lei de little

Lei de LittleLei de Little

Recursos limitadosRecursos limitados

Geração de filasGeração de filas

Tomada de decisõesTomada de decisões

Ferramentas simplesFerramentas simples

Otimização de recursosOtimização de recursos

Lei de Little Parâmetros de uma Fila

L: número médio de usuários no sistema LQ: número médio de usuários na fila

W: tempo médio que um usuário permanece no sistema

WQ: tempo médio que um usuário permanece na fila

Lei de Little

Idéia de custo:

Cada usuário que entra ao sistema paga uma

quantia de dinheiro, de acordo a certa regra. Identidade de custo: Velocidade média com que o sistema ganha dinheiro = taxa média

de chegada ao sistema multiplicada pela quantia paga por cada usuário.

Lei de Little

Definições:Vs: velocidade média com que o sistema ganha

dinheiro

a: taxa média de chegada de usuários ao sistema

: quantia paga por cada usuário

Identidade de custo em termos matemáticos:S aV

Lei de Little Demonstração intuitiva da identidade de custo:

T: período de observação

$(T): quantia média ganha pelo sistema em [0,T]

N(T): número de usuários que entra no sistema em [0,T]

Lei de Little

Tem-se que:

$(T) = Vs T (1)

$(T) = N(T). (2)

N(T) a.T (3)

De (1), (2) e (3), tem-se que:

Portanto: asV

TTV as

Lei de Little

Aplicações de identidade de custo: regra 1

Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no sistema.

[$/ut]

W[$/pessoa] Sistema

Lei de Little

Definição:

D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro

W: quantia paga por um usuário (já que ele está há W unidades de tempo no sistema)

Então, da igualdade de custo :

]/[$ utWD a

Lei de Little

Aplicações da identidade de custo:

outro enfoque

Ponto de vista do “caixa” à entrada do sistema, que observa que há L usuários no sistema.

L usuários

Sistema

Definição:

D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro [$/ut]

L: número médio de usuários no sistema

Cada usuário paga 1$ por unidade de tempo. Então:

Juntando ambos pontos de vista:

]/[$1. utLD

Aplicações da identidade de custo: regra 2

Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está na fila.

Definição:

Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro.

Wq: quantia paga por um usuário (já que está há W unidades de tempo na fila)

Então, valor que corresponde aos pagamentos feitos pelos usuários: ]/[$ utWD qaq

Lei de LittleLei de Little Aplicações da identidade de custo: outro

enfoque

Ponto de vista do “caixa” à entrada da fila, que observa que há N usuários na fila.

Definição:

Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro

Lq: número médio de usuários na fila

Resumo da regra:

]/[$1. utD Lqq

qaq WL

Aplicações da identidade de custo: regra 3

Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no servidor.

Definição:

E[s]: tempo médio em que cada usuário está no servidor

Ls: número médio de usuários em serviço

Então, da igualdade de custo:

Lei de Little

][sEL aS

Aplicações da identidade de custo: outro enfoque

Ponto de vista do “caixa” à entrada da zona de serviço, que observa que há N usuários em serviço.

Definição:

Ds: velocidade com que o serviço ganha dinheiro

Ls: número médio de usuários em serviço

Então, da igualdade de custo :

]/[$1. utLD ss

][sEL as

Aplicações da Lei de LittleAplicações da Lei de Little

Transmissão de pacotesTransmissão de pacotes

: taxa média de chegada de pacotes a uma rede de computadores

Nq: número médio de pacotes esperando na fila

: tempo médio de transmissãoX

Pacotes em espera

Pacotes emtransmissão

destinofonteLinha de transmissão

Pode ser modelado por:

Pergunta 1: qual é o tempo médio de

permanência de um pacote na fila?

Aplicando a Lei de Little:

Pergunta 2: qual é o número médio de pacotes na linha de transmissão?

Seja o número de pacotes na linha de transmissão. Pela Lei de Little:

Transmissão de pacotesTransmissão de pacotes

Rede de computadoresRede de computadores

1,2,…,n: taxa de chegada de pacotes aos n nós

N: número médio de pacotes dentro da rede

Linha de transmissão

Rede de computadores

Pergunta: qual é o atraso médio de um pacote?

Ao sistema chegam

pacotes por unidade de tempo. Aplicando a Lei de Little:

Além disso,

Ni: número médio de pacotes no nó i

Ti: atraso médio de pacotes no nó i

ni ......21

Rede de computadoresRede de computadores

i i iN T

Um concentrador de dados possui 40 terminais a ele conectados. Cada terminal gera pacotes com comprimento médio de 680 bits. 40 bits de informação de controle são agregados a cada pacote antes deste ser transmitido ao enlace de saída, que tem capacidade de 7200 b/s.20 dos terminais geram um pacote cada 10 seg. em média.

10 dos terminais geram um pacote cada 5 seg. em média.

10 dos terminais geram um pacote cada 2.5 s em média.

CONCENTRADOR

TERMINAL

Análise de outro concentradorAnálise de outro concentrador

20 terminais: um pacote a cada 10 s em média

10 terminais: um pacote a cada 5 s em média

10 terminais: um pacote a cada 2.5 s em média

Modelo: as estatísticas de entrada tem distribuição de Poisson.

seg/pacotes8251

seg1.07200

406801

4.2)1(2

seg4.0)1(2)(

TE seg2.0)( WE

4.2)( nE

Linha de transmissãoLinha de transmissão

K: período de chegada de um pacote à linha

K: tempo de transmissão do pacote ( < 1)

P: atraso de processamento e propagação do pacote

Partida dosegundopacote

K 2K 3K

Chegadado primeiro

pacote

Chegada dosegundopacote

Partida doprimeiropacote

K K+P 2K

Pergunta 1: qual é a taxa de chegada de

pacotes ao sistema?

Como os pacotes chegam com períodos iguais, sua taxa de chegada será:

Pergunta 2: qual é o número de pacotes no

sistema?

Cada pacote permanece dentro do sistema:

De acordo com a Lei de Little tem-se que:

Observação 1:

N(t) é determinístico e variável no tempo.

Observação 2:

A Lei de Little é correta, caso interprete-se N(t) como uma média no tempo, ou seja:

Sistema fechado com K servidoresSistema fechado com K servidores

Considere um sistema de uma fila com K servidores e com N ( K) usuários (seja na fila ou em serviço). O sistema está sempre cheio, isto é, o sistema começa com N usuários e quando um usuário sai do sistema é imediatamente substituído por um novo usuário.

Tempo meio de serviço = E[x].

Pergunta : T = ?

Calcular T em função do tempo médio de serviço E[x]

Aplicando a Lei de Little ao sistema:

Aplicando a Lei de Little ao servidor:

Eliminando das duas equações anteriores se chega a :

K E x [ ]

Sistema fechado com K servidoresSistema fechado com K servidores

Sistema fechadoSistema fechado

K: número de servidores no sistema

T: tempo médio de um usuário no sistema

N: número de usuário no sistema (N K)

: tempo médio de serviço por usuário

N-Kusuários

servidores

Hipóteses:

sistema começa com N usuários sistema fechado

Qual é o tempo médio que um usuário permanece no sistema?

Aplicando a Lei de Little no sistema:

(1)N T

Considerando-se que todos os servidores estão

sempre ocupados, aplicando a Lei de Little ao subsistema do servidor:

de (i) e (ii) tem-se que:

Controle de fluxo pela janelaControle de fluxo pela janela

N: largura da janela para cada sessão

: taxa de chegada de pacotes ao sistema

T: atraso médio de cada pacote

Transmissor Receptor

Hipóteses:

A sessão sempre tem pacotes para enviar. Os acks de resposta têm duração desprezível. Quando o pacote i chega a destino, o pacote i+N

é imediatamente introduzido na rede.

Análise pela Lei de Little:

Se T aumenta, então diminui Para máximo fixo um incremento no tamanho

da janela somente incrementa o atraso T

Controle de fluxo pela janelaControle de fluxo pela janela

Análise de um computador a Análise de um computador a tempo compartilhadotempo compartilhado

Arquitetura:

Computador

Parâmetros do sistemaParâmetros do sistema

N: número de terminais R: tempo médio de pensar em cada terminal P: tempo médio de processamento de cada

tarefa D: tempo médio desde que um trabalho é submetido

ao computador até que termine sua execução T = R+D: tempo médio de uma tarefa no sistema : throughput do sistema

Condição de sistema fechado:

N = constante no sistema

Condição máxima de utilização:

Sempre existe um usuário com uma tarefa quando outro acaba de ser atendido.

Problema: encontrar os valores máximos e mínimos de e T.

ModeloModeloTime sharing:

B1 / P

TERMINAL1

TERMINAL2

TERMINALN

Análide: devido à hipotese, sempre existem N terminais que estão processando. Aplicando a Lei de Little entre os pontos (A) e (B):

Atraso mínimo de um trabalho

Dmin = P Atraso máximo de um trabalho

Dmax = NP

Conclusão

P D NP

Portanto,

R + P T R + NP (1)

Aplicando a Lei de Little em (1)

Como o processamento de uma tarefa demora P, tem-se que:

Combinando (2) e (3), obtem-se:

Usando-se a Lei de Little, chega-se aos limites de tempo para o sistema

R NP p

min{ , }

max{ , }NP RP T R NP

Atraso máximo e mínimo do Atraso máximo e mínimo do sistemasistema

NÚMERO DE TERMINAIS N

zona de operação

Throughput máximo e mínimoThroughput máximo e mínimo

NÚMERO DE TERMINAIS

1 + R / P

Processos de nascimento e Processos de nascimento e mortemorte

Ek-1 EkEk+1

Processos de nascimento e Processos de nascimento e mortemorte

É o caso especial de uma cadeia de Markov na qual as únicas transições permitidas (ou possíveis) a partir de um estado Ek, são aos estados Ek-1 ou Ek+1, se estes estados existem.

DefiniçõesDefinições

Nascimento: transição ao estado adjacente superior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode chegar no máximo um usuário ao sistema).

Morte: transição ao estado adjacente inferior

(hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode sair no máximo um usuário do sistema).

DefiniçõesDefinições Razão de nascimento: número médio de nascimentos por

unidade de tempo. Esta razão é dependente do estado, isto é, para o estado k: kqk,k+1

Razão de morte: número médio de mortes por unidade de tempo quando o sistema está num determinado estado k: kqk,k-1

Como a EBG estabelece que qk,i = 0

Então: qk,k = - (k + k)

Deseja-se obter: P N( + ) = Ekt t

Solução dos PNMSolução dos PNM

Evolução temporal de um PNM no intervalo (t, t+t):

Hipótese: quando se está no estado E0, não é possível uma morte (0 = 0), mas é possível um nascimento (0 0) (exemplo: geração espontânea)

Logo, as possibilidades de estar no estado Ek no instante t + t, a partir do estado no instante t, são:

1 morte

Não mudou

1 nascimento

B1(k,t) = P[um nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek]

= k t + o(t)

D1(k,t) = P[uma morte em (t,t+t) | N(t)=E k]

= k t + o(t)

B0(k,t) = P[nenhum nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek]

= 1 - k t + o(t)

D0(k,t) = P[nenhuma morte em (t,t+t) | N(t)=E k]

= 1 - kt + o(t)

Sejam:

k(t) = P[N(t) = Ek]

pi,j(t,t+t) = P[N(t+t) = Ej | N(t) = Ei], para |i-j| < 1

pk,k(t,t+t) = B0(k,t) D0(k,t) + o(t)

pk-1,k(t,t+t) = B1(k,t) D0(k,t) + o(t)

pk+1,k(t,t+t) = B0(k,t) D1(k,t) + o(t)

