anÁlise de extremos de onda universidade federal do rio de janeiro coppe programa de engenharia...

ANÁLISE DE EXTREMOS DE ONDAANÁLISE DE EXTREMOS DE ONDA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROCOPPECOPPE

PROGRAMA DE ENGENHARIA OCEÂNICAPROGRAMA DE ENGENHARIA OCEÂNICA

Ricardo Martins CamposRicardo Martins Campos

IntroduçãoIntrodução

Teoria de Valores Extremos (TVE) :Teoria de Valores Extremos (TVE) :finanças, hidrologia, meteorologia, engenharia oceânicafinanças, hidrologia, meteorologia, engenharia oceânica

A TVE é o ramo da probabilidade que estuda o comportamento A TVE é o ramo da probabilidade que estuda o comportamento estocástico dos extremos associados a um conjunto de variáveis estocástico dos extremos associados a um conjunto de variáveis aleatórias com distribuição comum. Analisa a cauda da aleatórias com distribuição comum. Analisa a cauda da distribuição.distribuição.

Log-normal, Weibull, Gumbel, FréchetLog-normal, Weibull, Gumbel, Fréchet

modelos estatísticos, baseados em máximos coletados em blocos modelos estatísticos, baseados em máximos coletados em blocos ou excessos acima de um limiar.ou excessos acima de um limiar.

Ajuste a: todos os dados, máximos anuais ou mensais, valores Ajuste a: todos os dados, máximos anuais ou mensais, valores acima de um limiar.acima de um limiar.

Peaks Over Threshold (POT): mais moderna e confiável para a Peaks Over Threshold (POT): mais moderna e confiável para a solução de problemas de extrapolaçãosolução de problemas de extrapolação

Proposto para: processos estocásticos que podem ser considerados aproximadamente estacionários ou divididos em partes estacionárias.

Distribuição generalizada de Pareto (GPD) para os excessos acima de um limiar (u)

variáveis independentes e indenticamente distribuídas (iid)

“excedentes” ou “excessos” os Xi tais que Xi > u , e Nu o número de eventos acima de u

Y1 ,Y2 , ...,YNu são os valores Xi − u0

Nu também é uma variável aleatória e é função (decrescente) de u

EMBRECHTS et al. (1997) formula o caso para o qual o modelo estatístico é proposto:◦ Os excessos iid acima de um limiar u se aproximam da distribuição de Poisson;◦ Excessos acima de u são independentes e possuem uma GPD;◦ Excessos acima de u são independentes uns dos outros no tempo;

Evento A é considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B, isto é: P(A) = P(A/B) , ou P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Função de autocorrelação. Ou identificar o ciclone de maior duração e estabelecer uma janela temporal, assegurando que não mais que um valor de Hs é utilizado para cada sistema meteorológico gerador.

Cálculo dos parâmetros de forma e escala por 4 estimadores: ML, MOM, PWM e PKD.

Distribuição da GPD para a cauda

Número de pontos da cauda

Número de eventos da série

Parâmetro de forma

Parâmetro de escala

Escolha do limiarEscolha do limiar

Pequenas mudanças de u resultam em variações nos parâmetros Pequenas mudanças de u resultam em variações nos parâmetros ξ e β calculados pelos estimadoresξ e β calculados pelos estimadores

gráfico da média dos excessos acima do limar ( “Mean Excess gráfico da média dos excessos acima do limar ( “Mean Excess Plot”, MEP)Plot”, MEP)

Analisar o MEP empírico, procurando um limiar u em que, a partir Analisar o MEP empírico, procurando um limiar u em que, a partir dele, seja possível ajustar “aproximadamente” uma retadele, seja possível ajustar “aproximadamente” uma reta

Monitoramento do número de excessos NuMonitoramento do número de excessos Nu

Quando u é muito alto Nu se torna pequeno e a variância dos Quando u é muito alto Nu se torna pequeno e a variância dos parâmetros de forma e escala muito grande, perdendo qualidade parâmetros de forma e escala muito grande, perdendo qualidade no ajuste da GPDno ajuste da GPD

Se u é demasiadamente baixo os estimadores resultam em viés Se u é demasiadamente baixo os estimadores resultam em viés nos parâmetros, perdendo também a característica de linearidade nos parâmetros, perdendo também a característica de linearidade do MEPdo MEP

A situação ideal é aquela de menor valor de u em que ainda é A situação ideal é aquela de menor valor de u em que ainda é possível aproximar o gráfico de MEP acima de u como uma retapossível aproximar o gráfico de MEP acima de u como uma reta

2) Procurar uma região no gráfico ξ X u de estabilidade, em que ξ 2) Procurar uma região no gráfico ξ X u de estabilidade, em que ξ não dê grandes saltosnão dê grandes saltos

3) Testes entre a modelagem estatística (ajuste da GPD) e os 3) Testes entre a modelagem estatística (ajuste da GPD) e os dados, ou seja, variar u em busca do melhor ajuste entre empírico dados, ou seja, variar u em busca do melhor ajuste entre empírico e modelado.e modelado.

Valor de retornoValor de retorno

Valor extremo ou valor de retorno (onda centenária etc):rv são resultados da extrapolação da GPD para períodos de retorno longos. Inversa da CDF

O procedimento, porém, considera o número de excessos nos nanos constante ao longo de todo o pr de interesse.Ondas: variações em diversas escalas na ocorrência de eventos extremos, o qual pode inferir valores errôneos de ne no cálculo do vr

Prática - MetodologiaPrática - Metodologia

Wafo – Matlab

Plotar os gráficos, histogramas e tabelas com valores máximos, mínimos, médias, desvios padrão e tamanhos totais (n) de cada série

Determinar uma região que contenha u: decidir qual estimador se comporta melhor nesse intervalo e fixar o limiar para o posterior ajuste da GPD:

1. MEP: determinar um intervalo que contenha o limiar.

2. Observa-se ao longo de todo o processo os gráficos de Nu versus u, e %Nu versus u, com atenção sobre a região em torno de 10 e 15 %.

3. Plotagem do gráfico ξ X u calculado por todos os estimadores (PWM, PKD, MOM e ML). Aqui o interesse é buscar uma região de estabilidade de ξ e ao mesmo tempo comparar o comportamento entre eles.

4. Análise do gráfico de correlação entre empírico e modeladoem função do limiar para os quatro estimadores, ajudando na escolha daquele que mais se adequa à região do limiar a ser escolhido e fornecendo indícios adicionais para a decisão de u.

5. Estudo da variância dos parâmetros de forma e escala em função do limiar, com determinação final do estimador a ser usado e análise da variância para os candidatos a limiar.

6. Após a decisão do estimador, plota-se novamente ξ X u , agora com intervalo de confiança, para ajudar na decisão final de u.

7. Construção do gráfico dos valores extremos rv em função do limiar para períodos de retorno de 5, 20, 50 e 100 anos para ajuste fino do limiar final.

Intervalo de confiança de 95%

Análise de extremosAnálise de extremos – WW3 86 a 05– WW3 86 a 05

Investigação adicional sobre ne .possíveis tendências de aumento ou diminuição de ocorrência degrandes ondulações

ajuste linear do gráfico: coeficiente angular da reta de tendência igual a -0,06.

Meteorologia dos extremosMeteorologia dos extremos


Ferramentas: PLEDS, campos de vento e pressão, figuras e tabelas do programa.

Eventos extremos registrados pelo ondógrafo (Hs > 4,572):

Definição do sistema sinótico gerador :

Análise visual

Resultados do programa.

Meteorologia dos extremosMeteorologia dos extremosExtremos registrados pelo WAVEWATCH (Hs > 3,775):

17 (57%) são gerados por ciclones, 12 (40%) por anticiclones e 1 (3%) por cavado;

Dos ciclones: 10 (59%) ocorreram no outono enquanto 7 (41%) no inverno;

Primevara e verão com alturas menores, geradas por anticiclones.

Outono: muitos extremos (ciclones e anticiclones)

Inverno: grande maioria gerados por ciclones.

