INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2015 NOTA

AULA PRÁTICA No. 06 – FUNÇÕES (PARÁBOLAS)

PROF. ANGELO BATTISTINI

NOME RA TURMA NOTA

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Objetivos: Nesta aula estudamos um tipo específico de função matemática, a parábola.

Conhecimentos desenvolvidos: Construção e posicionamento de parábolas, análise dos seus coeficientes (“a”, “b" e “c").

Habilidades necessárias: Construção e interpretação de gráficos.

Atitudes esperadas: Com esta aula espera-se que o aluno consiga posicionar e ajustar a localização de uma parábola.

INTRODUÇÃO: Na Engenharia, muitos fenômenos são descritos matematicamente para que seu comportamento possa ser estudado. Também as formas ou os perfis de objetos podem ser descritos por funções matemáticas, no sentido de melhorar a sua performance. Esse campo é chamado de modelagem matemática, no qual uma função matemática é utilizada para relacionar grandezas e seus efeitos. Para que se possa modelar um fenômeno, é necessário que ele seja estudado para, em seguida, elaborar a equação característica do fenômeno. O Cálculo nos oferece diversas técnicas de elaboração de funções que descrevam um fenômeno qualquer, como por exemplo o polinômio de Taylor, funções lógicas, séries numéricas, entre outros. Hoje em dia, o cálculo e a modelagem de fenômenos são feitos com auxílio de computadores, de modo que a tarefa do engenheiro fica muito facilitada. Mas mesmo assim, é importante que o engenheiro conheça as técnicas de modelagem matemática porque o computador não cria o modelo, apenas executa os cálculos de acordo com o modelo proposto. As funções matemáticas utilizadas são as mais variadas: exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, polinomiais… Nesta aula vamos estudar um tipo específico de função: as polinomiais de grau 2, ou seja, as parábolas. Parábola (do grego: παραβολή) pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). É uma curva plana.

Figura 1: foco e diretriz de uma parábola

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As parábolas podem ser descritas de diversas maneiras, a mais comum é na forma cartesiana:

f(x) = a.x2 + b.x + c As parábolas podem descrever vários movimentos e curvas, como a trajetória de um objeto lançado obliquamente, o salto de um atleta, o movimento de uma bola de futebol. Também refletores de antenas (chamadas de antenas parabólicas) e de faróis de iluminação têm um perfil parabólico, ou seja, que podem ser descritos por uma parábola. No caso dos faróis de carro as lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta. Nas antenas parabólicas, o refletor tem a forma parabólica e a antena está localizada no foco da parábola, permitindo que as ondas eletromagnéticas se concentrem nesse ponto aumentando a performance da antena.

Figura 2: no salto de um atleta, seu centro de gravidade descreve um movimento parabólico

ATIVIDADE PRÁTICA: 1. Nas folha no final deste roteiro há vários gráficos. Neles você representará várias parábolas. No primeiro gráfico (Gráfico 1), vamos ver o que acontece quando variamos o termo “a” da equação. Utilizando a equação y = f(x) = a.x2 + b.x + c, fazemos “b" e “c” nulos (b = c = 0), e teremos somente: y = f(x) = a.x2. a) Na tabela 1 a seguir, calcule f(x) para “a” = 1.

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Tabela 1

b) Em seguida, na tabela 2, repita os cálculos para “a" = 2:

!Tabela 2

c) Da mesma forma, na tabela 3, fazemos cálculos para “a" = 3:

Tabela 3

Utilizando o gráfico 1 (no final da apostila), construa os gráficos das funções calculadas.

(Existe uma parábola diferente para cada valor de “a”, desenhe todas as parábolas das tabelas 1, 2 e 3 no GRÁFICO 1)

Tendo feito os gráficos, analise de que forma o termo “a" interfere na parábola.

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2. Neste item, mantendo o valor de “a" constante e igual a 1 (e mantendo c = 0), variamos o valor de “b” para ver como ele afeta a parábola.

Antes disso, vamos ver um novo conceito:

O vértice de uma parábola é o seu ponto de mínimo (se a abertura da parábola for “para cima”, no caso de a > 0, ou ponto de máximo, se a abertura da parábola for “para baixo”, o que ocorre quando a < 0). O valor da abcissa na qual se localiza o vértice (xv) é calculado por : 1

Tendo a abcissa do vértice, utilizando a própria função f(x) podemos determinar a ordenada e, consequentemente, o ponto onde se situa o vértice da parábola.

a) EXEMPLO: Consideramos a função y = f(x) = 1.x2 + 1.x (ou seja, a = 1; b = 1; e c = 0).

Inicialmente, calculamos a abcissa do vértice da parábola:

A partir da abcissa, calculamos também a ordenada:

Isso significa que o vértice da parábola se situa no ponto: V = (-0,5; -0,25)

Em seguida, preenchemos a tabela 4:

Tabela 4

b) Vamos repetir o procedimento para b = 2.

y = f(x) = 1 .x2 + 2.x (ou seja, a = 1; b = 2; e c = 0).

Você verá como se chega a essa fórmula nas aulas de Cálculo, quando for estudar Derivadas1

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Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola:

Em seguida, calcule alguns valores na tabela 5 que irão permitir a construção da parábola:

Tabela 5

c) Vamos repetir o procedimento para b = - 2.

y = f(x) = 1 .x2 - 2.x (ou seja, a = 1; b = - 2; e c = 0).

Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola:

Em seguida, calcule alguns valores na tabela 6 para depois podermos construir a parábola:

Tabela 6

Neste item, mantivemos constantes “a" e “c" e variamos “b" para ver como as parábolas mudam quando mudamos o valor de “b”. Para visualizar melhor, vamos utilizar o GRÁFICO 2, no final do roteiro, e esboçar essas três parábolas que acabamos de calcular.

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xv = _____________ yv = ______________

xv = _____________ yv = ______________

Depois de fazer os gráficos, responda como o termo “b" interfere na parábola.

3. Falta agora estudar como “c" afeta a parábola. Para isso, vamos repetir o procedimento, mantendo “a” e “b" fixos e variar “c”. Vamos fixar “b” fazendo b = 0 (isso significa que a abcissa do vértice da parábola (xv) será nula, ou seja, o vértice da parábola estará sobre o eixo “y”). Vamos manter a = 1.

a) Para começar esta parte, fazemos c = 1 (teremos: a = 1; b = 0; e c = 1). A função será: y = f(x) = 1.x2 + 0.x + 1.

Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola:

!

Em seguida, calcule alguns valores na tabela 7 para depois podermos construir a parábola:

Tabela 7

!

b) Agora fazemos c = 2 (sem modificar “a" e “b" em relação ao item anterior).

Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola:

!

Em seguida, calcule alguns valores na tabela 8 visando a construção da parábola:

xv = _____________ yv = ______________

xv = _____________ yv = ______________

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Tabela 8

c) E agora, repetimos os procedimentos para c = -2:

Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola:

!

E preenchemos a tabela 9:

Tabela 9

E para finalizar esta parte, desenhe as três últimas parábolas no GRÁFICO 3 e analise como “c" movimenta a parábola.

xv = _____________ yv = ______________

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. Utilizando somente parábolas, construa uma figura (por exemplo: uma camiseta, um “rosto”, ou qualquer outra imagem que você conseguir criar – veja exemplos no final). Escreva as equações das parábolas (DEVEM SER USADAS NO MÍNIMO OITO PARÁBOLAS, COM AS RESPECTIVAS EQUAÇÕES). Use o gráfico 4 no final da apostila.

2. Utilizando a fórmula de Báscara, calcule as raízes das nove parábolas trabalhadas na aula, indicando os resultados na Tabela 10. Localize as raízes nos gráficos:

Tabela 10

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Um jogador de futebol chuta uma bola situada na origem (0,0). A bola atinge 5 m de altura e bate no solo a 30 m do ponto de onde ele chutou. Sabendo que a bola descreveu uma trajetória que pode ser representada por uma parábola, desenhe a parábola e escreva sua equação.

2. O Capitão América usa seu escudo para atingir seu inimigo que estava escondido. Para isso, arremessa o escudo em uma trajetória parabólica, sendo que, onde o Capitão América lança seu escudo é descrito nos eixos das coordenadas (x, y) como

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(0,0) e o local onde o vilão é atingido é descrito como (20,0). Escreva uma equação que descreve a trajetória do escudo até atingir o alvo.

3. A tabela 11 (próxima página) mostra os valores obtidos em uma medição de um equipamento eletrônico. A partir dos valores, obtenha o gráfico da medição e escreva a equação que descreve o fenômeno.

4. PARÁBOLA NO PAPEL: para obter o desenho de uma parábola numa folha de papel: utilize metade de uma folha A4. Numa das faces marque pontos, na margem inferior, distanciados 1 cm entre si. Vire o papel do outro lado e marque um ponto A, 3 cm acima do centro da margem inferior do papel. Em seguida, dobre o papel de modo que o 1º ponto que marcou coincida com o ponto A. Vinque bem. Abra o papel e dobre-o outra vez, repetindo a operação para todos os pontos (veja na figura 3 na próxima página).

Tabela 11

5. Numa prova olímpica de lançamento de peso, um atleta lançou seu peso aplicando uma força F que forma um ângulo de 45o em relação ao solo. O peso tem uma massa de 7.260 g. Considerando que o ponto de lançamento do peso é a origem dos eixos cartesianos (0,0), a velocidade inicial de lançamento é dada pelo vetor v2 = (4.i + 4.j ) (em m/s) e que a aceleração da gravidade é de 10 m/s2, escreva a equação da trajetória do peso. Determine a altura máxima atingida pelo peso (desprezar atrito com o ar)

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Figura 3: construindo a parábola no papel

6. Escreva as equações das parábolas dadas abaixo a)

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b)

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c)

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EXEMPLOS DE FIGURAS FEITAS COM PARÁBOLAS !

Aplicativos gratuitos para celulares para confecção de gráficos

Android: Grapher, Mathematics

Apple: Quick Graph, Graph FX, Good Grapher

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• Holtzapple, M. T. e Reece, W. D.; "INTRODUÇÃO À ENGENHARIA”; LTC Editora, 2006. ISBN: 9788521615118.

• Maia, Diana; "FUNÇÃO QUADRÁTICA: UMA ABORDAGEM DIDÁTICA"; Dissertação de mestrado; PUC-SP, 2007

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GRÁFICO 1

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GRÁFICO 2

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GRÁFICO 3

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GRÁFICO 4

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