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INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

2º SEMESTRE DE 2010

CAPÍTULO 3

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

E A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

PROBLEMA:FORMULAÇÃO DE

HIPÓTESES

OBSERVAÇÕES

VERIFICAÇÃO DAS

HIPÓTESES

FORMULADAS

DESENVOLVIMENTO

DE NOVAS TEORIAS

AMOSTRAGEM

PLANEJAMENTO DE

EXPERIMENTOS

ANÁLISE DESCRITIVA

E EXPLORATÓRIA DE

INFERÊNCIA

ESTATÍSTICA

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:

DUAS GRANDES ÁREAS

ESTIMAÇÃO

TESTE DE HIPÓTESES

PONTUAL

INTERVALAR

TESTE DE HIPÓTESES:

Problemas em engenharia (e nas demais áreas do

conhecimento) exigem uma tomada de decisão entre

aceitar ou rejeitar uma afirmação a cerca de uma

característica populacional. A afirmação a ser investigada é

denominada de hipótese e o procedimento de tomada de

decisão sobre a hipótese é o que denominamos de teste de

hipótese.

EXEMPLO:

Suponha que estamos interessados na taxa de queima de um

propelente sólido, usado para fornecer energia aos sistemas de

escapamento de aeronaves. A taxa de queima é uma variável

aleatória que pode ser descrita por um modelo de

probabilidade. O interesse no problema consiste em verificar

se a taxa média de queima (parâmetro do modelo de

probabilidade) é ou não equivalente a 50 cm/s.

Um teste de HIPÓTESTES (ou de significância) é um

procedimento formal para comparar dados observados com

uma hipótese, cuja veracidade procura-se avaliar. A hipótese

constitui-se em uma afirmação que se faz sobre os parâmetros

de uma população ou de um modelo. Os resultados de um

teste são expressos em termos de uma probabilidade que

mede quão bem os dados e a hipótese concordam entre si

TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES

Definição 1: Em estatística, uma hipótese, é uma afirmativa sobre umapropriedade da população, ou ainda, uma afirmação sobre osparâmetros de uma ou mais populações.

Definição 2:Um teste de hipótese (ou teste de significâncias), é umprocedimento para se verificar a veracidade ou não de umahipótese estatística.

Consideremos o exemplo da taxa de queima de um propeleno sólido,

acima apresentado. Nesse problema a tomada de decisão significa

concluir por uma das duas seguintes alternativas.

H0 : A taxa média de queima do propeleno sólido é 50 cm/s.

H1 : A taxa média de queima do propeleno sólido não é 50 cm/s.

Sob ponto de vista estatístico, considerando que µ representa a taxa

média de queima populacional, as hipóteses acima são definidas

H0 : µ = 50 cm/s

H1 : µ ≠ 50 cm/s

A Hipótese H0 é chamada de hipótese nula enquanto que a

hipótese H1 é chamada de hipótese alternativa.

Definição 4:A Hipótese Alternativa é a afirmativa de que o parâmetro populacional temum valor que, de alguma forma, difere da hipótese nula.

No exemplo, temos que a hipótese alternativa especifica valores de µ quepodem ser maiores ou menores que 50 cm/s, nessa situação dizemos que ahipótese alternativa é bilateral.Em determinadas situações, podemos desejar formular uma hipóteseunilateral, ou seja verificar se o valor de µ é especificamente maior oumenor que o valor definido pela hipótese nula.

H0 : µ = 50 cm/s H0 : µ = 50 cm/s H0 : µ = 50 cm/sH1 : µ ≠ 50 cm/s H1 : µ > 50 cm/s H1 : µ < 50 cm/s

A partir de um teste de hipóteses verificamos se os dados provenientes da

amostra são consistentes com a hipótese em estudo. A medida que os

dados forem consistentes com a hipótese, concluiremos que a hipótese é

verdadeira; no entanto se essa informação for inconsistente com a

hipótese, concluiremos que a hipótese é falsa. Destacamos que a

veracidade ou falsidade de uma hipótese específica nunca pode ser

conhecida com certeza, exceto se toda população fosse observada, o que é

usualmente impossível na prática.

A estrutura de problemas de testes de hipóteses será idêntica em todas as

aplicações que iremos considerar.

1. A hipótese nula é aquela que se deseja testar.

2. A rejeição dessa hipótese leva a aceitação da hipótese alternativa.

3. Testar a hipótese envolve considerar uma amostra aleatória, calcular

uma estatística de teste a partir dos dados amostrais e, então a partir

da estatística de teste tomar uma decisão com respeito à hipótese

Definição 5:

Uma estatística de teste é um valor calculado a partir dos dados

amostrais e é usada para tomar a decisão sobre a rejeição ou não da

hipótese nula. Para isso, faz-se necessário a comparação da

estatística com um valor de referência a fim de ser possível a

tomada de decisão de rejeição ou não da hipótese.

Com o objetivo de ilustrar as definições e conceitos acima,

considere o problema da taxa de queima do propelente, introduzido

anteriormente. A hipótese nula é a taxa média de queima ser 50

cm/s; a alternativa é: essa taxa não é igual a 50 cm/s. Ou seja,

desejamos testar

H0 : µ = 50 cm/s

H1 : µ ≠ 50 cm/s

Suponha que uma amostra de n = 10 espécimes seja testada .

A média amostral é uma estimativa da média verdadeira µ da

população.

Um valor da média amostral que caia próximo ao valor da hipótese

de µ = 50 cm/s é uma evidência de que a média verdadeira µ é

realmente 50 cm/s.

Por outro lado, uma média amostral que seja consideravelmente

diferente de 50 cm/s evidencia de que a hipótese alternativa H1 é

válida.

Assim, a média amostral é a estatística de teste nesse caso.

A média amostral pode assumir muitos valores.

Suponha que se 48,5 < < 51,5, não rejeitaremos a hipótese nula

Ho: µ = 50.

Se < 48,5 ou > 51,5, rejeitaremos a hipótese nula em favor da

hipótese alternativa H1: µ ≠ 50.

Região de não Rejeição de Ho Região Crítica 1 Região Crítica 2

A região de não rejeição de Ho por convenção,

geralmente é chamada de região de aceitação. O limite entre as

regiões crítica e a região de aceitação é chamada de valores

críticos. Em nosso exemplo, os valores críticos são 48,5 e 51,5.

É comum estabelecer conclusões relativas a hipótese

nula Ho. Logo, rejeitaremos Ho em favor de H1 se a estatística

de teste cair na região crítica e deixamos de rejeitar H0 caso

contrário.

Definição 6: Região crítica é definida pelo conjunto de valores para

os quais a hipótese H0 é rejeitada.

Definição 7: Valor (ES) crítico (s) valor a partir do(s) qual(is) a

hipótese H0 é rejeitada, ou seja, valores limites da região crítica.

O procedimento de decisão acima estabelecido pode conduzir a uma

de duas conclusões erradas.

Por exemplo, a verdadeira taxa média de queima do propelente

poderia ser igual a 50 cm/s.

Entretanto, para os espécimes de propelente selecionados

aleatoriamente que são testados, poderíamos observar um valor da

estatística de teste dentro na região crítica.

Rejeitaríamos então a hipótese nula Ho em favor da alternativa H1

quando, de fato, Ho seria realmente verdadeira.

Definição 8:

O erro tipo I é definido quando rejeitamos a hipótese Ho,

quando ela é de fato verdadeira.

Agora, a verdadeira taxa média de queima do propelente é

diferentes de 50 cm/s.

Para os espécimes de propelente selecionados aleatoriamente

que são testados, poderíamos observar um valor de estatística

de teste dentro da região de aceitação.

Nesse caso, não rejeitaríamos H0, isto é, falharíamos em

rejeitar H0 quando ela de fato não é verdadeira.

Definição 9:

O erro tipo II é definido quando não rejeitamos a hipótese Ho,

quando ela é de fato falsa.

RESUMO:

DECISÃO BASEADA

NA AMOSTRA

S ITUAÇÃO NA POPULAÇÃO

H0 Verdadeira H0 Falsa

Não rejeitar H0

Rejeitar H0

Decisão correta

Decisão corretaErro Tipo I

Erro Tipo II

A probabilidade de cometer o erro tipo I é, usualmente

denotada pela letra grega .

= P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 é verdadeira)

Para alguns autores, a probabilidade do erro tipo I é chamada

de nível de significância ou tamanho do teste.

No exemplo:

O erro tipo I ocorrerá quando > 51,5 ou para a taxa

média de queima do propelente µ = 50 cm/s

= P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 é verdadeira)

Suponha que o desvio-padrão da taxa de queima seja = 2,5

50|5,5150|48 XPXP

Isso significa que 5,76% de todas as amostras aleatórias conduziriam

a rejeição da hipótese H0: µ = 50 cm/s, quando a verdadeira taxa

média de queima fosse realmente 50 cm/s.

Questões:

1. O valor desta probabilidade pode ser considerado adequado?

2. Este procedimento pode ser utilizado sem maiores riscos?

COMO REDUZIR ?

Aumentando a região deaceitação. Por exemplo, seconsiderarmos os valorescríticos 48 e 52, o valor deserá:

Aumentando o tamanho daamostra. Se n=16:

DECISÃO BASEADA

NA AMOSTRA

S ITUAÇÃO NA POPULAÇÃO

H0 Verdadeira H0 Falsa

Não rejeitar H0

Rejeitar H0

Decisão correta

Decisão corretaErro Tipo I

Erro Tipo II

Na avaliação de um procedimento de teste de hipótesestambém é importante examinar a probabilidade de um errotipo II.

β= P(erro tipo II)= P(não rejeitar Ho quando Ho é de fato falsa)

Importante:

O procedimento para cálculo de β é análogo ao cálculo de , exceto

que nesse caso faz-se necessário fixar diferentes valores de µ fora da

região crítica pré-estabelecida, considerando que a média amostral

ocorre dentro da região de não rejeição

Exemplo:Podemos calcular β considerando µ=52. Nesse caso teríamos:

Valores de e β, calculados para diferentes regiões deaceitação, com diferentes tamanhos de amostra sãoapresentados na tabela:

Região não

Rejeição

Tamanho da

Amostra

= Erro tipo

β=Erro tipo II

µ=50.5

10 0.0576 0.2643 0.8923

10 0.0114 0.5000 0.9705

16 0.0164 0.2119 0.9445

16 0.0014 0.5000 0.9918

1. O tamanho da região crítica, e conseqüentemente aprobabilidade do erro tipo I, , pode sempre ser reduzido atravésda seleção apropriada dos valores críticos;

2. Os erros tipo I e tipo II estão relacionados. Uma diminuição naprobabilidade de um tipo de erro sempre resulta em umaumento da probabilidade do outro, desde que o tamanho daamostra n não varie;

3. Um aumento no tamanho da amostra reduzirá, geralmente, eβ, desde que os valores críticos sejam mantidos constantes;

4. Quando a hipótese nula é falsa, β aumenta à medida que o valordo parâmetro se aproxima do valor usado na hipótese nula. Ovalor de β diminui à medida que aumenta a diferença entre amédia verdadeira e o valor utilizado na hipótese.

Importante:

Fixa-se a probabilidade a do erro tipo I determinado-se os valores

críticos.

Desta forma o analista estabelecer a probabilidade de erro tipo I em

(ou perto de) qualquer valor desejado. Uma vez que o analista pode

controlar diretamente a probabilidade de rejeitar erroneamente Ho,

sempre pensamos na rejeição da hipótese nula Ho como uma

conclusão forte.

Procedimento Usual:

Por outro lado, a probabilidade β do erro tipo II não é constante, mas

depende do valor verdadeiro do parâmetro. Ela depende também do

tamanho da amostra que tenhamos selecionado. Pelo fato de a

probabilidade β do erro tipo II ser uma função do tamanho da amostra

e da extensão com que a hipótese nula Ho é falsa, costumam-se

pensar na aceitação de Ho como uma conclusão fraca, a menos que

saibamos que β seja aceitavelmente pequena.

Conseqüentemente, em vez de dizer "aceitamos Ho", preferimos a

terminologia "falhamos em rejeitar Ho". Falhar em rejeitar H0, implica

que não encontramos evidência suficiente para rejeitar Ho, ou seja,

para fazer uma afirmação forte. Falhar em rejeitar H0, não significa

necessariamente que haja uma alta probabilidade de que Ho seja

verdadeira (isso pode significar simplesmente que mais dados são

requeridos para atingir uma conclusão forte.

Definição 10:

O Poder de um teste estatístico é a probabilidade de rejeitar a

hipótese nula H0, quando a hipótese alternativa é verdadeira.

O poder do teste é calculado como 1 - β e pode ser interpretada

como a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese

nula falsa.

Por exemplo, considere o problema da taxa de queima de

propelente, quando estamos testando

Ho: µ = 50 cm/s contra H1: µ ≠ 50 cm/s.

Suponha que o valor verdadeiro da média seja µ = 52. Quando

n = 10, encontramos que β = 0,2643; assim, o poder deste teste

é 1 - β ~ 1 - 0,2643 = 0.7357.

SITUAÇÃO IDEAL:

Minimizar

Maximizar 1 -

PROCEDIMENTO GERAL PARA UM TESTE DE HIPÓTESES:

PROCEDIMENTO PADRÃO:1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1) de interesse

no problema;2. Escolha um nível de significância (Probabilidade de erro tipo I)

para o problema;3. Identifique a estatística apropriada às hipóteses estabelecidas

inicialmente;4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais a

hipótese nula é rejeitada;5. Calcule, a partir dos dados amostrais, o valor da estatística de

teste;6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se a

estatística de teste acima calculada pertence ou não a regiãocritica.

PROCEDIMENTO GERAL PARA UM TESTE DE HIPÓTESES:

PROCEDIMENTO ALTERNATIVO: USO DO VALOR “P” (P-VALUE)1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1) de interesse

no problema;2. Escolha um nível de significância (Probabilidade de erro tipo I)

para o problema;3. Identifique a estatística apropriada às hipóteses estabelecidas

inicialmente;4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais a

hipótese nula é rejeitada;5. Calcule, a partir dos dados amostrais, o valor da estatística de

teste e o seu respectivo valor p;6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se o

valor p é menor ou maior que o nível de significância . Se:7. Valor p < rejeitar H0 Valor p > não rejeitar H0

PROBLEMA:

TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:

Uma máquina produz peças cujo controle de qualidade é

realizado com base no diâmetro da peça. Para a peça ser

considerada sob controle o diâmetro da mesma deve ser igual a

QUESTÃO:

Como verificar se a produção diária da peça pode ser consideradasob controle ou não?

CONDIÇÃO INICIAL:

Observar uma amostra aleatória de n peças da produção diáriaregistrando-se o valor do diâmetro de cada uma.

ETAPAS:

1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1) de interesseno problema;

Hipótese Nula: A produção diária de peças está sob controle.Sob ponto de vista estatístico: O diâmetro médio das peças é igual a 0.

Possíveis Alternativas:i) H1 : o ( o diâmetro médio é diferente de o – teste bilateral)ii) H1 : > o (o diâmetro médio é maior que o – teste unilateral)iii) H1 : < o (o diâmetro médio é menor que o – teste unilateral)

2. Escolha um nível de significância (Probabilidade de erro tipo I)para o problema;

= (Probabilidade de erro tipo I) = probabilidade de rejeitar H0 , quando na verdade ela é verdadeira. Valores Usuais = 1%, 5%, 10%

3. Identifique a estatística apropriada às hipóteses estabelecidasinicialmente;

Ho : = o

4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais ahipótese nula é rejeitada;

Ho : = o

Estatística de Teste

Distribuição de Referência

4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais ahipótese nula é rejeitada;

5. Calcule, a partir dos dados amostrais, o valor da estatística deteste;

6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se aestatística de teste acima calculada pertence ou não a regiãocritica.

EXEMPLO 1:

Num determinado estudo foram examinadas 16 plantas de um

certo tipo, encontrando-se o seguinte conteúdo de ácido

ascórbico: 9.35; 8.68; 8.65; 11.68; 10.29; 12.77; 10.99; 8.81;

10.76; 9.52; 10.55; 12.61; 10.43; 9.87; 12.04; 9.82. Estudos

científicos mostram que o conteúdo de acido ascórbico deve

ser superior a 10 em plantas deste tipo. Com base na amostra

acima o que podemos afirmar em relação a estas plantas?

HIPÓTESES:

O conteúdo de acido ascórbico é superior a 10 em plantas deste

Teste unilateral

DADOS DA AMOSTRA:

n = 16 Média Amostral= 10.426 Desvio Padrão Amostra: 1.3226

NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA: 5%

ESTATÍSTICA DO TESTE:

VALOR CRÍTICO:

CONCLUSÃO:O valor de t calculado é 1,29e o valor crítico de t para 15g.l. e 0,05, conforme tabelaapresentada é 1,753, logo...

VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P

ESTATÍSTICA DO TESTE:

HIPÓTESES:

REGIÃO CRITICA:

tc=1.29

0 5 10 15 20- +0

Aceita H0 Rejeita H0

COMO UTILIZAR O VALOR P:

tc=1.29

0 5 10 15 20- +0

Aceita H0 Rejeita H0

Assim rejeita-se H0 se:

i) p-valor <ii) (p-valor)/2 <

Vantagem: Não é necessário oconhecimento do valor de referênciatn-1; /2, tn-1; ou - tn-1; .

VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P 1,074< t = 1,29 < 1,341Desta forma

0.10 < p < 0.15

1,074< t = 1,29 < 1,341Desta forma

0.10 < p < 0.15

Para rejeitarmos Ho o nível de

significância deveria ser maior

que 10%, portanto……

CUIDADO:

Verifique como é calculado o p-valor no software que vocêesta utilizando!!!!

P-Valor para Teste Bilateral ou P-Valor para Teste Unilateral??

Vantagem: Não é necessário o conhecimento do valor dereferência tn-1; /2, tn-1; ou - tn-1; .

Todo software que calcula a estatística do teste apresenta o respectivo valor p

EXEMPLO 2:

Um estudo foi conduzido com o objetivo de analisar

concentrações de oxigênio dissolvido em correntes de 20

barragens no Vale do Tennessee. Deseja-se averiguar se a

concentração média de oxigênio dissolvido difere de 4

miligramas por litro ao nível de significância de 1%. As

observações em miligramas por litro são: 5 ; 3,4; 3,9;1,3; 0,2; 0,9;

2,7; 3,7; 3,8; 4,1; 1,0; 1,0; 0,8; 0,4; 3,8; 4,5; 5,3; 6,1; 6,9 e 6,5 .

O parâmetro de interesse é a concentração média de oxigênio dissolvido .

Ho : = 4H1 : ≠ 4

Estatística de Teste:

Região crítica

Hipóteses de interesse:

Rejeita-se H0 se tc< t0,005,19=-2,861 ou tc> t0,005,19 =2,861

-2,861 2,861

Dados do problema:

Uma vez que t0= -1,55 > -2,861, nãorejeitamos H0, ao nível de significância de1%, e concluímos, com base nestaamostra, que a concentração média deoxigênio dissolvido em barragens no Valedo Tennessee não difere de 4miligramas/litro.

265,3 ; amostra da média x22

)127,2(s; amostra da variância

55,1)4265,3(

127,2cT

-2,861 2,861

Valor P (P-VALUE)

Note que o valor |t0|=1,55 está entre os seguinte valores tabelados:1,328 e 1,729. Deste modo, os limitantes inferior e superior para ovalor P seriam 0,10=2(0,05) e 0,20=2(0,10). Assim, esta hipótese sóseria rejeitada para qualquer 0,10 < Valor P < 0,20 < α. Desta forma nãorejeitamos H0 e concluímos, com base nesta amostra, que aconcentração média de oxigênio dissolvido em barragens no Vale doTennessee não difere de 4 miligramas/litro.

Valores críticos 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093

Área da extremidade 0,40 0,25 0,10 0,05 0,025

UMA SEGUNDA HIPÓTESE DE INTERESSE:

Medida Posição

Comportamento daVariabilidade da Variávelde Interesse

Teste para Média

Medida Dispersão Teste para Variância

HIPÓTESES:

TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA

ESTATÍSTICA DE TESTE:

Distribuição de Referência

“Valor Critico”

Valor da Amostra

REJEITA-SE HO SE:

VALOR P

P-valor

cr ítX

Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um

produto é controlar a sua variabilidade. Uma máquina de encher

pacotes de açúcar está regulada para enchê-los com média de 500g

e desvio padrão de 10g. O peso de cada pacote X segue uma

distribuição N(μ, σ2). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e

observou-se uma variância de S2=169g2 . Com esse resultado, você

diria que a máquina está desregulada com relação variabilidade?