Meteorologia dos extremosMeteorologia dos extremosRegistrado pelo ondógrafo: 25 de agosto de 1992, Hs=6,47 metros

Registrado pelo ondógrafo: 27 de junho de 1994, Hs=5,35 metros


Registrado pelo WAVEWATCH (anticiclone): 25 de maio de 1993, Hs=6,37 metros


Meteorologia dos extremos Meteorologia dos extremos Todas as trajetórias

Outono Inverno

Meteorologia dos extremos Meteorologia dos extremos

Outono: → Ciclones em grande número;→ Próximos ao Rio de Janeiro (maior ocorrência em RG1 seguido de RG2);→ Ondas com Dp maior (~238°) e Tp relativamente menor (média de 11,1 s):

Inverno: → Ciclones ocorrem com frequência;→ Mais intensos e relativamente mais distantes do Rio de Janeiro (maior ocorrência em RG2 e outras áreas);→ Ondas com Dp menor (~220°) e Tp maior (~13 s);→ Estação prioritariamente de ciclones (88%) e situação de MAU TEMPO com ondas de S/SW que perduram por mais tempo.

n u Nu157 4,237 12

Análise de extremosAnálise de extremos – Ciclones e Anticiclones– Ciclones e Anticiclones

Ciclones / WAVEWATCH


Ciclones / WAVEWATCH


Resultado em conjunto das análises.

Forma semelhante entre bóia e ww3geral;

Taxa de crescimento de rv menor em ww3anticiclones.

Os valores absolutos finais respondem à forte subestimação da energia das ondas;

Analisados os viés médios entre o ondógrafo e o modelo para casos de ciclones e anticiclones, variando também o limiar

O modelo conseguiu captar a evolução dos eventos e fazer uma boa estimativa dos valores de retorno;

Análise de extremos Análise de extremos – Ciclones e Anticiclones– Ciclones e Anticiclones

Resultados finais:

Proximidade entre os valores de retorno da série de Hs da bóia e ww3ciclones, com apenas algumas diferenças na forma;

Os resultados do modelo para ciclones, vistos na tabela, se mostram dentro do intervalo de confiança dos valores de retorno do ondógrafo;

Anticiclones geram extremos com alturas significativas relativamente menores.

ConclusõesConclusões

Série do ondógrafo:

n pequeno torna mais incerta a fixação do limiar, coloca em risco os critérios de aplicação da POT e é responsável pelo aumento da variância dos estimadores, resultando em intervalos de confiança dos valores de retorno com maior amplitude;

Benefícios da modelagem:

n é maior, facilitando e melhorando a fixação do limiar, diminuindo a variância e a amplitude do intervalo de confiança.

A aplicação da POT em sistemas sinóticos específicos aumenta a qualidade da estimativa dos extremos, entretanto depende de séries com longas durações.

ConclusõesConclusões

As maiores ondulações que atingem a Bacia de Campos são aquelas oriundas de sudoeste, com Tp acima de 11 segundos, geradas por ciclones (inverno e outono).

As características mais importantes dos ciclones que geram as maiores ondas na Bacia de Campos são o posicionamento e intensidade;

Praticamente todos os ciclones que geraram os extremos apresentaram-se acima de 40°S (RG1 e RG2).

Aqueles mais ao norte mostraram maiores alturas significativas na Bacia de Campos, com Dp superiores (SW) e Tp menores. Todas as faixas de frequência (PLEDS) apresentam bastante energia;

Os ciclones mais ao sul, em sua maioria, geram extremos com Hs menores na Bacia de Campos, Dp inferiores (S/SW) e Tp maiores. Manutenção do evento ocorre por mais tempo (igual ou superior a 3 dias) com energia preferencialmente nas baixas frequências.

Trabalhos FuturosTrabalhos Futuros

Avaliação do WAVEWATCH por faixa de frequência (PLEDSWW3), analisando situações de ciclones e anticiclones, variando a severidade;

Caracterização do clima de ondas e análise de extremos associados a sistemas sinóticos específicos em outras regiões do Brasil (sul e nordeste);

Análise multivariada de extremos de onda e nível do mar no sul e sudeste do Brasil;

Influência de eventos meteorológicos de baixa frequência (El Ninõ, Oscilação Antártica etc) nos extremos de onda no Atlântico Sul;

Aplicação da PLEDSWW3 operacional.

OBRIGADOOBRIGADO

Ressaca na orla de Copacabana – Inverno de 1919. Fonte: www.fotolog.terra.com.br/luizd:765

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