Processo de Transformação de um Polígono Qualquer em um Triângulo Equilátero de Área

Equivalente

Centro Universitário Franciscano

Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática

FRANCISCANOCENTRO UNIVERSITÁRIO

Aluna do Mestrado: Merielen Fátima Caramori

2008

OBJETIVOOBJETIVO

Demonstrar a equivalência entre as áreas de um

polígono irregular e um triângulo equilátero.

Esta atividade foi apresentada no Seminário Integrado como parte das Reflexões da Docência, no Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática.

CONTEXTO DA ATIVIDADECONTEXTO DA ATIVIDADE

Essa atividade foi desenvolvida seguindo

uma sequência de passos para mostrar a

transformação de um pentágono irregular num

triângulo equilátero de área equivalente.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADEDESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

As construções realizadas para o debate

seguem as idéias do texto de Antoni Pinyol

Fontova : “Equivalencia entre cualquier polígono “Equivalencia entre cualquier polígono

regular regular o irregular y um triângulo equilátero”o irregular y um triângulo equilátero”

Revista UNO Revista de Didática de las

Matemáticas nº44,2007. As construções

realizadas serviram de inspiração para o debate

sobre as relações geométricas entre duas figuras

planas e a discussão sobre a quadratura de figuras

planas.

Primeiro Passo:

Transformar um pentágono irregular num triângulo qualquer.

Considera-se um pentágono irregular ABCDEABCDE qualquer, como mostrado na figura 1.

Em seguida são traçadas as diagonais ADAD e BD BD e são traçadas as retas paralelas a ADAD e BDBD interceptando a reta r nos pontos F e G, respectivamente

Desse modo transformou-se um pentágono irregular num triângulo escaleno FGDFGD, de mesma área.

Observa-se que os triângulos ADE e ADF são

congruentes pois têm a mesma base e mesma altura.

Também são congruentes os triângulos BCD e BGD.

Deste modo construiu-se um triângulo FDG com área

equivalente à área do pentágono.

Segundo Passo:

Transformar um triângulo escaleno num

triângulo isósceles de mesma área.

Para transformar o triângulo escaleno FGD num triângulo isósceles com mesma área, traça-se uma paralela ao lado FG passando pelo vértice D e, a seguir, traça-se a mediatriz do lado FG do triângulo determinando os pontos H e I. Os triângulos escaleno e isósceles possuem áreas iguais.

A dificuldade que se apresenta é transformar um

triângulo escaleno num triângulo equilátero. Essa

transformação não pode ser feita diretamente, portanto

vamos transformar o triângulo escaleno num retângulo.

Traça-se primeiramente o ponto médio M da altura FC do triângulo. Pelo ponto M traça-se uma reta s paralela à base AB do triângulo. A seguir, traçam-se retas paralelas à altura FC, passando por A e B, respectivamente, determinando os pontos E e D sobre a reta s.

Os triângulos MCG e BDG são congruentes pois possuem três ângulos iguais. Dois ângulos são opostos pelo vértice vértices , os ângulos por serem alternos internos e os outros dois pelo paralelismo entre seus lados. Do mesmo modo são congruentes os triângulos AEH e HMC.

Desse modo transformou-se o triângulo escaleno ABC no retângulo ABDE de mesma área.

Terceiro Passo:

Transformar um retângulo num quadrado de

mesma área.

A partir do retângulo ABCD, pode-se traçar um

quadrado de área equivalente. Para isso vamos rebater o lado

AD sobre a reta r, determinando o ponto E e determinamos o

ponto O, ponto médio do segmento EB.Com centro em O e

raio OE traça-se uma semicircunferência. Prolongando o lado

AD determinamos o ponto F sobre a circunferência e

traçamos o triângulo EFB.

Observamos que o vértice F está sobre a circunferência e,

das relações métricas de um triângulo retângulo, pode-se

concluir que AF x AF=EA x AB.

Como a medida de AD é igual a medida de EA, pois é o raio

da circunferência menor, a área do quadrado AFGH é

equivalente à área do retângulo ABCD.

A construção realizada até o momento mostra que é

possível transformar um pentágono irregular num

quadrado de área equivalente. Este processo é

denominado de “Quadratura de Uma Figura Plana”.“Quadratura de Uma Figura Plana”.

Nosso propósito é mostrar que é possível

transformar um polígono regular ou irregular num

triângulo equilátero que é a figura plana regular com

menor número de lados.

Quarto Passo:

Transformar um quadrado num triângulo

equilátero de mesma área.

Para transformar um quadrado num triângulo

equilátero o primeiro passo consiste em construir um

triângulo BFE equilátero.

A seguir determina-se o ponto G, ponto médio de FH, que

corresponde a altura do triângulo BEF. Pelo ponto G traça-

se uma reta s paralela à reta r, determinando o ponto J

sobre o lado do quadrado. Traçando uma perpendicular à

reta r, passando por E, determina-se o ponto I sobre s. O

retângulo BEIJ é equivalente ao triângulo equilátero

BEF.Com centro em B rebate-se o lado BJ sobre a reta r,

determinando o ponto K.

A seguir determina-se o ponto médio L do segmento KE. A partir de

L, traça-se uma semicircunferência passando pelos pontos K a E. Esta

circunferência, ao interceptar o quadrado ABCD determina o ponto M.

O segmento BM é o lado do quadrado BMNO, equivalente ao retângulo

BEIJ de acordo com a construção realizada anteriormente..

A partir do ponto M traça-se o segmento MF.

Prolonga-se o segmento BF, e por C, traça-se uma semi-reta t,

paralela ao segmento MF, encontrando o segmento BF no ponto P.

Pelo ponto P, traça-se uma semi-reta s paralela ao lado EF do

triângulo equilátero BEF, a qual intercepta a prolongação de AB no

ponto Q.

O triângulo BQP é eqüilátero e é semelhante ao triângulo BEF.

O triângulo equilátero BQP é equivalente ao quadrado ABCD.

O triângulo BQP possui área equivalente ao

quadrado ABCD.

Essa apresentação propiciou retomar a discussão sobre:

- O conceito de quadratura das figuras planas;

- A História da Matemática como uma estratégia para

ensinar matemática;

- A congruência de triângulos e suas propriedades.

CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS

Este tipo de atividade propicia a compreensão do

significado das transformações geométricas aplicadas a

figuras planas mantendo áreas equivalentes;

A utilização de um software de Geometria Dinâmica é de

fundamental importância para visualização das

construções realizadas.

Pode-se concluir que: