revisão: campos vetoriais - feis.unesp.br · em notação matricial, ... u x v x (b.4) b.2 –...
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Apêndice B
Revisão: Notações Tensorial e Simbólica
Este apêndice complementa a revisão matemática iniciada no Apêndice A. As relações
aqui deduzidas se aplicam a sistemas de coordenadas retangulares, para vetores no espaço
tridimensional. Os diversos tipos de produtos e operadores apresentados são usados
eminentemente nos capítulos 6, 7 e 8 da apostila. Na medida do possível, todas as operações são
apresentadas nas notações vetorial, tensorial, matricial e simbólica. Ao leitor interessado em se
aprofundar no assunto, recomenda-se consultar as referências [1], [2] e [3].
B.1- Produto escalar entre vetores
Como se sabe, dados dois vetores 332211ˆˆˆ xuxuxuu
e 332211
ˆˆˆ xvxvxvv
, define-
se o produto escalar (single dot) de u
e v
como:
332211 vuvuvuvu
(B.1)
e assim, o resultado de um produto escalar dois vetores é um escalar.
Na notação tensorial, ter-se-ia ii xuu ˆ
, ii xvv ˆ
, onde o índice repetido i implica em
somatório para i=1, 2 e 3:
ijjijijijjii vuxxvuxvxuvu )ˆˆ()ˆ()ˆ(
(B.2)
sendo ij o delta de Kronecker. Como ij 0 somente para i=j (e seu valor é unitário), tem-se
também
iivuvu
(B.3)
Em notação matricial, o produto escalar dos vetores u e v é dado por
3
1
3131
i
ii
T vuxx vu (B.4)
B.2 – Notação de produto diádico
A notação de produto diádico para tensores (single dot, também), que define a forma para
se escrever o produto matricial
11 xxx nnnn vTu (B.5)
num sistema de coordenadas retangular, é
TTvvTu~~
(B.6)
Ressalta-se que esta representação simbólica não deve ser interpretada somente como uma outra
forma de se escrever o produto matricial. Na verdade, simboliza uma operação que relaciona um
vetor físico ou geométrico com outro, sendo que não se depende do sistema de coordenadas
usado para a representação. Por outro lado, Tv é o produto matemático de matrizes apropriadas
das componentes de T~
e de v~ num dado sistema de coordenadas. Contudo, num sistema de
coordenadas retangular, a forma matricial sempre pode ser usada para representar a operação
vT
~
. Alguns autores usam a notação de operação simbólica de produto diádico sem o ponto:
vTu ~
(B.7)
É importante enfatizar que o produto diádico converte o produto de uma matriz por um
vetor em outro vetor.
A seguir, apresentam-se algumas propriedades das diádicas (para coordenadas
retangulares):
a) UTS~~~
equivale a ijijij UTS (B.8 a)
b) )~
()~
( vTvT
(B.8 b)
c) TUUT~~~~
(B.8 c)
d) VUTVUT~
)~~
()~~
(~
(B.8 d)
e) TT~
)()~
( (B.8 e)
f) TT~~
1 (B.8 f)
g) TTT~~~
)( (B.8 g)
h) UTUT~~
)~~
( (B.8 h)
B.3- Produto escalar de dois tensores
O produto escalar de dois tensores é denotado por UT~
:~
e corresponde (em coordenadas
retangulares) a
ijijUTUT ~
:~
(B.9)
e resulta num escalar. De fato, percebe-se que
333332323131232322222121131312121111
332211
~:
~
UTUTUTUTUTUTUTUTUT
UTUTUTUT jjjjjj
(B.10)
é um escalar.
A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto escalar de dois tensores:
a) TUUT~
:~~
:~
(B.11 a)
b) VTUTVUT~
:~~
:~
)~~
(:~
(B.11 b)
c) )~
(:~~
:)~
()~
:~
( UTUTUT (B.11 c)
d) 0~
:~
TT a não ser que 0~~
T (B.11 d)
Dados os vetores, em notação matricial, ][ 131211 UUUa , ][ 232221 UUUb , etc,
então
3
1
3
1
3
1
31
31
31
31
31
31
:i
ii
i
ii
i
ii
TTT
T
fcebdafcebda
f
e
d
c
b
a
x
x
x
x
x
x
(B.12)
B.4 – Produto tensor de dois vetores
O produto tensor (ou produto aberto) de dois vetores, denotado por ba
(ou ba
), é um
tensor de segunda ordem ou diádica, definido pela seguinte exigência
)()( vbavba
(B.13 a)
ou
)()( vbavba
(B.13 b)
para todos os vetores v
, sendo que ( ) denota produto diádico e ( ) é o produto escalar entre
vetores.
