novembro 2005. provar a existência dos átomos química: lei de dalton termodinâmica: clausius 2º...
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NOVEMBRO 2005
Provar a existência dos átomosQuímica: lei de DaltonTermodinâmica: Clausius
2º princípio: entropia aumentairreversibilidade
Teoria cinética dos gases: Maxwell e Boltzmanntemperatura absolutainterpretação estatística
teorema HOpositores: Mach, OstwaldRadioactividade
Motivação de Einstein
nRTmi 2
3v
2
1 2i
)3( d
nRTpV
Movimento Browniano
Leeuwenhoek sec. XV
Brown 1827, grãos de pólen: movimento incessante
processo não biológico (…, fragmento da Esfinge, …)
universalidade
insensível a campos externos
dependência:
tamanho das partículas, temperatura
Ingenhousz 1785
Sobre o movimento de pequenas partículas suspensas em líquidosem repouso exigido pela teoria cinético-molecular do calor
Simulação
• teoria cinética prediz movimentos aleatórios observáveis
• suspeita que o movimento é Browniano
• teste poderoso à teoria cinética
• Número de Avogadro
• neste domínio termodinâmica clássica não é válida
Número de Avogadro
tese de doutoramento: dimensões molecularesoutros métodos de medir o número de Avogadro-Loschmidt
Smoluchowski 1906
Perrin Prémio Nobel 1926
Física Atómica e Nanotecnologias
actual100221415.6
1914104.6
1865104.4
23
23
23
Número de Avogadro-Loschmidt
Einstein
termodinâmica, pressão osmótica
equilíbrio de duas correntes: difusão, deriva
lei de Stokes (hidrodinâmica) aΓ 6
Relação de Einstein
dois coeficientes de transporte: constante de difusão viscosidade
Teorema da flutuação-dissipação
a
TkD B
6
velocidade
posição desvio quadrático médio
escala de tempo (de Smoluchowski)
equação da continuidade
corrente de difusão
lei de Fick
equação de difusão
grandes tempos
sobreamortecido
)(2 tx
t
0v
x
nDj
nDt
n 2
0.
jt
n
solução
condição inicial
coeficiente de difusão
trajectórias: 1908
sem memória
não diferenciáveis
não balísticas
dDttx 2)(2 )1( d
2
4
4),(
2
d
Dt
x
Dt
etxn
)()0,( xxn
média, desvio padrão
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Distribuição Normal Gaussiana
22
2
)(
)(
2
1),,(
2
2
mxmx
emxPmx
Constante de Boltzmann
Constante de Boltzmann
quantidades microscópicas
entropia
teoria da informação
factor de Boltzmann
BAkNR
Wk
ppkS
B
iiiB
ln
ln
Tk
E
iBep
i
AB N
Rk
Wpi
1
Constantes Fundamentais
três constantes fundamentais:
velocidade da luz
constante de Boltzmann
constante de Planck
TkE B
,, Bkc
diferentes domínios de flutuações: térmicas, quânticas
ctx 0
TkEB
tEpxS
kpE
Valores das Constantes
temperatura ambiente
Sistema de unidades de Planck GkcB
1
Js10)18(68571054.12
34h
m/s458.792299c
J/K105650380.1 23Bk
eV40
1300 K
Equação de Langevin
0)( t
Langevin 1908 velocidade
x
V
dt
dm
v
vv
Γx
V
dt
dm
aΓ 6
1)(d
v
coeficiente de atrito
força aleatória ou estocástica
equação de
Newton
r
lei de Stokes (hidrodinâmica)
vv
Γx
V
dt
dm
Langevin: ...demonstração que é infinitamente mais simples...
xΓxdt
dmx v
v
xmdt
dxΓ
dt
dx
dt
dm 2
22
v22
Γ
TkDxTk
ΓD B
B 1
Tkm B2
1v
2
1 2 teorema da equipartição da energia
Dtx 22 assimptoticamente
relação de Einstein
hipótese de Langevin irregularidade de 0)()( ttx )(t
Ornstein e Uhlenbeck
0)( t )(2)()( ttTΓktt B
ruído branco, gaussianoequipartição da energia
m
Γ
1
dtm
teet
t ttt )(v)(v
0
i
m
Tke
m
Tket B
tB
t
i
)1(v)(v22
22
dt
dxx2
2
Γx
V
dt
dm
Teorema da flutuação-dissipaçãoirreversibilidadeequação fenomenológica
Tk
tt B )()(vcorrelação não nula:
potencial não nulo
)1(
2)( 2
0v
2
i
t
B etΓ
Tkxtx
ttΓ
Tk
ttm
Tk
B
B
2
2
dtm
teextx
tttt
i
)(11v)(
)(
0
i
Argumento de Langevin
0)()( ttx
difusão no tempo
balístico, difusivo
Processos Estocásticos
Processo de Ornstein-Uhlenbeck
ruído branco
mdt
d
v)(2
)()(ttD
m
t
m
t
)(t
)(2)()( ttTΓktt B
vv
v
Γdt
dm
dt
dx
0ΓProcesso de Wiener
Movimento Browniano e fractais
23 tr
escala
expoente de Hurst
transições de fase, grupo de renormalização
fractais
3ª lei de Kepler
2
1)()( HtBtBH
rer
GmM
dt
rdm
22
2
Auto-semelhante
dimensão fraccionária Mandelbrot
Limite sobre amortecido
Γdt
dx )(2
)()(ttD
Γ
t
Γ
t
)(2)( 20 ttDxtx ),(
),( 2 txDt
tx
Γ
v
0 Γ
Γdt
d
Γ
m v
v
Wiener
equação deSmoluchowski
),(V1
txx
ΓD(x)xΓ
deriva difusão
Equação de Kramers
0),v,(v
v1
v
),v,(v),v,(
2
2
txm
DΓΓV
m
txxt
tx
v)v(
1
v
2
2
v
m
DΓΓV
mJ
J x
0.t),v,(
J
t
x
)v(v
v
ΓVdt
dm
dt
xd
v,
xespaço de fase
