técnicas de processamento imagens fourier 1d e 2d material melhorado pelo prof. ricardo j. ferrari
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Técnicas de Processamento Imagens
Fourier 1D e 2D
Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari
Agenda
Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier Transformada de Fourier – 1D & 2D
– Contínua & discreta Principais propriedades
Motivação
Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor & sons
Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos)
Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência
O que é freqüência de uma função ?
Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas
A = amplitude da função (valores max e min assumidos)
= indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]
0 ),2cos()( AtAtf
O que é freqüência de uma função ?
a b
O que é freqüência de uma função ?
Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?
Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Teoria publicada em 1822
Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier)
Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier)
Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação
Introdução:Representação de sinais complexos
Série de Fourier
Resta achar uma forma de calcular os coeficientes
Série de Fourier – Valores médios de uma função
S = A Y
<Y> = (S1-S2)/A
<Y> = (S1-S2)/A = 0
Série de Fourier – Calculando coeficientes
< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...
Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x)
f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...
Tomando as médias de cada termo da equação:)
a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...
a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
f(x) = 1 (de 0 a )f(x) = 0 (de a 2)
a0 = 1/2
Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π
a2 = 0
a0 = 1/2;an = 0 - para todo n PAR;an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.
a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π
Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) + ...
Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos
Definições matemáticas importantes
Número complexo
Conjugado complexo
Módulo
Fase
jIRC *
jIRC
22 IRC
R
Iarctan
Definições matemáticas importantes
Fórmula de Euler
Função impulso (delta de Dirac)
)2sin()2cos(2 utjute utj
)(t
0 se0
0 se)(
t
tt
Interpretação física: pulse de amplitude infinita e duração zero
Função impulso (propriedades)
Definições matemáticas importantes
1)()()(
dttdttt
a
x
at a
1lim)( 0
x
-a/2 a/2
1/a
Função impulso : Propriedade Sift
Definições matemáticas importantes
)()()()()( 000 tfdttttfdttttf
-a/2 a/2
1/a
A )( 0xxA
0x
Definições matemáticas importantes
Trem de impulsos
nT Tntts )()(
Série de Fourier
Série de Fourier
f(x) é periódica de período T se – f(x) = f(x +nT), para qualquer n inteiro e positivo
Seja f(x) uma função periódica de período 2n. A série de Fourier para esta função é dada como:
–
Observe que b0 não é indicado pois
112 sincos)( kxbkxaxf kka
00sin
Série de Fourier
Casos particulares– f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então
os coeficientes bk são nulos
– f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes ak são nulos
Série de Fourier
Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para a representação das funções
Ex.: representação de uma onda quadrada
Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação
xxxxxf 7sin5sin3sinsin45)( 74
54
34
‘Série de Fourier
xxxxxf 7sin5sin3sinsin45)( 74
54
34
Série de Fourier
1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua.
2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental
As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal
Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico
2T
Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)
Transformada de Fourier (sinal contínuo)
– Onde s é a função no espectro e t no tempo
Inversa
Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!
Transformada de Fourier
Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática
Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + T(g) ; FT(f) = FT(f)
Nota 3) F(s) é uma isometria em , ou seja2L
2L gfgfgf ,,ˆ,ˆ,
Transformada de Fourier
Como conseqüência da Nota 3,
- teorema de Plancherel
A energia da função é preservada na transformação.
22f̂f
Transformada de Fourier
uXj
uXjuXjuXjuXj
XuxjX
euXu
A
eeeuj
Ae
uj
A
euj
AdxuxjA
dxuxjxfuF
)sin(
][2
]1[2
][2
]2exp[
]2exp[)()(
2
02
0
2sin
1
j
eex
ea
dxe
jxjx
axax
Transformada de Fourier
Exemplos:
Onda quadrada - Pulso
Algumas propriedades da FT
Linearidade
x(t) + y(t) X(f) + Y(f)
Simetria
H(t) h(-f)
Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:
Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase)
h(t-t0) H( f )e-j2ft0
Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.
22 IRC
R
Iarctan
Deslocamento na freqüência
h(t) ej2f0 H( f -f0)
Convolução
Uma das propriedades mais importante da FT
h(t) H( f ) e g(t) G( f )
(h*g)(t) H( f )G( f )
h(t)g(t) (H * G)( f )
Convolução
Conservação da energia
Teorema de Parseval
Amplitude e Fase
O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária)
Ou através da fase e amplitude do spectro
Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo:
– seja z um número complexo definido como: z = x + yi
z = |z| = x2 + y2
– | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2
Fase é dada por:
Im[ ( )]( ) arctan
Re[ ( )]
E tt
E t
Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)
Transformada de Fourier 2D
O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis:
freqüência de valoresos são vu, onde
)](2exp[),(),(
)](2exp[),(),(
dudvvyuxjvuFyxf
dxdyvyuxjyxfvuF
Transformada de Fourier 2D
Transformada Discreta de Fourier1D-DFT
Transformada Discreta de Fourier A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:
)}]1[(,),2(),(),({ 0000 TNtfTtfTtftf
Onde t assume valores discretos (0,1,2,…,N-1), então
A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente
Transformada Discreta de Fourier
)]1[()( 0 TNtftf
O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:
Transformada Discreta de Fourier
1-N,0,1,2, tpara ],/2exp[)()(
1-N,0,1,2,u para ],/2exp[)(1
)(
1
0
1
0
Nutjuftf
NutjtfN
uF
N
u
N
t
Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t
Repetimos para todos os N valores de u
Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)
Transformada Discreta de Fourier
1-N,0,1,2,u para ],/2exp[)()(1
0
NutjtfuFN
t
DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda
quadrada obtemos:
0 1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
Observe houve um deslocamento
DFT – shifting, (fftshift-matlab)
A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o
resultado.
0 1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
DFT – shifting, (fftshift-matlab)
Lembrando que:
e fazendo
h(t) ej2u0 H(f -u0)
tttj
tj
je
eNtNjNtuj
)1(]sin[cos)(
]/)2/(2exp[]/2exp[ 0
2/0 Nu
DFT – shifting, (fftshift-matlab)
Transformada Discreta de Fourier2D-DFT
No caso de duas variáveis, o par DFT é:
freqüência de valoresos são vu, onde
])//(2exp[),(),(
])//(2exp[),(1
),(
1
0
1
0
1
0
1
0
M
x
N
y
M
x
N
y
NvyMuxjvuFyxf
NvyMuxjyxfMN
vuF
Transformada Discreta de Fourier
A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente
Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função
para x = 0,1,2,…,M-1 e y = 0,1,2, …, N-1
Transformada Discreta de Fourier
),( 00 yyyxxxf
yNv
xMu
1 ,
1
Trem de pulso usado para amostragem puntual
Aliasing fenômeno em imagem
Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier
Algoritmo 2D de 1D
FFT 1D para cada linha
Matriz A Separar em linhas
Compor linhas em
matriz
Separar em colunas Matriz
FFT 1D para cada coluna
FFT 2D de A
Amplitude e Fase
original
amplitude
fase
|F(u,v)|
F(u,v)
DFT aplicada na detecção de defeitos
SEM = Scanning Electron Microscope
Transformada de Fourier discreta - 2D
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Propriedades DFT - Translação
|F(u,v)| F(u,v)
Propriedades DFT - Translação
Rotação
Combinação Linear (soma)
+
+
=
=
Expansão
Relação de freqüência espaço/espectro
Alguns pares...
Combinando Amplitude e Fase
As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases.
f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}]
Do mesmo modo, F() = Mag{F()} exp[ i Phase{F()}]
Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.
Pictures reconstructedusing the Fourier phase
of another picture
The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.
Rick Linda
Mag{Linda}Phase{Rick}
Mag{Rick} Phase{Linda}
Combinando Amplitude e Fase
Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência
Bibliografia Digital Image Processing, 3rd. Edition, Rafael
C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008
Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, 1996
21o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997