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MATEMÁTICA

Editora Exato 4

LOGARITMOS

1. DEFINIÇÃO

Dados a, b *+ ∈ R e a 1≠ .

xalog b x a b= ↔ =

2. ELEMENTOS

log ba

= x

logaritmandoLogaritmo

base

O logaritmo representa o expoente da base pa-ra gerar o logaritmando. Exemplo

E.1) x x 32log 8 x 2 8 2 2 x 3= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

E.2) 3

x x 22

3log 2 2 x 2 2 2 2 2 x

2= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

2.2. Conseqüências da Definição Dados x, b, a 0> e a 1≠ . � alog 1 0= , pois a0=1. � alog a 1= , pois a1=a.

� malog a m= , pois am=am.

� alog ba b= . � a alog x log b x b= ⇒ =

2.3. Representações Especiais � O logaritmo na base 10 é escrito sem a ba-

se, isto é, 10log b log b= . � O logaritmo na base e (número periano) é

escrito como elnb log b=

2.4. Propriedades Operatórias Satisfeitas as condições de existência, temos: P1) logb (ac) = alogb + clogb ;

P2) logb

c

a = alogb − clogb ;

P3) logbam = m . alogb ;

P4) alogm

1alog bmb

⋅= .

2.5. Mudança de Base O alog b pode ser escrito em qualquer base

( )x x 0 e x 1> ≠ como a divisão de xlog b e xlog a , ou se-

ja, xa

x

log blog b

log b= (com a 0> e a 1≠ ).

Exemplo:

E.1) 23

2

log 5log 5

log 3=

E.2) Calcule o valor de 3log 2 , sabendo que

10log 2 0,301= e 10log 3 0,477= .

Resolução: Mudando o logaritmo para a base 10, temos:

3

log 2 0,301log 2

log 3 0,477= =

2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo Define-se como antilog de x na base a como o

logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja, a alog b x antilog x b= ⇔ = .

Define-se como cologaritmo de b na base a como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja,

a acolog b log b= − .

Exemplo: E.1) 2 2b antilog 3 log b 3 b 8= ⇔ = ⇒ = . E.2) Determine o 2 2colog 16 log 16 4= − = − .

2.7. Equações Logarítmicas Para resolver as equações logarítmicas da

mesma base, usamos o fato de a função logarítmica ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais, então os elementos correspondentes do domínio são iguais (supondo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos). Em símbolos, temos:

( )c 1 c 2 1 2 1 2log x log x x x x , x ,c e c 1+ +

= ⇔ = ∈ ∈ ≠R R .

Exemplo: E.1) Calcule o valor de x na equação

( ) ( )log x 3 log 2x 5− = −

Resolução: Usando a propriedade na equação.

( ) ( )log x 3 log 2x 5 x 3 2x 5 x 2− = − ⇒ − = − ⇒ = ,

como x 2= não satisfaz à condição de existência, pois o logaritmando se torna negativo, então o con-junto solução é vazio.

3. LOGARITMOS DECIMAIS

Denomina-se de logaritmo decimal ou de Brigss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos podem ser escritos como abaixo.

log b= c + 0, m

Representa a mantissa (partefracionária do logaritmo).

Representa a característica (parteinteira do logaritmo).

3.1. Cálculo da Característica Considere o logaritmo logb, em que b está es-

crito na forma decimal.

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� Se b 1> , então a característica de log b é encontrada subtraindo uma unidade do nú-mero de algarismos que b apresenta em sua parte inteira.

Exemplo: E.1) {

4alg

log3478,701 4 1 3⇒ − =

E.2) {1 alg

log 2 ,347 c 1 1 0⇒ = − = .

� Se b 1< , então a característica de log b é i-gual ao oposto do números de zeros que b apresenta antes do primeiro algarismo não nulo.

Exemplo: E.1) {

2 zeros

log 0,0 31 c 2⇒ = − .

E.2) 4 zeros

log0,000345 c 4⇒ = −123

3.2. Cálculo da Mantissa É obtida em tabela conhecida como tábua de

logaritmos. Propriedade: se as representações decimais de

dois números positivos diferem apenas na posição da vírgula, então os logaritmos possuem a mesma man-tissa. Exemplo:

E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297 E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297 E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Resolva: 625

log 5 Resolução:

625log 5 (lê-se log de 5 na base 625)x= Fatorar:

625125

2551

5555

54

( )1

4 2

625 5

15 5 4

2

1

8

x

x

x

x

=

/ /= → =

=

2 A soma 2 2

log 8 log 16+ . Resolução:

2log 8

2 8

2 2

3

x

x

x

x

=

=

=

=

2

4

log 16

2 16

2 2

4

x

x

x

x

=

=

=

=

3 + 4 = 7

3 Qual o valor da expressão 5 3

log 25 log 81+ ? Resolução:

5

2

log 25

5 25

5 5

2

x

x

x

x

=

=

=

=

3

4

log 81

3 81

3 3

4

x

x

x

x

=

=

=

=

2 + 4 = 6

EXERCÍCIOS

1 (PUC) Se 2 2

log 512 x= , então x vale:

a) 6 b) 3/2 c) 9 d) 3 e) 2/3

2 (FESP) A expressão 2 4

log 16 log 32− é igual a: a) ½ b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 2/3

3 (CESCEM) O valor da expressão

1 0,1

2

log 32 log0,001 log 10 10+ − é:

a) –13 b) 2 c) –13/2 d) 13/2 e) –19/2

4 A solução da equação ( )8 8log x log 3x 2 1+ − = é i-

gual a: a) –4/3 b) 1/2 c) –2 d) 2 e) 4/3

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5 Se 2

log x a= , então 8

log x é igual a: a) a/3. b) a/4 c) 2a. d) 3a. e) 4a.

6 O produto 9 2 5

log 2 log 5 log 3⋅ ⋅ é igual a: a) 0. b) 1. c) 1/5. d) 1/3. e) 1/2.

7 O valor da expressão 3 25

log 5 log 27⋅ é: a) 2/3. b) 3/2. c) 2. d) 3. e) 1/3.

8 (MACK) O valor de ( )3 42log log 2 log 3⋅ é:

a) 2. b) 1/2. c) –1/2. d) –2. e) 3/2.

9 (FUVEST) Se 2 2

log b log a 5− = , o quociente b

a

vale: a) 10. b) 25. c) 32. d) 64. e) 128.

10 (UFMT) Sendo 4

xlog 25

3= , podemos afirmar que

2log 5 é igual a:

a) x

3

b) 2x

3

c) 2x

9

d) 3x

3

e) 2

3x

9

11 (FEI-SP) Se log2 a= e log3 b= , escrevendo 32

log27

em função de a e b, obtemos:

a) 2a+b b) 2a-b c) 2ab

d) 2a

b

e) 5a-3b

12 (FATEC) A solução da equação 7 5

log 10 log 7 logx 4⋅ ⋅ = é: a) 625. b) 2401. c) 10000. d) 710. e) 57.

13 A característica de log2 é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1 . e) 2 .

14 (PUC) O logaritmo negativo 10

log a 3,415= − po-derá ser escrito: a) 3.415. b) 4,415 . c) 3,415 . d) 4,585 . e) Nenhuma.

15 (GAMA FILHO) Dado log3 0,47712= , calcule log81 log2,43+ a) 2,29408. b) 1.01476. c) 2,01002. d) 3,65432. e) 2,41784.

16 (CESCEM) As características, no sistema deci-mal, de log7, log 0,032, log105 e log0,00010, são, respectivamente: a) 1, -1, 6, -3. b) 1, -1, 5, -3. c) 0, -1, 5, -4. d) 0, -2, 5, -4. e) 7, 0, 5, 0.

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17 Supondo-se para log 2 o valor aproximado 0,301, acha-se para log 12,5 o valor: a) 0,602. b) 0,398. c) 0,903. d) 0,097. e) 1,097.

GABARITO

1 A

2 B

3 C

4 D

5 A

6 E

7 B

8 D

9 C

10 A

11 E

12 A

13 C

14 D

15 A

16 D

17 E