ipaee capitulo 3_slides_1

IINTRODUÇÃONTRODUÇÃO AOAO PPLANEJAMENTOSLANEJAMENTOS EE AANÁLISENÁLISE EESTATÍSTICASTATÍSTICA DEDE EEXPERIMENTOSXPERIMENTOS

22ºº SSEMESTREEMESTRE DEDE 2010 2010

CCAPÍTULOAPÍTULO 33

IINTRODUÇÃONTRODUÇÃO AA PPROBABILIDADEROBABILIDADEIINTRODUÇÃONTRODUÇÃO AA PPROBABILIDADEROBABILIDADE

EE AA IINFERÊNCIANFERÊNCIA EESTATÍSTICASTATÍSTICA

Um fenômeno aleatório tem resultados que não

podemos predizer , mas que, não obstante, possuem

uma distribuição regular em uma grande quantidade

de repetições.

UM EXEMPLO: Lançamento de uma moeda

Característica: Dois resultados possíveis

Cara ou Coroa

Não é possível afirmar a priori qual o resultado que

vai ocorrer no lançamento da moeda.

É possível definir uma distribuição regular?

O que podemos entender como uma distribuição regular?

Qual o comportamento da ocorrência de cada possível

resultado em uma longa seqüência de repetições do

fenômeno, realizadas sob as mesmas condições.

No Exemplo: Qual o comportamento do número de caras

(ou de coroas) quando uma moeda é lançada um grande

número de vezes.

Consideramos 5000 lançamento de uma moedaConsideramos 5000 lançamento de uma moeda

A cada lançamento determinar a proporção de caras (ouA cada lançamento determinar a proporção de caras (ou

coroas) observadas até aquele lançamento!

Por exemplo Exemplo: Até o 10º lançamento foi

observado 7 cuja face obtido foi cara, logo a proporção de

caras é de 70%.

Consideramos 5000 lançamento de uma moedaConsideramos 5000 lançamento de uma moeda

Duas Situações:

A: Ocorre as seguintes faces nos primeiros

lançamentos: coroa, cara, coroa, coroa.

B: Ocorre face cara em todos os 5 primeiros

lançamentos.

Consideremos 5000 lançamento de uma moedaConsideremos 5000 lançamento de uma moeda

Para o ensaio A a proporção de caras inicia com zero no 1Para o ensaio A a proporção de caras inicia com zero no 1

lançamento, sobe para 0,5 quando no segundo lançamento dá

uma cara, cai para 0,33 e 0,25 quando obtemos mais 2 coroas.

Para o ensaio B a proporção de caras é 1 até o 5º lançamento.

O ensaio A inicia com poucas caras e o B com muitas.

Conseqüentemente:

A proporção de lançamentos com caras é muito variável noA proporção de lançamentos com caras é muito variável no

inicio.

QUESTÃO:

O que ocorre a medida que fazemos mais e mais jogadas?

A : Primeira série de lançamentosB : Segunda série

CONCLUSÃO:

O comportamento do acaso é imprevisível a curto prazo,

mas tem um padrão regular e previsível a longo prazo.

O resultado não pode ser predito antecipadamente.

Porém há um padrão regular nos resultados, um padrão

que emerge após muitas repetições.

Após um longa seqüencia de lançamentos da moeda aApós um longa seqüencia de lançamentos da moeda a

proporção de caras (conseqüentemente também de

coroas) é aproximadamente 0.5 (50%)

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:

Consideremos que:

1. Cada resultado possível de um fenômeno aleatório é um

evento.evento.

2. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, tem aspectos

diferentes que os distinguem entre si.

Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e

igualmente prováveis, se nA desses eventos tem a atributo A,

então a probabilidade de A e dada pela razão nA / n.

Exemplo 1.

Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um

dado equilibrado?dado equilibrado?

Solução:

Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos

mutuamente exclusivos e igualmente prováveis; logo, a

probabilidade de ocorrer 6 e 1/6.

IMPORTANTE:

É importante entender que a definição clássica de probabilidade

não faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetiçõesnão faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetições

independentes do fenômeno. Quando dizemos que a probabilidade

de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um

único lançamento de uma única moeda, a medida de chance que

teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa serie de jogadas.

