

resulta numa baixa densidade e uma baixa resistência, sendo possível cortar este tipo de

árvores após 30 anos. Apresentam fracas qualidades naturais de durabilidade, a não ser que

sejam tratadas com conservantes, mas são economicamente mais acessíveis por estarem

sempre disponíveis no mercado (Porteous & Kermani 2007). Alguns exemplos de madeiras

brandas são o pinheiro bravo, cipreste ou o pinheiro branco.

2.2.2. Madeiras Folhosas

Como já se referiu as madeiras folhosas são mais recentes que as resinosas. Assim, estas

madeiras apresentam uma estrutura mais complexa tendo um crescimento lento que oferece

madeiras de maior densidade e com melhores capacidades resistentes. Nalguns casos a

madeira atinge a maturação após 100 anos, tendo assim características naturais que

beneficiam a sua durabilidade, mas, como seria de esperar, são mais dispendiosas do que as

resinosas com realce no custo de transporte por serem, na maioria, tropicais (Porteous &

Kermani 2007). Alguns exemplos de espécies de madeiras folhosas são a garapa, tatajuba ou o

carvalho.

2.3. Propriedades físicas

Pelo facto de existir uma grande variedade de espécies de madeira torna-se necessário

conhecer as propriedades físicas e a resistência a solicitações mecânicas da mesma, para que a

escolha da madeira se faça em conformidade com os requisitos de segurança e economia.

2.3.1. Higroscopia e Humidade

Como todos os materiais linho-celulósicos, a madeira é um material higroscópico, ou seja, a

madeira é sensível às variações atmosféricas (humidade e temperatura), e o seu teor em água

muda sobre o efeito da absorção para atingir um estado de equilíbrio com o ambiente. O teor

em água da madeira (u) é exprimido quantitativamente como a percentagem de massa de

água presente na madeira, dividida pela massa da matéria seca:

8

𝑢 =𝑊𝑚 − 𝑊0

𝑊0× 100

(2-1)

Onde 𝑊𝑚 corresponde à madeira húmida e 𝑊0 à massa da madeira anidra.

As flutuações do teor em água podem causar variações dimensionais denominadas

inchamento e retração consoante a existência de aumento ou diminuição de volume

respetivamente. (Natterer, J., et al 2004)

Figura 5 - Variação dimensional da madeira em função do teor em água. (Dupraz, P-A., et al. 2009)

Quanto maior a humidade existente na madeira menor é a sua resistência mecânica até chegar

ao ponto de saturação das fibras. Para teores em água iguais ou superiores a 30%,

correspondente ao ponto de saturação das fibras, verifica-se que a resistência mantem-se

praticamente constante.

A variação de volume durante a variação do teor em água é inversamente proporcional à

porosidade. Isto é, as variações dimensionais são mais importante quanto mais densa for a

madeira.

Falta referir de que forma a água está presente na madeira. Esta está presente sob três formas

diferentes: água livre, água de constituição e água de impregnação. A água livre ou água

capilar encontra-se nas cavidades celulares e é expulsa com relativa facilidade por secagem

natural ao ar, não causando variação dimensional dos elementos de madeira. A água de

constituição encontra-se combinada com alguns componentes de matéria lenhosa que se

encontra integrada, fazendo com que, só possa ser eliminada quando a estrutura molecular é

eliminada. A água de impregnação preenche os espaços entre as paredes das células, ligando-

se a estas por pontes de hidrogénio e forças de “Van der Walls”, requerendo uma maior

energia para a sua libertação. Esta libertação provoca uma alteração no volume da peça

consoante o grau de humidade.

Após o abate da árvore a água livre sai de forma rápida, diminuindo drasticamente o teor em

água da madeira até atingir o ponto de saturação. A água livre altera os valores de massa

volúmica de madeira mas não influência as suas propriedades físicas e mecânicas.

9

2.3.2. Densidade

A densidade é uma das principais características físicas da madeira pelo facto de condicionar a

maioria das propriedades mecânicas da mesma .

A densidade básica da madeira é definida como a massa volúmica específica convencional

obtida pela divisão entre a massa volúmica seca e o seu volume saturado:

𝐷𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 =𝑃𝑠𝑒𝑐𝑜

𝑉𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜

(2-2)

A densidade aparente é estabelecida para um padrão de humidade de 12%, sendo o resultado

entre o quociente entre a massa e o volume de madeira sujeito à humidade padrão. A

densidade aparente é considerada em termos de massa específica aparente, ou seja,

considerando um volume aparente em que não é deduzido o volume compreendido pelos

poros, como se pode observar na seguinte expressão:

𝐷𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑃𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑉𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

(2-3)

Existe uma correlação entre a densidade e a resistência mecânica, as madeiras pesadas são

geralmente mais resistentes. No entanto essa correlação não é tão linear devido à grande

heterogeneidade e diversidade de espécies de madeira.

Em espécies de madeira idênticas também existe flutuações em relação à massa volúmica

devido a diversos fatores. Um destes aspetos é a velocidade de crescimento da árvore que

depende da altitude e da posição da árvore no seu meio que é influenciado pela luminosidade

e evapotranspiração (Dupraz, P-A., et al. 2009)

Algumas propriedades físicas e tecnológicas essenciais da madeira estão condicionadas pela

sua massa volúmica, sendo esta muitas vezes suficiente para determinar qual a madeira que

está apta para ser utilizada para uma determinada função. (Natterer, J., et al. 1983).

2.3.3. Retração

A retração caracteriza-se pela redução das dimensões de uma peça de madeira originada pela

saída da água de impregnação. Como a madeira é heterogénea e ortotrópica, não apresenta os

mesmos valores de retração nas três direções principais (axial, tangencial e radial).

A retração axial proporciona uma variação dimensional da ordem de 0,5%, enquanto a

retração radial e tangencial podem apresentar variações dimensionais nos valores de 6% e

10% respetivamente. As duas últimas podem provocar problemas de fendilhação ou de torção

nas peças de madeira. O comportamento ortotrópico acontece pela existência do lenho de

primavera e de verão em cada anel de crescimento. Como o lenho de verão apresenta paredes

10

celulares muito mais espessas, os movimentos de expensão e de contração deste são muito

superiores aos do lenho inicial.

As alterações dimensionais ocorrem quando a humidade da madeira varia abaixo do ponto de

saturação das fibras. Também pode ocorrer expansão quando a madeira encontra-se em

condições de alta humidade, pois, em vez de esta libertar água, incha por absorção de água.

(Szücs, C.A., et al 2008).

2.3.4. Durabilidade Natural

A durabilidade da madeira, em relação aos ataques provocados por agentes biológicos,

depende da espécie e das características anatómicas. A durabilidade duma peça de madeira

também depende da região do tronco onde a madeira foi extraída. Como referido

anteriormente o cerne e o borne apresentam características diferentes, sendo este último

mais vulnerável aos ataques biológicos por ser mais exterior. Para a existência de degradações

biológicas na madeira é necessário que haja presença de água e presença suficiente de

oxigénio. Portanto a madeira que esteja protegida de intempéries ou totalmente submersa

pode resistir às agressões durante séculos. (Dupraz, P-A., et al. 2009) Assim, a durabilidade da

madeira pode ser melhorada através de tratamentos, alcançando-se níveis superiores de

durabilidade, próximo dos apresentados pela espécie sem ter sofrido alterações.

2.3.5. Resistência ao fogo

Materiais combustíveis como a madeira queimam na superfície, libertando energia

contribuindo para a propagação do fogo e o desenvolvimento de fumo em caso de incêndio.

Portanto uma das condições principais para efetuar estruturas em madeira é uma segurança

adequada ao fogo. No entanto, as estruturas de madeira bem dimensionadas conferem à

estrutura global uma resistência ao fogo superior à de outros materiais. Como já referido, a

madeira propaga o fogo com facilidade mas, após algum tempo, a camada exterior carboniza

isolando assim o resto do material. Assim, esta camada retém o calor e auxilia na contenção do

incêndio (Martins, T. 2010). Debaixo da camada carbonizada encontra-se a pirólise com cerca

de 5 mm de espessura. Esta camada é alterada mas não completamente decomposta. A

restante parte interior do material mantém as capacidades mecânicas originais contribuindo

para a resistência da estrutura.

11

Figura 6 – Secção de uma viga de madeira lamelada colada, exposta ao fogo durante 30 minutos. (Pinto, E. 2004)

Percebe-se assim que o fogo degrada a resistência da madeira pela diminuição da secção

estrutural e não pela diminuição das propriedades mecânicas da mesma tal como sucede no

aço. Uma estrutura metálica não gera uma reação inflamável quando expostas a temperaturas

superiores a 500⁰C, mas perde a sua resistência mecânica em cerca de 10 minutos (Szücs, C.A.,

et al, 2008).

A densidade interfere na reação da madeira ao fogo apresentando uma menor velocidade de

combustão quando a densidade é maior. O teor em água também influencia o processo de

combustão, porque quanto maior é o conteúdo de humidade existente na madeira, menor é o

seu poder de combustão. Isto deve-se ao processo de evaporação da água que absorve

energia de combustão (Quirino, W. Et al 2005).

Pelo facto da madeira existente nas estruturas apresentar um baixo teor em água, esta

propriedade já não é tão relevante neste contexto.

2.4. Propriedades mecânicas

A madeira como material natural apresenta propriedades mecânicas interessantes. Por esta

ser constituída por fibras e por ser porosa apresenta uma boa relação entre a massa volúmica

e a resistência, permitindo elaborar estruturas ligeiras que permitem vencer grandes vãos. A

resistência da madeira é função da espécie florestal e da qualidade das peças, avaliada de

forma objetiva pelo tipo e dimensão máxima dos defeitos presentes. A resistência de uma

estrutura de madeira também é afetada pelo seu teor em água e pelo tempo de atuação das

ações e da direção das mesmas. Como já se referiu anteriormente, a resistência mecânica é

inversamente proporcional ao teor em água da madeira para valores abaixo do ponto de

saturação das fibras.

O tempo de atuação das cargas reduz a resistência da madeira como se verifica na Figura 7,

demonstrando que a aplicação de tensões elevadas situadas abaixo da tensão de rotura

poderá conduzir à ruina da estrutura ao fim de um período mais ou menos longo. Deste modo,

estruturas temporárias poderão ser dimensionadas assumindo resistências de cálculo mais

elevadas do que no caso de estruturas permanentes.

12

Figura 7 - Relação entre o tempo de atuação das cargas e a resistência (Mateus, T. 1978)

2.4.1. Valores característicos de elasticidade

A madeira trata-se de um material fibroso portanto a sua resistência depende da direção da

carga. Quando a madeira é submetida a uma carga aplicada no sentido das fibras, esta tem,

até uma determinada carga, um comportamento quase elástico. Ao ultrapassar o limite de

elasticidade, ocorrem deformações plásticas importantes que aumentam progressivamente

até à rotura (Natterer, J., et al 1983). Pelo facto de a madeira ser composta por um esqueleto

de cadeias de moléculas de celulose esta, quando solicitada à tração, apresenta uma

resistência superior do que quando solicitada à compressão tendo uma rotura frágil. Esta

rotura acontece pelo rasgo das ligações que advêm de maneira brusca. Quando solicitada à

compressão o comportamento é praticamente linear até ao valor máximo de resistência,

tendo uma rotura dúctil que ocorre por encurvadura de algumas fibras que originam um plano

de corte (Correia, E, 2009).

13

Figura 8 - Diagrama tensão/deformação para madeiras resinosas submetidas a esforços de tração e de compressão paralelas às fibras. (Natterer, J., et al 1983)

2.4.2. Resistência à compressão longitudinal e transversal às fibras

A resistência à compressão longitudinal das madeiras resinosas encontra-se, segundo as

características de crescimento destas, entre 30 e 90 N/mm2 (Natterer, J., et al 1983). A

compressão transversal é a mais desfavorável apresentando intervalos de resistência entre 1 –

20 N/mm2 (Martins, T., 2010). A resistência é melhor quando a compressão é localizada, por

exemplo, no caso de uma travessa em que as duas extremidades são contínuas. Os vários tipos

de compressão podem ser observados na Figura 9.

