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Sistemas de Controle 1Cap3 – Modelagem no Domínio do Tempo

Pontifícia Universidade Católica de GoiásEscola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 1Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

3. Modelagem no Domínio do Tempo

3.1 Introdução

3.2 Algumas Observações

3.3 A Representação Geral no Espaço dos Estados

3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço dos Estados

3.6 Convertendo do Espaço dos Estados para a Função de Transferência

3.7 Linearização

3.1 Introdução

• Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação:

– Técnica clássica, ou no domínio da frequência

• Vantagens

• Simplifica os cálculos Substitui equação diferencial por uma equação algébrica

• Simplifica a modelagem modelagem de subsistemas interconectados.

• Desvantagens

• Aplicabilidade limitada Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo

Aproximações para esses sistemas

Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada

– Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo)

• Vantagens

• Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta)

• Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável)

• Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas

• Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas

• Desvantagens

• Não é muito intuitiva

• Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente

* Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada é assunto para cursos de pós-graduação.

3

3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Exemplo 1:

Considere que existe uma corrente inicial i(0).

1. Selecionando i(t) para ser variável de estado:

– Equação da malha:

– Aplicando a Transformada de Laplace:

– Admitindo que a entrada v(t) seja um degrau unitário u(t):

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Transf. De Laplace para o degrau unitário

Isolando I(s)

Inversa de Laplace

Equação de Estado

3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Exemplo 1:

Sabendo i(t) e v(t) é possível calcular os valores de todas variáveis possíveis do circuito (ou de todos estados possíveis)

2. Resolvendo algebricamente todas as outras variáveis do circuito em termos de i(t) e v(t):

Resistor:

Indutor:

Derivada da corrente:

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3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Exemplo 1:

• Representação no espaço dos estados para o circuito RL:

• A equação de estado utilizada não é única, ela poderia ter sido escrita em função de qualquer outra variável do circuito. Exemplo: 𝒊 =

𝒗𝑹

𝑹

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Equações de saída

Equação de estado

Representação no espaço de

estados

Equação de Estado

3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Exemplo 2:

• Representação no espaço dos estados para o circuito RLC:

• Circuito de segunda ordem

– 2 equações diferenciais de primeira ordem

– 2 variáveis de estado: i(t) e q(t)

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2 equações diferenciais de primeira ordem e linearmente independentes

Equações de Estado

3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Exemplo 2:

• Calculando as outras variáveis do circuito:

• Representação no espaço dos estados:

Tensão no indutor: Combinação linear das variáveis de estado: i(t) e q(t)

Equação de saída

Equações de estado

Representação no espaço de

estados

Essa representação não é única

3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Exemplo 2:

• Outra possível escolha de variáveis de estado:

– Tensão no resistor:

– Tensão no capacitor:

Equações de estado

Restrição para escolha de variáveis de estado: Nenhuma das variáveis de estado pode ser representada como uma combinação linear das outras variáveis de estado.

3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Representação matricial:

Equações de estado

Logo:

3.2 Algumas ObservaçõesExemplos de modelagem no espaço dos estados

• Representação matricial:

Equação de saída

Logo:

Representação no espaço de

estados

3.2 Algumas ObservaçõesExemplo de modelagem no espaço dos estados

• Forma de abordagem:

1. Selecionar subconjunto particular de todas as variáveis do sistema para serem as variáveis de estado.

2. Para um sistema de ordem n, escrever n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas em termos das variáveis de estado.

3. Conhecendo os valores das variáveis de estado para a condição inicial t0 e para t>t0 é possível calcular seus valores para outros momentos t1>t0.

4. Equação de saída: combinação algébrica das variáveis de estado com a entrada.

5. Representação do sistema no espaço dos estados: equações de estado + equações de saída.

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3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

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Exemplos:Representação no espaço de estados

Descrição das variáveis

3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

Definições:

Combinação linear

Independência linear Diz-se que um conjunto de variáveis é linearmente independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combinação linear das outras

Variável de sistema Qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema

Variáveis de estado O menor conjunto linearmente independente de variáveis de sistema

Exemplo: i(t) e q(t)

3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

Definições:

Vetor de estado Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado

Espaço de estados O espaço n-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado

Equações de estado Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, com n variáveis, onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado

Equação de saída A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de um sistema como combinações lineares das variáveis de estado e das entradas

3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

Exemplo de representação geral:

Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t)

Se houver uma única saída:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia

Variáveis de Estado:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿

Nó 1

Equação no nó 1: Equação na malha externa:

−𝑣 𝑡 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 0

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 4 Obter as equações de estado:equações de estado

Passo 5 Obter a equação de saída:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Representação no espaço dos estados

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

* Observa-se que esse circuito possui uma fonte de corrente dependente de tensão.

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia

Variáveis de estado

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿

LKT na malha com L e C:

Corrente em R2:

LKC no nó 1:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Montando o sistema:

Resolvendo por Cramer:

(1 − 4𝑅2) −𝑅2

−1

𝑅1−1

𝑣𝐿𝑖𝐶

=𝑣𝑐

𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡)

𝑣𝐿 =

𝑣𝑐 −𝑅2𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡) −1(1 − 4𝑅2) −𝑅2

−1𝑅1

−1

𝑖𝐶 =

(1 − 4𝑅2) 𝑣𝑐

−1𝑅1

𝑖𝐿 − 𝑖(𝑡)

(1 − 4𝑅2) −𝑅2

−1𝑅1

−1

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Equações de estado:

Passo 4 Obter as equações de estado:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 5 Obter a equação de saída:

Equações de saída na forma matricial:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Equações de movimento:

Escrever equações no domínio da transformada de Laplace por inspeção e em seguida aplicar a transformada inversa.

𝑠2𝑀1 + 𝑠𝐷 + 𝐾 𝑋1 𝑠 − 𝐾𝑋2 = 0

−𝐾𝑋1 + 𝑠2𝑀2 + 𝐾 𝑋2 𝑠 = 𝐹(𝑠)

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Fazer a relação entre movimento e velocidade:

Escolher as variáveis de estado: 𝑥1, 𝑣1, 𝑥2 𝑒 𝑣2

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Organizando equações de estado:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Escrevendo na forma matricial:

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Se a saída do sistema for 𝑥2 então a equação da saída será:

𝑦 = 0 0 1 0 𝒙

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

1) Transformar função de transferência em equação diferencial.

Multiplicar cruzado

Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

2) Selecionar conjunto de variáveis de estado variáveis de fase

Variáveis de faseNas variáveis de fase temos que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior.

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

3) Derivar variáveis de fase para encontrar ഺ𝑐

Variáveis de fase

Derivadas das variáveis de fase

ഺ𝒄

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

4) Organizando o sistema

ഺ𝒄

5) Montando matrizes