Equações de LiouvilleBrinkman 1956Fokker-Planck
Uso da Equação de Langevin
Inconveniente: média sobre as trajectórias
computação paralela
Vantagem: correlações com tempos diferentes
Problema da primeira passagem
Trajectória a 2d
Passeio do Bêbado
Probabilidade 2
1
11
1
k
n
k
n
k
n CCC
n2
)1,(2
1),(
2
1)1,1( knpknpknp
Equação Mestra
Ausência de memória processo Markoviana
Equação de Chapman-Kolmogorov
modelos discretos e contínuos
j
iijjjii tptpdt
tdp)()(
)(
j
jjii tpwttp )()(
j
iijjjiii tpwtpwtpttp )()()()(
1
ij
ijii ww
Integral de Caminho
processo de Wiener
propriedade Markoviana
Iterando
Integral de Wiener
2
)(4
1
)(4),(
2
d
tttt
xx
D
ttD
ettxxP
),(),(),( 11111 iiffifif ttxxPttxxPdxttxxP
dt
dt
xd
Dif xexxP
2
4
1
)(
D
Modelo microscópico
Reversibilidade microscópica, Irreversibilidade termodinâmica
Sistema acoplado a um banho térmico
macroscópico, equilíbrio à temperatura
resposta do banho ao sistema
ruído condições iniciais do sistema correlações do ruído
macroscópico tempo de Poincaré
flutuação-dissipação
2222
2
1
2
v)(
2
v
xm
mxCxxV
m H
T
em equilíbrio termodinâmico:
resposta do sistema a uma pequena perturbação
resposta a uma flutuação espontânea
Teoria da resposta linear
pequeno desvio do equilíbrio termodinâmico
coeficientes de resposta e correlações no equilíbrio
Fórmula de Kubo
extensão a sistemas fortemente desviados do equilíbrio
Teorema Flutuação-Dissipação
Ruído de Johnson-Nyquist
Schotty1918
Johnson1928
Nyquist1928
VRIdt
dIL
)(2)()( ttTRktVtV B
tdttVtVTk
RB
)()(2
1
i
B
ttdttItITk
R0
**1 )()(1
2
1
fcorrelações no tempo ruído branco
Aplicações
• Biografia (Pais 1982): o artigo da tese era o mais citado
• Difusão poluição
• Semicondutores: transporte de electrões e lacunas
• Polímeros, problema do volume excluído
• Sistemas desordenados: teorema do limite central não é válido
• Reacções químicas
• Sistemas predador-presa
e
TkD B
• Sistemas fora do equilíbrio
variáveis lentas
• Transições de fase
bi-estabilidade, meta-estabilidade
• Economia e finanças
Bachelier, “Théorie de la Spéculation”, 1900
• Difusão das moedas de euro (condições iniciais perfeitas)
• Biologia (motor perpétuo é impossível)
motor Browniano
ressonância na presença de ruído
Einstein e as Mecânicas Estatística e Quântica
• rederivou os trabalhos de Gibbs e de Boltzmann
flutuação da energia
• aplicou a mecânica estatística à radiação electromagnética
efeito fotoeléctrico
1905, 1909 energia
regime de Wien e gás clássico
1917 momentum (eq. estocástica para o momentum)
T
ETkEE B
22
TkB
NE
V
V
V
VW
00
• estatística de Bose-Einstein
condensação B-E
• opalescência crítica
• calor específico 1907
flutuações da energia
modelo de Einstein, modelo de Debye
1
Tk
B
Be
Tk
Lei de Dulong-Petit
Flutuações
Física do sec. XIX determinista:
condições iniciais
Dois tipos de flutuações:
estatísticas
quânticas (radioactividade?)
Sistemas caóticos
efeito borboleta
Sobre a Mecânica Quântica
“God does not play dice with the universe.”
“God is subtle, but he is not malicious.”
“I like to think that the moon is there even if I am not looking at it.”
Mecânica Quântica
it
Equação de Schrödinger
Vxmt
i2
22
2
Tempo imaginário
Vxmit 2
22
2
dVT
Wiener
dV
ee 00
)(1
)(1
xD
Fórmula de Feynman-Kac medida
Formalismo da Mecânica Estatística Quântica
SIntegral de caminho de Feynman: tempo real, acçãoflutuações em torno da trajectória clássica
dtVT
it
ite)(
xD 22
*222)Re(2
ba
bababa
Processos Estocásticos Quânticos
Baixas temperaturas: efeitos quânticos
Óptica quântica
Meso e Nano tecnologias
Informação e Computação Quânticas
movimento aleatório quântico (moeda quântica)
ruído colorido
Duas abordagens:
equação de Schrödinger estocástica
equação de Liouville quântica termos adicionais
sistemas Markofianos: equação de Lindblad
Conclusões
História, importância e aplicações do movimento Browniano
Ideias em Mecânica Estatística
Mesmo problema: várias abordagens
Evolução das ideias: passagem do testemunho
… nos ombros de gigantes …
As ideias tornam-se autónomas
Aplicações e utilidade da Física
Impacto na vida do dia a dia
Beleza e elegância da Física e das Teorias Físicas
A música e a pintura permitem emoções estéticas directas
Física: ciência experimental, usa a linguagem da Matemática
Física: história que perdura e continua…
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