Figura 9. Esforços de compressão longitudinais, localizadas e transversais em relação às fibras. (Natterer, J., et al 1983)

14

2.4.3. Resistência à tração

A resistência à tração de madeira com fibras direitas e sem nós pode ser 2 – 2,5 vezes superior

à resistência à compressão, isto é, 60 a 150 N/mm2 para as madeiras resinosas. De referir

também que a resistência à tração é menos influenciada pela humidade da madeira do que a

resistência à compressão. (Natterer, J., et al. 1983)

A resistência à tração transversal pode atingir 1,5 a 4,0 N/mm2 em pequenas peças sem

defeitos. No entanto, esta resistência é praticamente reduzida a zero em madeiras de grande

secção devido às inevitáveis fendas de retração. Isto justifica-se, também, pelo escasso

número de fibras que a madeira possui na direção perpendicular ao eixo das árvores, e

consequentemente, pela falta de travamento transversal das fibras longitudinais e a debilidade

das ligações intercelulares transversais. (Natterer, J., et al. 1983)

O comprimento das células relaciona-se com a resistência à tração axial da madeira. As

madeiras cujas células são mais alongadas beneficiam de maior resistência à tração axial. Tal

facto pode ser explicado à luz do arranjo microfibrilar que se obtém em células mais

alongadas.

2.4.4. Resistência à flexão

A resistência da madeira à flexão é mais baixa do que os metais, mas é mais elevada do que a

maioria dos restantes materiais não metálicos. Por exemplo, para o pinheiro bravo a

resistência à flexão estática é cerca de 140 N/mm2, sendo esta a tensão normal resultante da

flexão, atingindo valores próximos da resistência à tração longitudinal (Correia, E., 2009). Tal

como na resistência à compressão, a resistência à flexão é influenciada pela massa volúmica e

humidade da madeira e, tal como a resistência à tração, é fortemente influenciada pela

direção das fibras e da quantidade de nós.

2.4.5. Resistência ao corte

As tensões de corte podem existir no plano longitudinal e no plano transversal. O esforço

transverso provoca tensões tangenciais paralelas às fibras, sendo estas produzidas sobretudo

nas ligações por entalhe de respiga e mecha, que será abordada posteriormente.

Paralelamente às fibras, a resistência ao corte atinge unicamente 1/8 a 1/10 da resistência à

compressão; perpendicularmente às fibras, esta é mais elevada, mas tendo em conta a fraca

resistência à compressão transversal, esta não tem praticamente nenhuma importância.

2.4.6. Fendimento

O fendimento é uma característica típica dos materiais fibrosos. Esta traduz a coesão ou

resistência da madeira ao deslocamento entre fibras. A resistência da madeira ao fendimento

axial é baixa, rasgando-se assim com mais facilidade nessa direção. A resistência ao

fendimento é diferente para diferentes espécies de madeira. As madeiras com uma menor

15

densidade, resinosas ou folhosas leves, apresentam uma menor resistência ao fendimento.

Nas madeiras mais densas, folhosas pesadas, a resistência ao fendimento é superior.

2.4.7. Dureza

A dureza é uma característica mecânica que traduz a resistência do material quanto à

penetração, riscagem e desgaste. Este parâmetro é importante para realizar uma seleção da

espécie de madeira em função do fim a que se destina pelo facto de a dureza estar relacionada

com a densidade e trabalhabilidade do material. As madeiras são geralmente designadas, em

termos de dureza, como brandas (choupo ou pinho), medianamente duras (carvalho ou freixo)

e duras (Nogueira).

2.4.8. Fluência

Os elementos submetidos a cargas prolongadas sofrem deformações plásticas que variam em

função do tempo. A fluência corresponde ao aumento de deformação sobre uma carga

constante.

O diagrama da figura seguinte apresenta as deformações em função do tempo.

Figura 10 – Deformações em função do tempo em dias. (Natterer, J., et al, 1983)

Como se pode observar as deformações tendem, após algum tempo e dependendo da

importância do carregamento, para um valor limite que é de 1.6 a 2 vezes a deformação

elástica para um nível de solicitação habitual (curva 1). Quando as solicitações ultrapassam

certo nível, o limite de fluência, as deformações crescem rapidamente e provocam finalmente

a rotura da barra (curva 2). Denomina-se resistência à rotura sobre cargas de longa duração à

resistência que permite à barra de suportar indefinidamente o carregamento sem romper.

Falta referir que quando se retira o carregamento apenas uma parte da deformação é

recuperada mantendo-se um resíduo de deformação variável com o tempo (Figura 11).

16

Figura 11 - (a) Diagrama da carga em relação ao tempo; (b) Comportamento viscoelástico sob carga constante. (Melo, R. & Menezzi, C., 2010)

O teor em água da madeira tem grande influência no coeficiente de fluência, sendo este o

quociente entre a deformação por fluência e deformação instantânea. Para madeiras com

maiores teores em água ou sujeitas a ciclos de humidificação/secagem, o valor do coeficiente

de fluência é bastante superior.

De modo a prevenir o impacto da fluência na resistência global de elementos estruturais da

madeira podem tomar-se certas medidas:

Garantir que o elemento estrutural não se encontra sujeito a grandes variações

térmicas e higrométricas;

Aplicação dos elementos estruturais devidamente estabilizados em termos de

percentagem de humidade;

Para efeitos de dimensionamento, sobrestimar as cargas atuantes ou subestimar o

valor do módulo de elasticidade de forma a impedir que o elemento estrutural entre

em regime plástico;

Utilizar contra flechas. (Júnior, J., 2006)

2.4.9. Resistência à Fadiga

A resistência à fadiga é a capacidade que um elemento tem em se deformar sem atingir a

rotura, quando exposta a esforços alternados de compressão e tração.

Através de dados experimentais apresentados por Albino Carvalho (1996), apresenta-se

algumas ilações sobre a resistência à fadiga:

O quociente entre a resistência à fadiga e a resistência à flexão estática, em média, da

ordem de um terço;

O quociente entre a resistência à fadiga e a densidade, denominada por cota de fadiga,

da madeira é da ordem de 6 a 7, enquanto para o alumínio é de 5 e de 2 a 3, para

alguns aços especiais;

17

O teor em água tem influência no valor da resistência à fadiga, sendo que para cada

diminuição de 1% do teor em água, verifica-se uma redução de 3 a 4% do valor da

resistência à fadiga.

2.4.10. Coeficiente de Poisson

O coeficiente de Poisson na madeira varia entre espécies e na própria espécie e é afetado

principalmente pela humidade.

2.5. Classificação da madeira

Como já foi referido, a madeira é um produto natural das árvores que apresenta grandes

variações de qualidade segundo a espécie, a genética, as condições de crescimento e

ambientais. As propriedades da madeira não variam unicamente de árvore para árvore mas

também na própria árvore, segundo a sua secção transversal e ao longo do eixo da mesma. A

transformação da madeira redonda em madeira quadrada interfere na estrutura interna da

madeira natural.

Assim, as propriedades mecânicas da madeira de qualquer espécie que não esteja classificada

podem variar numa amplitude em que a peça mais resistente tenha uma resistência 10 vezes

superior do que a peça mais fraca.

Em estruturas a utilização da madeira é baseada sobre os seus valores característicos de

resistência. Deste modo, a resistência elevada da maioria das peças não pode ser utilizada a

não ser que seja classificada. Isto demonstra que, por razões económicas, a madeira tem de

ser separada em classes de diferentes qualidades, efetuando essa triagem peça por peça. A

classificação associa, a cada classe de resistência, as propriedades necessárias para o

dimensionamento estrutural, onde estão incluídas as várias resistências aos vários tipos de

esforços e o módulo de elasticidade. No entanto, a avaliação da resistência só pode ser

efetuada indiretamente através de parâmetros que podem ser estabelecidos visualmente ou

por métodos não destrutivos. (Racher, P., et al 1996)

2.5.1. Classificação visual

Tradicionalmente, a classificação é realizada através de um exame visual da madeira tendo em

conta os fatores de redução da resistência que podem ser examinados. Os fatores são

principalmente os nós e a largura dos cernes de crescimento (Racher, P. Et al 1996).

A classificação visual tem certas fragilidades, por razões práticas, pelo facto de somente as

características reconhecidas visualmente poderem ser consideradas e unicamente regras de

combinação simples serem possíveis. Uma característica em estreita relação com a resistência

tal como a massa volúmica, não pode ser avaliada corretamente pelo método de classificação

visual. De referir que a decisão da classificação é efetuada pela opinião de um classificador,

portanto a mesma nunca pode ser totalmente objetiva.

18

Os sistemas nacionais de classificação visual assentam em normas aplicáveis a um conjunto

reduzido de espécies, definindo classes de qualidade associadas à limitação de defeitos. Uma

dessas normas é a NP 4305 que é aplicável à madeira de pinho bravo português (Correia, E.

2009).

A nível europeu também se encontra disponível normas para a classificação visual de

madeiras, sendo esta a EN14081-1 – Timber structures – Strength graded structural timber

with rectangular cross section – Part 1 – General requirements.

2.5.2. Classificação mecânica

Pela crescente necessidade de apresentar uma madeira de alta qualidade surgiu a classificação

por máquina. Através deste tipo de classificação, os inconvenientes presentes na classificação

visual podem ser evitados. As primeiras máquinas existentes determinavam um módulo de

elasticidade médio, em flexão, com níveis de carga baixos. Este procedimento foi melhorado

ao longo dos anos sendo possível agora determinar o módulo de elasticidade através de

vibração, micro-ondas, e ultrassons. Este último método tem a vantagem de não solicitar

mecanicamente a madeira e, assim, evitar qualquer tipo de dano na mesma.

Tal como para a classificação visual existe a norma europeia para a classificação por máquina:

- EN14081-2 – Timber Structures – Strength graded structural timber with rectangular cross

section – Part 2 – Machine grading: additional requirements for initial type testing;


section – Part 3 – Machine grading: additional requirements for factory production control;


section – Part 3 – Machine grading: grading machine settings for machine controlled systems;

2.5.3. Classes de resistência

O princípio das classes de resistência é a atribuição das principais propriedades físicas e

mecânicas a uma dada população de madeira para estruturas, de forma simples e objetiva,

para facilitar a sua aplicação em construções.

Este conceito, implementado na Europa através da EN 338, pretende tratar a madeira da

mesma forma que outros materiais estruturais como o betão ou o aço, introduzindo assim um

facto de segurança adicional na especificação dos materiais (Correia, E. 2009).

A introdução de classes de resistência é interessante tanto para o utilizador como para o

fornecedor de madeira. O projetista não necessita de conhecer uma multitude de classes

diferentes dependendo do local onde o projeto será realizado. Em vez disso, escolhe uma

classe de resistência que acha adequada para o projeto a partir de uma tabela, tal como outros

materiais de construção. O produtor de madeira tem a vantagem de poder obter um preço

mais elevado pela sua madeira se tiver um processo de classificação otimizado permitindo-lhe

afetar a madeira por ele produzida a classes de resistência mais elevadas.

19

A norma EN 338 dá propriedades de resistência, de rigidez e de massa volúmica para cada

classe de resistência. Na Tabela 1 encontram-se as classes de resistência para madeiras

resinosas e folhosas.

Tabela 1 – Classe de resistência e valores característicos segundo a norma EN 388. Espécies resinosas e folhosas.

Para ter uma noção das classes de qualidade de algumas espécies, apresenta-se na Tabela 2

alguns exemplos para madeiras utilizadas em construções.

Tabela 2 – Classe de Qualidade e Classe de resistência para algumas espécies de madeira. (LNEC M1, 1997)

21

3. Soluções estruturais de cobertura

As coberturas tradicionais de madeira são compostas por asnas. As asnas são os elementos

principais da cobertura e podem ter várias configurações geométricas. A escolha desta

geometria depende da natureza das ações, do vão a cobrir, da inclinação da cobertura, da

arquitetura e das operações de montagem e execução (Branco, Santos, & Cruz 2010).

As asnas tradicionais são geralmente constituídas por um elemento horizontal denominado

linha, por duas pernas inclinadas que perfazem a vertente do telhado, por um elemento

vertical apertado nos vértices do telhado pelas pernas – pendural - e por duas escoras que

ligam as pernas ao pendural. De referir que sobre as asnas repousam as madres, a fileira, as

varas e as ripas, sendo que as duas últimas são a substrutura de suporte à cobertura (Branco,

Santos, & Cruz 2010).

