análise espacial análise de padrões de Área

Análise EspacialAnálise Espacial Análise de Padrões de ÁreaAnálise de Padrões de Área

INPE - Divisão de Processamento de INPE - Divisão de Processamento de ImagensImagens

Curso de Análise Espacial de Dados Geográficos Curso de Análise Espacial de Dados Geográficos - Análise de Padrões de Área- Análise de Padrões de Área

22Maio/2001Maio/2001

OrganizaçãoOrganização• IntroduçãoIntrodução

• Técnicas de ESDATécnicas de ESDA

• Matrizes de Proximidade EspacialMatrizes de Proximidade Espacial

• Média Espacial MóvelMédia Espacial Móvel

• Indicadores Globais de Autocorrelação EspacialIndicadores Globais de Autocorrelação Espacial

– Índice Global de Moran (Índice Global de Moran (I I ) e Geary () e Geary (cc))

• Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA)Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA)

– Índice Local de MoranÍndice Local de Moran ( (IIii ))

– Os índices GOs índices Gii e G e Gii**

• Exemplos Práticos com o Sistema SpringExemplos Práticos com o Sistema Spring



IntroduçãoIntrodução

• No caso da análise de padrões de áreas, a distribuição No caso da análise de padrões de áreas, a distribuição de eventos está associada a áreas (polígonos).de eventos está associada a áreas (polígonos).

• Objetivo de análise será determinar a existência de um Objetivo de análise será determinar a existência de um padrão espacial nos valores agregados aos polígonos.padrão espacial nos valores agregados aos polígonos.

Disparidade SocialDisparidade Social

Percentual de Idosos na cidade de São Paulo.Percentual de Idosos na cidade de São Paulo.

Existe algum padrão espacial ?Existe algum padrão espacial ?

Que fatores explicam essa distribuição ?Que fatores explicam essa distribuição ?




Distribuição da Mortalidadepor Município no Estado da Bahia

Ano - 1997

0 - 50

50 - 250

250 - 500

500 - 1000

2000 - 13000

1000 - 2000

FONTE : www.datasus.gov.br

Salvador

• A forma usual de apresentação dos padrões de áreas é A forma usual de apresentação dos padrões de áreas é através de mapas coroplético.através de mapas coroplético.



• Mapas Cadastrais (poligonais)Mapas Cadastrais (poligonais)– Objetos: entidades do mundo real Objetos: entidades do mundo real (Ex: Estados, Municipios, (Ex: Estados, Municipios,

Bairros, etc...)Bairros, etc...)

– Atributos: valores agregados aos objetos.Atributos: valores agregados aos objetos.




Técnicas de ESDA Técnicas de ESDA (Exploratory Spatial Data Analysis)(Exploratory Spatial Data Analysis)

• ESDA: “Coleção de técnicas para descrever e visualizar distribuições ESDA: “Coleção de técnicas para descrever e visualizar distribuições espaciais, identificar situações atípicas, descobrir padrões de associação espaciais, identificar situações atípicas, descobrir padrões de associação espacial, clusters e sugerir regimes espaciais ou formas de heterogeneidade espacial, clusters e sugerir regimes espaciais ou formas de heterogeneidade espacial” espacial” (Anselin).(Anselin).

1- Visualização de distribuição espacial1- Visualização de distribuição espacial– técnicas convencionais de visualização cartográfica, estatísticas não-técnicas convencionais de visualização cartográfica, estatísticas não-

espaciais.espaciais.

2- Indicadores Globais de Autocorrelação2- Indicadores Globais de Autocorrelação– explorar a dependência espacial, mostrando como os valores estão explorar a dependência espacial, mostrando como os valores estão

correlacionados no espaço.correlacionados no espaço.– O conceito utilizado é o de autocorrelação espacial.O conceito utilizado é o de autocorrelação espacial.– Ex. Ex. Indicadores Globais: Moran’s I, Geary’s CIndicadores Globais: Moran’s I, Geary’s C

3- Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA) 3- Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA)

Identificação de: Identificação de: - “Clusters”: objetos com valores de atributos semelhantes,- “Clusters”: objetos com valores de atributos semelhantes,

-- “Outliers”: objetos anômalos,“Outliers”: objetos anômalos,

- A presença de mais de um regime espacial.- A presença de mais de um regime espacial.

- Ex. Indicadores Locais: Moran (I- Ex. Indicadores Locais: Moran (I ii), Getis e Ord (G), Getis e Ord (Gii e G e Gii**).).