Então, se baT
~
, ocorre
)(~
vbavT
(B.14)
para todo v
, em conformidade com a discussão da seção B.2, onde se estabeleceu que o produto
diádico entre matriz e vetor resulta em vetor.
Em coordenadas retangulares, tem-se que T~
corresponde à
jiij baT , para i,j=1, 2, 3 (B.15)
resultando em cada elemento do tensor T~
.
Em notação matricial, o produto tensor ba
é dado por:
TTTT
b
b
b
aaa
aaa
aaa
T baaa ][~
3
2
1
333
222
111
(B.16)
sendo ][ 321 aaaa e ][ 321 bbbb .
B.5 – Produto de duas diádicas
O produto de dois tensores de segunda ordem (diádicas), denotado por UT~~
. , designa a
composição de duas operações T e U, com a de U realizada primeiro, definida pela exigência:
)~
(~~
.~
vUTvUT
(B.17)
para todos os vetores v
, onde ( ) denota produto diádico de matriz por vetor. Observe que isto
torna necessário que UT~~
. resulte numa diádica.
Se UTP~
.~~
, em notação tensorial, tem-se
kjikij UTP (B.18)
ou em notação matricial
TUP (B.19)
A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto de duas diádicas:
a) )~
.~
.(~~
).~
.~
( RUTRUT (B.20 a)
b) RTUTRUT~
.~~
.~
)~~
.(~
(B.20 b)
c) TRTUTRU~
.~~
.~~
).~~
( (B.20 c)
d) )~
.(~
)~
).~
()~
.~
( UTUTUT (B.20 d)
e) TTT~
1~
.~~
.1~
(B.20 e)
B.6 – Gradiente de função escalar
O gradiente de uma função escalar é definido por
k
kx
FF
)( (B.21)
onde se fornece cada componente. Em notação simbólica (em coordenadas retangulares), tem-
se
k
k
xx
FF ˆ
, para k=1, 2, 3 (B.22)
Como se observa, este tipo de gradiente transforma um escalar num vetor. Outras notações
usadas na literatura são:
kk
k
FFx
F,
, para k=1, 2, 3 (B.23 a)
e
xkkk FxFxF ,ˆˆ (B.23 b)
Se o operador for tratado como o vetor simbólico 3
3
2
2
1
1ˆˆˆ
xx
xx
xx
, então, o
gradiente corresponde ao simples produto entre o vetor e o escalar F (em coordenadas
retangulares).
B.7 – Divergente de um vetor
O divergente de um vetor, em coordenadas retangulares, é definido por
)ˆˆˆ(ˆˆˆ321321 zyx vxvxvx
zx
yx
xxv
(B.24)
ou
ii
i
izyx vx
v
z
vx
y
v
x
vv ,3
ˆ
(B.25)
Verifica-se, assim, que o divergente de um vetor resulta num escalar (ao contrário do
gradiente). Com isso, verifica-se que se for tratado como um vetor, a divergência corresponde
ao produto escalar entre vetores estudados na seção B.1.
B.8 – Rotacional de um vetor
O rotacional de um vetor é definido, em coordenadas retangulares, como
ijkijk
zyx
xv
uuu
zyx
xxx
v ˆ///
ˆˆˆ
,
321
x (B.26)
sendo que ijk é o tensor permutação, definido como
repetidossãoíndicesdoisquando,0
132decíclicacomutaçãoporobtidoéíndicesdeconjuntooquando,1
123decíclicacomutaçãoporobtidoéíndicesdeconjuntooquando,1
ijk (B.27)
O termo jkv , corresponde à kj xv / como descrito na seção B.6 ( jv j /, ). A forma tensorial
em (B.26) tem índices i, j e k repetidos, implicando em somatório triplo. Como se observa, o
rotacional de um vetor resulta num outro vetor.
B.9 – Laplaciano de função escalar
O operador laplaciano de uma função escalar é definido como
2
2
2
2
2
22
z
F
y
F
x
FFF
(B.28)
Neste caso, tanto F quanto o seu laplaciano resultante são funções escalares.
Em notação tensorial, costuma-se escrever (B.28) como
kkFF ,
2 (B.29)
onde a representação com vírgula, F,k , indica uma derivação em relação a xk. O duplo índice
(,kk) implica tanto em derivada dupla em relação a xk, quanto somatório (pois o índice k é
repetido), ou seja
3
1
,,
k
kkk FF (B.30)
B.10- O gradiente de um vetor
Na seção B.6 se discutiu o gradiente de um escalar. A fim de se introduzir o conceito de
gradiente de um vetor de forma matematicamente precisa, considere-se o exemplo de um
deslocamento u
de um ponto em x
com relação a uma origem arbitrária 0x
, como
esquematizado na Fig. B.1.
Figura B.1 – Deslocamento generalizado de um segmento de linha xd
. O ponto 0x
se desloca
de uma quantidade )( 0xu
, enquanto o outro ponto extremo, xdx
0 , desloca-se por ).( 0 xdxu
Tomando-se os dois primeiros termos da série de Taylor da expressão de u
em torno de
0x
:
...)()(
0
0
j
xj
iii dx
x
uxuxu
para i=1, 2, 3 (B.31)
sendo ui a componente i do vetor u
. O índice repetido (j) implica em somatório. O termo )( 0xui
representa a translação de corpo sólido, pois todos os pontos na vizinhança de 0x
compartilham
o mesmo deslocamento. Expandindo-se (B.31) (usando-se apenas as duas primeiras parcelas da
série de Taylor), tem-se:
j
j
dxx
uxuxu
1
011 )()(
(B.32 a)
j
j
dxx
uxuxu
2
022 )()(
(B.32 b)
j
j
dxx
uxuxu
3
033 )()(
(B.32 c)
ou então, na forma matricial (para j=1, 2 e 3)
3
2
1
332313
322212
312111
03
02
01
3
2
1
///
///
///
)(
)(
)(
)(
)(
)(
dx
dx
dx
xuxuxu
xuxuxu
xuxuxu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
(B.33)
Em notação vetorial, (B.33) é escrito como
xduxuxu
)()( 0 (B.34)
onde u
ou jiij xu / é denominado de tensor gradiente do deslocamento. Como se
observa, o gradiente de um vetor resulta numa matriz. Infelizmente, o tensor u
não é
simétrico, o que limita diretamente seus limites de aplicação.
O tensor gradiente do deslocamento pode ser separado nas partes simétrica e anti-
simétrica como:
j
i
j
j
ij
i
j
j
iii dx
x
u
x
udx
x
u
x
uxuxu
2
1
2
1)()( 0
(B.35)
os quais podem ser associados a tensores de deformação e rotação. Expandindo (B.35) e
expressando na forma matricial:
3
2
1
3
3
3
2
2
3
3
2
1
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
03
02
01
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
dx
dx
dx
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
xu
xu
xu
xu
xu
xu
3
2
1
3
2
2
3
3
2
1
3
2
3
3
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
dx
dx
dx
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
(B.36)
Assim,
xduxduxuxu AS
)()( 0 (B.37)
sendo
uuu AS
(B.38 a)
ijijij RS (B.38 b)
e onde Sij e Rij são definidos abaixo.
A parte simétrica do tensor gradiente do deslocamento é
3
3
3
2
2
3
3
2
1
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
uS
(B.39)
ou então (ver Capítulo 6):
i
j
j
iij
x
u
x
uS
2
1, para i,j=1, 2 e 3 (B.40)
A parte anti-simétrica do tensor gradiente do deslocamento é
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
3
2
2
3
3
2
1
3
2
3
3
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
uA
(B.41)
ou então (ver Capítulo 6):
i
j
j
iij
x
u
x
uR
2
1, para i,j=1, 2 e 3 (B.42)
Assim, (B.37) pode ser escrita como:
jijjijii dxRdxSxuxu )()( 0
(B.43)
B.11- Notação simbólica para strain
Partindo-se da expressão (B.40), para i,j=1, 2 e 3, tem-se:
1
111
x
uS
(B.44 a)
2
222
x
uS
(B.44 b)
3
333
x
uS
(B.44 c)
32
2
3
3
223
2
1S
x
u
x
uS
(B.44 d)
31
1
3
3
113
2
1S
x
u
x
uS
(B.44 e)
21
1
2
2
112
2
1S
x
u
x
uS
(B.44 f)
A partir daí, define-se a matriz S~
como
345
426
561
333231
232221
131211
2/2/
2/2/
2/2/~
SSS
SSS
SSS
SSS
SSS
SSS
S (B.45)
onde foi empregada a notação de Voigt (111, 222, 333, 234, 135, 126). A relação
(B.45) também costuma ser expressa nos textos de mecânica dos sólidos como [3]:
z
y
x
u
u
u
xy
xz
yz
z
y
x
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
.
0//
/0/
//0
/00
0/0
00/
2
2
2
12
13
23
33
22
11
6
5
4
3
2
1
(B.46)
Em notação simbólica, (B.46) é escrita como:
uS s
~ (B.47)
onde s é a parte simétrica do gradiente de ui.