As asnas com menor grau de complexidade têm espaçamento entre elas até 4 metros. Para se

atingir vãos maiores a complexidade da estrutura aumenta. Nas seguintes figuras encontram-

se as tipologias mais frequentes de asnas de madeira.

Figura 12 – Tipologia mais frequente de asnas de madeira (Branco, Santos, & Cruz 2010).

23

4. Ligações em estruturas de madeira

As ligações são geralmente o ponto mais fraco da estrutura de madeira pelo facto destas

encontrarem-se sujeitas a esforços e tensões localizadas, podendo por em causa a estabilidade

global da estrutura. No entanto, a ductilidade de algumas soluções de ligação assegura um

bom comportamento das estruturas em madeiras submetidas a grandes cargas sísmicas.

4.1. Ligações tradicionais

Desde os primeiros tempos em que se efetuaram construção em madeira foi necessário

efetuar ligações das várias peças que iriam constituir a obra. As cabanas de madeira foram as

primeiras edificações efetuadas pelo Homem com este material. Nos primórdios a forma

utilizada foi de varas inclinadas cravadas no solo de forma a cruzarem-se na extremidade

superior, surgindo, assim, o primeiro tipo de ligações de madeira.

A ligação era efetuada numa primeira fase através de fibras vegetais, tais como lianas, sendo

que posteriormente usaram-se tiras de peles de animais.

Com a evolução da humanidade desenvolveram-se ferramentas que permitiam trabalhar a

madeira descobrindo-se assim as direções preferênciais para esta ser trabalhada. Surgiram

superfícies lisas para ligar as peças de madeira aparecendo desta forma um novo tipo de

ligações que ainda se empregam nos dias de hoje. Este tipo de ligação é denominado por

entalhe. Inicialmente este tipo de ligação tinha como função o travamento da estrutura, não

resistindo assim a esforços significativos.

A transmissão de esforços dos entalhes é efetuada por atrito e compressão na interface entre

os elementos a unir, sendo que o esforço que estes suportam não permite a separação dos

elementos. Este tipo de ligação não admite a inversão de solicitações e, também, tem como

inconveniente a grande concentração de tensões na zona do entalhe devido à redução efetiva

da secção da peça. Desta forma os elementos eram sobredimensionados e compridos pelo

facto das emendas não serem admissíveis em zonas tracionadas.

Este tipo de ligação continuou a desenvolver-se permitindo a realização de estruturas de maior

porte, vencendo maiores vãos. E, surgiu, assim, um tipo de ligação muito utilizada em asnas de

coberturas denominada por respiga e mecha (Figura 13). Consiste em talhar a extremidade de

uma das peças ficando esta com uma secção de extremidade com menor dimensão, tendo

geralmente uma forma quadrangular. Este elemento é denominado por respiga. No outro

elemento abre-se uma cavidade para que o primeiro elemento possa entrar nessa cavidade,

que é denominada por mecha (Segurado, J.E.S. 1949).

24

Figura 13 – Ligação por respiga e mecha.

Este tipo de ligação assegura uma perfeita conexão entre as peças e previnem ao mesmo

tempo deslizamentos laterais das mesmas, por intermédio de penetração (Branco, Santos, &

Cruz 2010).

Geralmente inclui-se um ou mais dentes na ligação tradicional respiga e mecha de forma a

aliviar o esforço exercido na respiga. Por exemplo, na junção de uma escora e uma perna, todo

o esforço da escora estará concentrado no canto da respiga, se esta for uma ligação respiga e

mecha tradicional. Por essa razão as fibras da respiga podem não aguentar a pressão exercida

e, assim, efetua-se um ou mais dentes para dar repouso à mesma (Émy, A. R. 1837).

Existe uma grande variedade de tipos de ligação por entalhe estando os principais utilizados

em asnas de madeira apresentados na Figura 14.

Figura 14 – Entalhe em asnas de madeira. a) Dente simples anterior b) Dente simples posterior c) Dente duplo (CECOBOIS 2012)

25

Hoje em dia este tipo de ligação já entrou em desuso mas ainda se encontra em várias

habitações antigas sendo interessante o seu estudo do ponto de vista da reabilitação.

4.2. Ligações modernas

As ligações continuaram a evoluir aproveitando os conhecimentos adquiridos com as ligações

clássicas. As ligações por entalhes transmitem bem os esforços de compressão e de corte mas

não admitem a inversão de solicitações. A partir desta ótica é que surgiram outros tipos de

ligação que junto com a ligação por entalhe formem uma conexão mais estável entre

elementos, principalmente quando existe a possibilidade de inversão de esforços.

4.2.1. Ligações por pregagem

O prego surgiu como a primeira tecnologia das ligações modernas, por ser um ligador vulgar,

de fácil aplicação. O sistema de ligações por pregagem impõe que as áreas de sobreposição

das peças sejam elevadas, para que não ocorram interações entre o elevado número de pregos

que perfazem a ligação devido à relativa proximidade entre os mesmos. O número elevado de

pregos em cada ligação resulta do baixo valor da tensão de rotura da madeira ao corte e, com

essa quantidade de pregos, evita-se que os mesmos rasguem a madeira. A estrutura pregada

acusa sensíveis deformações no tempo devido à fluência das suas ligações, limitando a sua

aplicação em situações com fracas solicitações ou em obras de curta duração. (Clemente, J.S.

1976).

Figura 15 – Pregos Correntes. (Mendes, P.,1994)

26

4.2.2. Ligações por parafusos de porca

A superfície dos parafusos de porca é lisa, com exceção da ponta roscada que permitirá

aparafusar a porca. Em conjunto com o parafuso e a porca também são utilizadas anilhas, em

ambos os topos, que têm por objetivo distribuir a força perpendicular às fibras por uma área

adequada, de forma a não ocorrer esmagamento localizado logo após a montagem (Mendes, P

1994).

Pelo facto das ligações com parafusos de porca reagirem sobre a madeira em área muito

superior do que pregos, este tipo de ligação confere um melhor comportamento no tempo

sobretudo se se reapertar os parafusos a determinados intervalos de tempo (Clemente, J.S.

1976).

Figura 16 – Parafusos de porca. (Mendes, P.,1994)

4.2.3. Ligações por parafusos correntes

A superfície dos parafusos correntes é roscada. O tipo de tecnologia utilizado para este tipo de

parafuso é, geralmente, o de pré-furação. O diâmetro de pré-furação deve ser ligeiramente

inferior ao do parafuso, para que este mobilize, além da resistência ao corte, alguma

resistência ao arranque. A utilização deste tipo de ligadores é pouco utilizada em estruturas de

madeira.

Figura 17 – Parafusos correntes. (Mendes, P.,1994)

27

4.2.4. Ligação por cavilhas

Tal como as ligações por parafusos correntes, a ligação por cavilhas tem uma utilização

relativamente pequena em estruturas. As cavilhas são introduzidas sobre pressão de forma a

ficarem justas, sendo que a força de aperto é transmitida por atrito ao longo da cavilha. A

eficiência deste tipo de ligação tem tendência para decrescer muito por causa das sucessivas

variações de humidade dos elementos ligados entre si. Em termos estéticos este tipo de

ligação é uma mais-valia pelo facto de permitir acabamentos que os parafusos de porca não

permitem.

Figura 18 – Exemplo de ligação tipo cavilha. (ITABOLT)

4.2.5. Ligadores de superfície

Surgiram também os ligadores lineares que se situam entre faces dos elementos. Estes foram

importantes para a evolução das tecnologias das ligações, aparecendo posteriormente os anéis

e as chapas denteadas. Este tipo de ligação é geralmente acompanhado pelos ligadores

metálicos já enunciados (excetuando as ligações por cavilhas), fazendo com que as tensões

atuantes nestes sejam bastante inferiores reduzindo também a deformação da ligação porque

ao terem tendência para rodar mobilizam mais aperto nos ligadores.

As barras quando ligadas com este tipo de ligador têm tendência a rodar devido ao binário

provocado pelas ações. Para contrariar esse efeito pode se adotar outro tipo de perfil tal como

as barras com perfil T.

28

Figura 19 – Pormenor de barras de perfil retangular e perfil T. (Mendes, P.,1994)

Posteriormente, com resultado de estudos, surgiram outros ligadores que permitiram

melhorar a eficiência da ligação tais como as barras dobradas ou arqueadas. Pelo facto destes

terem uma rigidez superior às barras de perfil retangular, estes contrariam os momentos

desenvolvidos na ligação.

Continuando com o raciocínio por uma maior rigidez tem-se uma maior eficiência da ligação

surgiram os anéis metálicos. Em termos construtivos estes ligadores também garantem uma

aplicação mais simples porque os rasgos são efetuados através de uma máquina rotativa

provida de lâminas.

Por fim, nos ligadores de superfície encontram-se ainda as chapas denteadas e ferragens. Estas

últimas são bastante utilizadas em asnas de madeira, com os pés-de-galinha são utilizados para

a ligação Perna-Pendural, os tês para a ligação Perna-Escora e as braçadeiras para a ligação

Perna-Linha.

Figura 20 – Esquema tradicional de ferragens para asnas de madeira. (Costa, F., 1955)

29

5. Modelos de cálculo em entalhes na ligação Linha e Perna de

uma asna

As ligações por entalhe são ligações que só têm capacidade para transmitir esforços de

compressão, sem qualquer tipo de aparelho para efetuar a conexão, sendo esta efetuada

unicamente pelas próprias superfícies. Estas ligações contam com as forças internas de

compressão para manterem-se em contacto e, por vezes, também com a ajuda de ligadores

metálicos. Esta prática é mais comum nos países ocidentais do que nos orientais. (Palma, P. &

Cruz, H., 2007)

Quando se efetua uma ligação por contacto entre duas peças de madeira, os cernes das peças

podem não ser coincidentes, havendo partes de madeira mais resistentes a apoiar-se em

madeira menos resistente (madeira de verão e madeira de primavera, respetivamente). Deste

modo pode existir uma possível penetração das fibras de uma secção para outra. A

probabilidade de penetração é maior em ângulos de conexão reduzidos sendo praticamente

desprezível para ligações com 90⁰.

O Eurocódigo 5 não apresenta nenhuma informação para alterar a resistência da madeira

devido à penetração de fibras entre peças. Isto é justificado pelo facto deste fenómeno não

acontecer no domínio das tensões admissíveis. Portanto os valores de resistência em

compressão oblíqua são obtidos pelas equações de Hankinson.

Figura 21 – Tensão de compressão com um determinado ângulo em relação ao fio. (EN1995-1-1, 2004)

𝜎𝑐,𝛼,𝑑 ≤𝑓𝑐,0,𝑑

𝑓𝑐,0,𝑑

𝑘𝑐,90𝑓𝑐,90,𝑑𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼

(5-1)

Onde:

𝜎𝑐,𝛼,𝑑 é a tensão de compressão num ângulo α do fio;

𝑓𝑐,0,𝑑 é a tensão de compressão de dimensionamento paralelo ao fio;

𝑓𝑐,90,𝑑 é a tensão de compressão de dimensionamento perpendicular ao fio;

𝑘𝑐,90 é um fator que toma em conta o efeito de qualquer tensão perpendicular ao fio.

30

Onde:

𝑘𝑐,90 =𝑙𝑒𝑓

𝑙 (5-2)

e

𝑙 é o comprimento da superfície de compressão;

𝑙𝑒𝑓 é o comprimento efectivo de distribuição de acordo com o parágrafo 6.1.5 do

Eurocódigo 5.

A tensão de compressão 𝜎𝑐,𝛼,𝑑 é gerada por uma força de dimensionamento a actuar na área

carregada (bh/cosα):

𝜎𝑐,𝛼,𝑑 =𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑏ℎ (5-3)

5.1. Entalhe simples com um dente

Segundo o modelo de cálculo baseado pela norma Suiça (SIA), toda a carga axial é transmitida

através da superfície de contacto na extremidade do entalhe.

