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Método das Características

Métodos numéricos para resolução de Equações Diferenciais

AED-27 – Aerodinâmica Supersônica

Vitor Kleine

Renato Medeiros

Paulo Soviero

Valeria Leite

Métodos numéricos

Métodos numéricos para resolução de EDP/EDO, assunto também conhecido como: Dinâmica dos Fluidos Computacional; ou CFD (Computational Fluid Dynamics)

Equações diferenciais são resolvidas: numericamente dentro de um domínio respeitando as condições de contorno

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IntroduçãoIntrodução

Métodos numéricos

Alguns dos métodos que foram vistos até agora também podem ser considerados “métodos numéricos para resolução de equações diferenciais”, mas: Equações bem simplificadas Escoamento e geometria bem específicos

Passaremos agora a métodos mais gerais: Aplicáveis a equações diferenciais mais completas Aplicáveis a diversas geometria

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IntroduçãoIntrodução

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Equações deNavier-Stokes

Equaçõesde Euler

Eq. do PotencialCompleto

Eq. do PotencialLinearizado

Teoria de CorposEsbeltos

- Irrotacional- Isentrópico

- Peq. Perturbações

ContextoContexto

- Não Viscoso- Sem Transf. Calor

- pequeno- rmax<<x

Características

- Gás ideal

CaracterísticasAED-27

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Aplicável a equações hiperbólicas Qual destes representa escoamento supersônico?

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Classificação de EDPsClassificação de EDPs

Hiperbólicas Parabólicas Elípticas

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Considere a EDP de 2ª ordem:

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Classificação de EDPsClassificação de EDPs

Hiperbólica

Parabólica

Elíptica

0 FEDCBA xxyyxyxx

02 CAB

02 CAB

02 CAB

0)1( 2 yyxxM

0)1( 2 yyxxM

Eq. Potencial Completo?

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Calculando a derivada em um ponto

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FilosofiaFilosofia

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Na linha característica: Derivada é indeterminada (Pode ser descontínua)

Caso 2D: Ao longo de uma característica: EDP se torna EDO

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FilosofiaFilosofia

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Eq. Potencial Completo 2D:

Segundo a matemática (para direções dx e dy):

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Encontrando as característicasEncontrando as características

Método das Características

Resolvendo o sistema:

Encontra-se:

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Encontrando as característicasEncontrando as características

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Resolvendo o sistema:

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Encontrando as característicasEncontrando as características

0!

Indeterminado Escolha da direção

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Denominador = 0:

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Encontrando as característicasEncontrando as características

M2 - 1

Em que caso há características reais?

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Encontrando as característicasEncontrando as características

Após alguma álgebra...

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Numerador = 0:

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Equação de compatibilidadeEquação de compatibilidade

Ao longo das Características

Método das Características

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Equação de compatibilidadeEquação de compatibilidade

Escoamento de Prandtl-Meyer

KconstM )(

KconstM )(Ao longo da Característica C_

Ao longo da Característica C+

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Corpos delgados:

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Avanço no espaçoAvanço no espaço

Corpos rombudos:

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Avanço no espaçoAvanço no espaço

Método das Características

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Avanço no espaçoAvanço no espaço

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Avanço no espaçoAvanço no espaço

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Projeto de bocaisProjeto de bocais

Video: http://www.youtube.com/watch?v=4fwiKjwDQMg

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Projeto de bocaisProjeto de bocais

Bocal de mínimo comprimento

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Mais detalhadamente em: Anderson, J. D. “Modern compressible flow with

historical perspective”. 2003.

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ReferênciasReferências