nÚmeros positivos e negativos. nÚmeros inteiros os números naturais nasceram da nossa natural...

NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS

INICIANDO CONCEITOS DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

NÚMEROS INTEIROS

Os números naturais nasceram da nossa natural necessidade de contar elementos de um conjunto. Na adição de dois números naturais temos a propriedade do fechamento, que nos ensina que ao adicionarmos números naturais, o resultado-soma será sempre um número natural. No entanto, essa mesma propriedade do fechamento não é válida para a subtração de números naturais. Por isso não nos é possível a subtração de um número natural menor por um número natural maior que ele. No conjunto dos números naturais as subtrações abaixo não seriam possíveis.

Porém, há ocasiões em que precisamos apresentar um resultado para elas.

Vejamos um exemplo

Numa noite fria de inverno, a temperatura em Curitiba era de 7 graus centígrados e em Gramado, no Rio Grande do Sul era de apenas 1 grau centígrado. Se durante a madrugada fizesse ainda mais frio e a temperatura baixasse mais 4 graus, a quantos graus chegaria em Curitiba? E em Gramado?

Como em Curitiba a temperatura era de 7 graus, baixando 4 graus ela chegaria a (7 - 4 ) graus, isto é, a 3 graus.

Em Gramado, a temperatura era de 1 grau. Baixando 4 graus, ela chegaria a (1 - 4 ) graus. Para chegar a essa resposta, a matemática cria uma ampliação para o conjunto dos números naturais, ele inclui nele os números negativos, e dessa forma, a temperatura em Gramado seria de - 3 graus centígrados.

De um modo geral, quantidades menores que zero, nós denominamos números negativos.

E quantidades maiores que o zero, nós denominamos números positivos.

Observamos que ao determinarmos números positivos e negativos, o número zero ocupa uma posição especial: ele é um número neutro, não é considerado positivo e nem negativo. A união dos números negativos, positivos e o zero faz surgir o conjunto dos números inteiros e é representado pela letra. Assim temos:

Vamos conhecer alguns subconjuntos importantes do conjunto dos números inteiros.

Representação gráfica do conjunto dos números inteiros.

Numa reta, consideremos um ponto qualquer que faremos corresponder ao zero, à sua direita em espaçamentos iguais marcaremos os números inteiros positivos e a esquerda do zero marcaremos, também no mesmo espaçamento anterior, os números inteiros negativos. Assim teremos a reta dos números inteiros, ou a reta numerada dos números inteiros.

Números Inteiros Opostos ou Números Inteiros Simétricos.

Quando dois números inteiros guardam a mesma distância da origem 0, os chamamos números opostos ou números simétricos. Os números inteiros + 4 e - 4 são opostos pois distam cada um deles quatros espaçamentos padrões. Os números inteiros + 13 e - 13 são opostos pois distam a mesma distância da origem zero. Dessa forma podemos afirmar que o 4 é o simétrico ou o oposto do - 4. Assim como podemos afirmar que o simétrico de - 37 é + 37.

Valor Absoluto ou Módulo de um Número Inteiro.

Quando dois números inteiros guardam a mesma distância da origem 0, os chamamos números opostos ou números simétricos e a essa distância da origem 0, denominamos módulo ou valor absolutos do número inteiro. O módulo dos números inteiros + 4 e - 4 é 4, pois essa é a distância de cada um deles até a origem 0. O módulo dos números inteiros + 9 e - 9 é 9, pois essa é a distância de cada um deles até a origem 0. Dessa forma, podemos afirmar que o módulo de + 56 é 56, e que o valor absoluto de - 32 é 32. E generalizando, teremos :

Observação Importante : O módulo de zero é por definição igual a zero è | 0 | = 0

Comparação de Números Inteiros.

Para compararmos dois ou mais números inteiros precisamos recordar da reta numerada e estabelecermos a seguinte regra : Todo número situada à direita na reta numerada é o maior deles e, claro, todo número situado à esquerda da reta numerada é o menor deles. Com isso podemos estabelecer algumas regras decorrentes :

1º Caso: Adição de números inteiros de mesmo sinal Para adicionarmos números inteiros de mesmo sinal conservamos o sinal comum e adicionamos seus valores absolutos.

2º Caso: Adição de números inteiros de sinais diferentes Para adicionarmos números inteiros de sinais contrários conservamos o sinal do maior em valor absoluto e diminuímos seus valores absolutos.

Subtração de Números Inteiros.

Para subtrairmos dois números inteiros, adicionamos o primeiro ao simétrico (ou oposto) do segundo

Operações entre Números Inteiros.

Adição de Números Inteiros.

Multiplicação de Números Inteiros.

Para multiplicarmos números inteiros, precisamos conhecer a regra dos sinais da multiplicação de inteiros.

Divisão de Números Inteiros.

Para dividirmos números inteiros, utilizaremos a regra dos sinais da multiplicação de inteiros.

Para elevarmos um número inteiro a um expoente

Para elevarmos um número inteiro a um expoente, utilizaremos a mesma regra utilizada para os números naturais.

Na potenciação de números inteiros percebemos que :

Potenciação de Números Inteiros.

Operações Simplificadas de Números Inteiros.

Muitas vezes uma operação de adição ou subtração entre números inteiros nos é colocada de uma forma mais reduzida e sem a utilização de parênteses. Na verdade os parênteses foram suprimidos utilizando-se a regra da multiplicação. Vejamos alguns exemplos

Expressões entre Números Inteiros.

A resolução de expressões entre números inteiros deve seguir os mesmo procedimentos das expressões aritméticas. Obedecemos as prioridades de chaves, colchetes e parênteses e a ordem das operações potenciação, divisão e multiplicação, adições e subtrações. Vamos resolver algumas expressões entre inteiros.

Exercícios Propostos - Números Inteiros.

OBSERVAÇÃO : APRESENTAR TODOS OS CÁLCULOS. I - Adicione os números inteiros

A persistência é o menor caminho do êxito