representação do conhecimento -...
Post on 09-Nov-2018
213 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Cálculo proposicional
O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio.
No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos.
“ Lógica: conhecimento das formas gerais e regras gerais do pensamento correto e verdadeiro, independentemente dos conteúdos pensados; regras para demonstração científica verdadeira; regras para pensamento não científicos; regras sobre o modo de expor o conhecimento; regras para verificação da verdade ou falsidade de um pensamento etc.” (Chauí, 2002, apud Souza, 2002)
Abordagens introdutórias:
Lógica proposicional
Lógica de predicados
1
Cálculo proposicional Argumento: sequência de afirmações para demonstrar a validade de uma
asserção.
Forma de um argumento: conceito central da lógica dedutiva.
Como saber que a conclusão obtida de um argumento é válida?
As afirmações que compõem o argumento
– são aceitas como válidas, ou
– podem ser deduzidas de afirmações anteriores.
Em lógica, forma de um argumento é diferente de seu conteúdo.
“Análise lógica” não determina a validade do conteúdo de um argumento.
“Análise lógica” determina se a verdade de uma conclusão pode ser obtida da verdade de argumentos propostos.
Lógica: Ciência do Raciocínio
2
Cálculo proposicional
Argumento (definição): - Um argumento é uma sequencia de afirmações; - Todas as afirmações, exceto a última, são chamadas de premissas
ou suposições ou hipótese; - A última afirmação é chamada de conclusão.
Alguns fatos sobre argumentos do ponto de vista da
matemática e da lógica: - Um argumento não é uma disputa; - Um argumento é uma sequencia de comandos que termina
numa conclusão; - Um argumento válido significa que a conclusão pode ser obtida
necessariamente das afirmações que o precedem; Em geral utiliza-se o símbolo ( - “de onde se conclui”), para
indicar a conclusão.
3
Cálculo proposicional
Forma de um Argumento x Seu Conteúdo Se a sintaxe de um programa esta errada ou Se a execução do programa resulta numa divisão por zero, então o computador irá gerar uma mensagem de erro. Computador não gera uma mensagem de erro ↓ Sintaxe do programa está correta e Execução do programa não resulta em divisão por zero.
4
Cálculo proposicional
Formas de um argumento x seu conteúdo Nos exemplos, temos que o conteúdo dos argumentos é diferente. No
entanto, a “forma lógica” é a mesma.
Argumentos na forma lógica são normalmente representados por letras minúsculas do alfabeto.
Ex.: p, q. r, ...
Em geral, as definições da lógica formal estão de acordo com a lógica natural ou intuitiva das pessoas de bom senso.
O formalismo é introduzido para evitar ambiguidades e garantir consistência.
5
Cálculo proposicional
Proposições.
Em toda teoria matemática, usam-se termos já definidos na concepção de novas definições.
Mas como fazer com os termos mais “primitivos”?
- termos “primitivos” ou iniciais não são definidos.
- em lógica, os termos primitivos são: sentenças, verdadeiro, e falso.
Definição:
Uma afirmação ou proposição é uma sentença que é verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas.
6
Cálculo proposicional
Proposições compostas. Usaremos as letras minúsculas (ex.: p, q, r, ...) para representar proposições.
Os seguintes símbolos podem ser usados para definir expressões lógicas mais complexas, a partir de expressões mais simples:
a) ¬ ou ~ ou “barra sobre a letra” ou “linha”: representam o “não”
¬y: lê-se “não y” outras formas “~y”, “y’ “ e ȳ
a) Λ: representa o conectivo “e”, conjunção de p e q
p Λ q: lê-se “p e q”
a) “v” : representa o conectivo “ou”, disjunção de p e q
p v q: lê-se “p ou q”
Usaremos o termo fórmula (indicado por : α, β, ...) para as proposições simples (p, q , r) e compostas (p v q; ~p; p→r, [(p v q) →q]...). Ao resultado do valor lógico atribuído a cada fórmula, denominaremos interpretação e indicaremos por I.