Definição 2:

Freqüência relativa do evento A é a razão entre o número de vezes

em que ocorreu A (nA) e o número de eventos observados (n).A

É importante entender que, se em uma longa seqüência de

repetições do fenômeno, nas mesmas condições, a freqüência

relativa de um evento se aproxima de um numero fixo, esse

número é uma estimativa da probabilidade de o evento ocorrer.

Exemplo 2.

Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado

que não é equilibrado (os seis eventos possíveis não são

igualmente prováveis)?

Solução:

Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer

face 6 devemos lançar o dado um número suficientemente grande

de vezes e dividir o numero de vezes que saiu 6 pelo número de

lançamentos feitos.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Definição 3:

S = Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados

possíveis de um fenômeno aleatório.possíveis de um fenômeno aleatório.

Um evento é um subconjunto do espaço amostral.

Exemplo 1 : Fenômeno Aleatório: Lançamento de uma moeda

S = {cara, coroa}

Evento: Face observada é cara.

Exemplo 2 : Fenômeno Aleatório: Lançamento de um dado

S = Face{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento 1: Face observada é SEIS.

Evento 2: Face observada é IMPAR

Evento 3: Face observada é maior ou igual que 4

Evento 4: Face observada é IMPAR

Exemplo 3 : Fenômeno Aleatório: Um jogador de basquetebol

faz três lances livre. Quais são as possíveis seqüências de

acertos (A) e erros(E)?

S =???

Evento A: O jogador acerta os três lances;

Evento B: O jogador erra dois lances;

Evento C: O jogador acerta o segundo lance;

P(A) = 1/8

P(B) = 3/8

P(C) = 3/8

Exemplo 3 : Fenômeno Aleatório: Um jogador de basquetebol faz

três lances livre. Qual o número de cestas feitas?

S =???

S = { 0, 1, 2, 3}

P (0) = ?? P(1)= ??

P(2) = ?? P (3) = ??

Exemplo 4 : Fenômeno Aleatório: Uma nutricionista pesquisa

sobre uma nova dieta para alimentar ratos, machos, brancos. Quais

são os possíveis resultados de ganho de peso (em gramas)?

S =???

S = [0, ∞] = (todos os números≥ 0)

S =???

Finitos

ESPAÇOS

Dado: S={1,2,3,4,5,6}

ESPAÇOS

AMOSTRAIS:

Infinitos Peso:S = [0, ∞] = (todos

os números ≥ 0)

Questão:

Como calcular probabilidades quando o espaço

amostral é infinito (contínuo)?

Densidade uniforme: Densidade uniforme:

A probabilidade de distribuirmos

uniformemente a variavel Y dentro de

0.3 e 0.7 é a área sob a curva de

densidade correspondente a esse

intervalo. Então:

P(0.3 ≤ y ≤ 0.7) = (0.7 − 0.3)*1 = 0.4

Existem muitos outros tipos de curvas de densidades.

Definição 4:

Dois eventos são disjuntos (ou

mutuamente exclusivos) se eles

não tiverem nenhum resultado

em comum portanto nunca

ocorrem juntos. (A ∩∩∩∩ B) = ∅∅∅∅ ⇒⇒⇒⇒

P (A ∩∩∩∩ B) = 0

Como exemplificar usandoresultados de lançamento deum dado

Definição 5:

Dois eventos são independentes se a probabilidade de um evento

ocorrer em qualquer realização do experimento não muda aocorrer em qualquer realização do experimento não muda a

probabilidade de um outro evento ocorrer.

Exemplo: No lançamento de uma moeda o resultado do primeiro

lançamento (cara, por exemplo), NÃO ALTERA, a probabilidade de

dar cara ou coroa no segundo lançamento.

Propriedade 1:

A Probabilidade P(A) de qualquer evento A satisfaz 0 ≤ P(A) ≤ 1

Propriedade 2:Propriedade 2:

A probabilidade do espaço amostral completo é igual a 1. P(S) = 1

Exemplo: P(cara) + P(coroa) = 0.5 + 0.5 = 1

Propriedade 3:

A Probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a

probabilidade do evento ocorrer. P(A) = 1 – P( não A)

Exemplo: P(coroa) = 1 – P(cara) = 0.5

Propriedade 4:

Regra da adição geral para quaisquer dois eventos A e B: A

probabilidade que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é:probabilidade que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é:

P(A ou B) = P ( A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Propriedade 4:

Exemplo: Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta

de um baralho de 52 cartas e ela ser um rei ou copas?

Então: P(rei ou copas)= P(rei) + P(copas) – P(rei e copas)

= 4/52 + 13/52 1/52 = 16/52 ≈ 0.3

Propriedade 5:

A probabilidade condicional reflete como a probabilidade um

evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha

ocorrido.

Exemplo: A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é

diferente, se você vive no nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.

Propriedade 5:

A probabilidade condicional do evento B dado o evento A é: (desde que

P(A) > 0)P(A) > 0)

A = Retirado um Rei

B = Carta Retirada é de Copas

Se A e B são independentes:

Desta forma, se A e B são independentes:

IMPORTANTE:

A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos:

A e B são independentes:

CASO GERAL: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO:

A probabilidade de que quaisquer dois eventos, A e B,

Caso particular : A e B são independentes:

ocorram conjuntamente pode ser dada por:

P(A e B) = P(A∩B) = P(A)P(B|A)

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ARVORES

O diagrama de árvore representa graficamente todos os possíveis

resultados e apresenta as probabilidades condicionais deresultados e apresenta as probabilidades condicionais de

subconjuntos de eventos.

Diagrama de árvorepara hábitos conversarem sites de bate-papopara três grupos deidade adulta.

Uso de

Internet

Uso de

Internet

Qual a probabilidadede encontrarmos umindividuo que utiliza o

Internetindividuo que utiliza obate papo na internet:

P(Utilizar e ter idade A1)+P(Utilizar e ter idade A2)+P(Utilizar e ter idade A3)=

P(C∩∩∩∩A1)+P(C∩∩∩∩A2)+P(C∩∩∩∩A3)= P(A1)P(C/A1)+ P(A2)P(C/A2)+ P(A3)P(C/A3)=

= 029*043+047*021+0,24*0.0168= 0.136 + 0.099 + 0.017= 0.252

MODELOS DE PROBABILIDADE:

No capítulo anterior definimos alguns procedimentos gráficos e

numéricos para descrever o comportamento de uma dada característica

(variável) presente no nosso estudo. Sob ponto de vista da(variável) presente no nosso estudo. Sob ponto de vista da

probabilidade, este comportamento da variável em estudo é definido

como a distribuição da mesma. Na identificação da distribuição dos

dados, vamos nos concentrar no estudo de variáveis quantitativas. Neste

caso o histograma se constitui num instrumento de grande importância

na identificação de um modelo adequado aos dados.

Se traçarmos uma curva sobre o histograma observado podemos ter

uma boa descrição geral dos dados. A curva obtida é um modelo

matemático para a distribuição, ou seja, é uma descrição idealizada,

que oferece uma imagem concisa do padrão geral dos dados, mas

ignora irregularidades de menor importância, bem como a presença

de valores atípicos.

A figura apresenta o histograma do peso,

em kg, de 1500 pessoas adultas

selecionadas ao acaso em uma

população. O peso apresenta umapopulação. O peso apresenta uma

distribuição muito regular. O histograma

é simétrico e decresce suavemente a

partir de um pico central únicoico nana

direçãodireção dede ambasambas asas caudascaudas.. AA curvacurva

suavesuave traçadatraçada atravésatravés dodo topotopo dasdas barrasbarras

dodo histogramahistograma éé umauma boaboa descriçãodescrição dodo

padrãopadrão geralgeral dosdos dadosdados..

A análise do histograma indica que:

1. a distribuição dos valores é

aproximadamente simétrica em

torno de 70kg;torno de 70kg;

2. a maioria dos valores (88%)

encontra-se no intervalo (55;85);

3. existe uma pequena proporção de

valores abaixo de 48kg (1,2%) e

acima de 92kg (1%).

Uma curva com uma forma apropriada é geralmente, uma

descrição adequada do padrão geral de uma distribuição.

Evidentemente que nenhum conjunto de dados reais é

descrito exatamente por uma dessas curvas, mas sim se

constitui em uma boa aproximação de fácil utilização e com

precisão suficiente para ser considerada na pratica.

Sabemos que características (variáveis) em estudo para

determinados problemas apresentam um mesmo padrão dedeterminados problemas apresentam um mesmo padrão de

comportamento. Portanto estas variáveis podem ser aproximadas

por uma mesma curva, exceto por seus valores de referência,

como por exemplo, ponto central, dispersão...

Dizemos então que variáveis que apresentam um mesmo

padrão de comportamento seguem um mesmo modelo (oupadrão de comportamento seguem um mesmo modelo (ou

distribuição) de probabilidade. Um modelo de probabilidade

pode então ser definido como uma descrição matemática de

um fenômeno aleatório (ou variável aleatória de forma mais

formal).

MODELOS DISCRETOS

DOIS TIPOS DE MODELOS:

MODELOS CONTÍNUOS

MODELOS DISCRETOS:

Os modelos discretos são adequados a variáveis que podem

assumir um número finito ou enumerável de valores;

MODELOS CONTÍNUOS:

São aqueles relacionados às variáveis que podem assumir infinitos

valores.

Tipo de Modelo Modelo CaracterísticaDiscretos Binomial Variável em estudo somente pode assumir dois

possíveis valores em cada uma das n repetiçõesdo experimento e a probabilidade de ocorrênciade cada um é constante.

Poisson A variável observada identifica o resultado deuma contagem no experimento (número deuma contagem no experimento (número deinsetos em uma determinada área, porexemplo).

Geométrico Número de experimentos necessários até aocorrência de um dado resultado de interesse.

BinomialNegativa

Número de experimentos necessários até aocorrência de certo número de vezes doresultado de interesse.

Hipergeométrico Variável em estudo somente pode assumir doispossíveis valores em cada uma das n repetiçõesdo experimento e a probabilidade de ocorrênciade cada um não é constante (usualmenteexperimentos sem reposição).

Tipo deModelo

Modelo Característica

Contínuos Uniforme A variável pode assumir, com igualprobabilidade, qualquer valor emum intervalo, região,...

Exponencial A variável observa o temponecessário até a ocorrência de umdeterminado resultado de interesse.

Normal Variáveis com distribuiçõessimétricas em relação a um pontocentral.

Outros Modelos: Gama, Beta, Weibull, Erlang, .....

Observações:

1. Para determinadas situações, modelos discretos podem ser

aproximados (representados) por um modelo contínuo. Por exemplo,

num caso binomial onde o número de repetições do experimento énum caso binomial onde o número de repetições do experimento é

grande, podese analisar a variável em estudo pelo modelo normal.

2. Os modelos aqui apresentados referemse à distribuição de uma única

variável. Podemos em alguns casos ter interesse no comportamento

conjunto de duas ou mais variáveis. Nesses casos temos os chamados

modelos multidimensionais ou multivariados, que não serão objetos de

estudo nesse curso.

MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL

Muitos dos fenômenos que ocorrem na natureza, na indústria e nas

pesquisas, apresentam características que podem ser representadas

por um MODELO PADRÃO conhecido como MODELO OUpor um MODELO PADRÃO conhecido como MODELO OU

DISTRIBUIÇÃO NORMAL. Medições físicas em áreas como

experimentos meteorológicos, estudos sobre chuvas, medições de

peças manufaturadas são explicadas de forma adequada pela

distribuição normal e erros em medições científicas são bem

aproximados pela distribuição normal.

CARACTERISTICA DO MODELO NORMAL:

Os modelo padrão é resultado de uma curva aproximada do

histograma dos dados, tem um único pico e apresenta umahistograma dos dados, tem um único pico e apresenta uma

forma de sino (simetria em torno do ponto de pico).

CARACTERISTICA DO MODELO NORMAL:

A curva suave traçada através dos topos das barras do histograma, é

uma boa descrição do padrão geral dos dados.uma boa descrição do padrão geral dos dados.

A curva é um modelo matemático para a distribuição, ou seja, é uma

descrição idealizada do padrão geral de uma distribuição.

Para dados X que podem ser representados pelo modelo acima

dizemos que: X ~ N (µµµµ,,,, σσσσ).

Para dados X que podem ser representados pelo modelo acima

dizemos que: X ~ N (µµµµ,,,, σσσσ).

As distribuições Normais ou Gaussianas — são famílias de

distribuições simétricas, com a mesma forma geral. A curva de

densidade é bem caracterizada por sua média µµµµ (mi) e seu desvio

padrão σσσσ (sigma).

Algumas Diferentes Situações:

Mesma média e diferentes variâncias (2,4,6) respectivamente.

Algumas Diferentes Situações:

Mesma Variância e diferentes médias (10, 15, 20) respectivamente!