Derivando (B.47) no tempo, tem-se
vt
u
t
Sss
~
(B.48)
Como o operador s em (B.46) é uma matriz 6x3, então, também se usa a representação:
Ijs , para I=1, ..., 6 (6 linhas) e j=1, 2 e 3 (3 colunas), ou seja
I
j
j
IIJ
x
u
x
u
(B.49)
Nota-se que, se não houver rotação, então 0ijR , e ijij S , isto é, torna-se igual ao gradiente
total. De fato, se não há rotação, então,
02
1
1
2
2
1
x
u
x
u
1
2
2
1
x
u
x
u
2
1
1
2
2
1
2
1
x
u
x
u
x
u
(B.50 a)
02
1
1
3
3
1
x
u
x
u
1
3
3
1
x
u
x
u
3
1
1
3
3
1
2
1
x
u
x
u
x
u
(B.50 b)
e então, (B.43) torna-se, para i=1
3
2
1
3
1
2
1
1
1011 .)()(
dx
dx
dx
x
u
x
u
x
uxuxu
(B.51)
e idem para )(2 xu
e )(3 xu
. Nesta situação, pode-se escrever que
xduxuxu
.)()( 0 (B.52)
como havia sido anunciado em (B.34), porém, agora, com uu s
. Nesta situação, (B.48)
torna-se
vvt
Ss
~
(B.53)
ou então
j
iij
x
v
t
S
(B.54)
Ou seja, se não há rotação, u
só exibe a parte simétrica us
, o qual passa a ser simplesmente
a matriz u
com 1221 // xuxu , 1331 // xuxu , etc. Como discutido no capítulo 6,
equivale a se ter ângulos 21 durante a deformação.
B.12- Dilatação
A dilatação do vetor u
, , corresponde a um divergente de vetor, definido conforme
332211
3
3
2
2
1
1 SSSx
u
x
u
x
uu
(B.55)
ou então, em notação matricial
33
22
11
3
1
2
1
1
1 ˆ
ˆ
ˆ
.ˆˆˆ
xu
xu
xu
xx
xx
xx
(B.56)
B.13- Stress
A equação de movimento (lei de Newton) descrita no Capítulo 6, por (6.84), estabelece
que
2
2
t
u
x
Ti
j
ij
(B.57)
a qual, na versão expandida, torna-se
2
3
2
3
33
2
32
1
31
2
2
2
3
23
2
22
1
21
2
1
2
3
13
2
12
1
11
t
u
x
T
x
T
x
T
t
u
x
T
x
T
x
T
t
u
x
T
x
T
x
T
(B.58)
O sistema (B.58) pode ser escrito como o produto de um vetor por uma matriz (diádica):
33
22
11
2
2
332313
322212
312111
3
3
2
2
1
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
xu
xu
xu
tTTT
TTT
TTT
xx
xx
xx
(B.59)
Neste estágio, pode-se recorrer à definição de produto diádico (single dot) estudado na seção
B.2, e se escrever (B.59) como
2
2~
t
uT
(B.60)
desde que se opere no sistema de coordenadas retangulares.
Conforme havia sido estabelecido na definição do produto diádico, o operador divergente
matricial transforma uma diádica (um matriz) num vetor.
Em notação de índices reduzidos, o tensor stress dado em (B.59) é escrito como
345
426
561~
TTT
TTT
TTT
T (B.61)
no qual observa-se que os fatores ½ [como os usados em (B.45)]) não são necessários. Já a
equação de movimento (B.57) torna-se
t
vT
~ (B.62)
Em notação simbólica, a equação de movimento (B.57), ou (B.62), para índices reduzidos, fica
como
z
y
x
v
v
v
t
T
T
T
T
T
T
xyz
xzy
yzx
6
5
4
3
2
1
.
0///00
/0/0/0
//000/
(B.63)
onde foi necessário se aplicar T
s , a transposta de s . Assim, tratando-se T~
na forma de
matriz coluna, dada em (B.63), tem-se
t
vTT
s
~ (B.64)
O operador matricial é uma matriz 3x6, tal que: iJ
T
s , sendo i=1,2 e 3, e, J=1, ..., 6.
B.14 Bibiografia
[1] Smirnov, A. V. Introduction to Tensor Calculus, Lecture notes, 2004.
[2] Jaric, J. P., Kuzmanovic, D., Golubovic, Z., On Tensor of Elasticity, Theoret. Appl.
Mech., vol. 35, no. 13, pp.119-136, 2008.
[3] Kino , Gordon S., Acoustic Waves: Devices, Imaging, and Analog Signal Processing
Prentice-Hall Signal Processing Series, 1987, 688 p.
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