8
Cálculo proposicional
Para uma sentença ser uma proposição é necessário ter um valor-verdade bem definido, isto é, V ou F.
10
Cálculo proposicional
Construa a tabela verdade para a expressão:
.
O ponto fundamental em assinalar “valores-verdade” para proposições compostas é permitir o uso da lógica para decidir a verdade de uma proposição usando somente o conhecimento das partes.
A lógica não ajuda a determinar a verdade ou falsidade de uma afirmação em si, ou seja, seu conteúdo.
11
Cálculo proposicional
Equivalência lógica.
Definição: duas proposições p e q são equivalentes logicamente se e somente se os valores-verdade obtidos forem idênticos para cada combinação possível das variáveis que formam as proposições.
Exemplo:
Como verificar se duas proposições são equivalentes logicamente?
12
Cálculo proposicional Sejam as afirmações:
- p = João é alto.
- q = José é ruivo.
A proposição (p Λ q) é verdadeira se somente se os componentes forem verdadeiras.
Quando a proposição é falsa?
- quando um dos componentes ou ambos forem falsos, ou seja, quando:
Mostre as seguintes equivalências:
Essas equivalências ( ) são conhecidas como Lei de De Morgan, que foi o primeiro a expressá-las em termos matemáticos.
13
Cálculo proposicional
Apesar das leis da lógica serem extremamente úteis, elas devem ser usadas como uma ajuda ao raciocínio e não como um substituto mecânico a inteligência.
Equivalência lógica é muito útil na construção de argumentos.
14
Cálculo proposicional
Proposição condicional ou implicação.
- “Se p então q” (ou p implica q) é representado simbolicamente por p q ,
- onde p é chamado de hipótese e q de conclusão. Essa sentença é denominada de condicional.
Esse tipo de sentença é usado tanto na linguagem natural quanto em raciocínio matemático para dizer que a verdade da proposição q (conclusão) está condicionada a verdade da proposição p (hipótese).
- Ex. se (48 é divisível por 6)=[p] , então (48 é divisível por 3)=[q] .
- Se João estuda=[p] , então sai bem na prova=[q].
15
Cálculo proposicional
Mostre por equivalência lógica, usando tabela verdade, que é possível representar :
a) b)
c) A proposição contrapositiva de
ou
Atenção:
18
Cálculo proposicional
Bicondição de duas proposições p e q
p ↔ q, lê-se: “ p se somente se q”
Definição
Chama-se bicondicional uma proposição representada por « p se e somente se q » ou
« p ↔ q », cujo valor logico é verdade (V) quando p e q sao ambas, verdadeiras ou falsas.
A sentença “bicondicional” entre p e q é expressa por p ↔ q, tem a seguinte tabela da verdade:
19
Cálculo proposicional
Definição: a) Admitindo que uma fórmula tenha um valor V numa certa
interpretação. Nesse caso, diz-se que a formula é verdadeira nessa interpretação.
b) Admitindo que uma fórmula seja verdadeira segundo alguma interpretação. Nesse caso, diz-se que a fórmula é satisfatível (ou consistente).
c) Admitindo que uma fórmula tenha um valor F numa interpretação. Neste caso, diz-se que a fórmula é falsa segundo essa interpretação.
d) Uma fórmula é válida quando é verdadeira em todas as suas interpretações.
As fórmulas válidas no cálculo proposicional são denominadas – tautologias.
21
Cálculo proposicional Definição: e) Uma formula será insatisfatível (ou inconsistente) quando for falsa
segundo qualquer interpretação. As fórmulas insatisfatíveis do cálculo proposicional são também chamadas de
contradições. Note que uma contradição é a negação de uma tautologia. e) Uma fórmula será inválida quando for falsa segundo alguma
interpretação. Conclusões: 1. Uma fórmula é válida sss sua negação for insatisfatível; 2. Uma fórmula é insatisfatível (inconsistente) sss sua negação for válida; 3. Uma fórmula é inválida sss existir pelo menos uma interpretação em que
ela é falsa; 4. Uma fórmula é satisfatível (consistente) sss existir pelo menos uma
interpretação segundo a qual ela é verdadeira; 5. Se uma fórmula for válida, então é satisfatível; 6. Se uma fórmula for insatisfatível, então é inválida. 22
Cálculo proposicional Argumentos válidos e inválidos Ex.: “Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal.” Escrevendo em termos de variáveis: p = Sócrates é um ser humano; q = Sócrates é mortal
Em forma simbólica teríamos:
Se p então q; p; q.
