técnicas de processamento imagens fourier 1d e 2d material melhorado pelo prof. ricardo j. ferrari

Técnicas de Processamento Imagens

Fourier 1D e 2D

Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari

Agenda

Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier Transformada de Fourier – 1D & 2D

– Contínua & discreta Principais propriedades

Motivação

Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor & sons

Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos)

Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência

O que é freqüência de uma função ?

Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas

A = amplitude da função (valores max e min assumidos)

= indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]

0 ),2cos()( AtAtf

O que é freqüência de uma função ?

a b

O que é freqüência de uma função ?

Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?

Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Teoria publicada em 1822

Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier)

Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier)

Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação

Introdução:Representação de sinais complexos

Série de Fourier

Resta achar uma forma de calcular os coeficientes

Série de Fourier – Valores médios de uma função

S = A Y

<Y> = (S1-S2)/A

<Y> = (S1-S2)/A = 0

Série de Fourier – Calculando coeficientes

< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x)

f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...

Tomando as médias de cada termo da equação:)

a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

f(x) = 1 (de 0 a )f(x) = 0 (de a 2)

a0 = 1/2

Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada

a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π

a2 = 0

a0 = 1/2;an = 0 - para todo n PAR;an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.

a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π

Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada

f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) + ...

Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos

Definições matemáticas importantes

Número complexo

Conjugado complexo

Módulo

Fase

jIRC *

jIRC

22 IRC

R

Iarctan

Definições matemáticas importantes

Fórmula de Euler

Função impulso (delta de Dirac)

)2sin()2cos(2 utjute utj

)(t

0 se0

0 se)(

t

tt

Interpretação física: pulse de amplitude infinita e duração zero

Função impulso (propriedades)

Definições matemáticas importantes

1)()()(

dttdttt

a

x

at a

1lim)( 0

x

-a/2 a/2

1/a

Função impulso : Propriedade Sift

Definições matemáticas importantes

)()()()()( 000 tfdttttfdttttf

-a/2 a/2

1/a

A )( 0xxA

0x

Definições matemáticas importantes

Trem de impulsos

nT Tntts )()(

Série de Fourier

Série de Fourier

f(x) é periódica de período T se – f(x) = f(x +nT), para qualquer n inteiro e positivo

Seja f(x) uma função periódica de período 2n. A série de Fourier para esta função é dada como:

–

Observe que b0 não é indicado pois

112 sincos)( kxbkxaxf kka

00sin

Série de Fourier

Casos particulares– f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então

os coeficientes bk são nulos

– f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes ak são nulos

Série de Fourier

Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para a representação das funções

Ex.: representação de uma onda quadrada

Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação

xxxxxf 7sin5sin3sinsin45)( 74

54

34

‘Série de Fourier

xxxxxf 7sin5sin3sinsin45)( 74

54

34

Série de Fourier

1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua.

2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental

As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal

Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico

2T

Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)

Transformada de Fourier (sinal contínuo)

– Onde s é a função no espectro e t no tempo

Inversa

Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!

Transformada de Fourier

Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática

Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + T(g) ; FT(f) = FT(f)

Nota 3) F(s) é uma isometria em , ou seja2L

2L gfgfgf ,,ˆ,ˆ,

Transformada de Fourier

Como conseqüência da Nota 3,

- teorema de Plancherel

A energia da função é preservada na transformação.

22f̂f

Transformada de Fourier

uXj

uXjuXjuXjuXj

XuxjX

euXu

A

eeeuj

Ae

uj

A

euj

AdxuxjA

dxuxjxfuF

)sin(

][2

]1[2

][2

]2exp[

]2exp[)()(

2

02

0

2sin

1

j

eex

ea

dxe

jxjx

axax

Transformada de Fourier

Exemplos:

Onda quadrada - Pulso

Algumas propriedades da FT

Linearidade

x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

Simetria

H(t) h(-f)

Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:

Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase)

h(t-t0) H( f )e-j2ft0

Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.