Como já foi referido anteriormente a resistência paralela ao fio é superior à resistência

transversal ao mesmo, assim o ângulo de corte da madeira influencia a resistência da ligação

de carpintaria. Se a perna da asna for cortada a 90° esta oferecerá uma resistência máxima,

mas a resistência da linha será reduzida. A resistência ótima obtém-se com um ângulo de corte

igual para os dois membros sendo o ângulo a bissetriz entre os mesmos.

Nos casos em que o entalhe se encontra próximo da extremidade é necessário garantir um

comprimento mínimo (ν) para resistir à tensão tangencial que surge na mesma.

Figura 22 – Geometria e forças que atuam num entalhe simples. (Natterer, J., et al 2004)

O modelo apresentado para a transmissão dos esforços do entalhe pode afastar-se

consideravelmente da realidade por poderem existir imprecisões na execução do entalhe,

variação das dimensões dos elementos devido à retração e inchamento e, também, atrito

entre as superfícies dos elementos.

31

Figura 23 – Variação da transmissão das forças num entalhe simples. (Natterer, J., et al 2004)

Neste modelo admite-se que o esforço transmitido por contacto é a componente horizontal

dado por:

𝐻 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 (5-4)

Põe-se a hipótese da componente de H que age na parte dianteira do entalhe tem o valor de:

𝐹 =𝐻

𝑐𝑜𝑠𝛽/2=

𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛽/2 (5-5)

Esta força age na superfície A dada por:

𝐴 = 𝑏𝑡

𝑐𝑜𝑠𝛽/2 (5-6)

Sendo:

𝑏 Largura das peças;

𝑡 Profundidade do entalhe;

O valor de dimensionamento da tensão de compressão, já enunciada anteriormente, a agir na

superfície A, é dada por:

𝜎𝑐,𝛼,𝑑 =𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑏𝑡=

𝐻𝑑

𝑏𝑡 (5-7)

Sendo:

𝑁𝑑 O valor de dimensionamento do esforço normal de compressão;

𝐻𝑑 O valor de dimensionamento da componente horizontal de 𝑁𝑑.

Através do valor de resistência de dimensionamento oblíqua enunciada anteriormente, limita-

se a profundidade do entalhe através da seguinte expressão:

𝑡 ≥ 𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑏𝑓𝑐,𝛼,𝑑

(5-8)

Sendo 𝛼 =𝛽

2

Para evitar o enfraquecimento da peça entalhada, é necessário impor um limite para a

profundidade do entalhe. Este limite é dado por (Natterer, J., et al 2004):

32

𝑡 ≤ ℎ

4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛽 ≤ 50° (5-9)

𝑡 ≤ ℎ

6 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛽 ≥ 60° (5-10)

A componente horizontal também é transmitida por tensões tangenciais na parte exterior da

linha. O valor da tensão tangencial é dada por:

𝜏𝜈,𝑑 =𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑏𝑣=

𝐻𝑑

𝑏𝑣 (5-11)

Sendo:

v A largura da parte exterior da linha como apresentada na Figura 22.

Ao utilizar a resistência ao corte simples para limitar o valor de cálculo da tensão tangencial,

obtém-se o valor mínimo necessário do comprimento 𝒗 da parte exterior da linha.

𝜈 ≥𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑏𝑓𝑣,𝑑

(5-12)

𝑓𝑣,𝑑 Valor de cálculo da resistência da madeira ao corte.

Figura 24 – Decomposição do esforço de compressão N. (Natterer, J., et al 2004)

De referir que o limite inferior do comprimento 𝝂 é de 15 cm para evitar o enfraquecimento

natural da madeira de extremidade (Natterer, J., et al 2004).

A componente vertical da carga é transmitida, principalmente, pela parte traseira do entalhe.

A largura da perna (d) tem de ser suficiente para assegurar uma resistência adequada, sendo

esta restrição praticamente desprezável para ângulos inferiores a 60⁰, ou seja, quando a

componente vertical do esforço axial é pouco importante (Natterer, J., et al 2004).

𝑑 ≥𝑁𝑑

𝑏𝑓𝑐,𝛼,𝑑 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛼 = 𝛽

(5-13)

33

Figura 25 – Largura da perna para o entalhe simples. (CECOBOIS 2012)

5.2. Entalhe com dente simples posterior

Apesar de não se modelar este tipo de entalhe no âmbito deste trabalho, considerou-se

importante apresentar o modelo de análise do mesmo visto o entalhe com dente duplo ser

resultado da junção das principais características do entalhe simples com um dente e do

entalhe com dente simples posterior.

Neste tipo de entalhe o ângulo de corte é geralmente perpendicular ao eixo da perna. Deste

modo evita-se a transmissão de cargas na parte da frente do entalhe que criaria esforços de

tração perpendiculares às fibras.

O esforço é transmitido por contacto sobre a superfície cortada perpendicularmente ao eixo

longitudinal da barra que se irá apoiar na linha. Unicamente a parte de trás da ligação é que

resiste à força aplicada sendo necessário verificar a resistência da linha à compressão oblíqua e

a resistência da perna à compressão paralela da fibra. O valor da resistência à compressão

oblíqua ao fio é inferior à paralela assim, se a linha e a perna tiverem os mesmos valores de

resistência unitária, a primeira é que será condicionante para o cálculo.

Este tipo de disposição diminui a eficiência da transmissão de cargas porque o ângulo de

contacto não é igual à bissetriz como é o caso no entalhe simples com um dente. Portanto a

desvantagem deste entalhe é que a relação entre a capacidade de carga e a profundidade do

entalhe é mais fraca do que no entalhe simples. No entanto, tem a vantagem de aumentar ao

máximo o comprimento ν da parte exterior da linha (Figura 26).

Figura 26 – Geometria e forças atuantes num entalhe com dente posterior. (Natterer, J., et al 2004)

34

Para evitar a fissuração da frente do entalhe, deixa-se uma abertura de 1 a 2 mm entre esse

local e a linha.

Figura 27 – Espaçamento necessário para que não exista fissuração devido à retracção. (Natterer, J., et al 2004)

As verificações de segurança para este tipo de entalhe é praticamente idêntico ao do entalhe

simples com um dente sendo a única diferença a mudança do comprimento da superfície de

contacto, de d para ts, na equação (5-13) pelo facto da superfície de contacto neste caso só se

efetuar numa parte da perna. O valor de ts é obtido pela seguinte expressão (Natterer, J., et al

2004):

𝑡𝑠 =𝑡

𝑐𝑜𝑠𝛽 (5-14)

Obtém-se assim:

𝑡 ≥𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑏𝑓𝑐,𝛼,𝑑 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛼 = 𝛽 (5-15)

5.3. Entalhe com dente duplo

O entalhe com dente duplo combina as vantagens dos dois entalhes anteriores (ângulo de

corte da peça e comprimento ν otimizado). Têm-se assim duas profundidades diferentes, t1 e

t2, sendo a primeira configurada como um entalhe simples e a profundidade t2 que apresenta

as características do entalhe com dente simples posterior. Para que as hipóteses de cálculo

sejam válidas é necessário, tal como nos entalhes já referidos, superfícies de corte que

assentam perfeitamente entre as peças. Para facilitar a execução deste tipo de entalhes pode-

se deixar um espaçamento na parte do entalhe simples da ligação e assegurar unicamente o

contacto sobre a parte do entalhe posterior da ligação. Posteriormente colocam-se chapas

galvanizadas no local onde foi deixado o espaçamento entre peças, para assegurar o perfeito

contacto entre os dois elementos que perfazem a ligação.

35

Figura 28 – Geometria e forças atuantes num entalhe com dente duplo. (Natterer, J., et al 2004)

A transmissão do esforço de compressão é efetuada sobre duas superfícies com inclinações

diferentes. Assim, o ângulo dos valores de cálculo de resistência são diferentes para as duas

superfícies, sendo α=β/2 para a parte do entalhe simples com profundidade t1 e α=β para a

parte do entalhe posterior com profundidade t2. Para simplificar o cálculo admite-se que o

angulo do valor de cálculo de resistência é dado pela média entre os dois, ou seja, α=3/4β.

Assim, a condição da espessura é dada por (Natterer, J., et al 2004):

𝑡 ≥𝑁𝑑𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑏𝑓𝑐,𝛼,𝑑 𝑐𝑜𝑚 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 𝑒 𝛼 =

3

4𝛽

(5-16)

A profundidade t1 tem sempre de ser inferior à t2 para se ter duas superfícies “independentes”

para as tensões tangenciais que se formam.

Tanto o comprimento ν como a transmissão da componente vertical da carga aplicada para o

fundo do entalhe são calculados da mesma forma que o entalhe simples.

37

6. Modelação e análise

6.1. Introdução

Este capítulo incide sobre a modelação dos entalhes até à análise dos mesmos. Começou-se

por referir as características físicas e geométricas usadas para a modelação dos entalhes

simples com um dente e dos entalhes com dente duplo. Também foi referido o tipo de análise

efectuada e a razão pela qual foi usada para este trabalho. Seguidamente estão indicados os

resultados obtidos através do programa de cálculo automático SAP2000 para as diferentes

análises efectuadas. Estas análises centraram-se para o entalhe simples com um dente e para

o entalhe com dente duplo para diversos ângulos de inclinação da asnas e para diversos

comprimentos da extremidade livre da madeira ν. A comparação dos resultados obtidos é

apoiada por diversos gráficos.

6.2. Características físicas e geométricas

A modelação dos entalhes foi efetuada tendo em conta a estrutura de uma asna de madeira.

Como o objetivo deste trabalho é de estudar os entalhes entre os elementos de uma asna, a

modelação foi feita numa parte localizada, modelando-se assim unicamente metade da asna

de madeira.

Para a modelação de todos os entalhes as características físicas da madeira são idênticas. As

característic0as usadas são da madeira com classe de resistência C18 (Tabela 3).

Tabela 3 – Características físicas da madeira utilizada na modelação.

Madeira C18

Módulo de elasticidade (kN/mm2) EO,mean 9

Módulo de distorção (kN/mm2) G,mean 0.56

Densidade característica (kg/m3) ρk 320

Densidade média (kg/m3) ρmean 380

As características geométricas da perna e da linha estão enunciadas na Tabela 4.

Tabela 4 – Características geométricas dos elementos constituintes do entalhe.

Características Geométricas Perna Linha

Espessura (m) 0.2 0.2

Largura (m) 0.1 0.15

38

Para a definição das profundidades dos entalhes e do comprimento ν correspondente à parte

da madeira exterior da linha, utilizaram-se as expressões definidas no capítulo anterior de

forma a usar valores já utilizados em termos práticos.

As profundidades do entalhe (t1 e t2), o ângulo entre as duas peças e o comprimento ν

utilizados estão apresentadas na Tabela 5.

Tabela 5 – Profundidades e comprimento ν nos diferentes tipos de entalhe.

Tipo de Entalhe t1 (cm) t2 (cm) v (cm) β (°)

Dente Simples 3 - 10-30 25-60

Dente Duplo 2 3 10-30 25-60

As profundidades dos entalhes serão idênticas para todas as modelações efetuadas. As

características variáveis das modelações são a extremidade livre de madeira, ν, e o ângulo

entre os elementos que constituem o entalhe.

O entalhe base para a realização das análises foi o entalhe com uma inclinação de 30⁰ entre a

linha e a perna. Assim, todas as características, para além do ângulo β e do comprimento da

extremidade livre, mantiveram-se sempre inalteradas conservando-se, assim, as características

do entalhe base.

Na Figura 29 e na Figura 30 estão representados, respectivamente, um dos modelos

correspondente ao entalhe simples com um dente e um correspondente ao entalhe duplo.

Figura 29 – Modelação do entalhe simples com um dente – β = 30 , v = 0.15.

39

Figura 30 – Modelação do entalhe com dente duplo – β = 30 , v = 0.15.

Ao efetuar a modelação das áreas o programa assume que as peças estão completamente

ligadas entre si. No entanto, num entalhe de uma asna de madeira, a perna está simplesmente

apoiada na linha. Assim foram criados, na separação da linha com a perna, pares de nós

diferentes com coordenadas iguais, sendo um dos nós do par atribuído à linha e o outro à

perna da asna.

Figura 31 – Pormenorização do entalhe simples – Sobreposição dos nós na superfície de ligação dos elementos.

40

Figura 32 – Pormonerização do entalhe duplo – Sobreposição dos nós na superfície de ligação dos elementos.

A conexão entre os pares de nós será feita através de ligações com uma rigidez equivalente à

rigidez axial da linha. Esta é uma hipótese simplificativa usada neste modelo para garantir que

a transmissão das cargas ocorra sem grandes deformações relativas.

O programa permite escolher as direções em que as ligações trabalham. A escolha destas está

estritamente relacionada com a forma de transmissão de esforços realizada pelo entalhe.

Como já se referiu anteriormente, os esforços são transmitidos perpendicularmente às

superfícies entalhadas, sendo que a componente horizontal será, principalmente, transmitida

pela parte frontal do entalhe.

Portanto, para aproximar o modelo no programa SAP2000 ao modelo teórico criaram-se três

ligações com diferentes eixos para o entalhe simples com um dente e para o dente duplo.

As características destas ligações estão enunciadas na Tabela 6.

Tabela 6 – Características das ligações entre a perna e a linha.

Nome Direções rígidas Rigidez (N/mm)

Ligação 1 U2, U3 270000

Ligação 2 U2 270000

Ligação 3 U3 270000

Como se pode observar na Tabela 6 as ligações 2 e 3 só foram modeladas para a direção U2 e o

U3 respetivamente, de modo a que as forças sejam transmitidas unicamente na direção

perpendicular as superfícies de contacto. Sendo que U2 e U3 correspondem a duas das três

direções locais dos nós.

Estas podem ser observadas na Figura 33 e na Figura 34 para o entalhe simples e para o

entalhe duplo respetivamente.

41

Figura 33 – Características das ligações na junção da perna à linha. Entalhe com um dente.

Figura 34 – Características das ligações na junção da perna à linha. Entalhe duplo.

Apesar do estudo ser concentrado principalmente na zona do entalhe, é necessário que as

condições de apoio reflitam ao máximo as condições estáticas das asnas de madeira no ponto

de vista prático. As asnas de madeira estão apoiadas nas duas extremidades da linha. Deste

modo, modelou-se junto à extremidade mais próxima do entalhe um conjunto de apoios

simples que absorve reações verticais. Na outra extremidade da linha, que na realidade

corresponde à parte central numa asna, modelou-se, através de regras de simetria, o último

conjunto de apoios, que irá absorver as reações horizontais (Figura 35).

Figura 35 – Apoios existentes na modelação da asna

42

6.3. Análise não linear

Ao se aplicar uma força repentinamente, existe uma variação das tensões devido à aplicação

momentânea da carga e, de forma a evitar essas flutuações, efetuou-se uma análise não linear,

com a aplicação gradual do carregamento. A razão pela qual se optou por uma análise não

linear prende-se com as condições consideradas nos apoios que apenas permitem a

transmissão de forças de compressão.

O carregamento foi aplicado de forma gradual no tempo para evitar a resposta dinâmica que

decorre da aplicação instantânea do carregamento. Definiu-se um intervalo de tempo em que

a ação é incrementada até ao seu valor máximo mantendo-se constante até ao final da análise.

Assim, definiu-se um tempo de análise total de 10 segundos sendo que a ação totaliza o seu

valor máximo ao fim de 4 segundos. O gráfico da força aplicada em relação ao tempo tem o

aspeto da Figura 36.

Figura 36 - Análise não linear – Força aplicada em função do tempo.

6.4. Análise e tratamento de resultados

Após ter sido efetuada a introdução de todos os dados necessários para um correto modelo

estrutural, procedeu-se à análise dos entalhes. Em primeira instância foi necessário colocar

uma força de compressão na perna da asna. O valor da força colocada não é de grande

importância para o âmbito deste trabalho pelo facto de não ser efetuada qualquer tipo de

verificação de segurança, mas, a título indicativo, e para conseguir fazer uma comparação

entre os diversos modelos, o valor utilizado é de 30 kN. A colocação da força no SAP2000 tem

de ser efetuada através da aplicação a vários pontos, pois como a estrutura é constituída

unicamente por elementos finitos não é possível colocar a força diretamente no centro de

gravidade da secção da perna. A parte inicial da perna está dividida, no modelo, em três

elementos finitos por linha, assim, dividindo-se de forma adequada o valor total da força pelos

nós obtém-se a resultante de 30 kN.

Depois da análise efetuada é possível obter os valores da força transmitida por cada uma das

ligações entre a perna e a linha, conseguindo-se obter a resultante a atuar em cada uma das

superfícies do entalhe. Também foi calculada a resultante da força através da resultante de

43

tensões obtidas nas superfícies de contacto. Estas tensões foram obtidas através dos nós dos

elementos finitos que se encontram na superfície de corte, sendo que, melhor será a

aproximação quanto maior a pormenorização da malha de elementos finitos.

Ao se obter as tensões resultantes é necessário traduzir a mesma em termos de força, usando

a expressão 6-1.

𝜎 =𝑁

𝐴

(6-1)

Sendo,

σ Tensão de compressão;

N Força normal atuante na superfície;

A Área da superfície.

6.4.1. Entalhe simples

No capítulo anterior afirmou-se que a parte frontal do entalhe é aquela que transmite a maior

parte do esforço atuante. Através desta análise vai ser possível confirmar essa afirmação.

Na Figura 37 observam-se as tensões horizontais no entalhe simples com um ângulo de 30⁰

entre a linha e a perna.

Figura 37 – Tensões S11 do entalhe simples com um dente, ângulo de 30⁰.

Observa-se uma grande concentração de tensões na ponta do entalhe, deixando antever uma

maior transmissão de cargas nesse local. Os valores superiores de tensões encontram-se junto

à parte frontal do entalhe, como seriam de esperar, pois a maior parte da componente

horizontal da força aplicada é transmitida por essa superfície.

44

As análises foram efetuadas para vários ângulos para se obter a influência do ângulo na

transmissão de esforços. Na Tabela 7 encontram-se indicados os valores das forças F1 e F2 (ver

Figura 20), transmitidas por cada parte do entalhe, para os diversos valores do ângulo.

Tabela 7 – Força transmitida por cada superfícies de corte do entalhe

Entalhe Simples Ângulo

Resultante 25 30 35 40 45 60

Parte frontal – F1 (kN) 28,89 28,42 27,46 26,47 25,56 21,49

Parte traseira – F2 (kN) 5,26 7,79 10,29 12,70 15,01 21,22

Figura 38 - Força actuante em função do ângulo.

Realizou-se o cálculo para a resultante de tensões, tal como foi mencionado anteriormente. O

valor das tensões é obtido através do programa de cálculo automático SAP2000 nos diferentes

nós pertencentes a cada um dos elementos finitos. Para se obter a resultante em cada

superfície calculou-se a média das tensões dos nós pertencentes a cada superfície onde ocorre

a transmissão da força da perna para a linha (Figura 39). Com os resultados obtidos

calcularam-se através da expressão (6-1) os respetivos valores da força a atuar na superfície.

Na tabela seguinte estão apresentadas as dimensões das superfícies de contacto para os vários

ângulos.

Tabela 8 – Comprimento das superfícies de contacto.

Ângulos 25 30 35 40 45 60

Superfície 1 L (cm) 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1

Superfície 2 L (cm) 23,06 19,43 16,9 15,06 13,27 11,6

5

10

15

20

25

30

35

20 30 40 50 60 70

Forç

a A

ctu

ante

(kN

)

Ângulo (°)

F1

F2

45

Figura 39 – Notação utilizada para as superfícies de contacto

Sendo que a superfície 1 é a superfície frontal do entalhe e a superfície 2 a parte traseira do

entalhe. Multiplicando os valores na tabela anterior com a espessura já referida na Tabela 4

obtém-se a área da superfície de contacto. Os valores obtidos da resultante de forças estão

indicados na Tabela 9.

Tabela 9 – Força transmitida por cada superfície de contacto – Calculado através da resultante de tensões

Entalhe Simples Ângulo

Resultante 25 30 35 40 45 60

Parte Frontal - F1 (kN) 25,12 24,64 24,24 23,46 22,64 17,84

Parte Traseira - F2 (kN) 4,30 6,34 8,74 10,15 12,77 19,18

Figura 40 - Força actuante em funçaõ do ângulo – calculado atravês da resultante de tensões.

Comparando a Figura 38 e a Figura 40 constata-se que, usando cada um dos métodos para o

cálculo das forças a atuar nas superfícies, os gráficos têm o mesmo aspeto, mas com

0

5

10

15

20

25

30

20 30 40 50 60 70

Forç

a at

uan

te (

kN)

Ângulo (°)

F1

F2

46

resultados um pouco diferentes. Isto é resultado, nomeadamente, da construção da malha, e o

facto de esta não ser suficientemente detalhada para ter valores mais precisos.

De acordo com os valores da tabela e do gráfico anteriores, verifica-se que a transmissão da

força é feita de forma distinta dependendo da inclinação da perna. Para um ângulo maior, a

parte traseira do entalhe adquire cada vez mais preponderância para a transmissão da carga.

Verifica-se esta tendência de forma praticamente linear.

Com o ângulo de 60⁰, a componente vertical da força é cada vez mais importante fazendo com

que a superfície número 2 tenha cada vez mais preponderância para a transmissão da força.

A comprovação dos valores obtidos pode ser feita facilmente através de simples operações

trigonométricas. Para estas operações utilizaram-se os resultados obtidos pela Tabela 7 por

estarem mais próximos do valor exato. Tomando como exemplo o entalhe com um ângulo de

30⁰ entre a perna e a linha.

Figura 41 – Diagrama das forças atuantes.

As resultantes da força aplicada são obtidas por:

𝑉𝑎 = 𝐹𝑎 × 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 15 𝑘𝑁 (6-1)

𝐻𝑎 = 𝐹𝑎 × 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 25,98 𝑘𝑁 (6-3)

Sendo

α 30⁰;

Fa 30 kN;

Os valores obtidos nas faces dos entalhes pela análise efetuada já foram enunciados na Tabela

7. A resultante vertical e horizontal de cada uma delas é obtida por:

𝑉1 = 𝐹1 × sen(β) = 7.35 𝑘𝑁 (6-3)

𝐻1 = 𝐹1 × cos(β) = 27.45 𝑘𝑁 (6-3)

47

𝑉2 = 𝐹2 × cos(δ) = 7.69 𝑘𝑁 (6-3)

𝐻2 = 𝐹2 × sen(δ) = −1.22 𝑘𝑁 (6-3)

Sendo,

β 15⁰ (Figura 42);

δ 9⁰ (Figura 42);

F1 Força atuante na superfície frontal do entalhe (Figura 42);

F2 Força atuante na superfície traseira do entalhe (Figura 42).

Figura 42 – Diagrama das componentes das forças a atuar nas superfícies.

Somando as resultantes de cada superfície obtém-se o valor aproximado da força aplicada. A

diferença obtida é fruto da utilização de valores angulares aproximados no cálculo anterior.

Na Tabela 10 mostra-se a percentagem da resultante vertical e horizontal da força aplicada

que é obtida através de cada uma das superfícies do entalhe para os diferentes ângulos.

Tabela 10 – Percentagem da força absorvida por parte das superfícies do entalhe

Ângulo Força aplicada (Fa) Resulante parte frontal (F1) Resulante parte traseira (F2)

Va (kN) Ha (kN)

Vf (kN)

Hf (kN)

Vf/Va (%)

Hf/Ha (%)

Vt (kN)

Ht (kN)

Vt/Va (%)

Ht/Ha (%)

25 12.68 27.19 7.48 27.90 59% 103% 5.22 -0.64 41% -2%

30 15.00 25.98 7.35 27.45 49% 106% 7.69 -1.22 51% -5%

35 17.21 24.57 7.11 26.52 41% 108% 10.14 -1.79 59% -7%

40 19.28 22.98 6.85 25.57 36% 111% 12.47 -2.42 65% -11%

45 21.21 21.21 6.61 24.69 31% 116% 14.68 -3.12 69% -15%

60 25.98 15.00 5.49 20.75 21% 138% 20.39 -5.85 78% -39%

A Tabela 10 resume de forma sucinta a percentagem da força total absorvida por parte de

cada uma das superfícies dos entalhes. Observa-se facilmente a compensação existente entre

as duas superfícies.

