teorema kw para sistemas de partículas - fisica.ufpr.br§ão1.pdf · corpos rígidos têm sempre...
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𝑑𝐫1 𝑑𝐫2
𝐅1𝐅2
−𝐟
𝐟
𝑑𝐾1 = (𝐅1 − 𝐟) ∙ 𝑑𝐫1
𝑑𝐾2 = (𝐅2 + 𝐟) ∙ 𝑑𝐫2
𝑑(𝐾1 + 𝐾2) = 𝐅1 ∙ 𝑑𝐫1 + 𝐅2 ∙ 𝑑𝐫2 + 𝐟 ∙ (𝑑𝐫2 − 𝑑𝐫1)
𝑑𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡
Em um sistema de partículas, a energia cinética total pode variar devido ao trabalho das forças INTERNAS e/ou
EXTERNAS
Teorema KW para um SISTEMA de partículas
𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 𝐴→𝐵 + 𝑊𝑖𝑛𝑡 𝐴→𝐵
Trabalho da Força Gravitacional em um SISTEMA de partículas
𝑑𝑊𝑔 =
𝑖
(𝑚𝑖𝐠) ∙ 𝑑𝐫𝑖 = 𝑀𝐠 ∙ 𝑑𝐑
𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖𝑀
𝑑𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝑑𝐫𝑖𝑀
(𝑊𝑔)𝐴→𝐵= 𝑀𝐠 ∙ (𝐑𝐵 − 𝐑𝐴)
𝐴
𝐵
∆𝐑
𝑀𝐠
Trabalho de Forças de Contato em um SISTEMA de partículas
Se não há DESLIZAMENTO no ponto de contato, 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑡 = 0, independente de haver atrito (estático)
Mostrar disco rolando em Rotation.jar
Então como um carro acelera?
1. Motor faz a roda girar cada vez mais rápido(𝑊𝑖𝑛𝑡 produzindo 𝐾)
𝜔(𝑡)
𝐟𝑠
2. 𝐟𝑠 converte a energia cinética rotacional em cinética translacional (e é a força externa que acelera o CM)
Não trabalha !
Corpos Rígidos têm SEMPRE 𝑊𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑑𝐫1
𝑑𝐫2
𝑑𝐫1⊥
𝑑𝐫2⊥
𝑑𝐫1∥
𝑑𝐫2∥
No corpo RÍGIDO 𝑑𝐫1∥ = 𝑑𝐫2∥
= 𝐟 ∙ (𝑑𝐫2∥ + 𝑑𝐫2⊥ − 𝑑𝐫1∥ − 𝑑𝐫1⊥)
−𝐟
𝐟
𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡 = 𝐟 ∙ (𝑑𝐫2−𝑑𝐫1)
= 0
2. Origem dos ângulos
3. Escolha do sentidopositivo
1. Direção de referênciafixa ao corpo
𝜃
𝜃 = 0 𝜃 =𝜋
2𝜃 = 𝜋
Observações
• O movimento de porta, CD, carrossel, etc. é equivalente aomovimento de um ponteiro
• Medimos 𝜃 em radianos
• 𝜃 ∈ (−∞,∞)
• {𝜃, 𝜃 ± 2𝜋, 𝜃 ± 4𝜋,… } são posições equivalentes
Velocidade Angular e Aceleração Angular
• 𝜃(𝑡) é a posição angular
•𝜔 𝑡 =𝑑𝜃(𝑡)
𝑑𝑡é a velocidade angular
• 𝛼 𝑡 =𝑑𝜔(𝑡)
𝑑𝑡=𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2é a aceleração angular
Qual a velocidade angular dos ponteiros dos segundos, dos minutos e das horas?
E a aceleração angular?
A que horas o ponteiro dos minutos e o das horas estãoexatamente colineares?
𝜃ℎ 𝑡 =2𝜋
12 × 3600 s𝑡
𝜃𝑚 𝑡 =2𝜋
3600 s𝑡
0 s ≤ 𝑡 < 12 × 3600 s
𝜃𝑚 𝑡𝑘 = 𝜃ℎ 𝑡𝑘 + 2𝜋𝑘
𝑘 = {0,1,2, … , 11}𝑡𝑘 =12 × 3600 s
11𝑘
𝑘 = {0,1,2, … }
𝑘 12 × 3600 𝑘/11 [seg. ]
0 0 0:00:00
1 3927,2727… 1:05:27 + 3/11
2 7854,5454… 2:10:54 + 6/11
3 11781,8181… 3:16:21 + 9/11
4 15709,0909… 4:21:49 + 1/11
5 19636,3636… 5:27:16 + 4/11
6
7
8
9
10 39272,7272… 10:54:32 + 8/11
11 43200 12:00:00
Rotação com aceleração angular constante
𝜃 𝑡 = 𝜃0 +𝜔0𝑡 +1
2𝛼𝑡2
𝜔 𝑡 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
𝜔𝐵2 − 𝜔𝐴
2 = 2𝛼(𝜃𝐵 − 𝜃𝐴)
Qual a aceleração angular do carretel?
Em que instante 𝜃 = 11𝜋?
Em 𝑡 = 0 o fio começa a ser puxado com uma
aceleração constante.
𝑅
𝑎
Qual a aceleração angular do carretel?
Em que instante 𝜃 = 11𝜋?
Em 𝑡 = 0 o fio começa a ser puxado com uma
aceleração constante.
𝑅
𝑎
𝛼 = 𝑎/𝑅
11𝜋 = 12𝑎𝑅𝑡2
𝐯(𝑡)𝐯(𝑡)
𝜔𝐴 𝑡 𝑟𝐴 = 𝜔𝐶 𝑡 𝑟𝐶
𝛼𝐴𝑟𝐴 = 𝛼𝐶𝑟𝐶 1,6 s−2 (10 cm) = 𝛼𝐶(25 cm)
𝜔𝐶 𝑡 = 0 + 𝛼𝐶𝑡 100 × 2𝜋/(60 s) = 0,64 s−2 𝑡
𝑡 = 16 s
0,64 s−2
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