medidas de posiÇÃo parte i - mÉdias professor: waldemar santa cruz oliveira jr universidade...

MEDIDAS DE POSIÇÃOParte I - MÉDIAS

Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE

Curso: TURISMO

Disciplina: ESTATÍSTICA BÁSICA ET-229

MEDIDAS DE POSIÇÃO: são medidas cujo objetivo é estimar em torno de quais valores da amostra se concentram os dados.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

MEDIDAS DE POSIÇÃO

SEPARATRIZES

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Estima se os dados estão agrupados em valores centrais.

MÉDIAMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTAL MODA

MEDIANA

Dentre elas destacamos três

1- Aritmética: é a mais utilizada.

2- Geométrica: utilizamos quando os dados estão em progressão geométrica. Por exemplo, no cálculo da média de juros compostos.

3- Harmônica: muito usada quando os dados são inversamente proporcionais. Por exemplo, no cálculo de velocidade média.

AS PRINCIPAIS MÉDIAS SÃO:

5420

421035

X

1- MÉDIA ARITMÉTICA Para dados não agrupados

nxxxX n

...21

EXEMPLO: Calcule a média aritmética dos números 5, 3, 10 e 2.

1- MÉDIA ARITMÉTICA Para dados agrupados: quando temos muitos valores repetidos é comum agrupar os dados em uma distribuição de frequência. Assim, resumimos a fórmula da média para

n

fxX

k

iii

1

onde k é o número de classes.

EXEMPLO: Calcule a média dos dados abaixo.

X f4 15 56 67 58 3

Total 20

2,620

12420

3*85*76*65*51*4

5

1

X

n

fxX i

ii

O preenchimento da tabela abaixo ajuda muito

X f4 15 56 67 58 3

Total 20

O preenchimento da tabela abaixo ajuda muito

X f X*f X*f4 1 4*1 45 5 5*5 256 6 6*6 367 5 7*5 358 3 8*3 24

Total 20 124

2,620

124X

Os dados podem estar agrupados em classes.

Por exemplo, calcule a média dos dados abaixo.

Classes fi

2 |------ 4 3 4 |------ 6 5 6 |------ 8 10 8 |------ 10 510 |------ 12 3

Toatal 26

Os dados podem estar agrupados em classes.

Por exemplo, calcule a média dos dados abaixo.

Classes fi xi xifi

2 |------ 4 3 3 9 4 |------ 6 5 5 25 6 |------ 8 10 7 70 8 |------ 10 5 9 4510 |------ 12 3 11 33

Toatal 26 182

726

182X

Portanto a média é

Propriedades da Média Aritmética

1) A soma dos desvios tomados em relação a média aritmética é nula.

xi fi

1 23 45 47 2

Total 12

Propriedades da Média Aritmética

1) A soma dos desvios tomados em relação a média aritmética é nula.

xi fi xifi (xi- )fi

(xi- )fi

1 2 2 (1-4)*2 -63 4 12 (3-4)*4 -45 4 20 (5-4)*4 47 2 14 (7-4)*2 6

Total 12 48 Total 0

X X

2) Se somarmos uma constante K aos dados a média fica somada desta constante.

Exemplo: Seja o conjunto X={4,6,8,10}, então,

Y=X+5={9,11,13,15}

KXY

Se somarmos o valor 5 ao conjunto X teremos,

7428

410864

X

12448

41513119

Y 575 XY

3) Se multiplicarmos os dados por uma constante a, então, a média fica multiplicada por a.

XaY

Exemplo: Seja o conjunto X={4,6,8,10}. Vimos que a média é 7. Multiplique X por 3. Y={12,18,24,30}. Portanto,

XY

Y

37*3

214

844

30241812

4) Se um conjunto formado por n1 elementos tem média Ȳ1 , um segundo formado por n2 elementos tem média Ȳ2 e sucessivamente o m-ésimo conjunto formado por nm elementos tem média Ȳm, então, a média do conjunto formado por todos os elementos é

m

mm

nnnYnYnYnX

......

21

2211

Exemplo: Y1={2,4,9} e Y2={1,5,6,8,10}.

Assim, n1 = 3, Ȳ1 = 5, n2 = 5 e Ȳ2 = 6.

Então, X={2,4,9,1,5,6,8,10} tem média

845

8108651942

X

Usando a fórmula temos,

845

536*55*3

21

2211

nnYnYnX

2 MÉDIA GEOMÉTRICAPara dados não agrupados

n

n

iig xX

1

Exemplo: X={4,6,9}

62169*6*4 33 gX

Para dados agrupados em uma distribuição de frequência

n

k

i

figixX

1

Exemplo xi fi

1 52 44 2

16 1Tota

l12

Para dados agrupados em uma distribuição de frequência

n

k

i

figixX

1

Exemplo xi fi

1 5 15 12 4 24 164 2 42 16

16 1 16 16Tota

l12 163

2

216 12 3412 3

g

g

X

X

ifixif

ix

Exemplo: Uma aplicação na Bolsa de Valores perdeu 20% no primeiro mês e ganhou 80% no segundo mês. Qual a taxa média mensal desta aplicação?

Inicial Perdeu 20% Ficou com Ganhou 80% Final

100 100*0,8 80 80*1,8 1,44

2,144,18,1*8,0 gX

Inicial ganhou 20% Ficou com Ganhou 20% Final

100 100*1,2 120 1,2*1,2 1,44

Taxa média da aplicação é 20%, pois

3 MÉDIA HARMÔNICAPara dados não agrupados

n

i i

h

x

nX

1

1

Exemplo X={2,4,5}

3 MÉDIA HARMÔNICAPara dados não agrupados

n

i i

h

x

nX

1

1

Exemplo X={2,4,5}

1960

204510

3

51

41

21

3

hX

Para dados agrupados em uma distribuição de frequência

k

i i

ih

xfnX

1Exemploxi fi

2 45 88 2

Total 14

Para dados agrupados em uma distribuição de frequência

k

i i

ih

xfnX

1Exemploxi fi

2 45 88 2

Total 14

6363,3154560

10648040*14

405*28*820*4

1482

58

24

14

1

h

h

k

i i

ih

X

X

xfnX

Exemplo: Um caminhão carregado vai da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 50 km/h e retorna vazio a uma velocidade média de 90 km/h. Qual a velocidade média do percurso todo (ida/volta)?

Exemplo: Um caminhão carregado vai da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 50 km/h e retorna vazio a uma velocidade média de 90 km/h. Qual a velocidade média do percurso todo (ida/volta)?

km/h14900

45059

2

901

501

21

1

h

n

i i

h

X

x

nX