sistemas numéricos

Sistemas Numéricos

Sistemas Numéricos

• Existem diversos sistemas numéricos, o mais comum que utilizamos no dia-a-dia é o sistema decimal.

• O sistema decimal é chamado assim por ser baseado em 10 dígitos (de 0 a 9). Diz-se de base 10.

• Os outros sistemas numéricos são compostos de bases diferentes.

Sistema Decimal

• Para entender melhor outros sistemas numéricos, é necessário relembrar algumas regras do sistema decimal.

• Um número no sistema decimal pode ser decomposto em um somatório de produtos de potências de base 10.

• Exemplos:1234 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 11234 = 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100

16920 = 1 x 104 + 6 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100

Sistema Decimal

• Para somar 2 números decimais basta seguir os passos dos próximos slides.– Esses passos todos já viram no ensino básico.

• Como exemplo vamos somar os números 1234 e 493.

• Os mesmos passos são utilizados para outros sistemas numéricos.

Somando 2 números decimais

1 2 3 4+ 4 9 3

Alinham-se os 2 números a direita,um abaixo do outro.

Somando 2 números decimais

1 2 3 4+ 4 9 3

7

Da direita para a esquerda, somam-se osdígitos.

Somando 2 números decimais

1 2 3 4+ 4 9 3

12 7

Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o daesquerda sobe para o próximo dígito.

Somando 2 números decimais

11 2 3 4

+ 4 9 32 7

Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o daesquerda sobe para o próximo dígito.

Somando 2 números decimais

11 2 3 4

+ 4 9 37 2 7

A soma continua incluindo os dígitos quevieram de somas anteriores.

Somando 2 números decimais

11 2 3 4

+ 4 9 31 7 2 7

Em alguns casos, um dos números não possui osdígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

Somando 2 números decimais

11 2 3 4

+ 4 9 31 7 2 7

Após somar todos os dígitos, tem-se oresultado final da soma.

Sistema Binário

• Sistema de base 2, ou seja, 2 dígitos (0 e 1).• Sistema utilizado internamente pelos

computadores.– Dígito 0 significa a ausência de corrente elétrica.– Dígito 1 significa a presença de corrente elétrica.

• Assim como no sistema decimal, vários dígitos podem formar um número maior.– Exemplo: o número 11001011 em binário

corresponde ao número 203 em decimal.

Sistema Binário

• Assim como os números decimais podem ser decompostos em potências de base 10, um número binário pode ser decomposto em potências de base 2.

• Exemplos:1110 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

1110 = 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 11110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14

Sistema Binário

• Tabela de alguns números binários:Decimal Binário

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

Decimal Binário

8 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

15 1111

Decimal Binário

16 10000

17 10001

18 10010

19 10011

20 10100

21 10101

22 10110

23 10111

Sistema Binário

• Para converter um número de binário para decimal basta decompô-lo em suas bases:– Exemplo:1101101=1x26+1x25+0x24+1x23+1x22+0x21+1x20

1101101=1x64+1x32+0x16+1x8+1x4+0x2+1x11101101=1x64+1x32+1x8+1x4+1x11101101=64+32+8+4+11101101=109

Sistema Binário

• Para converter um número de decimal para binário, é preciso encontrar quais as bases binárias que o formam.

• Veremos os passos nos próximos slides.• Como exemplo vamos converter o número

233 para binário.

Sistema Binário

233 Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

Primeiro monta-se a tabela de bases binárias

Sistema Binário

233128+105

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

Agora decompôe-se o resto do número (105) na maior basemenor que ele.Neste caso a base escolhida é 128.

Sistema Binário

233128+105128+64+41

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

Nos próximos passos decompõe-se o número decimal na maior basebinária menor que o número.Neste caso a base escolhida é 64.

Sistema Binário

233128+105128+64+41128+64+32+9

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

A decomposição continua até que o número inicial sejatotalmente decompostos em bases binárias.

Sistema Binário

233128+105128+64+41128+64+32+9128+64+32+8+1

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

A decomposição continua até que o número inicial sejatotalmente decompostos em bases binárias.

Sistema Binário

233128+64+32+8+127+26+25+23+20

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

Após a decomposição, os valores são convertidospara suas potências de base 2.

Sistema Binário

233128+64+32+8+127+26+25+23+20

1x27+1x26+1x25+1x23+1x20

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

Agora as potências utilizadas são multiplicadas por 1.

Sistema Binário

233128+64+32+8+127+26+25+23+20

1x27+1x26+1x25+1x23+1x20

1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

Neste caso, algumas potências como 24 e 22 não aparecem.As potências faltantes são inseridas sendo multiplicadas por zero.

Sistema Binário

233128+64+32+8+127+26+25+23+20

1x27+1x26+1x25+1x23+1x20

1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20

11101001

Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256

Terminada a decomposição em potências.Base separar os multiplicadores para obter o número binário.

Somando dois números binários

• Para somar dois número binários, utiliza-se o mesmo esquema de somar dois números decimais.

• Como exemplo, vamos somar os números 10011010010 e 111101101.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

1

Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

1 1

Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

1 1 1

Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 1

Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

Somando dois números binários

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1

10 1 1 1 1 1 1

Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

Somando dois números binários

11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

+ 1 1 1 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1

Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

Somando dois números binários

1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 1 1 1 1 1 1

Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

Somando dois números binários

1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

+ 1 1 1 1 0 1 1 0 10 1 0 1 1 1 1 1 1

Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

Somando dois números binários

1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Em alguns casos, um dos números não possui osdígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

Somando dois números binários

1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Somando dois números binários

1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Após somar todos os dígitos, tem-se oresultado final da soma.

Outros Sistemas Numéricos

• Sistema Hexadecimal:– Base 16– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F– Exemplo: A12C0D4– Muito utilizado para ler números grandes de sistemas

computacionais• Sistema Octal:– Base 8:– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7– Exemplo: 705242– Pouco utilizado na prática

Outros Sistemas Numéricos• Se você tem um número qualquer, por exemplo, 1001, como saber

em qual sistema numérico ele está?– No caso do 1001, ele pode pertencer a qualquer um dos 4 sistemas

numéricos vistos, pois todos eles possuem os dígitos 0 e 1.• Para dizer explicitamente a base em que se encontra um número, é

só adicionar o número da base do sistema numérico no final do número:– Binário: 10012

– Decimal: 100110

– Hexadecimal: 100116

– Octal: 10018

• No caso dos números decimais, é comum não mostrar o número da base.