análise computacional do escoamento no interior do
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Hélio de Miranda Cordeiro
Análise Computacional do Escoamento no Interior do Combustor de um Estato Reator a
Combustível Sólido
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica
Rio de Janeiro Setembro de 2002
Hélio de Miranda Cordeiro
Análise Computacional do Escoamento no Interior do Combustor de um Estato Reator a
Combustível Sólido
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica do Departamento de Engenharia Mecânica da PUC-Rio.
Orientadora: Prof. Angela Ourivio Nieckele
Rio de Janeiro Setembro de 2002
Hélio de Miranda Cordeiro
Análise Computacional do Escoamento no Interior do Combustor de um Estato Reator a Combustível Sólido
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica do Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Angela Ourivio Nieckele Orientadora
Departamento de Eng. Mecânica - PUC-Rio
Prof. Luis Fernando Figueira da Silva Departamento de Eng. Mecânica - PUC-Rio
Prof. Darcy das Neves Nobre Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento -IPD
Prof. Ney Augusto Dumont Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 20 de setembro de 2002
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e da orientadora.
Hélio de Miranda Cordeiro
Graduou-se em Engenharia Química pelo IME (Instituto Militar de Engenharia) em 1993. Trabalhou na Fábrica Presidente Vargas da IMBEL (Indústria de Material Bélico) na cidade de Piquete-SP de 1994 a 1997. Cursou disciplinas do programa de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia Espaciais do INPE (Instituto de Pesquisas Espacias) na área de Combustão e Propulsão. Atualmente, é pesquisador adjunto ao Grupo de Química do Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento do Exército onde trabalha desde 1999, concentrando-se na linha de pesquisas em propulsão, combustão, propelentes e explosivos.
Ficha Catalográfica
Cordeiro, Hélio de Miranda
Análise Computacional do Escoamento no Interior doCombustor de um Estato Reator a Combustível Sólido/Héliode Miranda Cordeiro; orientadora: Angela Ourivio Nieckele. -Rio de Janeiro: PUC, Departamento de EngenhariaMecânica, 2002.
v., 163f.:il.:29,7 cm 1. Dissertação (mestrado) - Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de EngenhariaMecânica.
Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia Mecânica - Teses. 2. Análise
Computacional. 3. Combustão. 4. Combustível Sólido. I. Nieckele, Angela O. (Angela Ourivio). II PontifíciaUniversidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento deEngenharia Mecânica. III. Título.
Para meus pais, Lincoln e Maria do Carmo, pelas lições de vida. Para minha esposa, Edlaine, pelo apoio, compreensão e carinho.
Agradecimentos A minha orientadora Professora Angela Ourivio Nieckele pela dedicação, empenho e parceria para que esse trabalho fosse concluído com sucesso. Aos Exmo. Generais Andrade e Daudt que possibilitaram a minha matrícula no curso. À PUC-Rio pelos auxílios concedidos mediante o convênio firmado com o IPD. Aos professores Darcy das Neves Nobre (IPD) e Demétrio Bastos Netto (INPE/LCP) que sempre me incentivaram a concluir o curso. A todos os professores do Departamento pelos ensinamentos e pela ajuda. Aos meus pais, irmão e familiares pelo apoio, confiança e carinho de todas as horas. A minha esposa, Edlaine, que sempre esteve ao meu lado em mais um desafio.
Resumo
Cordeiro, Hélio de Miranda; Nieckele, Angela Ourivio. Análise Computacional do Escoamento no Interior do Combustor de um Estato Reator a Combustível Sólido. Rio de Janeiro, 2002. 163p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Mecânica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Essa dissertação realiza uma análise do escoamento reativo e turbulento no
interior do combustor de um estato reator a combustível sólido. Investiga-se
diferentes modelos para prever a pirólise do combustível sólido. O modelo
matemático é baseado na solução numérica das equações de conservação de
massa, quantidade de movimento linear, energia e equações de transporte para
quantidades escalares. O modelo de turbulência empregado é o κ-ε para altos
Reynolds e na modelagem da combustão emprega-se o formalismo da fração de
mistura/função densidade de probabilidade prescrita. Próximo às paredes, a lei da
parede é usada, sendo a camada limite dividida em duas regiões, uma subcamada
laminar e uma região totalmente turbulenta. As transferências de calor e massa
para as paredes são calculadas utilizando-se a lei da parede modificada com uso
de um parâmetro de transferência de massa. Os resultados obtidos através do
modelo proposto foram comparados com os resultados obtidos anteriormente com
outros modelos e com dados experimentais, verificando-se que os mesmos
apresentam um boa concordância com os dados existentes na literatura,
concluindo-se que o modelo é satisfatório para o problema proposto.
Palavras-chave Combustão; combustível sólido; estato reator; análise computacional.
Abstract
Cordeiro, Hélio de Miranda; Nieckele, Angela Ourivio (Advisor). Flow Field Computational Analysis in a Solid Fuel Ramjet Combustor. Rio de Janeiro, 2002. 163p. Dissertation - Departamento de Engenharia Mecânica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
This dissertation presents an analysis of reactive and turbulent flow field in
a solid fuel ramjet combustor. The ability of different models to predict solid fuel
pyrolysis is investigated. The mathematical model is based on the numerical
solution of the conservation equations of mass, momentum, energy and transport
equations for scalar quantities. The κ-ε for high Reynolds turbulence model is
employed and the combustion is modeled with the mixture fraction/prescribed
probability density function formalism. Close to the walls the law-of-the-wall is
specified, with the boundary layer divided into two regions, a viscous sublayer
and a fully turbulent region. Heat and mass transfer at the walls are calculated
using a modified law-of-the-wall based on a blowing parameter. The results
obtained using the proposed model were compared with other earlier models
predictions and with empirical data. It was verified that the results are in good
agreement with literature data, allowing to conclude that the model presented is
suitable for the prediction of the mass transfer and flow field in a solid fuel ramjet
combustor.
Keywords Combustion; solid fuel; ramjet; computational analysis.
Sumário
1. Introdução 18
1.1 Motivação 18
1.2 Objetivo do Trabalho 20
2. O Estato Reator a Combustível Sólido 21
2.1 Estado da Arte 21
2.2 Evolução da Modelagem Computacional 23
3. Modelagem Matemática 27
3.1 O Funcionamento do Estato Reator 27
3.2 Equações Governantes 30
3.3 Decomposição de Reynolds e Favre 35
3.4 Equações Governantes na Média de Favre 38
3.5 Modelo de Combustão 39
3.6 Modelo de Turbulência 53
3.7 Forma Geral das Equações de Conservação e Transporte 58
3.8 Descrição dos Modelos Matemáticos 62
4. Geometria e Condições de Contorno 68
4.1 Geometria 68
4.2 Condições de Contorno 69
5. Procedimento de Solução Numérica 82
5.1 Discretização e Solução 82
5.2 Acoplamento Velocidade-Pressão 85
5.3 Critério de Convergência 87
5.4 O Código Computacional 89
6. Resultados e Discussões 90
6.1 Escoamento em Tubo Cilíndrico com Degrau na Entrada 90
6.2 Escoamento Reativo na Câmara de Combustão de um SFRJ 98
6.3 Escoamento Reativo no Combustor de um SFRJ 110
6.4 Projeto de Munição Assistida por Estato Reator 124
7. Conclusão 134
8. Referências Bibliográficas 138
APÊNDICE A 143
APÊNDICE B 155
Lista de Figuras
Figura 1 - Configuração típica de um estato reator a combustível sólido 18
Figura 2 - Exemplo de aplicação de estato reator em integração comfoguete – IRR
19
Figura 3 - Configuração típica de um estato reator a combustívellíquido – LFRJ
21
Figura 4 - Desenho esquemático das partes componentes de um SFRJ 27
Figura 5 - Esquema das zonas de combustão no combustor deum SFRJ
28
Figura 6 - Relação de estado para fração em massa na combustãodo metano
43
Figura 7 - Relação de estado para fração em massa na combustãodo etileno
44
Figura 8 - Relação de estado para fração em massa na combustãodo metilmetacrilato
44
Figura 9 - Curva de R1(f) x f e expressões de R1(f) para a combustãodo etileno
48
Figura 10 - Curva de R2(f) x f e expressões de R2(f) para a combustãodo etileno
48
Figura 11 - Parâmetros geométricos do domínio computacional 68
Figura12 - Paredes adiabáticas no domínio computacional 72
Figura 13 - Parede com injeção de massa no domínio computacional 76
Figura 14 - Parâmetros geométricos do domínio computacional 91
Figura 15 - Malha utilizada no cálculo do escoamento sem regiãobloqueada
92
Figura 16 - Campo de velocidade axial para o escoamento sem regiãobloqueada (u/Uin)
93
Figura 17 - Linhas de função corrente para o escoamento sem regiãobloqueada
94
Figura 18 - Perfis de velocidade axial normalizada u/Uin 95
Figura 19 - Malha utilizada no cálculo do escoamento com regiãobloqueada
97
Figura 20 - Isolinhas de velocidade axial para o escoamento comregião bloqueada
97
Figura 21 - Linhas de função corrente para o escoamento com regiãobloqueada.
98
Figura 22 - Perfis de velocidade axial normalizada u/Uin 99
Figura 23 - Malha computacional para o escoamento na câmara decombustão do SFRJ utilizando o PEAD
101
Figura 24 - Simulação do campo de temperatura e fração de misturapara o escoamento na câmara do SFRJ utilizando o PEAD
102
Figura 25 - Simulação dos perfis de velocidade axial normalizada parao escoamento na câmara do SFRJ utilizando o PEAD
104
Figura 26 - Taxa de regressão local média do polietileno 105
Figura 27 - Campo de energia cinética turbulenta normalizada previstopelo modelo proposto
107
Figura 28 - Campo da taxa de dissipação da energia cinéticaturbulenta normalizada previsto pelo modelo proposto
107
Figura 29 - Campo de fração em massa de oxigênio previsto pelomodelo proposto
108
Figura 30 - Campo de fração em massa de etileno previsto pelomodelo proposto
108
Figura 31 - Campo de fração em massa de dióxido de carbonoprevisto pelo modelo proposto
109
Figura 32 - Evolução das frações em massa de oxigênio e dióxido decarbono em quatro seções da câmara de combustão
110
Figura 33 - Variação da temperatura em quatro seções da câmara decombustão
110
Figura 34 - Malha computacional utilizada no escoamento dentro docombustor
112
Figura 35 - Esquema de superposição de malhas para o problema docombustor
114
Figura 36 - Valores previstos para os campos de temperatura e linhasde corrente dentro da câmara de combustão
115
Figura 37 - Variações radiais de temperatura 116
Figura 38 - Taxa de regressão local média ao longo da superfície doPMMA
117
Figura 39 - Campo de velocidade axial para o escoamento no interiordo combustor
118
Figura 40 - Campo de temperatura para o escoamento no interior docombustor
119
Figura 41 - Campo de fração de mistura para o escoamento no interiordo combustor
119
Figura 42 - Campo previsto da fração em massa de oxigênio nocombustor
120
Figura 43 - Campo previsto da fração em massa de metilmetacrilatono combustor
121
Figura 44 - Campo previsto da fração em massa de dióxido decarbono no combustor
121
Figura 45 - Evolução da fração em massa de oxigênio e dióxido decarbono em duas seções do combustor
122
Figura 46 - Perfis de velocidade axial em duas seções do combustor 122
Figura 47 - Campo da energia cinética turbulenta normalizada para oescoamento no interior do combustor
123
Figura 48 - Campo da taxa de dissipação da energia cinéticaturbulenta normalizada para o escoamento no interior docombustor
123
Figura 49 - Projeto de munição assistida por estato reator acombustível sólido para canhão 155mm
124
Figura 50 - Malha computacional utilizada no projeto da muniçãoassistida
126
Figura 51 - Linhas de corrente previstas para o projeto da muniçãoassistida usando o HTPB
127
Figura 52 - Campo de velocidade axial previsto para o projeto damunição assistida usando o HTPB
127
Figura 53 - Campo de temperaturas previsto para o projeto damunição assistida usando o HTPB
128
Figura 54 - Campo de fração de mistura previsto para o projeto damunição assistida usando o HTPB
129
Figura 55 - Taxa de regressão local média prevista para o projeto damunição assistida usando o HTPB
129
Figura 56 - Campo da energia cinética turbulenta normalizada previstopara o pro-jeto da munição assistida usando o HTPB
131
Figura 57 - Campo da taxa de dissipação da energia cinéticaturbulenta normalizada previsto para o projeto da muniçãoassistida usando o HTPB
131
Figura 58 - Campo previsto da fração em massa de oxigênio nocombustor
132
Figura 59 - Campo previsto da fração em massa de butadienohidroxilado no combustor
132
Figura 60 - Campo previsto da fração em massa de dióxido decarbono no combustor
132
Lista de Tabelas
Tabela 1 - Parâmetros das equações de conservação e transportena forma geral
61
Tabela 2 - Constantes empíricas do modelo de turbulência 61
Tabela 3 - Comparação entre os modelos matemáticos. 67
Tabela 4 - Condições de contorno na entrada do domíniocomputacional
71
Tabela 5 - Condições de contorno na saída e eixo de simetria 71
Tabela 6 - Parâmetros geométricos para o escoamento sem regiãobloqueada
92
Tabela 7 - Fatores de subrelaxação para o escoamento sem regiãobloqueada
93
Tabela 8 - Parâmetros geométricos para o escoamento com regiãobloqueada
96
Tabela 9 - Parâmetros geométricos para o escoamento na câmarado SFRJ
99
Tabela 10 - Propriedades físicas e termodinâmicas para a combustãodo polietileno
100
Tabela 11 - Fatores de subrelaxação para o escoamento na câmarade combustão do SFRJ utilizando o PEAD
101
Tabela 12 - Parâmetros geométricos para o escoamento nocombustor do SFRJ
111
Tabela 13 - Propriedades físicas e termodinâmicas para combustãodo polimetilmetacrilato.
112
Tabela 14 - Fatores de subrelaxação para o escoamento nocombustor do SFRJ utilizando o PMMA
113
Tabela 15 - Parâmetros geométricos para o escoamento nocombustor da munição assistida por estato reator
124
Tabela 16 - Propriedades físicas e termodinâmicas para combustãodo HTPB
125
Tabela 17 - Fatores de subrelaxação para o projeto da muniçãoassistida utilizando o HTPB
126
Lista de Abreviaturas e Símbolos
a, b - parâmetros da função densidade de probabilidade ai - coeficientes combinados de convecção/difusão A - área BP - parâmetro de transferência de massa (blowing parameter) Cf - coeficiente de atrito local Cp,l - calor específico a pressão constante da espécie l C1, C2, Cµ - constantes do modelo de turbulência D - condutância de difusão Dl - Difusividade molecular da espécie l e - energia interna específica E - constante da Lei Logarítmica Universal f - fração de mistura F - fluxo de massa convectivo por unidade de área g - condutância de transferência de massa gf - variância da fração de mistura h - entalpia específica (h = e + p/ρ)
H~ - entalpia de estagnação
Hv,eff - calor efetivo de vaporização do combustível sólido ljJ - fluxo por difusão de massa da espécie l na direção j
k - constante de Von Kármán (k = 0,4)
Le - número de Lewis - )/(Pr/ DCScLe p����
ml - fração em massa da espécie l
arm� - vazão mássica de ar
m ��� - fluxo de massa
Ml - massa molecular da espécie l
p - pressão estática p(f) - função densidade de probabilidade
P - pressão modificada
Pe - número de Peclet -Pe = F/D
Pr - número de Prandtl - �� /Pr pC�
qj - componente do vetor fluxo de calor na direção j
wq� - fluxo de calor para parede
r - distância radial
r� - taxa de regressão do combustível sólido R - raio
Rl - taxa volumétrica de produção da espécie l
s - razão estequiométrica massa oxidante/massa combustível
Scl - número de Schmidt - )/( ll DSc ���
St - número de Stanton - St = Cf / 2
�S - termo fonte da variável �
t - tempo
jit - tensor das tensões viscosas
T - temperatura u - velocidade axial uj - componente da velocidade na direção j
v - velocidade radial
wv - velocidade de injeção de massa através da parede
x - distância axial
xj - coordenada ao longo da direção j
X~ - taxa de dissipação de um escalar
y - distância à parede
�� - coeficiente de difusão da variável �
� - distância à parede
ij� - operador delta de Kroenecker
H� - calor de combustão por quilograma de combustível � - taxa de dissipação da energia cinética turbulenta � - variável escalar arbitrária
� - energia cinética turbulenta
� - difusividade térmica � - viscosidade molecular laminar
� - massa específica da mistura gasosa � - tensão de cisalhamento � - viscosidade cinemática � - constante universal dos gases perfeito - )/(8314 KmolKJ��
Subscritos bw - superfície com transferência de massa (blowing wall)
c - conservativo
cam - interior da câmara de combustão eff - efetivo
fg - combustível na fase gasosa fs - combustível na fase sólida
fu - combustível in - entrada do combustor
lam - laminar ox - oxidante
O2 - oxigênio N2 - nitrogênio
P - ponto nodal logo acima da parede ref - referência
st - estequiométrico t - turbulento
Sobrescrito 0 - estado padrão
( ) - média de Reynolds
( ~ ) - média de Favre
( ‘ ) - flutuação de Reynolds
( “ ) - flutuação de Favre
( )+ - adimensional
A coisa mais bela que o homem pode
experimentar é o mistério. É essa emoção
fundamental que está na raiz de toda ciência e
de toda arte. Pesquisar os segredos daquilo
que não entendemos é a força propulsora do
desenvolvimento humano.
Albert Einstein
1 INTRODUÇÃO 1.1 Motivação
Em situações onde a velocidade de vôo ao nível do mar está acima de Mach
2, o sistema de propulsão estato reator a combustível sólido (solid fuel ramjet -
SFRJ) tem encontrado importantes aplicações. Neste sistema propulsivo o
empuxo é produzido pelo aumento da quantidade de movimento linear do ar que
passa no interior e através do estato reator, de forma similar ao que ocorre nos
motores turbojatos e turboventilados. A principal diferença é a ausência de
turbinas e turboventiladores no estato reator, tornando-o mais simples, leve e de
baixo custo.
Na fig. 1 temos a configuração típica de um estato reator a combustível
sólido. Percebe-se três partes principais: a tomada (ou entrada) de ar; o combustor
(dividido em câmara de combustão e câmara de mistura posterior); e a tubeira. De
maneira geral, podemos resumir os fenômenos físicos e químicos que ocorrem
nessas três partes de seguinte maneira: na entrada de ar ocorre formação de onda
de choque e conseqüente aumento da pressão e temperatura do ar; no combustor
ocorre a pirólise do combustível sólido com a geração de produtos em fase gasosa
a alta temperatura; e, finalmente, os produtos gasosos da combustão são
expandidos através da tubeira gerando empuxo.
Figura 1 – Configuração típica de um estato reator a combustível sólido (1)
Introdução 19
Para que as condições operacionais adequadas sejam geradas após a
passagem do ar pelo difusor, é necessário que a velocidade de vôo esteja acima de
Mach 2. Nesse sentido, o estato reator depende de um outro sistema de propulsão
para acelerá-lo até sua velocidade funcional, pois não consegue produzir empuxo
a partir de sua condição estática. Conforme a velocidade de vôo aumenta, a
velocidade com que o ar é inserido dentro da câmara de combustão também
cresce. Quando a combustão ocorre em regime supersônico temos os conhecidos
scramjets (supersonic combustion ramjets), ou estato reatores com combustão
supersônica.
Principalmente por sua simplicidade construtiva e operacional, os estato
reatores a combustível sólido têm sido empregados na propulsão da fase de
cruzeiro de mísseis táticos de longo e médio alcance, nas integrações com
foguetes (“Integral Rocket Ramjet – IRR”) como ilustrado na fig. 2, e na
propulsão secundária de munições assistidas de artefatos bélicos como canhões,
armas antiaéreas, entre outras.
No Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento - IPD, localizado no complexo
tecnológico do Exército em Guaratiba, estão sendo feitos estudos no sentido de
desenvolver o projeto de uma munição assistida para canhões até 155 mm. Nessa
fase da pesquisa, a simulação computacional se traduz numa poderosa ferramenta
para o projeto. A solução das equações de conservação de massa, quantidade de
movimento, energia e transporte de espécies, com as técnicas da dinâmica dos
fluidos computacional, permite a obtenção de resultados preliminares para o
campo do escoamento interno e externo ao projétil. Assim, pode-se otimizar
ensaios em bancos de prova, uma vez que os mesmos geram dados para validação
dos modelos matemáticos empregados.
Figura 2 – Exemplo de aplicação de estato reator em integração com foguete – IRR (2)
Introdução 20
Um dos problemas críticos encontrados é o projeto do combustor, tornando-
se necessário o desenvolvimento de códigos computacionais capazes de simular a
combustão dentro da câmara de combustão e câmara de mistura posterior,
auxiliando na determinação da configuração ótima desses componentes (aspectos
geométricos), bem como na composição do combustível sólido mais apropriado
para determinada missão.
1.2 Objetivo do Trabalho
O objetivo do presente trabalho é, através de uma modelagem numérica,
simular computacionalmente o escoamento reativo e turbulento dentro do
combustor de um estato reator a combustível sólido empregado no projeto de uma
munição assistida. A pesquisa está direcionada para a obtenção de informações
sobre os campos de velocidades, pressão, grandezas turbulentas e temperatura.
Deseja-se ainda estimar a taxa de regressão do combustível (velocidade de
queima). Para alcançar esse objetivo foi desenvolvido um programa numérico
baseado no método de volumes finitos.
Buscou-se, na fase final do trabalho, a validação do modelo matemático pela
comparação dos resultados com aqueles obtidos em trabalhos anteriores (testes
experimentais ou outros modelos computacionais).
2 O ESTATO REATOR A COMBUSTÍVEL SÓLIDO 2.1 Estado da Arte
Atribui-se ao francês René Lorin, em artigo publicado na revista
L`Aerophile no ano de 1913, a idéia de se aproveitar a pressão dinâmica do ar
("ram pressure"), em função da velocidade de um artefato em vôo, como sistema
propulsivo ou coadjuvante do mesmo. Uma vez que ele não imaginava vôos a
velocidades supersônicas, sua análise restringia-se à operação de estato reatores
em regime subsônico, concluindo que a eficiência do sistema era muito baixa.
Somente na década de 30 houve um maior interesse no estudo dos estato reatores,
apesar de serem encontradas patentes com datas anteriores. Muitos trabalhos
foram feitos durante aquela época, porém todos eles, com exceção do estudo de
viabilidade realizado pelos alemães Schwabal e Lippisch(3), tratavam de estato
reatores a combustível líquido (liquid fuel ramjet – LFRJ). Um exemplo de
configuração para um LFRJ é mostrado na fig. 3 abaixo.
Figura 3 – Configuração típica de um estato reator a combustível líquido – LFRJ (2)
Ao final da década de 70, visando a utilização de estato reatores na
propulsão de mísseis de cruzeiro, o governo americano investiu na pesquisa e
desenvolvimento de estato reatores a combustível sólido. A sua simplicidade
operacional atraiu a atenção dos pesquisadores, uma vez que não necessitava de
tanques e dispositivos de bombeamento ou controle de combustível, como era o
caso dos LFRJ. A ausência das partes móveis gerava também uma simplicidade
construtiva. Outra característica importante observada durante os vários testes
realizados nos anos que se seguiram é a alta estabilidade da combustão. Isso se
O Estato Reator a Combustível Sólido
22
deve ao fato de que a energia é liberada uniformemente durante o processo de
queima do combustível. Apesar de apresentar um alto desempenho, baixo custo e
confiabilidade, quando comparado aos sistemas propulsivos convencionais, a
utilização operacional de estato reatores a combustível sólido em mísseis carecia
de um estudo mais aprofundado sobre: simulação das condições de vôo, seleção
do combustível, estabilização da chama (o que limita a quantidade de
combustível), comportamento da taxa de regressão do combustível como uma
função da velocidade e altitude de vôo, entre outros.
Vários estudos foram realizados a fim de esclarecer aspectos importantes no
projeto de estato reatores a combustível sólido. Alguns pesquisadores
desenvolveram trabalhos no campo teórico, modelando matematicamente os
fenômenos físicos e químicos ocorridos durante a combustão em um SFRJ. Nesse
sentido, podemos destacar os trabalhos de Hadar e Gany(4), Stevenson e Netzer(5),
Milshtein e Netzer(6) e Ronzani(7). Outros trabalhos tiveram ênfase na parte
experimental, onde parâmetros importantes como a velocidade de queima do
combustível eram medidos diretamente. Dentre os trabalhos experimentais
desenvolvidos podemos citar os de Mady et al.(8), Schulte(9), Korting et al.(10), Lips
et al.(11), Migueis(12), Veras(13), Silva(14) e Gobbo et al.(15).
Aqui no Brasil, os principais estudos foram desenvolvidos no Instituto
Militar de Engenharia – IME e no Laboratório de Combustão e Propulsão do
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais – LCP/INPE. Migueis(12) projetou uma
bancada para testes estáticos de SFRJ. Nos testes realizados por Migueis(12)
utilizou-se o poliéster e uma mistura poliéster + perclorato de amônio como
combustível sólido. No estudo apresentado por Ronzani(7) desenvolve-se uma
análise teórica de um SFRJ utilizado como propulsão secundária em mísseis e
granadas, e apresenta-se um código computacional em FORTRAN para o cálculo
da velocidade de queima do combustível. Fazia-se necessário a realização de
testes experimentais para o ajuste de alguns parâmetros das equações encontradas
naquele trabalho. Seguindo-se a linha de trabalhos experimentais, mais dois
estudos foram realizados. No primeiro, Veras(13) fez uma análise experimental de
um SFRJ utilizando o polietileno de alta densidade (PEAD) como combustível
sólido e estudou o efeito da introdução da câmara de mistura posterior (“after
burner”) no desempenho do mesmo. No segundo, Silva(14) realizou uma série de
testes com um SFRJ, utilizando novamente o polietileno, estudando outros
O Estato Reator a Combustível Sólido
23
aspectos da combustão como a formação de fuligem na superfície do combustível
e sua influência na transferência de calor por radiação.
A tecnologia envolvida nos projetos de sistemas propulsivos baseados em
estato reatores (ramjets e scramjets), continua sendo objeto de pesquisa no mundo
inteiro. Sua aplicação bélica em mísseis vem sendo intensivamente testada e
alguns trabalhos, como os de Krishnan e George(1), Buchanan et al.(16) e Waltrup et
al.(17) mostram o avançado estágio de conhecimento no projeto desses artefatos.
Os resultados obtidos têm encorajado algumas empresas a pesquisarem a
utilização dos estato reatores em outras áreas como a aeroespacial(18),
direcionando seu interesse, principalmente, em combustão hiper e supersônica.
Sem dúvida, os maiores avanços ocorridos na pesquisa e aplicação de SFRJ
devem-se, principalmente, ao desenvolvimento no campo dos combustíveis
sólidos do tipo polímeros, como comprova o trabalho apresentado por George et
al.(19), aos avanços na área numérica, com o surgimento de códigos
computacionais aplicáveis aos fenômenos físicos e químicos envolvidos no
processo, ao desenvolvimento no campo dos materiais e às novas tecnologias de
instrumentação, controle e aquisição de dados utilizadas em trabalhos
experimentais, como evidenciado no trabalho de Liou(20).
2.2 Evolução da Modelagem Computacional
A simulação computacional do processo de combustão em SFRJ foi iniciada
por Netzer(21), utilizando uma formulação função corrente-vorticidade (ψ-ω
model) através de uma adaptação do modelo PISTEP II de Gosman et al.(22,23) para
transferência de calor e massa em escoamentos com recirculação. As hipóteses
adotadas naquele modelo foram: escoamento subsônico na câmara de combustão,
em regime permanente, bidimensional e com recirculação. Um modelo de
turbulência de duas equações diferenciais �-� foi usado para calcular a
viscosidade efetiva através do campo de escoamento. A combustão foi modelada
por uma reação de única etapa, limitada pelo grau de mistura e desprezando-se a
transferência de calor por radiação.
O Estato Reator a Combustível Sólido
24
Em trabalho subseqüente, Netzer(24) comparou os resultados obtidos por seu
modelo com os resultados experimentais obtidos por outros pesquisadores. Foram
diagnosticados alguns problemas inerentes ao modelo ψ-ω adotado, sendo os mais
importantes: a imprecisão do campo de pressão obtido; a dificuldade em se obter
soluções convergidas quando se adicionava a câmara de mistura posterior ao
domínio computacional; e a dificuldade na especificação das condições de
contorno.
Com o objetivo de atacar os problemas encontrados com o primeiro modelo,
Stevenson e Netzer(5) desenvolveram uma formulação com acoplamento
velocidade-pressão (u-v-p model) bidimensional, através da adaptação do modelo
desenvolvido por Pun e Spalding(25) (CHAMPION 2/E/FIX) para a geometria do
SFRJ. Nessa nova modelagem os pesquisadores trabalharam com a solução das
equações de conservação da quantidade de movimento tendo como variáveis as
velocidades axial (u) e radial (v), em substituição das equações para vorticidade e
função corrente. Os termos de gradiente de pressão que aparecem nas equações de
conservação de quantidade de movimento linear criam um forte acoplamento
entre pressão e velocidade. Para tratar esse acoplamento o modelo utilizava o
algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations). As
hipóteses de escoamento subsônico, em regime permanente, bidimensional e
turbulento foram mantidas. O domínio computacional passou a incluir a região da
câmara de mistura posterior. Como no modelo anterior, a viscosidade efetiva foi
calculada através do modelo de turbulência de duas equações diferenciais ���.
Utilizou-se para o processo de combustão uma reação de única etapa e cinética
química infinitamente rápida. Os resultados obtidos com o novo modelo foram
similares ao primeiro na região da câmara de combustão. Adicionalmente,
resultados do escoamento na região da câmara de mistura posterior foram obtidos.
Posteriormente, em trabalho apresentado por Metochianakis e Netzer(26), esse
mesmo modelo foi utilizado considerando-se efeitos de radiação das partículas de
carbono dentro da zona de chama, desprezando-se, ainda, a radiação na fase
gasosa.
O modelo de acoplamento velocidade-pressão foi aperfeiçoado por
Milshtein e Netzer(6), introduzindo-se considerações sobre efeitos tridimensionais.
O modelo aperfeiçoado era uma adaptação do código GARRAT 3D (extensão do
CHAMPION) desenvolvido pela GARRAT Turbine Engine Co(27). Uma cinética
O Estato Reator a Combustível Sólido
25
química de quatro passos e um processo de mistura turbulento eram as principais
novidades daquele modelo. Assim como nos outros modelos anteriores, obteve-se
bons resultados qualitativos a respeito dos efeitos da composição do combustível,
geometria do combustor e as propriedades dinâmicas do ar na entrada, sobre o
campo do escoamento e a taxa de regressão do combustível.
Seguiram-se a esses trabalhos uma série de outros trabalhos abordando a
modelagem numérica de escoamentos reativos turbulentos que eram aplicáveis
aos estato reatores a combustível sólido. Diversos modelos acoplando efeitos da
interação turbulência-química foram sendo propostos e avaliados(28-35). Os
resultados mais expressivos vem sendo obtidos na modelagem numérica das
chamas de difusão turbulenta, conforme mostram os trabalhos de Yaga et al.(36) e
Kim e Kim(37). Em 1998, Coelho et al.(38) apresentaram um trabalho onde foi feita
a modelagem da câmara de combustão de um SFRJ utilizando uma técnica de
decomposição do domínio computacional em multi-blocos. Em trabalho no
mesmo ano, Choi et al.(39) apresentaram uma simulação numérica do campo de
escoamento interno e externo a um estato reator a combustível sólido utilizado na
propulsão de uma munição anti-tanque utilizada em exercício de tiro.
A disponibilidade e evolução dos computadores de alto desempenho têm
levado a significativos avanços na simulação numérica direta (DNS - Direct
Numerical Simulations) da turbulência e da combustão turbulenta, encorajando o
desenvolvimento da simulação em grandes escalas (LES - Large-Eddy Simultaion)
para esses fenômenos na engenharia. A simulação em grandes escalas também
têm sido aplicada ao escoamento no interior do combustor de estato reatores,
conforme mostram os recentes trabalhos apresentados por Liou et al(40) e Cant(41).
Atualmente, existem no mercado vários códigos computacionais de CFD
que incluem diferentes modelos para a solução de escoamentos turbulentos com
combustão, dentre eles podemos citar o FLUENT® e o PHOENICS®, entre outros.
Porém, apenas alguns códigos computacionais dedicados como o COPPEF, por
exemplo, disponibilizam subrotinas para a combustão de sólidos (pirólise), como
é o caso da modelagem em um SFRJ.
É importante observar que quando se fala em modelo matemático aplicado
ao escoamento no interior de um estato reator a combustível sólido, trata-se do
conjunto de: equações governantes; modelo de combustão; modelo de turbulência;
e condições de contorno. Dessa forma, a fim de facilitar a comparação e
O Estato Reator a Combustível Sólido
26
compreensão dos resultados apresentados nesse trabalho, classificou-se os
diferentes modelos apresentados como:
�� Modelo 1 - modelo proposto por Stevenson e Netzer(5).
�� Modelo 2 - modelo proposto por Coelho et. al.(38).
�� Modelo 3 - modelo proposto nessa dissertação.
Uma breve descrição dos três modelos matemáticos destacados acima será
apresentada ao final do próximo capítulo.
3 MODELAGEM MATEMÁTICA 3.1 O Funcionamento do Estato Reator
Para que seja feita uma modelagem matemática é necessário, antes de tudo,
conhecer os fenômenos físicos e químicos que ocorrem durante o vôo do
dispositivo, principalmente dentro da câmara de combustão (objeto da
modelagem), a fim de estabelecermos as hipóteses simplificadoras do modelo
físico aplicável.
De maneira geral, podemos esquematizar as partes componentes de um
estato reator a combustível sólido como na fig. 4 abaixo.
Figura 4 – Desenho esquemático das partes componentes de um SFRJ.
Em todas as configurações de estato reatores podemos visualizar um difusor
na entrada do ar. Esse difusor desacelera o fluxo do ar incidente (velocidades
supersônicas para velocidades subsônicas), provocando o aumento da temperatura
e pressão estáticas do ar. O ar aquecido penetra no combustor onde age como
oxidante decompondo o combustível sólido em uma reação exotérmica
praticamente isobárica. Algum meio de estabilização da chama é necessário para a
grande maioria das condições de vôo, pois a taxa de liberação de calor da reação
dos polímeros combustíveis com o ar são bem menores quando comparadas às
taxas em foguetes híbridos similares, onde oxigênio ou outro líquido oxidante é
utilizado. O mais comum é a utilização de um degrau como dispositivo
aerodinâmico de estabilização de chama, criando uma zona de recirculação rica
DIFUSOR TUBEIRA COMBUSTOR
Modelagem Matemática
28
em combustível. Esta zona é caracterizada pela grande turbulência e elevada taxa
de transferência de calor. Uma vez que o tempo de residência das espécies dentro
da zona de recirculação é suficientemente grande, existe uma mistura bastante
efetiva entre o ar e o combustível gasoso proveniente da pirólise do polímero. A
energia liberada, dentro e ao longo da fronteira dessa zona, tem que ser suficiente
para sustentar a combustão no restante da câmara. Uma altura crítica - HS - para o
degrau de recirculação é exigida em função da temperatura e do fluxo de ar na
entrada do combustor. Cada combustível sólido, em particular, exige uma altura
mínima para que a estabilização da chama ocorra. É importante observar que essa
altura mínima limita a quantidade de combustível a ser carregada e,
consequentemente, o alcance do SFRJ.
Ainda dentro da câmara de combustão e após o ponto de recolamento (PR)
do escoamento à parede, desenvolve-se uma camada limite turbulenta. Os
produtos da pirólise do combustível sólido difundem-se a partir da superfície,
misturando-se ao oxigênio do ar quente do escoamento central. Como resultado,
estabelece-se uma chama de difusão localizada dentro da camada limite
turbulenta. Transferência de calor por convecção e radiação através da chama vão
garantir a decomposição do polímero. Na fig. 5 abaixo, podemos ver as principais
regiões do combustor de um SFRJ.
Figura 5 – Esquema das zonas de combustão no combustor de um SFRJ(9).
A queima do combustível dentro da câmara de combustão de um SFRJ é
governada pelo grau de mistura entre o combustível e o ar. Cálculos da mistura
dentro da passagem do grão, baseados na teoria da camada limite turbulenta,
Câmara de
Mistura Posterior
Modelagem Matemática
29
mostraram que somente 50% do combustível havia sido misturado e queimado na
seção de saída do grão(42). Uma vez que existe combustível não queimado abaixo
da chama na saída do grão, teríamos uma eficiência de combustão muito baixa, se
a tubeira do estato reator fosse colocada nesse local. Para contornar esse
problema, normalmente introduz-se uma seção ou câmara de mistura posterior,
onde o combustível excedente e o oxigênio disponível são misturados,
favorecendo a reação de queima. Ao calcularmos o comprimento desta seção de
mistura vários fatores são considerados e balanceados: tempo de residência para
uma combustão adequada; quantidade de propelente usado como “booster”,
levando o artefato a alcançar a velocidade projetada (próxima de 2,5 Mach); e
quantidade de combustível necessária para o alcance desejado. Na maioria dos
casos, o volume necessário para o propelente sólido usado como “booster” nos
IRR (Integral Rocket Ramjet) propicia o volume e comprimento exigidos pela
câmara de mistura posterior.
Os estato reatores a combustível sólido têm como uma das características a
grande estabilidade da combustão. As taxas de queima do polímero são baixas,
quando comparadas às taxas de queima de propelentes sólidos. Em conseqüência,
modos de instabilidade de combustão ocasionados por efeitos acústicos não são
comuns em ramjets, portanto seus efeitos podem ser desprezados, mesmo em
câmaras de combustão muito longas.
Na modelagem da combustão no combustor de um estato reator a
combustível sólido usaremos as seguintes hipóteses: escoamento bidimensional
em regime permanente, isto é, efeitos transientes serão desprezados; o escoamento
é turbulento com reação química e massa específica variável; as paredes da
câmara de combustão são formadas pelo grão de combustível sólido que estará
sendo pirolisado; o degrau na entrada da câmara é utilizado como estabilizador da
chama; uma camada limite turbulenta desenvolve-se após o ponto de recolamento;
calor da chama de difusão é transferido por convecção para a superfície do sólido
causando sua vaporização (transferência de calor por radiação será desprezada); e
as condições do ar na entrada da câmara são determinadas pela geometria do
difusor e condições de vôo do dispositivo (velocidade e altitude).
O escoamento turbulento tem um tratamento matemático mais difícil do que
o caso laminar, exigindo a seleção de um modelo de turbulência adequado para
cada caso. A presença de reação química (combustão) no escoamento turbulento
Modelagem Matemática
30
traz complicações adicionais ao problema, uma vez que existe uma forte interação
entre combustão e turbulência. Existe um efeito duplo de um fenômeno sobre o
outro. Isto é, o calor liberado pela combustão acarretará uma expansão térmica da
mistura gasosa na câmara de combustão, forçando o escoamento e aumentando
sua velocidade. O escoamento viscoso pode perder sua estabilidade quando o
número de Reynolds do escoamento for suficientemente alto e a transição de
laminar para turbulento pode acontecer. Por outro lado, a redução da massa
específica do fluido, causada pelo aumento da temperatura, tem efeito
amortecedor sobre a vorticidade, amortecendo a turbulência(43). Simultaneamente,
nas chamas não pré-misturadas combustível e oxidante necessitam ser misturados
a nível molecular para que a reação possa acontecer. A turbulência pode melhorar
a mistura de combustível e oxidante através do aumento da densidade de
superfície de chama por unidade de volume, intensificando a combustão nas
chamas não pré-misturadas. Por outro lado, a turbulência intensa pode também
afetar a estrutura da chama através do efeito de estiramento aerodinâmico,
causando uma quebra em sua estrutura e levando a sua extinção.
3.2 Equações Governantes
Em qualquer escoamento onde ocorram reações químicas devemos estar
aptos a resolver as equações de conservação de massa (continuidade), conservação
da quantidade de movimento linear, conservação da energia e transporte das
espécies químicas. Além disso, devemos estabelecer uma equação de estado. Para
o caso dos gases a mais utilizada é a lei dos gases perfeitos que correlaciona
pressão, temperatura, massa específica e espécies químicas, assim temos:
0��
��
�
� )( ii
uxt
��
(3.1)
j
ji
iij
ji x
txpuu
xu
t �
��
�
���
�
��
�
� )()( �� (3.2)
Modelagem Matemática
31
j
jjii
jiij
jii x
qtu
xuuhu
xuue
t �
��
�
���
�
���
�
� �
��
�
���
�
���
�
� �
��
�
� )(21
21
�� (3.3)
� � � � llj
jlj
jl RJ
xmu
xm
t�
�
���
�
��
�
��� (3.4)
���l l
lMm
Tp � (3.5)
onde �� é a massa específica da mistura gasosa, iu e ju são componentes (radial e
axial) do vetor velocidade, p é a pressão dentro do combustor, jit é o tensor das
tensões viscosas, e é a energia interna específica, h é a entalpia específica
( �/peh �� ), jq é o vetor fluxo de calor, � é a constante universal dos gases
perfeitos igual a 8314 J/(kmol K), ml é a fração em massa da espécie l, ljJ o fluxo
por difusão de massa da espécie l, lR a taxa volumétrica de produção da espécie l
na mistura reativa e lM é a massa molecular da espécie l.
A entalpia da mistura é definida como
��
lll hmh (3.6)
onde hl é a entalpia da espécie gasosa l, definida por
��� TTl TdCThh lpl 0
00 ,)( (3.7)
sendo )( 00 Thl a entalpia de formação da espécie l nas condições padrão de
temperatura e pressão e Cp,l é o calor específico a pressão constante da espécie l.
Para que o problema possa ser resolvido é necessário introduzir equações
constitutivas para modelar as tensões viscosas, os fluxos de calor e de difusão de
massa, assim com a taxa de produção das espécies químicas. Essas equações
constitutivas serão obtidas a seguir através das leis de transporte.
Modelagem Matemática
32
3.2.1 Leis de Transporte
Nas situações de interesse deste trabalho, os fluidos foram considerados
como Newtonianos, isto é, o tensor tensão viscosa é expresso pela Lei da
Viscosidade de Newton/Stokes:
ijkk
i
j
ji
ij xu
xu
xu
t ��� �
� �
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
��
32 (3.8)
onde ���é a viscosidade molecular laminar e ij� é o operador delta de Kroenecker.
As difusividades moleculares das espécies são geralmente descritas
utilizando-se a Lei de Fick da difusividade. Assim, para a espécie l, tem-se
jl
llj x
mSc
J�
���
� (3.9)
onde Scl é o número de Schmidt da espécie l dado por )(/ ll DSc ��� , sendo
que lD é a difusividade molecular da espécie l em relação à mistura. Expressões
mais complexas podem ser utilizadas para descrever a difusão molecular em
sistemas multiespécies.
A difusão de calor pode ser descrita de acordo com a Lei de Fourier
baseada na entalpia como
���
�
���
�
��
�
� �
���
�
���
� jk
kN
k kjj x
mh
Scxhq
11Pr
Pr� (3.10)
Na expressão acima, a transferência de calor por radiação e o efeito Dufour
(difusão de calor sobre efeito do gradiente das concentrações das espécies
químicas) foram desprezados. O número de Prandtl, Pr, compara o transporte
difusivo de quantidade de movimento (forças viscosas) com o de energia, sendo
definido por Pr = ��Cp ��� , onde � é a viscosidade molecular, � é difusividade
térmica e Cp é o calor específico à pressão constante.
O número de Lewis, kLe , da espécie k é a razão entre as difusividades
térmicas e de massa, sendo igual a
Modelagem Matemática
33
��
�
�
��
�
���
�
���
��
kpk
k DCSc
Le�
�
Pr (3.11)
No presente trabalho adotou-se a hipótese de número de Lewis unitário,
portanto o fluxo difusivo de entalpia apresentado na eq. (3.10) foi simplificado
���
�
���
�
���
jj x
hqPr� (3.12)
A expressão para o cálculo da taxa de produção das espécies, Rl, depende do
modelo de combustão adotado. Porém, antes de descrever o modelo de combustão
adotado na modelagem do problema é conveniente introduzirmos o conceito de
fração de mistura o qual será útil na redução do número de equações a serem
resolvidas.
3.2.2 Fração de Mistura
Consideremos uma reação de uma única etapa, infinitamente rápida, onde as
reações intermediárias são desprezadas. Neste caso, tem-se que o oxidante é
combinado (ou reage) com o combustível em proporções estequiométricas para
formar produtos de acordo com a equação química simplificada
1 kg de combustível + s kg de oxidante � (1+s) kg de produtos (3.13)
onde s é a razão estequiométrica massa de oxidante/massa de combustível.
As equações de transporte para a fração em massa instantânea de
combustível e oxidante em regime permanente podem ser escritas utilizando-se a
eq. (3.4). Assim, temos
� � � � fufuj
jfuj
j
RJx
mux
��
���
�
�� (3.14)
� � � � oxoxj
joxj
j
RJx
mux
��
���
�
�� (3.15)
Modelagem Matemática
34
Vamos considerar uma variável auxiliar definida como
oxfu mms ��� (3.16)
Consideremos ainda que os coeficientes de difusão de massa das espécies
sejam iguais e constantes, isto é, ����Sc = ����Scfu =�����Scox. Uma vez que a reação
ocorre em uma única etapa, tem-se que 0RRs oxfu �� )( . Logo, combinando-se
as eq. (3.14) e (3.15), determina-se uma equação de transporte para �
� � ��� j
jj
jJ
xu
x �
��
�
� (3.17)
Vamos definir a variável adimensional f chamada de fração de mistura
como
olof��
��
�
�� (3.18)
onde o índice "o" indica corrente de oxidante e o índice "l" indica corrente de
combustível. A eq. (3.18) pode ser escrita na seguinte forma
ooxfuloxfu
ooxfuoxfummsmms
mmsmmsf
][][][][
���
���� (3.19)
Nos casos tratados nesse trabalho, a corrente de combustível só possui
combustível e a corrente de oxidante possui oxidante e inerte. Em conseqüência,
têm-se [mfu]l = 1, [mox]l =0 e [mfu]o = 0. Nessas condições, a eq. (3.19) pode ser
simplificada para
ooxlfu
ooxoxfumms
mmmsf
][][][][
�
��
� (3.20)
Numa reação estequiométrica nem combustível nem oxidante encontram-se
presentes nos produtos e a fração de mistura estequiométrica - fst - pode ser
definida como
ooxlfuoox
st mmsm
f][][
][�
� (3.21)
Modelagem Matemática
35
Como f relaciona-se linearmente com �, também é possível escrever uma
equação de transporte em regime permanente para f como abaixo
� � fj
jj
j
Jx
fux �
���
�
�� (3.22)
Desprezando-se os efeitos Soret (difusão de espécies sobre efeito do
gradiente de temperatura) e de transporte molecular devido aos gradientes de
pressão, pode-se descrever o fluxo difusivo da fração de mistura como:
DScx
fJ fj
ffj �
��� ��
�
��� ; (3.23)
A forma como as frações em massa das espécies participantes da reação de
combustão se apresentam como funções da fração de mistura em reações químicas
de única etapa e cinética infinita é definida através das relações de estado que
serão deduzidas mais adiante. Portanto, no presente trabalho será resolvida apenas
a equação de transporte para a fração de mistura em lugar das equações de
conservação das espécies, reduzindo, como mencionado anteriormente, o número
de equações a serem resolvidas.
3.3 Decomposições de Reynolds e Favre
O escoamento no interior de um estato reator é não só reativo, mas também
turbulento. O escoamento turbulento, rigorosamente falando, é sempre
tridimensional e transiente. Consiste de flutuações aleatórias das várias
propriedades do escoamento. Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente
conhecer o comportamento do valor médio dessas propriedades.
É comum utilizar-se métodos estatísticos para decompor as variáveis
instantâneas apresentadas no item anterior em uma soma de um valor médio e
uma flutuação. Sendo � uma variável qualquer, podemos escrever
��� ��� (3.24)
Modelagem Matemática
36
A representação acima é conhecida como decomposição de Reynolds, sendo
� o valor médio no tempo (Média de Reynolds) e � � a flutuação do escalar � .
Por definição
���
�
T
Tdttx
T 0),(1lim �� (3.25)
Das eq. (3.24) e (3.25) podemos deduzir que �� � e 0��� . As
propriedades da operação de média de Reynolds no tempo definida pela eq.
(3.24), podem ser encontradas em Hinze (44) e Kays (45).
Aplicando-se a definição dada pela eq. (3.24) para � e ui, substituindo na eq.
(3.1) para regime permanente e operando-se a média no tempo:
0))(( ������
�ii
i
uux
�� (3.26)
resultando em
0) ( �����
�ii
i
uux
�� (3.27)
A equação (3.27) é a equação da continuidade na média de Reynolds para
escoamentos em regime permanente. Percebe-se o surgimento de um termo
adicional com uma correlação � �iu��� entre iu�� e � , o que implica na criação de
um modelo ou aproximação para a determinação de mais essa incógnita. O
problema se complica na equação de conservação da quantidade de movimento
linear, onde surge uma tripla correlação do tipo jiuu ���� . Note a diferença deste
termo em relação a correlação jiuu ��� , conhecida como tensor das tensões de
Reynolds, cujo modelo está bem difundido sendo largamente empregado.
Em 1969, Favre(46) sugeriu um procedimento de média no tempo que
simplifica bastante a forma das equações de conservação assim geradas. Ele
introduziu o conceito de média no tempo ponderada pela massa específica,
definida por:
���
�T
Tdttxtx
T 0),(),(11~ lim ��
�� (3.28)
Modelagem Matemática
37
onde � é a média de Reynolds da massa específica definida pela eq. (3.24). A
decomposição de Favre é dada por
iii ��� ����~ (3.29)
Comparando-se as eq. (3.29) e (3.24), e utilizando as propriedades da
operação da média de Reynolds podemos escrever:
���� �
~ (3.30)
então
���������� ��������� ))((~ (3.31)
De acordo com a eq. (3.31), a equação da continuidade expressa pela eq.
(3.27) pode ser escrita de forma análoga àquela apresentada pela eq. (3.1) como:
0)~ ( i ��
� uxi
� (3.32)
Ao se utilizar a média de Favre é comum decompor a velocidade instantânea
em uma média mássica iu~ e uma flutuação iu �� , como mostrado abaixo.
iii uuu ����~ (3.33)
Multiplicando-se a eq. (3.33) por � e operando-se a média de Reynolds no
tempo temos:
iiiiiiii uuuuuuuu �������������� ��������~~~~ (3.34)
Utilizando a identidade dada pela eq. (3.30) na eq. (3.34), obtém-se
0���iu� (3.35)
Foi visto que uma das propriedades da decomposição de Reynolds dada pela
eq. (3.24) é que 0��iu . Na decomposição de Favre, eq. (3.33), a média da
flutuação da velocidade não é nula, como mostrado abaixo.
iii uuu ~���� (3.36)
� � ���
�
�
��
�
� ������
��
�
�
��
�
� ����
��
�
�
��
�
� ������
�
�
�
�
�
�
�
� iiii
iii
iiii
uuuu
uuu
uuuu
(3.37)
Modelagem Matemática
38
� 0����
�����
������
�
�
� iiii
uuuu (3.38)
3.4 Equações Governantes na Média de Favre
A fim de se obter as equações de conservação e transporte na média de
Favre, as várias propriedades do escoamento foram decompostas em valores
médios e flutuações, como mostrado abaixo, e substituídas nas eq. (3.1), (3.2)
(3.3), (3.5) e (3.26), para escoamento em regime permanente.
iii uuu ����~
��� ��� ppp ���
hhh ����~
eee ����~
TTT ����~
jjj qqq ���
jijiji ttt ���
lll mmm ����~
lll RRR ���
(3.39)
Operando-se a média de Reynolds das expressões assim obtidas e
utilizando-se a definição da média de Favre apresentada pela eq. (3.31) e a
propriedade mostrada na eq. (3.35), obtêm-se as seguintes expressões:
0)~( ��
�
ii
ux
� (3.40)
)()~~( jijiji
ijj
uutxx
puux
������
��
�
���
�
��� (3.41)
)(][]~~[ jiij
jjj
jj
tux
Huqx
Hux �
��������
�
��
�
��� (3.42)
� � )(~~ fuJx
fux j
fj
ii
i
������
���
�
��� (3.43)
Modelagem Matemática
39
��
�
j j
j
MmT
p~
1~�
(3.44)
onde H~ é a entalpia de estagnação média definida por kuuhH ii ���~~
21~~ , sendo �
a energia cinética turbulenta.
A demonstração dessas equações encontra-se no Apêndice A do presente
trabalho. Um aspecto físico a ser destacado é que embora a média de Favre
elimine as flutuações da massa específica dentro das equações de conservação, a
mesma não remove o efeito dessas flutuações sobre a turbulência.
Consequentemente, a média de Favre é apenas uma simplificação do ponto de
vista matemático e não físico.
Para o tratamento das eq. (3.41-43) necessita-se de modelos para explicitar
os termos que envolvem correlações de flutuações de velocidades e flutuações de
outro escalar. É o que se chama normalmente na literatura de problema do
fechamento. Esses modelos serão tratados mais adiante quando for detalhado o
modelo de turbulência adotado.
3.5 Modelo de Combustão
A modelagem da combustão turbulenta é um campo bastante extenso.
Podemos distinguir alguns passos na modelagem numérica de chamas:
�� a análise assintótica, que permite a determinação analítica de
propriedades da chama para problemas simples, levando a fatores de
escala úteis (como números adimensionais), sendo adequada para a
comparação quantitativa de vários fenômenos;
�� experimentos simplificados são úteis para o entendimento das
características básicas da combustão (chamas laminares, interação
vórtices-chama, etc.);
�� criação do modelo matemático para o problema; e
�� validação do modelo contra resultados experimentais ou comparação
com resultados através de simulação numérica direta (DNS).
Modelagem Matemática
40
A queima do combustível sólido dentro da câmara de combustão de um
SFRJ ocorre em regime não pré-misturado, onde combustível e oxidante estão
segregados pela chama dentro da camada limite turbulenta. Assim, pode-se
utilizar o modelo de chama de difusão não pré-misturada, onde a velocidade de
queima é controlada pela difusão molecular dos reagentes através da zona de
reação, ou seja, controlada pelo grau de mistura.
Existem na literatura vários modelos matemáticos propostos para as chamas
de difusão(47). As hipóteses formuladas na construção desses modelos podem ser
agrupadas em dois grupos principais: cinética química infinitamente rápida e
cinética química de taxa finita. No presente trabalho, utilizou-se um modelo de
cinética química infinitamente rápida, conhecido como modelo de fração de
mistura formulação PDF (Probability Density Function) presumida, onde a
combustão é descrita como uma reação irreversível de única etapa entre
combustível e oxidante gerando produtos de combustão.
3.5.1 Fração de Mistura – Formulação PDF
O modelo é o mais popular em combustão subsônica e faz uma abordagem
estatística para o problema, a fim de levar em conta a interação turbulência-
combustão. Uma vez que o sistema não é adiabático, os valores médios de
algumas propriedades do escoamento podem ser obtidos através de uma relação
matemática (relações de estado) entre o valor instantâneo dessa propriedade, como
função da variável escalar conservativa (fração de mistura) e da entalpia, e uma
função densidade de probabilidade conjunta dessas mesmas variáveis. De maneira
geral, sendo � a propriedade que se pretende avaliar, seu valor médio pode ser
calculado por:
� ��
hdfdhhfphf
0
1
0),(),(~
�� (3.45)
onde p( f, h) é a função densidade de probabilidade conjunta da fração de mistura
e da entalpia.
Modelagem Matemática
41
3.5.2 Relações de Estado - Fração em massa
Neste trabalho a abordagem da combustão através da fração de mistura foi
tratada com uma reação de única etapa e cinética infinitamente rápida. O modelo
de cinética química infinitamente rápida (IFCM - Infinitely Fast Chemical System)
empregado, permite que se obtenha de maneira simples as frações em massa das
espécies como funções da fração de mistura apenas. Desse modo, a função
densidade de probabilidade também pode ser definida como função apenas da
fração de mistura. Assim, o valor médio da fração em massa de cada espécie j
considerada nos produtos da combustão foi calculado, pela expressão:
��
1
0)()(~ dffpfmm jj (3.46)
A forma da função )( fm j é obtida pelo modelo de combustão adotado de
acordo com a seguinte hipótese. Pressupõe-se que combustível e oxidante reagem
em qualquer temperatura gerando produtos. Desse modo, considera-se não haver
combustível e oxidante presentes simultaneamente em um ponto do domínio
computacional. Se o combustível entrasse em contato com o oxidante na razão
estequiométrica, apenas produtos estariam presentes no domínio
computacional(48). Caso contrário, além dos produtos haveria a presença de
combustível ou oxidante, o que estivesse em excesso. Pode-se verificar essa
afirmativa da seguinte forma. Assumindo-se que um combustível do tipo CxHyOz
esteja sendo queimado, a reação estequiométrica de queima completa desse
combustível pode ser escrita como:
22222 76,3)24
(2
)76,3)(24
( NzyxOHyxCONOzyxOHC zyx ��������� (3.47)
Variando-se, então, a quantidade de oxigênio disponível para a reação e
supondo que a quantidade de oxigênio disponível para a reação seja uma fração
� , onde � varia de 0 (zero) a � (infinito), da quantidade estequiométrica
requerida, assumindo combustão ideal a eq. (3.47) torna-se:
Modelagem Matemática
42
22
22
22
7632424
10
211
1076324
NzyxOzyxMax
OHyMinxCOMin
OHCMaxNOzyxOHC zyxzyx
,)())]((,[
],[],[
],[),)((
������
��
�������
��
��
��
(3.48)
Usando-se a definição de fração de mistura apresentada na eq. (3.20), é
possível traçar um gráfico com a variação das frações em massa dos produtos na
eq. (3.48) como uma função da fração de mistura (f). Conforme � varia de � a 0
(zero), a fração de mistura varia de 0 (zero) a 1 e relações de estado para as
frações em massa das espécies podem ser expressas em função da fração de
mistura.
Como exemplo, tomemos a combustão do metano. A reação de combustão
segundo a eq. (3.48) é escrita como:
222
24224
76,3)2(2)]1(,0[2],1[],1[]1,0[)76,3)(2(
NOMaxOHMinCOMinCHMaxNOCH
���
���
����
����� (3.49)
Sabendo que a fração em massa de oxigênio no ar é de aproximadamente
23,31%, tomando-se a reação estequiométrica (� =1) obtemos os valores de s e fst,
segundo a eq. (3.21), para a combustão do metano
4161322
42
�
�
�
��
CHmassaOmassas ; 055070
233104123310 ,
,,
�
��
�stf (3.50)
A massa total (MTot) dos produtos da combustão expressa na eq. (3.49) é
calculada por:
����� 56,210]1,0[64],1[36],1[44]1,0[16 ������� MaxMinMinMaxMTot (3.51)
Para a reação apresentada na eq. (3.49) podemos escrever uma expressão
para a fração de mistura, de acordo com a eq. (3.20), da seguinte forma:
233104
23310106410416
,
,],[],[
�
��
���
�TotTot M
MaxMMax
f
��
(3.52)
Agora, variando � entre 0 e � para cada valor de � , encontramos a massa
de cada espécie nos produtos através da eq. (3.50). Calculamos a massa total dos
Modelagem Matemática
43
produtos pela eq. (3.51) e a fração de mistura pela eq. (3.52). A fração em massa
da espécie é a razão entre sua massa e a massa total (MTot) da mistura. Obtem-se,
então, as relações de estado para as frações em massa das espécies em função da
fração de mistura na combustão do metano, conforme mostrado na fig. 6.
De maneira análoga, o procedimento pode ser adotado para determinar as
relações de estado para frações em massa na combustão de outros combustíveis.
Como exemplo, as fig. 7 e 8 mostram as relações de estado para a combustão do
etileno (C2H4) e metilmetacrilato (C2H5O2), respectivamente. Percebe-se que o
ponto de inflexão das curvas está relacionado diretamente com o valor da fração
de mistura estequiométrica. Esse é um parâmetro da reação química que depende
exclusivamente do combustível utilizado. Por outro lado, a curva de fração em
massa do inerte (N2) é a única que independe do valor da fração de mistura
estequiométrica e sim do valor da fração em massa de inerte na corrente de
oxidante, sendo, portanto, idêntica para todos os combustíveis.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
FRAÇÃO DE MISTURA - f
FRAÇ
ÃO E
M M
ASSA
O2 CO2 H2O N2 CH4
Figura 6 - Relação de estado para fração em massa na combustão do metano.
Modelagem Matemática
44
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
FRAÇÃO DE MISTURA - f
FRAÇ
ÃO E
M M
ASSA
O2 CO2 H2O N2 C2H4
Figura 7 - Relação de estado para fração em massa na combustão do etileno.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
FRAÇÃO DE MISTURA - f
FRAÇ
ÃO E
M M
ASSA
O2 CO2 H2O N2 C2H5O2
Figura 8 - Relação de estado para fração em massa na combustão do metilmetacrilato.
Modelagem Matemática
45
Observando-se as fig. 6 a 8 pode-se resumir as relações de estado para
fração em massa do combustível (mfu), oxigênio (mO2), nitrogênio (mN2) e
produtos (mprod), lembrando que nos casos estudados nesse trabalho o inerte (N2) é
introduzido apenas na corrente de oxidante, ou seja, a corrente de combustível só
possui combustível.
st
stfuOst f
ffmmff�
������
1;01 2 (3.53)
oOst
stOfust m
fff
mmff ,22;00�
����� (3.54)
)1(,22 fmm oNN �� (3.55)
)(1 22 NOfuprod mmmm ���� (3.56)
onde mO2,o = 0,2331 e mN2,o = 0,7669.
As espécies consideradas como produtos para efeito dos cálculos acima são
CO2 e H2O. Para determinar as frações em massa de CO2 e H2O isoladamente,
basta multiplicar a fração em massa dos produtos, obtida pela eq. (3.56), pela
razão em massa de cada espécie dentro dos produtos. Por exemplo, na combustão
do metano temos a formação de um mol de CO2 (44g) e dois moles de H2O (36g),
somando um total de 80g de produtos. Assim, as razões em massa das duas
espécies serão: 55080442 ,/ ��COr e 45080362 ,/ ��OHr
Dessa forma, em qualquer reação de combustão as frações em massa de CO2
e H2O podem ser determinadas pelas expressões:
)](1[ 2222 NOfuCOCo mmmrm ���� (3.57)
)](1[ 2222 NOfuOHOH mmmrm ���� (3.58)
Para explicitar as eq. (3.57) e (3.58) em função da fração de mistura
substitui-se as eq. (3.53-55) dentro das mesmas.
Modelagem Matemática
46
3.5.3 Relações de Estado - Temperatura
Foi mostrado que as frações em massa instantâneas das espécies nos
produtos da combustão podem ser obtidas como funções da fração de mistura
apenas, de acordo com as relações de estado. No caso da temperatura, a
determinação de seu valor instantâneo em função da fração de mistura não é tão
direta. Isso se deve ao fato de que a temperatura da mistura deve ser calculada a
partir da entalpia da mistura pela expressão(49):
refpO TC
sHmhT �
��� /)( 2 (3.59)
onde H� é o calor de combustão por quilograma de combustível na temperatura
de referência ( refT ). O calor específico da mistura a pressão constante é dado por
��j
jpjp CmC , (3.60)
onde mj é fração em massa e Cp,j o calor específico médio da espécie j tomado à
temperatura de 1200 K.
Como definido pela eq. (3.59), a temperatura não pode ser calculada apenas
como uma função da fração de mistura e sim como função da fração de mistura e
da entalpia da mistura, isto é, T=T( f ,h ). Essa característica é própria de sistemas
onde existe transferência de calor para as paredes da fronteira por convecção e/ou
radiação. Nesses sistemas, o estado termoquímico local deixa de ser função
apenas da fração de mistura, para se tornar função da entalpia também.
O cálculo do valor médio da temperatura deveria ser feito de acordo com a
eq. (3.45). Porém, o desenvolvimento de p( f, h ) é bastante trabalhoso e não tem
aplicações práticas em problemas de engenharia. Usualmente, assume-se que a
fração de mistura e a entalpia são estatisticamente independentes. Além disso,
assume-se que as flutuações da entalpia são independentes do nível de entalpia,
isto é, as perdas de calor não interferem significativamente nas flutuações
turbulentas da entalpia. Dessa forma, o valor médio da temperatura média pode
ser calculado por:
Modelagem Matemática
47
��
1
0)(),(~ dffphfTT (3.61)
No presente trabalho, o lado direito da eq. (3.59) foi dividido em três termos
da seguinte maneira:
�� 1o Termo: pCh / , onde o valor de h é obtido pela solução da equação de
conservação de energia e pC foi calculado pela eq. (3.60), porém os valores
de mj foram expressos como funções da fração de mistura (relações de
estado). Assim, o primeiro termo foi assumido como função de h e f.
�� 2o Termo: )/( pox CsHm �� . Nesse termo H� e s são constantes e
dependem apenas do combustível. A fração em massa de oxigênio ( 2om ) é
função da fração de mistura (relação de estado) e pC foi calculado pela eq.
(3.60), porém os valores de mj foram expressos como funções da fração de
mistura (relações de estado). Desse modo, o segundo termo é uma função
apenas da fração de mistura.
�� 3o Termo: Tref. É uma constante.
Substituindo-se a temperatura dada pela eq. (3.59) na eq. (3.61) podemos
escrever a seguinte expressão para o cálculo da temperatura média da mistura:
� �� ��
��1
0
1
0
1
0
2 )()()()(
)()(
1~ dffpTdffpfCfm
sHdffp
fChT ref
p
O
p
(3.62)
Foi mostrado na seção anterior, eq. (3.53-58), como as frações em massa
instantâneas das espécies variam com f. Assim, uma vez que o calor específico
definido pela eq. (3.60) é uma combinação linear de mj(f), conhecendo-se os
valores dos Cp,j pode-se traçar uma curva mostrando a variação das
razões )(/)( fCfR p11 � e )(/)()( fCfmfR pO22 � . Como exemplo, as fig. 9 e
10 mostram as curvas obtidas para R1(f) � f e R2(f) � f e as expressões para R1(f) e
R2(f) no caso da combustão do etileno.
Modelagem Matemática
48
0,E+00
5,E-05
1,E-04
2,E-04
2,E-04
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0FRAÇÃO DE MISTURA - f
R2(
f) =
MO
2(f)
/ Cp(
f)
0)(106367,010).98,3210,2()(06367,00
2
42
����
������
fRfffRf
Figura 10 - Curva de R2(f) x f e expressões de R2(f) para a combustão do etileno.
y = -2,860E-04x + 6,308E-04
y = -5,527E-04x + 7,845E-04
y = -9,611E-04x + 8,718E-04
y = -1,417E-03x + 9,008E-04
0,E+00
1,E-04
2,E-04
3,E-04
4,E-04
5,E-04
6,E-04
7,E-04
8,E-04
9,E-04
1,E-03
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
FRAÇÃO DE MISTURA - f
1/C
P M
ÉDIO
42
42
42
42
10).86,2308,6()(157623,0
10).527,5845,7()(57623,02138,0
10).611,9718,8()(2138,006367,0
10).17,14008,9()(06367,00
�
�
�
�
�����
�����
�����
�����
ffRf
ffRf
ffRf
ffRf
Figura 9 - Curva de R1(f) x f e expressões de R1(f) para a combustão do etileno.
Modelagem Matemática
49
A partição das curvas em trechos lineares facilita o cálculo das integrais
envolvendo a função densidade de probabilidade, como será mostrado mais
adiante. Portanto, para completar os cálculos dos valores médios das frações em
massa das espécies e da temperatura média da mistura, falta apenas definir a
forma da função densidade de probabilidade p(f). Como já foi mencionado, o
modelo adotado utiliza uma forma presumida para a função densidade de
probabilidade, que utiliza os valores obtidos da solução das equações de
transporte da fração de mistura e sua variância, que será tratada na próxima seção.
Uma vez calculados os valores médios das frações em massa das espécies na
mistura através da eq. (3.46) e o valor médio da temperatura da mistura pela eq.
(3.62), podemos calcular o valor médio da massa específica da mistura
diretamente pela aplicação da equação de estado como abaixo
��
�
j j
j
MmT
p~
1~�
(3.63)
onde jm~ é a fração em massa média e Mj a massa molecular da espécie j.
O valor médio da massa específica da mistura gasosa também poderia ter
sido calculado pela expressão:
��1
0 ),()(1 dfhf
fp��
(3.64)
Dessa maneira, para se encontrar o valor médio da massa específica da
mistura gasosa não seria necessário calcular os valores médios das frações em
massa das espécies e da temperatura da mistura gasosa. Uma expressão contendo
valores instantâneos das frações em massa e da temperatura representaria o valor
instantâneo da massa específica ),( hf� . Um procedimento análogo ao que foi
descrito para o cálculo do valor da temperatura média na eq. (3.62), teria que ser
utilizado para o cálculo da integral do lado direito da eq. (3.64).
O cálculo da massa específica através da eq. (3.64) é bastante vantajoso,
computacionalmente, quando não estamos interessados em analisar os campos
médios de temperatura e concentração das espécies, uma vez que evita o cálculo
das integrais apresentadas nas eqs. (3.46) e (3.62).
Modelagem Matemática
50
3.5.4 Variância da Fração de Mistura e sua Equação de Transporte
O modelo de fração de mistura/formulação PDF, para escoamentos
turbulentos, envolve a solução das equações de transporte na média de Favre para
a fração de mistura e sua variância. Uma vez que no escoamento turbulento a
fração de mistura flutua aleatoriamente sobre um valor médio em cada ponto da
câmara de combustão, utiliza-se uma hipótese física de modelagem que estabelece
uma ligação entre o processo de mistura e as reações químicas. Como ponto de
partida, para modelar as flutuações da fração de mistura, define-se uma variância
fg como:
� �������
��
t
tf dff
tfffg
0
222 ]~)([1)~( lim �� (3.65)
onde t é grande, comparado à escala de tempo da turbulência local.
Pode-se obter a equação de transporte para fg na média de Favre em regime
permanente a partir da eq. (3.22). A demonstração completa encontra-se no
Apêndice A.
��
������
��
�
�
��
�
�����
�
�
�
��
�
�
jjj
j
ff
jfj
j xffufu
xg
xgu
x
~2)~( 2���
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
���
jf
jjjf x
fx
fxf
xf ~
22
(3.66)
3.5.5 Definindo a forma da PDF
A função densidade de probabilidade pode assumir diferentes formas. No
presente trabalho, )( fp foi construída utilizando-se os valores da fração de
mistura ( f~ ) e sua variância ( fg ) obtidos da solução das respectivas equações de
Modelagem Matemática
51
transporte (3.43) e (3.65). Usando-se a função Beta normalizada(50) podemos
definir a pdf como:
���
��
�
�
� 1
0
11
11
)1(
)1()(dfff
fffpba
ba
(3.67)
onde os parâmetros a e b estão relacionados com f~ e fg através das expressões
���
�
���
��
�� 1)~1(~~
fgfffa (3.68)
ffab ~
)~( �
�
1 (3.69)
Uma vez definida a forma da pdf, cabe uma explicação de como foram
implementados os cálculos das integrais nas eqs. (3.46) e (3.62). Inicialmente,
apresenta-se a definição da função Beta (a,b)(50).
���
��
1
0
11 )1(),( dtttbaBeta ba (3.70)
Tomando-se agora as eq. (3.69) e (3.66) e substituindo na eq. (3.45) tem-se:
���
�
�
1
0
11
),(])1([)(~
baBetadffff
ba
�� (3.71)
Porém, como foi visto nas eq. (3.52-58) e na eq. (3.62), )( f� se apresenta
na forma BAff ��)(� (função linear de f), onde A e B são constantes.
Substituindo na eq. (3.70) a expressão definida para )( f� e a definição da função
Beta tem-se:
BbaBeta
baBetaA
baBetabaBetaB
baBetabaBetaA
baBeta
dfffB
baBeta
dfffA baba
��
��
��
�
�
�
�
���
���
),(),1(~
),(),(
),(),1(
),(
)1(
),(
)1(~1
0
111
0
1
�
� (3.72)
A expressão obtida na eq. (3.71) pode ser ainda mais simplificada com o uso
de uma propriedade da função Beta. Inicialmente, utiliza-se a definição da função
Gama dada por(50):
Modelagem Matemática
52
��
��
��0
1)( dtetn tn , com n > 0 (3.73)
Então, pela definição acima, tem-se:
��
�
���0
)1( dtetn tn (3.74)
Integrando por partes, o lado direito da eq. (3.73), pode-se escrever:
���
���
��
�
���0
1
00dtentetdtet tntntn (3.75)
Uma vez que o primeiro termo do lado direito da eq (3.74) tende a zero para
n >0, e usando as eq. (3.73) e (3.72) encontra-se a seguinte equação funcional
para a função Gama(51):
)()1( nnn ���� (3.76)
Existe a seguinte relação entre a função Beta e a função Gama, cuja
demonstração pode ser encontrada em livros de matemática estatística e em
tabelas de funções e fórmulas matemáticas(51):
)()()(),(
nmnmnmBeta
��
��� (3.77)
Então, pela definição na eq. (3.76), pode-se escrever:
)1()()1(),1(
���
�����
nmnmnmBeta (3.78)
Usando-se a equação funcional (3.75) na eq. (3.77) tem-se:
)()()()(),1(nmnm
nmmnmBeta���
���� (3.79)
Assim, usando-se as eq. (3.76) e (3.78) tem-se:
)()()(
)()()()(
),(),1(
nmnm
nmnmnmm
nmBetanmBeta
��
��
���
��
��
� nm
mnmBeta
nmBeta�
�
�
),(),1( (3.80)
Modelagem Matemática
53
Substituindo-se o resultado da eq. (3.79) na eq. (3.71) encontra-se a seguinte
expressão para o cálculo do valor médio da variável �~ .
Bba
aA ���
���
�
��
)(~� (3.81)
Essa simplificação facilita bastante os cálculos dos valores médios das
frações em massa das espécies e do valor médio da temperatura da mistura,
tornando mais dinâmico, computacionalmente, o procedimento de atualização dos
valores dessas variáveis e o cálculo da massa específica da mistura.
3.6 Modelo de Turbulência
Como mencionado anteriormente, alguns termos contendo correlações com
flutuações das variáveis nas equações de conservação e transporte na média de
Favre necessitam ser modelados, a fim de que o sistema de equações diferenciais
obtido seja fechado. Esse é o conhecido problema do fechamento da modelagem
matemática, ou seja, o número de equações no sistema tem que ser igual ao
número de incógnitas. A seguir, apresenta-se os modelos de fechamento adotados
para analisar o problema da combustão no SFRJ.
Modelou-se as tensões de Reynolds através da aproximação de Boussinesq
(1877)(44), o qual propõe para o núcleo turbulento uma analogia entre as tensões
turbulentas e as tensões existentes no regime laminar. Assim,
ijijkk
ti
j
ji
tji xu
xu
xu
uu �������32
32
����
����
�
�
��
��
�
�
��
�
�
�
�
�
������
~~~ (3.82)
O parâmetro de proporcionalidade com a taxa de deformação do escoamento
é a viscosidade turbulenta, �t, a qual depende do escoamento. O termo �� na
expressão acima representa a pressão dinâmica associada aos turbilhões, em
analogia à pressão estática, termodinâmica, sendo � a energia cinética turbulenta.
Para escoamentos a baixo Mach, pode-se considerar que �� << p .
Modelagem Matemática
54
O vetor fluxo turbulento de um escalar ( �� ����ju ) foi modelado utilizando-
se a clássica analogia de Reynolds (1874)(44), de modo que o mesmo é
proporcional ao gradiente do valor médio do escalar. Assim, pode-se escrever
jt
tj x
hhu�
�������
~
�
�� (3.83)
jt
tj x
ffu�
�������
~
�
�� (3.84)
onde �t é o número de Prandtl turbulento.
Uma vez que o modelo de turbulência adotado para a resolução do
escoamento foi o modelo de duas equações � (energia cinética turbulenta) e
�����taxa de dissipação da energia cinética turbulenta) para altos Reynolds,
proposto por Launder e Spalding (52), a viscosidade turbulenta foi definida por
���� � /2Ct � (3.85)
onde C��é uma constante empírica.
Para avaliar a viscosidade turbulenta, referente ao modelo de duas equações
�-� devemos resolver as equações de transporte na média de Favre para essas
duas variáveis.
A energia cinética turbulenta é definida como
ii uu �����21
� (3.86)
Logo, a maneira mais simples de se obter a equação de transporte para � na
média de Favre é multiplicar a diferença entre as equações de quantidade de
movimento linear, eqs. (3.2) e (3.41), por iu �� , e operar a média no tempo da
expressão assim obtida. A obtenção da equação de transporte para � na média de
Favre requer um esforço algébrico bem maior. Inicialmente, também calcula-se a
diferença entre as equações de quantidade de movimento linear instantânea e
média, eq. (3.2) menos eq. (3.41). Diferencia-se a expressão assim obtida em
relação a kx � �kx�� / , faz-se o produto escalar com ki xu ���� /� e opera-se a
Modelagem Matemática
55
média no tempo. No Apêndice A são apresentados os passos descritos
anteriormente para a dedução de ambas as equações de transporte. Ao final,
obtemos as seguintes expressões para as equações de transporte na média de Favre
para � e � , respectivamente.
ii
j
ijiiijiji
jj
ijij
j xpu
xu
tuuuutxx
uuuu
x �
����
�
�������������
�
��
�
�������
�
� )21(
~)~( ���� (3.87)
���
�
�
��
�
�
�
�
�
���
�
���
�
�
�
�
�
�
��
�
�
i
j
il
ij
jjj
j xu
xp
xu
uxx
ux
����
��� 2)~(2
���
�
���
�
���
�
�
��
���
�
���
�
���
�
�
��
�
��
�
�
�
���
������
li
jli
jii
ji
ji xu
xxu
xxpu
xu
uuC ����
� 21~
(3.88)
Os termos de difusão molecular ( ijiut �� ) e transporte turbulento ( iij uuu ������
21
� )
que aparecem na equação de transporte da energia cinética turbulenta, eq. (3.86),
foram modelados segundo a aproximação mais comumente utilizada para
escoamentos com baixos número de Mach(53)
( ijiut �� - iij uuu ������
21
� ) = jk
tx��
���
����
��
�
�
�� (3.89)
Na equação de transporte para a variância da fração de mistura (gf), eq.
(3.65), o termo com a correlação 2fu j ����� foi modelado adotando-se o conceito da
difusividade turbulenta e utilizando-se a analogia de Reynolds (1874)(44), da
seguinte maneira:
j
f
g
tj x
gfu
�
��������
��
2 (3.90)
Ainda na equação de transporte para gf , o termo difusivo ��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
jf
j xf
xf
~,
apesar de não nulo, foi desprezado, o que é usualmente feito em escoamentos com
alto número de Reynolds. Nesta equação, o último termo a ser modelado,
Modelagem Matemática
56
��
�
�
��
�
�
�
���
�
���
jjf x
fxf , é a taxa de dissipação das flutuações da fração de mistura. Essa
grandeza mede diretamente a velocidade de decaimento das flutuações através da
micromistura turbulenta. São encontradas várias expressões associadas a esse
termo(43).
Como mencionado no trabalho de Veynante e Vervisch(43) pode-se escrever,
Xxf
xfD
jj
~�� �
�
���
�
��� (3.91)
onde X~ é taxa de dissipação do escalar e D a difusividade de f.
Agora, para encontrar uma expressão para X~ , pode-se derivar uma equação
de transporte para essa variável a partir da equação de transporte da fração de
mistura. Detalhes dessa derivação podem ser encontrados em Veynante e
Vervisch(43). A condição de equilíbrio (produção = dissipação) nos leva a uma
expressão simples para X~ .
)/(~ 2
��
fCX S��
� (3.92)
onde CS é a constante de Spalding, usualmente definida com valor unitário.
Assim, na equação (3.91) tem-se
2fCxf
xfD s
jj���
�
���
�
���
�
���
(3.93)
O primeiro termo do lado direito da equação de transporte de �, eq. (3.86),
representa a produção de energia cinética turbulenta P� devido as tensões viscosas
ijji
kk
tji
i
j
ji
tji
jik xu
xu
xu
x
u
xu
xu
uuP �������
�
���
�
���
��
���
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
�
��
�
�������
~~~~~~
32 (3.94)
O terceiro termo do lado direito da equação (3.86) representa a dissipação
de �, sendo definido por
����
���
j
iji x
ut (3.95)
Modelagem Matemática
57
O efeito do gradiente de massa específica sobre a turbulência é levado em
consideração no termo de correlação pressão-velocidade que aparece nas equações
de transporte na média de Favre para � e �. No entanto, a modelagem desse termo
ainda carece de comprovações experimentais, sendo o mesmo, usualmente,
desprezado em escoamentos onde as forças devido ao empuxo não são
consideradas(54).
0��
����
ii x
pu (3.96)
Os termos de correlação que surgem na equação de transporte da taxa de
dissipação da energia cinética turbulenta na média de Favre, eq. (3.87), foram
modelados seguindo-se a análise dimensional e a intuição física. De uma maneira
simplificada, pode-se rescrever a eq. (3.87) como:
����� dPDu
x jj
����
� )~( (3.97)
onde os termos do lado direito representam, respectivamente, os mecanismos de
difusão, produção e destruição de �.
O termo de difusão é aproximado usando-se o gradiente de �, de forma
análoga ao que foi feito nas outras equações. Assim, tem-se(44)
j
t
i
j
il
ij xx
uxp
xuu
�
���
�
���
�
�����
�
�
�
�
�����
�
�
����
�
22
(3.98)
���
�
���
�
�
��
�
�
�
�
�
����
����
�
�
��
�
�
�
�
j
t
ji
j
il
ij
jj xxxu
xp
xu
uxx
D �
�
�����
��
�
�)(]2[
2
(3.99)
O termo de produção na equação (3.96) apresenta parcelas de geração
devido a mecanismos como alongamento dos vórtices e o efeito da variação da
massa específica sobre a turbulência. Sabe-se que a produção de � devido as
tensões viscosas e pressão é dada por(44)
kj
iji P
xuuu �
�
������
~� (3.100)
Modelagem Matemática
58
Uma vez que a produção de � deve ser balanceada pela produção de �, para
evitar um aumento infinito de �, o termo P� será igual ao termo Pk multiplicado
por �� / (inverso da escala de tempo) e por uma constante empírica C1.
kPCP�
�
� 1� (3.101)
Finalmente, o termo de destruição na equação (3.96) deve tender a infinito
quando 0�� , caso contrário, teremos valores negativos para �. O modelo
adotado para o termo de destruição é apresentado abaixo.
��
����
� 22 Cxu
xxu
xd
li
jli
j�
���
�
���
�
��
���
�
���
�
�
���
�
���
�
��
���
�
���
�
�� (3.102)
3.7 Forma Geral das Equações de Conservação e Transporte
As equações apresentadas em (3.40), (3.41), (3.42), (3.43), (3.65), (3.86) e
(3.87) utilizando as aproximações e modelos das seções anteriores, podem ser
escritas na forma geral abaixo para regime permanente.
���
��� Sxx
ux jj
jj
��
�
�
��
�
� )()~( (3.103)
Esse procedimento facilita a implementação das equações dentro do código
computacional. A equação, na forma geral, fica dividida em três termos distintos.
O primeiro, localizado à esquerda é o termo convectivo. O segundo, primeira
parcela do lado direito, é o termo difusivo. O terceiro, segunda parcela do lado
direito, é o chamado termo fonte.
A equação da continuidade, apresentada pela eq. (3.40), pode ser rescrita
como:
00 ��
�
�
��
�
� )()~(jj
jj xx
ux
�� (3.104)
Na equação de conservação da quantidade de movimento linear (3.41), foi
introduzida a lei constitutiva, eq. (3.8), e o modelo de Boussinesq, eq. (3.81),
Modelagem Matemática
59
alterando sua forma para:
��
���
��
���
�
�
��
�
�
��
��
�
�
��
�
�
�
��
�
��
�
�
��
���
�
�
ijijkk
i
j
ji
tj
iij
j
xu
x
u
xu
x
xpuu
x
������
�
32
32 ~~~
)(
)~~(
(3.105)
Introduzindo-se a definição de viscosidade efetiva como
teff ��� �� (3.106)
e considerando que o escoamento é para alto número de Reynolds, pode-se
desprezar a viscosidade molecular em relação a turbulenta, então
teff �� � (3.107)
Consequentemente, podemos rescrever a equação (3.104) como:
ii
jt
jji
tj
ijj x
Pxu
xxu
xuu
x �
���
��
����
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�~~
)~~( ��� (3.108)
onde introduziu-se a seguinte definição para a pressão modificada P :
� ����32
32
����
����
�
�
��
kk
t xu
pP~
(3.109)
Para rescrever a equação de conservação da energia (3.42) usou-se o fato de
que para escoamentos a baixo número de Mach (entre 0,3 e 0,4 no caso dos estato
reatores), considera-se que o trabalho viscoso é desprezível. Assim,
0)( ��
�
jiij
tux
(3.110)
Temos ainda que a viscosidade molecular é muito menor que a viscosidade
turbulenta, de acordo com o modelo de turbulência adotado. Finalmente, usando-
se a eq. (3.82), a eq. (3.42) pode ser rescrita como
���
�
���
�
��
�
�
�
�
jt
t
jj
j xH
xHu
x
~)~~(
�
�� (3.111)
Modelagem Matemática
60
A equação de transporte da fração de mistura (3.43) foi simplificada
utilizando as eq. (3.23) e (3.83), e desprezando-se a viscosidade molecular, 0�� :
� � )~
(~~jf
t
ii
i xf
xfu
x �
�
�
��
�
�
�
�� (3.112)
A equação de transporte para a variância da fração de mistura (3.65) foi
simplificada utilizando-se as eq. (3.83), (3.89) e (3.93). Introduzindo-se
aproximações para escoamento com alto Reynolds, isto é, 0~
���
�
�
��
�
�
�
�
�
�
jf
j xf
xf e
0�� , tem-se:
fjt
tj
f
tt
jfj
jg
xf
xg
xgu
x �
��
�
�
�
�� 22
2�
��
�
�
��
�
�
�
��
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�~
)~( (3.113)
Para simplificar a equação de transporte da energia cinética turbulenta
(3.86) foram inseridas as eq. (3.94), (3.95) e (3.96) e a viscosidade molecular foi
desprezada, resultando em
���
�
���
���
���
�
���
�
Pxx
ux jk
tj
jj
)~( (3.114)
A equação de transporte da taxa de dissipação da energia cinética turbulenta
(3.87) pode ser simplificada utilizando-se as equações (3.99), (3.101) e (3.102).
Rescrevendo-a com 0�� encontramos:
�
��
�
��
�
���
�
�
221 CPC
xxu
x jt
jj
j��
���
�
���
�
)~( (3.115)
Comparando-se as expressões dadas pelas eq. (3.103), (3.107) e (3.110-114)
com a forma geral apresentada na eq. (3.102), podemos criar a Tabela 1 onde
estão detalhados os valores de � , �� e �S para tais equações no sistema de
coordenadas cilíndricas axi-simétrico. Os valores das constantes empíricas do
modelo de turbulência adotado encontram-se na Tabela 2.
