Métodos de Elementos Discretos

AED-25 – Aerodinâmica Subsônica

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Conceituação

• Métodos de elementos discretos forma mais geral de classificar os conhecidos métodos de painéis e de malha de vórtices.

• Todavia, baseiam-se no mesmo princípio, empregar singularidades aerodinâmicas cujas funções de potencial são soluções da equação de Laplace: 2 0

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Os elementos discretos

• São simplesmente pontos ou superfícies elementares às quais de associa a posição de uma singularidade ou distribuição de singularidades;

• Os pontos e/ou superfícies elementares são definidos de forma a discretizar um corpo em regiões elementares, transformando uma superfície continua em um conjunto de superfícies que “aproximam” a forma do corpo.

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Corpo Aerodinâmico Discretizado

• Exemplo de uma aeronave:

• Por exemplo, representando uma superfícies curva por placas elementares, se perde um pouco em fidelidade de representação geométrica.

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Métodos de Elementos Discretos

• Métodos de elementos discretos são baseados na solução integral da equação do potencial aerodinâmico linear (EPAL), particularizada para condições de contorno que descrevem a configuração aerodinâmica de interesse.

• A transformação da forma diferencial da EPAL para a forma integral é realizada aplicando-se o teorema de Green, chegando a:

( ) ( ), , , S DS S W

S Wx y z k dS dj j j+

+=- +òò òò

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Solução Elementar• Esta equação integral assume que sobre a superfície S, são

distribuídas fontes s e dipolos d (soluções elementares da equação do potencial aerodinâmico linear), bem como nas superfícies que definem a esteira aerodinâmica (W - Wake).

• O potencial devido uma fonte e um dipolo de intensidade e (ou ) são, por exemplo, dados por:

onde,

( ),4S R

s x hj

p=

( ) ( )

( )

2 2 2 2, ,0

, ,

R X Y z

Y y

x y z X x

x h b

hx

= + += -= -

( ),4D n R

j x hj

pD¶= ¶

Distância entrea fonte e o ponto que recebePonto que recebe

Posição da fonte

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Kernel• Isto é, soluções elementares são função de parâmetros

geométricos, numero de Mach e frequência de oscilação (frequência reduzida).

• Note que existe um termo comum entre parênteses nas relações que definem as soluções elementares:

• Este termo é conhecido como o Kernel da relação integral e é dado por:

1R

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

01 KR jj = =

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Kernel• O Kernel é uma função de Green de espaço livre, da equação:

• Ele representa a solução da equação acima sobre um domínio tridimensional com uma fonte ou um dipolo pontual não estacionária de intensidade unitária concentrada no ponto

• Assume-se como notação para a intensidade do dipolo como pois o mesmo representa um salto de potencial através da superfície de sustentação sobre a qual estes dipolos estão distribuídos.

( ) ( ), , , S DS S W

S Wx y z k dS dj j j+

+=- +òò òò

( ), , 0x h

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Kernel• Rescrevendo a solução integral como função do Kernel tem-se:

• A mudança de notação do argumento variável k para ik é introduzida para reforçar a natureza da intensidade do potencial que obedece uma variação harmônica simples.

• Versão plana (planar): Vamos estudar um modelo mais simples, onde se pressupõem que o corpo é uma superfície de sustentação coincidente com o plano coordenado X-Y

• Desta forma- assumiu-se que a coordenada Z é nula, ver equação acima.

( ) ( ) ( ) ( )1 1, , , , ,0, , ,0,4 4

S S W

S WK

x y z ik ik K dS ik dnj

jj s x h j x hp p +

+¶=- + D ¶òò òò

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Painéis aerodinâmicos

• Por outro lado é suficiente para representar uma geometria complexa como uma primeira aproximação de engenharia.

• Na seqüência, serão apresentadas duas forma de se empregar os métodos de elementos discretos em um perfil e uma asa, em substituição ao método da teoria do aerofólio fino e como uma extensão da linha sustentadora de Prandtl.

