investigaÇÃo numÉrica da convecÇÃo natural em...
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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN
DIRCT / DIRGRAD / DECEN
CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL MECNICA
DISCIPLINA PROJETO FINAL II
LEONARDO TERRA LOYOLA
INVESTIGAO NUMRICA DA CONVECO NATURAL EM
CAVIDADES ABERTAS HETEROGNEAS
TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO
CURITIBA
MAIO 2012
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LEONARDO TERRA LOYOLA
INVESTIGAO NUMRICA DA CONVECO NATURAL EM
CAVIDADES ABERTAS HETEROGNEAS
Monografia apresentada disciplina Projeto Final II, do Curso de Engenharia Industrial Mecnica da Universidade Tecnolgica Federal do Paran, Campus Curitiba, como requisito parcial para aprovao.
Orientador: Prof. Admilson T. Franco, Dr
Co-orientador: Prof. Slvio L. M. Junqueira, Dr
CURITIBA 2011
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TERMO DE ENCAMINHAMENTO
Venho, por meio deste termo, encaminhar para a apresentao o trabalho
SIMULAO NUMRICA DA CONVECO NATURAL EM CAVIDADES
ABERTAS HETEROGNEAS, realizado pelo aluno LEONARDO TERRA LOYOLA,
como requisito parcial para aprovao na disciplina Trabalho de Concluso de Curso
2 do curso de Engenharia Mecnica da Universidade Tecnolgica Federal do
Paran.
Orientador: Prof. Admilson T. Franco, Dr
DAMEC, UTFPR
Co-Orientador: Prof. Silvio L. M. Junqueira, Dr
DAMEC, UTFPR
Curitiba, 24 de Outubro de 2011.
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RESUMO
Neste trabalho, prope-se a investigao numrica do fenmeno de conveco
natural em meios porosos heterogneos, em que as fases slido e fluido so
visualmente distinguidas. Essa abordagem na soluo de escoamentos em meios
porosos denominada abordagem microscpica. A geometria em estudo uma
cavidade quadrada aberta para o ambiente com a presena de blocos condutivos,
fixos e rgidos em seu interior, uniformemente distribudos. A parede vertical interna
da cavidade mantida a uma temperatura constante maior que a do meio, e
constitui a fonte de energia para a conveco natural. As equaes de balano de
massa, quantidade de movimento e energia so resolvidas pelo Mtodo dos
Volumes Finitos, atravs de um programa de DFC (dinmica dos fluidos
computacional). O problema tratado em regime permanente, e adota-se a hiptese
de propriedades fsicas dos constituintes como constantes, exceto a massa
especfica do fluido na avaliao do termo de empuxo, sem o qual no h conveco
natural. O objetivo deste trabalho analisar a influncia que os parmetros
adimensionais: nmero de Rayleigh, razo de condutividade trmica slido-fluido e
nmero de blocos exercem nas taxas de transferncia de calor e no escoamento. Os
resultados das simulaes so avaliados quantitativamente com base nos valores de
nmero de Nusselt e de vazo volumtrica adimensional de entrada na cavidade, e
qualitativamente com base em grficos de isotermas e de linhas de corrente.
Observou-se que, para qualquer nmero de Rayleigh, a quantidade de calor que o
fluido capaz de transportar ao meio externo significativamente reduzida quando
h interferncia da camada-limite trmica pela fase slida. A variao da razo de
condutividade trmica slido-fluido possui maior importncia justamente nesses
casos de interferncia, e blocos mais condutivos facilitam as trocas de calor.
Palavras-chave: Conveco Natural, Cavidade Aberta, Meio Heterogneo, Regime Transiente, DFC.
-
v
SUMRIO
LISTA DE ILUSTRAES vii
LISTA DE TABELAS x
NOMENCLATURA xi
1 INTRODUO 1
1.1 Meios porosos 1
1.2 Aplicaes de Fenmenos de Transporte em Meios Porosos 3
1.3 Formulao do Problema 6
1.4 Objetivos 8
1.5 Justificativa 9
1.6 Contedo do Trabalho 10
2 REVISO BIBLIOGRFICA 12
2.1 Camadas-limite Hidrodinmica e Trmica Conceitos 12
2.1.1 Lei de Resfriamento de Newton 13
2.1.2 Conveco Natural 14
2.2 Reviso da Literatura 19
3 MODELAGEM MATEMTICA 24
3.1 Hipteses Simplificadoras 24
3.2 Equaes Governantes da Conveco Natural 26
3.2.1 Equao de conservao da massa 26
3.2.2 Equao de conservao da quantidade de movimento 27
3.2.3 Equao da conservao da energia 28
3.3 Adimensionalizao das Equaes Governantes 28
3.3.1 Equao da conservao da massa adimensionalizada 29
3.3.2 Equao da conservao da quantidade de movimento 29
3.3.3 Equao da conservao da energia 29
3.4 Condies de contorno 30
3.5 Funo linha de corrente 32
4 MODELAGEM NUMRICA 34
5 VALIDAO DO CDIGO DO PROGRAMA DFC 37
5.1 Cavidade Fechada sem Blocos 37
5.2 Cavidade Fechada Heterognea 39
5.3 Cavidade Aberta Homognea 40
5.3.1 Escolha das dimenses do domnio computacional para a cavidade aberta 44
6 Cavidade Aberta com Blocos 48
6.1 Teste de malha e malhas utilizadas 48
-
vi
6.1.1 Teste de malha para 510Ra e 610Ra 49
6.1.2 Teste de malha para 710Ra e 810Ra 51
6.2 Resultados e Discusses 56
6.2.1 Efeito da variao do nmero de Rayleigh 60
6.2.2 Efeito da variao do nmero de blocos 66
6.2.3 Efeito da variao da razo de condutividade trmica slido-fluido 71
6.2.4 Anlise do nmero de Nusselt local na parede aquecida para a conveco natural na cavidade aberta 73
6.2.5 Correlaes para nmero de Nusselt de Nusselt mdio e vazo adimensional de entrada de fluido na cavidade 79
7 CONCLUSO 81
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 83
APNDICE A CAVIDADE FECHADA SEM BLOCOS 86
APNDICE B RESULTADOS PARA A CAVIDADE ABERTA COM BLOCOS 88
APNDICE C CDIGO DO PROGRAMA: ARQUIVO Q1 90
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vii
LISTA DE ILUSTRAES
Figura 1 Exemplos de meios porosos: tecido sseo humano, pulmo humano e
areia. .................................................................................................................... 2
Figura 2 Perfuso de nutrientes numa estrutura porosa sinttica ............................ 4
Figura 3 Etapas de manufatura para o processo RTM tpico (resin transfer molding)
............................................................................................................................. 5
Figura 4 Desenho esquemtico do processo VARTM (vacuum assisted resin
transfer molding) .................................................................................................. 5
Figura 5 Evoluo do escoamento de resina no molde. ........................................... 6
Figura 6 Esquema de uma cavidade aberta .............................................................. 7
Figura 7 Representao esquemtica da cavidade aberta, meio heterogneo,
abordagem microscpica ..................................................................................... 8
Figura 8 Camada-limite hidrodinmica ( esquerda) e camada-limite trmica (
direita) para a conveco natural laminar numa placa plana vertical aquecida
adaptado de Incropera e De Witt (2008) ............................................................ 12
Figura 9 Configurao esquemtica da conveco natural (adaptado de Nield e
Bejan, 2009) ....................................................................................................... 15
Figura 10 Esquema de desenvolvimento para nmero de Prandtl ( Pr ) baixo
(acima) e alto (abaixo) (adaptado de Nield e Bejan, 2009) ................................ 17
Figura 11 Representao esquemtica da cavidade aberta quadrada com o
domnio heterogneo e condies de contorno; detalhe do bloco slido direita.
........................................................................................................................... 31
Figura 12. Cavidade fechada horizontal. Geometria e condies de contorno. ........ 37
Figura 13. Cavidade fechada horizontal heterognea, com a presena de um bloco
em seu interior. .................................................................................................. 40
Figura 14. Geometria e condies de contorno para a cavidade aberta sem blocos 41
-
viii
Figura 15 Exemplo de malha utilizada para a simulao da cavidade aberta
(80 0 no interior da cavidade) ......................................................................... 42
Figura 16 Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo) para os domnios
3L H e 2 3L H , 310Ra e 810Ra . Obs: Apenas a regio correspondente
ao domnio 2 3L H mostrada. ........................................................................ 46
Figura 17 - Exemplo de malha: uniforme 121 121 no interior da cavidade e 20 20
no-uniforme com 1,6n no exterior (regio 2 e 3). (a): domnio completo; (b):
detalhe da cavidade ........................................................................................... 50
Figura 18 Distribuio da malha na cavidade aberta quadrada e nas redondezas,
mostrando-se as diferentes regies de refinamento e a alta concentrao de
pontos nas regies 1 e 3 Ra=107 e Ra=108 .................................................... 51
Figura 19. Isotermas para 610Ra e 710Ra , 9N e 36N . Apenas a regio
prxima da cavidade mostrada. ...................................................................... 59
Figura 20. Linhas de corrente para 610Ra e 710Ra , 9N e 36N . Apenas a
regio prxima da cavidade mostrada. ........................................................... 59
Figura 21. Grficos mNu Ra para 0,1 , 1 , 10 e 100 . ......................... 61
Figura 22. Grficos M Ra para 0,1 , 1 , 10 e 100 . ............................ 62
Figura 23. 1 , 36N (a), (b), (c) e (d): isotermas; (e), (f), (g) e (h): linhas de
corrente. ............................................................................................................. 63
Figura 24 Perfis de velocidade e temperatura na entrada da cavidade para 1 65
Figura 25. Nmero de Nusselt mdio como funo do nmero de blocos para 0,1
a 100 e 510Ra a 810Ra . ......................................................................... 67
Figura 26. Vazo volumtrica adimensional como funo do nmero de blocos para
0,1 a 100 e 510Ra a 810Ra . ............................................................. 67
Figura 27. 710Ra , 0,1K . (a), (b) e (c): campos de temperatura; (d), (e) e (f):
linhas de corrente. .............................................................................................. 70
-
ix
Figura 28. Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo) obtidas para 610Ra e
36N . ............................................................................................................... 72
Figura 29. Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo) obtidas para 710Ra e
9N . ................................................................................................................. 73
Figura 30 LNu como funo de Y para 0,1 ..................................................... 74
Figura 31 LNu , V e como funo de Y para 710Ra , 0,1 e 10 ............ 76
Figura 32 Linhas de corrente (acima) e isotermas (abaixo) para 710Ra e 64N .
