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Professor Alvaro Vannucci
Licenciatura
Eletromagnetismo
19a aula
Na última aula vimos...
• Incidência Normal – Interface entre 2 meios dielétricos
(do meio 1 p/ o meio 2)
2 1
2 1
1
2 1
2
r i
t i
n nE E
n n
nE E
n n
12
2 1
a fase inverte
inverte a fase
n n
n n
E
B
212
1
1 2
r
i
n n
n
E
nr
E
1
12
1 2
2t
i
tn
nE n
E
e
(índices indicam passagem do meio 1 para o meio 2)
• Coeficientes de Fresnel (incidência normal)
z
y
x
rK
rHrE
iK
iE
iH
tH
tE
tK
1n 2n
de forma
que, se
• Em termos da intensidade da radiação: I S
2
12
2212
1
N
N
R r
nT t
n
( Incidência Normal )
r
Ni
t
Ni
SR
S
ST
S
a Refletância e a Transmitância, são dadas por:
Incidência oblíqua:
1º) ao plano de incidência da onda EM
• Temos que resolver dois casos diferentes:
E 2º) ao plano de
incidência da onda EME
tr
i
Meio 2Meio 1
r
rKrH
rE
iH
i
iEiK
tHtK
tE
x
y
z
tr
i
x
zy
r
rKrH
rE
iiE
iH
iK tH
tKtE
Meio 2Meio 1
1 2
1 2
t t
t t
H H
E E
• Isto porque qualquer onda, com qualquer polarização, terá as
componentes dos campos em uma dessas duas situações.
(não há correntes reais)
• Para resolver o problema, vamos aplicar as condições de
continuidade dos campos:
• Para isto, vamos considerar as ondas propagando-se no plano
xz (e tomando as componentes dos campos na direção do eixo x),
de forma que:
0
0
0
cos
cos
cos
i i i
r r r
t t t
E E K r t
E E K r t
E E K r t
• Agora, escolhendo a interface entre os 2 planos em z = 0:
= 0 pois onda propaga-se apenas
no plano xz
xK r K x
x y zK r K x K y K z
• Portanto:
= 0 pois z=0 na interface
• Aplicando a condição de continuidade: (na interface)
0 co i(s )s ncos ii iii K txE
1 2t tE E
0 cos sincos( )t t t t tK xE t
(que vale para as 3 ondas, na interface. Quanto à
onda refletida, o sentido de propagação é -x, mas
também é no sentido de -x !)K
iH
i
iEiKi(no 1o caso, , por exemplo):E
x
z x
z
r
rKrH
rE
0 cos sincos( )r r r r rK xE t
0 cos iE E K r t
• Deve valer para qualquer x e qualquer t a dependência
funcional em relação a x e t, de cada parcela, deve ser a mesma!
• Ou seja:
cos( sin ) cos( sin ) cos( sin )i i i r r r t t tK x t K x t K x t
i r t
• Como deve valer para qq. ponto da interface pegando x = 0:
• E como deve valer para qq. t escolho t = 0 (do cronômetro)
• Como esta igualdade:
0 0cos ( sin ) cos cos( sin )cosi i i i i r r r r rE K x t E K x t
0 cos cos( sin )t t t t tE K x t
sin sin sini i r r t tK x K x K x
• Assim:
nK
c
• Agora, como
quando n for o mesmo, K também é o mesmo!
i rK K sin sini r i r da 1a igualdade:
”Lei da Reflexão”
(já conhecida da ótica geométrica)
1 2sin sini t
n n
c c
1 2sin sini tn n
(também já conhecida da ótica geométrica)
• Da 2a igualdade:
“Lei de Snell”
sin sin sini i r r t tK x K x K x
2
1
sin
sin
i
t
n
n
2
1
sin i
n
n
• Agora, veja que interessante; deste último resultado:
quando 1sin t
2t
Onda sai “rasante”; e não tem muito sentido
falar em “radiação refratada” neste caso
/ 2t crítico 2
1
arcsini
n
n • Agora, se
Há reflexão total!crítico
i i
2
1
sin i
n
n
• Ou seja, se
1 2 !n n• Note também que isto só ocorre quando ; ou
seja, n2 não pode ser maior que n1
2
1
sin
sin
i
t
n
n
1 2
1 2
t t
t t
E E
H H
• Retornando agora aos casos de incidência oblíqua, do
início da aula, e lembrando que as relações de continuidade:
valem para qualquer valor x e t
• Desta forma, podemos trabalhar apenas com as amplitudes
dos campos de forma a obter os Coeficientes de Fresnel.
(meios
dielétricos)
( posso fazer x = 0 e t = 0)
0 2 1
2 10
/1 /2
//
cos cos
cos cos
r
i
i t
i t
n n
n n
Er
E
1
1 2
012
0
//
//
2 cos
cos cos
i
t
t
i i
nE
E n nt
0o
i r
1 2
1
012
0 2
cos cos
cos cos
ir
ii
t
t
n n
n
Er
E n
1
1 2
012
0
2 cos
cos cos
i
i t
t
i
Et
n
nE n
(note que, para caímos na Incidência Normal)
• Vamos exemplificar um destes casos (o 1o deles):
• Assim fazendo:
• Quanto a outra
componente:
1 0 1 0 2 0i r tn E n E n E
0 0 1 0 1 0
2
1cos cos cosi i r r i r tE E n E n E
n
(n=c/v)
00
nEB
c
2 0 1 0 1 0 2 0cos cos cos cosi i i t r t r rn E n E n E n E
2 1 10 02cos cos cos cosi ri t t rn n n nE E
02 0 01 it r tt H HH HH
1 2 0 0 0cos cos cosi i r r t tt t E EE E E
0 0 0i r tB B B
1 2 0( ~ ~ )
0 0 0
cE vB B
n
0 1 0 1 0
2
1t i rE n E n E
n
• Então:
i
2
12
cos
cos r r r
i i i
RS I
S Ir
• De modo que a Refletância e a Transmitância serão:
• Vamos agora tratar da Potência da radiação Incidente,
Refletida e Transmitida.
• Nos cálculos, só nos interessará as Componentes Perpendi-
culares do Vetor de Poynting com respeito à interface.
( )2
0S E *2
0
1
2
1
2;
nS E H E
c
22
0
21
0
12
12
coscos
cos cosi
ot tt t
ioi i
nE
cS
nS Ec
T
12t
2
2
1
cos
cos
t ot
i oi
n E
n E
2
22
1
cos
cos
t
i
R r
nT t
n
2
22//
1
////
//
cos
cos
;t
i
R r
nT t
n
// // 1R T
• Ou seja:
R T 1 2 i , , tn n e • De forma que os Coeficientes de Fresnel permitem que se
obtenha e , a partir de , que são facilmente
obtidos
• Pode-se verificar facilmente (faça em casa!) que nestes casos
o Princípio de Conservação de Energia também é satisfeito:
i r
1R T
12
12
//
//
2
( )
cos sin
sin cos( )
i t
i t
i t
i t i t
tgr
tg
t
12
12
2
sin
sin
cos sin
sin
t i
t i
i t
i t
r
t
12 //t
1
2
2cos
sin cos
sin
cos sin cos cos sin sin
i
i t i t
i
t i i t
n
n
• As vezes, é útil escrever os Coeficientes de Fresnel da forma:
e
• Exemplo:
(usando a Lei de Snell)
2
1
2 2 2 2
2 cos
sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin sisin
n
i
i t i i t t i i
i
t t t i
n
n
2 2sin cos
colocando em evidência
parcelas do tipo:
1
212//
2 cos
sin cos sin cossin
i
i i t t
i
n
nt
1
2
2 cos
sincos cos
sin
i
ti t
i
n
n
1
2 112//
2 cos
cos cos
i
i t
n
n nt
n2/n1
• A partir destas relações alternativas dos Coeficientes de
Fresnel fica fácil também mostrar (verifique!) que:
12 21
2
12 12 21 1
r r
r t t
(vamos precisar disto em uma
aula futura)
• Agora, um outro resultado interessante envolve a situação na qual
não há onda refletida paralelamente ao plano da incidência, ou
seja, apenas a componente paralela à interface entre os dois meios
é que subsiste após a reflexão.
as duas componentes da onda E
iKE
.E
rK.
12//0r • Para isto acontecer devemos ter
2 1
12
2 1
//
cos cos
cos cos
i t
i t
n nr
n n
2 1cos cos 0i tn n
2 1cos cos 0i tn n
2
1
sin
sin
cos
cos
t
i
i
t
n
n
• Então: usando Snell:
2 2sin sini t i t
sin(2 ) sin(180 2 )t t
2i t
mas
180º-
• Então:
• Assim:
(meios indistinguíveis, nãohá interface!)
sin cos sin cosi i t t
1/ 2 1/ 2sin(2 ) sin(2 )ti
2 180 2i t
Econdição para que só haja componente de paralela à interface ( ao plano de incidência) na reflexão!
• Faço , e tiro o cosseno
dos dois lados:2i t
2cos cos( n) sii tt
“ Lei de Brewster ”
iSó depende de e dos índices refração.
• Forma mais interessante (útil) de expressar este resultado:
• Esta lei fornece a condição necessária para haver a Polarização
da onda EM por reflexão na interface entre dois meios dielétricos.
2
1i
ntg
n
1
2
sin(Snell) in
n
90o
• Para uma interação ar-vidro, por exemplo (n1 = 1, n2 = 1,5) um
gráfico de valores de R// e R┴ em função de i será:
Brewster /2
i
R
R//
R
1
(qdo i =/2 “tudo passa”)
i
• Fazendo as contas:1,5
56,31,0
B Barctg
• Nos dias ensolarados, parte dos raios solares refletidos (B) nas diversassuperfícies horizontais são polarizados paralelamente a estas as lentesdos óculos polaróides são posicionadas de forma a cortar esta componente(ou seja, o eixo de polarização das lentes é posicionado na direção vertical!).
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