processo de transformação de um polígono qualquer em um triângulo equilátero de Área...

Processo de Transformação de um Polígono Qualquer em um Triângulo Equilátero de Área

Equivalente

Centro Universitário Franciscano

Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática

FRANCISCANOCENTRO UNIVERSITÁRIO

Aluna do Mestrado: Merielen Fátima Caramori

2008

OBJETIVOOBJETIVO

Demonstrar a equivalência entre as áreas de um

polígono irregular e um triângulo equilátero.

Esta atividade foi apresentada no Seminário Integrado como parte das Reflexões da Docência, no Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática.

CONTEXTO DA ATIVIDADECONTEXTO DA ATIVIDADE

Essa atividade foi desenvolvida seguindo

uma sequência de passos para mostrar a

transformação de um pentágono irregular num

triângulo equilátero de área equivalente.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADEDESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

As construções realizadas para o debate

seguem as idéias do texto de Antoni Pinyol

Fontova : “Equivalencia entre cualquier polígono “Equivalencia entre cualquier polígono

regular regular o irregular y um triângulo equilátero”o irregular y um triângulo equilátero”

Revista UNO Revista de Didática de las

Matemáticas nº44,2007. As construções

realizadas serviram de inspiração para o debate

sobre as relações geométricas entre duas figuras

planas e a discussão sobre a quadratura de figuras

planas.

Primeiro Passo:

Transformar um pentágono irregular num triângulo qualquer.

Considera-se um pentágono irregular ABCDEABCDE qualquer, como mostrado na figura 1.

Em seguida são traçadas as diagonais ADAD e BD BD e são traçadas as retas paralelas a ADAD e BDBD interceptando a reta r nos pontos F e G, respectivamente

Desse modo transformou-se um pentágono irregular num triângulo escaleno FGDFGD, de mesma área.

Observa-se que os triângulos ADE e ADF são

congruentes pois têm a mesma base e mesma altura.

Também são congruentes os triângulos BCD e BGD.

Deste modo construiu-se um triângulo FDG com área

equivalente à área do pentágono.

Segundo Passo:

Transformar um triângulo escaleno num

triângulo isósceles de mesma área.

Para transformar o triângulo escaleno FGD num triângulo isósceles com mesma área, traça-se uma paralela ao lado FG passando pelo vértice D e, a seguir, traça-se a mediatriz do lado FG do triângulo determinando os pontos H e I. Os triângulos escaleno e isósceles possuem áreas iguais.

A dificuldade que se apresenta é transformar um

triângulo escaleno num triângulo equilátero. Essa

transformação não pode ser feita diretamente, portanto

vamos transformar o triângulo escaleno num retângulo.

Traça-se primeiramente o ponto médio M da altura FC do triângulo. Pelo ponto M traça-se uma reta s paralela à base AB do triângulo. A seguir, traçam-se retas paralelas à altura FC, passando por A e B, respectivamente, determinando os pontos E e D sobre a reta s.

Os triângulos MCG e BDG são congruentes pois possuem três ângulos iguais. Dois ângulos são opostos pelo vértice vértices , os ângulos por serem alternos internos e os outros dois pelo paralelismo entre seus lados. Do mesmo modo são congruentes os triângulos AEH e HMC.

Desse modo transformou-se o triângulo escaleno ABC no retângulo ABDE de mesma área.

Terceiro Passo:

Transformar um retângulo num quadrado de

mesma área.

A partir do retângulo ABCD, pode-se traçar um

quadrado de área equivalente. Para isso vamos rebater o lado

AD sobre a reta r, determinando o ponto E e determinamos o

ponto O, ponto médio do segmento EB.Com centro em O e

raio OE traça-se uma semicircunferência. Prolongando o lado

AD determinamos o ponto F sobre a circunferência e

traçamos o triângulo EFB.

Observamos que o vértice F está sobre a circunferência e,

das relações métricas de um triângulo retângulo, pode-se

concluir que AF x AF=EA x AB.

Como a medida de AD é igual a medida de EA, pois é o raio

da circunferência menor, a área do quadrado AFGH é

equivalente à área do retângulo ABCD.

A construção realizada até o momento mostra que é

possível transformar um pentágono irregular num

quadrado de área equivalente. Este processo é

denominado de “Quadratura de Uma Figura Plana”.“Quadratura de Uma Figura Plana”.

Nosso propósito é mostrar que é possível

transformar um polígono regular ou irregular num

triângulo equilátero que é a figura plana regular com

menor número de lados.

Quarto Passo:

Transformar um quadrado num triângulo

equilátero de mesma área.

Para transformar um quadrado num triângulo

equilátero o primeiro passo consiste em construir um

triângulo BFE equilátero.

A seguir determina-se o ponto G, ponto médio de FH, que

corresponde a altura do triângulo BEF. Pelo ponto G traça-

se uma reta s paralela à reta r, determinando o ponto J

sobre o lado do quadrado. Traçando uma perpendicular à

reta r, passando por E, determina-se o ponto I sobre s. O

retângulo BEIJ é equivalente ao triângulo equilátero

BEF.Com centro em B rebate-se o lado BJ sobre a reta r,

determinando o ponto K.

A seguir determina-se o ponto médio L do segmento KE. A partir de

L, traça-se uma semicircunferência passando pelos pontos K a E. Esta

circunferência, ao interceptar o quadrado ABCD determina o ponto M.

O segmento BM é o lado do quadrado BMNO, equivalente ao retângulo

BEIJ de acordo com a construção realizada anteriormente..

A partir do ponto M traça-se o segmento MF.

Prolonga-se o segmento BF, e por C, traça-se uma semi-reta t,

paralela ao segmento MF, encontrando o segmento BF no ponto P.

Pelo ponto P, traça-se uma semi-reta s paralela ao lado EF do

triângulo equilátero BEF, a qual intercepta a prolongação de AB no

ponto Q.

O triângulo BQP é eqüilátero e é semelhante ao triângulo BEF.

O triângulo equilátero BQP é equivalente ao quadrado ABCD.

O triângulo BQP possui área equivalente ao

quadrado ABCD.

Essa apresentação propiciou retomar a discussão sobre:

- O conceito de quadratura das figuras planas;

- A História da Matemática como uma estratégia para

ensinar matemática;

- A congruência de triângulos e suas propriedades.

CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS

Este tipo de atividade propicia a compreensão do

significado das transformações geométricas aplicadas a

figuras planas mantendo áreas equivalentes;

A utilização de um software de Geometria Dinâmica é de

fundamental importância para visualização das

construções realizadas.

Pode-se concluir que: