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Método das Características

Métodos numéricos para resolução de Equações Diferenciais

AED-27 – Aerodinâmica Supersônica

Vitor Kleine

Renato Medeiros

Paulo Soviero

Valeria Leite

Métodos numéricos

Métodos numéricos para resolução de EDP/EDO, assunto também conhecido como: Dinâmica dos Fluidos Computacional; ou CFD (Computational Fluid Dynamics)

Equações diferenciais são resolvidas: numericamente dentro de um domínio respeitando as condições de contorno

AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

IntroduçãoIntrodução

Métodos numéricos

Alguns dos métodos que foram vistos até agora também podem ser considerados “métodos numéricos para resolução de equações diferenciais”, mas: Equações bem simplificadas Escoamento e geometria bem específicos

Passaremos agora a métodos mais gerais: Aplicáveis a equações diferenciais mais completas Aplicáveis a diversas geometria


IntroduçãoIntrodução



Equações deNavier-Stokes

Equaçõesde Euler

Eq. do PotencialCompleto

Eq. do PotencialLinearizado

Teoria de CorposEsbeltos

- Irrotacional- Isentrópico

- Peq. Perturbações

ContextoContexto

- Não Viscoso- Sem Transf. Calor

- pequeno- rmax<<x

Características

- Gás ideal

CaracterísticasAED-27


Aplicável a equações hiperbólicas Qual destes representa escoamento supersônico?


Classificação de EDPsClassificação de EDPs

Hiperbólicas Parabólicas Elípticas


Considere a EDP de 2ª ordem:


Classificação de EDPsClassificação de EDPs

Hiperbólica

Parabólica

Elíptica

0 FEDCBA xxyyxyxx

02 CAB

02 CAB

02 CAB

0)1( 2 yyxxM

0)1( 2 yyxxM

Eq. Potencial Completo?


Calculando a derivada em um ponto


FilosofiaFilosofia


Na linha característica: Derivada é indeterminada (Pode ser descontínua)

Caso 2D: Ao longo de uma característica: EDP se torna EDO


FilosofiaFilosofia


Eq. Potencial Completo 2D:

Segundo a matemática (para direções dx e dy):


Encontrando as característicasEncontrando as características


Resolvendo o sistema:

Encontra-se:




Resolvendo o sistema:



0!

Indeterminado Escolha da direção


Denominador = 0:



M2 - 1

Em que caso há características reais?




Após alguma álgebra...


Numerador = 0:


Equação de compatibilidadeEquação de compatibilidade

Ao longo das Características



Equação de compatibilidadeEquação de compatibilidade

Escoamento de Prandtl-Meyer

KconstM )(

KconstM )(Ao longo da Característica C_

Ao longo da Característica C+


Corpos delgados:


Avanço no espaçoAvanço no espaço

Corpos rombudos:



Avanço no espaçoAvanço no espaço



Projeto de bocaisProjeto de bocais

Video: http://www.youtube.com/watch?v=4fwiKjwDQMg



Projeto de bocaisProjeto de bocais

Bocal de mínimo comprimento


Mais detalhadamente em: Anderson, J. D. “Modern compressible flow with

historical perspective”. 2003.


ReferênciasReferências

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