números negativos 7ºano escola ebi de insua. os números negativos operações com números...

Números Negativos

7ºAno

Escola EBI de

INSUA

Os Números Negativos

Operações com números inteiros relativos

11 de abril de 20233

Origem e Evolução dos Números

Os números nasceram da necessidade de contar coisas, sendo os símbolos numéricos usados para registar resultados de contagens.Podemos imaginar o homem primitivo a contar as cabras do seu rebanho e a registá-las através de marcações em ossos ou em troncos de árvores.

Desta forma se controlavam pequenas quantidades.

11 de abril de 20234

Origem e Evolução dos Números (cont.)

Com a evolução das sociedades, tornou-se necessário representar números maiores.

Por exemplo:

Significava 1 Significava 5

Significava 20(20 dedos de uma pessoa)

11 de abril de 20235

Origem e Evolução dos Números (cont.)

No sistema de numeração actual, usamos apenas 10 símbolos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Estes símbolos (algarismos) ocupam as posições adequadas para formar os diferentes

números.

Com apenas 10 símbolos pode escrever-se qualquer número, por maior que seja, e mesmo os grandes números se escrevem com poucos algarismos.

11 de abril de 20236

Aperceber-te-ás, então, que os números naturais (1,2,...) não são suficientes para representar os movimentos do elevador, sendo necessário recorrer a outros números -

Os Números Negativos

Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar.

Apartamento 4

Escritórios 3

Cabeleireiro 2

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?os negativos.

11 de abril de 20237

Os Números Negativos (cont.)

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no

botão ...

Cabeleireiro ?2

11 de abril de 20238

Os Números Negativos (cont.)

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Qual te parece ser o andar do ginásio?

Cabeleireiro 2

-1

11 de abril de 20239

Os Números Negativos (cont.)

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem ?

LavagemAutomática

?

E o andar da garagem?

Cabeleireiro 2

-2

11 de abril de 202310

Os Números Negativos (cont.)

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem -2

LavagemAutomática

?

E o da estação das lavagens automáticas?

Cabeleireiro 2

-3

11 de abril de 202311

Os Números Negativos (cont.)

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem -2

LavagemAutomática

Cabeleireiro 2

-3

Serão os números naturais os mais adequados para os andares subterrâneos?

Algumas situações não se podem exprimir somente com os números naturais. A partir de agora utilizaremos uns novos números que nos resolvem o problema:

os números negativos

-3

-2

-1

11 de abril de 202312

Os Números Negativos (cont.)

Chamamos números negativos a todos os que estão abaixo de zero.Os números negativos escrevem-se com o símbolo menos antes.Assim os diferenciamos dos positivos.

-5, -4, -3, -2, -1...,

Quando um número não leva sinal nenhum antes, entendemos que é positivo:

5=+5

+16=16

11 de abril de 202313

Os Números Negativos (cont.)

Quando se efectuam operações com números negativos, estes escrevem-se entre parêntesis:

O número positivo 8 a somar com o número negativo –3.

8 + (-3)

(-5) x (-2) O número negativo –5 a multiplicar com o número negativo –2.

Mais adiante aprenderás a obter o resultado destas operações.

11 de abril de 202314

Os Números Negativos (cont.)

NOTA

Os números que se escrevem com o sinal + são os números positivos.

Exemplos: +3; +2; +1,99; ...

Os números que se escrevem com o sinal - são os números negativos.

Exemplos: - 2; - 4; - 3; - 6; ...

É costume chamar números relativos aos números positivos, aos números negativos e ainda ao zero.

Representa-se por Z o conjunto dos números inteiros relativos.

11 de abril de 202315

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos

1. Do andar em que se encontra o elevador do edifício, posso subir a pisos superiores ou descer a outros pisos inferiores:

- 4

+5•Subo cinco andares:

•Desço quatro andares:

11 de abril de 202316

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos

2. O saldo de uma conta do banco aumenta (+) com os depósitos e diminui (-) com os levantamentos.

+ € 20• A Carminho tem vinte euros:

• O Ernesto deve três euros: - € 3

11 de abril de 202317

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos

3. O termómetro pode marcar uma temperatura acima de zero (+8) ou abaixo de zero (-5).

11 de abril de 202318

A Utilidade dos Números Positivos e Negativos

4. O número de pessoas que viajam num autocarro varia em cada paragem:

+ 10 pessoas•Sobem 10 pessoas:

•Descem 14 pessoas: - 14 pessoas

11 de abril de 202319

e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.

Representação na RectaOs números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos.Consideremos uma recta r

Escolhemos uma unidade de medida

O r1

e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).

Desta maneira obtemos um eixo.