Modelagem Matemática
61
� �
� �
S
1 0 0
u~ t� ��
���
�
�
�
�
���
�
���
�
�
�
�
�
xvr
rrxu
x tt
~1~��
xP
�
��
v~ t� ��
���
�
�
�
�
���
�
���
�
�
�
�
��
rvrµ
rr1
ruµ
xr
vµ2 tt2
t ~~~
rP
�
��
H~ t
t
�
� 0
f~ t
t
�
� 0
fg t
t
�
� fs
tt gC
rf
xf
�
��
�
�22
22�
��
�
�
��
�
�
��
���
�
���
�
���
�
��
~~
k k
t
�
� ���
�P
ε �
�
�t � ����
�
� 21 CPC �
���� � /2Ct �
� ����32
32
����
����
�
�
��
kk
t xu
pP~
rv
rv
xuvr
rrxu
xu
kk
�
���
�
��
�
��
�
��
�
� ~~~)~(
~~ 1
��
�
j j
j
MmT
p~
1~�
���� iiuuhH ~~~~21
);~(~~ 2
refpo TTC
sHm
h ���
� ��j
jpjp CmC ,~
kk
ii
t
tk
xu
xu
xv
ru
rv
rv
rv
rv
xuP
�
����
����
�
�
��
�
�
�
�
���
���
�
�
��
�
��
��
�
�
��
�
���
���
��
�
���
�
���
�
�
���
�
���
�
�
��
~~
~~~~~~~
���
�
32
222222
Tabela 1 - Parâmetros das equações de conservação e transporte na forma geral
C1 C2 Cµ σk t� σε Cs
1,43 1,92 0,09 1,0 1,0 1,3 1,00
Tabela 2 - Constantes empíricas do modelo de turbulência
Modelagem Matemática
62
3.8 Descrição dos Modelos Matemáticos 3.8.1 Modelo 1
No modelo matemático proposto por Stevenson e Netzer(5) o escoamento no
combustor foi assumido estacionário, bidimensional e subsônico. O calor
específico foi considerado constante, isto é, independente da temperatura e
composição da mistura gasosa. O modelo de turbulência modificado de Jones e
Launder(55) foi adotado para o cálculo da viscosidade efetiva. O modelo requer a
solução das equações de transporte para duas variáveis: a energia cinética
turbulenta (��) e sua taxa de dissipação (� ). A viscosidade efetiva foi calculada
por:
tlameff ��� �� (3.116)
onde ���� � /2Ct � e �
C assume o valor padrão mostrado na Tabela 2.
Uma vez que a transferência de calor por radiação foi desprezada e os
números de Prandtl e Schmidt turbulentos foram adotados como unitários, assim
como o número de Prandtl laminar, a equação da energia em termos da entalpia de
estagnação não apresenta termo fonte. Desse modo, o modelo 1 resolve a equação
da energia em termos da entalpia de estagnação como uma variável escalar
conservativa.
A reação de combustão considerada envolve quatro espécies: oxigênio,
nitrogênio, combustível e produtos. Essa reação ocorre em mecanismo de única
etapa e cinética química infinitamente rápida. Assim, para modelar o escoamento
reativo, Stevenson e Netzer(5) calcularam mais duas variáveis escalares
conservativas. A primeira definida por:
smmZ Ofu /2�� (3.117)
e a segunda a fração em massa do nitrogênio ( 2Nm )
Modelagem Matemática
63
Assim, o modelo 1 envolve a solução das equações de conservação e
transporte na média de Reynolds para as variáveis ZHvu ,,,,, �� e 2Nm , onde
H é a entalpia de estagnação definida por ���� 2/)( iiuuhH , sendo a entalpia
h calculada por:
- recolamento sem reação química: TCh p��� (6.118)
- escoamento com reação química: )(/2 refPO TTCsHmh ���� (6.119)
Para a solução do escoamento próximo às paredes sem transferência de
massa o modelo matemático de Stevenson e Netzer(5) utiliza as funções de parede
de Launder e Spalding(52), dividindo-se a camada limite em duas subcamadas
limitadas de acordo com o valor da variável �
Py . Os detalhes dessa abordagem
serão mostrados no capítulo 4. Assim, o valor da tensão de cisalhamento na
parede proporciona as condições de contorno para as velocidades u e v.
Para a superfície do combustível sólido Stevenson e Netzer(5) adotaram o
procedimento do cálculo das funções de parede de Launder e Spalding(52)
modificadas com a utilização do parâmetro de transferência de massa (blowing
parameter) para o cálculo da tensão de cisalhamento na parede com injeção de
massa. As condições de contorno assim geradas também serão discutidas no
capítulo 4 e os detalhes de sua implementação podem ser vistos no Apêndice B.
3.8.2 Modelo 2
O segundo modelo matemático tratado nesse trabalho foi proposto por
Coelho et al.(38). Nesse modelo o escoamento no combustor também foi assumido
estacionário, bidimensional e subsônico. O calor específico da mistura foi
calculado por
)(~)( , TCmTC jpj
jp �� (3.120)
sendo, portanto, dependente da temperatura e da composição da mistura gasosa.
Modelagem Matemática
64
O modelo de turbulência de duas variáveis �� � de alto Reynolds foi
adotado. Assim, a viscosidade efetiva foi aproximada pelo valor da viscosidade
turbulenta calculada por �����
/2Ct � . O modelo também requer a solução das
equações de transporte para a energia cinética turbulenta (�) e sua taxa de
dissipação (� ).
A transferência de calor por radiação também foi desprezada. O número de
Prandtl turbulento adotado foi de 0,7 e o número de Prandtl laminar unitário. A
equação da energia foi resolvida em termos da entalpia definida por
� �� ���j
TT jpjj o
dtTChmh )(~~,
0 (3.121)
Considerou-se uma reação de combustão envolvendo cinco espécies:
oxigênio, nitrogênio, combustível, dióxido de carbono e água (vapor). Essa reação
ocorre em mecanismo de única etapa e cinética química infinitamente rápida,
como no modelo anterior. O escoamento reativo foi modelado segundo o
formalismo da fração de mistura/ função densidade de probabilidade prescrita. O
formalismo já foi descrito nesse capítulo e prevê a solução das equações de
transporte da fração de mistura e sua variância. Assim, o modelo matemático de
Coelho et al.(38) resolve as equações de conservação e transporte na média Favre
para as variáveis fgfhvu e ~,~,,,~,~�� .
Próximo às paredes o modelo de turbulência não é válido, uma vez que o
número de Reynolds nesses locais é baixo. Nessas regiões, Coelho et al.(38)
utilizaram as funções de parede de Chieng e Launder(56), modificadas para paredes
com injeção ou sucção de massa. A camada limite também foi dividida em duas
regiões como no caso anterior. A interface entre essas subcamadas ocorre em
20Re �v , onde vRe é um número de Reynolds baseado na distância à parede , vy ,
e na raiz quadrada da energia cinética turbulenta local, v� . Considerou-se um
perfil parabólico para a energia cinética turbulenta na subcamada viscosa e perfil
linear na região totalmente turbulenta.
Baseado nas informações sobre os valores de vy e v� o modelo cria um
sistema de equações que, após resolvido em cada iteração, determina o valor da
Modelagem Matemática
65
tensão de cisalhamento na parede, da constante E do perfil logaritmo universal e
da velocidade axial na interface entre as subcamadas, vu .
Com o valor obtido para a tensão de cisalhamento na parede, um segundo
sistema de equações pode ser resolvido, obtendo-se o fluxo de calor para a parede
e o valor da velocidade de injeção de combustível (blowing). Além disso, o valor
da tensão de cisalhamento na parede também é substituído em expressões
definidas para o cálculo dos termos de produção e dissipação na equação
discretizada de transporte de �� para os pontos nodais próximos à parede.
Uma vez resolvida a equação de transporte para a energia cinética turbulenta
nos pontos próximos às paredes, o valor de P� é utilizado para calcular o valor da
taxa de dissipação da energia cinética turbulenta nesses pontos
[ )/(//PP yC ��� �
2343� ]. O mesmo procedimento de solução foi adotado
tanto para as paredes com injeção de massa, como para as demais paredes do
domínio computacional.
3.8.3 Modelo 3
O modelo proposto nesse trabalho faz uma combinação de ambos os
modelos mencionados anteriormente. O escoamento no combustor é assumido
estacionário, bidimensional e subsônico. O calor específico das variáveis foi
assumido ser independente da temperatura, tomando-se um valor médio a 1200K.
Assim, o calor específico da mistura é função apenas da composição da mistura
gasosa.
jpj
jp CmC ,~�� (3.122)
Como no modelo anterior adotou-se o modelo de turbulência �-� de alto
Reynolds para o cálculo da viscosidade efetiva, sendo teff �� � e �����
/2Ct �
A transferência de calor por radiação foi desprezada e os números de Prandtl
e Schmidt turbulentos foram adotados como unitários, assim como o número de
Prandtl laminar. Assim como o modelo 1, o modelo proposto resolve a equação da
Modelagem Matemática
66
energia em termos da entalpia de estagnação como uma variável escalar
conservativa.
Considerou-se uma reação de combustão envolvendo cinco espécies:
oxigênio, nitrogênio, combustível, dióxido de carbono e água (vapor). Essa reação
ocorre em mecanismo de única etapa e cinética química infinitamente rápida. O
escoamento reativo foi modelado segundo o formalismo da fração de mistura/
função densidade de probabilidade prescrita, conforme descrito nesse capítulo e
prevê a solução das equações de transporte da fração de mistura e sua variância.
Assim, o modelo matemático proposto consiste na solução das equações de
conservação e transporte na média Favre para as variáveis
fgfHvu e ~,~,,,~,~�� , onde H~ , a entalpia de estagnação, foi definida por
���� 2/)~~(~~ii uuhH . A entalpia h~ foi calculada por:
- escoamento sem reação química: TCh p~~
��� (3.123)
- escoamento com reação química: )~(/~~2 refPO TTCsHmh ���� (3.124)
Todo o procedimento para tratamento das condições de contorno nas
paredes com e sem transferência de massa foi semelhante ao utilizado por
Stevenson e Netzer(5). A diferença ocorre quando se trata da solução da equação
de transporte da energia cinética turbulenta para os pontos nodais próximos às
paredes. No modelo 1, o valor da energia cinética turbulenta no ponto nodal acima
da parede ( P� ) era definido em função do valor calculado para a tensão de
cisalhamento na parede. Na ausência de injeção de massa, tem-se )( wP ��� � ,
enquanto que na presença de injeção de massa têm-se ),( BPwP ��� � . No
modelo proposto nesse trabalho o valor da energia cinética turbulenta nos pontos
nodais próximos às paredes são obtidos pela solução de sua equação discretizada
de transporte sem qualquer modificação nos termos de fonte. Todos os detalhes da
implementação das condições de contorno do modelo proposto estão descritos no
Apêndice B.
A Tabela 3 mostra as principais características e diferenças entre os modelos
matemáticos descritos anteriormente.
Modelagem Matemática
67
MODELO
Parâmetro Modelo de Coelho et al.(38)
Modelo de Stevenson e Netzer(5) Modelo Proposto
Variáveis resolvidas fgfhkvu ,~,~,,,~,~
� onde
� �
���
j
TT jpj
jjj
odtTCm
hmh
)(~
~~
,
0
Equações na média de Favre.
2,,,,,, NmHkvu �� onde
kuuhH ii ���
21 .
Equações na média de Reynolds
fgfHkvu ,~,~,,,~,~�
onde
kuuhH ii ���~~
21~~ .
Equações na média de Favre
Modelo de Turbulência
�� � de alto Reynolds �� � : Jones e Launder(55) modificado
�� � de alto Reynolds
Modelo de
Combustão
Reação de único passo e cinética infinitamente rápida. Reação simulada pela
solução das variáveis f~
e fg , associadas a uma função densidade de probabilidade presumida, para cálculo das variáveis médias. Fração de Mistura / PDF presumida (beta normalizada).
Reação de único passo e cinética infinitamente rápida. Reação simulada pela solução das variáveis � e 2Nm
Reação de único passo e cinética infinitamente rápida. Reação simulada pela solução das variáveis
f~ e fg , associadas a uma função densidade de probabilidade presumida, para cálculo das variáveis médias. Fração de Mistura / PDF presumida (beta normalizada).
Condições de contorno
- Paredes sem reação química
Funções de parede de Launder e Spalding(52)
Funções de parede de Launder e Spalding(52)
- Paredes com reação química (superfície do combustível sólido)
Funções de parede de Chieng e Launder(56), modificadas para utilização em paredes com injeção ou sucção.
Funções de parede de Launder e Spalding(52) modificadas pelo uso do parâmetro de transferência de massa (blowing parameter)
Funções de parede de Launder e Spalding(52) modificadas pelo uso do parâmetro de transferência de massa (blowing parameter)
Tabela 3 - Comparação entre os modelos matemáticos.
4 GEOMETRIA E CONDIÇÕES DE CONTORNO 4.1 Geometria
Estamos interessados em resolver o campo de escoamento no interior do
combustor de um estato reator a combustível sólido. Uma vez que foram
realizadas simulações com diferentes tamanhos de combustor, definiremos nessa
seção os parâmetros geométricos que determinam a geometria básica do mesmo.
Na fig. 11 apresentamos esquematicamente esses parâmetros.
Figura 11 - Parâmetros geométricos do domínio computacional.
Segue abaixo a definição de cada um dos parâmetros apresentados:
��L - comprimento do combustor (câmara de combustão + câmara de mistura
posterior)
��H - raio interno do combustor (raio da câmara de mistura posterior)
��Xcomb - comprimento do grão de combustível sólido (comprimento da câmara
de combustão)
��Rin - raio do orifício de entrada de ar na câmara de combustão
��Hs - altura do degrau na entrada da câmara de combustão.
Das definições acima, têm-se que sincam HRR �� , onde camR é o raio da
câmara de combustão (ou raio interno da passagem de ar no grão combustível).
L
Xcomb
H
Rin
Hs
Combustível Sólido
Simetria
Saída
Entrada
Geometria e Condições de Contorno
69
4.2 Condições de Contorno
Para resolver o sistema de equações diferencias devemos estabelecer
corretamente as condições de contorno para o problema. As condições de
contorno geram condições restritivas dentro do espaço de coordenadas para as
equações diferenciais. No presente trabalho, o domínio computacional têm até seis
tipos de regiões onde as condições de contorno são estabelecidas: entrada, saída,
simetria, superfície do combustível sólido, interior do combustível sólido e
paredes adiabáticas.
4.2.1 Entrada
Para definirmos as condições de contorno na entrada necessitamos conhecer
alguns parâmetros de vôo do dispositivo, como velocidade de cruzeiro e altitude, e
outros parâmetros de projeto, como a geometria do difusor supersônico. Com base
nessas informações ficam determinados a vazão em massa de ar entrando no
combustor ( inarm ,� ), assim como a temperatura ( inT~ ) e pressão ( camp ) de
estagnação do ar dentro da câmara de combustão. Outro dado de projeto é o raio
da entrada de ar na câmara de combustão (Rin).
A vazão em massa é definida como
ininininar Aum ~, ��� (4.1)
onde in� , inu~ e Ain são a massa específica, o componente de velocidade axial na
entrada e a área do orifício de entrada de ar na câmara, respectivamente. Dessa
forma, admitindo o ar como gás perfeito e perfil uniforme de velocidade, podemos
calcular a velocidade axial na entrada da câmara. Combinando-se a definição de
vazão em massa, eq, (4.1) e a eq. (3.44) para o gás perfeito temos:
arcamin
ininarin MpR
Tmu
�
�� 2
,~
~ �
(4.2)
onde Mar é a massa molecular média do ar e � a constante universal dos gases.
Geometria e Condições de Contorno
70
Os valores da energia cinética turbulenta e sua taxa de dissipação na entrada
só poderiam ser melhor estimados através de dados experimentais. Porém, muitas
vezes esses dados não estão disponíveis. Nesse caso, é comum estimar esses
valores com base na intensidade da turbulência (normalmente um valor entre 1-
6% dessa grandeza) e no comprimento de escala da turbulência
( ��� // 23C�� )(53). Assim,
2~005,0 inin u���� (4.3)
)03,0/(09,0 2/3inin R�� � (4.4)
A velocidade radial ( v~ ) e a variância da fração de mistura (gf ) são nulos na
entrada. Como na entrada tem-se apenas ar aquecido, então 0~�fum e oOO mm ,22
~~� .
Logo, de acordo com a eq. (3.20), a fração de mistura f~ na entrada é nula.
O valor da entalpia de estagnação na entrada ( inH~ ) é obtido utilizando-se as
seguintes equações:
inin
ininu
hH ����
2
2~~ (4.5)
)~)(~~(~~
2,,22,,2,2
refinNpoNOpoOoO
in TTCmCms
Hmh ���
�� (4.6)
onde a temperatura de referência (Tref) adotada nesse trabalho foi de 700K, s é a
razão de massas estequiométrica definida no capítulo anterior e o calor de
combustão ( H� ) foi estimado para a temperatura de referência. O valor de 700K
para a temperatura de referência foi adotado com o objetivo de tornar nulo o valor
da entalpia de estagnação na superfície do combustível sólido, como será
mostrado mais adiante.
Convém lembrar que os valores de Cp,j das espécies j foram valores médios
avaliados à temperatura de 1200K. No capítulo 6 serão apresentados os valores
adotados para os Cp,j na solução dos casos estudados, juntamente com outras
propriedades termodinâmicas de interesse.
A Tabela 4 resume as condições de contorno para a entrada do domínio
computacional.
Geometria e Condições de Contorno
71
Dados do Problema: incamininar RpTm ,,~,,� Calcula-se: inu~
Variável Condição de contorno na entrada
u~ inu~
v~ 0 k 2~005,0 inu � )03,0/(09,0 2/3
inin Rk
H~ inin
in kuh ��
2
~~ 2
onde )~)(~~(~~
2,,22,,2,2
refinNpoNOpoOoO
in TTCmCms
Hmh ���
��
f~ 0
gf 0
Tabela 4 - Condições de contorno na entrada do domínio computacional.
4.2.2 Simetria e Saída
Na linha de simetria, a condição de contorno para todas as variáveis � ,
exceto a velocidade radial, consiste em gradiente nulo na direção radial. Para a
componente radial da velocidade temos valor nulo na simetria.
Para a saída do domínio computacional adotou-se como condição de
contorno desprezar o fluxo difusivo na direção axial de todas as variáveis. A
Tabela 5 apresenta o resumo das condições de contorno na simetria e saída:
Velocidade Radial – v~ Demais variáveis
Simetria 0 0��
�
r�
Saída 0~�
�
�
xv
0��
�
x�
Tabela 5 - Condições de contorno na saída e eixo de simetria. 4.2.3 Paredes Adiabáticas
No presente trabalho foram consideradas paredes adiabáticas e
impermeáveis: a parede vertical no degrau formado na entrada da câmara de
Geometria e Condições de Contorno
72
combustão; a parede vertical do combustível sólido; e as paredes da câmara de
mistura posterior. A parede vertical do combustível sólido é normalmente coberta
com uma fina resina isolante (liner), por isso também é considerada adiabática.
Para efeito de ilustração a fig. 12 mostra esquematicamente com linhas mescladas
em diagonal, as paredes consideradas adiabáticas impermeáveis no domínio de
interesse.
Combustível Sólido
Câmara de Combustão
Câmara de Mistura Posterior
Figura 12 - Paredes adiabáticas no domínio computacional.
Para as paredes, a condição de não deslizamento nos garante que as
velocidades axial e radial são nulas ( 0~~�� vu ). Uma vez que não há reação
química nessas paredes adiabáticas e, na região bem próxima a elas, o escoamento
laminar domina, o valor da variância da fração de mistura pode ser considerado
nulo. Considerando ainda que as paredes são impermeáveis, podemos considerar
que o gradiente da fração de mistura na direção normal às paredes é nulo.
Próximo à parede os efeitos viscosos tornam-se importantes devido à
condição de não deslizamento. Assim, o modelo de turbulência adotado não pode
ser aplicado diretamente nessa região, onde o número de Reynolds é baixo. Por
simplicidade, adotou-se o procedimento comum conhecido como funções de
parede(55) dividindo-se a camada limite em duas subcamadas: uma subcamada
laminar (ou viscosa) e uma camada totalmente turbulenta (ou lei universal
logarítmica). A fronteira entre as duas subcamadas está localizada em 511,��y .
Para 511,��y estamos na região totalmente turbulenta, caso contrário estamos
na subcamada laminar. A variável adimensional �y é definida por:
lam
wyy�
���2/1)/(
�� (4.7)
Entrada
Saída
Simetria
Geometria e Condições de Contorno
73
onde y é a distância à parede, lam� é a viscosidade laminar do fluido, �w é a
tensão cisalhante na parede e � é avaliado na posição y .
Para uma camada limite estacionária, bidimensional, na ausência de
gradiente de pressão e transferência de massa na superfície, é válida a seguinte
relação na região turbulenta, conhecida como lei logarítmica universal:
)(ln ��� yE
ku 1 (4.8)
onde �� //~wuu �
� , 40,�k é a constante de von Kárman e 0,9�E para
paredes lisas.
A partir da eq. (4.7) e (4.8), pode-se estimar a tensão cisalhante baseada nos
valores das grandezas avaliadas a uma distância pouco acima da superfície sólida,
yp, com
PP
lamPPw y
y�
���
�
�/ e )(ln1
~/
�
�
P
PPw
yEk
u��
(4.9)
Combinando estas duas expressões, a tensão cisalhante na parede pode ser avaliada por
)(ln1/~
�
�
�
P
PlamPPw
yEk
yyu ��
(4.10)
Para a região próxima a parede, na sub-camada laminar, o perfil de
velocidade adimensional é linear, logo para de 511,��y :
��� yu (4.11)
A tensão cisalhante na parede também pode ser avaliada a partir de
propriedades existentes na região da sub-camada laminar. Neste caso, combinando
a eq. (4.7) com a eq. (4.11) tem-se
P
lamPw y
u ��
~� (4.12)
Geometria e Condições de Contorno
74
Para 511,��y , podemos considerar que existe equilíbrio entre produção e
destruição de energia cinética turbulenta, o que nos leva a permitir avaliar a tensão
cisalhante pela seguinte expressão
PPw C ����
2/1� (4.13)
onde �
C é a constante empírica, já definida no modelo de turbulência e �P o valor
da energia cinética turbulenta logo acima da parede, na posição yP, assim como
P� . Como na região da parede a tensão cisalhante é aproximadamente constante,
pode-se concluir pela eq. (4.13) que a energia cinética também será. Logo na
região próxima à parede considera-se gradiente nulo da energia cinética em
relação a direção normal à parede
0��
�
r� (4.14)
Ainda considerando equilíbrio entre produção e destruição de energia
cinética e considerando o perfil logarítmico de velocidade, pode-se determinar que
a dissipação da energia cinética turbulenta no ponto logo acima da parede varia
com o inverso da distância à parede como:
PP
P ykC 2343 //
�
��
� (4.15)
No caso das paredes adiabáticas e impermeáveis do problema, o fluxo
difusivo das variáveis H~ , f~ e gf através das paredes é nulo.
4.2.4 Superfície do Combustível Sólido
Hadar e Gany(4) estudaram um modelo para o mecanismo de pirólise do
combustível sólido em estato reatores. Concluíram que no processo de pirólise do
combustível sólido a temperatura na superfície permanece praticamente constante.
Isso seria uma conseqüência da alta energia de ativação para o processo de
Geometria e Condições de Contorno
75
decomposição do polímero, revelando que a regressão (ou queima) do
combustível é um processo de quasi-equilíbrio, onde a taxa é controlada pelo
fluxo de calor para a parede, obedecendo a seguinte equação:
effvfs
w
Hqr
,�
�� � (4.16)
onde r� é a taxa de regressão (ou velocidade de queima) do combustível, wq� é o
fluxo de calor para a parede, fs� a massa específica do combustível sólido e
effvH , o calor efetivo de vaporização ou gaseificação do combustível sólido
(praticamente constante).
Hadar e Gany(4) trabalharam com duas hipóteses simultâneas para tratar o
problema da pirólise do combustível sólido:
- a transferência de calor pode ser representada pela convecção forçada na
camada limite turbulenta do escoamento totalmente desenvolvido; e
- a força motriz do mecanismo de transferência de calor é a diferença entre a
temperatura da chama e a temperatura da parede.
Portanto, temos um processo de retroalimentação onde o calor transferido
para a parede do combustível sólido é utilizado para vaporizar o combustível. O
combustível na fase gasosa é misturado e queimado com o oxigênio da corrente de
ar aquecido aumentando a temperatura do escoamento. Sendo a diferença de
temperatura a força motriz da transferência de calor, o processo inicia-se
novamente.
A velocidade com que o combustível na fase gasosa é liberado na superfície
do combustível sólido pode ser calculada através da expressão(38):
effvfg
ww H
qv
,
~�
�� (4.17)
onde fg� é a massa específica do combustível na fase gasosa (podendo ser
calculada pela equação de estado). Para a maioria dos polímeros utilizados como
combustível sólido em estato reatores essa velocidade é da ordem de 10-2 m/s.
Apesar de pequena, quando comparada a ordem de grandeza da velocidade do
escoamento de ar, a presença dessa velocidade requer um tratamento especial para
Geometria e Condições de Contorno
76
a superfície do combustível sólido, uma vez que além da transferência de calor
existe uma transferência de massa acoplada a mesma. As condições de contorno
devem sofrer algumas alterações para levar em consideração esse efeito. Na
literatura costuma-se denominar essa injeção de massa através da parede de
blowing.
A fig. 13 mostra, com linha pontilhada mais espessa, a superfície do
combustível sólido onde foram aplicadas as condições de contorno para paredes
com injeção de massa (blowing).
Combustível Sólido
Câmara de Combustão
Câmara de Mistura Posterior
Figura 13 - Parede com injeção de massa no domínio computacional.
4.2.4.1 Parâmetro de Transferência de Massa (Blowing Parameter)
Denomina-se variável escalar conservativa, a variável que possui equação
de conservação na forma geral apresentada no capítulo 3 onde o termo de fonte é
nulo. Desse modo, a entalpia de estagnação e a fração de mistura são consideradas
variáveis escalares conservativas nesse problema. As hipóteses adotadas para o
escoamento reativo - número de Prandtl turbulento ( t� ) e número de Schmidt
( Sc ) unitários, calores específicos constantes (independentes da temperatura) e
reação química irreversível de única etapa resultam em uma condição de contorno
generalizada para as variáveis escalares conservativas na superfície com
transferência de massa(45). Sendo c� a variável escalar conservativa (entalpia de
estagnação ou fração de mistura), na superfície do combustível sólido temos:
Entrada
Saída
Simetria
Geometria e Condições de Contorno
77
)/( ,, fscbwcbw
cbw r
mc
���
� ���
���
�
�
���� (4.18)
onde bwm ��� é o fluxo de massa através superfície e os subscritos bw (blowing wall)
e fs referem-se a valores calculados na superfície do combustível sólido e no
interior do mesmo, respectivamente, sendo c�� o coeficiente de difusão da
variável c� .
Uma condutância de transferência de massa (g) é freqüentemente definida
de modo que
)( ,bwccbw
cPc
gr
���
� ����
���
�
(4.19)
onde Pc� é o valor da variável conservativa imediatamente acima da superfície do
combustível.
Substituindo-se a eq. (4.19) na eq. (4.18) temos:
)/()( ,,, fscbwcbwccbw Pgm ���� ������ (4.20)
Define-se, então, um parâmetro de transferência de massa BP (Blowing
Parameter) da seguinte forma(45).
)/()( ,,, fscbwcbwcPcBP ���� ��� (4.21)
Assim, a eq. (4.20) pode ser apresentada como
BPgmbw ���� (4.22)
A condutância de transferência de massa é aproximada usando-se a
expressão(45)
Stug P)~(�� (4.23)
onde o Pu )~(� é avaliado logo acima da superfície do combustível sólido e St é o
número de Stanton, ])~(/[ Pp uChSt �� , sendo h o coeficiente de transferência de
calor.
Geometria e Condições de Contorno
78
Uma vez que o número de Prandtl do escoamento é unitário, utilizando-se a
analogia de Reynolds podemos escrever
Pwf uCSt )~/(2/ 2���� (4.24)
onde Cf é o coeficiente (ou fator) de atrito local. Substituindo-se a eq. (4.24) na
eq. (4.23) obtemos
Pw ug ~/�� (4.25)
Porém, usando-se a hipótese de escoamento de Couette, ou seja,
cisalhamento uniforme, para o comportamento da camada limite com
transferência de massa(45), temos:
BPBPgg o /)ln( �� 1 (4.26)
onde gg BPo
0lim�
� .
Usando-se as eqs. (4.25) e (4.26), podemos deduzir uma expressão para a
tensão de cisalhamento na superfície do combustível sólido ( bw� ).
BPBPwbw /)1ln( �� �� (4.27)
onde w� é a tensão de cisalhamento calculada sem levar em consideração o efeito
da transferência de massa na superfície.
4.2.4.2 Condições de Contorno - Lei da Parede Modificada
Os efeitos da transferência de massa na superfície do combustível sólido
sobre o comportamento da camada limite foram inseridos nas condições de
contorno das variáveis utilizando-se BP. No presente trabalho BP foi calculado
pela eq. (4.21), utilizando-se a entalpia de estagnação como variável conservativa.
)~~/()~~( fsbwbwP HHHHBP ��� (4.28)
O valor de PH~ foi obtido através da solução de sua equação de
conservação. Uma vez que no interior do combustível sólido 0~~��� �vu , o
Geometria e Condições de Contorno
79
valor de fsH~ foi obtido por
fsfspfssreffspfsfs TCTTChH ,, )(~~�����
�
(4.29)
onde fgpC , é o calor específico do combustível sólido, srefT�
é a temperatura de
referência (zero absoluto) para o calculo da entalpia de substâncias sólidas e fsT a
temperatura do grão de combustível sólido.
