anÁlise combinatÓria fatorial 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2...
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 62! = 2.1 = 2
1! = 1
0! = 1 CONVENÇÃO
Exemplo: Calcular o valor de:
a) 4! + 3! b) 7!
24 + 6
30
7.6.5.4.3.2.1
5040
Observe que:
4!+3! 7!
c)
!8
!10
n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1
=8!
10.9.8! 90=
d)
!49
!49!50
– 49!
49!
50.49!
49! (50 – 1)
49!
49
O conjunto solução de:
210)!1(
)!1(
n
n é:
(n – 1)!= 210
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
(n + 1).n.(n – 1)!
(n + 1).n = 210
n2 + n – 210 = 0
n’ = 14 n’’ = - 15(não convém)
Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação(m – 3)! = 1
(m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!
m – 3 = 1
m = 4
m – 3 = 0
m = 3
Logo a soma dos valores de m é 7
210)!1(
)!1(
n
n
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.
Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que:E1 é o número de possibilidades da 1ª EtapaE2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : :En é o número de possibilidades da n-ésima EtapaEntão E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer.
Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)
2626 26 1010 10 10 = 175. 760. 000
Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podemser formados ?
Alguns números possíveis
244 3215244 5138244 0008244 2344244 0000:::
Usando o princípio fundamental da contagem:
2441010 1010
= 10 000 números
fixo
Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?
99100= 9900 maneiras
USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
Pn = n!p)!(n
! np
nA
p!p)!(n
! np
nC
FORMULÁRIO
01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é:
n = 8 “total”
p = 2 “usa”
AC
Corda AC = CA
COMBINAÇÃO
p!p)!(n
! np
nC
28
2)!2!(8! 82
8C
USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO
ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine:
USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO
ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
a) Total de Anagramas
Pn = n!
P6 = 6!
P6 = 720
b)O número de anagramas que começam em “N” e terminam em “O”
N O
{U, M, E, R}
P3 . P4
3!.4! 6 . 24 = 144
c)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas.
N U M E R O X E R O
d)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas e nessa ordem.
P4 = 4! = 24
04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento)
USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO
ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
210!2!2!3
!73,2,27P
05) ( ITA ) O número de soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:
56!3!5
!85,38P
06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é:
USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO
ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
n = x “total”
p = 2 “usa”
COMBINAÇÃO
p!p)!(n! np
nC
2)!2!(x!x 28
José – Carlos Carlos – José
2)!2.1(x2)-1)(x-x(x28
56 = x2 - x
x2 – x – 56 = 0
x = 8
07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é:
USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO
ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
432xC2
6C
432)!2!(x!x
2)!2!(6! 6
432)!2.1(x
2)-1)(x-x(x15
x2 – x =56
x2 – x – 56 = 0
x = 8
USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO
ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
Importa ordem
Não Importa ordem
08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
2xA01. A equação = 12 não possui solução.
12!2)(x
!2)1)(xx(x
12!2)(x
!x
12A2x
x(x – 1) = 12 x2 – x – 12 = 0 x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve).
F
02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas
Pn = n!
P4 = 4! = 24V
04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30.
20020.10
36C.2
5C
Fou +e x
08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56.
78=336
ARRANJO P.F.C
6
F
09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros.
02. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (não considere o acento)
04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos.
08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180.
1050.2105!4!.6
!10.
!!.14
!5C.C 4
1015 F
3!2
!3P2
3 F
220!3.!9
!12C3
12 F
Terminados em 2
Terminados em 6
120!3
!6P3
6
60!.2!3
!6P3,2
6
TOTAL: 180 V