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Modelos Híbridos-Mistos de Tensão Para a Análise de Estruturas de Betão Armado
Miguel Filipe de Sousa Luz
Dissertação para obtenção de Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões
Orientadores:
Professor Doutor Luís Manuel Soares dos Santos Castro
Professor Doutor Mário Rui Tiago Arruda
Vogais:
Professor Doutor Luís André Marcos Mendes
Professor Doutor João Pedro Ramôa Ribeiro Correia
Lisboa, Outubro 2013
i
RESUMO
Neste trabalho apresenta-se um novo modelo de elementos finitos híbridos-mistos de tensão
para a análise de estruturas de betão armado. São considerados um comportamento linear e não-
linear ao nível dos materiais. Para o segundo caso, é usada a mecânica do dano para modelar o
comportamento quasi-frágil do betão. Neste modelo, os campos de tensão, deformação e
deslocamento são aproximados independentemente no domínio de cada elemento. Os
deslocamentos ao longo da fronteira estática, que se considera incluir as fronteiras interelementares,
são também directamente aproximados. São usados conjuntos de polinómios ortogonais de
Legendre para definir todas as aproximações exigidas pelo modelo de elementos finitos. A utilização
deste tipo de funções permite o cálculo dos operadores matriciais do sistema governativo através da
utilização de expressões analíticas e possibilita a adopção de refinamentos p-hierárquicos muito
eficazes. Para o comportamento não-linear do betão é adoptado um modelo de dano isotrópico, o
modelo de dano de [Mazars 1984]. O novo modelo de elementos finitos aqui discutido é aplicado
para a resolução de estruturas bidimensionais, com a inclusão de elementos unidimensionais que
representam o reforço com varões de aço. Para validar o modelo, ilustrar o seu potencial e avaliar a
sua precisão e eficiência numérica, é apresentado um exemplo de elemento estrutural e são feitas
comparações com as soluções e resultados numéricos obtidos quando se usam elementos finitos
convencionais.
Palavras-chave
Betão Armado
Elementos Finitos
Formulação Híbrida-Mista de Tensão
Análise Fisicamente Não-Linear
Modelo de Dano
ii
iii
ABSTRACT
This work presents a new hybrid-mixed stress finite element model for the analysis of
reinforced concrete structures. It is considered a linear and non-linear behavior at the material level.
For the second case, damage mechanics is used to model the concrete’s quasi-brittle behavior. In this
model, the stress, the strain and the displacement fields are independently approximated in the
domain of each element. The displacements along the static boundary, which is considered to
include inter-element boundaries, are also directly approximated. Complete sets of orthonormal
Legendre polynomials are used to define all approximation bases required by the finite element
model. The adoption of these functions enables the use of analytical closed form solutions for the
computation of all linear structural operators and leads to the development of very effective
p-refinement procedures. An isotropic damage model is adopted for the non-linear behavior of the
concrete, the [Mazars 1984] damage model. The new finite element model being discussed is applied
to the solution of two-dimensional structures, with the inclusion of one-dimensional elements that
represent the steel bars reinforcement. To validate the model, to illustrate its potential and to assess
its accuracy and numerical efficiency, one example of a structural element is presented and
comparisons are made with the solutions and numerical results provided when conventional finite
elements are used.
Keywords
Reinforced Concrete
Finite Elements
Hybrid-Mixed Stress Formulation
Physically Non-Linear Analysis
Damage Model
iv
v
AGRADECIMENTOS
A realização desta dissertação só foi possível graças à contribuição de inúmeras pessoas. A
todas gostaria de expressar os meus profundos e sinceros agradecimentos. No entanto, não posso
deixar de mencionar algumas das pessoas que tiveram um contributo especial para o
desenvolvimento deste trabalho.
Ao orientador científico, Professor Luís Castro, agradeço o apoio, incentivo e a forma clara e
objectiva como transmitiu o seu vasto conhecimento na área da Análise de Estruturas.
Ao co-orientador científico, Mário Arruda, agradeço pela dedicação e interesse
demonstrados por este tema, bem como pela disponibilidade e paciência para me esclarecer todas
as dúvidas que foram surgindo ao longo da dissertação.
A todos os meus amigos, sem excepção, pelo interesse, apoio e compreensão que
demonstraram durante este período. No entanto, queria aqui deixar um agradecimento em
particular ao António Abreu e ao Carlos Canha, sem eles o meu percurso ao longo destes cinco anos
de curso teria sido certamente mais complicado.
Por fim, gostaria de realçar o contributo de toda a minha família, em especial o dos meus
pais e irmã. Agradeço-lhes pelo apoio, incentivo e força que sempre manifestaram ao longo de todo
o meu percurso académico e, principalmente, nesta fase final.
vi
vii
ÍNDICE
1 Introdução ........................................................................................................................................... 1
1.1 Motivação ................................................................................................................................... 1
1.2 Objectivos ................................................................................................................................... 2
1.3 Organização ................................................................................................................................ 2
2 Formulação do Problema .................................................................................................................... 5
2.1 Considerações Iniciais ................................................................................................................ 5
2.2 Hipóteses ..................................................................................................................................... 5
2.3 Variáveis e Equações Fundamentais ........................................................................................... 6
2.4 Condições de Equilíbrio .............................................................................................................. 7
2.5 Condições de Compatibilidade ................................................................................................... 7
2.6 Relações Constitutivas ................................................................................................................ 7
2.7 Comportamento Fisicamente Não-Linear ................................................................................... 8
2.7.1 Modelo de Dano Isotrópico (Betão) .................................................................................... 8
3 Modelo Clássico de Elementos Finitos ............................................................................................. 15
3.1 Considerações Iniciais .............................................................................................................. 15
3.2 Conceitos Básicos ..................................................................................................................... 15
3.3 Elementos Finitos de Deslocamento ......................................................................................... 16
4 Análise de Peças Bidimensionais de Betão com Elementos Finitos de Deslocamento .................... 19
4.1 Considerações Iniciais .............................................................................................................. 19
4.2 Análise de uma Viga Simplesmente Apoiada ........................................................................... 19
4.2.1 Viga de Betão Simples ...................................................................................................... 20
4.2.2 Viga de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra) ............................................. 28
4.2.3 Viga de Betão Armado Simplificada (Reforço com Elementos Planos) ........................... 35
4.3 Análise de uma Consola Curta .................................................................................................. 38
4.3.1 Consola Curta de Betão Simples ....................................................................................... 38
4.3.2 Consola Curta Com Fenda ................................................................................................ 42
4.3.3 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra) .............................. 44
4.3.4 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos Planos) ................................. 45
5 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão ................................................................................. 47
5.1 Considerações Iniciais .............................................................................................................. 47
5.2 Formulações Não-Convencionais de Elementos Finitos........................................................... 47
5.3 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Elástico Linear) ................................ 49
viii
5.4 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Não-Linear) ...................................... 54
5.5 Funções de Aproximação .......................................................................................................... 55
6 Análise de Peças Bidimensionais de Betão com Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão
(Elementos Planos) ................................................................................................................................ 57
6.1 Considerações Iniciais .............................................................................................................. 57
6.2 Viga Simplesmente Apoiada de Betão Simples ........................................................................ 57
6.3 Consola Curta de Betão Simples ............................................................................................... 63
6.4 Comparação com os resultados obtidos no Capítulo 4 (betão simples) .................................... 69
6.5 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos planos) .............................................. 69
6.5.1 Análise fisicamente linear ................................................................................................. 70
6.5.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico ....................................... 71
6.6 Consola Curta (betão armado, elementos planos) ..................................................................... 77
6.6.1 Análise fisicamente linear ................................................................................................. 77
6.6.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico ....................................... 79
7 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão com Elementos de Barra ......................................... 85
7.1 Considerações Iniciais .............................................................................................................. 85
7.2 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão ......................................................................... 85
7.2.1 Equações Fundamentais .................................................................................................... 85
7.2.2 Definição das Aproximações ............................................................................................ 87
7.2.3 Modelo de Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão ............................................... 87
7.2.4 Sistema Governativo ......................................................................................................... 89
7.3 Elementos Finitos Híbridos Duplamente Mistos de Tensão ..................................................... 90
7.3.1 Definição das Aproximações ............................................................................................ 90
7.3.2 Modelo de Elementos Finitos ............................................................................................ 91
8 Análise de Peças Bidimensionais de Betão com Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão
(Elementos de Barra) ............................................................................................................................. 93
8.1 Considerações Iniciais .............................................................................................................. 93
8.2 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos de barra) ........................................... 93
8.2.1 Análise fisicamente linear ................................................................................................. 93
8.2.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico ..................................... 101
8.3 Consola Curta (betão armado, elementos de barra) ................................................................ 105
8.3.1 Análise fisicamente linear ............................................................................................... 106
9 Conclusões e Desenvolvimentos Futuros ....................................................................................... 113
9.1 Conclusões .............................................................................................................................. 113
9.2 Desenvolvimentos futuros ...................................................................................................... 114
ix
10 Bibliografia ..................................................................................................................................... 115
ANEXO A – Polinómios de Legendre ................................................................................................ 117
A.1 – Introdução ............................................................................................................................. 117
A.2 – Considerações Iniciais .......................................................................................................... 117
A.3 – Propriedades dos Polinómios de Legendre ........................................................................... 117
A.4 – Fórmulas Geradoras de Polinómios de Legendre ................................................................. 118
ANEXO B – Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (Malha Ultrarefinada) ....................... 125
x
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Formulação do problema. ..................................................................................... 6
Figura 2.2 – Corpo genérico. .................................................................................................. 6
Figura 2.3 – Volume representativo de um sólido com dano (adaptado de [Paula 2001]). ................... 9
Figura 4.1 – Viga simplesmente apoiada (dimensões em metros). ................................................ 20
Figura 4.2 – Simplificação de simetria da viga simplesmente apoiada (dimensões em metros). .......... 20
Figura 4.3 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha pouco refinada.................................... 21
Figura 4.4 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha intermédia. ........................................ 21
Figura 4.5 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha muito refinada. ................................... 21
Figura 4.6 – Deslocamento segundo Z (malha pouco refinada). ................................................... 22
Figura 4.7 – Deslocamento segundo Z (malha intermédia). ........................................................ 22
Figura 4.8 – Deslocamento segundo Z (malha muito refinada) .................................................... 22
Figura 4.9 – Tensão (malha pouco refinada). .................................................................... 23
Figura 4.10 – Tensão suavizada (malha intermédia). .......................................................... 23
Figura 4.11 – Tensão (malha mais refinada). ..................................................................... 24
Figura 4.12 – Tensão suavizada (malha mais refinada). ....................................................... 24
Figura 4.13 – Tensão (malha muito refinada). ................................................................... 24
Figura 4.14 – Tensão suavizada (malha muito refinada). ..................................................... 25
Figura 4.15 – Tensão (malha pouco refinada). .................................................................. 25
Figura 4.16 – Tensão suavizada (malha pouco refinada). ..................................................... 25
Figura 4.17 – Tensão (malha mais refinada). .................................................................... 26
Figura 4.18 – Tensão suavizada (malha mais refinada). ....................................................... 26
Figura 4.19 – Tensão (malha muito refinada). ................................................................... 26
Figura 4.20 – Tensão suavizada (malha muito refinada). ..................................................... 26
Figura 4.21 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade. ..... 27
Figura 4.22 – Tensão de corte (N/m2) em função do número de graus de liberdade.......................... 27
Figura 4.23 – Evolução da energia de deformação em função do número de graus de liberdade. ........ 28
Figura 4.24 – Viga simplesmente apoiada de betão armado (dimensões em metros). ....................... 28
Figura 4.25 – Análise da viga de betão armado. Malha A. .......................................................... 29
Figura 4.26 – Análise da viga de betão armado. Malha B. .......................................................... 29
Figura 4.27 – Análise da viga de betão armado. Malha C. .......................................................... 29
Figura 4.28 – Análise da viga de betão armado. Malha D. .......................................................... 30
xii
Figura 4.29 – Deslocamento segundo Z (Malha A). .................................................................. 30
Figura 4.30 – Deslocamento segundo Z (Malha B). .................................................................. 30
Figura 4.31 – Deslocamento segundo Z (Malha C). .................................................................. 31
Figura 4.32 – Deslocamento segundo Z (Malha D). .................................................................. 31
Figura 4.33 – Tensão (Malha A). .................................................................................... 32
Figura 4.34 – Tensão suavizada (Malha A). ....................................................................... 32
Figura 4.35 – Tensão (Malha B). .................................................................................... 32
Figura 4.36 – Tensão suavizada (Malha B). ....................................................................... 32
Figura 4.37 – Tensão (Malha C). .................................................................................... 33
Figura 4.38 – Tensão suavizada (Malha C). ....................................................................... 33
Figura 4.39 – Tensão (Malha D). .................................................................................... 33
Figura 4.40 – Tensão suavizada (Malha D). ....................................................................... 33
Figura 4.41 – Tensões axiais nas armaduras (Malha A). ............................................................. 34
Figura 4.42 – Tensões axiais nas armaduras (Malha B). ............................................................. 34
Figura 4.43 – Tensões axiais nas armaduras (Malha C). ............................................................. 35
Figura 4.44 – Tensões axiais nas armaduras (Malha D). ............................................................. 35
Figura 4.45 – Malha refinada (modelo simplificado). ................................................................ 36
Figura 4.46 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado). .................................................. 36
Figura 4.47 – Tensão (modelo simplificado). .................................................................... 36
Figura 4.48 – Tensão suavizada (modelo simplificado). ...................................................... 37
Figura 4.49 – Tensão (modelo simplificado). .................................................................... 37
Figura 4.50 – Tensão (modelo simplificado, escala de cores modificada). ............................... 37
Figura 4.51 – Consola curta (dimensões em metros). ................................................................. 38
Figura 4.52 – Consola curta (Malha A). .................................................................................. 39
Figura 4.53 – Consola curta (Malha B). .................................................................................. 39
Figura 4.54 – Consola curta (Malha C). .................................................................................. 39
Figura 4.55 – Consola curta (Malha D). .................................................................................. 39
Figura 4.56 – Deslocamento segundo Z (Malha A). .................................................................. 39
Figura 4.57 – Deslocamento segundo Z (Malha B). .................................................................. 39
Figura 4.58 – Deslocamento segundo Z (Malha C). .................................................................. 40
Figura 4.59 – Deslocamento segundo Z (Malha D). .................................................................. 40
Figura 4.60 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade. ..... 40
Figura 4.61 – Tensão (Malha A). ................................................................................... 41
xiii
Figura 4.62 – Tensão suavizada (Malha A). ..................................................................... 41
Figura 4.63 – Tensão (Malha B). ................................................................................... 41
Figura 4.64 – Tensão suavizada (Malha B). ..................................................................... 41
Figura 4.65 – Tensão (Malha C). ................................................................................... 41
Figura 4.66 – Tensão suavizada (Malha C). ...................................................................... 41
Figura 4.67 – Tensão (Malha D). ................................................................................... 41
Figura 4.68 – Tensão suavizada (Malha D). ..................................................................... 41
Figura 4.69 – Consola curta com fenda e pormenor da fenda (dimensões em metros). ..................... 42
Figura 4.70 – Malha refinada (fenda). .................................................................................... 43
Figura 4.71 – Deslocamento segundo Z (fenda). ....................................................................... 43
Figura 4.72 – Tensão (fenda). ....................................................................................... 43
Figura 4.73 – Tensão suavizada (fenda). ......................................................................... 43
Figura 4.74 – Pormenor da zona da fenda (tensão suavizada ). ............................................. 43
Figura 4.75 – Consola curta de betão armado (dimensões em metros). .......................................... 44
Figura 4.76 – Malha refinada (reforço). .................................................................................. 44
Figura 4.77 – Deslocamento segundo Z (reforço). .................................................................... 44
Figura 4.78 – Tensão (reforço). ...................................................................................... 45
Figura 4.79 – Tensão suavizada (reforço). ........................................................................ 45
Figura 4.80 – Malha refinada (modelo simplificado). ................................................................ 45
Figura 4.81 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado). .................................................. 45
Figura 4.82 – Tensão (modelo simplificado). .................................................................... 46
Figura 4.83 – Tensão suavizada (modelo simplificado). ...................................................... 46
Figura 6.1 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 2). ..................................................... 58
Figura 6.2 – Tensões (1 elemento, grau 2). ....................................................................... 58
Figura 6.3 - Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 3). ...................................................... 59
Figura 6.4 – Tensões (1 elemento, grau 3). ....................................................................... 59
Figura 6.5 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 5). ..................................................... 59
Figura 6.6 – Tensões (1 elemento, grau 5). ....................................................................... 59
Figura 6.7 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 9). ..................................................... 60
Figura 6.8 – Tensões (1 elemento, grau 9). ....................................................................... 60
Figura 6.9 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 2). .................................................... 61
Figura 6.10 – Tensões (6 elementos, grau 2). .................................................................... 61
Figura 6.11 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 3). .................................................. 61
xiv
Figura 6.12 – Tensões (6 elementos, grau 3). .................................................................... 62
Figura 6.13 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 5). .................................................. 62
Figura 6.14 – Tensões (6 elementos, grau 5). .................................................................... 62
Figura 6.15 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 2). .................................................. 64
Figura 6.16 – Tensões (3 elementos, grau 2). .................................................................... 64
Figura 6.17 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 3). .................................................. 64
Figura 6.18 – Tensões (3 elementos, grau 3). .................................................................... 64
Figura 6.19 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 5). .................................................. 64
Figura 6.20 – Tensões (3 elementos, grau 5). .................................................................... 64
Figura 6.21 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 9). .................................................. 65
Figura 6.22 – Tensões (3 elementos, grau 9). .................................................................... 65
Figura 6.23 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 12).................................................. 65
Figura 6.24 – Tensões (3 elementos, grau 12). .................................................................. 65
Figura 6.25 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 14).................................................. 65
Figura 6.26 – Tensões (3 elementos, grau 14). .................................................................. 65
Figura 6.27 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 2). ................................................ 67
Figura 6.28 – Tensões (12 elementos, grau 2). .................................................................. 67
Figura 6.29 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 3). ................................................ 67
Figura 6.30 – Tensões (12 elementos, grau 3). .................................................................. 67
Figura 6.31 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 5). ................................................ 67
Figura 6.32 – Tensões (12 elementos, grau 5). .................................................................. 67
Figura 6.33 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 7). ................................................ 68
Figura 6.34 – Tensões (12 elementos, grau 7). .................................................................. 68
Figura 6.35 – Deslocamentos segundo Y (30 elementos, grau 6). ................................................ 70
Figura 6.36 – Tensões (30 elementos, grau 6). .................................................................. 70
Figura 6.37 – Tensões (30 elementos, grau 6). .................................................................. 70
Figura 6.38 – Tensões (30 elementos, grau 6, escala de cores modificada). ............................. 71
Figura 6.39 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 2). ................. 72
Figura 6.40 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (15 elementos, grau 2). ............... 72
Figura 6.41 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (30 elementos, grau 2). ............... 73
Figura 6.42 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 3). ................. 73
Figura 6.43 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 4). ................. 74
Figura 6.44 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 5). ................. 74
xv
Figura 6.45 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 6). ................. 74
Figura 6.46 – Diagrama carga/deslocamento (viga simplesmente apoiada). ................................... 75
Figura 6.47 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 20). ... 75
Figura 6.48 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 40). ... 75
Figura 6.49 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 60). ... 76
Figura 6.50 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 80). ... 76
Figura 6.51 – Tensão (passo de carga 20). ........................................................................ 76
Figura 6.52 – Tensão (passo de carga 40). ........................................................................ 76
Figura 6.53 – Tensão (passo de carga 60). ........................................................................ 76
Figura 6.54 – Tensão (passo de carga 80). ........................................................................ 77
Figura 6.55 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 7). ................................................ 77
Figura 6.56 – Tensões (20 elementos, grau 7). .................................................................. 77
Figura 6.57 – Tensões (20 elementos, grau 7). .................................................................. 78
Figura 6.58 – Tensões (pormenor da zona da armadura, 20 elementos, grau 7). ....................... 78
Figura 6.59 – Tensões (20 elementos, grau 7, escala de cores modificada). ............................. 78
Figura 6.60 – Distribuição de dano na consola curta (7 elementos, grau 2). ................................... 80
Figura 6.61 – Distribuição de dano na consola curta (20 elementos, grau 2). .................................. 80
Figura 6.62 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 3). ................................... 81
Figura 6.63 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 4). ................................... 81
Figura 6.64 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 5). ................................... 81
Figura 6.65 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 6). ................................... 81
Figura 6.66 – Diagrama carga/deslocamento (consola curta). ...................................................... 82
Figura 6.67 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 12). ..................... 82
Figura 6.68 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 15). ..................... 82
Figura 6.69 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 19). ..................... 83
Figura 6.70 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 22). ..................... 83
Figura 6.71 – Tensão (passo de carga 12). ........................................................................ 83
Figura 6.72 – Tensão (passo de carga 15). ........................................................................ 83
Figura 6.73 – Tensão (passo de carga 19). ........................................................................ 83
Figura 6.74 – Tensão (passo de carga 22). ........................................................................ 83
Figura 7.1 – Elemento de barra genérico. ................................................................................ 86
Figura 8.1 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 2). .................................................... 94
Figura 8.2 – Tensões (5 elementos, grau 2). ...................................................................... 94
xvi
Figura 8.3 – Tensões (5 elementos, grau 2). ...................................................................... 94
Figura 8.4 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 3). .................................................... 95
Figura 8.5 – Tensões (5 elementos, grau 3). ...................................................................... 95
Figura 8.6 – Tensões (5 elementos, grau 3). ...................................................................... 95
Figura 8.7 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 5). .................................................... 95
Figura 8.8 – Tensões (5 elementos, grau 5). ...................................................................... 95
Figura 8.9 – Tensões (5 elementos, grau 5). ...................................................................... 96
Figura 8.10 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 6). .................................................. 96
Figura 8.11 – Tensões (5 elementos, grau 6). .................................................................... 96
Figura 8.12 – Tensões (5 elementos, grau 6). .................................................................... 96
Figura 8.13 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 2). ................................................ 97
Figura 8.14 – Tensões (36 elementos, grau 2). .................................................................. 98
Figura 8.15 – Tensões (36 elementos, grau 2). .................................................................. 98
Figura 8.16 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 3). ................................................ 98
Figura 8.17 – Tensões (36 elementos, grau 3). .................................................................. 98
Figura 8.18 – Tensões (36 elementos, grau 3). .................................................................. 98
Figura 8.19 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 4). ................................................ 99
Figura 8.20 – Tensões (36 elementos, grau 4). .................................................................. 99
Figura 8.21 – Tensões (36 elementos, grau 4). .................................................................. 99
Figura 8.22 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 5). ................................................ 99
Figura 8.23 – Tensões (36 elementos, grau 5). .................................................................. 99
Figura 8.24 – Tensões (36 elementos, grau 5). ................................................................ 100
Figura 8.25 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 2). ............... 102
Figura 8.26 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (36 elementos, grau 2). ............. 102
Figura 8.27 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 3). ............... 102
Figura 8.28 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 4). ............... 103
Figura 8.29 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 5). ............... 103
Figura 8.30 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 6). ............... 103
Figura 8.31 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 18). . 104
Figura 8.32 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 28). . 104
Figura 8.33 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 38). . 104
Figura 8.34 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 48). . 104
Figura 8.35 – Tensão (passo de carga 18). ...................................................................... 105
xvii
Figura 8.36 – Tensão (passo de carga 28). ...................................................................... 105
Figura 8.37 – Tensão (passo de carga 38). ...................................................................... 105
Figura 8.38 – Tensão (passo de carga 48). ...................................................................... 105
Figura 8.39 – Deslocamentos segundo Y (7 elementos, grau 3). ................................................ 106
Figura 8.40 – Tensões (7 elementos, grau 3). .................................................................. 106
Figura 8.41 – Tensões (7 elementos, grau 3). .................................................................. 106
Figura 8.42 – Deslocamentos segundo Y (7 elementos, grau 5). ................................................ 107
Figura 8.43 – Tensões (7 elementos, grau 5). .................................................................. 107
Figura 8.44 – Tensões (7 elementos, grau 5). .................................................................. 107
Figura 8.45 – Deslocamentos segundo Y (7 elementos, grau 6). ................................................ 107
Figura 8.46 – Tensões (7 elementos, grau 6). .................................................................. 107
Figura 8.47 – Tensões (7 elementos, grau 6). .................................................................. 107
Figura 8.48 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 2). .............................................. 109
Figura 8.49 – Tensões (20 elementos, grau 2). ................................................................ 109
Figura 8.50 – Tensões (20 elementos, grau 2). ................................................................ 109
Figura 8.51 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 3). .............................................. 109
Figura 8.52 – Tensões (20 elementos, grau 3). ................................................................ 109
Figura 8.53 – Tensões (20 elementos, grau 3). ................................................................ 109
Figura 8.54 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 4). .............................................. 110
Figura 8.55 – Tensões (20 elementos, grau 4). ................................................................. 110
Figura 8.56 – Tensões (20 elementos, grau 4). ................................................................ 110
Figura 8.57 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 5). .............................................. 110
Figura 8.58 – Tensões (20 elementos, grau 5). ................................................................ 110
Figura 8.59 – Tensões (20 elementos, grau 5). ................................................................ 110
Figura A.1 – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 1D. ................................... 119
Figura A.2 b) – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 2D. ............................... 121
Figura B.1 – Malha ultrarefinada. ........................................................................................ 125
Figura B.2 – Deslocamento segundo Z (malha ultrarefinada). ................................................... 125
Figura B.3 – Tensão (malha ultrarefinada). ..................................................................... 126
Figura B.4 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada). ....................................................... 126
Figura B.5 – Tensão (malha ultrarefinada). .................................................................... 126
Figura B.6 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada). ...................................................... 126
Figura B.7 – Tensão nas armaduras (malha ultrarefinada). ....................................................... 127
xviii
xix
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais. ................................................................................ 19
Tabela 4.2 – Deslocamento segundo Z para as várias discretizações. ............................................ 31
Tabela 6.1 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de
betão simples, 1 elemento). ....................................................................................................... 58
Tabela 6.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 1 elemento). ....... 60
Tabela 6.3 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão simples,
6 elementos). ......................................................................................................................... 61
Tabela 6.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 6 elementos). ...... 62
Tabela 6.5 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 3 elementos). ..... 63
Tabela 6.6 – Resumo dos resultados (consola curta, 3 elementos). ............................................... 66
Tabela 6.7 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 12 elementos). .... 66
Tabela 6.8 – Resumo dos resultados (consola curta, 12 elementos). ............................................. 68
Tabela 6.9 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão simples). ....................... 69
Tabela 6.10 – Comparação de valores (consola curta de betão simples). ....................................... 69
Tabela 6.11 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado). ..................... 71
Tabela 6.12 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,
grau 2). ................................................................................................................................. 72
Tabela 6.13 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,
5 elementos). ......................................................................................................................... 73
Tabela 6.14 – Comparação de valores (consola curta de betão armado). ........................................ 79
Tabela 6.15 – Número de elementos e graus de liberdade (consola curta de betão armado, grau 2). .... 79
Tabela 6.16 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 5 elementos). .... 80
Tabela 8.1 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de
betão armado, 5 elementos)....................................................................................................... 94
Tabela 8.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 5 elementos). ...... 97
Tabela 8.3 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,
36 elementos). ........................................................................................................................ 97
Tabela 8.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 36 elementos). .. 100
Tabela 8.5 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado). ..................... 101
Tabela 8.6 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,
grau 2). ............................................................................................................................... 101
Tabela 8.7 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,
7 elementos). ....................................................................................................................... 102
xx
Tabela 8.8 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (consola curta de betão armado,
7 elementos). ....................................................................................................................... 106
Tabela 8.9 – Resumo dos resultados (consola curta, 7 elementos). ............................................. 108
Tabela 8.10 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 20 elementos). 108
Tabela 8.11 – Resumo dos resultados (consola curta, 12 elementos). .......................................... 111
Tabela 8.12 – Comparação de valores (consola curta de betão armado). ...................................... 111
Tabela B.1 – Resumo dos resultados (malha ultrarefinada). ...................................................... 127
xxi
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 Motivação
Nos últimos anos, o crescente conhecimento e desenvolvimento de meios na área da
mecânica computacional têm permitido a utilização de modelos numéricos mais elaborados na
análise de estruturas no âmbito da Engenharia Civil. Muitos dos problemas estruturais têm sido
resolvidos através do Método dos Elementos Finitos, cujo desenvolvimento representa um dos
avanços mais significativos na história dos métodos computacionais. O sucesso deste modelo,
principalmente quando aplicado à formulação de elementos finitos de deslocamento, deve-se
essencialmente à sua simplicidade e ao facto da sua formulação ser menos exigente e mais intuitiva
que as formulações alternativas. Contudo, este método apresenta algumas limitações decorrentes da
consideração de aproximações compatíveis mas não equilibradas (o que resulta em soluções contra a
segurança), da necessidade de se refinar muito as malhas (elevado número de elementos) e da
dificuldade associada à implementação de modelos para a análise de fenómenos de fendilhação.
Estas limitações, entre outras, incitaram os investigadores a procurarem novas formulações,
ditas não-convencionais. Como resultado dessa investigação surgiram, nomeadamente, as
formulações de elementos finitos híbridas e mistas. [Freitas et al. 1999a] desenvolveram modelos
não-convencionais de elementos finitos que se distinguem pela aproximação de diferentes campos
estáticos e/ou cinemáticos, pelas características das funções de aproximação utilizadas e pela
imposição de diferentes condições (imposição local ou ponderada). Consoante as condições impostas
no domínio de cada elemento, as formulações não-convencionais híbridas classificam-se como
híbrida-mista, híbrida ou híbrida-Trefftz. Estas podem estar associadas a modelos de tensão ou de
deslocamento, dependendo do tratamento das condições no domínio e da forma de ligação entre
elementos finitos.
Este tipo de formulações tem sido utilizado na análise de estruturas de betão simples
considerando modelos clássicos de elasticidade e plasticidade. No entanto, o comportamento do
material fendilhado não é correctamente modelado com recurso a este tipo de relações
constitutivas. A natureza do dano que se manifesta nos materiais quasi-frágeis, como no caso do
betão, está intimamente associada com a formação, evolução e coalescência de microfissuras. Para
além disso, o facto das formulações não-convencionais existentes não contemplarem nenhum tipo
de reforço, limita a sua aplicabilidade em termos práticos no que toca à análise de estruturas.
Para que os modelos não-convencionais possam vir a ter o nível de divulgação e utilizações
generalizadas que os modelos clássicos têm nos dias de hoje torna-se, então, pertinente o
desenvolvimento de formulações que possibilitem a análise fisicamente não-linear de estruturas de
betão armado. Isto é possível aplicando, por exemplo, modelos da Mecânica de Dano Contínuo (que
permitem modelar o comportamento quasi-frágil do betão) e incluindo nas formulações existentes
elementos de barra que permitem representar os varões de aço necessários para o reforço das
estruturas.
2
1.2 Objectivos e Metodologia
O presente trabalho pretende generalizar a formulação híbrida-mista de tensão de maneira a
ser possível a inclusão de varões de reforço na modelação de estruturas bidimensionais de betão
armado, considerando um comportamento fisicamente linear e não-linear. A concretização deste
objectivo principal conduziu à realização das seguintes tarefas:
Modelação do comportamento linear do betão e do aço;
Modelação do comportamento não-linear do betão através da introdução de um
modelo constitutivo de dano, o modelo de dano de [Mazars 1984];
Desenvolvimento de uma formulação híbrida-mista de tensão para a análise linear
das estruturas de betão armado, com a inclusão de elementos de barra que
correspondem aos varões de reforço;
Desenvolvimento de uma formulação híbrida duplamente mista de tensão para a
análise não-linear das estruturas de betão armado, também com a inclusão de
elementos de barra que correspondem aos varões de reforço.
As duas primeiras etapas foram já estudadas em diversos trabalhos, surgindo no entanto a
necessidade de as considerar para o correcto desenvolvimento deste trabalho.
1.3 Organização
O trabalho encontra-se dividido em 9 capítulos e 2 anexos, entre os quais se insere este
primeiro capítulo de introdução.
O segundo capítulo introduz as formulações que estão na génese deste trabalho, definindo-
se as hipóteses consideradas e as variáveis e equações fundamentais utilizadas. Descreve-se ainda o
comportamento fisicamente não-linear do betão, adoptando-se um modelo de dano contínuo para o
modelar.
No terceiro capítulo é abordada a formulação clássica do método dos elementos finitos, os
elementos finitos de deslocamento, sendo discutidas as vantagens e desvantagens que decorrem da
sua utilização.
No quarto capítulo apresentam-se os exemplos de elementos estruturais que vão ser
utilizados ao longo do trabalho e analisam-se os mesmos utilizando a formulação clássica de
elementos finitos apresentada no terceiro capítulo e que servirá de base de comparação para que se
possam validar os modelos apresentados no sétimo capítulo.
No quinto capítulo expõem-se as principais vantagens e desvantagens das formulações não-
convencionais de elementos finitos, estabelecendo-se comparações com a formulação clássica.
Apresentam-se ainda as duas formulações não-convencionais a serem utilizadas no trabalho, a
híbrida-mista de tensão e a híbrida duplamente mista de tensão, bem como as funções utilizadas
para a definição das aproximações em cada um dos modelos, os polinómios ortogonais de Legendre.
3
O sexto capítulo tem como finalidade a aplicação dos modelos definidos no quinto capítulo
aos exemplos de elementos estruturais apresentados no quarto capítulo. Discutem-se os resultados
obtidos com a formulação híbrida-mista de tensão para a análise linear e comparam-se os mesmos
com os obtidos no quarto capítulo. Apresenta-se ainda uma análise não-linear dos elementos
estruturais, com a introdução da variável de dano, aplicando-se para tal a formulação híbrida
duplamente mista de tensão.
No sétimo capítulo é apresentada a generalização dos modelos híbridos-mistos de elementos
finitos por forma a ser possível a inclusão de varões de reforço na modelação de estruturas
bidimensionais de betão armado. São apresentadas duas variantes da formulação, uma para
elementos híbridos-mistos de tensão e outra para elementos híbridos duplamente mistos de tensão.
No oitavo capítulo são aplicadas as novas formulações desenvolvidas no sétimo capítulo, com
a inclusão dos elementos de barra. As formulações híbrida-mista de tensão e híbrida duplamente
mista de tensão são utilizadas, respectivamente, para a análise fisicamente linear e não-linear (com
variável de dano para o betão) dos mesmos exemplos de elementos estruturais que foram sendo
estudados ao longo do trabalho.
O nono capítulo é dedicado às conclusões e desenvolvimentos futuros.
No anexo A, como complemento ao trabalho, são apresentadas em pormenor as funções de
aproximação utilizadas, os polinómios ortogonais de Legendre.
No anexo B, como forma de validação dos resultados obtidos na nova formulação, apresenta-
se uma outra discretização, com uma malha ultrarefinada, para o exemplo da viga simplesmente
apoiada de betão armado, obtida através do modelo clássico de deslocamentos do método dos
elementos finitos.
4
5
2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
2.1 Considerações Iniciais
Neste capítulo são apresentadas e definidas as hipóteses a considerar ao longo do trabalho,
bem como as variáveis que surgem na formulação de um problema de análise estrutural
(deslocamentos, deformações, tensões e cargas). São também definidas as relações fundamentais
(equilíbrio, relação constitutiva e compatibilidade), necessárias para a caracterização física (linear e
não-linear) e geometricamente linear de uma estrutura.
As bases teóricas da Teoria da Elasticidade são aqui apresentadas de forma genérica, de
modo a que possam ser aplicadas a qualquer tipo de estrutura. Apenas os conceitos básicos,
relevantes para o desenvolvimento do trabalho, serão expostos, sendo que a sua descrição
detalhada pode ser encontrada, por exemplo, em [Arantes e Oliveira 1999; Timoshenko et al. 1970].
2.2 Hipóteses
Ao longo do trabalho são admitidas as seguintes hipóteses:
Isotropia – as propriedades do material são independentes da direcção considerada;
Linearidade geométrica – é baseada na hipótese dos pequenos deslocamentos e das
pequenas deformações. Os deslocamentos e as deformações sofridos pela estrutura são
pequenos face à menor dimensão da estrutura, permitindo desta forma estabelecer as
condições de equilíbrio na configuração indeformada da mesma;
Homogeneidade – as propriedades dos materiais não variam de ponto para ponto;
Linearidade física – numa primeira fase do trabalho é considerada esta hipótese. Os materiais
apresentam um comportamento elástico linear, ou seja, recuperam a sua forma inicial
quando deixam de ser solicitados e existe uma relação linear entre tensões e deformações;
Não-linearidade física – numa fase mais avançada do trabalho é considerada esta hipótese.
Os materiais têm comportamento não-linear, ou seja, não existe uma relação linear entre
tensões e deformações;
Carregamento monotónico – não se considera inversão do sentido de aplicação da carga;
Aderência perfeita aço-betão – não se considera escorregamento entre os materiais;
Carregamento estático – a velocidade de aplicação da carga é suficientemente baixa,
podendo desprezar-se os seus efeitos dinâmicos;
Considera-se que a temperatura não interfere nas características mecânicas do material;
Varões de reforço no fronteira entre elementos de betão.
6
2.3 Variáveis e Equações Fundamentais
As grandezas utilizadas para definir o comportamento de uma estrutura (variáveis) e as
relações que entre elas se estabelecem (equações fundamentais) estão representadas de forma
esquemática na Figura 2.1.
Figura 2.1 – Formulação do problema.
De forma a facilitar a compreensão das equações a seguir apresentadas, considere-se o
corpo genérico representado na Figura 2.2, definido pelo domínio V e limitado pela fronteira Γ, a qual
é constituída por uma fronteira cinemática, Γu, onde são impostas as restrições ao deslocamento e
uma fronteira estática, Γσ, onde é conhecido o valor das tensões aplicadas. O vector ū reúne as
componentes do campo de deslocamentos na fronteira cinemática, o vector t reúne as componentes
das forças aplicadas na fronteira estática e o vector b reúne as componentes das forças exteriores
aplicadas no domínio.
Figura 2.2 – Corpo genérico.
7
2.4 Condições de Equilíbrio
As equações de equilíbrio no domínio V e na fronteira Γ, segundo [Timoshenko et al. 1970],
podem ser escritas na forma matricial que a seguir se apresenta:
(2.1)
(2.2)
onde D representa o operador diferencial de equilíbrio e N representa a matriz que lista as
componentes do vector unitário normal à fronteira estática, Γσ.
2.5 Condições de Compatibilidade
Admitindo como válida a hipótese de linearidade geométrica anteriormente mencionada, as
condições de compatibilidade podem ser escritas na forma matricial que a seguir se apresenta
[Timoshenko et al. 1970]:
(2.3)
(2.4)
onde é o operador diferencial de compatibilidade. Os operadores diferenciais e são lineares
e adjuntos, em função da hipótese de linearidade geométrica admitida.
2.6 Relações Constitutivas
As relações constitutivas estabelecem as leis de comportamento dos materiais estruturais
que permitem relacionar o tensor das deformações com o tensor das tensões.
Numa primeira fase do trabalho o comportamento dos materiais é considerado como
fisicamente linear. Então, em regime elástico linear e partindo do princípio que não existem
variações de temperatura nem tensões iniciais, a relação entre as tensões e as deformações (Lei de
Hooke) pode ser definida, de forma simplificada, no formato de flexibilidade (2.5) ou no formato de
rigidez (2.6) [Arantes e Oliveira 1999]:
(2.5)
(2.6)
onde e são tensores simétricos de 4ª ordem onde se reúnem os parâmetros elásticos dos
materiais.
8
As equações podem ainda ser escritas na forma matricial que a seguir se apresenta:
(2.7)
(2.8)
onde e representam, respectivamente, a matriz de flexibilidade e a matriz de rigidez, sendo
válida a relação .
Numa fase posterior do trabalho, será necessário considerar o comportamento não-linear
dos materiais, cuja relação entre tensões e deformações não será igual à referida no ponto anterior.
Esta relação pode ser escrita no formato de flexibilidade (2.9) ou no formato de rigidez (2.10) da
seguinte forma:
(2.9)
(2.10)
onde e representam, respectivamente, o tensor constitutivo de flexibilidade do material e o
tensor constitutivo de rigidez do material, com comportamento não-linear. No caso de estarmos
perante comportamento elástico linear, e coincidem, respectivamente, com e .
O comportamento fisicamente não-linear do betão será referido no ponto seguinte através
do modelo que será adoptado ao longo do trabalho. Para o aço não se vai considerar a não-
linearidade, considerando-se que o comportamento do material é elástico-linear ao longo de todo o
trabalho.
2.7 Comportamento Fisicamente Não-Linear
A resposta não-linear de um material está normalmente associada à manifestação de
processos irreversíveis que ocorrem na sua microestrutura e que pode ser observada
macroscopicamente [Proença 2000]. Estes processos irreversíveis podem ter origem em defeitos
microscópicos que têm como resultado a concentração de tensões na zona onde ocorrem. Isto
provoca, por sua vez, a redução de rigidez e resistência do material, que conduz ao aparecimento e
crescimento de microfissuras, quando este está sujeito a carregamento, e às correspondentes
deformações, que têm carácter permanente. O material deixa então de apresentar um
comportamento elástico linear, motivo pelo qual se apresenta no ponto seguinte o modelo de
comportamento adoptado para o betão (Modelo de Dano Isotrópico).
2.7.1 Modelo de Dano Isotrópico (Betão)
O uso deste tipo de modelo surgiu com o objectivo de modelar correctamente a fendilhação
observada no material e as consequentes alterações das propriedades mecânicas, sendo que os
processos irreversíveis são considerados através da redução da rigidez inicial do material. O conceito
de dano foi introduzido por [Kachanov 1958], que procurava justificar a rotura precoce dos materiais
em relação ao esperado. A versão mais simples do modelo de dano, que vai ser utilizada neste
trabalho, consiste em trabalhar com uma variável interna escalar de dano que afecta de forma
9
isotrópica o tensor de rigidez inicial do material. Apesar de não ser fácil medir directamente o valor
dessa variável de dano, é possível quantificá-la de forma indirecta através da alteração das
propriedades mecânicas do material. Uma versão mais precisa de um modelo de dano tem em
consideração que as microfissuras tendem a agrupar-se numa dada direcção, ou seja, consideram o
carácter anisotrópico da variável de dano, que deixa de ser escalar, designando-se tal modelo por
modelo de dano anisotrópico, cuja descrição detalhada pode ser encontrada, por exemplo, em
[Jirásek 2004; Lemaitre 1992; Lemaitre et al. 2005; Silva 2006a].
A variável de dano local, , associada a um plano de normal , pode ser definida pela
relação [Lemaitre et al. 1985]:
(2.11)
onde representa a área total de uma secção genérica de um elemento e a área íntegra contida
em , tal como se apresenta na Figura 2.3.
Figura 2.3 – Volume representativo de um sólido com dano (adaptado de [Paula 2001]).
A variável de dano assume valores entre zero e um, sendo que corresponde à
situação de material completamente íntegro e a um estado de total deterioração [Kachanov
1958]. O desenvolvimento do dano é um processo irreversível, sendo que tal propriedade está
expressa na Equação (2.11), visto que a área íntegra ou se mantém constante ou diminui. Tratando-
se de um modelo isotrópico, a variável de dano é independente da direcção , ou seja, os defeitos e
vazios do material estão uniformemente distribuídos em todas as direcções.
A tensão efectiva num determinado material relaciona-se com a tensão inicial (sem dano)
através da seguinte expressão:
(2.12)
Introduzindo a variável de dano, definida na equação (2.11) na expressão anterior, obtém-se
a seguinte relação:
(2.13)
10
A relação constitutiva do meio contínuo com dano pode ser obtida pela introdução da
relação anterior (2.13) na lei de Hooke aplicada à parte íntegra (sem dano) do meio danificado:
(2.14)
Num modelo de dano isotrópico uniaxial é usualmente considerada uma função matemática,
g, que traduz a lei de evolução de dano, a qual é definida a partir de resultados experimentais. Os
modelos de dano têm de respeitar as leis e princípios da termodinâmica dos processos irreversíveis
[Kachanov 1986; Lemaitre 1992; Lemaitre et al. 2005]. Numa fase inicial, o material tem um
comportamento elástico linear. Contudo, quando a energia elástica armazenada atinge um valor
crítico, a variável de dano assume valores não nulos de forma a traduzir a perda de integridade do
material [Silva 2006a]. A evolução da variável de dano deve ser calculada em função da deformação,
podendo escrever-se:
(2.15)
Em relação à expressão anterior, facilmente se verifica que esta não impede a diminuição do
valor da variável de dano. Como tal, é necessário fazer a função g depender, para além da
deformação actuante no material, de uma grandeza , que tem em conta a deformação máxima a
que o material esteve sujeito. Então, a lei de evolução de dano pode ser reescrita da seguinte forma:
{ [ ] } (2.16)
onde o parâmetro está associado à deformação máxima para a qual o material não apresenta
dano. Esta é, portanto, uma modelação mais correcta do comportamento do material.
Surge ainda a necessidade de se fazer a distinção entre as situações de carga e de descarga.
Essa distinção é feita através da comparação da deformação actuante, , com a grandeza , sendo
expressa pelo potencial de dissipação, f:
(2.17)
São ainda, na sequência da expressão anterior, definidas as condições de carga e descarga de
Kuhn-Tucker:
(2.18)
As duas primeiras condições definem como uma grandeza não decrescente e sempre
superior ou igual à deformação actuante, . A terceira condição implica que apenas ocorra evolução
da grandeza quando o potencial de dissipação for nulo, ou seja, quando e forem iguais.
Para o caso de um modelo de dano isotrópico multiaxial todas as equações apresentadas
anteriormente neste ponto são válidas, procedendo-se apenas a uma alteração na Equação (2.17)
11
devido à necessidade de se definir uma deformação equivalente, , a qual deve ser obtida em função
das componentes independentes do tensor das deformações:
(2.19)
onde representa uma função de activação que depende do modelo de dano utilizado.
Resumidamente, as equações constitutivas de um modelo de dano isotrópico são as
seguintes:
(lei secante tensão-deformação);
(relação tensão efectiva-tensão);
(lei de evolução de dano);
(potencial de dissipação);
(condições de carga e descarga).
A escolha do tipo de lei de evolução de dano a considerar depende do tipo de material e das
acções que se pretendem modelar. O modelo de dano escalar que vai ser utilizado neste trabalho é o
modelo de dano de [Mazars 1984]. Neste, admite-se que o aparecimento e a evolução de dano
resultam apenas da existência de extensões positivas. Deste modo, apenas é considerada a parte
positiva das componentes principais do tensor das deformações no cálculo da deformação
equivalente:
‖⟨ ⟩‖ √⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ √∑⟨ ⟩
(2.20)
Segundo este modelo constitutivo, enquanto a deformação equivalente não atingir um
determinado valor de referência, , o material apresenta um comportamento elástico linear.
Quando é atingido esse valor, o material começa a apresentar dano, apresentando a partir desse
momento um comportamento não-linear. No caso unidimensional, o valor do parâmetro é
função do valor da resistência máxima em ensaios de tracção uniaxial, , tal como se apresenta na
expressão seguinte:
(2.21)
O potencial de dissipação deste modelo é então dado por:
(2.22)
12
Para casos de tracção e compressão uniaxiais, são definidas neste modelo duas variáveis
escalares independentes, e , que representam o dano de tracção e compressão,
respectivamente. As leis de evolução destas duas variáveis podem ser escritas da seguinte maneira:
[ ] (2.23)
[ ] (2.24)
onde e são parâmetros característicos do material, podendo ser determinados em
ensaios de tracção uniaxial com deformação controlada (três primeiros parâmetros) e ensaios de
compressão uniaxial com deformação controlada (últimos dois parâmetros).
Para o caso de estados de tensão mais complexos, a variável de dano pode ser definida como
uma combinação linear de e :
(2.25)
verificando-se sempre . Respeitando as características dos casos uniaxiais, os
coeficientes e assumem o valor unitário no caso de tracção uniaxial e compressão uniaxial,
respectivamente. Estes coeficientes são determinados da seguinte forma [Perego 1990]:
∑ ⟨
⟩
∑ ⟨ ⟩ ∑ ⟨
⟩
(2.26)
∑ ⟨
⟩
∑ ⟨ ⟩ ∑ ⟨
⟩
(2.27)
onde:
⟨ ⟩
∑⟨ ⟩
(2.28)
⟨ ⟩
∑⟨ ⟩
(2.29)
sendo o tensor identidade e ⟨ ⟩ e ⟨ ⟩ as partes positiva e negativa, respectivamente, do tensor
das tensões efectivas principais calculado em função das deformações actuais aplicando a relação
elástica isotrópica, tal como se apresenta nas Equações (2.30)e (2.31).
13
⟨ ⟩
| | (2.30)
(2.31)
Uma vez determinado o valor da variável de dano através da aplicação da expressão (2.25), é
possível regressar à Equação (2.14), a qual representa a relação constitutiva para este modelo de
dano escalar isotrópico.
14
15
3 MODELO CLÁSSICO DE ELEMENTOS FINITOS
3.1 Considerações Iniciais
Actualmente, o Método dos Elementos Finitos é um dado adquirido na análise de sólidos e
estruturas, mecânica de fluidos e transferência de calor, sendo a sua formulação clássica a mais
utilizada. Esta permite a obtenção de uma solução aproximada de forma rápida e eficiente de
determinados problemas de engenharia. A origem do Método dos Elementos Finitos remonta a
meados do século XX, nomeadamente com o trabalho de [Clough 1960], tendo desde aí um papel
importante na área da Engenharia Civil, servindo de princípio básico para inúmeros trabalhos que
levam ao desenvolvimento do ramo, no qual este se insere. A forte utilização deste método deve-se,
essencialmente, à simplicidade conceptual na formulação do problema, a qual torna o significado
físico das grandezas intervenientes claro e intuitivo, e à sua robusta fundamentação teórica, que
permite estabelecer as condições para a existência, unicidade e convergência das soluções numéricas
aproximadas.
Neste capítulo será abordada a formulação clássica do método dos elementos finitos, os
elementos finitos de deslocamento, e serão discutidas as vantagens e desvantagens que decorrem da
sua utilização.
3.2 Conceitos Básicos
A aplicação do Método dos Elementos Finitos de Deslocamento baseia-se no princípio de
aproximação directa dos deslocamentos, por ser fácil definir uma solução cinematicamente
admissível. Para tal utilizam-se funções contínuas, sendo estas escritas por forma a ser fácil impor as
condições de compatibilidade. O campo de tensões/esforços é obtido a partir do campo de
deformações (obtido a partir da aproximação definida para os campos de deslocamento através da
aplicação das equações de compatibilidade) impondo a relação constitutiva, satisfazendo-se a
condição de admissibilidade estática de forma aproximada. Assim, pode dizer-se que as condições de
compatibilidade e a relação constitutiva são satisfeitas localmente ou impostas de maneira forte, ou
seja, verificadas ponto a ponto. Pode ainda dizer-se que as condições de equilíbrio, caso sejam
violadas em pelo menos um ponto (o que geralmente acontece), são satisfeitas aproximadamente ou
impostas de maneira fraca. Quando as condições de equilíbrio são satisfeitas em todos os pontos
conclui-se que a aproximação utilizada contém a solução exacta para o problema, o que acontece
num número muito reduzido de casos.
O facto de a solução não respeitar as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira
significa que o erro associado à determinação dos campos estáticos é muito superior ao erro
associado aos campos cinemáticos e indica que, do ponto de vista do dimensionamento de
estruturas e de acordo com o Teorema Estático da Análise Plástica de Estruturas, esta solução seja
contra a segurança [Almeida 1991; Silva 2006b]. Para além disto, o tipo e o grau das funções que se
podem utilizar na aproximação dos campos cinemáticos são limitados, sendo necessário, para a
obtenção de soluções com grau de precisão conveniente, a utilização de malhas com elevado
número de elementos finitos (refinamento tipo-h), o que torna indispensável a utilização de
algoritmos especialmente desenhados para efectuar a geração automática dos dados associados a
essas malhas. A adopção de estratégias de refinamento baseadas no aumento do grau das funções
16
de aproximação (refinamento tipo-p) é dificultada quando se utiliza a formulação clássica do Método
dos Elementos Finitos aqui apresentada. É de referir ainda que quando se aplica o método dos
elementos finitos para a análise de lajes de Reissner-Mindlin (teoria de lajes onde se considera a
existência de deformação por corte) existe a possibilidade de surgir o efeito de locking, não sendo o
caso deste trabalho.
Com o intuito de contornar algumas destas limitações, têm sido desenvolvidas formulações
não-convencionais de elementos finitos, nomeadamente os Elementos Híbridos-Mistos de Tensão,
sobre os quais incide este trabalho e que serão apresentados no Capítulo 5.
3.3 Elementos Finitos de Deslocamento
No modelo clássico de elementos finitos, apenas o campo de deslocamentos no domínio é
aproximado, definindo-se, para cada elemento:
(3.1)
onde a matriz agrupa as funções de aproximação e o vector representa as variáveis discretas
dos deslocamentos. As funções de aproximação utilizadas nesta formulação clássica de elementos
finitos permitem, a priori, garantir todas as condições de compatibilidade, tanto no domínio de cada
elemento como na fronteira cinemática (considerando-se que esta engloba todas as fronteiras entre
elementos). É de referir que se utiliza o conceito de interpolação nodal, que o número de nós em
cada elemento está directamente ligado ao grau da aproximação considerada e ainda que a função
interpoladora toma valor unitário no nó a que diz respeito e é nula nos restantes.
Com base nas relações fundamentais apresentadas no Capítulo 2, é possível relacionar as
equações no domínio de modo a obter as expressões em função dos deslocamentos. Substituindo a
condição de compatibilidade (2.3) na condição de elasticidade (2.8) obtém-se:
(3.2)
Assim, a condição de equilíbrio no domínio (2.1) e a condição de equilíbrio ao longo da
fronteira estática (2.2) podem ser escritas, respectivamente, da seguinte forma:
(3.3)
(3.4)
A equação (3.3) é imposta ponderadamente pelo Método dos Resíduos Pesados, utilizando-
se as funções de aproximação do campo de deslocamentos no domínio:
∫ [ ]
(3.5)
17
Integrando por partes o primeiro termo da equação anterior, obtém-se:
∫
∫
∫
(3.6)
Substituindo as aproximações (3.1) e (3.4) na equação (3.6) e tendo em conta a igualdade
(3.4), obtém-se:
(∫
) ∫
∫
(3.7)
Definindo os seguintes operadores estruturais
∫
(3.8)
∫
∫
(3.9)
obtém-se o seguinte sistema governativo elementar para o modelo de elementos finitos de
deslocamento:
(
(3.10)
Por forma a obter o sistema governativo global é necessário reunir as equações elementares,
utilizando-se para o efeito um processo descrito de forma detalhada em [Zienkiewicz et al. 1989].
Uma vez determinado o valor de todos os deslocamentos nodais, a aproximação para o
campo de deslocamentos em cada elemento é feita com base na equação (3.1). A partir da equação
(3.2) é possível determinar a aproximação para o campo de tensões, que pode ou não verificar as
condições de equilíbrio no domínio e na fronteira, dependendo para que tal aconteça que a solução
exacta tenha grau igual ou inferior ao das funções de aproximação o que, como já foi mencionado,
acontece num número muito reduzido de casos.
Finalmente, é de referir que caso se considere para os materiais estruturais um
comportamento fisicamente não-linear, o sistema governativo passa a poder escrever-se na forma
genérica:
(
(3.11)
A resolução deste sistema governativo não-linear requer a utilização de um procedimento
incremental e iterativo. Este procedimento é semelhante ao que vai ser apresentado no caso dos
modelos híbridos-mistos de tensão, motivo pelo qual não é apresentado neste capítulo.
18
19
4 ANÁLISE DE PEÇAS BIDIMENSIONAIS DE BETÃO COM
ELEMENTOS FINITOS DE DESLOCAMENTO
4.1 Considerações Iniciais
Neste capítulo são analisadas estruturas bidimensionais de betão com recurso à formulação
de deslocamento do método dos elementos finitos. Numa primeira fase são analisadas estruturas de
betão simples, sendo numa segunda fase incluídos varões de reforço de aço. Para a análise de
estruturas de betão armado são consideradas duas estratégias alternativas. Na primeira, os varões
de reforço são considerados na modelação como elementos estruturais unidimensionais. Na segunda
versão, os varões de aço são considerados como elementos bidimensionais.
Nas análises apresentadas neste capítulo foi utilizado um programa comercial de elementos
finitos, o [ADINA]. É de salientar que em todos os exemplos se considera um comportamento elástico
linear para os materiais. Na Tabela 4.1 listam-se as propriedades elásticas consideradas para cada um
dos materiais estruturais.
Betão Aço
Módulo Young (GPa) 31 210
Coeficiente de Poisson 0,2 0,3
Densidade (kg/m3) 2400 7860
Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais.
É de referir que os exemplos aqui apresentados não se encontram exaustivamente
analisados, pois não é esse o objectivo deste trabalho. Apenas são analisados aspectos gerais dos
problemas, que possam ser comparados com os obtidos através da análise pelo Método dos
Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão.
4.2 Análise de uma Viga Simplesmente Apoiada
Neste exemplo analisa-se uma viga simplesmente apoiada sujeita a carregamento
uniformemente distribuído p, de valor igual a 1N/m. Considera-se que se trata de um problema de
estado plano de tensão, uma vez que a espessura é desprezável em relação à dimensão da peça
segundo as outras duas direcções. A viga tem as dimensões que se apresentam na Figura 4.1.
20
Figura 4.1 – Viga simplesmente apoiada (dimensões em metros).
Tirando partido da simetria da estrutura e do carregamento, apresenta-se na Figura 4.2 a
devida simplificação, a qual será usada na análise do problema.
Figura 4.2 – Simplificação de simetria da viga simplesmente apoiada (dimensões em metros).
4.2.1 Viga de Betão Simples
Nesta primeira subsecção considera-se que a viga é constituída apenas por betão, sem a
existência de qualquer reforço. Começa-se por utilizar uma malha pouco refinada, ou seja, com
pouco elementos, analisando-se o efeito do refinamento à medida que se aumenta o número de
elementos (refinamento tipo-h). Para cada solução são apresentados os deslocamentos segundo Z,
as tensões e as tensões .
Nas Figuras 4.3, 4.4 e 4.5 estão representadas as malhas utilizadas, havendo três níveis
distintos de refinamento. No primeiro são considerados 20 elementos de 4 nós (utilização de funções
de aproximação bilineares para a modelação dos campos de deslocamento), ou seja, uma malha
pouco refinada. No segundo, são considerados 1280 elementos de 4 nós, o que representa uma
malha mais refinada. Por último, são considerados 20480 elementos de 4 nós, uma solução muito
refinada. Os elementos são quadriláteros, tendo tal escolha sido baseada na geometria da estrutura.
21
Figura 4.3 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha pouco refinada.
Figura 4.4 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha intermédia.
Figura 4.5 – Análise da viga simplesmente apoiada. Malha muito refinada.
Com o aumento do número de elementos, refinamento tipo-h, a solução irá convergir,
aproximando-se, no limite, da solução exacta. Nas Figuras 4.6, 4.7 e 4.8 estão representados os
deslocamentos segundo Z para as três malhas, bem como as deformadas correspondentes.
22
Figura 4.6 – Deslocamento segundo Z (malha pouco refinada).
Figura 4.7 – Deslocamento segundo Z (malha intermédia).
Figura 4.8 – Deslocamento segundo Z (malha muito refinada)
Na Figura 4.8 foi retirada a malha, para que a escala de cores seja claramente visível.
É possível notar que a solução converge rapidamente no que toca aos deslocamentos. Esta
afirmação será comprovada mais à frente nesta subsecção, com a apresentação de um diagrama da
evolução do deslocamento segundo Z a meio vão em função do número de graus de liberdade
considerados em cada uma das malhas utilizadas.
23
A rápida convergência era de esperar, visto a solução exacta não ser complexa (para este
caso da viga simplesmente apoiada) e também porque a condição de compatibilidade é imposta de
maneira forte. Os deslocamentos convergem para a solução exacta mais rapidamente do que as
tensões/esforços, visto as condições de equilíbrio serem impostas de maneira fraca, tal como já foi
mencionado. Para além disto, importa referir que os campos de deformações (que estão na base da
determinação dos campos de tensões) são determinados derivando a solução aproximada obtida
para o campo de deslocamentos, o que aumenta desde logo os erros associados. No entanto,
também por se tratar de uma solução não complexa, não é necessário um elevado grau de
refinamento para se obter uma boa aproximação da realidade, tal como será mais à frente
comprovado por um diagrama de evolução da tensão de corte em função do número de graus de
liberdade.
Nas Figuras 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.13 e 4.14 estão representadas as tensões (directas e
suavizadas) para as três malhas distintas, bem como as correspondentes deformadas. A
representação direta é obtida com base na solução aproximada que resulta diretamente dos
cálculos. Na representação suavizada, os campos de tensões resultam de uma operação de
adoçamento da solução, a qual visa conseguir obter uma solução contínua para os campos estáticos.
Figura 4.9 – Tensão (malha pouco refinada).
Figura 4.10 – Tensão suavizada (malha intermédia).
24
Figura 4.11 – Tensão (malha mais refinada).
Figura 4.12 – Tensão suavizada (malha mais refinada).
Figura 4.13 – Tensão (malha muito refinada).
25
Figura 4.14 – Tensão suavizada (malha muito refinada).
Nas Figuras 4.13 e 4.14 foi retirada a malha, para que a escala de cores seja claramente
visível.
Nas Figuras 4.15, 4.16, 4.17, 4.18, 4.19 e 4.20 estão representadas as tensões (directas e
suavizadas) para as três malhas distintas, bem como as correspondentes deformadas.
Figura 4.15 – Tensão (malha pouco refinada).
Figura 4.16 – Tensão suavizada (malha pouco refinada).
26
Figura 4.17 – Tensão (malha mais refinada).
Figura 4.18 – Tensão suavizada (malha mais refinada).
Figura 4.19 – Tensão (malha muito refinada).
Figura 4.20 – Tensão suavizada (malha muito refinada).
27
É notório que quando se refina a solução, as diferenças entre as representações directas e as
suavizadas dos campos de tensões vão sendo cada vez menos visíveis. Isto deve-se ao facto dos
desequilíbrios de tensões entre elementos irem sendo cada vez menores, o que faz com que as
soluções aproximadas sejam cada vez mais contínuas. Quando numa determinada solução há
violação clara das condições de equilíbrio na fronteira estática e na fronteira entre elementos
adjacentes, a solução afasta-se da solução exacta e são mais visíveis as diferenças existentes entre o
campo de tensões obtido directamente a partir da aproximação e o campo de tensões suavizado.
Nestes casos há claramente a necessidade de se proceder ao refinamento da solução, para que o
modelo possa simular de forma adequada o comportamento da estrutura que se pretende analisar.
Para finalizar este ponto, são então apresentados os diagramas com a evolução do valor do
deslocamento segundo Z a meio vão (Figura 4.21), com o valor da tensão de corte (Figura 4.22) e
com o valor da energia de deformação (Figura 4.23), todos em função do número de graus de
liberdade. Estes diagramas têm por finalidade ilustrar a convergência da solução e justificar os
comentários feitos até então.
Figura 4.21 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade.
Figura 4.22 – Tensão de corte (N/m2) em função do número de graus de liberdade.
Tal como foi referido anteriormente e agora se verifica, apesar de teoricamente as tensões
não convergirem tão rapidamente para a solução exacta quanto os deslocamentos, por se tratar de
um caso simples, onde não é necessário um grau de refinamento muito elevado para que a solução
tenha uma precisão adequada, a taxa de convergência é semelhante.
2,0440E-082,0460E-082,0480E-082,0500E-082,0520E-082,0540E-082,0560E-082,0580E-082,0600E-082,0620E-08
0 10000 20000 30000 40000 50000
De
slo
cam
en
to Z
(va
lor
abso
luto
)
nº de graus de liberdade
0
2
4
6
8
0 10000 20000 30000 40000 50000
Ten
são
de
co
rte
(va
lor
abso
luto
)
nº de graus de liberdade
28
Figura 4.23 – Evolução da energia de deformação em função do número de graus de liberdade.
Também para o caso da energia de deformação, é possível verificar que a taxa de
convergência é semelhante à do deslocamento segundo Z.
4.2.2 Viga de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra)
Nesta secção proceder-se-á à análise da viga simplesmente apoiada, reforçada agora com
varões de aço com as propriedades apresentadas na Tabela 4.1, considerando um recobrimento de 5
centímetros e uma área unitária. Na modelação dos reforços consideram-se elementos
unidimensionais de barra. Este modelo complementará o do ponto anterior, sendo comparado o seu
comportamento com o da viga de betão simples analisada na subsecção 4.2.1. Estuda-se ainda a
importância da existência do reforço no comportamento da estrutura. O modelo utilizado está
representado na Figura 4.24.
Figura 4.24 – Viga simplesmente apoiada de betão armado (dimensões em metros).
Tal como na subsecção 4.2.1, proceder-se-á ao refinamento tipo-h da solução, analisando as
diferenças à medida que a malha fica mais refinada. Para cada solução são apresentados os
deslocamentos segundo Z e as tensões .
1,3040E-08
1,3060E-08
1,3080E-08
1,3100E-08
1,3120E-08
1,3140E-08
1,3160E-08
1,3180E-08
0 10000 20000 30000 40000 50000Ene
rgia
de
De
form
ação
nº de graus de liberdade
29
Nas figuras seguintes estão representadas as malhas utilizadas, sendo notório o aumento do
refinamento de malha para malha. Nas Figuras 4.25 e 4.26 a malha representada é formada por
elementos do mesmo tamanho mas com graus diferentes de refinamento (Malha A, com 400
elementos e Malha B, com 1440 elementos, respectivamente). Na Figura 4.27 a malha representada
é notoriamente mais fina em torno da armadura (Malha C, com 4160 elementos), por forma a
melhorar a solução obtida. Pelo mesmo motivo, na Figura 4.28, a malha representada é mais fina,
não apenas em torno da armadura, mas também na zona do apoio (Malha D, com 4160 elementos).