Na superfície do combustível, por definição, só existe combustível
vaporizado, logo 0~,2 �bwOm e 1~
, �bwfum . A temperatura do combustível sólido foi
admitida constante e adotada como temperatura de referência, assim
KTTT fsbwref 700��� . Com base nesses valores tem-se
0))(~(~~
,,,2
����
� refbwfupbwfubwO
bw TTCms
Hmh (4.30)
Da mesma forma que no interior do grão combustível, na superfície do
combustível 0~���� fgu �� . Assim, 2~
21~
wbw vH � . Porém, a velocidade wv~ ,
calculada pela eq. (4.17), têm valores muito pequenos de modo que pode-se fazer
a seguinte aproximação
Pwbw HvH ~~21~ 2
��� e fswbw HvH ~~21~ 2
��� (4.31)
Dessa forma, a eq. (4.28) pode ser escrita como:
)/(~~/~, fsfspPfsP TCHHHBP ��� (4.32)
Como foi visto na eq. (4.27), pode-se determinar o valor da tensão de
cisalhamento na superfície do combustível utilizando o valor de BP, calculado
pela eq. (4.32), e os valores da tensão de cisalhamento na parede calculados de
acordo com a lei da parede pelas eqs. (4.10) e (4.12). Assim, tem-se:
- No caso de 5,11��
Py
BPBP
yEk
yyu
P
PlamPPbw
)1ln(
)(ln1/~
��
�
�
�� (4.33)
Geometria e Condições de Contorno
80
- No caso de 5,11��
Py
BPBP
yu
P
Plambw
)1ln(~�
� �� (4.34)
Conhecido bw� , pode-se definir uma lei da parede modificada para a
velocidade wv~ na superfície do combustível sólido.
Uma observação importante a ser feita é que no caso de blowing o valor da
constante E na eq. (4.33) depende das condições do escoamento e da estrutura da
camada limite local, portanto depende da velocidade wv~ . Uma vez que o valor
dessa velocidade é obtido de forma iterativa, o mesmo também deveria ser feito
para o valor de E(56). No entanto, para os valores típicos de wv~ em estato reatores,
pode-se admitir um valor médio para esta constante. Então, para a aplicação da lei
da parede com transferência de massa adotou-se 0,10�E , baseando-se no
trabalho apresentado por Vos(56).
Como uma conseqüência dos baixos valores para a velocidade wv~ , as
condições de contorno para as variáveis � , � e fg nas paredes sem transferência
de massa também podem ser aplicadas à superfície do combustível sólido. Assim,
as condições de contorno para essas variáveis na superfície do combustível sólido
foram as mesmas aplicadas às paredes adiabáticas da câmara de mistura posterior.
Usando-se a eq. (4.19) pode-se escrever as condições de contorno na
superfície do combustível sólido para as duas variáveis escalares conservativas.
)~~(~
~ bwPbw
H HHgrH
�����
����
�
(4.35)
)~~(~
~ bwP
bwf ffg
rf
�����
����
�
(4.36)
Usando-se as eqs. (4.25) e (4.26) pode-se deduzir que Pbw ug ~/�� . Sendo
0~�bwH e 1~
�bwf , pode-se avaliar os fluxos difusivos da entalpia de estagnação e
fração de mistura na superfície do combustível.
Geometria e Condições de Contorno
81
4.2.5 Interior do Combustível Sólido
Considerou-se como a região do interior do combustível sólido aquela na
qual todas as variáveis têm valores definidos e constantes, uma vez que não há
escoamento dentro dela e a mesma foi admitida isotérmica.
5 PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO NUMÉRICA 5.1 Discretização e Solução
A fim de que se possa obter a solução para o escoamento utilizando
computadores digitais que podem basicamente realizar operações matemáticas e
lógicas pré-definidas, as equações governantes precisam ser discretizadas dentro
do domínio computacional tetra-dimensional (espaço-tempo). Para essa
discretização adotou-se o método dos volumes finitos proposto por Patankar(57).
Nesse método, o domínio computacional foi dividido em um número de
volumes de controle de modo que existe um volume de controle ao redor de cada
ponto nodal. As equações diferenciais de conservação e transporte são integradas
sobre cada volume de controle, obtendo-se equações algébricas contendo os
valores das variáveis nos pontos nodais. As equações algébricas resultantes
implicam que o princípio de conservação integral (de massa, energia, etc.) é
satisfeito para todo volume de controle e, consequentemente, para todo domínio
computacional.
Como foi colocado no capítulo 3, considerou-se regime permanente, logo
equação de conservação na forma geral é:
���
��� Sxx
ux jj
jj
��
�
�
��
�
� )()( (5.1)
onde: � é a variável dependente; ���é o coeficiente de difusão que nada mais é do
que uma representação geral das propriedades dos fluidos como viscosidade ou
condutividade térmica, que juntamente com o gradiente da variável leva ao fluxo
difusivo como a tensão viscosa e o fluxo de calor; e S� é o termo fonte definido
para mecanismos como geração de calor, produção e destruição de espécies
químicas, forças de corpo, etc., também podendo ser usado para representar
qualquer termo que não possa ser representado pelos dois primeiros termos na eq.
(5.1). Os valores de � , ��� e S� para cada equação governante do problema já
Procedimento de Solução Numérica
83
foram apresentados na Tabela 1.
A discretização espacial da eq. (5.1) nos leva a realizar uma linearização do
termo fonte S, uma vez que, em geral, esse termo depende da variável dependente.
O coeficiente angular da linearização deve ser negativo para garantir a
convergência(57). A fonte média pode ser aproximada pelo seu valor no ponto
nodal.
Ppc SSS ��� com 0�pS (5.2)
As equações discretizadas podem ser colocadas na forma geral(57):
�� �� ���i
ciiPP Saa (5.3)
onde o índice i refere-se a todos os pontos nodais vizinhos ao ponto nodal P e
xrrP ��� �� é o volume do volume de controle em coordenadas cilíndricas por
unidade de ângulo.
Na eq. (5.3) os coeficientes ai dependem do fluxo de massa convectivo por
unidade de área (F), da condutância de difusão (D), definida como a razão entre o
coeficiente de difusão e a distância entre dois pontos nodais vizinhos, e do
Número de Peclet (F/D) nas faces. Para as faces norte e leste são
xrAAvFrA
D nnnnnnn
nnn ��
�
���� ;; (5.4)
xrrAAuFxA
D eeeeneeee
e ����
���� ;; (5.5)
onde u e v são os componentes axial e radial da velocidade. O subscrito minúsculo
indica que as propriedades estão sendo avaliadas nas faces norte e leste do volume
de controle.
Cada aproximação para os fluxos nas faces origina um esquema diferente de
discretização. O código utilizado nesse trabalho utiliza o esquema Power-law(57)
de modo que os coeficientes associados aos vizinhos norte N e sul S, do ponto
nodal P são
Procedimento de Solução Numérica
84
],max[]),(,max[ 01010 5nnnN FPeDa ���� (5.6)
],max[]),(,max[ 01010 5sssS FPeDa ��� (5.7)
Os coeficientes associados aos vizinhos leste E e oeste W, aE e aW,
respectivamente, são análogos.
O coeficiente de P� na eq. (5.3) é dado por
���� �pi
iP Saa (5.8)
A solução do sistema algébrico foi feita utilizando-se um método iterativo.
As iterações são fundamentais, uma vez que as equações, em geral, são não
lineares e acopladas. Essas não linearidades e os acoplamentos são tratados pelo
processo iterativo ao se recalcular os coeficientes de forma repetitiva até se obter a
convergência. As equações nominalmente lineares também foram resolvidas pelo
método iterativo. Utilizou-se para o método iterativo o algoritmo TDMA (Tri-
Diagonal Matrix Algorithm) linha-por-linha(57). Para acelerar a convergência foi
empregado um algoritmo de correção por blocos(58) para a solução das equações
discretizadas.
O desenvolvimento de um método numérico que respeite as quatro regras
básicas definidas por Patankar(57), leva a um conjunto de equações discretizadas
que, para coeficientes constantes, possui convergência garantida ao se utilizar
métodos de solução ponto a ponto ou linha por linha. Se os coeficientes variam
lentamente, ainda se pode garantir convergência. Fatores de sub-relaxação
apropriados para as variáveis dependentes diminuem as variações das variáveis e,
portanto, dos coeficientes. Dessa forma, pode-se controlar a variação da solução e
garantir a convergência. A sub-relaxação é empírica e depende de fatores como:
equação de conservação; tipo de problema; malha computacional; acoplamento
velocidade-pressão; e solução do sistema algébrico. De maneira geral, utilizou-se
nos problemas tratados nesse trabalho fatores de sub-relaxação para as seguintes
variáveis e grandezas auxiliares.
- velocidades u~ e v~ ;
Procedimento de Solução Numérica
85
- energia cinética turbulenta k;
- taxa de dissipação da energia cinética turbulenta � ;
- pressão;
- entalpia de estagnação H~ ;
- fração de mistura f~ ;
- variância da fração de mistura fg ;
- massa específica; e
- viscosidade turbulenta.
Como mencionado anteriormente, os fatores de sub-relaxação adequados
variam de problema para problema. Os valores utilizados em cada caso são
apresentados juntamente com os resultados no capítulo 6.
5.2 Acoplamento Velocidade-Pressão
As equações de conservação de quantidade de movimento linear envolvem
gradientes de pressão. Porém, não existe uma equação de conservação de pressão.
A pressão é especificada indiretamente através da equação da continuidade.
Assim, para um campo de pressões estimado *p ,
)( ****EPe
nbnbnbee ppAbuaua ����� (5.9)
Em geral, o campo de velocidades "estrela" não satisfaz a equação da
continuidade. Desse modo, um campo correto de pressão faz com que as equações
de quantidade de movimento linear gerem um campo de velocidade que satisfaz a
equação da continuidade. Portanto, aplica-se uma correção ao campo de pressões,
isto é,
ppp ���* (5.10)
onde p� é a correção de pressão. De maneira análoga, pode-se deduzir fórmulas
de correção para as velocidades.
Procedimento de Solução Numérica
86
ppp ���* e uuu ���
* (5.11)
)( EPenb
nbnbee ppAbuaua ����� (5.12)
)( ****EPe
nbnbnbee ppAbuaua ����� (5.13)
Subtraindo-se as eq. (5.12) e (5.13) têm-se
)( EPenb
nbnbee ppAuaua ������� � (5.14)
No presente trabalho o acoplamento velocidade-pressão foi resolvido
utilizando-se o algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked
Equations) de correção de pressão(57). O termo � �nbnbua na eq. (5.14) é omitido,
sendo a equação de correção da velocidade apresentada na forma
)(*EPeee ppduu ����� (5.15)
onde eee aAd /� .
A equação da continuidade bidimensional em regime permanente pode ser
escrita como:
� � � � � � � � 0���� nsew uAuAuAuA ���� (5.16)
Substituindo as fórmulas de correção de velocidade dadas pela eq. (5.15) na
eq. (5.16) obtém-se uma equação de Poisson para a correção de pressão , na forma
bpapapapapa SSNNWWEEPP ���������� (5.17)
onde eE Ada )(�� , etc. Na eq. (5.17) têm-se ainda
SNWEP aaaaa ���� (5.18)
Procedimento de Solução Numérica
87
� � � � � � � �nsew AuAuAuAub ****���� ���� (5.19)
A fim de que não sejam encontradas soluções irreais com oscilações, usou-
se uma malha computacional deslocada para a solução das equações de
quantidade de movimento linear, de modo que os componentes da velocidade
foram localizadas nas faces dos volumes de controle. Assim, a diferença de
pressão entre dois pontos nodais adjacentes é o "forçamento" para o componente
da velocidade entre eles.
5.3 Critério de Convergência
Os problemas práticos em engenharia, em geral, dão origem a sistemas de
equações complexos sobre cujos comportamentos matemáticos pouco se conhece.
Quando se tem um problema governado por uma única equação, e ainda linear,
existem ferramentas matemáticas que podem provar se uma determinada
aproximação numérica é estável e convergente. Quando se está trabalhando com
sistemas de equações não-lineares, resolvidas em geral de forma seqüencial e
iterativa, acoplamentos delicados estão presentes, é muito difícil provar,
matematicamente, que uma aproximação numérica é estável e convergente. É uma
tarefa complicada para os analistas numéricos fornecer as condições (tamanho de
malha, tamanho do intervalo de tempo, coeficientes de relaxação, etc.) para que as
aproximações numéricas dos problemas acoplados e não-lineares sejam estáveis e
convergentes. Por não se ter esses parâmetros é que simular numericamente, além
de exigir o perfeito conhecimento da física do problema, requer experiência para
encontrar os parâmetros que levem o processo iterativo para convergência.
Um dos requisitos fundamentais de uma aproximação numérica é que ela
reproduza a equação diferencial quando os tamanhos da malha espacial e temporal
tendam a zero. Isto é, os erros de truncamento devem tender a zero quando a
malha tender a um infinito número de pontos. A aproximação numérica que
possuir essa característica é dita consistente. Em resumo, as equações
discretizadas devem tender às equações diferenciais, quando a malha tender a
zero. Aparentemente, esta é uma questão óbvia, mas existem aproximações na
Procedimento de Solução Numérica
88
quais os erros de truncamento crescem com o refinamento da malha. Felizmente,
todo modelo numérico desenvolvido a partir das equações na forma conservativa
usando volumes finitos é consistente(59).
Outra característica importante desejada é que a solução numérica obtida
seja a solução exata das equações discretizadas, ou seja, tenha estabilidade. Aqui,
diversos fatores interferem, tais como erros de arredondamento de máquina, que
vão se multiplicando e podem instabilizar a solução; dificuldades de tratamentos
de acoplamentos entre as variáveis, fazendo com que algumas variáveis evoluam
mais rapidamente que outras, provocando instabilidades, etc. A questão da
estabilidade é o mais sério problema na obtenção da solução numérica,
exatamente pela falta de conhecimento das características matemáticas das
aproximações, conforme já discutido. Consistência e estabilidade são condições
necessárias e suficientes para a convergência. A solução numérica é convergente
quando é estável e tende para a solução das equações diferenciais quando a malha
é refinada.
O critério de convergência utilizado no presente trabalho consistiu em
garantir que o resíduo máximo Resmax de todas as equações discretizadas fosse
menor que uma determinada tolerância, Tol, isto é
Tol)max(RRes esmax �� ; )]([ �� ��� ∆SφaφaRi
ciiPPes (5.20)
O termo b definido na eq. (5.19) para a equação de correção de pressão ( p� )
é uma "fonte de massa" devido às velocidades "estrela". Assim, quando estas
velocidades estiverem corretas, a continuidade também estará satisfeita e a fonte
de massa será nula. Esse termo é, portanto, um bom parâmetro para monitorar a
convergência. Portanto, além de obrigar que o resíduo máximo de cada variável
fosse inferior a uma tolerância, obrigou-se também que a máxima fonte de massa,
Smax
])()()()[( ****nsewmax AvAvAuAumaxS ���� ���� (5.21)
fosse inferior a uma tolerância, TolSmax.
Procedimento de Solução Numérica
89
5.4 O Código Computacional
Para as simulações realizadas no presente trabalho foi utilizado o código
computacional CFT.FOR desenvolvido por Patankar e aperfeiçoado por
Nieckele(60). O código, escrito em FORTRAN, é composto por diversas rotinas
desde de rotinas de geração de malha, discretização da equação geral de
conservação e algoritmo SIMPLE, até algoritmos de solução de sistema algébrico.
O programa possui uma rotina especial, denominada de USER, onde as
particularidades de cada problema devem ser implementadas, isto é, o usuário
deve definir o domínio (geometria e malha) e especificar dos valores de �� , cS e
pS para as variáveis a serem resolvidas, assim como as condições de contorno e
inicias do problema. Todas as operações de pós-processamento, como
determinação da distribuições das frações em massa das espécies, temperatura, etc
também são implementadas na sub-rotina do usuário.
No Apêndice B encontram-se detalhes para implementação computacional
das condições de contorno nos diferentes tipos de fronteiras em função da
especificação dos valores de �� , cS e pS para pontos específicos dentro da
malha computacional.
6 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nesse capítulo serão apresentados os resultados obtidos para a solução do
campo do escoamento em um estato reator a combustível sólido utilizando o
código computacional descrito no capítulo 5. Foram estudados quatro casos. Os
três primeiros apresentam uma comparação dos resultados obtidos com o modelo
matemático proposto neste trabalho com resultados disponíveis na literatura,
utilizando-se diferentes modelos matemáticos e computacionais. O primeiro caso
considerado consiste na validação da metodologia e do método numérico
empregado, através da análise do escoamento na câmara de combustão de um
estato reator com combustível inerte. A seguir é analisado o escoamento reativo
na câmara de combustão de um SFRJ, seguido da análise do escoamento reativo
no combustor de um SFRJ. No quarto e último caso, aplica-se o modelo
matemático ao problema do estato reator utilizado como propulsão adicional de
uma munição assistida. 6.1 Escoamento em Tubo Cilíndrico com Degrau na Entrada
O primeiro problema estudado resume-se a um escoamento isotérmico de ar
em um tubo com súbita expansão na entrada (degrau), o que representaria o
escoamento dentro da câmara de combustão de um estato reator quando o
combustível sólido é substituído por um sólido inerte. Este problema foi utilizado
como validação do código numérico implementado, para determinação do campo
de velocidade e temperatura no regime turbulento, na presença de uma região de
cálculo bloqueada, a qual corresponderia ao combustível sólido. Os cálculos
foram feitos baseados em um escoamento de ar a 650K e número de Reynolds
4×105 (baseado no diâmetro da entrada de ar , Din= 2 Rin, e na velocidade média
da entrada, uin). Os resultados obtidos foram comparados com aqueles
apresentados por Coelho et. al.(38) e com os resultados experimentais de
Chaturvedi(62). Foram realizadas simulações para dois casos, ilustradas na Fig. 14.
No primeiro, limitou-se o domínio computacional pela superfície do sólido inerte.
Resultados e Discussões 91
No segundo, uma vez que a interface entre a região bloqueada e a região do
escoamento merece tratamento especial, incluiu-se o sólido inerte no domínio
computacional para avaliar o comportamento do modelo matemático proposto na
solução do problema.
6.1.1 Domínio computacional sem região bloqueada
A primeira providência ao se trabalhar com simulação computacional é
definir, de acordo com a geometria do problema, Fig. 14a, o domínio
computacional. No capítulo 4 foram definidos os parâmetros geométricos para o
problema do escoamento no interior do combustor de um SFRJ. Com base nas
definições apresentadas para aqueles parâmetros, apresentam-se os valores dos
mesmos na Tabela 6.
L
X comb
H
Y ent
H s
Combustível Sólido
Simetria
Saída
Entrada
(a) sem região bloqueada.
L
X comb
H
Y ent
H s
Combustível Sólido
Simetria
Saída
Entrada
(b)com região bloqueada.
Figura 14 - Parâmetros geométricos do domínio computacional.
Rin
Rin
Resultados e Discussões 92
Parâmetro Geométrico Valor
L 1,0 m
H= Rin+Hs 0,1 m
Xcomb (=L) 1,0 m
Rin 0,05 m
HS 0,05 m Tabela 6 - Parâmetros geométricos para o escoamento sem região bloqueada.
Os resultados foram obtidos usando-se uma malha não uniforme com 82 ×
62 pontos. Efetuou-se uma maior concentração da malha na região de recirculação
logo após a entrada e próximo às paredes, buscando-se uma aproximação com a
malha utilizada no trabalho de Coelho et al.(38).
A criação da malha computacional não uniforme foi realizada utilizando
uma lei de potência do tipo xi = L [i /(N-2)]α , onde xi é a coordenada da face i do
volume de controle, L é o tamanho do domínio, N é o número de pontos nodais e
α é o parâmetro que fornece a não uniformidade a malha. O expoente α de não
uniformidade usado na direção x foi 1,4. Na direção y a malha é não uniforme por
zonas, sendo a primeira zona correspondendo a entrada onde se utilizou expoente
0,7 e a segunda zona correspondendo ao degrau com expoente 0,8.
A fig.15, mostra a malha computacional usada no problema do escoamento
em tubo cilíndrico com degrau na entrada sem região bloqueada. A escala na
direção radial está ampliada, a fim de facilitar a visualização dos resultados.
Figura 15 - Malha utilizada no cálculo do escoamento sem região bloqueada.
0 0.25 0.5 0.75 1X
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
R
Resultados e Discussões 93
Uma vez que o problema não envolve reação química, não foram resolvidas
as equações de transporte para a fração de mistura e sua variância.
Os fatores de subrelaxação das variáveis usados durante o procedimento
iterativo foram mantidos constantes desde a primeira iteração até o final
(aproximadamente 5400 iterações), quando foram atingidos os critérios de
convergência adotados para o problema (Smax ≤ 10-6 e Resmax ≤ 10-6). Os fatores de
subrelaxação utilizados estão apresentados na Tabela 7.
Variável Fator de Subrelaxação Velocidade axial (u) 0,5 Velocidade radial (v) 0,4 Pressão (p) 0,8 Energia cinética turbulenta (κ) 0,4 Dissipação de energia cinética turbulenta (ε) 0,4 Entalpia (H) 1,0 Viscosidade Turbulenta (µt) 0,4
Tabela 7 - Fatores de subrelaxação para o escoamento sem região bloqueada.
Na fig. 16 apresenta-se o resultado para o componente de velocidade axial
do escoamento, através de isolinhas. A velocidade axial foi normalizada pela
velocidade média na entrada da câmara (u/uin). Observa-se a região de alta
velocidade central, próximo a entrada, assim como a região de velocidade
negativa indicando a presença de recirculação. Na saída, pode-se observar que a
distribuição de velocidade é aproximadamente uniforme, com gradiente acentuado
na parede, condizente com a condição de escoamento turbulento desenvolvido. Figura 16 - Campo de velocidade axial para o escoamento sem região bloqueada (u/uin)
0 0.25 0.5 0.75 1X
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
R
0.900.800.700.600.500.400.200.100.050.00
-0.02-0.10-0.15
u/Uin
Resultados e Discussões 94
A fig. 17 mostra as linhas de função corrente do escoamento, podendo-se
observar mais claramente a região de recirculação. Figura 17 - Linhas de função corrente para o escoamento sem região bloqueada.
Traçou-se o perfil da velocidade normalizada (u/uin) em função da
coordenada radial normalizada pelo raio da câmara de combustão (como definido
na fig. 12 do capítulo 4, Sincam HRR += ), em quatro pontos diferentes na direção
axial. Do mesmo modo, os pontos tomados na direção axial também estão
normalizados pelo raio da câmara de combustão ( 2/ =camRx , 4/ =camRx ,
6/ =camRx e 8/ =camRx ). Os resultados obtidos foram comparados com aqueles
apresentados por Coelho et. al.(38) e com os resultados experimentais de
Chaturvedi(62), conforme mostra a fig. 18.
A análise das curvas apresentadas na fig. 18 mostra que existe uma
concordância muita boa entre os resultados experimentais e os resultados obtidos
com o modelo proposto nesse trabalho. Até mesmo o redesenvolvimento após o
ponto de recolamento, que apresenta-se de forma mais lenta, nas simulações
numéricas da literatura em geral, com modelo de turbulência κ-ε, apresenta uma
melhora significativa, aproximando-se dos resultados experimentais.
O ponto de recolamento foi calculado por
SPRR HxP /= (6.1)
onde PRx é a distância do ponto de recolamento à entrada e HS a altura do degrau
na entrada. Seu valor foi estimado em 28,=RP . Os valores observados
0 0.25 0.5 0.75 1X
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1R
Resultados e Discussões 95
experimentalmente estão na faixa de 8,3 - 9,0. Portanto, o valor encontrado nessa
simulação, apesar de fora da faixa dos valores experimentais, está dentro dos
limites de incerteza experimental e pode ser considerado satisfatório.
0.0 0.5 1.0 u/U
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r/R
0.0 0.5 1.0 u/U
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x/R = 2 x/R = 4
0.0 0.5 1.0 u/U
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r/R
0.0 0.5 1.0 u/U
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x/R = 6 x/R = 8
o - valores obtidos experimentalmente por Chaturvedi(62) - valores obtidos da simulação numérica com malha de único bloco(38) - valores obtidos com simulação numérica com técnica multi-bloco(38) - valores obtidos com o modelo computacional utilizado nesse trabalho.
Figura 18 - Perfis de velocidade axial normalizada u/Uin.
Uma vez que nessa simulação não ocorre reação química, vale lembrar que
a diferença entre o modelo proposto nesse trabalho e o modelo de Coelho et. al(38)
reside nas funções de parede e na condição de contorno para a energia cinética
turbulenta(κ) na parede. As funções de parede de Chieng e Launder(56), utilizadas
no modelo de Coelho et. al.(38), estabelecem que os valores de κ para o primeiro
ponto nodal acima da parede são calculados através de sua equação de transporte
com os termos de produção e dissipação substituídos por expressões adequadas ao
u/Uin u/Uin
u/Uin u/Uin
Resultados e Discussões 96
perfil proposto para a variável dentro da camada limite(56). No modelo proposto
nesse trabalho, os valores de κ para o primeiro ponto nodal acima da parede são
calculados, conforme a lei da parede tradicional de Launder e Spalding(52),
diretamente pela equação de transporte de κ sem alterar os termos de produção e
dissipação. Assim, fica válida a condição de contorno na parede 0=∂∂ n/κ ,
onde n indica a coordenada na direção normal à parede. Essa abordagem também
é adotada em outros códigos computacionais como o FLUENT®(63).
6.1.2 Domínio computacional com região bloqueada
Continuando a validação do modelo matemático, foi efetuada a simulação
do escoamento isotérmico turbulento de ar através da câmara de combustão de um
estato reator como no caso anterior, porém o domínio computacional inclui a
região bloqueada ao escoamento (sólido inerte), como ilustrado na Fig. 14b. Os
parâmetros geométricos (Tabela 8) são os análogos ao caso anterior, só que neste
caso H > Rin +Hs.
Parâmetro Geométrico Valor L 1,0 m H 0,15 m Xcomb 1,0 m Rin 0,05 m HS 0,05 m
Tabela 8 - Parâmetros geométricos para o escoamento com região bloqueada.
Os dados deste caso, são os mesmos do caso anterior, isto é, número de
Reynolds igual a 4,0 × 105 e ar sendo admitido a 650K na entrada da câmara. Os
resultados foram obtidos usando-se uma malha não uniforme com 82 × 102
pontos, conforme fig. 19. Efetuou-se uma maior concentração da malha na região
de recirculação, logo após a entrada e próximo às paredes, como no caso anterior.
Na região do sólido inerte a malha pode ser mais grosseira, com exceção das
proximidades da superfície. Na fig. 19, como no caso anterior, a escala na direção
radial está ampliada a fim de facilitar a visualização dos resultados. A região do
sólido inerte está apresentada na cor amarela, para efeito de ilustração.
Resultados e Discussões 97
Figura 19 - Malha utilizada no cálculo do escoamento com região bloqueada.
Os fatores de subrelaxação das variáveis usados durante o procedimento
iterativo foram idênticos ao caso anterior (ver Tabela 7). Foram necessárias 8500
iterações para atingir os critérios de convergência (idênticos ao caso anterior).
A fig. 20 mostra as isolinhas do componente axial de velocidade
normalizado, enquanto a fig. 21 apresenta as linhas de função corrente do
escoamento. Observa-se o mesmo padrão de escoamento que no caso anterior. Figura 20 – Isolinhas de velocidade axial normalizada para o escoamento com região
bloqueada (u/uin)
0 0.25 0.5 0.75 1X
0
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
R
0 0.25 0.5 0.75 1X
0
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
R
0.900.800.700.600.500.400.200.100.050.00
-0.02-0.10-0.15
u/Uin
Resultados e Discussões 98
Figura 21 - Linhas de função corrente para o escoamento com região bloqueada.
Assim como no caso anterior, traçou-se o perfil da velocidade normalizada
em quatro pontos diferentes na direção axial, em função da coordenada radial
normalizada pelo raio da câmara, conforme fig. 22. Do mesmo modo, os pontos
tomados na direção axial também estão normalizados por essa grandeza.
O perfil de velocidade foi comparado com os resultados obtidos sem utilizar
a região bloqueada e com os dados numéricos de Coelho et. al.(38) e com os
resultados experimentais de Chaturvedi(62). A análise das curvas apresentadas na
fig. 22, mostra que existe um pequeno desvio em relação à simulação sem região
bloqueada. Observa-se ainda que, como no caso anterior, existe uma concordância
muita boa entre os resultados experimentais e os resultados obtidos com o
presente modelo, permitindo-nos considerar o resultado bastante satisfatório, e a
metodologia validada, também para o caso de domínio computacional com região
bloqueada, o que será importantíssimo no estudo dos casos a seguir
6.2 Escoamento Reativo na Câmara de Combustão de um SFRJ
Visando avaliar o modelo matemático proposto, o mesmo foi aplicado ao
escoamento dentro da câmara de combustão de um SFRJ, para o qual existem
resultados experimentais(30) para a taxa de regressão do combustível sólido e
resultados numéricos obtidos com o modelo de Coelho et al.(38) disponíveis para
0 0.25 0.5 0.75 1X
0
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
R
Resultados e Discussões 99
comparação. Os parâmetros geométricos do problema, Fig. 14a, são mostrados na
Tabela 9.
Parâmetro Geométrico Valor L 0,3 m H=Rin+Hs 0,0225 m Xcomb=L 0,3 m Rin 0,0075 m HS 0,015 m
Tabela 9 - Parâmetros geométricos para o escoamento na câmara do SFRJ.
Uma vez que o combustível está sendo pirolisado o diâmetro interno vai
aumentando com o tempo, porém, como é comum em simulações dessa natureza,
u/Uin
r/R
u/Uin 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
x/R = 2 x/R = 4 1.0
0.0 0.5 1.0 u/Uin
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r/R
0.0 0.5 1.0 u/Uin
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 x/R = 6 x/R = 8
o - valores experimentais obtidos por Chaturvedi(62) - valores obtidos da simulação numérica com malha de único bloco(38) - valores obtidos com simulação numérica com técnica multi-bloco(38) - valores obtidos com o modelo utilizado nesse trabalho (sem região
bloqueada) - valores obtidos com o modelo utilizado nesse trabalho (com região
bloqueada) Figura 22 - Perfis de velocidade axial normalizada u/Uin.
Resultados e Discussões 100
esse processo não é considerado no modelo matemático. Normalmente, o
diâmetro interno da câmara de combustão é tomado como um valor médio entre o
diâmetro inicial e o diâmetro após a combustão(38).
O combustível sólido utilizado foi o polietileno de alta densidade (PEAD).
O ar entra na câmara de combustão a temperatura de 300 K, pressão de 0,40 MPa
e vazão em massa de 150g/s. A temperatura da superfície do combustível sólido,
tomada como temperatura de referência, foi admitida constante e igual a 700 K. A
reação de combustão, segundo o modelo de reação química de único passo
infinitamente rápida, pode ser escrita como:
2222242 28,1122)76,3(3 NOHCONOHC ++→++ (6.2)
As propriedades físicas e termodinâmicas das espécies envolvidas na reação
de combustão (C2H4, O2, N2, CO2 e H2O) foram obtidas nas mesmas referências
bibliográficas utilizadas no trabalho experimental de Elands et al.(30). Os valores
são mostrados na Tabela 10.
Espécie Propriedade C2H4 O2 N2 CO2 H2O
Calor específico a pressão constante -
jpC , (valor médio calculado a 1200 K)
(J/KgK)(64, 65, 66)
2900,00 1072,87 1121,46 1208,46 2279,48
Massa Molecular (kg/Kmol) 28 32 28 44 18 Mistura Gasosa
Viscosidade média da mistura (Kg/ms)(67) 2,15.10-5 Combustível Sólido (PEAD)(68)
Calor específico a pressão constante -
fspC , (calculado a 700 K) (J/KgK) 1820,00
Massa específica - fsρ (kg/m3) 948
Calor de combustão - H∆ (@700 K) (J/Kg) 4,75.107
Calor efetivo de vaporização - effvH , (J/Kg) 2,32.106
Entalpia - fsfspfs TCh ,= (J/Kg) 1,27.106
Tabela 10 - Propriedades físicas e termodinâmicas para a combustão do polietileno.
A massa específica dos gases foi calculada através da equação de estado.
Assim, a massa específica do combustível na fase gasosa (vaporizado) foi
calculada com base na pressão da câmara e temperatura na superfície do
combustível. Os cálculos foram realizados utilizando-se uma malha
computacional não uniforme com 82 × 62 pontos, concentrando-se a mesma na
região de recirculação e próximo à superfície do combustível sólido, como no
Resultados e Discussões 101
caso anterior sem bloqueio, conforme a fig. 23. A escala na direção radial está
ampliada para melhor visualização dos resultados.
Figura 23 - Malha computacional para o escoamento na câmara de combustão do SFRJ
utilizando o PEAD
O sistema algébrico também resolve nesse caso as equações discretizadas de
transporte para a fração de mistura e sua variância, uma vez que ocorre a
combustão. Portanto, com o aumento no número de variáveis sendo resolvidas e
com as variações de densidade em virtude do processo de combustão (devido ao
aumento de temperatura, já que considerou-se a pressão praticamente constante),
os fatores de subrelaxação das variáveis tiveram fundamental importância. A
densidade, atualizada a cada iteração, também foi subrelaxada. A Tabela 11
mostra os fatores de subrelaxação das variáveis utilizados no problema.
Variável Fator de Subrelaxação Velocidade axial )~(u 0,5 Velocidade radial )~(v 0,4 Pressão )( p 0,8 Energia cinética turbulenta )(k 0,4 Dissipação de energia cinética turbulenta )(ε 0,4
Entalpia de estagnação )~(H 0,5
Fração de Mistura )~( f 0,5
Variância da fração de mistura )( fg 0,5
Densidade )(ρ 0,5
Viscosidade Turbulenta )( tµ 0,4
Tabela 11 - Fatores de subrelaxação para o escoamento na câmara de combustão do SFRJ utilizando o PEAD
0 0.1 0.2 0.3X
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
0.0225
R
Resultados e Discussões 102
Foram necessárias mais de 20000 iterações para se atingir os critérios de
convergência adotados para o problema (Smax≤10-6 e Resmax≤10-3).
A fig. 24 mostra os campos de temperatura e fração de mistura previstos
pelo modelo de Coelho et. al(38) e pelo modelo proposto nessa dissertação,
apresentando as mesmas isolinhas para uma melhor comparação dos resultados.
Os resultados apresentados para o campo de fração de mistura estão bastante
próximos e de acordo com o comportamento esperado para a variável. Valores
muito baixos próximos a região central do escoamento (eixo de simetria) são
característicos da mistura pobre (excesso de oxidante) nessa região. Valores altos
eram esperados em uma região bem próxima à parede do combustível onde a
mistura torna-se rica (excesso de combustível). Esse comportamento se deve às
Temperatura Fração em Massa
(a) resultados previstos por Coelho et al(38) para malha de único bloco;
(b) resultados previstos por Coelho et al(38) para malha multi-bloco;
(c) resultados previstos com o modelo proposto no presente trabalho.
Figura 24 - Simulação do campo de temperatura e fração de mistura para o escoamento na câmara do SFRJ utilizando o PEAD
Resultados e Discussões 103
baixas velocidades de injeção do combustível, fazendo com que a reação ocorra
(onde 0637.0=≈ stff ), efetivamente, nas proximidades da superfície do
combustível e na região de recirculação após o degrau da entrada, conhecidas
como zonas de reação. Como pode ser visto a concordância com os dados de
Coelho et al(38) é bastante razoável, com valores ligeiramente superiores de fração
de mistura próximo a superfície superior do domínio.
Os resultados para o campo de temperaturas também estão compatíveis com
o comportamento esperado para a variável. As zonas de reação correspondem às
regiões onde ocorrem as temperaturas mais altas, podendo ser identificadas como
as regiões com temperatura acima de 2100K. Comparando-se os resultados, nota-
se que o modelo proposto aqui prevê uma maior zona de reação. Pode-se observar
ainda que o presente modelo apresenta gradientes mais acentuados próximo à
parede de entrada. Observa-se linhas horizontais próximo à saída nos resultados
de Coelho el al(38), quando utiliza multi-blocos, indicando o uso de malha
grosseira nesta região. De um modo geral, pode-se novamente afirmar que uma
boa concordância com dados da literatura foi obtida.
Como no caso do escoamento na câmara de combustão com combustível
inerte, também traçou-se curvas para os perfis do componente axial de velocidade
normalizado (u/uin) em função da direção radial normalizada ( camRr / ). Os
resultados foram comparados com aqueles obtidos por Coelho et. al(38), como
mostrado na fig. 25.
Para a seção x/R=2,46 observa-se que a região central apresenta velocidade
mais elevada devido a obstrução na entrada. Observa-se ainda a região de
velocidade negativa corresponde a região de recirculação. Para x/R = 4,92, a
recirculação não é mais observada e o perfil começa a se desenvolver com
redução da velocidade máxima. Observa-se boa concordância entre as soluções
para as coordenadas x/R = 2,46 e x/R=4,92. Para as seções mais a jusante,
x/R=7,38 e x/R=9,85, observa-se no resultado do modelo proposto uma redução
na velocidade máxima, levando a uma uniformização do perfil de velocidade na
seção transversal, com gradiente acentuado na parede, o que corresponde ao perfil
de velocidade de escoamento hidrodinamicamente desenvolvido. Porém, os
resultados de Coelho et at(38) apresentam somente uma pequena redução na
velocidade máxima.
Resultados e Discussões 104
Para explicar as diferenças apresentadas entre os perfis de velocidade
previstos pelos dois modelos, faz-se necessário uma comparação com os
resultados obtidos anteriormente na fig. 18, para o caso do escoamento na câmara
com inerte. As curvas apresentadas naquele caso, também apresentavam
diferenças para a região próxima ao eixo de simetria. Porém, os resultados
apresentados pelo modelo proposto nesse trabalho estavam em melhor
concordância com os resultados experimentais.
Um dos parâmetros operacionais mais comuns no estudo de estato reatores a
combustível sólido é a taxa de regressão (ou velocidade de queima) do polímero.
Seu valor é calculado, experimentalmente, através do tempo de duração do ensaio
e do perfil obtido efetuando-se um corte longitudinal no grão do polímero. No
caso de simulações computacionais, o valor da taxa de regressão é calculada com
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r/R
r/R
a) x/R = 2,46 b) x/R = 4,92
c) x/R = 7,38 d) x/R = 9,85
u/U u/U
Valores previstos com malha de único bloco por Coelho et al(38). Valores previstos com malha de multi- bloco por Coelho et al(38). Valores previstos com o modelo proposto neste trabalho.
Figura 25 - Simulação dos perfis de velocidade axial normalizada para o escoamento na câmara de um SFRJ utilizando o polietileno como combustível sólido
u/Uin u/Uin
Resultados e Discussões 105
base na velocidade normal à superfície do combustível, velocidade de blowing, de
acordo com a seguinte expressão:
wfs
fg
effvfs
wfgeffv
effvfs
w vrH
vHH
qr ~
~
,
,
, ρρ
ρρ
ρ=⇒== &
&& (6.3)
A fig. 26 mostra os resultados para a taxa de regressão local média calculada
pelo modelo de Coelho et. al(38) e pelo modelo proposto nesse trabalho que podem
ser comparados aos valores experimentais obtidos por Elands et al(30). Para os dois
modelos comparados na fig. 26 o comportamento da taxa de regressão local média
é bastante semelhante. A partir da entrada da câmara de combustão há um
aumento significativo no valor da taxa de regressão, alcançando um valor máximo
nas proximidades do ponto de recolamento. Desse ponto em diante, o valor da
taxa de regressão diminui de forma mais suave.
Valores previstos com malha de único bloco por Coelho et al(38). Valores previstos com malha multi- bloco por Coelho et al(38). Valores previstos com o modelo proposto neste trabalho ( 22,0=r& ).
○ Valores experimentais medidos por Elands et al(30) ( 22,0=r& ).
Figura 26 – Taxa de regressão local média do polietileno.
Qualitativamente, os resultados apresentados pelos dois modelos são
satisfatórios e o modelo proposto nesse trabalho prevê um valor para a taxa de
regressão média ( r& ) igual ao experimental. Comparando-se as previsões dos dois
modelos aos resultados experimentais, existe uma superestimação dos resultados
Distância Axial (mm)
Taxa
de
Reg
ress
ão L
ocal
Méd
ia (m
m/s
)
0 100 200 300
0.0
0.1
0.2
0.3
Resultados e Discussões 106
numéricos na região anterior ao ponto de recolamento (região de recirculação) e
uma subestimação dos resultados após esse ponto. Esses resultados ratificam as
observações feitas por Elands et al(30) sugerindo que as divergências entre os
resultados numéricos e experimentais são atribuídas, em parte, à ineficiência do
modelo de turbulência εκ − , em conjunto com as funções de parede, para a
previsão do fluxo de calor para as paredes do combustível sólido. Uma vez que a
taxa de regressão está linearmente relacionada ao fluxo de calor para as paredes, a
taxa de regressão é afetada por erros associados ao cálculo desse fluxo de calor.
Outro fator a ser destacado é que os perfis previstos pelos modelos
matemáticos apresentam comportamentos semelhantes na porção final da câmara
de combustão, porém diferentes do comportamento experimental (diferença de
curvatura). Existe, portanto, uma indicação de que há um mecanismo importante
que foi desprezado. De acordo com o trabalho de Methochianakis e Netzer(26), a
inclusão do calor transferido por radiação dentro do cálculo do fluxo de calor para
as paredes tende a diminuir um pouco essa diferença entre os resultados previstos
e os resultados experimentais naquela porção da câmara de combustão.
Uma vez que o modelo proposto aqui prevê temperaturas maiores na região
de recirculação, conforme mostrado na fig. 24, os valores mais altos para a taxa de
regressão local média previstos por esse modelo estão coerentes. De fato, se as
temperaturas são maiores o fluxo de calor para as paredes é maior e,
consequentemente, o valor da velocidade de injeção de combustível e a taxa de
regressão local.
Nas fig. 27 e 28 apresenta-se os campos de energia cinética turbulenta e taxa
de dissipação da energia cinética turbulenta normalizados previstos pelo modelo
proposto.
Observa-se altos valores das duas grandezas próximo a região de
recirculação da entrada. Após o recolamento, há uma uniformização da velocidade
como observado no caso anterior, e ilustrado na fig. 25, com conseqüente redução
e uniformização das grandezas turbulentas no domínio.
Nas fig. 29, 30 e 31 apresenta-se os campos previstos pelo modelo proposto
para as frações em massa de oxigênio, etileno e dióxido de carbono. Como era
esperado, o comportamento desses campos está diretamente relacionado ao
comportamento do campo de fração de mistura, mostrado na fig. 24c.
Resultados e Discussões 107
0 0.1 0.2 0.3X
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
0.0225R
0.170.160.150.140.130.120.10.090.080.070.060.01
0 0.1 0.2 0.3X
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
0.0225
R
0.370.340.310.270.240.210.180.150.120.090.060.03
Figura 27 – Campo de energia cinética turbulenta normalizada previsto pelo modelo
proposto. Figura 28 – Campo da taxa de dissipação da energia cinética turbulenta normalizada
previsto pelo modelo proposto.
A fração em massa de oxigênio, fig. 29, tem seu valor máximo na região da
entrada da câmara, vai diminuindo com o aumento da fração de mistura e se torna
nula na região onde a fração de mistura é maior que a fração de mistura
estequiométrica. De maneira oposta, se comporta a fração em massa do etileno,
fig 30. Seu valor máximo ocorre na superfície do combustível sólido e seu valor
decresce com a diminuição da fração de mistura, até se tornar nula para frações de
mistura menores que a estequiométrica. Observa-se na fig. 30, que parte do
combustível sublimado fica preso na região de recirculação próximo à entrada.
2
21/ inuκ
3
21/. incam uRε
Resultados e Discussões 108
0 0.1 0.2 0.3X
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
0.0225
R
OXIG0.210.190.170.150.130.110.090.070.030.01
0 0.1 0.2 0.3X
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
0.0225
R
FUEL0.160.120.100.080.060.040.020.01
Porém, a baixa concentração na região da saída, indica que o mesmo foi
praticamente todo consumido.
Figura 29 – Campo de fração em massa de oxigênio previsto pelo modelo proposto.
Figura 30 – Campo de fração em massa de etileno previsto pelo modelo proposto.
A medida que o etileno e oxigênio são consumidos, formam-se os produtos,
fig 31. A fração em massa de dióxido de carbono cresce com o aumento da fração
de mistura enquanto a mistura é pobre (excesso de oxigênio, portanto stff < ). O
valor máximo da fração em massa de dióxido de carbono é alcançado quando
temos a mistura estequiométrica. A partir daí, a medida que a mistura se torna
mais rica (excesso de combustível) a fração em massa de dióxido de carbono
diminui com o aumento da fração de mistura. Deve-se perceber, comparando-se as
Resultados e Discussões 109
0 0.1 0.2 0.3X
0
0.0025
0.005
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0.0175
0.02
0.0225
R
CO20.180.160.130.110.090.070.040.02
figuras acima com a fig. 24c, que na região onde stff ≈ temos as maiores
temperaturas, maiores concentrações de dióxido de carbono e menores
concentrações de combustível e oxigênio.
Figura 31 – Campo de fração em massa de dióxido de carbono previsto pelo modelo
proposto.
A fig. 32 apresenta a evolução das frações em massa do oxigênio e dióxido
de carbono para as mesmas coordenadas axiais que o perfil de velocidade foi
apresentado. Mais uma vez, pode-se ressaltar que o jato da entrada de ar, que
apresenta a concentração máxima de oxigênio, se expande após o degrau da
câmara, sendo direcionado para a superfície do combustível, onde o mesmo é
consumido, criando o dióxido de carbono. As concentrações do oxidante e
produtos são proporcionais.
A variação de temperatura é apresentada na fig. 33, para as mesmas
coordenadas utilizadas para a apresentação do perfil de velocidade axial e
evolução das frações em massa. Observa-se que na região central o fluido frio da
entrada é aquecido ao longo da câmara, devido a difusão de calor dos gases
quentes gerados com a combustão próximo à superfície do combustível. Note a
alta temperatura dos gases na coordenada x/R = 2,46, coordenada esta que
coincide com a região de recirculação. Comparando-se a variação de temperatura
apresentada com a distribuição das espécies químicas, confirma-se a observação
de que a combustão é confinada a uma região bem próxima a superfície, a qual
corresponde as mais altas temperaturas.
Resultados e Discussões 110
6.3 Escoamento Reativo no Combustor de um SFRJ
O terceiro caso considerado para avaliar o desempenho do modelo
matemático proposto nesse trabalho é a simulação computacional do escoamento
reativo no interior do combustor (câmara de combustão e câmara de mistura
posterior) de um estato reator utilizando o polimetilmetacrilato (PMMA) como
combustível sólido. Esse é um dos combustíves sólidos precursores no estudo da
aplicação de polímeros para essa finalidade. Os resultados previstos para a taxa de
0.00 0.10 0.20 0.30Fração em Massa de O2
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
r/Rx/R=2,46
x/R=4,92
x/R=7,38
x/R=9,85
0.00 0.10 0.20 0.30Fração em Massa CO2
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
r/R
x/R=2,46
x/R=4,92
x/R=7,38
x/R=9,85
(a) oxigênio (b) dióxido de carbono
Figura 32 – Evolução das frações em massa de oxigênio e dióxido de carbono em quatro seções da câmara de combustão
0. 1000 2000 3000Temperatura(K)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
x/R=2,46
x/R=4,92
x/R=7,38
x/R=9,85
Figura 33 - Variação da temperatura em quatro seções da câmara de combustão
Resultados e Discussões 111
regressão média local do combustível foram comparados aos resultados
experimentais obtidos por Boaz e Netzer(69) e aos resultados previstos pelo modelo
de Stevenson e Netzer(5), todos nas mesmas condições operacionais e sob os
mesmos parâmetros. Comparam-se também os resultados previstos pelo modelo
proposto e pelo modelo de Stevenson e Netzer(5) para a temperatura. Ao final, são
mostrados alguns campos e perfis previstos para o caso utilizando-se o modelo
proposto nesse trabalho.
Os parâmetros geométricos do problema, com a geometria ilustrada na fig.
11, são mostrados na Tabela 12.
Parâmetro Geométrico Valor L 0,4628 m H 0,027 m Xcomb 0,3048 m Rin 0,00681m HS 0,01224m
Tabela 12 - Parâmetros geométricos para o escoamento no combustor do SFRJ.
O ar é admitido na câmara de combustão a temperatura de 800 K,
velocidade média de 197,4 m/s e vazão em massa de 0,08049 Kg/s. A temperatura
da superfície do combustível sólido mais uma vez foi tomada como temperatura
de referência, admitida constante e igual a 700 K.
A reação de combustão, segundo o modelo de reação química de único
passo infinitamente rápida, pode ser escrita como:
22222285 56,2245)76,3(6 NOHCONOOHC ++→++ (6.4)
As propriedades físicas e termodinâmicas das espécies envolvidas na reação
de combustão (C5H8O2, O2, N2, CO2 e H2O) são mostradas na Tabela 13.
No trabalho de Stevenson e Netzer(5) não foi feita nenhuma referência sobre
os valores utilizados para as propriedades físicas e termodinâmicas das espécies
envolvidas. A única informação nesse sentido, já mencionada anteriormente, diz
respeito a adoção de um calor específico constante para a mistura gasosa, porém
não apresentava indicações sobre o valor adotado para essa propriedade.
Como no caso anterior, a massa específica dos gases foi calculada através da
equação de estado, sendo a massa específica do combustível na fase gasosa
calculada com base na pressão da câmara e temperatura na superfície do
combustível sólido.
Resultados e Discussões 112
Espécie Propriedade C5H8O2 O2 N2 CO2 H2O
Calor específico a pressão constante -
jpC , (valor médio calculado a 1200 K)
(J/KgK)(67)
1600,00 1072,87 1121,46 1208,46 2279,48
Massa Molecular (kg/Kmol) 100 32 28 44 18 Mistura Gasosa
Viscosidade média da mistura (Kg/ms) 2,00×10-5 Combustível Sólido (PMMA)(68, 69, 70)
Calor específico a pressão constante -
fspC , (calculado a 700 K) (J/KgK) 1300,00
Massa específica - fsρ (kg/m3) 1190
Calor de combustão - H∆ (@700 K) (J/Kg) 2,99×107
Calor efetivo de vaporização - effvH , (J/Kg) 1,615×106
Entalpia - fsfspfs TCh ,= (J/Kg) 9,1×105 Tabela 13 - Propriedades físicas e termodinâmicas para combustão do PMMA.
Utilizou-se uma malha computacional não uniforme com 62 × 57 pontos,
concentrando-se a mesma nas regiões de recirculação e próximo às paredes
(superfície do combustível sólido e parede da câmara de mistura posterior). Neste
caso, existem três regiões na direção y: entrada, degrau e combustível. O
parâmetro de não uniformidade em cada região foi 1,0; 0,9 e 0,8 respectivamente.
Já na direção x, utilizou-se duas regiões, com parâmetro de não uniformidade
iguais a 1,2 e 1,1 para a região do combustível e câmara posterior. A fig. 34
mostra a malha computacional utilizada no problema, sendo a região amarela
indicativa do combustível sólido. A escala na direção radial está ampliada oito
vezes para melhor visualização dos resultados.
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
R
Figura 34 - Malha computacional utilizada no escoamento dentro do combustor.
Resultados e Discussões 113
Uma vez que o escoamento é reativo, as equações resolvidas foram as
mesmas do caso anterior. Mais uma vez, fatores de subrelaxação foram utilizados
para garantir a convergência. A Tabela 14 mostra os fatores de subrelaxação das
variáveis utilizados nesse caso.
Variável Fator de Subrelaxação
Velocidade axial )~(u 0,5 Velocidade radial )~(v 0,4 Pressão )( p 0,7 Energia cinética turbulenta )(k 0,4 Dissipação de energia cinética turbulenta )(ε 0,4
Entalpia de estagnação )~(H 0,5
Fração de Mistura )~( f 0,5
Variância da fração de mistura )( fg 0,5
Densidade )(ρ 0,5
Viscosidade Turbulenta )( tµ 0,4
Tabela 14 - Fatores de subrelaxação para o escoamento no combustor do SFRJ utilizando o PMMA
Um dos principais problemas encontrados nesse caso foi a inicialização das
variáveis. Uma inicialização realizada sem critério, geralmente resultava em
divergência, isto é, não era possível obter solução convergida. O procedimento
adotado para contornar essa dificuldade foi aplicar inicialmente o código
numérico a um problema onde o domínio computacional fosse restrito à câmara
de combustão. Seria um caso análogo ao anterior, alterando-se a geometria e o
tipo de combustível sólido. Fica claro que as faces dos volumes de controle no
problema da câmara de combustão devem ser coincidentes com as faces dos
volumes de controle nessa região para o problema do combustor. Os resultados
obtidos foram, então, implementados como valores iniciais das variáveis nos
pontos comuns às duas malhas (combustor e câmara de combustão).
Quando da inicialização das variáveis, convém alertar para o fato de que o
código computacional trabalha com malhas deslocadas para as velocidades.
Portanto, os valores dessas variáveis são localizados nas faces dos volumes de
controle. Dessa maneira, os valores obtidos para as velocidades axial e radial
durante a simulação dentro da câmara de combustão são totalmente aproveitados,
já que nessa região, como definido anteriormente, as faces dos volumes de
Resultados e Discussões 114
controle das duas malhas são coincidentes. Na fig. 35 temos um exemplo
esquemático da superposição de malhas descrita.
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
◘ ◘ ◘ ◘ ◘ ● ● ● ●
◘ ◘ ◘ ◘ ◘ ● ● ● ●
◘ ◘ ◘ ◘ ◘ ● ● ● ●
◘ ◘ ◘ ◘ ◘ ● ● ● ●
◘ ◘ ◘ ◘ ◘ ● ● ● ●
Região do Combustível Sólido
● Ponto nodal da malha do combustor
○ Ponto nodal da fronteira da malha da câmara de combustão
◘ Ponto nodal pertencente as duas malhas (combustor e câmara de combustão)
Faces dos volumes de controle coincidentes nas duas malhas. Figura 35 – Esquema de superposição de malhas para o problema do combustor.
Com a inicialização definida acima, o número de iterações realizadas até
que o critério de convergência (igual ao caso anterior) fosse alcançado ficou em
torno de 16000.
A fig. 36 mostra os campos de temperatura e linhas de corrente previstos
pelo modelo de Stevenson e Netzer(5) e pelo modelo proposto no trabalho, para a
região da câmara de combustão. Essa simulação gerou os dados para a
inicialização do problema do escoamento no combustor.
As linhas de corrente mostradas na fig. 36 indicam que o modelo proposto
nesse trabalho prevê uma zona de recirculação menor, ou seja, a localização do
ponto de recolamento está mais próxima da entrada da câmara de combustão. Esse
fato pode estar relacionado com as condições de contorno para a energia cinética
turbulenta implementadas pelas funções de parede utilizadas nos modelos. Para
Stevenson e Netzer(5) o valor de k no primeiro ponto nodal acima da parede era
calculado através de sua equação de transporte, porém alterando-se o valor dos
○ ○
○
○
○
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○
● ●
●
●
●
●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ◘ ◘ ◘ ◘ ◘ ◘
●
●
●
◘
◘
● ◘
● ◘
● ◘
Resultados e Discussões 115
termos fontes em função da tensão de cisalhamento na parede ( wτ ). Como foi
mencionado anteriormente, o modelo proposto não faz distinção na resolução da
equação de transporte para κ no primeiro ponto nodal acima da parede, ou seja,
seu valor é obtido pela solução de sua equação de transporte de forma idêntica aos
demais pontos internos no domínio computacional.
a)
b)
Figura 36 – Valores previstos para os campos de temperatura e linhas de corrente
dentro da câmara de combustão: a) resultados do modelo de Stevenson e Netzer(5); e b) resultados do
modelo proposto.
No modelo utilizado por Stevenson e Netzer(5) a combustão é simulada
através da solução da variável escalar conservativa Z e da fração em massa do
nitrogênio, 2Nm , conforme já discutido no capítulo 3. Assim, o modelo de
Stevenson e Netzer(5) não prevê qualquer interação turbulência-química, que é o
que se pretende ao utilizar o formalismo fração de mistura/PDF. Desse modo,
concordância entre as soluções para o campo de temperatura indica que a
utilização do formalismo fração de mistura/pdf não influenciou de forma
acentuada na determinação do campo de temperatura dentro da câmara de
combustão.
800 1500 1000
2500
2000
Linhas de Corrente
Temperatura (K)
Linhas de Corrente
Temperatura (K)
1000 800 2000 1500
2500
Resultados e Discussões 116
Outra comparação entre as soluções obtidas com os dois modelos é
apresentada na fig. 37, na qual traçou-se as variações radiais de temperatura em
dois pontos distintos da coordenada axial: próximo ao final da câmara de
combustão (x = 30 cm); e em um ponto na câmara de mistura posterior (x = 38,26
cm).
__ Variação prevista com o modelo proposto __ Variação prevista com o modelo proposto
__ Variação prevista com o modelo de Stevenson e Netzer(5)
__ Variação prevista com o modelo de Stevenson e Netzer(5)
Figura 37 - Variações radiais de temperatura.
As variações radiais de temperatura à direita na fig. 37, obtidas numa
localização axial muito próxima ao final do grão combustível (final da câmara de
combustão), confirmam o alto grau de concordância entre os modelos para o
campo de temperatura dentro da câmara de combustão. As variações à esquerda
na fig. 37, obtidas numa localização axial de aproximadamente uma vez e meia o
diâmetro do combustor a partir do final do grão combustível, mostram
comportamentos qualitativamente semelhantes, porém com um desvio entre as
soluções de até 8%. As temperaturas ligeiramente mais elevadas para o modelo
proposto podem estar relacionadas ao modelo de combustão utilizado que leva em
conta a interação turbulência-química. Uma vez que a função principal da câmara
de mistura posterior é promover uma mistura mais efetiva entre oxidante e
combustível, através da criação dos vórtices na região de recirculação após o
degrau, era esperado que o modelo proposto captasse melhor esse fenômeno. O
Dis
tânc
ia ra
dial
(cm
)
1500 2000 2500 3000 35000.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
Temperatura 1500 2000 3500
0.00.30.60.91.21.51.82.12.42.7
2500 3000 Temperatura
Dis
tânc
ia ra
dial
(cm
)
x = 30 cm x = 38,26 cm
Superfície do combustível
Resultados e Discussões 117
mesmo poderia acontecer na região de recirculação na câmara de combustão,
porém naquela região a mistura entre combustível e oxidante depende de outros
fatores também, como transferência de calor para a superfície do combustível e
pirólise do combustível.