48

Outra das características de um entalhe numa asna de madeira é a extremidade livre de

madeira que existe na linha, já mostrada anteriormente. Assim modelaram-se os entalhes de

30⁰ e 40⁰ com a extremidade livre da linha variável. Quanto maior é a extremidade livre, os

apoios verticais existentes encontram-se mais afastados do entalhe mas tendo em atenção

que a excentricidade entre os apoios e a linha de ação da força atuante não seja elevada.

Através da Figura 43 observa-se a localização utilizada para os apoios verticais para o entalhe

de 40⁰ para uma extremidade livre da linha de 10 cm e 30 cm.

Figura 43 – Localização dos apoios verticas para o entalhe de 40⁰ a) com ν = 10 cm b) com ν = 30 cm.

Os valores de tensão obtidos para cada entalhe encontram-se no Anexo II.

Na Figura 44 e na Figura 45 estão representadas as notações utilizadas pelo programa de

cálculo automático SAP2000 para o entalhe de 40⁰ e 30⁰ respetivamente.

49

Figura 44 - Numeração dos elementos finitos, dos nós e eixos dos elementos, para o entalhe simples de 40⁰.

Figura 45 - Numeração dos elementos finitos, dos nós e eixos dos elementos, para o entalhe simples de 30⁰.

Tabela 11 - Numeração dos nos para a Figura 46, Figura 47 e Figura 48

Entalhe de 40⁰ Entalhe de 30⁰

Nº no gráfico

Elemento Nó Elemento Nó

1 158 1001 212 1001

2 158 1002 212 1002

3 189 1002 214 1002

4 189 1003 214 1003

5 190 1003 280 1003

6 190 1004 280 1004

7 191 1004 287 1004

8 191 1005 287 1005

9 191 1006 287 1006

10 188 1006 288 1006

11 188 1007 288 1007

12 185 1007 294 1007

13 185 1008 294 1008

14 182 1008 295 1008

15 182 1009 295 1009

16 179 1009 304 1009

17 179 1010 304 1010

18 178 1010 305 1010

19 178 1011 305 1011

20 173 1011 115 1011

21 173 1012 115 1012

22 4 1012 - -

50

23 5 1012 - -

24 5 1013 - -

Figura 46 - Tensões na direção 1 ao longo do entalhe simples de 40⁰


Através da Figura 46, apesar da diferença de tensões não ser muito elevada, repara-se que na

ponta do entalhe (posição 8 e 9) a tensão menor, na direção 1, ocorre quando se tem uma

extremidade livre de 30 cm. Assim, quanto menor a extremidade livre da linha, maior será a

concentração de tensões na ponta do entalhe. Isto vem ao encontro do que já se tinha escrito

no capítulo anterior em que a extremidade livre da madeira deveria ser maior ou igual a 15 cm

de forma a não sobrecarregar a ponta da madeira devido à fissuração natural da mesma.

Na Figura 47 verifica-se que para a direção 2 o mesmo não acontece, obtendo-se um valor de

tensão superior na ponta do entalhe para um maior comprimento da extremidade livre da

linha. Isto acontece pelo facto da posição dos apoios estar mais afastada dessa superfície e a

-8000.00

-7000.00

-6000.00

-5000.00

-4000.00

-3000.00

-2000.00

-1000.00

0.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23Te

nsã

o S

11

(kN

/m2

)

Nós

v=10

v=15

v=20

v=25

v=30

-1600.000

-1400.000

-1200.000

-1000.000

-800.000

-600.000

-400.000

-200.000

0.000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Ten

são

S2

2 (

kN/m

2)

Nós

v=10

v=15

v=20

v=25

v=30

51

componente vertical da força nessa direção mudar a sua direcção, aproximando-se mais da

ponta do entalhe. No entanto a força nessa superfície nunca é a mais condicionante, pelo valor

das tensões ser bastante menor do que na outra direção. Assim, este acréscimo de tensão não

se torna muito importante.


Na Figura 48 está representada a variação de tensões ao longo do entalhe simples de 30⁰, na

direção 1. A tendência é idêntica à do entalhe simples de 40⁰. Não se colocou o gráfico na

direção 2 para este entalhe por nesta direção o valor da força ser baixo como pode ser

verificado no Anexo II, sendo que a influência desta para a segurança do entalhe ser pouco

importante.

6.4.2. Entalhe duplo

O entalhe duplo ao combinar as características de um entalhe simples e de um entalhe com

dente posterior apresenta características mais complexas. Para avaliar o comportamento desta

ligação foram calculadas as resultantes da mesma forma do que foi usada para o entalhe

simples.

Para o entalhe com dente duplo a transmissão da força pode ser efetuada através de quatro

superfícies diferentes, como ilustrado na Figura 49.

Figura 49 - Notação utilizada para as forças transmitidas em cada superfície.

-8000.00

-7000.00

-6000.00

-5000.00

-4000.00

-3000.00

-2000.00

-1000.00

0.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Ten

são

S1

1 (

kN/m

2)

Nós

v=10

v=15

v=20

v=25

v=30

52

Assim como foi realizado para o entalhe simples, calcularam-se as forças atuantes em todas as

superfícies para diversos ângulos através das forças existentes nas ligações. Os valores obtidos

encontram-se na Tabela 12.

Tabela 12 – Força transmitida por cada superfície de contacto.

Entalhe duplo

Ângulo (°)

Resultante 25 30 35 40 45 60

F1 15,60 10,96 11,68 10,45 9,44 7,49

F2 1,77 5,57 5,66 6,96 8,56 8,08

F3 14,36 14,02 17,07 17,90 11,57 19,07

F4 0,00 0,00 0,42 1,35 1,48 7,58

Na Figura 50 encontra-se a representação das resultantes obtidas através das ligações.

Figura 50 - Força actuante em função do ângulo

Efetuou-se o mesmo raciocínio relativamente à resultante das tensões. Os comprimentos das

respetivas superfícies estão indicados na Tabela 13.

Tabela 13 – Comprimento das superfícies de contacto.

Entalhe duplo

Ângulo

Resultante 25 30 35 40 45 60

F1 2,06 2,06 2,06 2,06 2,06 2,06

F2 15,47 12,76 10,23 8,40 7,30 4,60

F3 3,30 3,45 3,45 3,45 3,45 3,45

F4 7,10 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00

20 30 40 50 60 70

Forç

a at

uan

te (

kN)

Ângulo (°)

F1

F2

F3

F4

53

Pela Tabela 13 verifica-se que os comprimentos das superfícies 1, 3 e 4 são idênticas para

todos os ângulos, excepto para o de 25⁰. Para se perceber esta escolha é necessário voltar à

modelação dos entalhes e, como já foi referido, o entalhe base é aquele em que a inclinação

entre a linha e a perna é de 30⁰. Para o entalhe base fez-se a ligação entre a perna e a linha

sem efetuar nenhum corte na peça, na parte traseira do entalhe como se verifica na Figura 51

a). Ao se reduzir o ângulo de inclinação de 5⁰, acontece o que se vê na Figura 51 b), ou seja, a

ponta da perna, na parte traseira, é mais espessa do que a restante peça, o que não acontece

usualmente, por se ter de desperdiçar uma grande quantidade de madeira. Assim, optou-se

por alterar de forma leve os comprimentos do entalhe de 25⁰ para que a peça não seja mais

espessa na sua ponta, influenciando de forma pouco acentuada os resultados.

Figura 51 – a) Entalhe de 30⁰ sem nenhum corte na parte traseira do entalhe. b) Entalhe de 25⁰ com aponta mais espessa do que a restante peça

Multiplicando os valores na tabela anterior com a espessura já referida na Tabela 4 obtém-se a

área da superfície de contato. Os valores obtidos da resultante de forças estão indicados na

Tabela 14.

Tabela 14 – Força transmitida por cada superfície de contato – calculado a partir da resultante de tensões.

Entalhe Duplo Ângulo

Resultante 25 30 35 40 45 60

F1 12,18 9,18 7,82 7,42 7,24 6,37

F2 2,97 3,47 4,32 5,26 6,54 9,00

F3 10,47 13,45 13,01 13,87 13,82 13,81

F4 0,28 0,48 0,40 0,98 2,64 5,38

A Figura 52 representa os valores obtidos na tabela anterior.

54

Figura 52 - Força atuante em função do ângulo.

Ao comparar os resultados da Figura 50 e da Figura 52 verifica-se semelhanças na forma como

cada uma das superfícies evolui com o aumento da inclinação da asna. Existem algumas

diferenças entre os gráficos que, como se explicou anteriormente, se devem a falta de uma

maior pormenorização da malha de elementos finitos.

As análises para cada ângulo, como já foi dito no capítulo anterior, foram feitas sempre com a

mesma profundidade dos entalhes (t1 = 2 cm, t2 = 3 cm).

Verifica-se pelo gráfico anterior que a força F4 é nula para as asnas com menor inclinação sem

nunca atingir um valor elevado. Pelo facto de a superfície ser paralela à atuação da força, no

caso dos ângulos de 25⁰ e 30⁰, esta não transmite qualquer percentagem da força atuante

para a linha. Para os entalhes de 40⁰ e 45⁰ já existe uma percentagem de transmissão de força,

tal acontece pela superfície e a força atuante já não serem paralelas, sendo cada vez mais

relevante para um ângulo de 60⁰.

Quanto às forças F1 e F3, como seria de esperar, são aquelas que efetuam a maior transmissão

de esforço, sendo que quando a abertura da asna aumenta, verifica-se que a força F2 ganha

cada vez mais preponderância.

A análise destas curvas não pode ser abordada como resultados exatos porque o entalhe está

otimizado para um ângulo de 30 graus, e não para um de 45 graus. Portanto podem surgir

alguns resultados diferentes, em termos práticos, consoante a disposição das várias variáveis

existentes na geometria duma asna de madeira.

Na Tabela 15 e na Tabela 16, estão indicadas as percentagens da força atuante absorvida por

superfície e por resultantes horizontais e verticais.

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

20 30 40 50 60 70

Forç

a at

uan

te (

kN)

Ângulo (°)

F1

F2

F3

F4

55

Tabela 15 – Percentagem da componente vertical absorvida por parte de cada superfície do entalhe duplo.

V/Va

Angulo 25 30 35 40 45 60

F1 31,84% 21,99% 17,57% 14,02% 11,68% 7,46%

F2 13,80% 26,21% 32,26% 35,03% 34,99% 26,66%

F3 58,33% 51,92% 49,61% 46,42% 43,01% 36,70%

F4 0,00% 0,00% 2,09% 6,07% 11,59% 25,28%

Total 103,98% 100,12% 101,53% 101,54% 101,28% 96,10%

Tabela 16 – Percentagem da componente horizontal absorvida por parte de cada superfície do entalhe duplo.

H/Ha (%)

Ângulo 25 30 35 40 45 60

F1 57,55% 50,01% 50,17% 49,77% 51,19% 48,24%

F2 -0,94% -2,53% -4,80% -8,31% -12,56% -27,75%

F3 47,01% 54,81% 65,74% 76,45% 87,44% 110,09%

F4 0,00% 0,00% -0,92% -3,33% -7,86% -25,28%

Total 103,62% 102,29% 110,18% 114,58% 118,22% 105,30%

Tal como para o entalhe simples modelaram-se os entalhes com diferentes extremidades livres

na linha para se perceber a influência destas para a distribuição de tensões. Para esta análise

utilizaram-se os entalhes de 30⁰ e 45⁰.

Os valores obtidos da tensão ao longo dos entalhes encontram-se no Anexo III.

Nas Figuras 53 e 54 encontra-se a notação utilizada pelo SAP2000 para os nós e os elementos

finitos, para o entalhe duplo de 45⁰ e 30⁰, respetivamente.

Figura 53 - Numeração dos elementos finitos, dos nós e eixos dos elementos, para o entalhe duplo de 45⁰.

56

Figura 54 - Numeração dos elementos finitos, dos nós e eixos dos elementos, para o entalhe duplo de 30⁰.

A Figura 55 e a Figura 56 representam a evolução das tensões ao longo do entalhe de 45⁰ para

a direção 1 e a direção 2 respetivamente.