Desenvolvendo:

pk,k(t,t+t) = 1 - (k + k)t + o(t)

pk-1,k(t,t+t) = k t + o(t)

pk+1,k(t,t+t) = k t + o(t)

Pelo teorema das probabilidades totais, tem-se que:

1 morte

Não muda

1 nascimento

k k k,k

k-1 k-1,k

k+1 k+1,k

o( ) , k 1

( ) ( ) ( , )

( ) ( , )

t t t p t t t

t p t t t

t p t t t t

0 0 0,0

1 1,0 o( , k 0

( ) ( ) ( , )

( ) ( , ) )

t t t p t t t

t p t t t t

Solução dos PNMSolução dos PNM Substituindo, agrupando e tomando ,

obtém-se:

Além disso,

1k ),()()()()(

1+k1+k 1-k1-k kk k k tttdt

0k ,)()()(

11 00 0 ttdt

0 ,1)(0

Logo,obtém-se o seguinte sistema:

dtt t t

k k k k-1 k-1 k+1 k+1

( ) , k 1 ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 1 1

( ) , k 0 ( ) ( )

k ( ) 1 k

Para uma cadeia de Markov qualquer:

Para um PNM, tem-se que:

Observa-se que esta equação coincide com a da transparência anterior.

( )( ) Q

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

Um processo de Poisson é um processo de nascimento puro, onde:

k k kk

As equações anteriores são reduzidas a:

Condição inicial:

( ) , k 1 ( ) ( )

( ) , k 0 ( )

0 ( )0 1

ExemploExemplo

Resolvendo, se tem que:

- = e( )t t

- = e( )t t t

( )e( )

Logo, por indução obtém-se:

Processo de Poisson

ExemploExemplo

Solução de um PNM em Solução de um PNM em equilíbrioequilíbrio

Em estado estacionário (t) é independente do tempo, logo (tvai ser representado somente por

A EBG se reduz a:

Além disso:

0k ,0 1100

Solução de um PNM em equilíbrio

1k ,)(0 1+k1+k 1-k1-kkk k

O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira:

Fluxo que sai = Fluxo que entra

Ek-1 EkEk+1

(k+k)k = Fluxo que entra

Ek-1 EkEk+1

(k+k)k = k-1k-1 + k+1k+1

Ek-1 EkEk+1

Reorganizando-se:

Por outro lado, definindo-se gk como:

1+k1+kkkkk1-k1-k

1+k1+kkkk g

Reconhecendo gk na EBG:

k-1 k-1 k k k k k+1 k+1

gk k k k+1 k+1

Reconhecendo gk na EBG :

k-1 k-1 k k k k k+1 k+1

gk-1 gk =

gk k k k+1 k+1

Reconhecendo gk na EBG :

k-1 k-1 k k k k k+1 k+1

gk é constante com respeito a k

gk-1 gk=

Além disso, num PNM:

Da EBG para o estado 0, se vê que g0 = 0. Juntando-se com a equacao que diz que gk+1 = gk, tem-se que:

gk = 0 k 0

E 0 E1

de onde

E 0 E1

de onde

E 0 E1

g-1 0 k k k+1 k+1

A equação anterior corresponde a uma equação de balanço local (EBL), isto é:

Equação de balanço local

Ek-1 EkEk+1

k+1 k+1

Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo:

E 0 E1

Equação de balanço localEquação de balanço local

E 0 E1

=32 23

Logo, segundo a EBL:

Ek-1 Ek Ek+1

k+1 k+1

A EBL estabelece que, em estado estacionário,o FLUXO entre dois estados adjacentes é IGUAL

É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que:

Para: k = 0: , k = 1:

k k k+1 k+1

É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que:

Para: k = 0: , k = 1:

Por indução:

k k k+1 k+1

Além disso:

lei de little

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