Uma possível razão para as diferenças encontradas entre as variações de
temperatura obtidas com os dois modelos pode ser a diferença entre os valores
especificados para algumas propriedades termodinâmicas, como calor de
combustão e calor efetivo de vaporização do combustível sólido. Isso poderia
acontecer uma vez que, como já foi explicado, as fontes de consulta para
aquisição dos valores dessas propriedades podem ter sido diferentes. Outra
possível explicação é a diferença entre os modelos matemáticos utilizados.
A fig. 38 apresenta os perfis da taxa de regressão local média do
polimetilmetacrilato previstas por três modelos matemáticos: de Netzer(21);
Stevenson e Netzer(5); e o modelo proposto nesse trabalho. Mostra também os
perfis obtidos experimentalmente por Boaz e Netzer(69) para duas condições de
entrada de ar na câmara.
Taxa
de
Reg
ress
ão L
ocal
Méd
ia (m
m/s
)
Distância Axial (mm) 0 100 200 300
0.00
0.10
0.20
0.30
Valores previstos com modelo ψ-ω de Netzer(21) ( 24,0=r& ).
.............. Valores previstos com modelo u-v-p de Netzer(5) ( 24,0=r& ).
⋅ ⋅ Valores experimentais com entrada de ar a 45º dentro da câmara(69, 71).
- - - - - - Valores experimentais com entrada de ar axial na câmara(69, 71) ( 22,0=r& ).
Valores previstos com o modelo proposto neste trabalho ( 21,0=r& ). Figura 38 - Taxa de regressão local média ao longo da superfície do PMMA
Resultados e Discussões 118
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
R
U170.00140.00110.00
70.0050.0030.0010.00
5.00-5.00
-10.00-30.00
O resultado previsto pelo modelo proposto nesse trabalho está
qualitativamente de acordo com o resultado experimental. Da mesma forma que
os outros modelos computacionais, existe uma superestimação dos valores da taxa
de regressão local média na região de recirculação, assim como uma subestimação
da localização do ponto de recolamento. Como discutido anteriormente, uma
explicação para esse comportamento pode estar nas restrições do modelo de
turbulência εκ − e das funções de parede em simular o escoamento nessa região.
O modelo proposto apresenta valores mais baixos para a taxa de regressão
local média do que o modelo de Stevenson e Netzer(5) dentro da região de
recirculação. O comportamento está coerente com os resultados apresentados nos
campos de temperatura onde o modelo proposto prevê temperaturas ligeiramente
mais baixas do que o modelo de Stevenson e Netzer(5) (fig. 34) na região de
recirculação próximo à superfície do combustível. Note, no entanto, que o valor
da taxa de regressão média prevista pelo modelo proposto ( 21,0=r& mm/s) está
mais próximo do valor experimental ( 22,0=r& mm/s) do que os valores previstos
pelos outros dois modelos matemáticos(5, 21).
As fig. 39, 40 e 41 mostram os campos do componente de velocidade axial,
temperatura e fração de mistura obtidos com o modelo proposto para o
escoamento no interior do combustor do estato reator utilizando o
polimetilmetacrilato como combustível sólido.
Figura 39 - Campo de velocidade axial para o escoamento no interior do combustor
Observa-se na fig. 39, a região de altas velocidades na região central
próximo a entrada e a região de velocidade negativa indicando a presença de uma
Resultados e Discussões 119
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
R
TEMP3200.003000.002900.002600.002400.002100.001800.001500.001200.001000.00
850.00
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
R
FRAC.M0.160.140.120.100.080.060.040.030.020.01
recirculação. O jato da entrada se expande, atinge a superfície do combustível e se
desenvolve, resultando em uma distribuição aproximadamente uniforme de
velocidade. Após o fim do combustível, surge uma nova recirculação.
Figura 40- Campo de temperatura para o escoamento no interior do combustor
Figura 41 - Campo de fração de mistura para o escoamento no interior do combustor
Analisando o campo de temperatura, fig. 40, pode-se observar que o jato
frio de entrada é aquecido pela difusão de calor, além da reação química, e altas
temperaturas são observadas na região em que o fluido está preso na recirculação.
Ocorre uma redução da temperatura próximo a superfície do combustível, na
região do ponto de recolamento, em função da incidência do jato de ar mais frio
da entrada, ocorrendo, posteriormente, novo aquecimento pelas reações. Mais a
Resultados e Discussões 120
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
R
OXIG0.210.190.170.150.130.110.080.060.040.02
jusante o fluido quente fica preso na região de recirculação após o degrau formado
pelo fim do combustível na câmara de mistura posterior. Os valores máximos são
coincidentes com as regiões onde a fração de mistura está próxima a fração de
mistura estequiométrica, conforme pode ser visto na fig. 41.
As figuras 42, 43 e 44 mostram os campos previstos para as frações em
massa do oxigênio, do metilmetacrilato e do dióxido de carbono. Da análise dos
resultados observa-se que o comportamento desses campos na região da câmara
de combustão é totalmente análogo ao caso anterior.
Percebe-se, nesse caso, a importância da câmara de mistura posterior.
Observa-se na fig. 44 que na região de recirculação formada após o final do
combustível, dentro da câmara de mistura posterior, existe uma concentração
maior de combustível. Esse é um indicativo de que, se a tubeira fosse colocada
logo ao final da câmara de combustão, uma quantidade de combustível
gaseificado e não queimado estaria sendo expelido pela tubeira. Esse foi um dos
problemas relatados por Myer(42) em seus trabalhos experimentais.
Figura 42 - Campo previsto da fração em massa de oxigênio no combustor.
Analisando-se, então, a fig. 42, 43 e 44 pode-se perceber que a combustão
prossegue em algumas regiões dentro da câmara de mistura posterior, mais
especificamente a partir da região de recirculação, uma vez que as concentrações
de oxigênio e metilmetacrilato vão diminuindo e a concentração de dióxido de
carbono atinge valor máximo. A eficiência da combustão em estato reatores a
combustível sólido está intimamente ligada a um bom projeto e configuração da
câmara de mistura posterior(1).
Resultados e Discussões 121
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
RFUEL
0.100.080.040.020.010.010.010.000.00
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
0
0.003
0.006
0.009
0.012
0.015
0.018
0.021
0.024
0.027
R
CO20.220.180.140.10.080.060.020.01
Figura 43 - Campo previsto da fração em massa de metilmetacrilato no combustor. Figura 44 - Campo previsto da fração em massa de dióxido de carbono no combustor.
A fig. 45 mostra a evolução da fração em massa de oxigênio e dióxido de
carbono e a fig. 46 mostra os perfis de velocidade axial nas mesmas coordenadas
axiais utilizadas na fig. 37. A primeira coordenada está localizada ao final do
combustível sólido, portanto ao final da câmara de combustão e a segunda dentro
da câmara de mistura posterior. Como já discutido anteriormente, observa-se um
máximo de oxigênio na região central, correspondendo a um mínimo de dióxido
de carbono. Como a reação ocorre muito próximo à superfície do combustível,
nesta coordenada encontram-se os valores máximos dos produtos da combustão.
Na câmara de mistura posterior, obtém-se a queima final do combustível, com
Resultados e Discussões 122
pequena alteração na quantidade de fração em massa das espécies, e com uma
suavização dos perfis, que se distribuem no domínio.
Com relação a fig. 46, pode-se perceber, pelo perfil de velocidade
apresentado, que ao final da câmara ( x= 30cm) o escoamento é quase uniforme,
típico de escoamento desenvolvido. Após o degrau, na entrada da câmara de
mistura posterior (x=38,26cm) o redesenvolvimento do escoamento torna-se mais
rápido em virtude da ausência da velocidade de blowing na parede, e da
velocidade mais lenta do escoamento ao entrar nessa câmara.
Figura 46 - Perfis de velocidade axial em duas seções do combustor.
0.00 0.04 0.08 0.12Fração em Massa de O2
0.00
0.30
0.60
0.90
1.20
1.50
1.80
2.10
2.40
2.70
r (cm
)
x=30cm
x=38,26cm
0.00 0.10 0.20 0.30Fração em Massa de CO2
0.00
0.30
0.60
0.90
1.20
1.50
1.80
2.10
2.40
2.70
r (cm
)
x=30cm
x=38,26cm
(a) oxigênio (b) dióxido de carbono
Figura 45 - Evolução da fração em massa de oxigênio e dióxido de carbono em duas seções do combustor
x = 30 cm x = 38,26 cm
x = 30 cm x = 38,26 cm
0.00 40.00 80.00 120.00Velocidade Axial u (m/s)
0.00
0.30
0.60
0.90
1.20
1.50
1.80
2.10
2.40
2.70
r (cm
)
x=30cm
x=38,26cm
Resultados e Discussões 123
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
R
0.230.210.190.170.150.130.110.090.070.050.03
As fig. 47 e 48 apresentam o campo previsto pelo modelo proposto para a
energia cinética turbulenta e sua taxa de dissipação normalizadas. Note que as
distribuições de energia cinética turbulenta e sua taxa de dissipação são análogas
as obtidas para o caso anterior, de escoamento reativo na câmara de combustão de
um SFRJ. No entanto como existe uma segunda recirculação após o fim do grão
combustível, observa-se outro pico de κ e ε na quina.
Figura 47 - Campo da energia cinética turbulenta normalizada para o escoamento no interior do combustor
Figura 48 - Campo da taxa de dissipação da energia cinética turbulenta normalizada para o escoamento no interior do combustor
0 0.1 0.2 0.3 0.4X
00.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027
R
0.500.400.300.250.200.150.100.080.050.030.01
2
21/ inuκ
3
21/. incam uRε
Resultados e Discussões 124
6.4 Projeto de Munição Assistida por Estato Reator
A principal motivação para este trabalho está associada ao projeto de uma
munição assistida para canhão 155mm. Esta seção apresenta os resultados para o
campo de escoamento no interior do combustor de um estato reator a combustível
sólido, utilizado no projeto deste tipo de munição. A construção típica dessa
munição é mostrada na fig. 49. Todos os detalhes operacionais e parâmetros
preliminares do projeto da mesma podem ser encontrados em Krishnan e
George(1).
Figura 49 - Projeto de munição assistida por estato reator a combustível sólido para
canhão 155mm(1).
De acordo com a fig. 11 podemos definir os parâmetros geométricos do
combustor para a simulação computacional, conforme a Tabela 15 abaixo.
Parâmetro Geométrico Valor
L 1,08 m H 0,0725m Xcomb 0,830 m Rin 0,03 m HS 0,015 m
Tabela 15 - Parâmetros geométricos para o escoamento no combustor da munição
assistida por estato reator.
O ar é admitido na câmara de combustão a temperatura de 652,8 K,
velocidade média de 134,6 m/s. A pressão dentro da câmara foi calculada em
0,8MPa. Esses dados foram obtidos através de cálculos iniciais levando-se em
consideração uma velocidade de cruzeiro em torno de 2,2 Mach e uma altitude
inferior a 10 Km. A temperatura da superfície do combustível sólido mais uma
Carga útil Aletas Retráteis
Resultados e Discussões 125
vez foi tomada como temperatura de referência, admitida constante e igual a
700 K. O combustível utilizado foi o HTPB (hidroxyl-terminated-polibutadiene),
comercialmente conhecido como R-45. A reação de combustão, segundo o
modelo de reação química de único passo infinitamente rápida, pode ser escrita
como:
22222284 8,1844)76,3(5 NOHCONOOHC ++→++ (6.14)
As propriedades físicas e termodinâmicas das espécies envolvidas na reação
de combustão (C4H8O2, O2, N2, CO2 e H2O) são mostradas na Tabela 16.
Espécie Propriedade C4H8O2 O2 N2 CO2 H2O
Calor específico a pressão constante -
jpC , (valor médio calculado a 1200 K)
(J/KgK)(67)
2886,00 1072,87 1121,46 1208,46 2279,48
Massa Molecular (kg/Kmol) 88 32 28 44 18 Mistura Gasosa
Viscosidade média da mistura (Kg/ms) 2,00 × 10-5 Combustível Sólido (HTPB)(68, 70)
Calor específico a pressão constante -
fspC , (calculado a 700 K) (J/KgK) 2170,00
Massa específica - fsρ (kg/m3) 970
Calor de combustão - H∆ (@700 K) (J/Kg) 3,00 × 107
Calor efetivo de vaporização - effvH , (J/Kg) 1,563 × 106
Entalpia - fsfspfs TCh ,= (J/Kg) 1,519 × 106
Tabela 16 - Propriedades físicas e termodinâmicas para combustão do HTPB.
A massa específica dos gases foi calculada através da equação de estado,
sendo a massa específica do combustível na fase gasosa (vaporizado) foi calculada
com base na pressão da câmara e temperatura na superfície do combustível.
Os cálculos foram realizados utilizando-se uma malha computacional não
uniforme com 70 × 60 pontos, concentrando-se a mesma nas regiões de
recirculação e próximo às paredes (superfície do combustível sólido e parede da
câmara de mistura posterior), com os mesmos parâmetros de não uniformidade do
caso anterior. A fig. 50 mostra a malha computacional utilizada no problema,
sendo a região amarela indicativa do combustível sólido. A escala na direção
radial está ampliada para melhor visualização dos resultados.
A Tabela 17 mostra os fatores de subrelaxação das variáveis utilizados nesse
caso.
Resultados e Discussões 126
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
Figura 50 - Malha computacional utilizada no projeto da munição assistida
Variável Fator de Subrelaxação Velocidade axial )~(u 0,5 Velocidade radial )~(v 0,4 Pressão )( p 0,7
Energia cinética turbulenta (κ) 0,5 Dissipação de energia cinética turbulenta )(ε 0,5
Entalpia de estagnação )~(H 0,5
Fração de Mistura )~( f 0,5
Variância da fração de mistura )( fg 0,5
Densidade )(ρ 0,5
Viscosidade Turbulenta )( tµ 0,5
Tabela 17 - Fatores de subrelaxação para o projeto da munição assistida utilizando o HTPB
Como no caso do escoamento no interior do combustor com PMMA, visto
na seção anterior, inicialmente obteve-se resultados para o escoamento na câmara
de combustão apenas. Os resultados obtidos foram, então, implementados como
valores iniciais das variáveis nos pontos comuns às duas malhas (combustor e
câmara de combustão), conforme ilustrado na fig. 35.
Como pode-se perceber pelos aspectos geométricos, o grão combustível tem
um comprimento bem maior do que os estudados anteriormente, permitindo um
melhor desenvolvimento do escoamento após o ponto de recolamento. Além
disso, a altura do degrau na entrada é pequena em relação ao diâmetro do orifício
de entrada do ar na câmara. O degrau na entrada da câmara de mistura posterior é
Resultados e Discussões 127
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
STRFCT0.3000.2960.2900.2800.2400.2200.1800.1200.0800.0400.020
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
U119.50110.00100.0075.0050.0030.0016.00
8.00-8.00
-20.00-36.00
mais acentuado. Os aspectos geométricos analisados implicam na formação de um
campo de escoamento com uma região de recirculação na entrada da câmara de
combustão relativamente pequena quando comparada às dimensões da câmara de
combustão. No caso da região de recirculação na entrada da câmara de mistura
posterior (após o final do grão combustível), a situação se inverte, tendo essa
região dimensões maiores.
Essas considerações são ratificadas pelo campo de linhas de corrente para o
escoamento, mostrado na fig. 51 e pelo campo do componente axial de
velocidade mostrado na fig. 52.
Figura 51 – Linhas de corrente previstas para o projeto da munição assistida usando o HTPB Figura 52 – Campo de velocidade axial previsto para o projeto da munição assistida
usando o HTPB.
Resultados e Discussões 128
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
TEMP3000.002800.002500.002200.002000.001800.001600.001400.001200.001000.00
800.00
Uma vez que o cálculo de fluxo de calor para as paredes está baseado
apenas na transferência de calor por convecção, desprezando-se os efeitos de
radiação, o campo de temperaturas, mostrado na fig. 53, apresenta uma zona de
reação (regiões onde as temperaturas estão acima de 2000 K) limitada às regiões
de recirculação e nas proximidades da superfície do combustível sólido.
Figura 53 – Campo de temperaturas previsto para o projeto da munição assistida usando o HTPB.
O resultado é semelhante ao obtido anteriormente para o caso do
escoamento no combustor com PMMA. Porém, no caso anterior podia-se perceber
que na câmara de mistura posterior a zona de reação era bastante pronunciada,
indicando a existência de gás combustível não queimado deixando a câmara de
combustão. Portanto, naquele caso, o objetivo da câmara de mistura posterior foi
alcançado, aumentando a eficiência da combustão pela mistura e queima efetiva
do excedente de combustível da câmara de combustão com o oxigênio do ar. No
presente caso, a zona de reação na câmara de mistura posterior é pequena,
proporcionando um aumento pequeno na eficiência da combustão.
A fig. 54 ilustra a distribuição da fração de mistura. Observa-se, como
esperado, que o campo de fração de mistura é análogo ao campo de temperatura
com as regiões de temperaturas mais altas coincidindo com as regiões de frações
de mistura mais altas, estando essas regiões situadas próximo à superfície do
combustível sólido.
Resultados e Discussões 129
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07R
FRAC.M0.180.140.100.080.060.040.020.01
Figura 54 - Campo de fração de mistura previsto para o projeto da munição assistida usando o HTPB.
Na fig. 55 foi traçado o perfil da taxa de regressão local média do HTPB.
Como nos casos anteriores, temos a curva mostrando uma acentuada elevação da
taxa de regressão dentro da região de recirculação próxima a entrada da câmara de
combustão até as proximidades do ponto de recolamento. Depois do ponto de
recolamento o valor da taxa de regressão vai decrescendo até um valor
praticamente constante. O valor da taxa de regressão média r& obtido foi igual a
0,33 mm/s, e está de acordo com os valores experimentais típicos para esse
combustível, de 0,25-0,35 mm/s(1).
Figura 55 – Taxa de regressão local média previsto para o projeto da munição assistida usando o HTPB ( smmr /33,0=& )
Distância Axial (mm)
Taxa
de
regr
essã
o lo
cal m
édia
(mm
/s)
5004000 100 200 300 600 700 800 900
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
Resultados e Discussões 130
Esse comportamento da curva também foi observado nos modelos propostos
por Stevenson e Netzer(5) e Coelho et al(38). A medida que a camada limite se
desenvolve, após o ponto de recolamento, ocorre um afastamento da chama em
relação à superfície do combustível sólido, acarretando diminuição na velocidade
de queima local. Além disso, a grande velocidade do escoamento central em
relação a velocidade de injeção do combustível torna deficiente o processo de
difusão, diminuindo a mistura ar/combustível na zona de chama.
Um comportamento análogo ao obtido para a taxa de regressão ao longo da
câmara de combustão também foi observado experimentalmente por Veras(13)
quando trabalhou com grãos de comprimento maiores, onde a região de
redesenvolvimento do escoamento é maior. O fato pode ser explicado pela
ocorrência de erosão nas partes finais do combustível. Gases com velocidades
elevadas e altíssimas temperaturas, quando se encaminham para deixar a câmara
de combustão, podem aproximar a chama da superfície do combustível sólido,
melhorando o processo de transferência de calor para a parede, gaseificando uma
quantidade maior de combustível e, portanto, aumentando localmente a taxa de
regressão do combustível.
Esse fenômeno necessitaria de um maior número de ensaios para sua
comprovação, uma vez que o perfil uniforme na região próxima ao final do grão,
também pode ser devido ao aumento da velocidade de queima pela transferência
de calor por emissão de radiação das partículas incandescentes de fuligem que se
formaram. Esse tipo de mecanismo não foi incluído na modelagem matemática do
problema.
As figs. 56 e 57 apresentam o campo previsto pelo modelo proposto para a
energia cinética turbulenta e sua taxa de dissipação normalizadas. Como no caso
anterior existe uma geração de energia cinética turbulenta e sua taxa de dissipação
nas regiões de recirculação, com valores bem mais elevados nessas regiões do que
no resto do domínio, onde a distribuição apresenta variações menos acentuadas.
As figs. 58, 59 e 60 apresentam os campos de frações em massa para o
oxigênio, o dióxido de carbono e o butadieno hidroxilado. As distribuições de
oxigênio e dióxido de carbono são correspondentes, isto é, as isolinhas são
similares, sendo que os valores máximos de oxigênio correspondem aos mínimos
de dióxido de carbono e vice-versa. Observa-se neste caso, que parte do oxigênio
admitido na câmara não foi queimado. Observa-se ainda que o combustível sólido
Resultados e Discussões 131
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
0.510.460.410.360.310.250.200.150.100.05
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
0.900.750.500.400.300.200.10
vaporizado encontra-se confinado a uma pequena região próxima a superfície do
combustível sólido, sendo queimado rapidamente. Regiões de recirculação onde
encontrou-se combustível preso nos casos anteriores são desprezíveis neste caso.
Figura 56 - Campo da energia cinética turbulenta normalizada previsto para o projeto da
munição assistida usando o HTPB.
Figura 57 - Campo da taxa de dissipação da energia cinética turbulenta normalizada previsto para o projeto da munição assistida usando o HTPB.
Analisando as frações em massa das espécies observa-se que a taxa de
regressão do combustível é realmente maior do que nos casos estudados
anteriormente, conforme mostrado na fig. 55. Analisando-se os campos de
temperatura e fração em massa do combustível percebe-se que a chama está
localizada muito próxima à superfície do combustível sólido. Essa proximidade da
chama junto à superfície torna a transferência de calor para as paredes mais
efetiva e, portanto, a gaseificação do combustível é melhorada.
2
21/ inuκ
3
21/. incam uRε
Resultados e Discussões 132
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07R
OXIG0.210.180.160.130.100.080.050.03
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
FUEL0.750.500.250.200.150.080.050.01
0 0.5 1X
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
R
CO20.200.180.150.100.080.060.040.030.020.01
Figura 58 - Campo previsto da fração em massa de oxigênio no combustor
Figura 59 - Campo previsto da fração em massa de butadieno hidroxilado no combustor
Figura 60 - Campo previsto da fração em massa de dióxido de carbono no combustor
Resultados e Discussões 133
A capacidade de sustentação da chama sob uma grande faixa de condições
de operação torna o HTPB um dos combustíveis sólidos mais adequados para uso
em SFRJ. No entanto, pode-se perceber que a configuração apresentada para o
projeto implica em uma combustão com um grande excesso de oxidante (mistura
pobre). A concentração dos produtos na seção de saída é bastante baixa nas
proximidades do eixo de simetria. Esse fato pode ser observado comparando-se o
campo apresentado na fig. 60 com aquele mostrado na fig. 44 para o combustor
com PMMA. Conclui-se que alguns aspectos do projeto, principalmente
geométricos, devem ser revistos, uma vez que o comportamento previsto pode
gerar uma baixa eficiência ao sistema propulsivo.
7 CONCLUSÃO
Foi proposto um modelo matemático para a resolução do escoamento no
interior do combustor de um estato reator a combustível sólido. O modelo foi
testado em diferentes situações utilizando o método numérico de volumes finitos.
A aplicação do modelo matemático a diferentes casos de escoamentos em estato
reatores e a comparação dos resultados obtidos com os dados disponíveis, serviu
para avaliar a adequação e o desempenho do modelo proposto.
Quando aplicado a escoamentos não reativos, como no caso de grãos
inertes, o problema foi tratado como escoamento em tubo cilíndrico com súbita
expansão (degrau) na entrada. A comparação entre os resultados obtidos no
presente trabalho e dados experimentais, mostrou uma concordância muito boa
entre os mesmos. Conclui-se dessa aplicação que o modelo de turbulência, em
conjunto com as funções de parede e condições de contorno, utilizados no
problema foram capazes de simular adequadamente o comportamento do
escoamento turbulento não reativo, na presença de uma expansão abrupta.
Para o caso de escoamento reativo no interior do combustor, dois fatores
trazem complicações adicionais ao escoamento turbulento. O primeiro fator é a
combustão, ou seja, a reação química. O segundo fator é a pirólise do combustível
que promove o surgimento de uma velocidade normal na superfície do
combustível. Essa velocidade, conhecida como velocidade de blowing faz com
que haja uma alteração na camada limite turbulenta, e consequentemente as
funções de parede tem que ser adaptadas para essa alteração.
Para tratar o primeiro fator, a reação química, um modelo de combustão
onde a reação química ocorria em uma única etapa com cinética química
infinitamente rápida (reação controlada pelo grau de mistura) foi adotado. Uma
equação de transporte para fração de mistura e outra para a variância da fração de
mistura foram resolvidas para a implementação do modelo de combustão fração
de mistura/pdf presumida. Assim, buscou-se acoplar os fenômenos da turbulência
e da combustão.
Para abordar o segundo fator utilizou-se o conceito de variável escalar
conservativa e as propriedades dessa variável nas paredes onde ocorria adição de
Conclusão
135
massa. A equação de conservação de energia foi resolvida em função da entalpia
de estagnação, pois com as hipóteses de número de Lewis unitário e reação
controlada pelo grau de mistura, a entalpia de estagnação tornou-se uma variável
escalar conservativa. Essa foi a mesma abordagem sugerida por Stevenson e
Netzer(5).
Trabalhados os dois fatores de acordo com os modelos e técnicas relatados
anteriormente, o modelo foi aplicado a casos onde haviam dados disponíveis de
forma completa para comparação. Dos resultados apresentados, conclui-se que o
modelo prevê razoavelmente bem o campo de escoamento no interior do
combustor. Para uma definição mais clara dos pontos falhos do modelo, é
necessário realizar um número maior de comparações com outros dados
experimentais, principalmente no que diz respeito a distribuição das espécies no
combustor, os quais infelizmente não se encontram disponíveis.
Por fim, o modelo foi aplicado para a simulação computacional do
escoamento no interior do combustor de um estato reator utilizado no projeto de
uma munição assistida para canhão 155mm. O combustível sólido previsto no
projeto foi o HTPB. Os resultados foram compatíveis com aqueles obtidos nos
casos anteriores, mostrando ser o modelo computacional adequado para a
utilização na fase de desenvolvimento do projeto. Uma vez que no caso da
munição assistida o grão combustível tem um comprimento bem maior do que nos
outros casos, o perfil uniforme da taxa de regressão local média na porção final do
grão combustível, fato observado experimentalmente por Veras(13), tem explicação
através do fenômeno da queima erosiva, já que o modelo matemático usado não
inclui transferência de calor por radiação.
Os problemas de não convergência verificados durante a solução do
problema do escoamento no combustor estão intimamente ligados à inicialização
das variáveis e aos fatores de subrelaxação. Deve-se usar valores baixos para os
fatores de subrelaxação das variáveis �, � e � . Dependendo do problema que
estiver sendo solucionado, esses valores podem ser aumentados após um número
considerável de iterações (geralmente acima de 300 iterações), a fim de acelerar a
convergência. Quanto à inicialização das variáveis, recomenda-se adotar o
procedimento de solucionar o problema na câmara de combustão e, depois,
utilizando uma malha onde as faces dos volumes de controle sejam coincidentes
Conclusão
136
naquela região, inicializar as variáveis com os valores obtidos da solução da
câmara, conforme discutido no capítulo 6. A presença da região bloqueada
também contribui para diminuir a velocidade da convergência da solução.
Tomando-se como base o desenvolvimento do modelo proposto, as
dificuldades encontradas e todos os resultados apresentados, seguem abaixo
algumas sugestões para futuros trabalhos:
- Implementação da técnica de resolução da malha em multi-blocos(38).
Isso otimizaria o tempo computacional, uma vez que a região do
combustível sólido não precisaria ser resolvida. Além disso, seria mais
simples a implementação das condições de contorno na superfície do
combustível sólido.
- Verificar a influência do cálculo da massa específica da mistura gasosa
através da eq. (3.64) sobre os resultados previstos para o campo do
escoamento, analisando precisão dos resultados e o esforço
computacional relativos a esse cálculo.
- Utilizar rotinas do software Chemkim para avaliar a temperatura, assim
como o calor específico a pressão constante, eliminando a restrição de
valor constante.
- Implementação das funções de parede modificadas adotadas por Coelho
et Al(38). As condições de contorno para � e � seriam as mesmas do
modelo proposto nesse trabalho. Porém, os valores da tensão de
cisalhamento na parede ( w� ) e da velocidade de blowing ( wv ) seriam
obtidos simultaneamente através de um sistema de equações envolvendo
também a constante de parede E, e não mais através do parâmetro de
transferência de massa (blowing parameter) envolvendo valores da
variável escalar conservativa ( H~ ).
- Resolução da equação de conservação da energia em função da entalpia
( h~ ) e não entalpia de estagnação, levando-se em consideração a
transferência de calor por radiação para a superfície do combustível(54)
como termo fonte nessa equação. Essa alteração seria importante para o
caso de combustíveis sólidos como o polietileno, em que, as altas
pressões na câmara de combustão (próximas a 1MPa) e a formação de
fuligem na superfície do grão combustível durante a queima. Isso
Conclusão
137
poderia tornar o calor radiante tão importante quanto o calor convectivo
transmitido para a superfície do grão(13).
- Alterações nos parâmetros geométricos do projeto da munição assistida
apresentado nesse trabalho, uma vez que os campos previstos para o
escoamento indicam uma baixa eficiência do combustor.
- Considerar a superfície do combustível como convergente, visando um
melhor rendimento, ampliando a região de queima.
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 KRISHNAN, S.; GEORGE, P. "Solid Fuel Ramjet Combustor Design",
Progress in Aerospace Science, Vol. 34, 1998, pp. 219-256. 2 LEISCH, S.; NETZER, D. W. "Solid Fuel Ramjets", Tactical Missile
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13 VERAS, C. A. G. "Análise Experimental da Câmara de Combustão de um Estato-Reator a Combustível Sólido", Dissertação de Mestrado, Instituto Militar de Engenharia, 1991.
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57 CHIENG, C. C.; LAUNDER, B. E. "On the Calculation of Turbulent Heat Transport Downstream from na Abrupt Pipe Expansion", Numerical Heat Transfer, Vol. 3, 1980, pp. 189-207.
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APÊNDICE A Equações de Conservação e Transporte na Média de Favre 1ª DEMONSTRAÇÃO: Equação da Continuidade - Regime Permanente
0��
�
ii
xu )(�
(A.1)
Decompondo as variáveis segundo Reynolds :
0)~)(( �������
�� ii
i
uux
�� 0) ( ���������
�� iiii
i
uuuux
����
(A.2)
Operando-se a média de Reynolds no tempo e usando as propriedades das médias
têm-se:
� �
0) ( ���������
�i
zero
iizero
ii
uuuux
���� (A.3)
0) ( �����
�� ii
i
uux
�� (A.4)
mas pelas igualdades mostradas nas eqs. (3.30) e (3.31) temos:
���� �
~ e
������ ����~
(A.5)
Assim, na eq. (A.4) podemos escrever
0)~( ��
�
ii
ux
� (A.6)
Apêndice A 144
2ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Momentum - Regime Permanente
j
ji
iij
j xt
xpuu
x �
��
�
���
�
� )(� (A.7)
j
jiji
iiijj
j xtt
xppuuuu
x �
����
�
�����������
�
��
)()()]~)(~([�(A.8)
j
jiji
iijijijij
j xtt
xppuuuuuuuu
x �
����
�
����������������
�
��
)()()~~~~( ���� (A.9)
Operando-se a média de Reynolds no tempo e usando as propriedades das médias
temos:
�� j
ji
iijj
zeroii
zerojij
j xt
xpuuuuuuuu
x �
��
�
��������������
�
�� )~~~~( ����
(A.10)
)()~~( ijjiji
ijj
uutxx
puux
������
��
�
���
�
���
(A.11)
3ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Conservação da Energia - Regime
Permanente
j
jjii
jiij
j xq
tux
uuhux �
��
�
���
�
���
�
� �
��
�
� )(21
�
(A.12)
j
jjjii
jiiiijj
j xqq
tux
uuuuhhuux �
����
�
��
���
�
�
���
� ��������������
��
)()()~)(~(
21~)~( ��
(A.13)
Apêndice A 145
iijjjjjj
uuuhuhuhuhux
~~~~~~~(21
����� �������������
�iijiij uuuuuu ��������
~~~��
21
���������������� )~~~iijiijiij uuuuuuuuu ���
21
21
j
jjjii
j xqq
tux �
����
�
� )()(
(A.14)
Operando-se a média de Reynolds no tempo e usando as propriedades das médias
temos:
����������������������
�
ijiiijiijjjjjj
uuuuuuuuuhuuhhuhux
~~21~~~
21~~~~~( �������
j
jjjii
jiijiijiij x
qqtu
xuuuuuuuuu
�
����
�
�����������������
)()()~
21~~
21
���(A.15)
�������������
�� huuuuuuuhu
x jiijiijjj
����21~~~
21~~~(
j
jjii
jiijiij x
qtu
xuuuuuu
�
��
�
�������������� )()~
21
��
(A.16)
��������
�� ]
21~)~~
21~(~[ iijiij
j
uuuuuhux
��
)()~21( jii
jiijiijjj
j
tux
uuuuuuhuqx �
��������������������
�
�� ���
(A.17)
Por definição temos:
iiuu �����21
��� (A.18)
iiuuhH21
�� (A.19)
onde H é a entalpia de estagnação. Decompondo o lado direito de (A.19) em
valores médios e flutuações temos:
Apêndice A 146
iiiiii uuuuuuhhH �������������21~~~
21~
(A.20)
Multiplicando-se por �, operando-se a média de Reynolds no tempo e utilizando-
se as propriedades da média temos:
iiiiii uuuuuuhhH ��������������21~~~
21~
������ (A.21)
iiii uuuuhH ��������21~~
21~~
����(A.22)
����� iiuuhH ~~~~21 (A.23)
De (A.23) em (A.20) pode-se obter diretamente o valor de H �� abaixo
iiiiii uuuuuuhhHH ����������������21~~~
21~~
(A.24)
���������������� iiii uuuuhH21~
(A.25)
Tomando-se (A.23), (A.25), (A.20) e lembrando-se que 0��� �� ju , pode-se
rescrever a expressão (A.17) como
���������������
����
�
�iijjj
jiij
juuuhuq
xuuhu
x 21
21
���� ()]~~~(~[
)()~jii
jjiij tu
xuuuu
�
���������� ���
(A.26)
)(])~([]~~[ jiij
iiiijjj
jj
tux
uuuuhuqx
Hux �
�����������������
�
��
�
�� ���
21 (A.27)
Apêndice A 147
)(][]~~[ jiij
jjj
jj
tux
Huqx
Hux �
��������
�
��
�
�� ��
(A.28)
4ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Conservação das Espécies - Regime
Permanente
� � llj
jlj
j
RJx
mux
��
���
�
�� (A.29)
lllj
lj
jlljj
j
RRJJx
mmuux
������
���������
�
�� )()]~)(~([� (A.30)
lllj
lj
jjjljljlj
jRRJJ
xmumumumu
x�����
�
��������������
�
� )()~~~~( ���� (A.31)
Operando-se a média de Reynolds no tempo e usando as propriedades das médias
temos:
lj
lj
jjjlljljj
RxJ
muummumux
��
��������������
�
�� )~~~~( ���� (A.32)
ljjlj
jlj
j
RmuJx
mux
��������
��
�
�� )()~~( �� (A.33)
5ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Transporte da Fração de Mistura - Regime
Permanente
Definiu-se fração de mistura de acordo com a expressão
1��
�s
msmf oxfu (A.34)
e pela reação de único passo controlada pelo grau de mistura tem-se:
Apêndice A 148
01
�
�
�
sRsR oxfu (A.35)
Decompondo-se as frações em massa de combustível e oxidante temos:
fufufu mmm ����~ (A.36)
oxoxox mmm ����~ (A.37)
De (A.34) e (A.35), (A.36) e (A.37) tem-se
oxfuoxfu ms
mssm
sm
ssf ��
����
��
��
��
11
1~
11~
1 (A.38)
Da expressão (A.34), deduz-se que:
1
~~~�
��
smms
f oxfu (A.39)
1�
�����
���
smms
f oxfu (A.40)
O fluxo difusivo definido pela Lei de Fick é expresso por
j
ll
lj x
mJ
�
���� (A.41)
Uma das hipóteses usadas para o escoamento é de número de Lewis unitário
(Le=1). Logo os coeficientes de difusão das espécies são iguais ( fuoxl ����� ).
Definiu-se, então
1�
��
sJsJ
Joxj
fujf
j (A.42)
Assim,
jf
oxj
fujf
j xf
sJJsJ
�
����
�
��
~
1 (A.43)
Apêndice A 149
Agora, aplicando a expressão apresentada em (A.33) para o combustível e
oxidante têm-se
fufujfuj
jfuj
j
RmuJx
mux
��������
��
�
� )()~~( �� (A.44)
oxoxjoxj
joxj
j
RmuJx
mux
��������
��
�
�� )()~~( �� (A.45)
Realizando-se a operação � �)45.A()44.A(1
1�
�
ss
e utilizando-se os resultados de
(A.39-A.42) obtêm-se a seguinte expressão para equação de transporte da fração
de mistura na média de Favre.
)()~~( fuJx
fux j
fj
jj
j
�������
��
�
��� (A.46)
6ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Transporte da Variância da Fração de Mistura
- Regime Permanente
Por definição
22 )~( fffg f ����� (A.47)
A equação de transporte da fração de mistura instantânea é expressa por
fj
jj
j
Jx
fux �
���
�
� )(� (A.48)
Multiplicando-se a eq. (A.48) por f �� e tomando-se a média de Reynolds
fj
jj
j
fj
jj
j
Jx
ffux
fJx
ffux
f�
�����
�
����
�
�����
�
��� )()( �� (A.49)
Trabalhando-se os lados da eq. (A.49) separadamente
Apêndice A 150
- Lado esquerdo
jjj
jj
j xfufu
xfffu
xf
�
����
�
����
�
��� ��� )()( (A.50)
Usando-se a equação da continuidade, eq. (A.1) na eq. (A.50)
jj
jjj
jjj
j xfuf
xfuuf
xfuffu
xf
�
������
�
�������
�
����
�
���� ����
~)~()(
��
������
�
������
�
����
jj
jj
jj x
ffuxfuf
xfuf ���
~~~
����
��
�
������
�
����
�
������ )(
~~2
2
21
21 fu
xxfuf
xfu
xfuf j
jjj
jj
jj ����
)()~()~(~
22221
21
21 fu
xfu
xfu
xxfuf j
jj
jj
jjj ����
�
����
�
����
�
��
�
������ ����
(A.51)
)()~(~
2221
21 fu
xfu
xxfuf j
jj
jjj ����
�
����
�
��
�
������ ��� (A.52)
- Lado direito
Usando-se (A.43) têm-se
��
�
�
��
�
�
�
���
�
���
��
�
�
��
�
�
�
�
�
���
��
�
�
��
�
�
�
�
�
���
�
����
jf
jjf
jjf
j
fj
j xf
xf
xf
xf
xf
xfJ
xf ���
~
��
�
�
��
�
�
�
���
�
���
��
�
�
��
�
�
�
�����
�
��
��
�
�
��
�
�
�
�
�
����
jjf
jf
jjf
j xf
xf
xff
xxf
xf
~
(A.53)
)~
(21 2
jf
jjjf
j
f
j
fj
j xf
xf
xf
xf
xf
xJ
xf
�
��
�
����
�
���
�
�����
��
�
�
�
�
����
�
��
�
���� (A.54)
Usando (A.47) e substituindo (A.52) e (A.54) em (A.49)
Apêndice A 151
��
�����������
�
��
�
��
�
�
jjj
j
ff
jfj
j xffufu
xg
xgu
x
~)(
21)~(
21 2
���
)~
(j
fjjj
f xf
xf
xf
xf
�
��
�
����
�
���
�
�����
(A.55)
��
�����������
�
��
�
��
�
��
jjj
j
ff
jfj
j xffufu
xg
xgu
x
~2)()~( 2���
)~
(22j
fjjj
f xf
xf
xf
xf
�
��
�
����
�
���
�
�����
(A.56)
7ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Transporte da Energia Cinética Turbulenta -
Regime Permanente
O ponto de partida para a demonstração é a diferença entre a equação instantânea
de conservação da quantidade de movimento e a equação média.
j
ji
iij
j xt
xpuu
x �
��
�
���
�
� )(�
j
jiji
iijijijij
j xtt
xppuuuuuuuu
x �
����
�
����������������
�
��
)()()~~~~( ���� (A.57)
)()~~( ijjiji
ijj
uutxx
puux
������
��
�
���
�
��� (A.58)
Resultando em
j
ji
iijijij
j xt
xpuuuuuu
x �
���
�
��������������
�
� )~~( ��� (A.59)
Multiplicando-se por iu �� e efetuando-se a média de Reynolds têm-se
Apêndice A 152
j
jii
iiijijij
ji x
tu
xpuuuuuuu
xu
�
�����
�
����������������
�
��� )~~( ��� (A.60)
Trabalhando o lado direito
������������
��� )~~( ijijij
ji uuuuuux
u ���
���
���
��
��
�
����
�
��� )()~()~(
22
22i
jj
ij
jij
ji
uu
xu
ux
uux
u ���
���
���
��
��
�
��
�
�����
���
���
��
��
�
��
�
������
�
�����
)()~(~
)()](~[~~
22
22
22
22
ij
ji
jjj
iji
ij
ji
jj
zero
j
jii
ji
ji
uu
xu
uxx
uuu
uux
uuxx
uuu
xuuu
���
���
�
���
(A.61)
Trabalhando o segundo termo do lado esquerdo
ji
jijiji
j
jii x
utx
ut
xt
u�
�����
�
����
��
���� (A.62)
Substituindo eq. (A.61) e (A.62) em (A.60), temos
ji
jijiji
ii
ij
jji
jijj x
ut
x
ut
xpu
uu
xxu
uuux �
�����
�
����
��
�����
����
�
��
�
�������
�
� )(~
)~(2
2���� (A.63)
Porém, por definição têm-se:
����
����
ji
ji xut (A.64)
Então a eq. (A.47) pode ser escrita como
������ ��
���������������
�
��
�
�������
�
�
iiiijiji
jji
jijj x
puuuuutxx
uuuux
)(~
)~(21 (A.65)
Apêndice A 153
8ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Transporte da Taxa de Dissipação da Energia
Cinética Turbulenta - Regime Permanente
Por definição:
j
i
j
i
xu
xu
�
���
�
������ (A.66)
Sejam as equações de conservação da quantidade de movimento apresentadas por
(A.7) e (A.11). Para se obter a equação de transporte de � deve-se efetuar a
seguinte operação:
l
i
l xu
x �
����
�
� )]7.A()11.A[(� (A.67)
Obtêm-se a seguinte expressão:
��
���
�
�
�
��
�
�������
�
�
�
��
�
�����
�
�
�
�
l
iij
jll
iij
jll
iij
jl xu
uuxxx
uuu
xxxu
uuxx
)]~~([)]([)]~([ ������
��
�����
�
�
��
�
�
��
�
��
�
����
�
�
�
�
�
�����
�
�
�
��
l
i
j
ij
ll
i
ill
iij
jl xu
xt
xxu
pxxx
uuu
xx���� ][)]~([
l
iij
jl xu
uuxx �
�������
�
�
�
�� )]([ ��
(A.68)
A expressão acima contêm vários termos que necessitam de tratamento
algébrico. A hipótese básica para a simplificação de alguns termos é de que a
produção de energia cinética turbulenta tem que ser compensada pela sua taxa de
dissipação. Assim, analisando-se os termos de fonte da eq. (A.65), a eq. (A.68)
pode ser expressa por:
���
�
�
��
�
�
�
�
�
���
�
���
�
�
�
�
�
�
��
�
�
i
j
il
ij
jjj
j xu
xp
xu
uxx
ux
����
��� 2)~(2
���
�
���
�
���
�
�
��
���
�
���
�
���
�
�
��
�
���
�
���
�
� ���
������
li
jli
jii
ji
ij xu
xxu
xxpu
xu
uuk
C ���� 21
~
(A.69)
Apêndice A 154
9ª DEMONSTRAÇÃO: Equação de Estado – Gases Perfeitos
A equação instantânea dos gases perfeitos é expressa por:
���
l l
l
MmTp � (A.70)
Assim, pode-se escrever
����
�������
l l
ll
MmmTTpp )~()~(� (A.71)
Efetuando-se a média de Reynolds no tempo da eq. (A.71) e desprezando-se as
correlações entre flutuações de temperatura e fração em massa têm-se:
�����
�������
����
l l
ll
l l
ll
MmmT
MmmTpp )~()~(~
�� ����
l l
l
MmTp~~
� (A.72)
APÊNDICE B B.1 Implementação das Condições de Contorno
Foi definido que o domínio computacional têm até seis tipos de regiões
onde as condições de contorno são estabelecidas: entrada, saída, simetria,
superfície do combustível sólido, interior do combustível sólido (região
bloqueada) e paredes adiabáticas. Também foi mencionado no capítulo 4 que o
tipo de condição de contorno ou região irá influenciar na implementação dos
coeficientes de difusão (�
� ) para alguns pontos, bem como pode determinar a
inclusão de fontes adicionais ( adcS , e adpS , ) nas equações discretizadas de
conservação e transporte das variáveis. Nesse apêndice serão mostrados alguns
detalhes da implementação das condições de contorno de acordo com o tipo de
região no domínio computacional.
B.1.1 Entrada
No capítulo 4 foi mostrado que na entrada as variáveis têm valores
definidos, obtidos por estimativa ou parâmetros de projeto. Portanto, na entrada
não há necessidade de fontes adicionais ou alterações nos coeficientes de difusão
nas equações discretizadas de conservação ou transporte de nenhuma variável.
B.1.2 Simetria e Saída
Na linha de simetria, a condição de contorno para todas as variáveis � ,
exceto a velocidade radial, consiste em gradiente nulo na direção radial. Para a
componente radial da velocidade temos valor nulo na simetria.
Para a saída do domínio computacional adotou-se como condição de
contorno desprezar o fluxo difusivo na direção axial de todas as variáveis. A
maneira mais simples de implementar um gradiente nulo (ou fluxo difusivo nulo)
Apêndice B
156
é definir o valor do coeficiente de difusão como nulo. Então, na simetria os
valores de �
� devem ser nulos para todas as variáveis, exceto v, e na saída os
valores de �
� devem ser nulos para todas as variáveis. Não são necessárias fontes
adicionais nesse caso. A Tabela B.1 apresenta o resumo das condições de
contorno na simetria e saída:
Velocidade Radial – v~ Demais variáveis
Coeficiente de difusão Fontes Adicionais Coeficiente
de difusão Fontes Adicionais
v� adcS , adpS , �
� adcS , adpS ,
Simetria Não é alterado 0 0 0 0 0
Saída 0 0 0 0 0 0
Tabela B.1 - Implementação das condições de contorno na saída e eixo de simetria.
B.1.3 Paredes Adiabáticas
Foi mostrado, até o momento, como funciona a implementação das
condições de contorno no caso de variáveis com valores definidos e variáveis cujo
fluxo difusivo é nulo. No capítulo 4 foram estabelecidas as condições de contorno
para as paredes adiabáticas. A principal novidade nesse tipo de região são as
funções de parede. Inicialmente, a título de ilustração, a fig. B.1 mostra um
modelo de distribuição da malha computacional numa região próxima à parede da
câmara de mistura posterior (uma das paredes adiabáticas).
Figura B.1 - Malha computacional próximo à parede da câmara de mistura posterior.
Utilizando-se as expressões deduzidas para a tensão de cisalhamento na
parede em função de �
Py , pode-se implementar a lei da parede para a velocidade
u~ . Uma vez que existe ponto nodal sobre a parede (como é o caso da parede da
●
●
● ● ●
● ●
●●
●
●
●
P (I,J)
δ
Parede da CMP
Apêndice B
157
câmara de mistura posterior mostrado na fig. B.1), o procedimento consiste em
alterar o valor de gama na parede para a variável u~ ( wu ,� ) utilizando-se as
expressões abaixo:
Se 5,11��
Py lamwu ���� , (B.1)
Se 5,11��
Py)ln(1,
�
�
���
P
Plamwu
Ey
y
�
� (B.2)
De forma análoga, deduz-se expressões para a implementação da lei da
parede para a velocidade v na parede vertical do degrau na entrada do combustor.
Se 5,11��
Px lamwv ���� , (B.3)
Se 5,11��
Px)ln(1,
�
�
���
P
Plamwv
Ex
x
�
� (B.4)
Na região próxima à parede considera-se gradiente nulo da energia cinética
em relação a direção normal à parede, conforme discutido no capítulo 4. Foi
mostrado ainda que, considerando equilíbrio entre produção e destruição de
energia cinética e considerando o perfil logarítmico de velocidade, pode-se
determinar a dissipação da energia cinética turbulenta no ponto logo acima da
parede.
P
PP y
kC�
��
2/34/3
� (B.5)
Assim, as condições de contorno adotadas para k e � , de acordo com as
funções de parede, implicam em adotar gradientes nulos nas paredes para ambas
as variáveis (definindo 0,, ���� wwk �) e fixar ���
�/2/34/3
PP kC� para o valor
da taxa de dissipação da energia cinética turbulenta no primeiro ponto nodal logo
acima da parede. Isso foi feito, definindo-se os seguintes valores para as fontes do
primeiro ponto acima da parede na equação discretizada de transporte de � :
3010��pS e 302/34/3
10.��
� Pc
kCS � (B.6)
No caso das paredes adiabáticas, o fluxo difusivo das variáveis H~ , f~ e gf
através das paredes é nulo. Portanto, basta definirmos 0,,~,~ ������ wgwfwH f.
Não existem fontes adicionais para essas variáveis nesse caso.
Apêndice B
158
A Tabela B.2 resume a implementação das condições de contorno nas
paredes do degrau na entrada da câmara de combustão e paredes da câmara de
mistura posterior - CMP.
Variável Parede Condição de contorno w,�
� adcS , adpS .
Degrau u~ = 0 0 0 0
u~ CMP u~ =0
5,11��
Py
lamwu ���� ,
5,11��
Py
)ln(1,�
�
���
P
Plamwu
Ey
y
�
�
0 0
Degrau 0~�v
5,11��
Px
lamwv ���� ,
5,11��
Px
)ln(1,�
�
���
P
Plamwv
Ex
x
�
� 0 0 v~
CMP 0~�v 0 0 0
Degrau �k 0��
�
xk
0 0 0 k
CMP �k 0��
�
rk
0 0 0
Degrau 0�
�
��
x�
�
����
/2/34/3PP kC�
0 3010.P� 3010�
�
CMP 0�
�
��
r�
�
����
/2/34/3PP kC�
0 3010.P� 3010�
Degrau 0~�
�
�
xH
0 0 0 H~
CMP 0~�
�
�
rH
0 0 0
Degrau 0~�
�
�
xf
0 0 0 f~
CMP 0~�
�
�
rf
0 0 0
Degrau gf = 0 0 0 0 gf CMP gf = 0 0 0 0
Tabela B.2 - Implementação das condições de contorno nas paredes da câmara de mistura posterior e do degrau na entrada do combustor.
Apêndice B
159
A parede vertical do combustível sólido também foi considerada adiabática,
conforme discutido no capítulo 4. O tratamento dessa parede é um pouco diferente
das outras duas anteriores, visto que, nesse caso não existem pontos nodais sobre
a mesma. A fig. B.2 mostra a malha computacional próximo à parede vertical do
combustível sólido.
Região do combustível sólido
_____ Parede vertical do combustível sólido Figura B.2 - Malha computacional próximo à parede vertical do combustível sólido.
Nesse caso, a única diferença com relação às paredes adiabáticas anteriores
reside na implementação da lei da parede para v~ . Como não existe ponto nodal
sobre a parede, utiliza-se o artifício das fontes adicionais na equação discretizada
de conservação da quantidade de movimento para v~ . O procedimento consiste em
se definir o coeficiente de difusão da variável no primeiro ponto interno próximo a
parede (W) como nulo, isto é, 0, �� Wv . Daí, introduz-se a força de cisalhamento
na parede ( celww AF ��� ) como fonte adicional na equação discretizada de
conservação da quantidade de movimento para v~ no ponto P. Assim, tem-se
Se 5,11��
Px 0, ��� Wv e �
� cellamadp
AS ��, (B.7)
●
●
● ● ●
● ●
●●
●
●
●
P (I,J)δ
● ● ● ●
W (I-1,J)
Apêndice B
160
Se 5,11��
Px 0, ��� Wv e cel
P
Plam
adp AEx
x
S)ln(1(
.�
�
��
�
��
(B.8)
onde Acel é a área da face do volume de controle em contato com a parede para P.
A Tabela B.3 resume a implementação das condições de contorno para as
variáveis na parede vertical do combustível sólido.
Variável Condição de contorno W,�
� adcS , adpS .
u~ 0~�u 0 0 0
v~ 0~�v 0 0
Se 5,11��
Px
�� cel
lamadpAS ��� ,
Se 5,11��
Px
cel
P
Plam
adp AEx
x
S)ln(1(
.�
�
���
�
��
k �k 0��
�
xk
0 0 0
� 0�
�
��
x�
�
����
/2/34/3PP kC�
0 3010.P� 3010�
H~ 0~�
�
�
xH
0 0 0
f~ 0~�
�
�
xf
0 0 0
gf gf = 0 0 0 0 Tabela B.3 - Implementação das condições de contorno na parede vertical do combustível sólido. B.1.4 Superfície do Combustível Sólido
A título de ilustração, a fig. B.3 mostra um modelo de malha computacional
na região próxima à superfície do combustível sólido. Da mesma forma que na
parede vertical do combustível sólido, na sua superfície também não existem
pontos nodais da malha computacional.
Apêndice B
161
Região do combustível sólido - fg (fuel grain)
_____ Superfície do combustível sólido - bw (blowing wall) Figura B.3 - Malha computacional próximo à superfície do combustível sólido.
Foram deduzidas as eq. (4.31) e (4.32) para a tensão de cisalhamento na
parede no caso de blowing. Após o cálculo de bw� pode-se implementar uma lei
da parede modificada para a velocidade u~ na superfície do combustível sólido.
Uma vez que os pontos nodais não coincidem com a superfície (como mostrado
na fig. B.3), o procedimento consiste em definir 0, �� Nu e introduzir a força de
cisalhamento na parede ( celbwbw AF ��� ) como fonte adicional na equação
discretizada de conservação da quantidade de movimento para u~ no ponto P.
Assim, tem-se:
Se 5,11��
Py 0, ��� Nu e BP
BPAS cel
lamadp)1ln(
,�
��
�� (B.9)
Se 5,11��
Py 0, ��� Nu e BP
BP
Ey
yA
SP
Pcel
lam
adp)1ln(
)ln(1(.
�
��
�
�
�
��
(B.10)
onde Acel é a área da face do volume de controle em contato com a parede para P.
Foi mostrado que as condições de contorno para � , � e fg nas paredes
sem transferência de massa também podem ser aplicadas à superfície do
combustível sólido, portanto a implementação segue a metodologia adotada para
as paredes adiabáticas da câmara de mistura posterior.
●
●
● ● ●
● ●
●●
●
●
●
P (I,J)
δ
● ● ● ●
fg
bw
N (I,J+1)
Apêndice B
162
Para as variáveis escalares conservativas, as condições de contorno são
expressas pelas eq. (4.33) e (4.34). Na implementação dessas condições de
contorno adotou-se o mesmo procedimento usado na lei da parede para a
velocidade u. O coeficiente de difusão no ponto N será nulo para ambas as
variáveis. A condição de contorno é introduzida como termo de fonte adicional
para o ponto P nas equações discretizadas de conservação e transporte de H~ e f~ ,
respectivamente, na forma geral:
celPcbwccelbw
cad AgA
rS
c)(. ,, ��
�� ���
�
���
�
��
celbwcadc AgS ,, ��� e celadp gAS ��,
(B.11)
onde Acel é a área da face do volume de controle em contato com a parede para P.
A Tabela B.4 resume a implementação das condições de contorno para a
superfície do combustível sólido.
Variável Condição de contorno N,�
� adcS , adpS .
u~ 0~�u 0 0
Se 5,11��
Py
BPBPAS cel
lamadp)1ln(
,�
���
��
Se 5,11��
Py
BPBPA
Ey
y
S cel
P
Plam
adp)1ln(
)ln(1(.
����
�
�
�
��
v~ wvv ~~� 0 0 0
k �k 0��
�
xk
0 0 0
� 0�
�
��
x�
�
����
/2/34/3PP kC�
0 3010.P� 3010�
H~ 0~�bwH 0 0
Se 5,11��
Py
BPBPAS cel
lamadp)1ln(
,�
���
��
Se 5,11��
Py
BPBPA
Ey
y
S cel
P
Plam
adp)1ln(
)ln(1(.
����
�
�
�
��
gf gf = 0 0 0 0
Apêndice B
163
Variá-vel
Condição de
contorno N,�
� adcS , adpS .
f~ 1~�bwf
0
Se 5,11��
Py
BPBPA
S cellamadc
)1ln(,
���
��
Se 5,11��
Py
BPBPA
Ey
y
S cel
P
Plam
adc)1ln(
)ln(1(.
���
�
�
�
��
Se 5,11��
Py
BPBPAS cel
lamadp)1ln(
,�
���
��
Se 5,11��
Py
BPBPA
Ey
y
S cel
P
Plam
adp)1ln(
)ln(1(.
����
�
�
�
��
Tabela B.4 - Implementação das condições de contorno na superfície do combustível
sólido.
B.1.5 Interior do Combustível Sólido
Considerou-se como a região do interior do combustível sólido aquela na
qual todas as variáveis têm valores definidos e constantes, uma vez que não há
escoamento dentro dela e a mesma foi admitida isotérmica. Essa região é o que se
costuma chamar na literatura de "região bloqueada"(58). Existem duas maneiras de
se tratar essa região. A primeira é estipular um valor bastante alto para o
coeficiente de difusão (no presente trabalho adotou-se o valor de 1030) das
variáveis, tomando-se cuidado com as regiões próximas à superfície do
combustível sólido, onde as leis da parede foram aplicadas. Dessa forma, todas as
informações da fronteira são passadas para o interior do domínio computacional.
A segunda consiste em adotar coeficientes de difusão nulos em toda região e fixar
os valores das variáveis com o uso das fontes dominantes. Assim, se uma variável
deve ter um valor P� num ponto P da malha computacional dentro da região
bloqueada, então 0, �� P� e as fontes para o mesmo ponto serão dadas por:
PcS ��
30, 10� e 30
, 10���pS . Após a solução numérica ter atingido o critério de
convergência, essa região é novamente "decorada", fazendo com que as variáveis
assumam seus valores corretos dentro dela.