+-

11 de abril de 202320

Representação na RectaSe quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.

Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.

+- O +1

+- O +1

+5

A

-3B

11 de abril de 202321

Representação na RectaO número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.

+5

A+- O +

1-3B

A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3

A origem tem abcissa zero.

Nota: O Eixo é uma recta orientada .

11 de abril de 202322

OrdenaçãoQuando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.

2 3 4 50 1-1-2-3

Cada vez maior

11 de abril de 202323

OrdenaçãoVemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:

2 3 4 50 1-1-2-3

+ 5 > + 2

Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:

+ 2 < + 5

Isto é, a > b é o mesmo que b < a

11 de abril de 202324

OrdenaçãoDa observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:

•Qualquer número positivo é maior do que zero.

•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.

+ 0,012 > 0

0 > - 35

+1 > - 35

+ 0,5 > - 100;

•Zero é maior que qualquer número negativo.

11 de abril de 202325

Valor Absoluto (ou Módulo)Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.

A distância do ponto B à origem é 2.

2 3

A

4 50 1-1-2

B

-3

A distância do ponto A à origem é 3.

2 3

A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

11 de abril de 202326

Valor Absoluto (ou Módulo)Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:

Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse

número.

Portanto, temos ainda que

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:

11 de abril de 202327

Valor Absoluto (ou Módulo)NOTA

•O próprio número, se ele for positivo ou zero.

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

O valor absoluto de um número é:

•O seu simétrico, se ele for negativo.

11 de abril de 202328

Números SimétricosRelativamente à origem da recta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,

- 4 = 4

Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

11 de abril de 202329

Números Simétricos

Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo

valor absoluto.

Exemplos de números simétricos: - 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque

1 e - 1 porque 1 = -1

Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:

0 = 0

11 de abril de 202330

Números Simétricos

Observação

1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).

Exemplos:

+ 100 > + 40

+ 0,5 > + 0,1

2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).

Exemplos:

- 0,01 > - 10

- 3 > - 50

11 de abril de 202331

Números Simétricos

PropriedadeO simétrico do simétrico de um número é o próprio número.

Exemplos:

- (- a) = + a = a

- (- 3) = + 3

Esta propriedade permite simplificar expressões como:

- (- 8) = + 8 , o simétrico de – 8 é + 8

- (+ 8) = - 8 , o simétrico de + 8 é - 8

11 de abril de 202332

Números Simétricos

Simplificação da escritaNa recta também se escreve 1,2,3,..., em vez de +1,+2,+3,...

+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8

Também:

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Não é obrigatório escrever o sinal +

11 de abril de 202333

Números Simétricos

Concluindo

•Valor absoluto da abcissa de um ponto é a distância à origem.

•Dois números que têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários são números simétricos.

- (- a) = + a = a

+ (- a) = - a

; - (+a) = - a

; + (+a) = + a = a

•

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Números Simétricos

Nota

Na recta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

-2 é maior que - 4 - 2 > - 4

2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2

2 > - 1 - 1 < 2

> maior

< menor

ou

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Números Inteiros RelativosNa Natureza encontramos 1 árvore, 2 árvores, 3 árvores, ...

Os números 1,2,3,... são os números naturais.

O conjunto dos números naturais representa-se pela letra maiúscula N com um traço, para distinguir da letra normal.

IN = {números naturais} = {1,2,3,4,5,...}

INo = {0,1,2,3,4,5,...} = IN U {0}

é o conjunto dos númerosinteiros não negativos.

11 de abril de 202336

IN C INo C

Z

Números Inteiros RelativosComo já sabes, existem números negativos, simétricos dos números naturais.Os números naturais, os seus simétricos e o zero, formam um novo conjunto:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}é o conjunto dos números

inteiros relativos.

IN

INo

ZZ INo

C

Significa

“está contido”

Significa

“contém”

11 de abril de 202337

1.Exemplo - 4 Z -1 IN

O símbolo Significa pertence

O símbolo Significa não pertence

2.Os símbolos (intersecção) e (reunião)

ZZZ 00 -={+1,+2,+3,...}={números inteiros positivos}Z

ZZ -INo

Z IN = IN

0 ZZ0

={...,-3,-2,-1}={números inteiros negativos}-Z

0 ZZ0;

onde,

11 de abril de 202338

Usando os símbolos ou completa:

Números Inteiros Relativos

Exercícios:

a) -1 IN ;

b) -3 Z ;c) 4 Z;d) -3 IN ; f) 0 Z.

e) 0 INo ;

2.2 Complete usando os símbolos C ou :

C

a) ;

Z Zb) ;

0Z-Z

C

C