Os elementos são quadriláteros, tendo tal escolha sido baseada na geometria da estrutura.
Figura 4.25 – Análise da viga de betão armado. Malha A.
Figura 4.26 – Análise da viga de betão armado. Malha B.
Figura 4.27 – Análise da viga de betão armado. Malha C.
30
Figura 4.28 – Análise da viga de betão armado. Malha D.
Nas Figuras 4.29, 4.30, 4.31 e 4.32 estão representados os deslocamentos segundo Z obtidos
com as quatro malhas acima referidas, bem como as deformadas correspondentes, por forma a
estudar a convergência da solução.
Figura 4.29 – Deslocamento segundo Z (Malha A).
Figura 4.30 – Deslocamento segundo Z (Malha B).
31
Figura 4.31 – Deslocamento segundo Z (Malha C).
Figura 4.32 – Deslocamento segundo Z (Malha D).
Como é possível observar pela
Tabela 4.2, os valores máximos dos deslocamentos a meio vão variam consoante a
distribuição do refinamento. Para as Malhas A e B, os valores são semelhantes, pelo facto do
refinamento ser uniforme. Quando se procede ao refinamento em torno da armadura (onde à
partida existe uma maior concentração de tensões), como nas Malhas C e D, os valores aumentam,
aproximando-se da solução exacta. A Malha D, apesar de apresentar o mesmo número de graus de
liberdade da Malha C, apresenta uma distribuição do refinamento mais adequada, motivo pelo qual
o valor do deslocamento máximo correspondente servirá de referência para futuras comparações.
Graus de liberdade Deslocamento Z (m)
720 -8,642E-10
2720 -8,643E-10
8042 -9,017E-10
8042 -9,159E-10
Tabela 4.2 – Deslocamento segundo Z para as várias discretizações.
Nas Figuras 4.33, 4.34, 4.35, 4.36, 4.37, 4.38, 4.39 e 4.40 estão representadas as tensões
(directas e suavizadas) para as quatro malhas consideradas, bem como os correspondentes
deslocamentos. Interessa referir neste momento que a malha da Figura 4.40 foi criada devido às
alterações verificadas na zona do apoio da malha da Figura 4.38, de maneira a refinar a solução
obtida naquela mesma zona.
32
Figura 4.33 – Tensão (Malha A).
Figura 4.34 – Tensão suavizada (Malha A).
Figura 4.35 – Tensão (Malha B).
Figura 4.36 – Tensão suavizada (Malha B).
33
Figura 4.37 – Tensão (Malha C).
Figura 4.38 – Tensão suavizada (Malha C).
Figura 4.39 – Tensão (Malha D).
Figura 4.40 – Tensão suavizada (Malha D).
34
Tal como era expectável, a solução não converge tão rapidamente para a solução exacta nas
tensões como nos deslocamentos, verificando-se, portanto, o mesmo que no caso da viga de betão
simples. Para além disso, é notório que quando se refina a solução, as diferenças entre as tensões
directas e as suavizadas vão sendo cada vez menos visíveis, tal como no primeiro caso.
A análise dos campos de tensões obtidos permite verificar que devido à presença do reforço,
existem diferenças no comportamento da viga de betão armado quando comparada com a de betão
simples. Comparando os deslocamentos obtidos na viga de betão simples com os que resultam da
análise da viga de betão armado verifica-se que estes últimos são naturalmente menores, devido ao
aumento da rigidez provocada pelo reforço dos varões de aço. O deslocamento segundo Z a meio vão
considerando o reforço (Malha D) é de -9,159E-10 m, enquanto que sem reforço (malha muito
refinada) o valor do mesmo deslocamento é igual a -2,060E-08 m, claramente superior em valor
absoluto. Em relação às tensões, além dos valores serem também inferiores quando se considera a
existência de reforço, a distribuição das mesmas também se dá de forma diferente, acumulando-se
em torno da armadura e na zona do apoio, motivo pelo qual é necessário que a malha seja mais fina
(mais refinada) nessas zonas.
Interessa, por fim, mostrar as tensões axiais (nas armaduras), por forma a compreender a sua
distribuição ao longo da viga. Nas Figuras 4.41, 4.42, 4.43 e 4.44 estão representadas essas
grandezas.
Figura 4.41 – Tensões axiais nas armaduras (Malha A).
Figura 4.42 – Tensões axiais nas armaduras (Malha B).
35
Figura 4.43 – Tensões axiais nas armaduras (Malha C).
Figura 4.44 – Tensões axiais nas armaduras (Malha D).
No que diz respeito às tensões nas armaduras, é apenas de referir que os resultados vão de
encontro ao esperado para este tipo de estrutura e carregamento, ou seja, tracção na armadura
inferior e compressão na armadura superior.
4.2.3 Viga de Betão Armado Simplificada (Reforço com Elementos Planos)
Nesta secção proceder-se-á à análise da viga simplesmente apoiada, reforçada agora com
varões de aço com as propriedades apresentadas na Tabela 4.1 e considerando um recobrimento de
5 centímetros. Na modelação dos reforços consideram-se elementos de planos com 2 centímetros de
altura. Este modelo simplificado, ainda que constitua uma pior aproximação da realidade, permitirá,
mais à frente neste trabalho, comparar esta formulação clássica de elementos finitos com a
formulação não-convencional adoptada numa primeira instância (antes da introdução dos elementos
de reforço nessa formulação).
Não se procede neste ponto ao refinamento progressivo da malha, como nas subseções
anteriores, sendo apresentada apenas a solução correspondente a uma malha já refinada (5120
elementos). Esta malha está representada na Figura 4.45.
36
Figura 4.45 – Malha refinada (modelo simplificado).
Nas Figuras 4.46, 4.47, 4.48 e 4.49 estão representados o deslocamento segundo Z, a tensão
(directa e suavizada) e a tensão para a malha representada na Figura 4.45, bem como a
correspondente deformada.
Figura 4.46 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado).
Figura 4.47 – Tensão (modelo simplificado).
37
Figura 4.48 – Tensão suavizada (modelo simplificado).
Figura 4.49 – Tensão (modelo simplificado).
Devido à acumulação de tensões nas armaduras verificada na Figura 4.49, a distribuição das
tensões no betão é pouco visível. Por forma a contornar esta situação, na Figura 4.50 apresenta-se
uma escala de cores diferente.
Figura 4.50 – Tensão (modelo simplificado, escala de cores modificada).
Em todas as figuras anteriores foi retirada a malha para que seja mais visível a escala de
cores. A tensão instalada na armadura, tal como para o caso do reforço com elementos de barra
apresentado na subsecção anterior, apresenta o resultado qualitativo esperado, com tracção na
armadura inferior e compressão na armadura superior. Tal como foi referido, este exemplo servirá
para validar os resultados obtidos com a formulação não-convencional adoptada. Por isso, e pelo
facto da modelação discutida na subsecção anterior ser mais correcta (por se considerar uma
modelação mais próxima do que deverá ser o comportamento real da estrutura), não é necessário
neste ponto serem tiradas mais conclusões acerca dos resultados.
38
4.3 Análise de uma Consola Curta
Neste segundo exemplo analisa-se uma consola curta sujeita a carregamento uniforme p, de
valor igual a 1N/m. Tal como no primeiro exemplo, considera-se que se trata de um problema de
estado plano de tensão uma vez que se assume que a espessura é desprezável quando comparada à
dimensão da peça segundo as outras duas direções. A consola tem as dimensões que se apresentam
na Figura 4.51.
O estudo da consola curta irá dividir-se em três partes: análise da consola considerando
apenas betão simples (subsecção 4.3.1), análise da consola considerando betão simples e a existência
de uma fenda no troço superior do bordo encastrado (subsecção 4.3.2) e análise da estrutura
considerando o betão reforçado com varões de aço (subsecção 4.3.3). A separação do problema em
três partes ajuda à melhor compreensão do mesmo, sendo que em cada uma vão sendo tiradas as
conclusões que se consideram pertinentes para o desenvolvimento do trabalho.
Figura 4.51 – Consola curta (dimensões em metros).
4.3.1 Consola Curta de Betão Simples
Tomando como base a consola representada na Figura 4.51, considera-se nesta primeira
subsecção que esta é constituída apenas por betão, ou seja, que não existem quaisquer varões de
reforço.
Nas Figuras 4.52, 4.53, 4.54 e 4.55 estão representadas as malhas utilizadas para a resolução
do problema, partindo de uma malha grosseira e procedendo ao refinamento da mesma, por forma a
melhorar a solução obtida. As Malhas A (12 elementos, 32 graus de liberdade), B (48 elementos,
112 graus de liberdade), C (300 elementos, 640 graus de liberdade) e D (4800 elementos, 9760 graus
de liberdade) representam a evolução desse refinamento. Os elementos considerados são
quadriláteros de 4 nós.
39
Figura 4.52 – Consola curta (Malha A).
Figura 4.53 – Consola curta (Malha B).
Figura 4.54 – Consola curta (Malha C).
Figura 4.55 – Consola curta (Malha D).
Nas Figuras 4.56, 4.57, 4.58 e 4.59 estão representados os deslocamentos segundo Z para as
quatro malhas, bem como as deformadas correspondentes, por forma a estudar a convergência da
solução.
Figura 4.56 – Deslocamento segundo Z (Malha A).
Figura 4.57 – Deslocamento segundo Z (Malha B).
40
Figura 4.58 – Deslocamento segundo Z (Malha C).
Figura 4.59 – Deslocamento segundo Z (Malha D).
Na Figura 4.59 foi retirada a malha para que a escala de cores seja claramente visível.
Através da Figura 4.60, que representa a evolução do deslocamento segundo Z em função do
número de graus de liberdade de cada malha, é fácil perceber que os deslocamentos convergem
rapidamente para a solução exacta à medida que se procede ao refinamento. Tal era expectável,
pelo facto das condições de compatibilidade serem impostas de maneira forte.
Figura 4.60 – Deslocamento segundo Z (em metros) em função do número de graus de liberdade.
Interessa agora mostrar as tensões instaladas na consola, para os vários níveis de
refinamento. As tensões (directas e suavizadas), bem como as respectivas deformadas, estão
representadas nas Figuras 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65, 4.66, 4.67 e 4.68.
8,700E-10
8,750E-10
8,800E-10
8,850E-10
8,900E-10
8,950E-10
9,000E-10
9,050E-10
9,100E-10
9,150E-10
9,200E-10
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
De
slo
cam
en
to Z
(va
lor
abso
luto
)
nº de graus de liberdade
41
Figura 4.61 – Tensão (Malha A).
Figura 4.62 – Tensão suavizada (Malha A).
Figura 4.63 – Tensão (Malha B).
Figura 4.64 – Tensão suavizada (Malha B).
Figura 4.65 – Tensão (Malha C).
Figura 4.66 – Tensão suavizada (Malha C).
Figura 4.67 – Tensão (Malha D).
Figura 4.68 – Tensão suavizada (Malha D).
42
Comparando as tensões suavizadas com as directas, é possível constatar que à medida que
se procede ao refinamento tipo-h, a diferença entre elas começa a diminuir. Na Figura 4.67 é possível
observar que a própria solução já se encontra bastante suavizada, não se encontrando diferenças
significativas em relação à Figura 4.68. Isto quer dizer que as condições de equilíbrio na fronteira
estática e na fronteira entre elementos estão perto de ser verificadas e, portanto, que a solução
obtida se aproxima da solução exacta.
4.3.2 Consola Curta Com Fenda
Neste segundo caso, o modelo foi alterado por forma a introduzir uma fenda. Na Figura 4.69
está representado o modelo utilizado (com a fenda identificada a vermelho), bem como a dimensão
da fenda. É de referir que a consola continua a ser constituída apenas por betão, sem armadura.
Figura 4.69 – Consola curta com fenda e pormenor da fenda (dimensões em metros).
Para este caso, apenas será apresentada uma malha, já com um elevado grau de refinamento
(7293 elementos, 14786 graus de liberdade). Nas Figuras 4.70, 4.71, 4.72 e 4.73 apresentam-se, para
além da malha utlizada, o deslocamento segundo Z e as tensões (directa e suavizada), bem como
as respectivas deformadas. Os elementos considerados são quadriláteros de 4 nós.
43
Figura 4.70 – Malha refinada (fenda).
Figura 4.71 – Deslocamento segundo Z (fenda).
Figura 4.72 – Tensão (fenda).
Figura 4.73 – Tensão suavizada (fenda).
Para tornar visíveis as representações, foram retiradas as malhas na representação dos
deslocamentos e das tensões.
O valor dos deslocamentos aumenta em relação aos verificados na subsecção 4.3.1,
consequência da diminuição de rigidez provocada pela existência da fenda.
Na Figura 4.74 apresenta-se um pormenor da distribuição de tensões na zona da fenda,
o qual permitirá extrair mais conclusões relativamente às diferenças entre o modelo simples e o
modelo fendilhado. Nesta figura é visível uma elevada concentração de tensões na vizinhança da
fenda, o que não se verificava na situação reportada na subsecção anterior. É ainda possível
observar-se que nessa mesma zona a deformada sofre uma variação brusca, explicada pela
descontinuidade de rigidez provocada pela fenda. Contudo, à medida que se afasta dessa região, a
deformada tende para o andamento verificado no modelo sem fenda.
Figura 4.74 – Pormenor da zona da fenda (tensão suavizada).
44
4.3.3 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos de Barra)
Nesta subsecção será analisada a consola considerando-se a presença de um reforço,
constituído por elementos de barra com as propriedades do aço apresentadas na Tabela 4.1. Para
este efeito, é necessário alterar novamente o modelo inicialmente proposto na Figura 4.51. A
alteração consiste na colocação da armadura considerando um recobrimento de 5 centímetros em
relação à face superior da consola, chegando-se ao modelo apresentado na Figura 4.75.
Figura 4.75 – Consola curta de betão armado (dimensões em metros).
Tal como na subsecção 4.2.2, apenas será considerada uma malha de elementos finitos, a
qual já se encontra suficientemente refinada (4960 elementos, 9920 graus de liberdade). Nas Figuras
4.76, 4.77, 4.78 e 4.79 apresentam-se, para além da malha utlizada, o deslocamento segundo Z e as
tensões (directa e suavizada), bem como as respectivas deformadas. Os elementos considerados
são quadriláteros de 4 nós.
Figura 4.76 – Malha refinada (reforço).
Figura 4.77 – Deslocamento segundo Z (reforço).
45
Figura 4.78 – Tensão (reforço).
Figura 4.79 – Tensão suavizada (reforço).
Para tornar visível a escala de cores, foram retiradas as malhas na representação dos
deslocamentos e das tensões.
Contrariamente ao que sucedia no caso da fenda, neste caso os deslocamentos são mais
pequenos, o que é de esperar tendo em conta a introdução do reforço com varões de aço. Isto
porque o reforço de aço aumenta a rigidez da estrutura, diminuindo os deslocamentos provocados
pela carga aplicada.
4.3.4 Consola Curta de Betão Armado (Reforço com Elementos Planos)
Nesta última subsecção proceder-se-á ao reforço da consola curta representada
anteriormente, com elementos planos (com 2 centímetros de altura) com as propriedades do aço
apresentadas na Tabela 4.1 e considerando um recobrimento de 5 centímetros. Este modelo
simplificado permitirá, tal como no caso do exemplo da viga simplesmente apoiada, comparar esta
formulação clássica de elementos finitos com a formulação não-convencional adoptada numa
primeira instância (antes da introdução do elemento de barra na formulação).
Nas Figuras 4.80, 4.81, 4.82 e 4.83 estão representados a malha utilizada (3584 elementos,
7296 graus de liberdade), o deslocamento segundo Z e a tensão (directa e suavizada), bem como
a correspondente deformada. Os elementos considerados são quadriláteros de 4 nós.
Figura 4.80 – Malha refinada (modelo simplificado).
Figura 4.81 – Deslocamento segundo Z (modelo simplificado).
46
Figura 4.82 – Tensão (modelo simplificado).
Figura 4.83 – Tensão suavizada
(modelo simplificado).
Na representação da tensão (directa e suavizada) foi retirada a malha (pelo facto desta
apresentar uma malha muito fina), para que se veja claramente a escala de cores.
Tal como foi referido, este exemplo servirá para comparar os resultados obtidos com a
solução fornecida pela formulação não-convencional adoptada. Por esta razão, e pelo facto da
modelação discutida na subsecção anterior ser mais correta (por considerarmos uma modelação
mais próxima do que deverá ser o comportamento real da estrutura), não é necessário neste ponto
serem tiradas mais conclusões acerca dos resultados.
47
5 ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO
5.1 Considerações Iniciais
Com vista a contornar algumas das limitações associadas à utilização da formulação clássica
do Método dos Elementos Finitos (expressas no Capítulo 3), em meados dos anos 60 surgiram os
modelos de elementos finitos híbridos e mistos com os trabalhos de [Pian 1964]. Mais recentemente,
tais formulações foram desenvolvidas por [Freitas et al. 1999a]. Nos modelos híbridos definem-se
aproximações independentes no domínio e na fronteira do elemento, enquanto que nos modelos
mistos se define mais do que uma aproximação independente no domínio de cada elemento [Brezzi
et al. 1991; Zienkiewicz et al. 2003]. Estas formulações, apesar de apresentarem algumas vantagens
quando comparadas com a formulação clássica de elementos finitos, ainda não conseguiram atingir o
mesmo nível de divulgação e de utilização generalizadas.
Neste capítulo serão apresentadas as características gerais das formulações híbridas e mistas
não-convencionais e discutidas as vantagens e desvantagens decorrentes da sua utilização. São
depois apresentadas de forma mais detalhada as formulações não-convencionais adoptadas neste
trabalho: a formulação híbrida-mista de tensão (HMT) e a formulação híbrida duplamente mista de
tensão (HDMT). São por fim apresentadas as funções aqui utilizadas para a definição das
aproximações em cada um dos modelos (polinómios ortonormais de Legendre).
5.2 Formulações Não-Convencionais de Elementos Finitos
As formulações não-convencionais de elementos finitos apresentam as seguintes
características gerais [Castro 1996; Freitas 1989; Pereira 1993a]:
A formulação é desenvolvida a partir dos princípios fundamentais da Mecânica;
As funções de aproximação podem ser hierárquicas e a sua escolha não está condicionada
pelo conceito de interpolação nodal, ou seja, os nós apenas são utilizados para a definição da
geometria do problema e têm que ser completas;
As variáveis generalizadas do modelo discreto são definidas de modo a serem
energeticamente consistentes, sendo obtidas igualando o trabalho realizado por grandezas
duais no modelo discreto e contínuo;
Os teoremas da Programação Matemática permitem recuperar os teoremas energéticos,
possibilitando o estabelecimento de condições para a existência e unicidade das soluções
[Castro 1996].
Com base nestes pressupostos, [Freitas et al. 1999a] desenvolveram as formulações híbrida-
Trefftz, híbrida e híbrida-mista. Estas três formulações distinguem-se pelas condições impostas
a priori às funções de aproximação no domínio. Nos modelos híbridos-Trefftz, as funções de
aproximação no domínio verificam localmente e em simultâneo as condições de equilíbrio e de
compatibilidade e as relações constitutivas [Cismasiu 2000; Freitas et al. 1999b; Silva 2006a]. Nos
modelos híbridos, as funções de aproximação no domínio verificam as condições de equilíbrio ou de
compatibilidade [Almeida 1991; Pereira 1993b; Silva 2006a]. Finalmente, nos modelos
híbridos-mistos, não são impostas quaisquer restrições e todas as equações fundamentais no
48
domínio são impostas ponderadamente [Castro 1996; Mendes 2002; Pereira 1993a; Silva 2006a; Silva
2002].
Para qualquer uma das formulações anteriores podem ser desenvolvidos modelos de tensão
e de deslocamento, estando a diferença na forma como são tratadas as condições de equilíbrio e de
compatibilidade no domínio e ainda na forma como é assegurada a ligação entre elementos
adjacentes.
Nos modelos de tensão define-se uma aproximação independente para o campo de
deslocamentos ao longo da fronteira estática, que engloba as fronteiras entre elementos. A equação
resultante da imposição ponderada das condições de compatibilidade no domínio é integrada por
partes e as condições de equilíbrio na fronteira estática são impostas ponderadamente.
Nos modelos de deslocamento define-se uma aproximação para o campo de tensões
aplicadas ao longo da fronteira cinemática, que engloba as fronteiras entre elementos. A equação
resultante da imposição ponderada das condições de equilíbrio no domínio é integrada por partes e
as condições de fronteira cinemática são impostas ponderadamente.
A integração por partes de uma equação fundamental no domínio conduz a uma imposição
mais fraca dessa equação. Por este motivo, por oposição aos modelos de deslocamento, nos modelos
de tensão a imposição da compatibilidade é mais fraca do que a de equilíbrio no domínio, pelo que
se torna possível obter soluções localmente quasi-equilibradas [Almeida 1991; Silva 2006a]. Como
tal, o modelo de tensão será o utilizado neste trabalho, no que toca aos elementos finitos híbridos-
mistos.
Relativamente às características das formulações não-convencionais, interessa ainda referir
que o sistema governativo de cada elemento é obtido através da combinação das formas discretas
das condições de equilíbrio, compatibilidade e relação constitutiva e que o modelo global é obtido a
partir dos sistemas governativos elementares sem somar as contribuições elementares [Castro 1996;
Silva 2006a]. A ligação entre elementos é então conseguida através da partilha da aproximação na
fronteira interelementar.