Figura 55 - Tensões na direção 1 ao longo do entalhe duplo de 45⁰

-3500.00

-3000.00

-2500.00

-2000.00

-1500.00

-1000.00

-500.00

0.00

500.00

1000.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Ten

são

S1

1 (

kN/m

2)

Nós

v=10

v=15

v=20

v=25

v=30

57


A numeração usada no eixo das abcissas dos gráficos anteriores está definida na Tabela 17. Na

Figura 55 observa-se uma tendência em relação à superfície 1 (1-8) e à superfície 3 (12-19) do

entalhe duplo. Para um menor comprimento ν, a superfície 1 terá uma menor concentração de

tensões e, por sua vez, a superfície 3 terá uma maior concentração de tensões. Para um maior

comprimento ν acontece o inverso. Isto acontece pela mudança do encaminhamento de

cargas de uma superfície para outra consoante a localização dos apoios.

Pois para um comprimento ν superior, colocaram-se os apoios verticais mais afastados do

entalhe, tendo em atenção de não criar uma grande excentricidade entre a posição dos apoios

e a a linha de acção da força aplicada, como já foi referido no caso do entalhe simples com um

dente. Tendo-se os apoios mais afastados, a superfície número 2 encaminha mais carga para

os apoios. Para não criar uma grande excentricidade, os apoios referentes aos comprimentos

de 20, 25 e 30 centímetros situam-se no mesmo sítio. Assim, pelo gráfico não se consegue ver

a diferença mínima de tensões existente entre estes.

Na Figura 56 a tendência é idêntica, como seria de esperar.

-2000.00

-1500.00

-1000.00

-500.00

0.00

500.00

1000.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Ten

são

S2

2 (

kN/m

2)

Nós

v=10

v=15

v=20

v=25

v=30

58

Tabela 17 – Numeração dos nos para os gráficos 10 e 11.

Entalhe de 45⁰ Entalhe de 30⁰

Nº no gráfico

Elemento Nó Elemento Nó

1 170 1001 82 1001

2 170 1002 82 1002

3 171 1002 88 1002

4 171 1003 88 1003

5 172 1003 91 1003

6 172 1004 91 1004

7 173 1004 94 1004

8 173 1005 94 1005

9 173 1006 94 1006

10 169 1006 95 1006

11 169 1007 95 1007

12 151 1007 124 1007

13 151 1008 124 1008

14 152 1008 127 1008

15 152 1009 127 1009

16 153 1009 128 1009

17 153 1010 128 1010

18 154 1010 174 1010

19 154 1011 174 1011

20 154 1012 174 1012

21 155 1012 111 1012

22 155 1013 112 1013

23 156 1013 112 1013

A Figura 57 e a Figura 58 representam a evolução das tensões ao longo do entalhe de 30⁰ para

a direção 1 e a direção 2 respetivamente.


-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223

Ten

são

S1

1 (

kN/m

2)

Nós

v=10

v=15

v=20

v=25

v=30

59


Para um ângulo de 30⁰ constata-se a mesma tendência do que para o ângulo de 45⁰, mas com

uma menor diferença na variação das tensões. Esta diferença pode estar relacionada com a

percentagem de força atuante em cada superfície ser diferente para cada um dos entalhes.

-800

-600

-400

-200

0

200

400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Ten

são

S2

2 (

kN/m

2)

Nós

v=10

v=15

v=20

v=25

v=30

60

7. Conclusões

7.1. Conclusões gerais.

Neste capítulo são resumidos os principais resultados obtidos neste trabalho e apresentadas

às conclusões retiradas ao longo deste. Também são sugeridos desenvolvimentos que possam

ser efetuados para se puder obter uma maior bibliografia nos entalhes tradicionais, sobretudo

para efetuar a intervenção das asnas onde este tipo de entalhe está presente, ou seja, em

construções antigas.

Na Tabela 18 é possível observar a diferença dos resultados obtidos através das fórmulas

presentes na literatura atual, pela norma Suiça (equação 5-5).

Tabela 18 – Comparação das forças atuantes na superfície para o modelo e pelas equações existentes na literatura atual.

Entalhe Simples

Força Valor “teórico” (kN) Valor modelo (kN)

F1 (Entalhe 30°) 26.90 28.42

Entalhe duplo

Força Valor “teórico” (kN) Valor modelo (kN)

F1 + F3 (Entalhe 30°) 25.98 24.98

Assim, pela Tabela 18, vê-se que a diferença de valores entre os dois métodos não é muito

elevada demonstrando a validade das fórmulas usadas atualmente.

A partir deste trabalho também é possível concluir os seguintes pontos:

A geometria da asna tem uma grande influência na forma como as forças são

transmitidas nos entalhes tradicionais de uma asna de madeira;

Os pontos críticos do entalhe variam consoante a amplitude do ângulo entre a perna e

a linha da asna de madeira;

Uma maior extremidade livre da linha da asna de madeira permite uma diminuição da

tensão na ponta do entalhe;

As soluções necessárias para o reforço deste tipo de entalhes podem ser diferentes de

caso para caso pelo facto das secções críticas mudarem consoante o caso.

Assim, verifica-se a necessidade de efectuar um estudo mais aprofundado deste tipo de

ligações, para se poder obter as melhores soluções possíveis consoante a geometria das asnas

de madeira, para realizar a reabilitação das mesmas.

7.2. Desenvolvimentos futuros

Nos pontos seguintes estão enunciadas algumas sugestões para possíveis desenvolvimentos

futuros que servem de desenvolvimento e de complemento deste trabalho:

61

- Consideração de diferentes profundidades do entalhe, sobretudo para o entalhe com dente

duplo, para ver a influência destas para a transmissão das cargas.

- Estudar as diferentes possibilidades existentes para o reforço das asnas de madeira

tradicionais.

- Estudar os mesmos entalhes para diferentes tipos de acções, tais como acções cíclicas.

62

8. Bibliografia

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Comportamento e Reforço com Materiais Compósitos. Revista Portuguesa de Engenharia de

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Curso de Promoção Profissional 516-Coberturas de Edifícios Lisboa: LNEC.

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63

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I

ANEXO I – GEOMETRIA DOS ENTALHES ANALISADOS

Imagem I – Entalhe simples com ângulo de 30⁰ e υ = 15 cm

Imagem II – Entalhe duplo com ângulo de 30⁰ e υ = 15 cm

II

Imagem III - Entalhe simples com ângulo de 25⁰ e υ = 15 cm

Imagem IV – Entalhe duplo com ângulo de 25⁰ e υ = 15 cm

III

Imagem V - Entalhe simples com ângulo de 35⁰ e υ = 15 cm

Imagem VI - Entalhe duplo com ângulo de 35⁰ e υ = 15 cm

IV

Imagem VII - Entalhe simples com ângulo de 40⁰ e υ = 15 cm

Imagem VIII - Entalhe duplo com ângulo de 40⁰ e υ = 15 cm

V

Imagem IX - Entalhe simples com ângulo de 45⁰ e υ = 15 cm

Imagem X - Entalhe duplo com ângulo de 45⁰ e υ = 15 cm

VI

Imagem XI - Entalhe simples com ângulo de 60⁰ e υ = 15 cm

Imagem XII - Entalhe duplo com ângulo de 60⁰ e υ = 15 cm

VII

ANEXO III – TENSÕES AO LONGO DO ENTALHE SIMPLES PARA COMPRIMENTOS DE

EXTREMIDADE LIVRE DIFERENTE – ÂNGULO DE 30⁰ E 40⁰

Tabela I - Valores de tensão na direcção 1 para o entalhe simples de 40⁰ para diferents comprimentos livres da linha.

Entalhe duplo - Ângulo de 40 graus - S11

Nº no gráfico

Elemento Nó v - Extremidade livre da linha (cm)

10 15 20 25 30

1 158 1001 -3766.87 -3785.35 -4103.37 -4099.03 -4076.53

2 158 1002 -2603.22 -2607.41 -2710.78 -2709.29 -2699.28

3 189 1002 -2695.66 -2696.16 -2804.13 -2802.52 -2792.72

4 189 1003 -3329.76 -3326.26 -3346.39 -3346.09 -3343.35

5 190 1003 -3301.29 -3298.21 -3329.08 -3328.63 -3324.68

6 190 1004 -3575.85 -3565.96 -3494.71 -3495.79 -3498.34

7 191 1004 -3313.62 -3394.31 -3261.08 -3261.78 -3261.07

8 191 1005 -7489.41 -7595.15 -7042.49 -7048.63 -7093.72

9 191 1006 -7079.24 -7191.99 -6666.22 -6671.86 -6713.15

10 188 1006 -4116.14 -4062.16 -3856.35 -3859.02 -3885.57

11 188 1007 -4112.96 -4062.24 -3862.75 -3865.34 -3890.92

12 185 1007 -3718.12 -3664.87 -3497.48 -3499.65 -3527.04

13 185 1008 -3678.76 -3628.01 -3465.73 -3467.84 -3494.56

14 182 1008 -3005.00 -2959.81 -2835.77 -2837.45 -2862.78

15 182 1009 -2988.53 -2945.31 -2825.09 -2826.72 -2851.18

16 179 1009 -2465.87 -2431.72 -2340.87 -2342.15 -2363.19

17 179 1010 -2461.82 -2429.20 -2341.11 -2342.36 -2362.70

18 178 1010 -2004.33 -1982.50 -1923.13 -1924.01 -1939.07

19 178 1011 -2010.92 -1990.77 -1935.35 -1936.17 -1950.06

20 173 1011 -1548.82 -1540.57 -1516.44 -1516.81 -1523.38

21 173 1012 -1554.09 -1547.29 -1526.86 -1527.18 -1532.66

22 4 1012 -1547.69 -1541.30 -1524.26 -1524.51 -1528.85

23 5 1012 -1244.61 -1243.94 -1241.36 -1241.41 -1242.17

24 5 1013 -1244.61 -1243.94 -1241.36 -1241.41 -1242.17

VIII

Tabela II - Valores de tensão na direcção 2 para o entalhe simples de 40⁰ para diferents comprimentos livres da linha.


Nº no gráfico


10 15 20 25 30

1 158 1001 -507.45 -520.15 -601.90 -600.79 -591.11

2 158 1002 -335.74 -346.20 -395.28 -394.60 -386.93

3 189 1002 -450.65 -480.59 -579.67 -578.40 -560.46

4 189 1003 -485.90 -514.89 -606.09 -604.93 -587.91

5 190 1003 -542.07 -597.13 -712.87 -711.55 -685.40

6 190 1004 -553.88 -607.12 -717.05 -715.80 -690.67

7 191 1004 -1292.89 -1286.54 -1449.40 -1448.82 -1422.78

8 191 1005 -1284.33 -1261.05 -1433.41 -1432.87 -1407.92

9 191 1006 -635.98 -518.28 -611.51 -611.69 -613.32

10 188 1006 -416.07 -407.34 -394.27 -394.33 -395.62

11 188 1007 -212.35 -198.62 -187.07 -187.12 -188.39

12 185 1007 -224.38 -207.42 -193.47 -193.53 -195.74

13 185 1008 -193.95 -179.71 -157.70 -157.95 -163.29

14 182 1008 -192.16 -176.65 -153.59 -153.87 -160.45

15 182 1009 -177.06 -164.60 -142.44 -142.75 -149.21

16 179 1009 -198.37 -185.69 -162.92 -163.24 -170.35

17 179 1010 -209.52 -199.76 -178.89 -179.21 -185.97

18 178 1010 -253.56 -243.82 -221.74 -222.09 -229.50

19 178 1011 -279.47 -274.85 -263.89 -264.08 -268.20

20 173 1011 -356.84 -353.92 -346.60 -346.74 -350.02

21 173 1012 -342.70 -345.32 -351.69 -351.63 -351.02

22 4 1012 -465.36 -470.62 -483.54 -483.38 -480.88

23 5 1012 -434.80 -440.90 -456.21 -456.01 -452.80

24 5 1013 -434.80 -440.90 -456.21 -456.01 -452.80

IX

Tabela III - Valores de tensão na direcção 1 para o entalhe simples de 30⁰ para diferents comprimentos livres da linha.