Visualização de Padrões de ÁreaVisualização de Padrões de Área

• Agrupamento de AtributosAgrupamento de Atributos– intervalos iguaisintervalos iguais– quantisquantis– estatísticoestatístico

• Cuidados com apresentaçãoCuidados com apresentação– mapas coloridos podem levar mapas coloridos podem levar

a a

resultados distintos e resultados distintos e consequen-consequen-

temente a várias interpretações temente a várias interpretações sobre os mesmos dados.sobre os mesmos dados.

• Dados de câncer de seio na Inglaterra (1985-1989), agregados por distrito de saúde.



• Visualização com Intervalos Visualização com Intervalos IguaisIguais

– definidos pelos valores definidos pelos valores máximo e mínimo.máximo e mínimo.

– mostram a dispersão mostram a dispersão nos dados.nos dados.

– ““outliers” podem outliers” podem mascarar diferenças.mascarar diferenças.




– cada agrupamento cada agrupamento contém número igual de contém número igual de elementoselementos

– conceito de ordenaçãoconceito de ordenação– e.g: 25% melhores e e.g: 25% melhores e

25% piores25% piores

• Visualização por QuantisVisualização por Quantis



1010Maio/2001Maio/2001

– dispersão em torno da médiadispersão em torno da média– quebras: 1 dp, 1/2 dpquebras: 1 dp, 1/2 dp– caracteriza o comportamento caracteriza o comportamento

da variávelda variável

• Visualização por Desvios Visualização por Desvios PadrãoPadrão



1111Maio/2001Maio/2001

Visualização de Padrões de ÁreaVisualização de Padrões de Área• Cuidados com apresentação mapas coloridos podem esconder Cuidados com apresentação mapas coloridos podem esconder diferenças.diferenças.


1212Maio/2001Maio/2001

Visualização de Padrões de ÁreaVisualização de Padrões de Área• Cuidados com apresentação mapas coloridos podem esconder Cuidados com apresentação mapas coloridos podem esconder diferenças.diferenças.


1313Maio/2001Maio/2001

Explorando Dados de ÁreaExplorando Dados de Área

• Efeitos de Primeira OrdemEfeitos de Primeira Ordem – Média Espacial MóvelMédia Espacial Móvel

• Dependência Espacial GlobalDependência Espacial Global – Efeitos de segunda ordemEfeitos de segunda ordem– Indicadores: Moran’s I, Geary’s CIndicadores: Moran’s I, Geary’s C

• Dependência Espacial LocalDependência Espacial Local– LISA (Local Indicators of Spatial Association)LISA (Local Indicators of Spatial Association) Indicadores Locais de Autocorrelação EspacialIndicadores Locais de Autocorrelação Espacial

– Indicadores: Moran Local IIndicadores: Moran Local Ii i (Anselin), G(Anselin), Gi i (Getis)(Getis)


1414Maio/2001Maio/2001

Matriz de Proximidade EspacialMatriz de Proximidade Espacial

• ConteúdoConteúdo– Matriz (n x n) Matriz (n x n) WW , cujos , cujos

elementos welementos wijij representa representa uma medida de proximidade uma medida de proximidade entre Oentre Oii e Oe Ojj

• Critérios:-Critérios:-wwijij =1, se =1, se OOii toca toca OOj j (SPRING)(SPRING)

wwijij = 1,= 1, se dist(se dist(OOii,, OOjj) < h) < h

wwijij = l = lijij/l/lii, onde l, onde lijij é o tamanho da é o tamanho da

fronteira entre fronteira entre OOi i e Oe Ojj e l e lii é o é o

perímetro de perímetro de OOii

AB

C

DE

A B C D E

A 0 1 0 1 0

B 1 0 1 1 1

C 0 1 0 0 1

D 1 1 0 0 1

E 0 1 1 1 0


1515Maio/2001Maio/2001

Média Espacial MóvelMédia Espacial Móvel

• O Método de Média Espacial Móvel é uma técnica que explora o O Método de Média Espacial Móvel é uma técnica que explora o valor médio valor médio ii do atributo na região de estudo (primeira ordem).do atributo na região de estudo (primeira ordem).

• Utilizado para mostrar padrões e tendências espaciaisUtilizado para mostrar padrões e tendências espaciais

• Seu estimador é definido como:Seu estimador é definido como:

onde:onde: WWijij é a matriz de proximidade. é a matriz de proximidade. yyii é o valor do atributo em cada área. é o valor do atributo em cada área. nn é o número de polígonos (áreas). é o número de polígonos (áreas).

nin

jij

n

jiij

i

W

yW

...,,2,1

1

1ˆ

nin

jij

n

jiij

i

W

yW

...,,2,1

1

1ˆ


1616Maio/2001Maio/2001


• No caso do método de Média Espacial Móvel considera-se No caso do método de Média Espacial Móvel considera-se também o polígono (área) em questão com os seus vizinhos. também o polígono (área) em questão com os seus vizinhos.

• Isto implica mudança na matriz de proximidade W, isto é, o valor zero é atribuído somente para pares de polígonos que não tenham fronteiras.

• Exemplo:-

AB

C

DE

A B C D E

A 1 1 0 1 0

B 1 1 1 1 1

C 0 1 1 0 1

D 1 1 0 1 1

E 0 1 1 1 1


1717Maio/2001Maio/2001


• Um exemplo teórico :-Um exemplo teórico :-

nin

jij

n

jiij

i

W

yW

...,,2,1

1

1ˆ

nin

jij

n

jiij

i

W

yW

...,,2,1

1

1ˆ

AA BB

CC DD552424

15152020

5

24

15

20

3

1

3

1

3

10

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

03

1

3

1

3

1

66,14

00,16

00,16

66,19

5

24

15

20

3

1

3

1

3

10

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

03

1

3

1

3

1

66,14

00,16

00,16

66,19 19,66 (5x0) (24x1/3) (15x1/3) (20x1/3)ˆ A 19,66 (5x0) (24x1/3) (15x1/3) (20x1/3)ˆ A

16,0 (5x1/4) (24x1/4) (15x1/4) (20x1/4)ˆ B 16,0 (5x1/4) (24x1/4) (15x1/4) (20x1/4)ˆ B

14,66 (5x1/3) (24x1/3) (15x1/3) (20x0)ˆ D 14,66 (5x1/3) (24x1/3) (15x1/3) (20x0)ˆ D

16,0 (5x1/4) (24x1/4) (15x1/4) (20x1/4)ˆ C 16,0 (5x1/4) (24x1/4) (15x1/4) (20x1/4)ˆ C

AntesAntes

AA BB

CC DD14,6614,6616,016,0

16,016,019,6619,66

DepoisDepois


1818Maio/2001Maio/2001

Média Espacial MóvelMédia Espacial Móvel• A figura abaixo ilustra um exemplo do uso do estimador de Média A figura abaixo ilustra um exemplo do uso do estimador de Média

Espacial Móvel para o percentual de idosos (mais que 70 anos) na Espacial Móvel para o percentual de idosos (mais que 70 anos) na cidade de São Paulo. Estes dados são indicadores da grande disparidade cidade de São Paulo. Estes dados são indicadores da grande disparidade social da cidade, com grande variação entre o centro (~8%) e a social da cidade, com grande variação entre o centro (~8%) e a periferia (~menos 1%).periferia (~menos 1%).

Agrupamento estatísticoAgrupamento estatístico Média Espacial MóvelMédia Espacial Móvel

Efeito de Efeito de suavizaçãosuavização


1919Maio/2001Maio/2001

Média Espacial MóvelMédia Espacial Móvel• Uma outra forma didática de apresentar a Média Espacial Móvel é por meio de Uma outra forma didática de apresentar a Média Espacial Móvel é por meio de

um gráfico de barras, em que comparamos o valor do atributo com sua média um gráfico de barras, em que comparamos o valor do atributo com sua média local.local.

Regiões onde existe disparidade entre o valorRegiões onde existe disparidade entre o valordo atributo e o valor da média local indicamdo atributo e o valor da média local indicampontos de transição entre regimes espaciais. pontos de transição entre regimes espaciais.

Atributo

Média local


2020Maio/2001Maio/2001

Mortalidade Mortalidade por homicídios por homicídios nosnosMunicípios do Municípios do RJ triênios: 79 - RJ triênios: 79 - 81 81 90 - 9290 - 92

CRUZ,O.G.,1996CRUZ,O.G.,1996

Estado do Rio de JaneiroEstado do Rio de Janeiro


• Outro exemplo:


2121Maio/2001Maio/2001

Indicadores Globais de Autocorrelação Indicadores Globais de Autocorrelação EspacialEspacial

• Como visto anteriormente a técnica de média espacial móvel é útil Como visto anteriormente a técnica de média espacial móvel é útil quando deseja-se mostrar padrões e tendências espaciais.quando deseja-se mostrar padrões e tendências espaciais.

• Para muitos tipos de dados é importante explorar a dependência Para muitos tipos de dados é importante explorar a dependência espacial,espacial,

mostrando como os valores estão correlacionados no espaço.mostrando como os valores estão correlacionados no espaço.

• O conceito mais utilizado é o de autocorrelação espacial.O conceito mais utilizado é o de autocorrelação espacial.

• Resumidamente a autocorrelação espacial mede o quanto o valor Resumidamente a autocorrelação espacial mede o quanto o valor obser-obser-

vado de um atributo numa região é independente dos valores desta vado de um atributo numa região é independente dos valores desta mes-mes-

ma variável nas localizações vizinhas.ma variável nas localizações vizinhas.

• Uma das formas de detecção de similaridade entre áreas é através doUma das formas de detecção de similaridade entre áreas é através do índice global de Moran índice global de Moran I.I.


2222Maio/2001Maio/2001


• O índice global de Moran’s O índice global de Moran’s II é definido como (Moran, é definido como (Moran, 1950):1950):

onde:onde:

– nn corresponde ao número de áreas, corresponde ao número de áreas,

– yyii é o valor do atributo considerado na área é o valor do atributo considerado na área ii,,

– representa o valor médio do atributo na região de estudo,representa o valor médio do atributo na região de estudo,

– wwijij são os pesos atribuídos conforme a conexão entre as áreas são os pesos atribuídos conforme a conexão entre as áreas ii e e jj..

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nI

1

1 1

1 1

2

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nI

1

1 1

1 1

2

yy


2323Maio/2001Maio/2001


• O índice global de Moran (O índice global de Moran (I I ): ): O que é necessário entender ?O que é necessário entender ?

• Qual o significado do valor do índice global de Moran ( Qual o significado do valor do índice global de Moran ( II ) ? ) ?

• Como interpretar a equação acima ?Como interpretar a equação acima ?

• Qual sua siginificância ou validade estatística ? Como Qual sua siginificância ou validade estatística ? Como avaliar ?avaliar ?

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nI

1

1 1

1 1

2

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nI

1

1 1

1 1

2


2424Maio/2001Maio/2001


• O significado do valor do índice global de Moran (O significado do valor do índice global de Moran (I I ))

• É análogo ao coeficiente de correlação convencional, porque têm É análogo ao coeficiente de correlação convencional, porque têm em seu numerador um termo que é produto de momento.em seu numerador um termo que é produto de momento.

• Como um coeficiente de correlação, os valores de Como um coeficiente de correlação, os valores de II também também variam de:variam de:

-1 a +1, quantificando o grau de autocorrelação espacial -1 a +1, quantificando o grau de autocorrelação espacial existente.existente.

-1 autocorrelação espacial negativa ou inversa. -1 autocorrelação espacial negativa ou inversa. 0 significa aleatoriedade0 significa aleatoriedade +1 significa autocorrelação espacial positiva ou direta.+1 significa autocorrelação espacial positiva ou direta.

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nI

1

1 1

1 1

2

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nI

1

1 1

1 1

2


2525Maio/2001Maio/2001


• Interpretação da equação do índice global de Moran (Interpretação da equação do índice global de Moran (I I ))

• Consideremos o exemplo que segue:Consideremos o exemplo que segue:

5,50

4

165162416151620 22222

2

n

yyVariância

n

ii

1

5,504

165162416151620 22222

2

n

yyVariância

n

ii

1

164

5241520

yMédia 16

4

5241520

yMédia

1063,75,502 PadrãoDesvio 1063,75,502 PadrãoDesvio

AA BB

CC DD552424

15152020

A B C D

A 0 1 1 0

B 1 0 1 1

C 1 1 0 1

D 0 1 1 0

Matriz de ProximidadeMatriz de Proximidade


2626Maio/2001Maio/2001

• Dado que o índice global de Moran (Dado que o índice global de Moran (II))

• A equação de A equação de II pode ser simplificada quando normalizamos os pode ser simplificada quando normalizamos os atributos [atributos [NN((=0 e =0 e =1)=1)] e alteramos a matriz de proximidade ] e alteramos a matriz de proximidade WW, , de forma que a soma dos elementos de cada linha seja igual a 1.de forma que a soma dos elementos de cada linha seja igual a 1.


n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nI

1

1 1

1 1

2

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

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1

1 1

1 1

2

n

ii

n

i

n

jjiij

z

zzw

I

1

1 1

2

n

ii

n

i

n

jjiij

z

zzw

I

1

1 1

2

yyz i

i

yyz i

i

A B C D

A 0 1 1 0

B 1 0 1 1

C 1 1 0 1

D 0 1 1 0

A B C D

A 0 1/2 1/2 0

B 1/3 0 1/3 1/3

C 1/3 1/3 0 1/3

D 0 1/2 1/2 0


2727Maio/2001Maio/2001

• Voltando ao exemploVoltando ao exemplo


n

ii

n

i

n

jjiij

z

zzw

I

1

1 1

2

n

ii

n

i

n

jjiij

z

zzw

I

1

1 1

2

A B C D

A 0 1/2 1/2 0

B 1/3 0 1/3 1/3

C 1/3 1/3 0 1/3

D 0 1/2 1/2 0

AA BB

CC DD552424

15152020

yyz i

i

yyz i

i

zA = 0,5628

zC = 1,1257

zD = -1,5479

zB = -0,1407

1063,7

0,16

y

1063,7

0,16

y

08712,01088,000,0

5808,000527,02111,0

0725,00527,000264,0

03167,00396,00

3959,27424,12177,08711,0

7424,12672,11583,06335,0

2177,01583,00197,00792,0

8711,06335,00792,03167,0

*

02

1

2

10

3

10

3

1

3

13

1

3

10

3

1

02

1

2

10

08712,01088,000,0

5808,000527,02111,0

0725,00527,000264,0

03167,00396,00

3959,27424,12177,08711,0

7424,12672,11583,06335,0

2177,01583,00197,00792,0

8711,06335,00792,03167,0

*

02

1

2

10

3

10

3

1

3

13

1

3

10

3

1

02

1

2

10

9143,01 11 1

n

i

n

jij

n

i

n

jjiij Mzzw 9143,0

1 11 1

n

i

n

jij

n

i

n

jjiij Mzzw 4

1

2

n

iiz 4

1

2

n

iiz 288,0

4

9143,0

I 288,0

4

9143,0

I

wwijij zzi i zzjj MMijij** ==


2828Maio/2001Maio/2001

• A siginificância do índice de Moran (A siginificância do índice de Moran (II)). . Como avaliar ?Como avaliar ?

• Um dos aspectos mais relevantes com relação ao índice de Moran Um dos aspectos mais relevantes com relação ao índice de Moran ((I)I) é estabelecer sua validade estatística. Em outras palavras: é estabelecer sua validade estatística. Em outras palavras: será que os valores medidos representam correlação espacial será que os valores medidos representam correlação espacial significativa ?significativa ?

• Para estimar a significância de Para estimar a significância de II, será preciso associar a este uma , será preciso associar a este uma distribuição estatística, para tanto, duas abordagens são distribuição estatística, para tanto, duas abordagens são possíveis:possíveis:

• Teste de pseudo-significância (experimento aleatório).Teste de pseudo-significância (experimento aleatório).

• Distribuição aproximada (hipótese da normalidade).Distribuição aproximada (hipótese da normalidade).



2929Maio/2001Maio/2001

• A validade estatística do índice de Moran (A validade estatística do índice de Moran (II)) sob o teste de pseudo-significância.sob o teste de pseudo-significância.

• Se o índice Se o índice II efetivamente medido corresponder a um “ efetivamente medido corresponder a um “extremoextremo” da distribuição simulada, então trata-se de evento com significância estatística.” da distribuição simulada, então trata-se de evento com significância estatística.


Distribuiçãosimulada

extr

emo

extr

emo


3030Maio/2001Maio/2001

• A validade estatística do índice de Moran (A validade estatística do índice de Moran (II)) sob a sob a distribuiçãodistribuição

aproximada.aproximada.

• Para um número suficiente de sub-regiões o índice Para um número suficiente de sub-regiões o índice II tem uma tem uma distribuição amostral que é aproximadamente normal, dada por:distribuição amostral que é aproximadamente normal, dada por:

onde:onde: n = número de regiões,n = número de regiões,


)1(

1)(

nIE

)1(

1)(

nIE

22

221

22

)1)(1(

2)1()1(

o

o

Snn

SSnnSnn

22

221

22

)1)(1(

2)1()1(

o

o

Snn

SSnnSnn

jiparawS ijo jiparawS ijo jiparawwS ijij 2

1 jiparawwS ijij 21

jiparawwS ijij 2

2 jiparawwS ijij 2

200

Normal PadrãoNormal Padrão

1,961,96-1,96-1,96

95%

)(IEI

IN

)(IEI

IN

Índice Moran NormalizadoÍndice Moran Normalizado


3131Maio/2001Maio/2001

• Um outro indicador global de autocorrelação espacial Geary Um outro indicador global de autocorrelação espacial Geary ((cc)), é definido como (Geary, 1954):, é definido como (Geary, 1954):

• Os termos da equação acima seguem as definições de Os termos da equação acima seguem as definições de Moran’s Moran’s I.I.