EXEMPLO 3

HIPÓTESES

Fixado α=5% rejeitaremos Ho se:

Ho : 2 = 100 vs

H1 : 2 > 100 vs

CASO DE DOIS TRATAMENTOS:

Comparar a eficiência de dois diferentestratamentos (grupos, populações) comrespeito a uma medida de interesse.

OBJETIVO:

Principio:Forma como são atribuídos ostratamentos as unidadesexperimentais.

TIPOS DE ESTUDO:

Amostras IndependentesCompletamente Aleatorizado

Amostras PareadasRestrição na Aleatorização

Tratamentos atribuídos de forma completamente aleatorizada as u.e.

AMOSTRAS INDEPENDENTES:

a1-a 2 -a3 -a 4 -a 5 -a6 -a 7 -a8 -a 9 -a 1 0

a2 -a4 -a5 -a 8 -a9

S o rte io A lea tó rio

a1 -a3 -a6 -a 7 -a10

a1-a 2 -a3 -a 4 -a 5 -a6 -a 7 -a8 -a 9 -a 1 0

a2 -a4 -a5 -a 8 -a9

S o rte io A lea tó rio

a1 -a3 -a6 -a 7 -a10

TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:

PROBLEMA:

Dois diferentes métodos são submetidos aleatoriamente a

um grupo de unidades experimentais.

HIPÓTESE:

Unidades experimentais são completamente homogêneas para

fins do presente estudo!

HIPÓTESE CIENTÍFICA:

Qual dos métodos é mais eficiente?

Especificamente: B é mais eficiente que A?

HIPÓTESE ESTATÍSTICA:

CONSIDEREMOS:

Estatísticas Tratamentos A B

amostra ni 8 8 média y 5.0 7.0

variância S2 4.0 1.71

Média de B é 40% superior à de A.

Podemos concluir que B é mais eficiente que A??

ANÁLISE ESTATÍSTICA:

Sob as condições anteriores:

Comparação de Médias de duas populações normais

DUAS DIFERENTES SITUAÇÕES:

VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS:

VARIÂNCIAS CONHECIDAS:

TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS

HIPÓTESES:

ESTATÍSTICA DE TESTE

NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA

DISTRIBUIÇÃO DE REFERÊNCIA

REGIÃO CRÍTICA REGRA DE DECISÃO

TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS

BÁSICO:

Suponha que temos duas amostras aleatórias independentes,

de tamanhos nA e nB, selecionadas de duas populações normais

com a mesma variância 2. Indiquemos os estimadores de 2

obtidos das amostras por e , respectivamente

HIPÓTESES:

FnB-1, nA-1

EstatísticaDistribuição de

Referência

DISTRIBUIÇÃO F:

1. É assimétrica;

2. Valores da distribuição F são positivos;

3. As distribuições F são umas famílias de distribuições com dois

parâmetros. Os parâmetros são os números de graus de liberdade das

variâncias amostrais no numerador e denominador da estatística F.

REGRA DE DECISÃO:

RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL:

Na Estatística de Teste Fc fez-se a razão da maior variância pela menor variância

Não rejeitamos H0, isto,

podemos considerar que as

variâncias dos diferentes

grupos são iguais.

VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:

HIPÓTESES:

ESTATÍSTICA DE TESTE

NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA

DISTRIBUIÇÃO DE REFERÊNCIA

REGIÃO CRÍTICA REGRA DE DECISÃO

HIPÓTESES:

VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:

n1+n2-2

t n1+n2-2

N (0,1)

VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:DECISÃO: REJEITA-SE H0 SE:

Variância Combinada:

Estatística de Teste:

Portanto rejeitamos H0, isto éconcluímos que o tratamento B émais eficiente que o tratamento A.

CONCLUSÃO:

P-VALOR 0164.0368.214

tPvalorp

VARIÂNCIAS DIFERENTES E DESCONHECIDAS:

Qual a distribuição de referência?

VARIÂNCIAS DIFERENTES E DESCONHECIDAS:

Correção nos graus de Liberdade da Distribuição t

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