Como já foi referido, estão associadas algumas vantagens à utilização das formulações
híbridas-mistas não-convencionais de elementos finitos. As principais vantagens são apresentadas de
seguida:
Grande flexibilidade na escolha das funções de aproximação, sendo suficiente a utilização de
um sistema completo de funções para a modelação do campo de tensões e/ou
deslocamentos [Silva et al. 2003]. É possível utilizar uma variada gama de funções de
aproximação cujas propriedades e características hierárquicas potenciam o desenvolvimento
de modelos robustos e eficazes. Isto deve-se ao facto da escolha das funções de aproximação
não ser condicionada nem pela necessidade de se verificar localmente nenhuma das
condições fundamentais do problema nem pela adopção do conceito de interpolação nodal;
A estrutura de dados resultante é simplificada e os processos de remalhagem tornam-se
desnecessários. Isto resulta do facto de ser possível trabalhar com macroelementos
(elementos de grande dimensão) e adoptar preferencialmente o refinamento tipo-p em
detrimento do refinamento tipo-h;
É possível obter soluções analíticas para as integrações envolvidas na definição dos
coeficientes de todos os operadores estruturais (para regime elástico linear), com ganhos de
precisão e eficácia numérica;
49
A definição independente das aproximações dos diferentes campos possibilita a adopção de
aproximações com diferentes graus;
Estes modelos são pouco sensíveis à distorção da malha [Castro 1996; Cismasiu 2000];
Permitem a obtenção de soluções quasi-equilibradas. A escolha apropriada dos graus das
funções de aproximação pode levar à obtenção de soluções localmente equilibradas no
domínio e/ou fronteira, estando portanto do lado da segurança no que diz respeito ao
dimensionamento de estruturas [Almeida 1991; Silva 2006a].
Contudo, tal como já foi mencionado, estes modelos não-convencionais apresentam algumas
limitações que os tornam menos bem sucedidos relativamente aos modelos clássicos e que confinam
de uma forma geral a sua aplicabilidade a análises académicas e de investigação. De seguida,
apresentam-se as principais desvantagens da utilização destes modelos:
As formulações são conceptualmente mais complicadas, nomeadamente no que diz respeito
ao tipo de discretização e de aproximação utilizadas;
A remoção do conceito de interpolação nodal conduz à perda do significado físico imediato
de todas as grandezas discretas, as quais passam a ser apenas pesos das funções de
aproximação [Freitas et al. 1999a];
Requerem a utilização de algoritmos especialmente desenvolvidos para o armazenamento e
manipulação de sistemas de equações esparsos [Freitas et al. 1999a], pelo facto de se poder
atingir um número muito elevado de graus de liberdade, nomeadamente na formulação
híbrida-mista. É possível, contudo, economizar a memória despendida e armazenar apenas
os coeficientes não nulos [Castro 1996], tirando partido dos sistemas serem esparsos;
Uma escolha menos correcta dos graus das várias aproximações pode levar ao aparecimento
de dependências no sistema de equações (designadas habitualmente por modos espúrios),
que é necessário detectar e tratar de forma conveniente [Freitas et al. 1999a];
O modelo misto não assegura nem o equilíbrio nem a compatibilidade, obrigando a uma
utilização “consciente” do modelo de elementos finitos;
A matriz do sistema governativo não é positiva definida, independentemente do
comportamento do material. É possível, contudo, resolver o sistema de equações, apenas
existindo singularidades caso surjam dependências;
O aumento de um grau na função de aproximação não significa necessariamente que a
solução seja melhor. A convergência para a solução exacta deixa de ser necessariamente
monotónica, mesmo para soluções perfeitamente estáveis de um ponto de vista numérico.
5.3 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Elástico Linear)
Tal como já foi referido, no modelo híbrido-misto de tensão aproximam-se de forma
independente os campos de tensões/esforços no domínio, os campos de deslocamentos no domínio
e os campos de deslocamentos na fronteira estática:
(5.1)
50
(5.2)
(5.3)
As matrizes , e reúnem as funções de aproximação das tensões no domínio, dos
deslocamentos no domínio e dos deslocamentos na fronteira, respectivamente. Os vectores
(tensões generalizadas), (deslocamentos no domínio generalizados) e (deslocamentos na
fronteira generalizados) listam os pesos das funções de aproximação respectivas.
As restantes variáveis generalizadas, em função das quais se descreve o comportamento do
modelo discreto, são definidas de modo a serem energeticamente consistentes com as variáveis
contínuas que aproximam. Igualando o trabalho realizado pelo modelo contínuo ao trabalho
realizado pelo modelo discreto, é possível definir as deformações generalizadas, , as forças
generalizadas no domínio, , e as forças generalizadas na fronteira, :
∫ (5.4)
∫
(5.5)
∫
(5.6)
O sistema governativo de um elemento finito híbrido-misto de tensão é obtido impondo
ponderadamente as relações de equilíbrio, de compatibilidade e constitutiva no domínio do
elemento finito e ainda a condição de equilíbrio na fronteira estática. A condição de compatibilidade
na fronteira cinemática é imposta localmente. Deste modo, chega-se ao seguinte conjunto de
equações:
∫ (5.7)
∫
(5.8)
∫
(5.9)
∫
(5.10)
As equações de equilíbrio do modelo discreto podem então ser escritas da seguinte forma:
(5.11)
(5.12)
onde os operadores (compatibilidade no domínio) e (compatibilidade na fronteira) são
definidos por:
51
∫ (5.13)
∫
(5.14)
Pode também ser definida a equação de compatibilidade do modelo discreto. Para tal, deve
ser integrada por partes a equação que resulta da imposição ponderada das condições de
compatibilidade no domínio. Substituindo-se na equação resultante as aproximações para os campos
de deslocamentos no domínio e na fronteira estática e considerando os valores dos deslocamentos
impostos na fronteira cinemática obtém-se:
∫ (5.15)
É possível ainda obter uma equação discreta no domínio do elemento que engloba,
simultaneamente, a condição de compatibilidade e a relação constitutiva:
∫ (5.16)
onde representa o operador de flexibilidade generalizado do elemento.
O sistema governativo de cada elemento é obtido através da combinação das condições
de equilíbrio, compatibilidade e relação constitutiva do modelo discreto:
{
(5.17)
O sistema governativo pode também ser escrito na forma matricial:
[
] {
} {
}
(5.18)
Os coeficientes da matriz estrutural de cada elemento são directamente espalhados no
sistema governativo global sem que haja sobreposição de diferentes coeficientes. A ligação entre
elementos é feita apenas através da partilha das aproximações definidas na fronteira
interelementar. Como tal, excluindo o operador de compatibilidade na fronteira, , há
independência total das diferentes matrizes estruturais, quer ao nível do sistema governativo do
elemento finito quer ao nível do sistema governativo global. Nos trabalhos de [Castro 1996; Mendes
2002], entre outros, existem exemplos ilustrativos da estrutura dos sistemas governativos híbridos-
mistos de tensão e do processo de construção do sistema governativo global. É ainda de salientar
52
que as matrizes do sistema governativo, elementar e global, são simétricas devido à preservação da
dualidade estática-cinemática e da reciprocidade nas relações constitutivas no modelo discreto.
Tendo como finalidade a análise não-linear de estruturas, com a incorporação de um modelo
de dano para o betão, a utilização do modelo HMT torna-se pouco aconselhável. Isto porque a
evolução do dano depende do valor das deformações e nesta formulação obtém-se a aproximação
para o campo de tensões. Como a obtenção das deformações não é unívoca neste caso (depende do
próprio valor da grandeza de dano), podem originar-se com facilidade situações de não
convergência.
Para resolver este problema, desenvolveram-se modelos HMT onde se definem
aproximações para o campo de tensões efectivas. As desvantagens destes modelos resultam do facto
do sistema governativo deixar de ser simétrico e as condições de equilíbrio no domínio passarem a
ser impostas de forma mais fraca [Silva et al. 2004; Silva et al. 2006].
Por estes motivos, passaram a definir-se modelos híbridos duplamente mistos, onde estes
problemas desaparecem, uma vez que o campo de deformações passa a ser directamente
aproximado. Por outro lado, este tipo de modelo “escreve” as relações constitutivas num formato de
rigidez, o que é bem mais adequado quando se consideram modelos de dano
contínuo [Arruda 2011].
O modelo Híbrido Duplamente Misto de Tensão (HDMT) considera uma aproximação extra
no domínio de cada elemento finito em relação ao modelo HMT já apresentado. Neste modelo, o
campo de deformações é aproximado de forma independente no domínio de cada elemento finito na
forma:
(5.19)
A matriz recolhe as funções de aproximação e o vector lista os respectivos pesos. As
restantes aproximações apresentadas no modelo HMT são também aqui consideradas. Este novo
modelo define uma aproximação independente para os campos de tensões, deformações e
deslocamentos no domínio de cada elemento. Os deslocamentos na fronteira estática são também
directamente aproximados.
Impondo a equação (5.9) na forma de Resíduos Pesados obtém-se:
∫ ∫
(5.20)
Integrando o segundo termo por partes e substituindo a aproximação definida para os
campos de deslocamentos no domínio e na fronteira estática e para o campo de deformações no
domínio e tendo em conta o valor dos deslocamentos prescritos ao longo da fronteira cinemática é
possível obter:
∫ ∫
∫ ∫
(5.21)
53
A condição de compatibilidade pode então ser expressa da seguinte forma:
(5.22)
onde
∫
(5.23)
Relativamente à relação constitutiva, esta é agora substancialmente diferente, sendo
definida no formato de rigidez. Esta é uma das principais vantagens associadas à utilização deste
novo modelo híbrido-misto de tensão. O facto da relação constitutiva estar escrita no formato de
rigidez é bastante conveniente no caso de se incorporarem modelos de dano para simular o
comportamento fisicamente não-linear de um material.
A relação constitutiva (assumindo um comportamento linear) é imposta na forma de
Resíduos Pesados da seguinte forma:
∫ (5.24)
o que leva a:
∫ ∫
(5.25)
Substituindo na equação anterior as aproximações definidas para os campos de tensões e
deformações, é possível obter:
∫ ∫
(5.26)
o que permite obter:
(5.27)
onde
∫ (5.28)
O sistema governativo é obtido combinando as condições de equilíbrio, compatibilidade e
elasticidade. Obtém-se:
[
]
{
} {
} (5.29)
54
5.4 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão (Regime Não-Linear)
Para o modelo híbrido duplamente misto de tensão, o comportamento fisicamente não-
linear do material afecta o operador correspondente à matriz de rigidez generalizada, . O novo
operador, definido como , depende do nível de dano no domínio.
Para o cálculo deste operador é usada a quadratura de Lobatto em todos os elementos,
desde que o nível de dano seja superior a zero. Contrariamente ao que aconteceria no modelo
híbrido-misto de tensão, este operador diminui a partir do momento em que se verifica a existência
de dano. Tendo em conta que o modelo híbrido duplamente misto de tensão usa um sistema
governativo baseado na rigidez, é possível usar um método directo totalmente implícito ao nível do
material. Isto representa uma grande vantagem quando comparado com o modelo híbrido-misto de
tensão, no qual não é necessária qualquer iteração para calcular o nível de dano no material. O
processo de integração numérica necessário para calcular o operador de rigidez é dado por:
∫ (5.30)
Quando se assume um comportamento fisicamente não-linear, a relação constitutiva pode
ser escrita no seguinte formato:
{ } { } (5.31)
O vector de tensão generalizado, , pode ser expresso da seguinte forma:
∫ (5.32)
O sistema governativo não-linear está apresentado em (5.33). Para se obter uma solução é
usado um algoritmo iterativo incremental baseado no método secante [Crisfield 1991].
{
}
[
]
{
} {
} {
} (5.33)
O novo incremento para o vector independente é calculado usando a rigidez secante em
cada iteração, o qual é calculado usando o operador não-linear , tal como é definido em (5.34).
Podem surgir alguns problemas quando o dano atinge o seu valor limite (igual a um) em
todos os domínios de um determinado elemento. Neste caso, a matriz de rigidez não-linear tem
tendência a ser singular, o que não é adequado do ponto de vista computacional.
Esta situação não é muito comum quando são considerados modelos híbridos duplamente
mistos de tensão, pelo facto de se considerarem malhas de macroelementos. No entanto, para
prevenir esta situação e garantir a estabilidade numérica dos modelos apresentados neste trabalho,
o valor máximo de dano permitido na construção da matriz de rigidez secante é ligeiramente inferior
a um.
55
[
]
{
} {
} (5.34)
5.5 Funções de Aproximação
É importante recordar que a utilização de modelos de elementos finitos híbridos-mistos
permite uma grande liberdade na escolha das funções de aproximação. Como não é preciso
verificar a priori nenhuma das condições fundamentais do problema, as aproximações dos
campos estáticos e cinemáticos podem ser efectuadas com recurso a qualquer sistema completo
de funções. Como tal, é possível implementar e testar uma variada gama de funções por forma a
explorar as suas propriedades na obtenção de modelos numéricos competitivos.
Neste trabalho vão ser utilizados modelos baseados em polinómios ortogonais de
Legendre (ANEXO A), cujo desenvolvimento pode ser encontrado em [Leal 2007; Pereira 1993a;
Silva 2006a; Silva 2002]. Os modelos HMT podem ainda ser baseados na utilização de funções
trigonométricas [Freitas 1989; Leal 2007; Pereira 1993a], séries de Walsh [Castro 1996; Freitas et
al. 1992; Leal 2007] e sistemas de wavelets [Castro 1996; Castro et al. 2006; Leal 2007].
O uso de polinómios de Legendre permite obter expressões analíticas para o cálculo dos
operadores lineares do sistema governativo [Pereira et al. 2000]. Desta forma, é possível
economizar os tempos de processamento e assegurar uma elevada precisão nos cálculos
efectuados. Por outro lado, o facto dos polinómios de Legendre serem ortogonais conduz a
sistemas governativos com elevado grau de esparsidade, o que minimiza o número de
coeficientes não nulos por determinar, armazenar e tratar. Isto permite poupar na memória
necessária para os armazenar e no volume de cálculo associado à sua manipulação, o que
relativiza o problema do elevado número de graus de liberdade. Contudo, quando os operadores
estruturais são não-lineares, não é possível tirar partido da ortogonalidade das funções de
aproximação e os operadores ficam potencialmente cheios. Com isto perde-se, pelo menos
parcialmente, a característica de esparsidade tão vantajosa em termos de memória despendida
para armazenar e resolver o sistema governativo.
56
57
6 ANÁLISE DE PEÇAS BIDIMENSIONAIS DE BETÃO COM
ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO
(ELEMENTOS PLANOS)
6.1 Considerações Iniciais
Neste capítulo são apresentados e discutidos exemplos que pretendem demonstrar a
utilização das duas formulações não convencionais discutidas no capítulo anterior: os modelos
híbridos-mistos de tensão e os modelos duplamente mistos-híbridos de tensão. Os exemplos são
semelhantes aos que foram apresentados no capítulo 4. No entanto, neste capítulo inclui-se uma
análise fisicamente não-linear com recurso a modelos de dano contínuo para os casos em que se
pretende incluir o efeito com reforços de aço.
Nesta fase do trabalho, os reforços são modelados como elementos planos. Isto permite que
os modelos desenvolvidos em trabalhos anteriores possam ser utilizados nesta análise sem que para
tal seja necessário proceder a qualquer alteração a nível de implementação. No capítulo seguinte
generalizam-se as formulações híbridas-mistas por forma a ser possível a inclusão de elementos de
reforço unidimensionais. Nessa altura os mesmos exemplos serão analisados considerando a
modelação dos reforços da forma habitual.
A análise foi feita recorrendo a dois tipos de software, um de programação (MATLAB) e um
de visualização (ParaView). O primeiro lê a informação relativa à estrutura e devolve um ficheiro do
tipo vtk, que é lido pelo segundo. No Paraview é então possível visualizar a estrutura e todos as
tensões, deformações e deslocamentos necessários para a correcta caracterização do
comportamento da estrutura.
É importante referir desde já que neste trabalho, quando se utiliza a expressão grau da
função de aproximação, esta é referente ao grau das funções de aproximação utilizadas na definição
da aproximação para os campos de tensões e de deformações (no caso dos modelos híbridos
duplamente mistos de tensão) (grau n), partindo-se do princípio que as aproximações para os
campos de deslocamentos apresentam grau n-1.
Ao contrário do que acontecia no capítulo 4, neste capítulo não são efectuadas quaisquer
operações de adoçamento no que toca ao traçado dos campos de tensões.
6.2 Viga Simplesmente Apoiada de Betão Simples
Neste primeiro caso, tal como já foi referido, considera-se que a viga é constituída apenas
por betão, sem qualquer reforço, tal como se encontra apresentado na Figura 4.2.
Tirando partido das características do modelo de elementos finitos utilizado, torna-se
fundamental explorar o refinamento tipo-p, que permite melhorar a aproximação com o aumento do
grau da função de aproximação sem que seja necessário incrementar o número de elementos
considerados na malha. Contudo, é possível conjugar os dois tipos de refinamento, tipo-h e tipo-p,
sem pôr em causa os resultados obtidos.
58
Começa-se então por considerar que a viga é discretizada apenas com um elemento, sendo o
refinamento conseguido através do aumento do grau das funções incluídas na base de aproximação
(Tabela 6.1).
Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (1 elemento)
Grau de aproximação Graus de liberdade
2 47
3 84
5 188
9 516
Tabela 6.1 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de
betão simples, 1 elemento).
Nas Figuras 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8 apresentam-se os deslocamentos segundo Y e
as tensões (considera-se que (x, y) corresponde ao plano da estrutura, ao contrário do que
acontecia nos exemplos do Capítulo 4), bem como as respectivas deformadas, para as várias
discretizações testadas.
Figura 6.1 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 2).
Figura 6.2 – Tensões (1 elemento, grau 2).
59
Figura 6.3 - Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 3).
Figura 6.4 – Tensões (1 elemento, grau 3).
Figura 6.5 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 5).
Figura 6.6 – Tensões (1 elemento, grau 5).
60
Figura 6.7 – Deslocamentos segundo Y (1 elemento, grau 9).
Figura 6.8 – Tensões (1 elemento, grau 9).
Na Tabela 6.2 apresentam-se os valores numéricos obtidos para os deslocamentos segundo Y
a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada uma das discretizações
consideradas na análise.
Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (1 elemento)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
2 -2,3490E-08 -7,295
3 -2,0990E-08 -7,307
5 -2,0595E-08 -7,267
9 -2,0596E-08 -7,267
Tabela 6.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 1 elemento).
Tal como é possível observar na Tabela 6.2, à medida que se aumenta o grau da função de
aproximação, a solução converge, sendo que para os graus 5 e 9, as soluções apresentam resultados
muito idênticos. Isto significa que se está próximo da solução exacta e que, para um elemento, a
solução correspondente ao grau 5 representa uma boa aproximação à resposta real da viga
simplesmente apoiada com o carregamento considerado. Para além dos valores apresentados dos
deslocamentos e das tensões, também pela deformada é possível observar o refinamento,
nomeadamente quando comparando a 6.1 com a 6.3, sendo evidente que a deformada se aproxima
da esperada para este tipo de estrutura e carregamento.
Procede-se agora, tal como foi referido anteriormente, à conjugação dos refinamentos tipo-p
e tipo-h, considerando para tal que a viga está dividida em 6 elementos de igual dimensão (Tabela
6.3).
61
Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (6 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
2 282
3 504
5 1128
Tabela 6.3 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão simples,
6 elementos).
Nas Figuras 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13 e 6.14 apresentam-se os deslocamentos segundo Y e as
tensões , bem como as respectivas deformadas, para as várias discretizações testadas.
Figura 6.9 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 2).
Figura 6.10 – Tensões (6 elementos, grau 2).
Figura 6.11 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 3).
62
Figura 6.12 – Tensões (6 elementos, grau 3).
Figura 6.13 – Deslocamentos segundo Y (6 elementos, grau 5).
Figura 6.14 – Tensões (6 elementos, grau 5).
Na Tabela 6.4 apresentam-se os resultados obtidos para os deslocamentos segundo Y a meio
vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada grau de aproximação.
Viga Simplesmente Apoiada de betão simples (6 elementos)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
2 -2,0709E-08 -7,2951
3 -2,0596E-08 -7,3894
5 -2,0596E-08 -7,1308
Tabela 6.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão simples, 6 elementos).
Visto as soluções já apresentarem refinamento tipo-h, com uma malha de 6 elementos, é
notório pelos resultados apresentados na Tabela 6.4 que os deslocamentos convergem rapidamente,
63
não sendo necessário aumentar tanto o grau das funções de aproximação. No que toca às tensões de
corte, a convergência não é monotónica, motivo pelo qual a mesma conclusão não pode ser tirada.
No entanto, para 6 elementos, um grau da função de aproximação igual a 3 é suficiente para se obter
uma boa representação da resposta da viga em análise. No que toca à deformada, pelo mesmo
motivo da solução já apresentar à partida uma malha refinada com 6 elementos, esta apresenta
desde logo o andamento que seria expectável tendo em conta a estrutura e o carregamento.
6.3 Consola Curta de Betão Simples
Neste segundo caso considera-se que a consola é constituída apenas por betão, sem
qualquer reforço, tal como se encontra representado na Figura 4.51.
Tal como para o caso da viga simplesmente apoiada, explora-se a conjugação dos
refinamentos tipo-h e tipo-p, aumentando para tal, respectivamente, o número de elementos e o
grau da função de aproximação.
Começa-se por considerar que a viga é constituída por 3 elementos, procedendo-se ao
refinamento através do aumento do grau da função de aproximação (Tabela 6.5).
Consola curta de betão simples (3 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
2 137
3 246
5 554
9 1530
12 2577
14 3425
Tabela 6.5 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 3 elementos).
Nas Figuras 6.15 a 6.26 apresentam-se os deslocamentos segundo Y e as tensões , bem
como as respectivas deformadas, para as várias discretizações testadas.
64
Figura 6.15 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 2).
Figura 6.16 – Tensões (3 elementos, grau 2).
Figura 6.17 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 3).
Figura 6.18 – Tensões (3 elementos, grau 3).
Figura 6.19 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 5).
Figura 6.20 – Tensões (3 elementos, grau 5).
65
Figura 6.21 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 9).
Figura 6.22 – Tensões (3 elementos, grau 9).
Figura 6.23 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 12).
Figura 6.24 – Tensões (3 elementos,
grau 12).
Figura 6.25 – Deslocamentos segundo Y (3 elementos, grau 14).
Figura 6.26 – Tensões (3 elementos,
grau 14).
Na Tabela 6.6 apresentam-se os resultados obtidos para os deslocamentos segundo Y a meio
vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada discretização testada.
66
Consola Curta de betão simples (3 elementos)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
2 -9,31E-10 -2,255
3 -9,36E-10 -2,789
5 -9,36E-10 -3,476
9 -9,36E-10 -4,449
12 -9,21E-10 -5,032
14 -9,21E-10 -5,374
Tabela 6.6 – Resumo dos resultados (consola curta, 3 elementos).
