UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

CONCENTRAÇÃO EM ESTATÍSTICA

Trabalho Final

Análise Real

Manaus

23 de dezembro de 2015

MARCOS LUIZ DA SILVA ANDRADE

NATAN SANT ANNA BORGES

Exercícios apresentados ao Professor Doutor

Fernando Vera na disciplina Análise Real do

Programa de Pós Graduação em Matemática

com Área de Concentração em Estatística.

Manaus/AM

23 de dezembro de 2015

Questão 5

Seja p : R→ R um polinômio de grau ímpar. Existe c ∈ R tal que p′′(c) = 0

Solução:

Seja

p(x) =n∑

k=0

akxk

Sabemos que xn é o termo de mais alto grau, como [xn]′′ = n(n− 1)xn−2, Sabemos que n

é ímpar, logo (n − 2) também será ímpar, daí p′′(x) é polinômio de grau ímpar e existe

c ∈ R tal que p′′(c) = 0

Questão 14

Seja f : I → R derivável num intervalo arbitrário I. Se f ′(x) = 0 para todo x ∈ I então

f é constante.

Solução:

Sejam dois pontos a e b em I, com b > a pelo Teorema do Valor Médio, existe c ∈ I tal

que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a= 0, logo temos que ter f(b)− f(a) = 0, logo f(b) = f(a) o que

implica a função ser constante, dada a arbitrariedade dos pontos a e b escolhidos em I.

Questão 23

Seja f, g : [a, b]→ R contínuas e deriváveis no intervalo (a, b). Então existe c ∈ (a, b), tal

que [f(b)− f(a)]g′(c) = [g(b)− g(a)]f ′(c).

Solução:

Definimos h(x) = [f(b)− f(a)]g(x)− [g(b)− g(a)]f(x), vale h(a) = h(b)

h(a) = [f(b)− f(a)]g(a)− [g(b)− g(a)]f(a)

1

h(b) = [f(b)− f(a)]g(b)− [g(b)− g(a)]f(b)

Subtraindo, h(b)− h(a)

= [f(b)− f(a)]g(b)− [g(b)− g(a)]f(b)− [f(b)− f(a)]g(a) + [g(b)− g(a)]f(a)

= [f(b)− f(a)][g(a)− g(b)] + [g(b)− g(a)][f(b)− f(a)] = 0

Pelo teorema de Rolle existe c ∈ [a, b] tal que h′(c) = 0, portanto

h′(c) = [f(b)− f(a)]g′(c)− [g(b)− g(a)]f ′(c)

Como h′(c) = 0, Então

[f(b)− f(a)]g′(c)− [g(b)− g(a)]f ′(c) = 0

⇒ [f(b)− f(a)]g′(c) = [g(b)− g(a)]f ′(c)

2