........................................................................................................................... 78
-
x
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Equaes dominantes adimensionais ..................................................... 33
Tabela 2. Valores de e S para a varivel . ..................................................... 35
Tabela 3 Comparao de mNu para refino de malha computacional ..................... 38
Tabela 4. Resultados de mNu obtidos pela presente soluo e por solues de
referncia encontradas na literatura para a cavidade quadrada e fechada com
um bloco. ............................................................................................................ 40
Tabela 7. Resultados de mNu e m obtidos pelo programa PHOENICS-CFD e por
Chan e Tien (1985) para a cavidade quadrada, aberta e homognea. .............. 44
Tabela 8. Resultados de mNu e M obtidos para os domnios 2 3L H e 3L H ,
meio homogneo. .............................................................................................. 45
Tabela 9 Valores dos parmetros a serem estudados ........................................... 48
Tabela 10. Teste de malha para a cavidade aberta heterognea, 610Ra .
Resultados de mNu e M encontrados para as malhas uniformes ( 144N e
10 ). ............................................................................................................... 50
Tabela 11 Teste de sensibilidade de malha para a regio 3, Figura 18. ................ 53
Tabela 12 Teste de sensibilidade de malha para a regio 1, Figura 18. ................ 53
Tabela 13 Teste de sensibilidade de malha para a regio 2, Figura 18. ................ 54
Tabela 14 Refino da malha escolhida para 710Ra e 810Ra . ............................ 55
Tabela 15 Teste de sensibilidade de malha para 810Ra , 144N e 10 . ....... 55
Tabela 16. Valores de mnN esperados para os nmeros de Rayleigh investigados . 69
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xi
NOMENCLATURA
Letras Romanas
A rea 2m
B Razo de aspecto da cavidade -
pc Calor especfico presso constante /J kg K
d Comprimento caracterstico dos blocos m
D Comprimento caracterstico dos blocos adimensional -
ie Vetor unitrio na direo x -
je Vetor unitrio na direo y -
ke Vetor unitrio na direo z -
E Extenso de aplicao da malha numrica m
EP Erro percentual relativo -
g Acelerao da gravidade 2/m s
Gr Nmero de Grashof -
h Coeficiente convectivo local de transferncia de calor 2/W m K
H Altura da cavidade m
k Condutividade trmica /W m K
L Comprimento caracterstico m
m Vazo adimensional de entrada do fluido na cavidade -
n Vetor unitrio normal superfcie de referncia -
N Nmero de blocos -
Nu Nmero de Nusselt -
mNu Nmero de Nusselt mdio -
mNu Nmero de Nusselt local -
p Presso Pa
P Presso adimensional -
Pr Nmero de Prandtl -
q Posio do n na malha -
-
xii
Q Vazo volumtrica 3 /m s
''q Fluxo de calor 2/W m
'''q Gerao de energia interna 2/W m
r Grau de refinamento da malha -
Ra Nmero de Rayleigh -
t Tempo s
T Temperatura K
u Velocidade do fluido na direo x /m s
U Velocidade adimensional do fluido na direo x -
v Velocidade do fluido na direo y /m s
V Velocidade adimensional do fluido na direo y /m s
VC Nmero de volumes de controle /m s
V Vetor velocidade em coordenada cartesiana /m s
,x y Coordenadas cartesianas m
,X Y Coordenadas cartesianas adimensionais -
Smbolos Gregos
Difusividade trmica 2 /m s
Coeficiente de expanso trmica 1K
Espessura da camada-limite hidrodinmica m
T Espessura da camada-limite trmica m
Funo dissipao viscosa 3/W m
Viscosidade dinmica .Pa s
Viscosidade cinemtica do fluido 2 /m s
cal Valor calculado -
ref Valor de referncia -
Temperatura adimensional -
Massa especfica 3/kg m
Razo de capacidade trmica slido-fluido -
Temperatura adimensional -
-
xiii
Densidade de malha 3/W m
Funo linha de corrente -
Subscritos
f Fluido
F Temperatura na parede fria
in Fluido que entra no domnio numrico
mx Valor mximo
out Fluido que deixa o domnio numrico
Q Temperatura na parede quente
S Slido
Valor ambiente
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1
1 INTRODUO
Equation Chapter (Next) Section 1
Pesquisas tericas e de aplicao sobre fenmenos de transporte em meios
porosos tm recebido ateno crescente nas ltimas trs dcadas devido sua
importncia em diversas reas da engenharia. Devido a esse esforo, avanos
significativos tm sido alcanados nesse campo. A modelagem de escoamentos e
transferncia de calor e de massa apresenta hoje resultados mais prximos do
verificado em escoamentos reais. As prprias tcnicas de medio tm sofrido
avanos importantes recentemente, incluindo formas mais eficientes e efetivas de
medida de propriedades termodinmicas como condutividade trmica, alm de
melhorias e novas formas de visualizao de escoamentos. (VAFAI, 2005)
O objetivo desta introduo exemplificar aplicaes recentes da pesquisa da
transferncia de calor e de massa em meios porosos e situar o estudo da
transferncia de calor por conveco natural em cavidades. Sero apresentados
ainda alguns conceitos bsicos para facilitar o entendimento do problema.
1.1 Meios porosos
O meio poroso pode ser definido como o material formado por uma matriz
slida, rgida ou sujeitas a pequenas deformaes, com espaos interconectados.
Freqentemente, tanto a matriz slida quanto os vazios so contnuos, de maneira a
formar dois meios que se interpenetram, como numa esponja de cozinha. Os
espaos formados pela estrutura slida podem ser preenchidos por um ou mais
fluidos. (BEJAN, 2009)
Em meios porosos naturais, a distribuio de poros com relao forma e
tamanho irregular. Exemplos de meios porosos naturais so: a areia da praia,
madeira, o pulmo humano, ou ainda o tecido sseo, como mostrado na Figura 1.