Por se tratar de um exemplo com singularidades no campo de tensões, os valores nesses
pontos vão sendo sempre maiores à medida que se aumenta o grau do refinamento, nunca
estabilizando num dado valor. Como tal, a convergência da solução não pode ser feita com base nos
valores das tensões apresentados. Contudo, é possível observar que à medida que se aumenta o
grau da função de aproximação, a distribuição das tensões torna-se mais suave, sendo que para
os graus 12 e 14 da função de aproximação esta distribuição é bastante semelhante. No caso dos
deslocamentos o mesmo não acontece, motivo pelo qual os valores estabilizam à medida que se
aproxima da solução exacta. Evidência disso é o facto dos valores dos deslocamentos para os graus
12 e 14 da função de aproximação, apresentados na Tabela 6.6, serem iguais. Então, para uma malha
de 3 elementos, a solução correspondente ao grau de aproximação igual a 12 representa uma boa
aproximação à resposta real da consola curta com o carregamento considerado. Relativamente à
deformada, esta vai de encontro ao esperado para este tipo de estrutura e carregamento.
Procede-se agora ao aumento do número de elementos para 12, tendo consciência de que, à
partida, uma malha com mais elementos conduzirá a uma menor necessidade de aumentar o grau da
função de aproximação, pelo facto de se estar a conjugar os refinamentos tipo-h e tipo-p (Tabela
6.7).
Consola curta de betão simples (12 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
2 532
3 960
5 2176
7 3872
Tabela 6.7 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão simples, 12 elementos).
67
Nas Figuras 6.27, 6.28, 6.29, 6.30, 6.31, 6.32, 6.33 e 6.34 apresentam-se os deslocamentos
segundo Y e as tensões , bem como as respectivas deformadas, para as várias discretizações
testadas.
Figura 6.27 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 2).
Figura 6.28 – Tensões (12 elementos,
grau 2).
Figura 6.29 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 3).
Figura 6.30 – Tensões (12 elementos, grau 3).
Figura 6.31 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 5).
Figura 6.32 – Tensões (12 elementos,
grau 5).
68
Figura 6.33 – Deslocamentos segundo Y (12 elementos, grau 7).
Figura 6.34 – Tensões (12 elementos, grau 7).
Na Tabela 6.8 apresentam-se os resultados obtidos para os deslocamentos segundo Y a meio
vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada grau de aproximação.
Consola Curta (12 elementos)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
2 -9,30E-10 -2,678
3 -9,24E-10 -2,265
5 -9,20E-10 -4,080
7 -9,20E-10 -4,708
Tabela 6.8 – Resumo dos resultados (consola curta, 12 elementos).
Visto as soluções já apresentarem refinamento tipo-h, com uma malha de 12 elementos, é
expectável que para atingir uma solução que se aproxime da exacta não seja necessário aumentar
tanto o grau da função de aproximação como para o caso da malha com 3 elementos. Tal como para
a malha com 3 elementos, a convergência não pode ser analisada pelos valores máximos das
tensões. No entanto, é visível que as distribuições de tensões para os grau 5 e 7 da função de
aproximação são bastante suaves, evidência de que nos aproximamos da solução exacta. Para além
disso, os deslocamentos para os graus 5 e 7 da função de aproximação, apresentados na Tabela 6.8,
apresentam valores iguais. Como tal, para 12 elementos, um grau da função de aproximação igual a 5
é suficiente para se obter uma boa representação da resposta da consola curta. No que toca à
deformada, esta apresenta o andamento que seria expectável tendo em conta a estrutura e o
carregamento.
69
6.4 Comparação com os resultados obtidos no Capítulo 4 (betão simples)
Quando comparados os resultados obtidos neste capítulo com os do Capítulo 4, observa-se
que, tanto nos deslocamentos como nas tensões representadas, os valores são semelhantes, o que
vem de encontro ao esperado. Para as soluções mais refinadas dos modelos clássico de
deslocamentos e não-convencional híbrido-misto de tensão, apresentam-se nas Tabelas 6.9 e 6.10 os
valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y, dependendo do plano em que está a estrutura)
e das tensões ( ou , dependendo também do plano em que está a estrutura), para a viga
simplesmente apoiada e para a consola curta.
Viga Simplesmente Apoiada
Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
E. Finitos de Deslocamento
-2,060E-08 -7,318
E. F. Híbridos-Mistos de Tensão
-2,099E-08 -7,389
Tabela 6.9 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão simples).
Consola Curta Deslocamentos (metros)
Tensões de corte (N/m2)
E. Finitos de Deslocamento
-9,178E-10 -4,485
E. F. Híbridos-Mistos de Tensão
-9,200E-10 -5,032
Tabela 6.10 – Comparação de valores (consola curta de betão simples).
Pode concluir-se que, apesar das aproximações serem diferentes nos dois modelos,
refinando suficientemente as soluções, chegamos a valores semelhantes e que se aproximam da
solução exacta. Relativamente às tensões de corte na consola curta, a comparação é feita apenas em
termos de grandeza de valores, visto os mesmos dependerem muito do grau de refinamento
considerado em cada modelo.
6.5 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos planos)
Neste caso considera-se que a viga é constituída por betão armado, tal como representado
na Figura 4.24. Os varões de aço são tratados como elementos planos de dimensão (largura)
reduzida, por forma a aproximar o comportamento destes ao de barras. Os elementos terão as
características do aço, estando estas já apresentadas no Capítulo 4. Começa-se por fazer uma análise
70
fisicamente linear, (subsecção 6.5.1), sendo posteriormente realizada uma análise fisicamente
não-linear considerando para o betão um modelo de dano isotrópico (subsecção 6.5.2).
6.5.1 Análise fisicamente linear
Nesta subsecção a análise é feita através dos elementos finitos híbridos-mistos de tensão,
pelo facto de não se incluir a variável de dano e pelos motivos já apresentados no Capítulo 5.
Tendo em conta que os efeitos dos refinamentos tipo-h e tipo-p para este tipo de análise já
foram estudados neste capítulo, aqui apenas se apresenta o exemplo da viga já refinada, o que
permitirá comparar os resultados com os obtidos no Capítulo 4. A viga está então dividida em
30 elementos, o grau da função de aproximação é igual a 6 e o número de graus de liberdade
resultante é igual a 7362.
Nas Figuras 6.35, 6.36 e 6.37 apresentam-se os deslocamentos segundo Y, as tensões e
as tensões , bem como as respectivas deformadas.
Figura 6.35 – Deslocamentos segundo Y (30 elementos, grau 6).
Figura 6.36 – Tensões (30 elementos, grau 6).
Figura 6.37 – Tensões (30 elementos, grau 6).
71
Devido ao elevado valor das tensões normais nas armaduras, a distribuição das tensões no
betão é pouco visível na Figura 6.37. Por forma a contornar esta situação, na Figura 6.38
apresenta-se uma escala de cores diferente.
Figura 6.38 – Tensões (30 elementos, grau 6, escala de cores modificada).
Comparando os resultados obtidos para a viga simplesmente apoiada com recurso aos
modelos híbridos-mistos de tensão com os que foram obtidos para o mesmo exemplo no Capítulo 4
com o modelo convencional de elementos finitos, facilmente se conclui que estes são muito
semelhantes, quer se trate de deslocamentos ou de tensões. Para os mesmos pressupostos (apenas
utilizando elementos planos com as características do betão e do aço), os resultados obtidos com o
modelo de elementos finitos de deslocamento e com o modelo de elementos finitos híbridos-mistos
de tensão são muito semelhantes, o que vai de encontro ao esperado e já observado no na
subsecção 6.4 (então sem os elementos planos de aço). Para as soluções mais refinadas dos modelos
clássico de deslocamentos e não-convencional híbrido-misto de tensão, apresentam-se, na Tabela
6.11, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y, dependendo do plano em que está a
estrutura) e das tensões ( ou , dependendo também do plano em que está a estrutura), para a
viga simplesmente apoiada.
Viga Simplesmente Apoiada
Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
E. Finitos de Deslocamento
-1,135E-08 -7,136
E. F. Híbridos-Mistos de Tensão
-1,135E-08 -7,125
Tabela 6.11 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado).
6.5.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico
Nesta subsecção a análise é feita com recurso aos modelos híbridos duplamente mistos de
tensão, uma vez que se pretende efectuar uma análise fisicamente não-linear com recurso a um
modelo de dano isotrópico.
Por forma a que sejam visíveis os resultados, a carga aplicada à viga simplesmente apoiada
foi aumentada consideravelmente, de 1N/m para 1000kN/m.
72
Faz novamente sentido avaliar o efeito dos refinamentos tipo-h e tipo-p, na qualidade da
solução obtida quando se consideram os efeitos fisicamente não-lineares. Na generalidade das
ilustrações apresentadas nesta subsecção, a distribuição de dano representada corresponde à que é
obtida no último passo de carga considerado.
Começa-se por estudar o efeito do refinamento tipo-h. Na Tabela 6.12 lista-se o número de
elementos considerados em cada uma das discretizações testadas. Em todos os casos se considera
um grau da função de aproximação igual a dois.
Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (grau de aproximação 2)
Graus de liberdade
5 elementos 354
15 elementos 1062
30 elementos 2124
Tabela 6.12 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão
armado, grau 2).
Nas Figuras 6.39, 6.40 e 6.41 está representada, para cada uma das discretizações testadas a
distribuição final de dano.
Figura 6.39 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 2).
Figura 6.40 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (15 elementos, grau 2).
73
Figura 6.41 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (30 elementos, grau 2).
Procede-se agora ao refinamento tipo-p. Em todas as discretizações listadas na Tabela 6.13
consideram-se malhas com 5 elementos finitos.
Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (5 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
3 636
4 998
5 1440
6 1962
Tabela 6.13 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado,
5 elementos).
Nas Figuras 6.42, 6.43, 6.44 e 6.45 estão representadas as distribuições finais para a variável
de dano.
Figura 6.42 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 3).
74
Figura 6.43 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 4).
Figura 6.44 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 5).
Figura 6.45 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (5 elementos, grau 6).
Através dos refinamentos tipo-h e tipo-p é possível observar que o dano se concentra mais
junto à face inferior da viga na região do meio vão, o que está de acordo com o que seria expectável
para este tipo de carregamento e de estrutura. Contudo, é também visível que na zona do apoio
existe uma grande dispersão do dano, o que pode indiciar que se está na iminência de uma rotura
por corte. Este fenómeno é fácil de entender, tendo em conta que o reforço não contempla estribos,
que previnem que este tipo de rotura possa vir a acontecer. A explicação para este tipo de rotura
quando se utiliza o modelo de dano isotrópico de Mazars pode ser analisada com maior detalhe em
[Mendes 2011].
Para o caso do refinamento tipo-p, apresenta-se na Figura 6.46 o diagrama parâmetro de
carga/deslocamento que demonstra a não-linearidade das soluções obtidas para cada um dos graus
da função de aproximação.
75
Figura 6.46 – Diagrama carga/deslocamento (viga simplesmente apoiada).
Para a discretização com 5 elementos e grau de aproximação igual a 6, interessa ainda
analisar a evolução do dano à medida que o processo de carregamento evolui. Para tal, nas
Figuras 6.47, 6.48, 6.49 e 6.50 são apresentados os passos de carga 20, 40, 60 e 80, respectivamente,
o que corresponde a um incremento de carga de 200 kN/m.
Figura 6.47 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 20).
Figura 6.48 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 40).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Par
âme
tro
de
car
ga
Deslocamento segundo Y
grau 2
grau 3
grau 4
grau 5
grau 6
76
Figura 6.49 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 60).
Figura 6.50 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 80).
É visível pela evolução da distribuição de dano que este surge a meio vão (Figura 6.47), onde
os valores das tensões de tracção são maiores, estendendo-se depois ao longo da face inferior da
viga, até que esta esteja na iminência de sofrer rotura por corte (Figura 6.50).
Para os mesmos passos de carga (20, 40, 60 e 80), nas Figuras 6.51, 6.52, 6.53 e 6.54
apresentam-se as distribuições das tensões .
Figura 6.51 – Tensão (passo de carga 20).
Figura 6.52 – Tensão (passo de carga 40).
Figura 6.53 – Tensão (passo de carga 60).
77
Figura 6.54 – Tensão (passo de carga 80).
É notório que a tensão de corte máxima aumenta com o incremento de carga e que para o
passo de carga 80 a distribuição das tensões reflecte a rotura por corte já referida.
6.6 Consola Curta (betão armado, elementos planos)
Neste caso considera-se que a consola é constituída por betão armado, tal como
representado na Figura 4.75. Os varões de aço são tratados como elementos planos de dimensão
(largura) reduzida, por forma a aproximar o comportamento destes ao de barras. Os elementos terão
as características do aço, estando estas já apresentadas no Capítulo 4. Começa-se por fazer uma
análise fisicamente linear, (subsecção 6.6.1), sendo posteriormente realizada uma análise
fisicamente não-linear considerando para o betão um modelo de dano isotrópico (subsecção 6.6.2).
6.6.1 Análise fisicamente linear
Nesta subsecção a análise é efectuada com recurso ao modelo de elementos finitos híbridos-
mistos de tensão. Tendo em conta que os efeitos dos refinamentos tipo-h e tipo-p para este tipo de
análise já foram estudados neste capítulo, aqui apenas se apresenta o exemplo da consola já
refinada, o que permitirá comparar os resultados com os obtidos no Capítulo 4. Na análise da consola
considera-se uma malha com 20 elementos finitos. Na discretização adoptada o grau da função de
aproximação é igual a 7 e o número total de graus de liberdade resultante é igual a 6416.
Nas Figuras 6.55, 6.56 e 6.57 apresentam-se os deslocamentos segundo Y, as tensões e
as tensões , bem como as respectivas deformadas. Apresenta-se ainda na Figura 6.58 um
pormenor das tensões para que seja visível a distribuição das mesmas no reforço.
Figura 6.55 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 7).
Figura 6.56 – Tensões (20 elementos,
grau 7).
78
Figura 6.57 – Tensões (20 elementos, grau 7).
Figura 6.58 – Tensões (pormenor da zona da armadura, 20 elementos, grau 7).
Devido ao elevado valor das tensões normais nas armaduras, a distribuição das tensões no
betão é pouco visível nas Figuras 6.57 e 6.58. Por forma a contornar esta situação, na Figura 6.59
apresenta-se uma escala de cores diferente.
Figura 6.59 – Tensões (20 elementos, grau 7, escala de cores modificada).
Comparando os resultados obtidos para a consola curta com recurso aos modelos híbridos-
mistos de tensão com os que foram obtidos para os mesmos exemplos no Capítulo 4 com o modelo
convencional de elementos finitos, facilmente se conclui que estes são muito semelhantes. Para as
soluções mais refinadas dos modelos clássico de deslocamentos e não-convencional híbrido-misto de
tensão, apresentam-se, na Tabela 6.14, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y,
79
dependendo do plano em que está a estrutura) e das tensões ( ou , dependendo também do
plano em que está a estrutura), para a consola curta. Mais uma vez, apenas os valores dos
deslocamentos estão necessariamente próximos, uma vez que as tensões máximas se verificam
numa singularidade da estrutura.
Consola Curta Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
E. Finitos de Deslocamento
-8,357E-10 -3,961
E. F. Híbridos-Mistos de Tensão
-8,380E-10 -4,655
Tabela 6.14 – Comparação de valores (consola curta de betão armado).
6.6.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico
Nesta subsecção a análise é feita com recurso aos modelos híbridos duplamente mistos de
tensão, uma vez que se pretende efectuar uma análise fisicamente não-linear com recurso a um
modelo de dano isotrópico.
Por forma a que sejam visíveis os resultados, a carga aplicada à consola curta foi aumentada
consideravelmente, de 1 N/m para 1000 kN/m.
Também aqui faz sentido avaliar o efeito dos refinamentos tipo-h e tipo-p na qualidade da
solução obtida quando se consideram os efeitos fisicamente não-lineares. Na generalidade das
ilustrações apresentadas nesta subsecção, a distribuição de dano representada corresponde à que é
obtida no último passo de carga considerado.
Começa-se por estudar o efeito do refinamento tipo-h. Na Tabela 6.15 lista-se o número de
elementos considerados em cada uma das discretizações testadas. Em todos os casos se considera
um grau de aproximação igual a dois.
Consola Curta de betão armado (grau de aproximação 2)
Graus de liberdade
7 elementos 498
20 elementos 1416
Tabela 6.15 – Número de elementos e graus de liberdade (consola curta de betão armado, grau 2).
80
Nas Figuras 6.60 e 6.61, e para as duas discretizações consideradas, está representada a
distribuição final de dano.
Figura 6.60 – Distribuição de dano na consola curta (7 elementos, grau 2).
Figura 6.61 – Distribuição de dano na consola curta (20 elementos, grau 2).
Na Figura 6.61 é visível uma descontinuidade na deformada, que surge na fronteira entre
dois elementos. Esta descontinuidade pode existir porque nos modelos de elementos finitos
considerado não se impõe localmente as condições de compatibilidade. A existência desta
descontinuidade não compromete, no entanto, a qualidade global da solução aproximada obtida.
Procede-se agora à análise do efeito da adopção de um refinamento tipo-p. Na
Tabela 6.16 apresentam-se as discretizações consideradas, todas elas considerando malhas
com 5 elementos. Para cada discretização é listado o grau do polinómio considerado na aproximação
do campo de tensões e o número total de graus de liberdade.
Consola curta de betão simples (5 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
3 894
4 1402
5 2022
6 2754
Tabela 6.16 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 5 elementos).
81
Nas Figuras 6.62, 6.63, 6.64 e 6.65 está representada a distribuição final de dano obtida para
cada uma das discretizações testadas.
Figura 6.62 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 3).
Figura 6.63 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 4).
Figura 6.64 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 5).
Figura 6.65 – Distribuição de dano na consola curta (5 elementos, grau 6).
À medida que se procede ao refinamento, seja do tipo-h ou do tipo-p, é visível que o dano
tende a concentrar-se no canto superior esquerdo da consola. Além disso, é visível na Figura 6.65
uma depressão na zona do dano, que se deve ao facto de se estar a utilizar um modelo de dano
isotrópico.
Para o cado do refinamento tipo-p, apresenta-se na Figura 6.66 o diagrama parâmetro de
carga/deslocamento que demonstra, tal como na viga simplesmente apoiada, a não-linearidade das
soluções obtidas para cada um dos graus da função de aproximação.
82
Figura 6.66 – Diagrama carga/deslocamento (consola curta).
Interessa ainda analisar a evolução do dano ao longo do processo de carga. Com esta
finalidade, e utilizando os resultados obtidos com a malha de 5 elementos e grau de aproximação
igual a 6, representam-se nas Figuras 6.67, 6.68, 6.69 e 6.70 a distribuição de dano obtidas nos
passos de carga 12, 15, 19 e 22, respectivamente, o que corresponde a um incremento de carga de
30 kN/m (passo 12 para 15 e passo 19 para 22) e 40 kN/m (passo 15 para 19).
Figura 6.67 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 12).
Figura 6.68 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 15).
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Par
âme
tro
de
car
ga
Deslocamento segundo Y
grau 2
grau 3
grau 4
grau 5
grau 6
83
Figura 6.69 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 19).
Figura 6.70 – Evolução da distribuição de dano na consola curta (passo de carga 22).
Para os mesmos passos de carga (12, 15, 19 e 22), nas Figuras 6.71,6.72,6.73 e 6.74
apresentam-se as distribuições das tensões .
Figura 6.71 – Tensão (passo de carga 12).
Figura 6.72 – Tensão (passo de carga 15).
Figura 6.73 – Tensão (passo de carga 19).
Figura 6.74 – Tensão (passo de carga 22).
Na representação das tensões foi utilizada a mesma escala para todos os passos de carga,
para que se veja claramente a sua distribuição. Na Figura 6.74 é visível que a distribuição das tensões
se altera bastante relativamente aos passos de carga anteriores, deixando de ter a configuração
normal. Isto era expectável e deve-se ao facto de se estar a iniciar um processo de rotura.
84
85
7 ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO COM
ELEMENTOS DE BARRA
7.1 Considerações Iniciais
Neste capítulo é apresentada a generalização dos modelos de elementos finitos híbrido-
mistos por forma a ser possível a inclusão de varões de reforço na modelação de estruturas
bidimensionais de betão armado. São apresentadas duas variantes da formulação, uma para
elementos híbridos-mistos de tensão e outra para elementos híbridos duplamente mistos de tensão.
As equações fundamentais para o betão e para o aço, a definição das aproximações, o
modelo de elementos finitos e o sistema governativo para estes novos tipos de formulação (com
elementos de barra) serão apresentados de forma detalhada.
7.2 Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão
7.2.1 Equações Fundamentais
Para o betão, as equações fundamentais são em tudo semelhantes às que foram
apresentadas no Capítulo 2. Apenas para a parte referente aos varões de aço são necessários ajustes,
uma vez que se pretende considerar aderência perfeita na modelação da interface betão-aço.
As condições de compatibilidade para o betão são as seguintes:
[ ] [ ][ ] (7.1)
[ ] [ ] (7.2)
As condições de equilíbrio para o betão podem ser escritas no formato:
[ ][ ] [ ] (7.3)
Por fim, a condição de elasticidade é a seguinte:
[ ] [ ][ ] (7.5)
[ ][ ] [ ] (7.4)
86
Na Figura 7.1 apresenta-se um elemento de barra genérico, com o referencial utilizado
indicado. Considera-se que o domínio de cada varão é designado por Vs, a fronteira estática (que
incluirá a fronteira entre elementos adjacentes é representada por s, enquanto que a fronteira
cinemática será denotada por u.
Figura 7.1 – Elemento de barra genérico.
As condições de compatibilidade para os varões de aço são as seguintes:
[ ] [ ][ ] (7.6)
com:
[ ] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] (7.8)
onde e correspondem ao campo de deslocamentos longitudinais e ao campo de deformações
no varão, respectivamente.
As condições de equilíbrio para os varões de aço embebidos são:
[ ][ ] [ ] (7.9)
onde N corresponde ao esforço axial no varão, corresponde às forças distribuídas aplicadas no
domínio do elemento de aço, denota a normal exterior nas fronteira do domínio unidimensional e
é a força concentrada aplicada na fronteira estática do varão.
Por fim, a condição de elasticidade é a seguinte:
[ ] [ ][ ] (7.11)
onde
.
[ ] [ ] (7.7)
[ ][ ] [ ] (7.10)
87
7.2.2 Definição das Aproximações
Tal como para o modelo de elementos finitos híbridos-mistos de tensão apresentado no
Capítulo 5, também se aproximam de forma independente os campos de tensões/esforços no
domínio, os campos de deslocamentos no domínio e os campos de deslocamentos na fronteira
estática, quer para o betão quer para o aço.
Nos elementos de betão define-se:
[ ] [ ][ ] (7.12)
[ ] [ ][
] (7.13)
[ ] [ ][
] (7.14)
Para os varões de aço, definem-se as seguintes aproximações:
[ ] [ ][ ] (7.15)
[ ] [ ][
] (7.16)
[ ] [ ][
] (7.17)
Quando se considera aderência perfeita entre os elementos de aço e o betão adjacente, a
aproximação para o campo de deslocamentos no domínio do varão é coincidente com a aproximação
para o campo de deslocamentos na fronteira estática dos elementos de betão que contêm essa
fronteira. A equação (7.16) permite a partilha da aproximação dos deslocamentos na fronteira
estática dos elementos de betão com os varões de aço.
7.2.3 Modelo de Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão
Para os elementos de betão, as condições de compatibilidade e de elasticidade no modelo
discreto são coincidentes com as que foram discutidas e apresentadas no capítulo 5. Pode então
escrever-se:
(7.18)
com:
∫ , ∫ , ∫ e ∫
A imposição ponderada das condições de compatibilidade e das relações de elasticidade no
domínio dos varões de aço permite escrever:
88
∫ [ ] [
][ ] (7.19)
∫
[ ] [ ][ ] (7.20)
A combinação das duas equações anteriores permite escrever:
∫ ∫
[ ][ ] (7.21)
A integração por partes do segundo membro da equação anterior, seguida pela substituição
da aproximação para o campo de esforços no aço no primeiro termo da equação e pela substituição
das aproximações definidas para os campos de deslocamentos no domínio e na fronteira estática no
segundo membro, conduz a:
(∫
) (∫
)
(7.22)
(7.23)
onde:
∫ [ ][ ] ∫
∫ e ∫
O equilíbrio no domínio dos elementos de betão é imposto na forma de resíduos pesados. Tal
como demonstrado no capítulo 5, tem-se:
(7.24)
onde ∫ .
O equilíbrio na fronteira estática dos elementos de betão, e tal como apresentado no
capítulo 5, pode ser escrita no formato:
(7.25)
onde ∫ .
O equilíbrio no domínio dos elementos de aço e as condições de equilíbrio na fronteira entre
os elementos de betão adjacentes é imposto em simultâneo e na forma de resíduos pesados.
É possível obter:
∫ [ ][ ] [ ][ ] (7.26)
89
ou seja:
(∫
) ∫ [ ][ ] (7.27)
Pode desta forma escrever-se:
(7.28)
Na fronteira entre os elementos de aço, a condição de equilíbrio pode ser imposta na forma:
∫[ ]
[ ][ ] [ ] (7.29)
∫
∫
(7.30)
Resumidamente tem-se:
(7.31)
onde ∫ .
7.2.4 Sistema Governativo
O sistema governativo é obtido combinando as condições de equilíbrio, compatibilidade e
elasticidade obtidas na subsecção anterior, podendo ser escrito na forma matricial:
[
]
{
}
{
}
(7.32)
90
7.3 Elementos Finitos Híbridos Duplamente Mistos de Tensão
Nesta subsecção serão então feitas as necessárias alterações à formulação de elementos
finitos híbridos duplamente mistos de tensão por forma a incorporar os elementos de barra na
mesma.
As equações fundamentais para o betão e para o aço foram já apresentadas na Subsecção
7.2.1, não havendo alterações às mesmas. O modelo de elementos finitos também pode ser
facilmente obtido se se tiver em conta a definição do modelo híbrido-misto de tensão apresentado
na Secção 7.2 e o modelo híbrido duplamente misto de tensão apresentado na Secção 5.3. Nesta
secção serão apresentados apenas a definição das aproximações e o sistema governativo para este
novo tipo de formulação (com elementos de barra).
7.3.1 Definição das Aproximações
Tal como para o modelo de elementos finitos híbrido duplamente misto de tensão
apresentado no Capítulo 5, também neste caso se aproximam de forma independente os campos de
tensões/esforços no domínio, os campos de deformações no domínio, os campos de deslocamentos
no domínio e os campos de deslocamentos na fronteira estática.
Nos elementos de betão definem-se as seguintes aproximações:
[ ] [ ][ ] (7.33)
[ ] [ ][ ] (7.34)
[ ] [ ][
] (7.35)
[ ] [ ][
] (7.36)
As aproximações nos elementos de aço são definidas por:
[ ] [ ][ ] (7.37)
[ ] [ ][
] (7.38)
[ ] [ ][
] (7.39)
91
7.3.2 Modelo de Elementos Finitos
O sistema governativo resulta da combinação das condições de equilíbrio, das condições de
compatibilidade e das relações constitutivas, podendo ser escrito na forma matricial:
[
]
{
}
{
}
(7.40)
92
93
8 ANÁLISE DE PEÇAS BIDIMENSIONAIS DE BETÃO COM
ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS-MISTOS DE TENSÃO
(ELEMENTOS DE BARRA)
8.1 Considerações Iniciais
Neste capítulo são apresentados e discutidos exemplos que pretendem aferir a validade das
formulações não convencionais apresentadas no capítulo anterior. Estas novas formulações,
generalizações das híbrida-mista de tensão e híbrida duplamente mista de tensão, incluem a
possibilidade de se modelar directamente o reforço com varões de aço (elementos de barra). Os
exemplos, aqui analisados considerando a modelação dos reforços da forma habitual, ao contrário
do que acontecia no capítulo 6, são iguais aos que foram apresentados no capítulo 4. Neste capítulo
inclui-se ainda uma análise fisicamente não-linear com recurso a modelos de dano, obtida com
recurso à nova formulação híbrida duplamente mista de tensão.
A análise foi feita recorrendo a dois tipos de software, tal como no capítulo 6, um de
programação (Fortran) e um de visualização (ParaView). O primeiro lê a informação relativa à
estrutura e devolve um ficheiro do tipo vtk, que é lido pelo segundo. No Paraview é então possível
visualizar a estrutura e todos as tensões, deformações e deslocamentos necessários para a correcta
caracterização do comportamento da estrutura.
Tal como acontecia no capítulo 6, neste capítulo também não são efectuadas quaisquer
operações de adoçamento no que toca ao traçado dos campos de tensões.
8.2 Viga Simplesmente Apoiada (betão armado, elementos de barra)
A viga aqui apresentada é constituída por betão armado, tal como representado na Figura
4.24. Começa-se por fazer uma análise fisicamente linear, (subsecção 8.2.1), sendo posteriormente
realizada uma análise fisicamente não-linear considerando para o betão um modelo de dano
isotrópico (subsecção 8.2.2).
8.2.1 Análise fisicamente linear
Nesta subsecção a análise é feita recorrendo à nova formulação de elementos finitos
híbridos-mistos de tensão, pelo facto de não se incluir a variável de dano. Nesta subsecção,
proceder-se-á ao refinamento tipo-h e tipo-p, por forma a ilustrar o desempenho destes tipos de
refinamento no novo modelo.
Começa-se então por considerar que a viga é discretizada apenas com 5 elementos de igual
dimensão (3 elementos de betão e 2 de aço), sendo o refinamento conseguido através do aumento
do grau das funções incluídas na base de aproximação (Tabela 8.1).
94
Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (5 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
2 141
3 250
5 558
6 757
Tabela 8.1 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado, 5 elementos).
Nas Figuras 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.7, 8.8, 8.9, 8.10, 8.11 e 8.12 apresentam-se os
deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas deformadas,
para as várias discretizações testadas.
Figura 8.1 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 2).
Figura 8.2 – Tensões (5 elementos, grau 2).
Figura 8.3 – Tensões (5 elementos, grau 2).
95
Figura 8.4 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 3).
Figura 8.5 – Tensões (5 elementos, grau 3).
Figura 8.6 – Tensões (5 elementos, grau 3).
Figura 8.7 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 5).
Figura 8.8 – Tensões (5 elementos, grau 5).
96
Figura 8.9 – Tensões (5 elementos, grau 5).
Figura 8.10 – Deslocamentos segundo Y (5 elementos, grau 6).
Figura 8.11 – Tensões (5 elementos, grau 6).
Figura 8.12 – Tensões (5 elementos, grau 6).
Na Tabela 8.2 apresentam-se os valores numéricos obtidos para os deslocamentos segundo Y
a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada uma das discretizações
consideradas na análise.
97
Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (5 elementos)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
2 -9,980E-10 -6,664
3 -8,710E-10 -6,680
5 -8,640E-10 -6,729
6 -8,650E-10 -6,745
Tabela 8.2 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 5 elementos).
Tal como é possível observar na Tabela 8.2, à medida que se aumenta o grau da função de
aproximação, a solução converge, principalmente no que toca aos deslocamentos. Nas tensões,
apesar de não se verificar uma taxa de convergência igual à dos deslocamentos, os valores obtidos
não variam muito à medida que se aumenta o grau da função de aproximação. Assim sendo, é
possível considerar que a solução correspondente ao grau 5 representa uma boa aproximação à
resposta real da viga simplesmente apoiada com o carregamento considerado. Para além dos valores
apresentados dos deslocamentos e das tensões, a deformada é a esperada para este tipo de
estrutura e carregamento.
Procede-se agora, tal como foi referido anteriormente, à conjugação dos refinamentos tipo-p
e tipo-h, considerando para tal que a viga está dividida em 36 elementos, 24 elementos de betão e
12 de aço (Tabela 8.3).
Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (36 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
2 1104
3 1968
4 3072
5 4416
Tabela 8.3 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado, 36 elementos).
Nas Figuras 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 8.23 e 8.24 apresentam-
se os deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas
deformadas, para as várias discretizações testadas.
Figura 8.13 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 2).
98
Figura 8.14 – Tensões (36 elementos, grau 2).
Figura 8.15 – Tensões (36 elementos, grau 2).
Figura 8.16 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 3).
Figura 8.17 – Tensões (36 elementos, grau 3).
Figura 8.18 – Tensões (36 elementos, grau 3).
99
Figura 8.19 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 4).
Figura 8.20 – Tensões (36 elementos, grau 4).
Figura 8.21 – Tensões (36 elementos, grau 4).
Figura 8.22 – Deslocamentos segundo Y (36 elementos, grau 5).
Figura 8.23 – Tensões (36 elementos, grau 5).
100
Figura 8.24 – Tensões (36 elementos, grau 5).
Na Tabela 8.4 apresentam-se os valores numéricos obtidos para os deslocamentos segundo Y
a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto, para cada uma das discretizações
consideradas na análise.
Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (36 elementos)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
2 -8,560E-10 -6,723
3 -8,670E-10 -6,736
4 -8,650E-10 -6,707
5 -8,650E-10 -6,681
Tabela 8.4 – Resumo dos resultados (viga simplesmente apoiada de betão armado, 36 elementos).
Tal como é possível observar na Tabela 8.4, à medida que se aumenta o grau da função de
aproximação, a solução converge, sendo que para os graus 4 e 5, as soluções apresentam resultados
iguais para os deslocamentos e muito próximos para as tensões. Isto significa que estamos próximos
da solução exacta e que, para 36 elementos, a solução correspondente ao grau 4 representa uma
boa aproximação da resposta real da viga simplesmente apoiada com o carregamento considerado.
Para além dos valores apresentados dos deslocamentos e das tensões, a deformada é a esperada
para este tipo de estrutura e carregamento. Tal como era expectável, conjugando os dois tipos de
refinamento, foi possível chegar a uma solução próxima da exacta sem aumentar tanto o grau da
função de aproximação.
No que toca à análise fisicamente linear da viga simplesmente apoiada de betão armado,
resta agora estabelecer a comparação com os resultados obtidos no capítulo 4. Nesse capítulo, a viga
apresenta, na representação das tensões, uma concentração na zona do apoio, que não se verifica na
utilização deste novo modelo. Por este motivo, no anexo B, apresenta-se uma outra discretização
obtida com o modelo convencional de elementos finitos, com uma malha ultrarefinada. Isto não põe
em causa os resultados obtidos no capítulo 4, cujo refinamento é suficiente para as conclusões então
retiradas. Serve apenas para demonstrar que os resultados obtidos com recurso ao novo modelo
híbrido-misto de tensão são muito semelhantes aos obtidos com recurso ao modelo clássico dos
elementos finitos quando se considera uma malha muito refinada, mesmo com um grau de
refinamento muito inferior.
Para a solução mais refinada do novo modelo híbrido-misto de tensão e para a solução
obtida com a malha ultrarefinada para o modelo clássico de elementos finitos (anexo B),
101
apresentam-se, na Tabela 8.5, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z ou Y, dependendo
do plano em que está a estrutura), das tensões ( ou , dependendo também do plano em que
está a estrutura) e das tensões nas armaduras, para a viga simplesmente apoiada. É de referir que as
tensões nas armaduras, no caso do novo modelo não-convencional, apesar de não se apresentarem
as suas representações, foram obtidas da mesma forma que os restantes parâmetros.
Viga Simplesmente Apoiada
Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
Tensões nas armaduras (N/m2)
E. Finitos de Deslocamento
-8,643E-10 -6,672 -6,510
E. F. Híbridos-Mistos de Tensão (Novo Modelo)
-8,650E-10 -6,707 -6,522
Tabela 8.5 – Comparação de valores (viga simplesmente apoiada de betão armado).
Isto vem validar o modelo híbrido-misto de tensão apresentado no capítulo 7 e comprovar a
facilidade com que podem ser implementados processos de refinamento tipo-p e tipo-h neste tipo de
modelos.
8.2.2 Análise fisicamente não-linear com modelo de dano isotrópico
Nesta subsecção a análise é feita com recurso aos modelos híbridos duplamente mistos de
tensão, uma vez que se pretende efectuar uma análise fisicamente não-linear com recurso a um
modelo de dano isotrópico.
Por forma a que sejam visíveis os resultados, a carga aplicada à viga simplesmente apoiada
foi aumentada consideravelmente, de 1 N/m para 1000 kN/m.
Na generalidade das ilustrações apresentadas nesta subsecção, a distribuição de dano
representada corresponde à que é obtida no último passo de carga considerado.
Começa-se por estudar o efeito do refinamento tipo-h. Na Tabela 8.6 lista-se o número de
elementos considerados em cada uma das discretizações testadas. Em todos os casos se considera
um grau da função de aproximação igual a dois.
Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (grau de aproximação 2)
Graus de liberdade
7 elementos 222
36 elementos 1752
Tabela 8.6 – Número de elementos e graus de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão
armado, grau 2).
Nas Figuras 8.25 e 8.26 está representada, para cada uma das discretizações testadas, a
distribuição final de dano.
102
Figura 8.25 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 2).
Figura 8.26 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (36 elementos, grau 2).
Procede-se agora ao refinamento tipo-p. Em todas as discretizações listadas na Tabela 8.7
consideram-se malhas com 7 elementos finitos.
Viga Simplesmente Apoiada de betão armado (7 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
3 394
4 614
5 882
6 1198
Tabela 8.7 – Graus de aproximação e de liberdade (viga simplesmente apoiada de betão armado, 7 elementos).
Nas Figuras 8.27, 8.28, 8.29 e 8.30 estão representadas as distribuições finais para a variável
de dano.
Figura 8.27 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 3).
103
Figura 8.28 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 4).
Figura 8.29 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 5).
Figura 8.30 – Distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (7 elementos, grau 6).
As flutuações na distribuição do dano, em ambos os tipos de refinamento, podem estar
relacionadas com o comprimento característico considerado (um décimo da menor dimensão da
viga), uma vez que se trata de um modelo não-local de dano. No entanto, a validade dos resultados
obtidos não é posta em causa.
Através dos refinamentos tipo-h e tipo-p é possível observar que o dano se concentra mais
junto à face inferior da viga na região do meio vão. Contudo, é também visível que na zona do apoio
existe uma grande dispersão do dano, o que pode indiciar que estamos na iminência de uma rotura
por corte. Este fenómeno, já observado aquando da utilização do reforço simplificado, é motivado
pelo facto do reforço não contemplar estribos, que previnem que este tipo de rotura possa vir a
acontecer.
Para a discretização com 7 elementos e grau de aproximação igual a 6, interessa ainda
analisar a evolução do dano à medida que o processo de carregamento evolui. Para tal, nas
Figuras 8.31, 8.32, 8.33 e 8.34 são apresentados os passos de carga 18, 28,38 e 48, respectivamente,
o que corresponde a um incremento de carga de 100 kN/m.
104
Figura 8.31 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 18).
Figura 8.32 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 28).
Figura 8.33 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 38).
Figura 8.34 – Evolução da distribuição de dano na viga simplesmente apoiada (passo de carga 48).
É visível pela evolução da distribuição de dano que este surge a meio vão (Figura 8.31), onde
os valores das tensões de tracção são maiores, estendendo-se depois ao longo da face inferior da
viga, até que esta esteja na iminência de sofrer rotura por corte (Figura 8.34).
Para os mesmos passos de carga (18, 28, 38 e 48), nas Figuras 8.35, 8.36, 8.37 e 8.38
apresentam-se as distribuições das tensões .
105
Figura 8.35 – Tensão (passo de carga 18).
Figura 8.36 – Tensão (passo de carga 28).
Figura 8.37 – Tensão (passo de carga 38).
Figura 8.38 – Tensão (passo de carga 48).
A escala de cores foi modificada e uniformizada, para que se veja claramente a evolução das
tensões de corte à medida que se aumenta a carga aplicada.
As flutuações na representação das tensões de corte podem ser motivadas pelo facto de se
estar a considerar um grau n-1 para a aproximação dos deslocamentos na fronteira. Outra causa
possível é a existência de elementos com relação de dimensões muito desequilibradas. No entanto, a
validade dos resultados obtidos não é posta em causa.
Com o novo modelo híbrido duplamente misto de tensão, obtêm-se então bons resultados
para uma análise fisicamente não-linear considerando modelos de dano isotrópico. Este facto vem
reforçar a valência deste novo modelo, permitindo uma melhor análise do comportamento de
estruturas de betão armado, aproximando-se do seu comportamento real.
8.3 Consola Curta (betão armado, elementos de barra)
A consola aqui apresentada é constituída por betão armado, tal como está representado na
Figura 4.75. Para este caso, da consola curta, optou-se por fazer apenas uma análise fisicamente
linear, uma vez que o desempenho do modelo para uma análise fisicamente não-linear já foi aferido
na subsecção 8.2.2.
106
8.3.1 Análise fisicamente linear
Nesta subsecção a análise é feita recorrendo à nova formulação de elementos finitos
híbridos-mistos de tensão, pelo facto de não se incluir a variável de dano. Neste ponto, proceder-se-á
ao refinamento tipo-h e tipo-p, tal como foi feito no exemplo da viga simplesmente apoiada.
Começa-se então por considerar que a consola é discretizada apenas com 7 elementos
(5 elementos de betão e 2 de aço), sendo o refinamento conseguido através do aumento do grau das
funções incluídas na base de aproximação (Tabela 8.8).
Consola Curta de Betão Armado (7 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
3 436
5 948
6 1279
Tabela 8.8 – Graus de aproximação e número de graus de liberdade (consola curta de betão armado, 7 elementos).
Nas Figuras 8.39, 8.40, 8.41, 8.42, 8.43, 8.44, 8.45, 8.46 e 8.47 apresentam-se os
deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas deformadas,
para as várias discretizações testadas.
Figura 8.39 – Deslocamentos segundo Y (7 elementos, grau 3).
Figura 8.40 – Tensões (7 elementos, grau 3).
Figura 8.41 – Tensões (7 elementos, grau 3).
107
Figura 8.42 – Deslocamentos segundo Y (7 elementos, grau 5).
Figura 8.43 – Tensões (7 elementos, grau 5).
Figura 8.44 – Tensões (7 elementos, grau 5).
Figura 8.45 – Deslocamentos segundo Y (7 elementos, grau 6).
Figura 8.46 – Tensões (7 elementos, grau 6).
Figura 8.47 – Tensões (7 elementos, grau 6).
108
A escala de cores das representações das tensões foi modificada, para que seja
correctamente visível a distribuição das mesmas. Na Tabela 6.6 apresentam-se os resultados obtidos
para os deslocamentos segundo Y a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor absoluto,
para cada discretização testada.
Consola Curta de Betão Armado (7 elementos)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
3 -4,530E-10 -1,676
5 -4,430E-10 -1,986
6 -4,420E-10 -1,993
Tabela 8.9 – Resumo dos resultados (consola curta, 7 elementos).
Por se tratar de um exemplo com singularidades no campo de tensões, os valores para essas
grandezas nesses pontos vão sendo sempre maiores à medida que se aumenta o grau do
refinamento, nunca estabilizando num dado valor, apesar de para os graus 5 e 6 não se notarem
grandes diferenças. Como tal, a convergência da solução não pode ser feita com base nos valores das
tensões apresentados. Contudo, é possível observar que à medida que se aumenta o grau da
função de aproximação, a distribuição das tensões se torna mais suave, sendo que para os graus
5 e 6 da função de aproximação esta distribuição é bastante semelhante. No caso dos deslocamentos
o mesmo não acontece, motivo pelo qual os valores estabilizam à medida que nos aproximamos da
solução exacta. Evidência disso é o facto dos valores dos deslocamentos para os graus 5 e 6 da
função de aproximação, apresentados na Tabela 8.9, serem muito semelhantes. Então, para uma
malha de 7 elementos, a solução correspondente ao grau de aproximação igual a 5 representa uma
boa aproximação à resposta real da consola curta com o carregamento considerado. Relativamente à
deformada, esta vai de encontro ao esperado para este tipo de estrutura e carregamento.