Nº no gráfico


10 15 20 25 30

1 212 1001 -3705,73 -3753,95 -3973,09 -3969,44 -4022,78

2 212 1002 -2887,90 -2902,27 -2977,47 -2974,21 -2990,61

3 214 1002 -2935,97 -2953,02 -3036,35 -3033,40 -3052,90

4 214 1003 -3534,10 -3528,89 -3546,29 -3545,00 -3545,94

5 280 1003 -3479,10 -3477,34 -3504,80 -3502,96 -3506,37

6 280 1004 -3965,11 -3943,40 -3885,45 -3886,61 -3869,43

7 287 1004 -3694,62 -3675,80 -3639,71 -3639,97 -3627,02

8 287 1005 -7600,60 -7554,14 -7254,90 -7264,24 -7200,66

9 287 1006 -7118,46 -7075,46 -6808,58 -6816,81 -6759,48

10 288 1006 -3697,49 -3679,27 -3518,72 -3532,84 -3513,60

11 288 1007 -3743,06 -3724,47 -3571,46 -3584,76 -3565,83

12 294 1007 -3605,36 -3529,38 -3438,44 -3455,33 -3439,11

13 294 1008 -3549,05 -3477,29 -3390,53 -3406,61 -3391,28

14 295 1008 -2868,08 -2818,20 -2740,94 -2757,22 -2747,28

15 295 1009 -2846,89 -2798,45 -2725,05 -2740,62 -2731,07

16 304 1009 -2317,31 -2279,12 -2232,39 -2244,32 -2237,72

17 304 1010 -2306,46 -2270,85 -2224,71 -2236,18 -2229,82

18 305 1010 -1761,82 -1741,73 -1725,10 -1730,75 -1727,86

19 305 1011 -1773,21 -1756,88 -1740,75 -1745,75 -1743,20

20 115 1011 -1329,02 -1321,01 -1338,15 -1337,21 -1337,99

21 115 1012 -1376,28 -1369,57 -1385,66 -1384,64 -1385,46

X

Tabela IV - Valores de tensão na direcção 2 para o entalhe simples de 30⁰ para diferents comprimentos livres da linha.


Nº no gráfico


10 15 20 25 30

1 212 1001 -102,46 -104,05 -129,16 -126,55 -128,86

2 212 1002 -66,45 -66,49 -84,33 -81,79 -82,33

3 214 1002 -141,69 -139,80 -188,92 -182,31 -182,97

4 214 1003 -155,72 -153,70 -200,56 -194,1 -194,44

5 280 1003 -189,24 -176,41 -257,06 -246,19 -243,72

6 280 1004 -187,49 -174,30 -255,88 -244,92 -242,4

7 287 1004 -465,88 -434,02 -535,75 -521,56 -513,19

8 287 1005 -479,99 -447,33 -549,67 -535,38 -526,76

9 287 1006 -321,83 -374,14 -297,55 -299,72 -301,47

10 288 1006 -73,76 -114,64 -64,59 -66,31 -70,3

11 288 1007 -18,20 13,02 -11,39 -12,43 -13,15

12 294 1007 47,62 59,77 51,62 50,32 48,8

13 294 1008 -72,00 -75,47 -54,37 -57,28 -56,87

14 295 1008 -10,37 -10,06 3,87 1,14 1,16

15 295 1009 -98,33 -96,45 -74,21 -78,3 -76,83

16 304 1009 -18,26 -21,78 -6,01 -8,47 -7,91

17 304 1010 -107,69 -110,64 -93,63 -96,02 -94,9

18 305 1010 -148,50 -152,34 -134,24 -136,69 -135,51

19 305 1011 -192,64 -200,27 -196,59 -196,26 -196,51

20 115 1011 -340,90 -355,39 -347,86 -347,14 -347,61

21 115 1012 -377,80 -398,20 -407,84 -403,68 -406,08

XI

ANEXO III – TENSÕES AO LONGO DO ENTALHE DUPLO PARA COMPRIMENTOS DE

EXTREMIDADE LIVRE DIFERENTE – ÂNGULO DE 30⁰ E 45⁰

Tabela V - Valores de tensão na direcção 2 para o entalhe de 45⁰ para diferents comprimentos livres da linha.

Entalhe duplo - Ângulo de 45 graus - S11 (kN/m2)

Nº no gráfico


10 15 20 25 30

1 170 1001 -1894.35 -1805.87 -1894.85 -1894.50 -1894.35

2 170 1002 -1447.49 -1398.09 -1447.72 -1447.53 -1447.49

3 171 1002 -1539.91 -1484.58 -1540.18 -1539.96 -1539.91

4 171 1003 -1649.21 -1598.03 -1649.47 -1649.25 -1649.21

5 172 1003 -1695.45 -1641.71 -1695.70 -1695.49 -1695.45

6 172 1004 -1619.29 -1572.58 -1619.57 -1619.34 -1619.29

7 173 1004 -1566.68 -1517.96 -1566.96 -1566.73 -1566.68

8 173 1005 -3085.73 -3032.92 -3085.95 -3085.75 -3085.73

9 173 1006 -2710.01 -2664.31 -2710.23 -2710.04 -2710.01

10 169 1006 355.04 377.27 354.70 354.97 355.04

11 169 1007 411.05 442.34 410.71 410.98 411.05

12 151 1007 -1407.75 -1386.79 -1407.89 -1407.78 -1407.75

13 151 1008 -1696.81 -1704.17 -1696.81 -1696.81 -1696.81

14 152 1008 -1795.08 -1806.43 -1795.05 -1795.07 -1795.08

15 152 1009 -1822.56 -1843.10 -1822.48 -1822.54 -1822.56

16 153 1009 -1845.73 -1867.24 -1845.64 -1845.71 -1845.73

17 153 1010 -2095.11 -2132.27 -2094.92 -2095.08 -2095.11

18 154 1010 -2061.53 -2097.94 -2061.34 -2061.50 -2061.53

19 154 1011 -3120.69 -3190.00 -3120.27 -3120.62 -3120.69

20 154 1012 -3035.29 -3101.55 -3034.89 -3035.22 -3035.29

21 155 1012 -1473.30 -1478.90 -1473.26 -1473.29 -1473.30

22 155 1013 -1473.30 -1478.90 -1473.26 -1473.29 -1473.30

23 156 1013 -1729.12 -1744.39 -1729.04 -1729.11 -1729.12

XII

Tabela VI - Valores de tensão na direcção 2 para o entalhe de 45⁰ para diferents comprimentos livres da linha.


Nº no gráfico


10 15 20 25 30

1 170 1001 -650.22 -636.39 -665.75 -665.67 -665.65

2 170 1002 -533.74 -527.37 -547.27 -547.23 -547.23

3 171 1002 -874.31 -865.72 -902.68 -902.61 -902.61

4 171 1003 -844.51 -837.73 -872.16 -872.1 -872.1

5 172 1003 -1029.19 -1026.61 -1073.25 -1073.18 -1073.18

6 172 1004 -990.55 -988.64 -1032.20 -1032.13 -1032.13

7 173 1004 -1363.70 -1368.89 -1427.17 -1427.1 -1427.1

8 173 1005 -1302.47 -1307.28 -1361.59 -1361.52 -1361.52

9 173 1006 -67.70 -63.50 -45.60 -45.61 -45.6

10 169 1006 -644.88 -648.90 -619.41 -619.45 -619.46

11 169 1007 108.92 112.75 124.44 124.43 124.43

12 151 1007 587.88 611.75 573.99 574.18 574.22

13 151 1008 528.36 549.88 516.16 516.33 516.36

14 152 1008 64.92 73.26 67.61 67.67 67.68

15 152 1009 54.01 61.88 56.68 56.73 56.75

16 153 1009 -270.68 -272.31 -255.93 -255.97 -255.97

17 153 1010 -266.82 -268.32 -252.81 -252.85 -252.85

18 154 1010 -586.14 -595.45 -562.29 -562.4 -562.42

19 154 1011 -572.78 -581.64 -550.03 -550.14 -550.16

20 154 1012 -235.22 -232.99 -239.06 -239.05 -239.05

21 155 1012 -86.89 -81.51 -96.70 -96.65 -96.64

22 155 1013 -86.89 -81.51 -96.70 -96.65 -126.96

23 156 1013 -122.48 -120.41 -126.99 -126.97 -96.64

XIII

Tabela VII - Valores de tensão na direcção 1 para o entalhe de 30⁰ para diferents comprimentos livres da linha.


Nº no gráfico


10 15 20 25 30

1 82 1001 -2744,07 -2744,52 -2751,38 -2797,78 -2828,85

2 82 1002 -2070,54 -2070,5 -2073,77 -2089,3 -2100,94

3 88 1002 -2212,1 -2212,14 -2215,86 -2239,15 -2255,67

4 88 1003 -2093,53 -2093,31 -2098,95 -2110,97 -2123,58

5 91 1003 -2153,15 -2152,99 -2158,01 -2172,18 -2185,08

6 91 1004 -1937,15 -1936,81 -1944,18 -1949,77 -1961,27

7 94 1004 -1908,45 -1908,14 -1915,22 -1923,42 -1935,66

8 94 1005 -2712,87 -2712,63 -2716,19 -2698,59 -2694,73

9 94 1006 -2435,3 -2435 -2440,31 -2432,73 -2436,3

10 95 1006 451,35 452,15 440,2 395,12 349,79

11 95 1007 651,63 652,31 642,75 604,03 565,74

12 124 1007 -1492,68 -1492,7 -1479,05 -1457,67 -1438,98

13 124 1008 -1703,74 -1703,74 -1695,6 -1682,23 -1670,56

14 127 1008 -1702,25 -1702,25 -1694,36 -1681,3 -1669,89

15 127 1009 -1617,2 -1617,19 -1617,52 -1615,39 -1613,83

16 128 1009 -1619,35 -1619,35 -1619,89 -1618,01 -1616,66

17 128 1010 -1634,25 -1634,27 -1641,89 -1649,13 -1655,21

18 174 1010 -1643,04 -1643,07 -1650,85 -1658,27 -1664,46

19 174 1011 -2227,37 -2227,53 -2244,08 -2261,82 -2274,07

20 174 1012 -2232,41 -2232,57 -2249,2 -2267,02 -2279,32

21 111 1012 -1562,84 -1562,81 -1565,06 -1567,07 -1568,74

22 112 1013 -1562,84 -1562,81 -1565,06 -1567,07 -1568,74

23 112 1013 -1631,11 -1631,1 -1633,08 -1634,6 -1635,51

XIV

Tabela VIII - Valores de tensão na direcção 2 para o entalhe de 30⁰ para diferents comprimentos livres da linha.


Nº no gráfico


10 15 20 25 30

1 82 1001 -260,29 -260,33 -260,03 -258,77 -257,07

2 82 1002 -225,28 -225,3 -224,87 -222,5 -220,14

3 88 1002 -378,13 -378,18 -377,43 -373,04 -368,61

4 88 1003 -364,38 -364,43 -363,72 -359,37 -355,04

5 91 1003 -446 -446,1 -444,45 -434,45 -425,02

6 91 1004 -433,56 -433,66 -432,1 -422,59 -413,6

7 94 1004 -695,22 -695,47 -691,42 -670,22 -650,93

8 94 1005 -666,46 -666,7 -662,95 -643,03 -624,91

9 94 1006 226,83 226,97 222,13 203,75 187,61

10 95 1006 -385,92 -385,78 -386,9 -393,22 -400,25

11 95 1007 282,2 282,31 282,71 277,41 273,03

12 124 1007 311,18 311,31 322,29 333,74 342,47

13 124 1008 310,92 311,06 322,03 333,47 342,19

14 127 1008 190,98 191,07 198,62 207,17 213,42

15 127 1009 190,88 190,97 198,51 207,06 213,31

16 128 1009 213,98 214,05 218,07 222,62 225,35

17 128 1010 213,83 213,9 217,91 222,46 225,19

18 174 1010 123,08 123,11 124,47 125,97 126,63

19 174 1011 122,97 123,01 124,36 125,86 126,52

20 174 1012 -86,84 -86,86 -87,89 -89,01 -89,54

21 111 1012 -49,81 -49,82 -49,79 -49,78 -49,49

22 112 1013 -49,81 -49,82 -49,79 -49,78 -49,49

23 112 1013 -11,56 -11,57 -11,85 -12,08 -12,26

análise de ligações em asnas de madeira · i resumo sendo a reabilitação de estruturas um...

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