PROPRIEDADES:

X ~ N (µ ; σ2µ ; σ2µ ; σ2µ ; σ2)

1. E(X) = µ (média ou valor esperado);

2. Var(X) = σσσσ2 (e, portanto, DP(X) = σσσσ );

3. x = σσσσ é ponto de máximo de f (x);

4. µ - σσσσ e µ + σσσσ são pontos de inflexão de f (x);

5. A curva Normal é simétrica em torno da média µ.

6. A distribuição Normal depende dos parâmetros µ e σσσσ2

IMPORTANTE

Embora haja muitas curvas Normais, todas têm propriedades em

comum. Em particular todas as distribuições normais obedecem àcomum. Em particular todas as distribuições normais obedecem à

seguinte regra:

Na distribuição normal com média µ e desvio padrão σσσσ:

68% das observações estão no intervalo ( µ - σσσσ ; µ + σσσσ),

95,4% das observações estão no intervalo ( µ - 2σσσσ ; µ + 2σσσσ),

99,7% das observações estão no intervalo ( µ - 3σσσσ ; µ + 3σσσσ),

IMPORTANTE

COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?

PROBLEMA:

Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a

quantidade de fenol encontrada na urina. A quantidade de fenol na

urina de moradores de certa região segue, aproximadamente, uma

distribuição normal de média 6 mg/L e desvio padrão 2 mg/L.

Considere a seguinte definição em termos da variável quantidade de

fenol na urina:

Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em

sua urina for superior a 9mg/l ou inferior a 3 mg/L.

QUESTÃO:

Qual é a probabilidade de ser encontrado um indivíduo “atípico”?

Seja: X como sendo a quantidade de fenol encontrada na urina.Seja: X como sendo a quantidade de fenol encontrada na urina.

Individuo “Atípico”

Probabilidade desejada:

Individuo com X < 3 ou X > 9

P [ X < 3 OU X > 9] = P[ X < 3 ∪∪∪∪ X > 9 ] = P[X < 3 ] + P[X > 9]

Como calcular esta probabilidade, considerando que a variável de

interesse pode ser representada pela distribuição normal?

O cálculo de uma probabilidade na distribuição normal é dado pela

área sobre a curva normal na região de interesse, isto é, área sob a

curva de densidade fornece a proporção de observações que estão

numa região de valores de interesse.

De forma genérica: P [ a < X < B ]

A solução desta integral não éimediata. A solução é usualmentedada através de métodos numéricos.

Questão: Como calcular a probabilidade deseja sem anecessidade de resolver a integral acima apresentada?

Resultado: Se X ~ N(µ ; σ 2), então

Chamada distribuição Normal Padrão.

IMPORTANTE: Probabilidades não se alteram

Características na Normal Padrão:

O escore- padronizado z

resultante diz de quantos −+ σµσµ

Quando x está 1 desvio padrão maior do que a média, então z = 1.

resultante diz de quantos

desvios padrões cada

valor x está afastado da

média da distribuição µµµµ.

1 , ==−+=+=σσ

σµσµσµ zxpara

,2 ==−+=+=σσ

σµσµσµ zxpara

Quando x está 2 desvios padrões acima da média, então z = 2.

Quando x é maior do que a média, z é positivo.

Quando x é menor do que a média, z é negativo.

De que forma a transformação da variável X em Z, normalpadrão facilita o cálculo de probabilidades?

A solução destaintegral é maissimples que nocaso anterior, eseus valores sãotabelados

Como utilizar esta tabela?SIGNIFICADO DOS VALORES TABELADOS

Por Exemplo: z = 0.32

0.6255

P[ Z < 0.32 ]= 0.6255

P[Z > 0.32] = 1- P[ Z < 0.32 ] = 1 - 0.6255 = 0.3745

.0082 é a área sob a

curva N(0,1) a esquerda de z = 2.40

.0080 é a área sob a curva N(0,1) a

esquerda de z = 2.41

0.0069 é a área sob a curva N(0,1) a

esquerda z = 2.46

Uma segunda situação: P [0 < Z < 1.71 ] = ?

P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71)

= P(Z ≤≤≤≤1,71) – P(Z ≤≤≤≤ 0)

= 0,9564 - 0,5

0,4564.

ALGUMAS DICAS PARA USO DA TABELA DA NORMAL PADRÃO

Pelo ao fato da

distribuição Normal ser

simétrica, há uma outra

Pelo ao fato da

distribuição Normal ser

simétrica, há uma outrasimétrica, há uma outra

maneira para o cálculo

da área sob a curva

Normal padrão, que é a

direita do valor z .

simétrica, há uma outra

maneira para o cálculo

da área sob a curva

Normal padrão, que é a

direita do valor z .

ALGUMAS DICAS PARA USO DA TABELA DA NORMAL PADRÃO

Pelo ao fato da distribuição Normal ser simétrica, há uma outra maneira

para o cálculo da área sob a curva Normal padrão, que é a direita do valor z .

Pelo ao fato da distribuição Normal ser simétrica, há uma outra maneira

para o cálculo da área sob a curva Normal padrão, que é a direita do valor z .

Retornando ao Problema Inicial

X como sendo a quantidade de fenol encontrada na urina.

X ~ N ( 6, 4)

P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]

X ~ N ( 6, 4) P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]

Portanto a probabilidade

de ser encontrada uma

pessoa considerada

“atípica” é 13.36%

Área= ???

Área = ???

N(µ, σ) = N(64.5, 2.5)Exemplo: Alturas de mulheres

As alturas de mulheres tem distribuição

aproximadamente normal, N(64.5″,2.5″).

Que percentual de todas as mulheres

têm altura menor ou igual a 67

polegadas?

Média µ = 64.5"Desvio padrão σ = 2.5" x : altura = 67"

Para o cálculo de z, o valor padronizado de x:

µ µ µ µ = 64.5″ x = 67″

z = 0 z = 1

polegadas?

Exemplo: Alturas de mulheres

P [ X ≤ 67 ] ⇒ P [ Z ≤ 1 ]

N(µ, σ) = N(64.5”, 2.5”)

Área ≈ 0.84

µ = 64.5” x = 67” z = 1

Área ≈ 0.16

CONCLUSÃO :

84.13% das mulheres são menores do que 67 ″.

Por subtração, 1 − 0.8413, or 15.87% das mulheres são maiores do que 67".

O National Collegiate Athletic Association (NCAA) exige que atletas da 1a divisão tenham

pontuação de no mínimo 820 no SAT combinado de matemática e verbal para competir

no seu primeiro ano colegial. A pontuação SAT de 2003 foi aproximadamente normal com

média 1026 e desvio padrão 209. Que proporção de todos os estudantes seriam

qualificados (SAT ≥ 820)?

16%. approx.ou

0.1611 é .99- z

de esquerda a N(0,1)

sob área :Table

99.0209

206209

)1026820(

−≈−=

Nota: Os dados reais podem conter estudantes que

pontuaram exatamente 820 no SAT. No entanto, a proporção

das pontuações exatamente igual a 820 é 0 para uma

distribuição normal é uma conseqüência da idealizada

suavização das curvas de densidade.

Área direita 820 = Área Total − Área a esquerda de 820= 1 − 0.1611 ≈ 84%

1. A resistência a compressão de amostras de cimento pode ser representadapor um modelo normal com média de 6000 kg por cm2 e um desvio padrão de100 kg por cm2.a) Qual a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250

kg/cm2?b) Qual a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900

kg/cm2?

2. O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usadapara encher latas de bebidas gasosas é distribuído segundo o modelo normalcom uma média de 12.4 onças fluidas e um desvio padrão de 0.1 de onçafluída.a) Qual a probabilidade do volume de enchimento ser menor do que 12

onças fluídas?b) Se todas as latas menores que 12.1 ou maiores que 12.6 onças são

rejeitas, qual a probabilidade de uma lata ser rejeitada?

3. A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue um

modelo normal com média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas.

a) Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 5000 horas?

b) Qual o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?b) Qual o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?

c) Se três lasers forem usados em certo produto e se eles falharem

independentemente, qual a probabilidade de todos os três estarem ainda

operando após 7000 horas?

3. Dois analistas observaram uma solução de soda de concentração conhecida

(%) e obtiveram os seguintes resultados:

Considerando que a resposta observada pode ser representada pelo modelo

Analista DeterminaçõesJoão 10.2 9.9 10.1 10.4 10.2 10.4Paulo 9.9 10.2 9.5 10.4 10.6 9.4

Considerando que a resposta observada pode ser representada pelo modelo

normal e que a concentração real da solução é 10.1%, responda:

a) Qual dos dois analistas tem maior probabilidade de encontrar valores

acima de 10.5%?

b) Para cada analista, qual o valor da concentração determina que 15.5% das

determinações serão maiores?

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