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Método de painéis bidimensional (2D)

• Limitações da teoria do aerofólio fino: • Regime incompressível assumindo perfis esbeltos e consequentemente,

pequenas perturbações;• Permite o entendimento de conceitos físicos:

– condição de Kutta, circulação sustentação, – efeito do arqueamento, centro de pressão, centro aerodinâmico,– interferência aerodinâmica,

• Todavia, existem ainda varias limitações que impedem o emprego da teoria do aerofólio fino aplicações práticas.– efeito de espessura no momento aerodinâmico e sustentação, – distribuições de pressão nas adjacências de pontos de estagnação

tendem a ser errôneas, – Grandes arqueamentos, podem ser mal representados por teorias que

pressupõem pequenas perturbações.

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Alternativa• Tomando como exemplo para entendimento físico o problema do

aerofólio:– Adicionalmente a vórtices e fontes, pode-se adotar soluções

elementares de de ordem mais elevada, tais como dipolos, quadrupolos, ou ainda assim conhecidas como expansões do tipo multipolo.

– Pode-se empregar as soluções elementares da equação de Laplace (fontes / sumidouros e vórtices) porém dispostas sobre as superfícies do corpo a ser modelado e assim estabelecer uma condição de tangência do escoamento como a condição de contorno que particulariza a solução do problema

• Este último método pode ser empregado para uma vasta gama de problemas, incluindo ao caso de aerofólios multi-elemento, com a perspectiva de ser estendido para problemas aerodinâmicos tridimensionais.

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Alternativa

• A distribuição de fontes / sumidouros ou vórtices pode ser feita de forma discreta ou contínua

• O tratamento de problemas contínuos leva a equações integrais similares as vistas na teoria do aerofólio fino,

• Por outro lado, quando se divide um corpo em uma série de segmentos elementares, também conhecidos como painéis, as referidas relações integrais podem der resolvidas como um sistema de equações lineares.

• Métodos baseados na discretização dos corpos em elementos, cujas soluções analíticas são conhecidas, são designados como MÉTODOS DE PAINÉIS.

• É uma técnica para resolver problemas aerodinâmicos considerando escoamentos potenciais, em regime incompressível ou não, ao redor de corpos com geometrias complexas.

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Exemplo: Método de Painéis de Hess-Smith• Existem várias formas para se formular um método de painéis,

(singularidades, variações destas dentro do painel, intensidade das singularidades, e distribuição,

• O método mais simples e prático é o método de Hess e Smith, desenvolvido na Douglas Aircraft Co., em 1966.

• Este método é baseado na distribuição de fontes e vórtices na superfície da geometria a ser modelada tal que:

φ = φ∞ + φS + φV onde, φ é a função potencial de velocidade tal e as três parcelas correspondem ao escoamento não perturbado, distribuição de fontes e de vórtices, respectivamente.

• A duas últimas componentes tem intensidades variantes de acordo com a sua posição q(s) e γ(s), onde s é uma coordenada curvilínea que envolve toda a superfícies de um aerofólio, por exemplo, da forma que for geometricamente mais conveniente.

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Método de Painéis de Hess-Smith• Os potenciais criados pela distribuição de fontes / sumidouros e

vórtices são dados por:

onde as variáveis das equações acima são definidas na figura abaixo:

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Método de Painéis de Hess-Smith

• Observe que, nas relações integrais dadas, a integração deve ser realizada ao longo da superfície total do aerofólio. Admitindo o princípio da superposição, qualquer distribuição de fontes / sumidouros e vórtices deve satisfazer a equação de Laplace,

• Todavia, deve-se encontrar condições para q (s) e γ (s) de tal forma que sejam satisfeitas simultaneamente as condições de tangência do escoamento e de Kutta

• Note que temos várias opções. Em teoria, poderíamos:– Assumir uma distribuição de intensidade de fontes que satisfaça

a condição de tangência e uma de intensidade de vórtices que atenda a condição de Kutta;

– Admitir uma combinação arbitrária de singularidades (fontes, vórtices) de forma a atender as condições de contorno de tangência e de Kutta simultaneamente.

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Método de Painéis de Hess-Smith• Hess e Smith assumiram a seguinte simplificação que é válida:

– Estabelecer que a intensidade de vórtice é constante ao longo de todo o aerofólio, empregando a condição de Kutta para fixar este valor.

– Admite-se, no entanto que a distribuição de intensidade de fontes é variável de painel para painel de forma a atender a condição de tangência do escoamento sobre o corpo, ou seja em todo os painéis simultaneamente

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Método de Painéis de Hess-Smith• Baseado na aproximação sugerida por Hess e Smith, podemos

representar φ = φ∞ + φS + φV como:

lembrado que:

onde a é o ângulo de ataque que o escoamento não perturbado faz com o corpo.

• Note que interação no corpo passa a ser representada por uma somatória, e que a vorticidade γ independe da geometria, isto é deve ser constante para todos os painéis

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Método de Painéis de Hess-Smith• A equação:

envolve integrações ao longo de cada painel discreto na superfície do aerofólio, devemos de alguma forma parametrizar a variação das intensidade de fonte e vórtice dentro de cada painel

• Como intensidade de vórtice é assumida constante dentro de cada painel, apenas devemos nos preocupar com a variação das intensidade das fontes em cada painel.

• Esta é a maior aproximação mais importante deste tipo de método de painel.

• Hess e Smith decidiram adotar esta aproximação, a mais simples o possível: – Assumir que a intensidade das fontes dentro de cada painel é

constante, q(s) = qi, i = 1, ... N; no i-ésimo painel.

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Método de Painéis de Hess-Smith• Portanto, temos N + 1 incógnitas para resolver no nosso problema:

os N painéis fonte qi mais a intensidade de vórtice γ a se determinar. ( o que implica em N + 1 incógnitas)

• Conseqüentemente, serão necessárias N + 1 equações independentes, a partir da condição de tangência do fluxo em cada (N) painel, bem como a condição de Kutta (N+1) que garante a existência da vorticidade (circulação).

• A solução do problema portanto exigirá a inversão de uma matriz de dimensão (N +1) × (N +1).

• Condição de contorno: onde devemos impor a condição de escoamento tangente? As opções disponíveis são:– Os nós resultantes do processo de “panelização”;– Ou ponto sobre a superfície real ao invés do painel;– Ponto no meio do painel.

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Método de Painéis de Hess-Smith

• Uma má escolha é a posição dos nós, pois poderá levar a singularidades;

• A segunda opção é razoável, mas difícil de implementar naprática;

• A última opção é a adotada por Hess e Smith; • Embora este ponto seja alterado em relação a sua posição real

sobre o corpo, é fácil de implementar e fornece resultados precisos quando de adota um número adequado de painéis;

• Esta posição também é utilizada para a imposição da condição de Kutta (nos últimos painéis imediatamente antes do BF no extradorso e intradorso), as velocidade tangenciais devem ser iguais, sempre se preocupando que este pontos fiquem eqüidistantes com relação ao BF.

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Exemplo de ImplementaçãoMétodo de Hess-Smith• Considere que i-ésimo painel está localizado entre o i-ésimo e o

i+1-ésimo nó, com orientação com relação ao eixo x dada por:

onde li é o comprimento do painel sob consideração. Os vetores normal e tangencial a este painel são por sua vez dados por:

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Geometria• O vetor tangente é orientado na direção do nó i para o nó i+1 e o

vetor normal aponta para o exterior ao corpo.

• O ponto de meio do painel é dado pelas coordenadas:

• E as componentes de velocidade nestes pontos de controle são:

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Condição de Kutta• Condição de tangência ou:

para i=1,N. • Condição de Kutta:

onde os sinais opostos deve-se ao fato que os vetores tangenciais no primeiro (1) e último (N) painel tem sinais opostos.