• O indicador Geary (O indicador Geary (cc)) normalmente assume valores entre 0 a normalmente assume valores entre 0 a 3.3.– cc =0, indica autocorrelação espacial positiva ou direta, =0, indica autocorrelação espacial positiva ou direta,– cc =1, não há autocorrelação (aleatoriedade). =1, não há autocorrelação (aleatoriedade).– cc >1, autocorrelação espacial negativa ou inversa. >1, autocorrelação espacial negativa ou inversa.


n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nc

1

1 1

1 1

2

2

2

1

n

ii

n

i

n

jjiij

n

i

n

jij yy

yyyyw

w

nc

1

1 1

1 1

2

2

2

1


3232Maio/2001Maio/2001

Km.

0 100 200

S

São Paulo

Minas Gerais

EspíritoSanto

Rio de JaneiroN

LO

LEGENDA

classes (n de municípios)

0,95 a 1,906 (28)

1,906 a 2,862 (209)

2,862 a 3,818 (460)

3,818 a 4,774 (223)

4,774 a 5,73 (64)

0 óbitos (448)

Capitais

Mortalidade por Homicídios - Municípios do SUDESTEMortalidade por Homicídios - Municípios do SUDESTE


Fonte: Carvalho, M. S., 1998.Fonte: Carvalho, M. S., 1998.FIOCRUZ - RJFIOCRUZ - RJ


3333Maio/2001Maio/2001

-0.2-0.2

0.00.0

0.20.2

0.40.4

0.60.6

ES

00 100100 200200 300300 400400 500500 600600

MG

RJ

-0.2-0.2

0.00.0

0.20.2

0.40.4

0.60.6

SP

00 100100 200200 300300 400400 500500 600600

distância

auto

-cor

rela

ção

• Computando Moran (Computando Moran (II) para intervalos de distância. Os ) para intervalos de distância. Os correlogramas resul-correlogramas resul- tantes, ilustram a autocorrelação espacial em função da distância. tantes, ilustram a autocorrelação espacial em função da distância.


Fonte: Carvalho, M. S., 1998.Fonte: Carvalho, M. S., 1998.FIOCRUZ - RJFIOCRUZ - RJ


3434Maio/2001Maio/2001


• Uma maneira adicional de visualizar o índice de Moran proposta por Uma maneira adicional de visualizar o índice de Moran proposta por Anselin (1996), é através do Anselin (1996), é através do Diagrama de Espalhamento de Diagrama de Espalhamento de MoranMoran

• Este diagrama relata espacialmente o relacionamento entre os valores Este diagrama relata espacialmente o relacionamento entre os valores do vetor de desvios do vetor de desvios Z ( ) Z ( ) e os valores das médias locais e os valores das médias locais WZWZ, , indicando diferentes regimes espaciais presentes nos dados.indicando diferentes regimes espaciais presentes nos dados.

zzi zzi

I é equivalente a tg 00

00 zz

WZWZ

Reta de regressão de WZ em Z

QQ33QQ33QQ22QQ22

QQ11QQ11QQ44QQ44

ZZ

WZZI

t

t

ZZ

WZZI

t

t

Nesta formulação, Nesta formulação, II equivale ao equivale aocoeficiente de regressão linear, oucoeficiente de regressão linear, ou

seja a inclinação da reta de regressão.seja a inclinação da reta de regressão.


3535Maio/2001Maio/2001


• Interpretação doInterpretação do Diagrama de Espalhamento de Diagrama de Espalhamento de MoranMoran

00

00 zz

WZWZ

QQ33QQ33QQ22QQ22

QQ11QQ11QQ44QQ44

QQ11 (val. [+], médias [+]) e Q (val. [+], médias [+]) e Q22 (val. [-], médias (val. [-], médias [-])[-])

Indicam pontos de associação espacial Indicam pontos de associação espacial positiva, no sentido que uma localização positiva, no sentido que uma localização possui vizinhos com valores semelhantes.possui vizinhos com valores semelhantes.

QQ33 (val. [+], médias [-]) e Q (val. [+], médias [-]) e Q44 (val. [-], médias (val. [-], médias [+])[+])

Indicam pontos de associação espacial Indicam pontos de associação espacial negativa, no sentido que uma localização negativa, no sentido que uma localização possui vizinhos com valores distintos.possui vizinhos com valores distintos.Nota:-Nota:- os pontos localizados em Q os pontos localizados em Q33 e Q e Q44 podem ser podem ser vistos como extremos, tanto por estar afastados da vistos como extremos, tanto por estar afastados da reta de regres- são linear, como por indicar regiões reta de regres- são linear, como por indicar regiões que não seguem o mes-mo processo de dependência que não seguem o mes-mo processo de dependência espacial das demais observa-espacial das demais observa-ções. Estes pontos marcam regiões de transição ções. Estes pontos marcam regiões de transição entre regimes espaciais distintos.entre regimes espaciais distintos.


3636Maio/2001Maio/2001


• O Diagrama de Espalhamento de Moran pode ser apresentado na forma O Diagrama de Espalhamento de Moran pode ser apresentado na forma de um de um mapa coroplético bidimensionalmapa coroplético bidimensional, no qual cada polígono é , no qual cada polígono é apresentado indicando-se seu quadrante no diagrama de espalhamento.apresentado indicando-se seu quadrante no diagrama de espalhamento.

00

00 zz

WZWZ

QQ3 = 3 = HLHLQQ3 = 3 = HLHLQQ2= 2= LLLLQQ2= 2= LLLL

QQ1= 1= HHHHQQ1= 1= HHHHQQ4 = 4 = LHLHQQ4 = 4 = LHLH

São Paulo

Atributo consideradopercentagem de idosos


3737Maio/2001Maio/2001

Indicadores Locais de Associação Espacial Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA)(LISA)

• Como vimos anteriormente o estimador de autocorrelação Como vimos anteriormente o estimador de autocorrelação espacial, Moran (espacial, Moran (II), fornece um valor único como medida da ), fornece um valor único como medida da associação espacial.associação espacial.

• Por outro lado, muitas vezes é necessário examinar padrões Por outro lado, muitas vezes é necessário examinar padrões numa escala maior.numa escala maior.

• Neste caso, é preciso utilizar indicadores locais de associação Neste caso, é preciso utilizar indicadores locais de associação espacial que possam ser associados a diferentes localizações espacial que possam ser associados a diferentes localizações de uma variável distribuída espacialmente.de uma variável distribuída espacialmente.

• A utilização destes indicadores em conjunto com os A utilização destes indicadores em conjunto com os indicadores globais, refinam nosso conhecimento sobre o indicadores globais, refinam nosso conhecimento sobre o processos que dão origem a dependência espacial. processos que dão origem a dependência espacial.


3838Maio/2001Maio/2001


• Os indicadores locais de associação espacial, produzem um Os indicadores locais de associação espacial, produzem um valor específico para cada objeto.valor específico para cada objeto.

• Isto acarreta a identificação de:Isto acarreta a identificação de:– “ “Clusters”: objetos com valores de atributos semelhantes,Clusters”: objetos com valores de atributos semelhantes,– “ “Outliers”: objetos anômalos,Outliers”: objetos anômalos,– A presença de mais de um regime espacial.A presença de mais de um regime espacial.

• Segundo Anselin (1995), um indicador local de associação Segundo Anselin (1995), um indicador local de associação espacial (LISA) tem que atender a dois objetivos:espacial (LISA) tem que atender a dois objetivos:

– Permitir a identificação de padrões de associação espacial Permitir a identificação de padrões de associação espacial

significativos;significativos;

– Ser uma decomposição do índice global de associação espacial.Ser uma decomposição do índice global de associação espacial.


3939Maio/2001Maio/2001

• Getis e Ord (1995) propõem duas famílias de indicadores Getis e Ord (1995) propõem duas famílias de indicadores locais:locais:

– Os indicadores locais Os indicadores locais IIii de Moran (Anselin, 1996) de Moran (Anselin, 1996)

– Os indicadores locais GOs indicadores locais Gii ee GGii ** (Getis e Ord, 1992) (Getis e Ord, 1992)

• O indicador local de Moran O indicador local de Moran IIii é assim definido: é assim definido: IIi i > 0> 0 “clusters” de valores similares (altos ou baixos).“clusters” de valores similares (altos ou baixos).

IIi i < 0< 0 “clusters” de valores distintos (Ex: uma “clusters” de valores distintos (Ex: uma localização localização

com valores altos rodeada por uma vizinhança com valores altos rodeada por uma vizinhança de de

valores baixos).valores baixos).

• Normalizando as variáveis o indicador reduz-se a:Normalizando as variáveis o indicador reduz-se a:


n

yy

yywyy

I n

ii

n

jjiji

i

1

1

2

n

yy

yywyy

I n

ii

n

jjiji

i

1

1

2

n

jjijii zwzI

1

n

jjijii zwzI

1


4040Maio/2001Maio/2001


• De forma similiar aos indicadores globais, a significância do índice De forma similiar aos indicadores globais, a significância do índice local de Moran (local de Moran (IIii) deve ser avaliado, utilizando hipótese de ) deve ser avaliado, utilizando hipótese de normalidade ou simulação de distribuição por permutação normalidade ou simulação de distribuição por permutação aleatória nos valores dos atributos (Anselin, 1995).aleatória nos valores dos atributos (Anselin, 1995).