Na escala do poro, as variveis de velocidade, temperatura e presso so
nitidamente irregulares. Em experimentos, a medio dessas variveis feita em
reas que atravessam vrios poros, e o que medido na verdade uma mdia
espacial de valores de propriedades, de velocidade do escoamento e de
temperatura.
-
2
Figura 1 Exemplos de meios porosos: tecido sseo humano, pulmo humano e areia.
*Imagens retiradas de http://casasaudavel.com.br/2010/07/31/tour-pelo-pulmao-gigante-no-recife-
acaba-amanha/, http://www.poderdasmaos.com/site/?p=Sistema_Esqueletico_-_417631 e
http://jornale.com.br/mirian/?p=14039, respectivamente.
A forma como o escoamento de fluidos em meios porosos tratado
basicamente uma questo de distncia entre o observador e o fenmeno fsico.
Quando a distncia pequena, podem ser vistos apenas alguns canais no meio, ou
algumas cavidades fechadas ou abertas. Nessa abordagem do problema,
denominada abordagem microscpica, possvel utilizar as equaes de balano da
mecnica dos fluidos convencional para a resoluo dos campos de velocidade,
temperatura e presso. Quando a distncia grande a ponto de ser difcil distinguir
poro de matriz slida, h algumas complicaes que dificultam a soluo de maneira
convencional, como a modelagem da geometria e da alta capacidade computacional
necessria para os balanos de massa, energia e quantidade de movimento em
todos os pontos em estudo. Nesses casos, adota-se a abordagem denominada
macroscpica, em que so realizadas mdias volumtricas das propriedades termo-
fsicas do meio para descrev-lo e simplificar a modelagem. (NIELD e BEJAN, 2009)
http://casasaudavel.com.br/2010/07/31/tour-pelo-pulmao-gigante-no-recife-acaba-amanha/http://casasaudavel.com.br/2010/07/31/tour-pelo-pulmao-gigante-no-recife-acaba-amanha/http://www.poderdasmaos.com/site/?p=Sistema_Esqueletico_-_417631http://jornale.com.br/mirian/?p=14039
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3
1.2 Aplicaes de Fenmenos de Transporte em Meios Porosos
Uma rea rica de aplicao do conhecimento de fenmenos de transporte em
meios porosos a biologia. Como exemplos temos o estudo da difuso trmica em
tecido cerebral, difuso trmica durante processos de gerao de tecidos vivos
(engenharia de tecidos), uso da ressonncia magntica por imagem (RMI) para
caracterizar propriedades do tecido humano, perfuso de nutrientes do sangue para
imediaes, fluxo sanguneo em tumores, etc. (VAFAI, 2005)
Outras aplicaes ocorrem na rea de sistemas geotrmicos, processos de
fabricao de compsitos, combusto em meios porosos inertes entre outros.
i. Engenharia de Tecidos
Como exemplo de aplicao da transferncia de calor e de massa em meios
porosos tem-se a engenharia de tecidos, definida como um campo multidisciplinar de
pesquisa que usa dos princpios de engenharia e das cincias relacionadas vida
para o desenvolvimento de estruturas biolgicas substitutas que restaurem,
mantenham, ou melhorem a funo de um tecido ou de um rgo (LANZA et al,
2009).
A estratgia principal da engenharia de tecidos envolve a implantao de
clulas vivas numa estrutura sinttica porosa biocompatvel e a manuteno desse
sistema num biorreator. A funo dessa estrutura sinttica possibilitar a formao
de um tecido em trs dimenses. Ela deve permitir a fixao e migrao de clulas e
de molculas bioqumicas, permitir a difuso dos nutrientes celulares e simular
certas influncias biolgicas e mecnicas para modificar o comportamento das
clulas. Alm disso, a estrutura deve ser biodegradvel, para evitar a necessidade
de remoo cirrgica.
Para atender a essas necessidades, essa estrutura sinttica deve possuir
certas caractersticas quanto porosidade e tamanho de poros. Uma estrutura muito
porosa pode prejudicar a distribuio de nutrientes para as clulas dentro do
biorreator, ou ento submeter certas clulas a nveis exagerados de tenso devido
ao movimento de fluidos. Hoje est claro que o metabolismo de clulas e tecidos
influenciado pelos mecanismos de transporte de nutrientes e de rejeitos que
regulado pela movimentao de fluidos. Em tecidos vivos, essa movimentao
-
4
assume uma importncia significativa na morfognese, no metabolismo e no
aparecimento de patologias (VAFAI, 2011). A Figura 2 mostra de maneira
esquemtica um padro de distribuio tpico numa estrutura sinttica, sendo
evidenciada a direo principal do escoamento.
Figura 2 Perfuso de nutrientes numa estrutura porosa sinttica
*adaptado de Applications in Biological Systems and Biotechnology, 1ed
, 2011
ii. Manufatura de Compsitos
Outro exemplo de aplicao do estudo da transferncia de calor e de massa
em meios porosos a manufatura de compsitos, em especial o processo Liquid
Composite Molding (LCM). Nesse processo, o polmero lquido injetado dentro de
um molde que j contm as fibras do compsito, como fibras de vidro, de carbono ou
de aramida. A Figura 3 e a Figura 4 apresentam algumas variantes do processo
LCM (VAFAI, 2005).