A forma de um argumento é válida se, somente se:
- Para todas as combinações de argumentos que levam as premissas verdadeiras então a conclusão também é verdadeira.
A verdade da conclusão é obtida analisando os valores-verdade da forma lógica em si.
23
Cálculo proposicional
Como analisar a validade dos argumentos?
A validade da forma de um argumento pode ser feita seguindo os seguintes passos:
1. Identifique as premissas e conclusão do argumento.
2. Construa a tabela da verdade identificando as colunas das premissas e da conclusão.
3. Identifique as linhas onde todas as premissas são verdadeiras (linhas críticas).
4. Para cada linha crítica verifique se a conclusão do argumento é verdadeira.
(a) Se for verdadeira para todas as linhas críticas então a forma do argumento é válida.
(b) Se existir pelo menos uma linha crítica com conclusão falsa então a forma do argumento é inválida.
24
Cálculo proposicional
Ex.: Analise a validade dos argumentos:
Tabela verdade das proposições:
Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. (Tautologia)
Todas as linhas, exceto as críticas, são irrelevantes para verificar a validade dos argumentos.
25
Cálculo proposicional
Para o exemplo: “Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal.” Tabela verdade das proposições Em lógica: Se p então q; p; q. Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o
argumento é válido. (Tautologia) 26
premissas conclusão
p q p→q p q
1 V V V V V
2 V F F V
3 F V V F
4 F F V F
Cálculo proposicional
Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade das proposições Para todas as linhas críticas, exceto a 4, a conclusão é verdadeira.
Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo as interpretações: I1, I7 e I8
27
Cálculo proposicional
Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade dos argumentos: Existem duas linhas críticas, em uma delas a conclusão é falsa.
Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo a interpretação I1
28
Cálculo proposicional
Analise a validade dos argumentos: (p → p v q) ~ (p → p v q) Tabela verdade das proposições
Para todas as linhas criticas a conclusão é falsa. Logo o argumento é uma contradição. (Insatisfatível)
29
premissas conclusão
p q p v q p→q v q ~(p→q v q)
1 V V V V F
2 V F V V F
3 F V V V F
4 F F V V F
30
Cálculo proposicional
Validade de sentenças pode ser verificada de duas maneiras
• Tabelas-Verdade
• É uma representação para todos os valores lógicos possíveis para
uma proposição simples e a combinação de várias proposições
simples. É utilizada para verificar o valor lógico de uma proposição
composta, a partir de proposições simples.
• Regras de inferência
• capturam padrões de inferências (sintáticos!!!)
• sempre que algum fato nas premissas casar com o padrão da
sentença acima, a regra de inferência conclui o padrão da sentença
abaixo.
• uma regra de inferência preserva a verdade, se a conclusão é
verdade, em todos os casos onde as premissas são verdadeiras.
Cálculo proposicional
Ex.: Mostre que: a) (p →q) Λ (p→ ~q) → ~p é uma tautologia.
Algumas equivalências lógicas:
31
Cálculo proposicional
Consequência lógica é o elo entre o que o agente “acredita” e aquilo que é explicitamente representado e sua base de conhecimento.
A tabela verdade é um método semântico que permite verificar
consequências lógicas. Este método tem a vantagem de ser conceitualmente simples; mas
como o número de linhas da tabela verdade cresce exponencialmente em função do número de proposições na formula, seu uso nem sempre é viável.
O raciocínio automatizado vem como uma alternativa mais eficiente para verificação de consequência lógica, isto é, a validação de argumentos.
32
top related