• Uma vez determinada a significância estatística de Moran (Uma vez determinada a significância estatística de Moran (IIii) é ) é muito útil gerar um mapa indicando as regiões que apresentam muito útil gerar um mapa indicando as regiões que apresentam correlação local significativamente diferente do resto dos dados.correlação local significativamente diferente do resto dos dados.

• Este mapa é denominado por Anselin (1995) de “LISA MAP”.Este mapa é denominado por Anselin (1995) de “LISA MAP”.

• Na geração do LISA MAP, os índices locais Na geração do LISA MAP, os índices locais IIi i são classificados como:são classificados como:

– não significantesnão significantes

– com confiância de 95% (1,96com confiância de 95% (1,96), 99% (2,54), 99% (2,54) e 99,9% (3,2) e 99,9% (3,2).).


4141Maio/2001Maio/2001


• O LISA MAPA ilustrado na figura abaixo, apresenta a distribuição O LISA MAPA ilustrado na figura abaixo, apresenta a distribuição dos valores de correlação local para o percentual de idosos dos dos valores de correlação local para o percentual de idosos dos bairros de SP.bairros de SP.

Nota:Nota: este resultado, indica este resultado, indica claramente claramente

uma forte polarização centro-uma forte polarização centro-periferiaperiferia

indicando a presença de indicando a presença de “bolsões”.“bolsões”.

não significantes ---------------->não significantes ----------------> 0 0

p = 0.05 p = 0.05 [95% (1,96[95% (1,96))] -------> 1

p = 0.01 [p = 0.01 [99% (2,5499% (2,54))] -------> 2

p = 0.001 [p = 0.001 [99,9% (3,299,9% (3,2))] -------> 3

% I d o s o s% I d o s o s SPRINGSPRING


4242Maio/2001Maio/2001


• Uma outra forma de análise é através do mapa denominado Uma outra forma de análise é através do mapa denominado “Moran Map” (Anselin, 1999). Neste caso, os índices locais “Moran Map” (Anselin, 1999). Neste caso, os índices locais IIii são são associados ao diagra-ma de espalhamento de Moran.associados ao diagra-ma de espalhamento de Moran.

não significantes -------------> 0não significantes -------------> 0

Q1 [HH] -----------------------> 1Q1 [HH] -----------------------> 1

Q2 [LL]Q2 [LL] -----------------------> 2-----------------------> 2

% I d o s o s% I d o s o s

Nota:Nota: este resultado apresenta somente este resultado apresenta somente as regiões para os quais os valores de as regiões para os quais os valores de Ii ,foram considerados significantes ,foram considerados significantes (com (com intervalo >95%).intervalo >95%).

SPRINGSPRING 1

2

4

3


4343Maio/2001Maio/2001

• Os indicadores locais Os indicadores locais GGii ee GGii ** (Getis e Ord, 1992): (Getis e Ord, 1992):

onde:onde:

– wwijij valor na matriz de proximidade para região valor na matriz de proximidade para região ii com a região com a região jj em função da em função da distância.distância.

– xxii e e xxjj são os valores dos atributos considerados nas áreas são os valores dos atributos considerados nas áreas i e j.i e j.

– dd é distância entre pontos é distância entre pontos

– nn o número de áreas (polígonos) o número de áreas (polígonos)

• NOTANOTA:: a estatística a estatística GGii, inclui no numerador a soma dos valores de todos , inclui no numerador a soma dos valores de todos vizinhos dentro de uma distância vizinhos dentro de uma distância dd do ponto considerado. do ponto considerado. GGi i

** difere de difere de GGi i por por incluir a localização visitada.incluir a localização visitada.


ij

x

xdw

dG n

ij

n

jiij

i

,)(

1

1

ij

x

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ij

n

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1

1

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x

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dG n

ij

n

jiij

i

,)(*

1

1

ij

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dG n

ij

n

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i

,)(*

1

1


4444Maio/2001Maio/2001

AULA PRÁTICA NO SISTEMA SPRINGAULA PRÁTICA NO SISTEMA SPRING

• Bancos de Dados:Bancos de Dados:

– England: Dados de câncer de seio na Inglaterra (1985-1989), England: Dados de câncer de seio na Inglaterra (1985-1989), agregados poragregados por distrito de saúde.distrito de saúde.

– São Paulo: o percentual de idosos (mais que 70 anos) na São Paulo: o percentual de idosos (mais que 70 anos) na cidade de cidade de

São Paulo, agregados por bairros.São Paulo, agregados por bairros.

OBS: Utilizar o roteiro prático.OBS: Utilizar o roteiro prático.

análise espacial análise de padrões de Área

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