22 IRC

R

Iarctan

Deslocamento na freqüência

h(t) ej2f0 H( f -f0)

Convolução

Uma das propriedades mais importante da FT

h(t) H( f ) e g(t) G( f )

(h*g)(t) H( f )G( f )

h(t)g(t) (H * G)( f )

Convolução

Conservação da energia

Teorema de Parseval

Amplitude e Fase

O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária)

Ou através da fase e amplitude do spectro

Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo:

– seja z um número complexo definido como: z = x + yi

z = |z| = x2 + y2

– | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2

Fase é dada por:

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

E tt

E t

Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)

Transformada de Fourier 2D

O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis:

freqüência de valoresos são vu, onde

)](2exp[),(),(

)](2exp[),(),(

dudvvyuxjvuFyxf

dxdyvyuxjyxfvuF

Transformada de Fourier 2D

Transformada Discreta de Fourier1D-DFT

Transformada Discreta de Fourier A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:

)}]1[(,),2(),(),({ 0000 TNtfTtfTtftf

Onde t assume valores discretos (0,1,2,…,N-1), então

A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente

Transformada Discreta de Fourier

)]1[()( 0 TNtftf

O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:

Transformada Discreta de Fourier

1-N,0,1,2, tpara ],/2exp[)()(

1-N,0,1,2,u para ],/2exp[)(1

)(

1

0

1

0

Nutjuftf

NutjtfN

uF

N

u

N

t

Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t

Repetimos para todos os N valores de u

Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)

Transformada Discreta de Fourier

1-N,0,1,2,u para ],/2exp[)()(1

0

NutjtfuFN

t

DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda

quadrada obtemos:

0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

300

350

Observe houve um deslocamento

DFT – shifting, (fftshift-matlab)

A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o

resultado.

0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

300

350

DFT – shifting, (fftshift-matlab)

Lembrando que:

e fazendo

h(t) ej2u0 H(f -u0)

tttj

tj

je

eNtNjNtuj

)1(]sin[cos)(

]/)2/(2exp[]/2exp[ 0

2/0 Nu

DFT – shifting, (fftshift-matlab)

Transformada Discreta de Fourier2D-DFT

No caso de duas variáveis, o par DFT é:

freqüência de valoresos são vu, onde

])//(2exp[),(),(

])//(2exp[),(1

),(

1

0

1

0

1

0

1

0

M

x

N

y

M

x

N

y

NvyMuxjvuFyxf

NvyMuxjyxfMN

vuF

Transformada Discreta de Fourier

A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente

Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função

para x = 0,1,2,…,M-1 e y = 0,1,2, …, N-1

Transformada Discreta de Fourier

),( 00 yyyxxxf

yNv

xMu

1 ,

1

Trem de pulso usado para amostragem puntual

Aliasing fenômeno em imagem

Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier

Algoritmo 2D de 1D

FFT 1D para cada linha

Matriz A Separar em linhas

Compor linhas em

matriz

Separar em colunas Matriz

FFT 1D para cada coluna

FFT 2D de A

Amplitude e Fase

original

amplitude

fase

|F(u,v)|

F(u,v)

DFT aplicada na detecção de defeitos

SEM = Scanning Electron Microscope

Transformada de Fourier discreta - 2D

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Propriedades DFT - Translação

|F(u,v)| F(u,v)

Propriedades DFT - Translação

Rotação

Combinação Linear (soma)

+

+

=

=

Expansão

Relação de freqüência espaço/espectro

Alguns pares...

Combinando Amplitude e Fase

As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases.

f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}]

Do mesmo modo, F() = Mag{F()} exp[ i Phase{F()}]

Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

Pictures reconstructedusing the Fourier phase

of another picture

The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.

Rick Linda

Mag{Linda}Phase{Rick}

Mag{Rick} Phase{Linda}

Combinando Amplitude e Fase

Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência

Bibliografia Digital Image Processing, 3rd. Edition, Rafael

C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008

Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, 1996

21o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997