UNIVERSIDADE POSITIVO

ENGENHARIA MECÂNICA

MECÂNICA DOS FLUÍDOS

LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS

RELAÇÃO ENTRE A DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA

PARA UM ESCOAMENTO

CURITIBA

JUNHO - 2011

FERNANDO PRADO ROCHA DE OLIVEIRA

LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS

RELAÇÃO ENTRE A DESCRIÇÃO LAGRANGIANA E EULERIANA

PARA UM ESCOAMENTO

Relatório apresentado como requisito parcial

para aprovação em Mecânica dos Fluidos.

Professor: Christian Scapulatempo Strobel M.Sc.

CURITIBA

JUNHO - 2011

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 41.1 Objetivo 4

1.2 Descrição da Bancada e Instrumentos 4

2 METODOLOGIA e memória de cálculo 53 conclusão 10

3.1 Determinação do Erro Obtido 10

3.1.1 Erros de Leitura do Dinamômetro e Recipiente Graduado 10

3.1.2 Caso da Densidade: Variação dos Valores de Densidade do Latão 10

REFERÊNCIAS 11

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1 INTRODUÇÃO

1.1 Objetivo

Determinar as equações em função do espaço e do tempo para a velocidade e

aceleração de uma partícula a partir da medição de um campo de velocidades,

utilizando-se das descrições euleriana e langragiana para o cálculo destas variáveis,

através de dados obtidos do experimento.

1.2 Descrição da Bancada e Instrumentos

Para realizar o experimento, foram utilizados os seguintes componentes de bancada

e instrumentos:

Túnel de vento;

Anemômetro;

Trena.

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2 METODOLOGIA E MEMÓRIA DE CÁLCULO

A fim de se determinar a velocidade do fluido ensaiado (ar) em relação uma

referência de posição (x), um anemômetro foi posicionado em distâncias

determinadas. Estas distãncias estão representadas na Tabela 1, e foram tomadas

através de uma trena.

Vale ressaltar que, para fins experimentais, a distância “0” diz respeito à saída do

túnel de vento.

DISTÂNCIA (m) VELOCIDADE (m/s)0 26,51 20,72 17,0

Tabela 1

Como o objetivo deste experimento é determinar as equações de velocidade e

aceleração em função do tempo e espaço, as equações abaixo descritas são

fundamentais para a demonstração euleriana e lagrangiana do escoamento, e são

pontos de partida para a demonstração do cálculo das variáveis propostas para

resolução:

Eq. 1

Eq. 2

Método Lagrangiano

Utilizaremos a equação 1, dadas as velocidades em função da distância (x), para

demonstração do método lagrangiano: obtemos o movimento de uma partícula fluida

como faríamos para uma partícula mecânca; ou seja, a partir da posição x (t), temos

a velocidade v(t)= dx/dt e a aceleração a(t) dv/dt. Posteriormente, determinaremos

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as variáveis a e b para que gráficos que representem estas variáveis sejam

plotados.

A distância relativa do fluido em função do tempo será:

Eq. 1

A velocidade do fluido em função do tempo será:

Eq. 2

A aceleração do fluido em função do tempo será:

Eq. 3

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As variáveis a; b da equação 1 são determinados a partir das velocidades obtidas no

experimento:

Plotando os gráficos para tempo (t) arbitrário de 0 a 10 segundos, temos:

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x - 7,997974 11,13439 12,96907 14,2708 15,2805 16,10548 16,803 17,40721 17,94017 18,41691

u - 4,524887 2,262443 1,508296 1,131222 0,904977 0,754148 0,646412 0,565611 0,502765 0,452489

a - -4,52489 -1,13122 -0,50277 -0,28281 -0,181 -0,12569 -0,09234 -0,0707 -0,05586 -0,04525

Gráfico 1: Distância Relativa do Fluido em Relação ao Tempo

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Gráfico 2: Velocidade Relativa do Fluido em Relação ao Tempo

Gráfico 3: Aceleração Relativa do Fluido em Relação ao Tempo

Método Euleriano

Utilizando-se da equação 2, determinamos a aceleração em função da distância (x).

Fazendo isto, estamos descrevendo o método euleriano, abordagem mais utilizada

em mecânica dos fluidos, pois permite o cálculo de aceleração de uma partícula

fluída em qualquer parte de um escoamento a partir do seu campo de velocidade

(em função de x, y, z, e t).

Temos que a equação de governo para aceleração de uma partícula fluida é:

Eq. 4

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Neste caso, estamos interessados na componente x da aceleração:

Eq. 5

Então, a aceleração em função da distância (x) é:

Eq. 6

Conhece-se as variáveis da equação 2 a partir dos dados de velocidade obtidos no

experimento:

Assim, plotando o gráfico, temos:

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Gráfico 4: Aceleração Relativa do Fluido em Função do Espaço

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3 CONCLUSÃO

É possível, através deste laboratório, analisar o escoamento do fluido sob as óticas

dos matemáticos Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange. Ambos desenvolveram

métodos que analisam os movimentos dos fluidos: O primeiro estuda as grandezas

utilizando o conceito de campo, físicas do fluido no decorrer do tempo, em um

determinado volume de controle, em pontos fixos no espaço. O segundo consiste no

acompanhamento das partículas individuais em seu movimento ao longo de suas

trajetórias, sempre em função do tempo. A abordagem de Euler possui maior

facilidade de aplicação, e por isso, é a mais utilizada.

Percebe-se - com a análise dos gráficos e a partir da dedução das equações - que a

partícula desenvolveu o esperado em termos de distância, velocidade e aceleração

em função do tempo. Interessante observar que a partícula já inicia seu escoamento

com aceleração retrógrada, uma vez que a tende a zero no decorrer do tempo (t). O

mesmo ocorre na dedução euleriana que, mesmo em função do espaço (x), também

inicia com aceleração negativa, tendendo a valores positivos se fosse aplicada a

mesma energia aos diversos instantes de tempo (considerou-se regime

permanente).

Importante ressaltar que devem-se considerar erros na tomada dos dados, devido à

precisão não controlada dos instrumentos (trena e anemômetro). Não foram

determinados os erros, pois não previu-se qualquer comparação.

Este experimento constitui-se de uma eficaz ferramenta para a visualização prática

da cinemática dos fluidos, bem como dos métodos euleriano e lagrangiano para

determinação das variáveis propostas.

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REFERÊNCIAS

Strobel, Christian Scapulatempo. Notas de Aula de Mecânica dos Fluidos.

Curitiba: Universidade Positivo, 2011.

Fox, Robert W; McDonald, Alan T; Pritchar, Philip J; Introdução à Mecânica dos

Fluidos. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

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