Procede-se agora ao aumento do número de elementos para 20 (16 elementos de betão e
4 de aço), tendo consciência de que, à partida, uma malha com mais elementos conduzirá a uma
menor necessidade de aumentar o grau da função de aproximação, pelo facto de se estar a conjugar
os refinamentos tipo-h e tipo-p (Tabela 8.10).
Consola curta de Betão Armado (20 elementos)
Grau de aproximação Graus de liberdade
2 792
3 1364
5 2096
7 2988
Tabela 8.10 – Graus de aproximação e de liberdade (consola curta de betão armado, 20 elementos).
Nas Figuras 8.48, 8.49, 8.50, 8.51, 8.52, 8.53, 8.54, 8.55, 8.56, 8.57, 8.58 e 8.59 apresentam-
se os deslocamentos segundo Y, as tensões e as tensões , bem como as respectivas
deformadas, para as várias discretizações testadas.
109
Figura 8.48 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 2).
Figura 8.49 – Tensões (20 elementos,
grau 2).
Figura 8.50 – Tensões (20 elementos, grau 2).
Figura 8.51 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 3).
Figura 8.52 – Tensões (20 elementos,
grau 3).
Figura 8.53 – Tensões (20 elementos, grau 3).
110
Figura 8.54 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 4).
Figura 8.55 – Tensões (20 elementos,
grau 4).
Figura 8.56 – Tensões (20 elementos, grau 4).
Figura 8.57 – Deslocamentos segundo Y (20 elementos, grau 5).
Figura 8.58 – Tensões (20 elementos,
grau 5).
Figura 8.59 – Tensões (20 elementos, grau 5).
111
A escala de cores das representações das tensões foi modificada, para que seja
correctamente visível a distribuição das mesmas. Na Tabela 8.11 apresentam-se os resultados
obtidos para os deslocamentos segundo Y a meio vão e para as tensões de corte máximas em valor
absoluto, para cada grau de aproximação.
Consola Curta (12 elementos)
Grau de aproximação Deslocamentos (m) Tensões de corte (N/m2)
2 -4,570E-10 -1,829
3 -4,450E-10 -2,025
4 -4,430E-10 -1,935
5 -4,420E-10 -2,143
Tabela 8.11 – Resumo dos resultados (consola curta, 12 elementos).
Visto as soluções já apresentarem refinamento tipo-h, com uma malha de 20 elementos, era
expectável que para atingir uma solução que se aproxime da exacta não fosse necessário aumentar
tanto o grau da função de aproximação como para o caso da malha com 7 elementos, o que se
verificou. Tal como para a malha com 7 elementos, a convergência não pode ser analisada pelos
valores máximos das tensões. No entanto, é visível que as distribuições de tensões para os
graus 4 e 5 da função de aproximação são bastante suaves, evidência de que nos aproximamos da
solução exacta. Para além disso, os deslocamentos para os graus 4 e 5 da função de aproximação,
apresentados na Tabela 8.11, apresentam valores muito semelhantes. Como tal, para 20 elementos,
um grau da função de aproximação igual a 4 é suficiente para se obter uma boa representação da
resposta da consola curta. No que toca à deformada, esta apresenta o andamento que seria
expectável tendo em conta a estrutura e o carregamento.
Comparando os resultados obtidos para a consola curta com recurso ao novo modelo
híbrido-misto de tensão com os que foram obtidos para o mesmo exemplo no Capítulo 4 com o
modelo convencional de elementos finitos, facilmente se conclui que estes são muito semelhantes.
Para as soluções mais refinadas dos modelos clássico de deslocamentos e não-convencional híbrido-
misto de tensão, apresentam-se, na Tabela 8.12, os valores dos deslocamentos máximos (segundo Z
ou Y, dependendo do plano em que está a estrutura) e das tensões nas armaduras, visto a
comparação das tensões de corte não ser conclusiva. É de referir que as tensões nas armaduras,
apesar de não se apresentarem as suas representações, foram obtidas da mesma forma que os
restantes parâmetros.
Consola Curta Deslocamentos (m) Tensões nas armaduras (N/m2)
E. Finitos de Deslocamento
-4,407E-10 3,204
E. F. Híbridos-Mistos de Tensão (Novo Modelo)
-4,430E-10 -3,199
Tabela 8.12 – Comparação de valores (consola curta de betão armado).
Isto vem reforçar a validade do novo modelo híbrido-misto de tensão e comprovar a
versatilidade do mesmo quando aplicado a outro tipo de estruturas.
112
113
9 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
9.1 Conclusões
Neste trabalho foram desenvolvidos e implementados modelos híbridos-mistos de tensão
para a análise de estruturas bidimensionais de betão armado.
O conjunto de casos de teste foi primeiro analisado com recurso a um modelo clássico de
elementos finitos, tendo sido utilizado para tal efeito o programa comercial [ADINA]. Foram obtidas,
desta forma, um conjunto de soluções aproximadas com precisão considerada como adequada, para
depois poderem ser utilizadas para validar as soluções obtidas com os modelos numéricos
apresentados e discutidos neste trabalho. Na obtenção destas soluções para validação, foi
considerado apenas comportamento fisicamente linear para todos os materiais estruturais
envolvidos na definição das estruturas.
Numa primeira fase, os varões de reforço foram modelados como se fossem elementos
estruturais bidimensionais. Esta análise mais simplista permitiu que fossem utilizados os modelos já
existentes, sem necessidade de introdução de qualquer alteração ao nível da formulação. Os
resultados obtidos com este modelo em regime elástico linear foram comparados com os resultados
obtidos com os modelos clássicos de elementos finitos e a qualidade das soluções obtidas foi desta
forma validada. O conjunto de estruturas de teste foi também analisado considerando o
comportamento fisicamente não-linear do betão, através da consideração do modelo de dano
contínuo de [Mazars 1984]. A validação dos resultados destas análises foi efectuada apenas de forma
qualitativa, uma vez que não foram efectuadas análises equivalentes com o programa ADINA. De
qualquer forma, a distribuição final de dano obtida e a sua evolução são perfeitamente coerentes
com o que seria expectável.
Numa segunda fase, foi discutida a implementação de modelos híbridos-mistos de tensão
nos quais fosse possível a inclusão explícita de elementos de reforço modelados como elementos
estruturais unidimensionais. Nessa generalização dos modelos existentes, considerou-se aderência
perfeita entre os varões de reforço e o betão circundante. Foram apresentados dois modelos: o
modelo híbrido-misto de tensão e o modelo híbrido duplamente misto de tensão. O primeiro destes
modelos é utilizado para a realização de análises em regime elástico linear. O segundo dos modelos
foi desenvolvido para permitir análises fisicamente não-lineares, considerando modelos de dano
contínuo para representar o comportamento do betão.
Os resultados obtidos para os casos de teste em regime elástico linear permitiram ilustrar a
utilização destes modelos, a qualidade das soluções obtidas e a facilidade com que podem ser
implementados processos de refinamento tipo-p e tipo-h. Foi possível efectuar uma comparação
directa dos resultados com os que tinham sido obtidos com recurso ao modelo clássico de elementos
finitos. Essa comparação permitiu confirmar a qualidade das soluções obtidas com os modelos
híbridos-mistos.
114
Os resultados obtidos para o caso do comportamento fisicamente não-linear também
permitiram ilustrar a aplicação dos modelos e a qualidade das soluções obtidas, com recurso a
discretizações envolvendo um número de graus de liberdade controlado.
9.2 Desenvolvimentos futuros
Os resultados apresentados nesta dissertação provam que as formulações híbridas-mistas de
tensão permitem obter modelos robustos e computacionalmente eficazes para a análise fisicamente
linear e não-linear de estruturas de betão armado. Desta forma, justifica-se plenamente que
continue a ser dedicada atenção ao desenvolvimento deste tipo de modelos, cuja potencialidade
está longe de se encontrar completamente explorada. Para um futuro próximo, sugerem-se os
seguintes desenvolvimentos:
Na implementação apresentada neste trabalho, os varões de aço têm de coincidir com
fronteiras entre elementos adjacentes de betão. Esta é uma limitação que obriga à
consideração de um número maior de elementos e pode dar origem a elementos com
dimensões muito desequilibradas. Para contornar este problema, um dos desenvolvimentos
que se prevê para o futuro próximo consiste na generalização dos modelos híbridos-mistos
apresentados, por forma a possibilitar a consideração de varões de reforço no interior de
elementos de betão.
Nos modelos discutidos nesta dissertação considerou-se sempre aderência perfeita entre o
aço e o betão. Para simular de forma mais adequada o comportamento fisicamente não-
linear de estruturas de betão armado, será necessária a generalização dos modelos
apresentados por forma a ser possível a consideração do fenómeno de escorregamento.
Nos modelos apresentados nesta dissertação apenas foram consideradas armaduras
longitudinais. Para simular o comportamento de estruturas de betão armado, vai ser
necessário considerar no modelo a possibilidade de se incluírem estribos.
Para os materiais estruturais, foram consideradas relações constitutivas elásticas lineares
para o aço e modelos de dano isotrópico para o betão. Para modelar de forma mais
adequada o comportamento de estruturas de betão armado, vai ser necessário implementar
modelos constitutivos mais sofisticados. Esses modelos devem permitir a consideração de
inversão de sentido do carregamento, por forma a tornar possível a consideração de
carregamentos cíclicos e/ou dinâmicos.
Os modelos híbridos e mistos de elementos finitos considerados nesta dissertação permitem
apenas a consideração de análises estáticas. A generalização destes modelos, por forma a ser
possível a realização de análises fisicamente não-lineares em regime dinâmico, será também
um dos trabalhos a realizar no futuro.
115
10 BIBLIOGRAFIA
[ADINA] ADINA.("Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis". Watertown, Adina R & D Inc.http://www.adina.com/index.shtml
[Almeida 1991] Almeida, J. P. B. M.(1991) "Modelos de Elementos Finitos para a Análise
Elastoplástica". Lisboa, Instituto Superior Técnico. Ph.D Thesis [Arantes e Oliveira 1999] Arantes e Oliveira, E. R.(1999) "Elementos da Teoria da Elasticidade".
Lisboa, IST Press. [Arruda 2011] Arruda, M. R.(2011) "Static and Dynamic Analysis of Concrete Structures Using
Damage Mechanics". Lisbon, Instituto Superior Técnico. Ph.D. Thesis [Brezzi et al. 1991] Brezzi, F. and Fortin, M.(1991) "Mixed and Hybrid Mixed Finite Element Methods".
New-York, Springer. [Castro 1996] Castro, L. M. S. S.(1996) "Wavelets e Séries de Walsh em Elementos Finitos". Lisboa,
Instituto Superior Técnico. Ph.D Thesis [Castro et al. 2006] Castro, L. M. S. S. and Barbosa, A. R.(2006) "Implementation of an Hybrid-Mixed
Stress Model Based on the use of Wavelets." Computer & Structures 84(10-11): 718-731. [Cismasiu 2000] Cismasiu, C.(2000) "The hybrid-Trefftz displacement element for static and dynamic
structural analysis problems". Lisbon, Instituto Superior Técnico. Ph.D Thesis [Clough 1960] Clough, R. W.(1960) "Finite Element Method in Plane Stress Analysis". Proceedings of
2nd ASCE Conference on Electronic Computation. Pittsburgh, PA [Crisfield 1991] Crisfield, M. A.(1991) "Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures".
Chichester, Volume 1 - Essentials, John Wiley & Sons. [Freitas 1989] Freitas, J. A. T.(1989) "Duality and symmetry in mixed integral methods of
elastostatics." International Journal for Numerical Methods in Engineering 28: 1-19. [Freitas et al. 1999a] Freitas, J. A. T., Almeida, J. P. B. M. and Pereira, E. M. B. R.(1999a) "Non-
conventional Formulations for the Finite Element Method." Computational Mechanics 23(1): 488-501.
[Freitas et al. 1992] Freitas, J. A. T. and Castro, L. M. S. S.(1992) "Digital Interpolation in Mixed Finite
Element Structural Analysis." Computers & Structures 40: 1307-1314. [Freitas et al. 1999b] Freitas, J. A. T., Cismasiu, C. and Wang, Z.(1999b) "Comparative analysis of
hybrid-Trefftz stress and displacements elements." Archives of Computational Mechanics Engineering 6: 1-26.
[Jirásek 2004] Jirásek, M.(2004) "Modeling of localized inelastic deformation". Lecture notes. Prague, Czech Technical University
[Kachanov 1958] Kachanov, M.(1958) "On the time to rupture under creep conditions." Izvestija Akademii Nauk SSSR, Otdelenie Techniceskich Nauk 8: 202-218.
[Kachanov 1986] Kachanov, M.(1986) "Introduction to continuum damage mechanics". [Leal 2007] Leal, C. S.(2007) "Modelos de Elementos Finitos Híbridos-Mistos - Aplicação a uma
Barragem de Gravidade". Lisbon, Instituto Superior Técnico. M.Sc Thesis [Lemaitre 1992] Lemaitre, J.(1992) "A Course on Damage Mechanics". Verlag, Springer. [Lemaitre et al. 1985] Lemaitre, J. and Chaboche, J. L.(1985) "Mécanique des matériaux solides", 1st
edition, Dunod. [Lemaitre et al. 2005] Lemaitre, J. and Desmorat, R.(2005) "Engineering Damage Mechanics". Berlin
Heidelberg, Springer. [Mazars 1984] Mazars, J.(1984) "J.. Application de la mécanique de l’endommagement au
comportement non lineaire et à la rupture du béton de structure". Paris, Université Paris 6. Ph.D Thesis
116
[Mendes 2002] Mendes, L. A. M.(2002) "Modelos de Elementos Finitos Híbridos Mistos de Tensão na
Análise Elastoplástica de Estruturas Laminares Planas". Lisboa, Instituto Superior Técnico. M.Sc Thesis
[Mendes 2011] Mendes, L. A. M.(2011) "Refined Three-dimensional Seismic Analysis of Reinforced
Concrete Structures". Lisbon, Instituto Superior Técnico. Ph.D. Thesis [Paula 2001] Paula, C. F.(2001) "Contribuição ao Estudo das Repostas Numéricas Não-Lineares
Estática e Dinâmica de Estruturas Reticuladas Planas". São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. Ph.D Thesis
[Perego 1990] Perego, H.(1990) "Danneggiamento dei materiali lapidei: leggi costitutive, analisis per
elementi finiti ed applicazioni". Milan, Politecnico de Milano. Ph.D Thesis [Pereira 1993a] Pereira, E. M. B. R.(1993a) "Elementos Finitos de Tensão, Aplicação à Análise
Elástica de Estruturas". Lisboa, Instituto Superior Técnico. Ph.D Thesis [Pereira et al. 2000] Pereira, E. M. B. R. and Freitas, J. A. T.(2000) "Numerical Implementation of a
Hybrid-Mixed Finite Element Model for Reissner-Mindlin Plates." Computer & Structures 74(3): 323-334.
[Pereira 1993b] Pereira, O. J. B. A.(1993b) "Um Modelo de Elementos Finitos de Equilíbrio para
Elasticidade Tridimensional". Lisbon, Instituto Superior Técnico. M.Sc Thesis [Pian 1964] Pian, T. H. H.(1964) "Derivation of element stiffness matrices by assumed stress
distributions." A.I.A.A. Journal 2: 1333–1336. [Proença 2000] Proença, S. P. B.(2000) "Introdução à mecânica do dano e fracturamento, Notas de
aulas". Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Carlos, São Paulo [Silva et al. 1999] Silva, M., V. and Pereira, E. M. B. R.(1999) "Programa para aplicação de um modelo
híbrido misto de tensão à análise de lajes e placas". Lisbon, ICIST IST [Silva 2006a] Silva, M. C.(2006a) "Modelos de Dano em Elementos Finitos Hibridos e Mistos". Lisboa,
Instituto Superior Técnico. Ph.D Thesis [Silva et al. 2003] Silva, M. C. and Castro, L. M. S. S.(2003)] "Aplicação de Modelos Híbridos-Mistos de
à Análise Fisicamente Não-Linear de Porticos de Betão Armado". Congresso de Mecânica Aplicada e Computacional, Évora, Universidade de Évora.
[Silva et al. 2004] Silva, M. C. and Castro, L. M. S. S.(2004) "Hybrid-mixed stress formulation with
continuum damage models". XXV CILAMCE. Recife, Gráfica Bagaço [Silva et al. 2006] Silva, M. C. and Castro, L. M. S. S.(2006) "Hybrid-Mixed Stress Formulation Using
Continuum Damage Models." Communications in Numerical Methods in Engineering 22: 605-617.
[Silva 2002] Silva, M. J. V.(2002) "Elementos Finitos Híbridos-Mistos de Tensão - Aplicação à análise
de barragens abóboda". Lisbon, Instituto Superior Técnico. M.Sc Thesis [Silva 2006b] Silva, V. D.(2006b) "Mechanics and Strength of Materials". Netherlands, Springer. [Spiegel et al. 1990] Spiegel, R. M. and Abellanas, L.(1990) "Formulas e tabelas de matemática
aplicada". Rio Janeiro, Schaum McGraw-Hill. [Timoshenko et al. 1970] Timoshenko, S. P. and Goodier, J. N.(1970) "Theory of Elasticity". Tóquio,
McGraw Hill International Book Company. [Zienkiewicz et al. 1989] Zienkiewicz, O. C. and Taylor, R. L.(1989) "Basic Formulation and Linear
Problems". The Finite Element Method. Berkshire, McGraw-Hill. 1. [Zienkiewicz et al. 2003] Zienkiewicz, O. C. and Taylor, R. L.(2003) "The Finite Element Method".
Londres, 1-2-3.
117
ANEXO A – POLINÓMIOS DE LEGENDRE
A.1 – Introdução
Neste capítulo apresenta-se a informação necessária para definir as funções de aproximação
utilizadas neste trabalho, os polinómios de Legendre. As suas propriedades mais relevantes, bem
como as expressões que permitem efectuar o cálculo analítico de todos os integrais e derivadas que
os envolvem, são aqui analisados.
A.2 – Considerações Iniciais
Os polinómios de Legendre de ordem , correspondem às soluções da equação
diferencial de 2º grau de Legendre:
(A.1)
É possível gerar estas funções do tipo polinomial usando a fórmula de Rodriguez [Spiegel et
al. 1990]:
(A.2)
A.3 – Propriedades dos Polinómios de Legendre
Verifica-se que estes polinómios são alternadamente funções pares e ímpares:
(A.3)
Os integrais definidos no intervalo [ ] que resultam do produto de dois polinómios de
Legendre podem ser calculados a partir das seguintes igualdades:
{
∫
∫
(A.4)
Conclui-se, portanto, que os polinómios de Legendre são ortogonais no intervalo [ ].
118
A.4 – Fórmulas Geradoras de Polinómios de Legendre
Várias fórmulas podem ser utilizadas para gerar os polinómios de Legendre, mas as mais
eficientes são as fórmulas de recorrência [Spiegel et al. 1990], tirando partido das respectivas
derivadas:
(A.5)
É então possível usar a seguinte expressão para determinar os valores de :
(A.6)
com
De maneira a tirar partido da condição de ortonormalidade, os polinómios de Legendre são
modificados por forma a que:
∫
(A.7)
A fórmula de Bonnet é escalada por :
√
(A.8)
Obtendo-se desta forma o formato alternativo (normalizado) a seguir apresentado:
(A.9)
Com
Nas Figuras A.1 , A.2 a) e A.2 b) apresentam-se os polinómios de Legendre normalizados,
uni e bidimensionais [Mendes 2002]:
119
Figura A.1 – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 1D.
120
Figura A.2 a) – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 2D.
121
Figura A.2 b) – Gráficos dos polinómios de Legendre normalizados em 2D.
122
Uma das principais vantagens associadas à utilização destes polinómios consiste na
possibilidade de dispensar os processos numéricos no cálculo das integrações, pois é sempre possível
definir expressões analíticas para os operadores estruturais (assumindo linearidade física e
geométrica), mesmo em casos em que não se consegue tirar directamente partido da
ortogonalidade.
De seguida apresentam-se as expressões indicadas em [Silva et al. 1999]:
{
∫
∫
(A.10)
{
∫
∫
∫
(A.11)
{
∫
∫
∫
∫
(A.12)
{
∫
∫
∫
∫
∫
(A.13)
{
∫
∫
(A.14)
123
{
∫
∫
∫
(A.15)
{
∫
∫
∫
∫
(A.16)
{
∫
∫
∫
(A.17)
{
∫
∫
∫
(A.18)
De seguida apresentam-se alguns casos particulares:
{
∫ √
∫
(A.19)
∫ ∫
(A.20)
∫ ∫
√
(A.21)
124
125
ANEXO B – VIGA SIMPLESMENTE APOIADA DE BETÃO ARMADO
(MALHA ULTRAREFINADA)
Tal como foi dito no capítulo 8, os resultados obtidos para a tensão de corte na viga
simplesmente apoiada com o novo modelo híbrido-misto de tensão não eram semelhantes aos
obtidos com o modelo clássico de deslocamentos do método dos elementos finitos, especialmente
quando comparados com os das Malhas C e D do capítulo 4. Como tal, neste anexo apresenta-se uma
nova discretização, com uma malha ultrarefinada obtida pelo método convencional (tal como no
capítulo 4), por forma a confirmar o bom desempenho do novo modelo híbrido-misto de tensão.
Nas Figuras B.1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7 apresentam-se a malha ultrarefinada e os
correspondentes deslocamentos segundo Z, tensões e (directas e suavizadas) e tensões nas
armaduras.
Figura B.1 – Malha ultrarefinada.
Figura B.2 – Deslocamento segundo Z (malha ultrarefinada).
126
Figura B.3 – Tensão (malha ultrarefinada).
Figura B.4 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada).
Figura B.5 – Tensão (malha ultrarefinada).
Figura B.6 – Tensão suavizada (malha ultrarefinada).
127
Figura B.7 – Tensão nas armaduras (malha ultrarefinada).
Na B.1 apresentam-se os valores máximos em valor absoluto das representações dos
deslocamentos e tensões, obtidas para a malha ultrarefinada.
Viga Simplesmente Apoiada de Betão Armado (malha ultrarefinada)
Deslocamentos (m) -8,643E-10
Tensões
(N/m2) -6,672
Tensões
(N/m2) -1,880
Tensão armaduras
(N/m2) -6,510
Tabela B.1 – Resumo dos resultados (malha ultrarefinada).
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