• As velocidades nos pontos médios de cada painel pode ser obtida através da superposição das contribuições (interferências) de todas as fontes e vórtices arranjados sobre cada painel incluindo a influência do painel nele mesmo.

• Uma vez que a velocidade induzida é proporcional a intensidade das singularidades dispostas sobre este painéis qi e γ, pode-se tirar da relação integral a seguir:

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Condição de Tangência• Ou seja, chega-se às relações simplificadas:

onde usij, vsij são as componentes de velocidade no ponto médio do painel induzidas por uma fonte (s) de intensidade unitária situada no ponto médio do painel j.

• A mesma interpretação pode ser dada para o caso das velocidade induzidas pelo vórtice (v), ou seja uvij, vvij.

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Componentes de velocidade• Em um sistema de coordenadas normal e tangencia ao painel

isoladamente, pode-se avaliar as integrais das singularidades dadas em:

• Notando que as componentes de velocidade local podem ser expandidas em componentes absolutas de acordo com:

• Agora as componentes de velocidade no i-ésimo painel devido a uma distribuição unitária de fontes no j-ésimo painel são dadas por:

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Componentes de velocidade• x* e y* são as coordenadas do ponto médio painel i no sistema de

de coordenadas local do painel j.

• Resolvendo as relações integrais:

• Este resultados tem uma interpretação geométrica que é explicada na figura ao lado, observando que as velocidades induzidas pelas fontes e vórtices dadas por:

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Componentes de velocidade• velocidades induzidas pelas fontes (s) e vórtices (v) dadas por:

rij é a distância entre o ponto médio do painel i ao j-ésimo nó, enquanto βij é o ângulo subentendido entre o j-ésimo painel no ponto médio do painel i.Note que u*sii = 0, mas o valor de v*sii não é claro. Quando o ponto de interesse aproxima-se do ponto médio do lado externo ao aerofólio, βii → π. Todavia quando o ponto médio do painel se aproxima pelo lado interno do aerofólio,βii →−π. Como estamos interessados em escoamento externos, βii = π sempre.

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Componentes de velocidade

• Similarmente para o campo de velocidades induzido por um vórtice (v) no painel j no ponto médio do painel i nota-se que:

• Lembre que condição de contorno de tangência é dada pela equação:

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Relacionando à condição de contorno• E desfazendo a transformação de coordenadas locais apresentada

como:

• Chega-se á seguinte forma algébrica de se representara a relação para a condição de contorno:

onde:

levando a: fontes:

vórtice:

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Condições de Tangência e de Kutta• Na realidade chegou-se a um sistema matricial, que relaciona as

intensidade de vórtices e fontes às condições de contorno• As equações algébricas são desta forma relacionadas ao vetor:

que na realidade representa apenas as condição de tangência do escoamento. Com temos na realidade um sistema de N+1 equações, deve-se empregara a condição de Kutta como condição complementar e assim termo um sistema determinado. resultando em:

onde a condição de Kutta é dada por.

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Sistema linear final• Abrindo o sistema de equações para a condição de Kutta:

onde o somatório significa a soma do primeiro e último painel apenas.

• Estas equações portanto, geram um sistema linear do tipo:

cuja ordem da matriz A é (N+1)X(N+1).

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Solução do problema linear• Matriz de coeficientes de influência:

• Note que é único, pois assumimos a circulação constante (intensidade de vórtice) no entorno do corpo modelado.

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Resultados desejados• Com o vetor de velocidade tangencias obtidos de:

• Pode-se obter os coeficientes de pressão e por sua vez os esforços distribuídos sobre o corpo:

• Assumindo que a coeficiente de pressão é constante sobre cada painel.

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XFOIL• Diferente do Hess-Schmidt:

• Convencional:

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PABLO• Código disponível para download:

• PABLO: Potential flow around Airfoils with Boundary Layer coupled One-way

http://www.nada.kth.se/~chris/pablo/pablo.html

• Também calcula a camada limite e arrasto de fricção.