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Plano cartesiano, Retas e

Circunferência

Alex Oliveira

Sistema cartesiano ortogonal

O sistema cartesiano ortogonal é formado

por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A

intersecção dos eixos x e y é o ponto O.

chamado de origem do sistema. Há uma

relação entre os pontos de um plano e o

conjunto de pares ordenados, isto é, a cada

ponto corresponde um único par

ordenado(x, y).

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Sistema cartesiano ortogonal

Exemplo:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

B

A

C

D

Sistema cartesiano ortogonal

Os pares ordenados são:

(3, 2) está associado o ponto A;

(-1, -4) está associado o ponto B;

(-2, -3) está associado o ponto C;

(2, -1) está associado o ponto D.

Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que onúmero 3 é a coordenada x ou a abscissa doponto A, e o número 2 é a coordenada y ou aordenada do ponto A.

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Sistema cartesiano ortogonal

Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiõeschamadas quadrantes. O sinal positivo ou negativoda abscissa e da ordenada varia de acordo com oquadrante.

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x

y

1º quadrante(+, +)

2º quadrante(-, +)

3º quadrante(-, -)

4º quadrante(+, -)

Distância entre dois pontos

Dados dois pontos, A e B, a distância entreeles, que será indicada por d(A, B), é a medidado segmento de extremidades A e B.

• Exemplo:

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Como em ambos ospontos, o valor daordenada é o mesmo(y = 1) a distânciaserá a diferençaentre as ordenadas.d(A, B) = 3 – 1 = 2

A(1, 1) B(3, 1)

Distância entre dois pontos

• Exemplo:

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Nesse caso, como nem aordenada e nem aabscissa dos pontos sãoiguais, usamos a relaçãode Pitágoras para obtera distância entre ospontos.[d(C, D)]2 = 32 + 22

d(C, D) = 13

2

3

C(1, 3)

D(4, 1)

Distância entre dois pontos

Temos uma fórmula que representa a

distância entre dois pontos independente da

localização deles. Para dois pontos

quaisquer, A e B, tal que A(x1, y1) e B(x2,

y2), teremos:

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d(A, B) = x2− x12+ y2− y1

2

Ponto médio de um segmento

Dado um segmento de reta AB tal que A e B sãodistintos, vamos determinar as coordenadas de M, pontomédio de AB. Considere:

• Um segmente com extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2);

• O ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB.

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y

xx1 x2

y1

y2

A

M

B

Ponto médio de um segmento

Podemos concluir que, dado um segmento deextremidades A e B:

• A abscissa do ponto médio do segmento é amédia aritmética das abscissas dasextremidades:

• A ordenada do ponto médio do segmento é amédia aritmética das ordenadas dasextremidades:

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x = x2+ x12

y = y2+ y12

Ponto médio de um segmento

Assim, o ponto médio M do segmento AB,

pode ser obtido independente da

localização das extremidades usando as

fórmulas anteriores:

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M =x2+ x12

,y2+ y12

Coeficiente angular de uma reta

Consideremos uma reta r de inclinação

em relação ao eixo x.

O coeficiente angular ou a declividade

dessa reta r é o número real m que

expressa a tangente trigonométrica de sua

inclinação , ou seja:

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m = tg()

Coeficiente angular de uma reta

Vamos observar casos, considerando:

• 0º 180º

1º -

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x

y

r

Para = 0°, temos m = tg = tg 0° = 0,nesse caso temos uma reta horizontal.

Coeficiente angular de uma reta

2º -

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x

y

r

Para 0° < < 90°, temos tg > 0 m > 0

Coeficiente angular de uma reta

3º -

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x

y

r

Para 90° < < 180°, temos tg < 0 m < 0

Coeficiente angular de uma reta

4º -

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x

y

r

Para = 90°, a tg não é definida, nessecaso é uma reta vertical, ela não temdeclividade

Coeficiente angular de uma reta

Agora vamos ver como calcular o coeficiente angularde uma reta a partir das coordenadas de dois de seuspontos.

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x

y r

A

B

Cy

x

x1x2

y2

y1

No triângulo ABC, temos:

tg = d(C, B)d(A, C)

yx

y2− y1x2 − x1

Então:

m = yx

= y2− y1x2− x1

Equação da reta

Vimos antes que dois pontos distintos

determinam uma reta, ou seja, existe uma

única reta que passa pelos dois pontos.

Da mesma forma, um ponto P(x0, y0) e a

declividade m determinam uma reta r.

Considerando ponto P(x, y) dessa reta,

veremos que se pode chegar a uma

equação, de incógnitas x e y.

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Equação da reta

Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta e tg = m, temos:

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x

y r

P0

P

C

x0x

y

y0

tg = d(C, P)d(P0, C)

m = y− y0x − x0

y – y0 = m(x – x0)

Vamos praticar...

Uma reta passa pelo ponto P(-1, -5) e tem

coeficiente angular m =1

2. Escreva a

equação da reta.

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Vamos praticar...

Tendo o ponto e o coeficiente angular,usaremos esses valores no modelo daequação.

y – y0 = m(x – x0)

y – (-5) =1

2[x – (-1)]

y + 5 =𝑥

2+

1

2

𝑥

2- y +

1

2- 5 = 0

x – 2y +1 – 10 = 0

x – 2y – 9 = 0

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Vamos praticar...

Na figura dada, o ponto O é a origem dosistema de coordenadas ortogonais e OABC éum retângulo. Nessas condições, escreva aequação da reta-suporte da diagonal AC.

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x

y

C B(8, 4)

AO

Vamos praticar...

Pela figura podemos as coordenadas do pontos A e Csão:

A(8, 0)

C(0, 4)

Usando os dois pontos podemos encontrar a coeficiente angular.

m = y2− y1x2− x1

m = 4 − 0

0 − 8 m = -

4

8 m = -

𝟏

𝟐Agora vamos usar um dos pontos junto com o coeficiente para encontrar a equação.

y – 4 = -1

2(x - 0) y – 4 = -

𝑥

2

𝑥

2+ y - 4 = 0 x + 2y – 8 = 0

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Vamos praticar...

(Vunesp) Num sistema de eixos cartesianos

ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x – 5y – 2 = 0

são, respectivamente, as equações das

retas r e s. Determine as coordenadas do

ponto de intersecção de r em s.

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Vamos praticar...

O ponto de interseção (x, y) deve satisfazer ao mesmotempo ambas as equações. Assim, devemos resolver osistema:

x + 3y + 4 = 0

2x – 5y – 2 = 0

Isolamos x na primeira equação:

x = -3y – 4

Agora aplicamos o x na segunda equação:

2(-3y - 4) – 5y – 2 = 0 -6y – 8 – 5y – 2 = 0

-11y – 10 = 0 y = -10

11

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Vamos praticar...

Aplicamos o valor de y na primeira equação

para encontrar a coordenada x:

x = -3 −10

11– 4 x =

30

11- 4 x =

30 − 44

11

x =−𝟏𝟒

𝟏𝟏

Assim, o ponto de intersecção das retas r e

s é−𝟏𝟒

𝟏𝟏,−𝟏𝟎

𝟏𝟏.

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Duas retas no plano

Duas retas r e s, contidas no mesmo plano

são paralelas ou concorrentes.

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Retas Paralelas

Sendo 1 a inclinação da reta r e 2 a

inclinação da reta s, temos:

m1 = m2 tg 1 = tg 2 1 = 2

Se as inclinações são iguais, as retas são

paralelas (r // s).

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Retas Paralelas

Veja as imagens a seguir, que mostram

duas retas distintas e não-verticais, que são

paralelas:

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x

y

1

r s

2

Observamos que:2 = 1 tg 2 = tg 1

m2 = m1 r // s

Retas Paralelas

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x

y

1

r s

2

Observamos que:2 = 1 tg 2 = tg 1

m2 = m1 r // s

Retas Paralelas

Podemos concluir que, dadas duas retas

distintas e não-verticais r e s são paralelas

se, e somente se, seus coeficientes

angulares são iguais (m1 = m2).

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Retas Concorrentes

Duas retas do mesmo plano com coeficientesangulares diferentes não são paralelas, logo,são concorrentes.

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x

y

1

rs

2

Observamos que:2 1 tg 2 tg 1

m2 m1 r e s: sãoconcorrentes

Retas Concorrentes

Portanto, duas retas distintas e não-verticais

r e s são concorrentes se, e somente se,

seus coeficientes angulares são

diferentes (m1 m2).

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Intersecção de duas retas

A figura mostra duas retas, r e s, do mesmo plano, quese intersectam no ponto P(a, b).

Como P pertence às duas retas, suas coordenadasdevem satisfazer simultaneamente às equações dessasduas retas.

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x

y rs

P(a, b)

Intersecção de duas retas

Logo, para determiná-las, basta resolver o sistemaformado pelas equações das duas retas.

Observação: Pela resolução de sistemas verificar aposição relativa de duas retas. Assim temos:

• Sistema possível e determinado – um único pontocomum: retas concorrentes;

• Sistema possível e indeterminado – infinitospontos comuns: retas coincidentes;

• Sistema impossível – nenhum ponto comum: retasparalelas distintas.

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Intersecção de duas retas

Vamos determinar as coordenadas do ponto

P de intersecção das retas r e s, de

equações 3x + 2y – 7 = 0 e x – 2y – 9 = 0,

respectivamente.

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Intersecção de duas retas

Nosso problema consiste em resolver o sistema formadopelas equações das duas retas:

3x + 2y – 7 = 0

x – 2y – 9 = 0

4x – 16 = 0 4x = 16 x = 4

Encontramos a coordenada x do ponto de intersecção,agora substituímos seu valor na segunda equação:

4 – 2y – 9 = 0 -2y = 5 y = -5

2Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são:

P 4,−5

2

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Perpendicularidade de duas retas

A figura mostra a reta r, de inclinação 1 e areta s, de inclinação 2, tal que r e s sãoperpendiculares.

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x

y

1

rs

2

P

A

B

Perpendicularidade de duas retas

Dadas as retas r e s, de coeficientes

angulares m1 e m2, temos:

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r s m2m1 = -1

Vamos praticar...

(FEI-SP) A reta s é perpendicular à reta r e

a reta t é paralela à reta s. Determine a

equação da reta s e a equação da reta t.

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x

y

P(0, 3)

Q(4, 0)

O M(1, 0) r

st

Vamos praticar...

Vamos determinar coeficiente angular da reta r,usando os dois pontos:

mr =0 − 3

4 − 0 mr =

− 3

4Como a reta r é perpendicular a reta s, temos:

mr ms = -1 − 3

4. ms = -1 ms =

𝟒

𝟑Agora podemos obter a equação da reta s:

y – 0 =4

3(x - 4) y =

4𝑥

3-16

3

4𝑥

3- y -

16

3= 0

4x – 3y – 16 = 0

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Vamos praticar...

Como a reta t e paralela a reta s, os

coeficientes angulares são iguais, ou seja,

mt =𝟒

𝟑. Com isso, já podemos determinar a

equação da reta t.

y – 0 =𝟒

𝟑(x - 1) y =

𝟒𝒙

𝟑-𝟒

𝟑

𝟒𝒙

𝟑- y -

𝟒

𝟑= 0

4x – 3y – 4 = 0

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Circunferência

Vamos estudar sobre a circunferência,

assim vamos associar cada circunferência a

uma equação, e a partir daí, estudar suas

propriedades geométricas.

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Circunferência

Uma circunferência com centro O(a, b) e raio r é oconjunto de todos os pontos no plano equidistantesde O, ou seja: d(O, P) = 𝒙 − 𝒂 𝟐+ 𝒚 − 𝒃 𝟐 = r

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x

y

a

bO(a, b)

P(x, y)

Circunferência

Se elevarmos ambos os membros ao

quadrado, teremos a equação normal da

circunferência:

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(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Problemas de tangência

Para resolver problemas envolvendo retas

tangentes á circunferência devemos lembrar

de dois detalhes:

• Quando a reta é tangente à

circunferência, a distanciado centro da

circunferência à reta tangente é o raio.

• A reta tangente é sempre perpendicular ao

raio no ponto de tangência.

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Problemas de tangência

O ponto P(5, 2) pertence a circunferência deequação x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0. Vamosdeterminar a equação da reta t tangente a essacircunferência em P.

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P(5, 2)

C

Problemas de tangência

Se uma reta t tangencia uma circunferência decentro C e raio r em P, então t é perpendicularà reta-suporte de CP.

Vamos encontrar o centro e raio dacircunferência.

x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0

x2 + 2x + y2 – 6y = 27

x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 27 + 1 + 9

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 37

Então, C(-1, 3) e r = 37

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Problemas de tangência

Agora, vamos determinar o coeficiente angular

m1 da reta-suporte que passa pelo pontos C(-

1, 3) e P(5, 2):

m1 =2 − 3

5 + 1= -

𝟏

𝟔

Vamos determinar o coeficiente angular m2 da

reta tangente perpendicular à reta-suporte.

m2 m1 = -1 m2 −1

6= -1 m2 = -

1

−1

6

= 6

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Problemas de tangência

Agora podemos calcular a equação da reta t

que passa pelo ponto P(5, 2) e tem

coeficiente angular 6:

y – 2 = 6(x – 5) y – 2 = 6x – 30 6x – y

– 28 = 0

A equação pedida é 6x – y – 28 = 0.

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