Direo principal da perfuso
-
5
Figura 3 Etapas de manufatura para o processo RTM tpico (resin transfer molding)
*adaptado de Handbook of Porous Media, 2ed
, 2005
Figura 4 Desenho esquemtico do processo VARTM (vacuum assisted resin transfer molding)
*adaptado de Handbook of Porous Media, 2ed
, 2005
Uma das razes para o estudo numrico desse processo de manufatura
investigar a melhor maneira de dispor as fibras no molde e as melhores posies
para a injeo da resina e para a aplicao do vcuo. No realizar esses estudos
-
6
pode levar a padres indesejados de impregnao de resina na fibra, conforme
mostrado na Figura 5.
Figura 5 Evoluo do escoamento de resina no molde.
*adaptado de Handbook of Porous Media, 2ed
, 2005
1.3 Formulao do Problema
O problema proposto a transferncia de calor por conveco natural em
regime permanente em cavidades abertas preenchidas por blocos slidos quadrados
condutivos e desconexos. Os blocos simulam o meio slido do meio poroso. Os
espaos entre os blocos so preenchidos pelo fluido em movimento. Essa
abordagem do problema denominada abordagem microscpica, em que ambas as
fases fluido e slido so visveis. A soluo do problema ser realizada
numericamente, usando-se um programa comercial de Dinmica dos Fluidos
Computacional (DFC). Essa abordagem necessria pois as equaes diferenciais
envolvidas na transferncia de calor e de massa no possuem soluo analtica.
A Figura 6 ilustra uma cavidade aberta. De forma simples, as cavidades
abertas representar objetos como fornos, cmeras refrigeradas, gabinetes de um
computador desktop ou uma geladeira.
-
7
Figura 6 Esquema de uma cavidade aberta
A geometria e o domnio numrico do problema so apresentados
esquematicamente na Figura 7. A cavidade em estudo delimitada por uma parede
isotrmica vertical e por duas paredes adiabticas horizontais. A razo de aspecto
da cavidade, B H L , unitria. O domnio estendido nas direes x e y ,
2 3L H . As paredes verticais acima e abaixo da entrada so adiabticas. Os
blocos so fixos e rgidos e participam das trocas de calor por conduo. As linhas
tracejadas representam fronteiras por onde o fluido pode entrar ou sair no domnio
de soluo.
As propriedades do fluido so mantidas constantes, exceto na avaliao do
termo do empuxo, causado pela conjuno da variao da massa especfica em
funo da temperatura e das foras de corpo originadas pela presena da gravidade.
Slido
Cavidade
aberta
-
8
Figura 7 Representao esquemtica da cavidade aberta, meio heterogneo, abordagem microscpica
1.4 Objetivos
Objetivo Geral
O objetivo deste trabalho a anlise numrica da transferncia de calor por
conveco natural em uma cavidade preenchida por blocos quadrados, fixos, rgidos
e condutivos, e aberta para o ambiente. Essa geometria foi escolhida como
representante do meio poroso visto sob a tica da abordagem microscpica.
Pretende-se avaliar sob que condies as trocas trmicas entre cavidade e meio so
facilitadas ou dificultadas, e o porqu de tal comportamento.
-
9
Especificamente, ser investigado o efeito que a variao do nmero de
blocos, da razo de condutividade trmica slido-fluido e da intensificao da
hidrodinmica do escoamento, associada ao nmero de Rayleigh, causam nos
resultados adimensionais nmero de Nusselt e vazo volumtrica adimensional de
fluido na entrada da cavidade, alm da sua influncia nas distribuies de isotermas
e linhas de corrente.
Objetivos Especficos
Pelo discutido acima, entende-se que os objetivos especficos compreendem a
determinao de:
1. Nmero de Nusselt mdio na parede aquecida;
2. Vazo volumtrica adimensional na abertura da cavidade;
3. Campos de temperatura (isotermas);
4. Campos de linhas de corrente.
Os parmetros fsicos de soluo que sero investigados so os mesmos
adotados por Merrick e Lage (2005) no estudo da conveco natural numa cavidade
fechada horizontal aquecida lateralmente, tambm preenchida por blocos slidos. A
sua definio fsica e matemtica dada no decorrer do trabalho.
1.5 Justificativa
A transferncia de calor e de massa em meios porosos est presente em vrias
aplicaes de interesse da engenharia. Podem-se citar reservatrios geotrmicos,
processos de fabricao, combusto em meios porosos inertes, resfriamento de
componentes eletrnicos, isolamento trmico, sistemas biolgicos e biotecnologia,
entre outros.
Simular numericamente o meio poroso de forma simplificada pode auxiliar no
entendimento da transferncia de calor em meios porosos reais e na obteno de
modelos que os representem de forma mais fiel e precisa. Isso se mostra necessrio
devido ao grande esforo computacional realizado para se simular o meio poroso tal
como encontrado nas diversas aplicaes da engenharia, formado por milhares de
partculas slidas tambm porosas suscetveis movimentao devido ao
escoamento do fluido.
-
10
Sendo assim, o presente projeto possui aplicaes que fornecem vantagens
econmicas, tecnolgicas e de bem-estar humano. Economicamente, a simulao
da transferncia de calor e de massa em meios porosos pode levar a redues de
custos. Por exemplo, simulaes numricas podem substituir em parte a explorao
de aquferos geotrmicos realizada pela perfurao de poos. Tecnologicamente, o
estudo pode auxiliar no desenvolvimento de meios porosos para diversos fins, como
isolantes trmicos ou dissipadores de calor, aumentando a eficincia energtica de
sistemas em geral. Quanto ao bem estar humano, o estudo pode resultar em meios
porosos que forneam a estrutura necessria para o desenvolvimento de tecidos ou
rgos humanos (VAFAI, 2011).
Academicamente, o desenvolvimento deste projeto de importncia, pois
engloba o conhecimento adquirido em diversas disciplinas do curso, como Mecnica
dos Fluidos, Transferncia de Calor e de Massa, Mtodos Numricos e noes de
programao e de DFC (Dinmica de Fluido Computacional).
1.6 Contedo do Trabalho
O contedo do trabalho estruturado em 6 captulos, incluindo este captulo
introdutrio, que insere o problema no contexto da transferncia da calor em meios
porosos.
O segundo captulo apresenta a Reviso Bibliogrfica, onde so realizadas
algumas consideraes sobre transferncia de calor por conveco natural,
necessrias para o desenvolvimento do estudo. So definidos os parmetros
adimensionais de soluo e discutida sua influncia no desenvolvimento das
camada-limites trmica e hidrodinmica. So comentados ainda alguns trabalhos de
interesse encontrados na literatura relacionados ao tema da conveco natural em
cavidades.
O terceiro captulo, modelagem matemtica, apresenta as hipteses
simplificadoras adotadas para o problema e as equaes de balano de massa, de
quantidade de movimento e de energia. Essas equaes so adimensionalizadas e
discutidas. Ainda, so apresentadas as condies de contorno aplicadas.
O quarto captulo apresenta brevemente alguns conceitos importantes sobre o
mtodo numrico de soluo das equaes de balano adotado pelo programa.
-
11
O quinto captulo trata das etapas de validao do cdigo implementado no
programa DFC para a simulao da conveco natural na cavidade aberta
heterognea, vista sob a ptica da abordagem microscpica. Aqui so avaliadas as
cavidades fechadas homognea e heterognea e a cavidade aberta homognea. A
validao realizada pela comparao da soluo obtida com solues de
referncia encontradas na literatura, e discutem-se aspectos de teste de
sensibilidade de malha.
O sexto captulo apresenta a discusso do problema da conveco natural na
cavidade aberta heterognea. Esse captulo dividido em duas sees, o teste de
malha realizado e resultados. Nesta ltima seo so avaliados os efeitos que a
variao dos parmetros de soluo causa nas taxas de transferncia de calor e no
escoamento.
Por fim, o stimo captulo expe as concluses do presente trabalho. Na
seqncia, so apresentadas as referncias bibliogrficas e os apndices. O
APNDICE A apresenta a comparao dos resultados obtidos para a cavidade
fechada homognea e com solues de referncia da literatura. O APNDICE B
apresenta os resultados de nmero de Nusselt e vazo volumtrica adimensional de
entrada de fluido na cavidade encontrados para a cavidade aberta com blocos. No
APNDICE C transcrito o cdigo de entrada de parmetros de soluo numrica
utilizado no programa DFC para as simulaes da cavidade aberta com blocos.
-
12
2 REVISO BIBLIOGRFICA
Equation Chapter (Next) Section 1
Nesse captulo sero apresentadas brevemente algumas definies sobre
transferncia de calor por conveco, importantes para o desenvolvimento do
projeto. Na seqncia sero discutidos alguns trabalhos da literatura acerca do tema
da conveco natural em cavidades.
2.1 Camadas-limite Hidrodinmica e Trmica Conceitos
A transferncia de calor por conveco, ou simplesmente conveco, o
estudo do transporte de calor resultante da movimentao de fluidos (NIELD e
BEJAN, 2009).
A aplicao mais usual da conveco a interao trmica entre um fluido e
uma superfcie slida, sob diferentes temperaturas. o caso, por exemplo, de
cmeras frigorficas, fornos e trocadores de calor.
A conveco caracterizada pela presena das camadas-limite hidrodinmica
e trmica. Na Figura 8 so ilustradas camadas-limites laminares.
Figura 8 Camada-limite hidrodinmica ( esquerda) e camada-limite trmica ( direita) para a conveco natural laminar numa placa plana vertical aquecida adaptado de Incropera e De
Witt (2008)
-
13
Na Figura 8, representa a espessura da camada-limite hidrodinmica e T
representa a espessura da camada-limite trmica. O subscrito indica
propriedades do fluido nas condies do ambiente e o subscrito S indica
propriedades da parede aquecida.
A camada-limite hidrodinmica, ou de velocidade, formada devido ao efeito
conjunto da viscosidade do fluido e da condio de no deslizamento na superfcie
slida. Na interface fluido/slido, as partculas fluidas e o slido esto em contato e
possuem a mesma velocidade em relao a um referencial qualquer. A viscosidade
e a diferena de velocidade entre camadas adjacentes de fluido causam tenses
cisalhantes que dissipam energia cintica das partculas fluidas, retardando-as. Isso
claramente mostrado na Figura 8 conforme nos distanciamos da superfcie slida
( 0y ). A espessura da camada-limite hidrodinmica fica definida pelo valor de y
em que a velocidade do fluido corresponde a 99% da velocidade da corrente-livre, e
denotada pela letra grega .
A camada-limite trmica formada devido conduo de calor no fluido e
diferena de temperatura entre a superfcie do slido e o fluido. Na interface, as
partculas fluidas possuem a mesma temperatura da superfcie, esto em equilbrio-
trmico. Por sua vez, essas partculas trocam calor com as partculas fluidas
adjacentes, e h o desenvolvimento de gradientes de temperatura no fluido. A regio
do fluido onde esse fenmeno se desenvolve denominada camada-limite trmica,
e sua espessura t definida pelo valor de y em que a razo
0,99S ST T T T .
2.1.1 Lei de Resfriamento de Newton
A transferncia de calor por conveco regida pela lei de resfriamento de
Newton, equao (2.1). Segundo essa lei, o fluxo de calor na interface slido/fluido
diretamente proporcional ao coeficiente convectivo mdio, h , e diferena entre a
temperatura da superfcie do slido e a temperatura do fluido ambiente. O
coeficiente convectivo depende das condies da camada-limite, que so
influenciadas pela geometria da superfcie, pela natureza do escoamento, e por
-
14
vrias propriedades termodinmicas e de transporte do fluido. (INCROPERA e DE
WITT, 2008)
'' Sq h T T (2.1)
O coeficiente convectivo mdio pode ser calculado pela integrao do
coeficiente convectivo local h ao longo da seo da superfcie slida analisada, de
rea SA , conforme equao (2.2). (INCROPERA e DE WITT, 2008)
1
S
S
S A
h hdAA
(2.2)
Para um problema bidimensional, a equao (2.2) se reduz a
1
L
h hdLL
(2.3)
em que L um comprimento caracterstico de interesse.
A maioria dos problemas de transferncia de calor por conveco so
problemas de determinao do valor do coeficiente convectivo mdio.
2.1.2 Conveco Natural
A conveco se divide em conveco forada, conveco natural e conveco
mista. Na conveco forada o movimento relativo entre o fluido e a superfcie
mantido por meios externos, tais como ventiladores, sopradores, bombas. Na
conveco natural, o escoamento originado pelas foras de empuxo decorrente de
variaes de massa especfica no fluido e presena da acelerao gravitacional. A
conveco mista caracterizada pela ocorrncia de ambos os fenmenos.
(INCROPERA e DE WITT, 2008)
No presente trabalho, a variao de massa especfica no fluido causada por
diferenas de temperatura. Um esquema da conveco natural mostrado na Figura
9. Um corpo aquecido ( 0T ) est submerso num fluido qualquer (T ). presso
constante, o fluido aquecido se expande, se torna menos denso e mais leve, e tende
a subir. Por sua vez, o reservatrio de fluido deslocado para baixo pela massa
aquecida de fluido, formando a clula de conveco livre mostrada.
-
15
''q
x 0y
y
y H
''q
Resfriamento e
compresso
Movimento do
fluido
Duto
imaginrio
Fluido Frio
reservatrio
Parede
aquecida
QT
Aq
uecim
en
to
e e
xp
an
so
g
Figura 9 Configurao esquemtica da conveco natural (adaptado de Nield e Bejan, 2009)
O fluido em movimento passa por um ciclo de aquecimento, expanso,
resfriamento e compresso, de forma similar ao que ocorre numa mquina trmica.
Na ausncia de trabalho realizado, o fluido se movimenta com tal velocidade que
todo o potencial de desenvolvimento de trabalho dissipado pelas foras viscosas
no interior do fluido e na interface com as paredes.
A questo fundamental da transferncia de calor por conveco natural a
determinao da taxa de transferncia de calor entre a superfcie slida e o fluido.
Quando os valores das temperaturas so conhecidos, o problema passa a ser a
determinao do coeficiente convectivo mdio.
2.1.2.1 Aproximao de Boussinesq
Conforme explicado, no presente trabalho a diferena de massa especfica
causada por diferenas de temperatura em camadas adjacentes de fluido. A relao
entre as duas propriedades pode ser avaliada pela aproximao de Boussinesq.
Matematicamente, essa aproximao dada pela equao (2.4) (NIELD e BEJAN,
2009).
f T T (2.4)
-
16
onde representa o coeficiente de expanso trmico do fluido. A fora motriz do
escoamento mostrada como decorrente da diferena de temperatura entre o
reservatrio e a partcula fluida. Caso essa diferena seja nula em todo o fluido, no
h escoamento.
2.1.2.2 Parmetros adimensionais da conveco natural
O modo de transferncia de calor por conveco abrange dois mecanismos,
difuso e adveco. A difuso a transferncia de energia devido movimentao
molecular aleatria. A adveco corresponde ao transporte de calor devido ao
movimento global do fluido. Logo, o fenmeno da conveco natural envolve um
balano entre a conduo e a adveco, como ser mostrado na modelagem
matemtica adiante, seo 3.2.3.
H trs foras de naturezas distintas presentes na camada-limite da conveco
natural: fora de inrcia, fora cisalhante e fora de empuxo. A conveco natural
governada pelo balano dessas foras. A competio entre foras de inrcia e foras
viscosas determinada pelo nmero de Prandtl, uma propriedade do fluido definida
pela equao (2.5), em que representa a viscosidade cinemtica e a
difusividade trmica. Fluidos com alto valor de nmero de Prandtl formam uma
camada-limite hidrodinmica governada pelas foras viscosas e de empuxo,
enquanto que fluidos com baixo valor de nmero de Prandtl formam uma camada-
limite hidrodinmica governada pelas foras de inrcia e de empuxo.(BEJAN, 2009)
Pr
(2.5)
-
17
Figura 10 Esquema de desenvolvimento para nmero de Prandtl ( Pr ) baixo (acima) e alto (abaixo) (adaptado de Nield e Bejan, 2009)
Os grficos da Figura 10 ilustram a relao entre a camada limite trmica e a
camada limite hidrodinmica para nmeros de Prandtl baixo e alto. Para valores de
Prandtl elevados, a espessura da camada-limite hidrodinmica consideravelmente
maior que a espessura da camada-limite trmica, devido elevada viscosidade.
Nesse caso, parte do fluido da camada-limite est em movimento sem estar sob
influncia da fora de empuxo. Nessa regio, h apenas o balano da fora de
inrcia e da fora viscosa. Na regio da camada-limite trmica, T , h a
predominncia da fora de empuxo e da fora viscosa.
Para valores de Prandtl baixos, no interior da camada de espessura T o fluido
elevado pela fora de empuxo e retardado pela inrcia. Fora de T , onde o fluido
isotrmico e no h fora de empuxo, o fluido no sofre movimentao. O perfil de
-
18
velocidade deve ser to largo quanto o perfil de temperatura. Devido condio de
no deslizamento, h uma camada V de espessura mnima onde h a
predominncia da fora de empuxo e da fora viscosa.
Outro parmetro adimensional de importncia para a transferncia de calor por
conveco natural o nmero de Grashof, definido na equao (2.6). Esse
parmetro est relacionado intensidade do escoamento. Quanto maior seu valor,
maiores as velocidades envolvidas. Fisicamente, o nmero de Grashof uma
medida da razo entre a fora de empuxo e as foras viscosas que atuam no fluido
Matematicamente, esse parmetro obtido pela adimensionalizao da equao de
conservao de quantidade de movimento, seo 3.2.2.
3
2
Sg T T LGr
(2.6)
Na equao (2.6) g a gravidade e o coeficiente de expanso trmica.
prtica comum em estudos de conveco natural utilizar-se o parmetro
adimensional nmero de Rayleigh para se referir intensidade da conveco
natural. O nmero de Rayleigh obtido pela multiplicao dos nmeros de Prandtl e
de Grashof, equao (2.7).
3
PrQ ambg H T T
Ra Gr
(2.7)
2.1.2.3 Forma Funcional da Soluo da Conveco Natural e Nmero de Nusselt
De acordo com Incropera e de Witt (2008), desconsiderando os efeitos da
geometria, a soluo da conveco natural funo exclusiva do nmero de
Grashof e do nmero de Prandtl, ou seja, , PrT f Gr .
Na superfcie de troca trmica slido-fluido, as taxas de transferncia de calor
ou fluxo de calor por conveco e por conduo devem ser iguais. No fluido, o fluxo
de calor por conduo pode ser avaliado pela lei de Fourier, equao (2.8).
0
" fy
Tq k
y
(2.8)
Substituindo a equao (2.1) na equao (2.8) chega-se a
-
19
0
S f
y
Th T T k
y
(2.9)
Para obterem-se os parmetros de similaridade da camada-limite para a
conveco natural, Incropera e de Witt (2008) sugerem a adimensionalizao das
variveis geomtricas e de temperatura conforme as equaes (2.10) e (2.11).
x y
X YL L
(2.10)
S
S
T T
T T
(2.11)
Substituindo as equaes (2.10) e (2.11) na equao (2.9), chega-se relao
0Yf
hL
k Y
(2.12)
A razo fhL k denominado nmero de Nusselt local,
0Yf
hLNu
k Y
(2.13)
Esse parmetro de grande importncia no estudo da conveco natural, pois
representa uma medida da intensidade da transferncia de calor que ocorre em
determinado ponto na superfcie. Fisicamente, o nmero de Nusselt diretamente
proporcional ao coeficiente h e inversamente proporcional condutividade trmica
do fluido.
O nmero de Nusselt local pode ser integrado ao longo do comprimento
caracterstico L , usando-se a definio de coeficiente convectivo mdio, equao
(2.3), obtendo-se o nmero de Nusselt mdio,
0
1
Yf L
hLNu dL
k L Y
(2.14)
2.2 Reviso da Literatura
Nessa seo ser realizada uma breve reviso da literatura acerca do
problema da transferncia de calor em cavidades. O objetivo no revisar todos os
-
20
trabalhos j desenvolvidos sobre esse tema, apenas os artigos considerados
relevantes e que contriburam no entendimento da conveco natural em cavidades
abertas heterogneas.
Os efeitos da transferncia de calor por conveco natural vm sendo
estudados desde o incio do sculo XX, tendo incio com Brnard (1901) e Rayleigh
(1916). A partir de 1970, devido em grande parte maior facilidade de acesso ao
computador e melhoria de tcnicas computacionais e de mtodos numricos, alm
da importncia do fenmeno da conveco em vrias aplicaes da engenharia,
uma grande quantidade de estudos vem sendo realizada a respeito do tema.
Penot (1982) examinou uma cavidade isotrmica horizontal usando a
aproximao de Boussinesq para o termo de empuxo. Le Qure et al (1981),
estudando a mesma geometria e a mesma configurao de variveis concluram
que, a partir de determinado nmero de Grashof (razo entre o nmero de Rayleigh
e o nmero de Prandtl), 610Gr , as regies aquecidas prximas parede inferior da
cavidade tornam o escoamento instvel, e o problema no mais apresenta soluo
em regime permanente. Eles estudaram tambm os efeitos que a mudana da
inclinao da cavidade causa na transferncia de calor. Em ambos os estudos foram
usados domnios computacionais estendidos, tornando desnecessria uma
avaliao mais cuidadosa das condies de contorno na entrada do domnio.
Chan e Tien (1985a) realizaram um relevante estudo da conveco natural
em regime laminar numa cavidade aberta bidimensional quadrada com a parede
vertical aquecida e as paredes horizontais adiabticas. Foram obtidos resultados
para 310Ra a 910Ra e nmero de Prandtl unitrio. Os resultados da transferncia
de calor se aproximam daqueles encontrados para uma placa plana vertical
aquecida, especialmente para nmeros de Rayleigh mais elevados. Uma zona de
recirculao foi observada na regio de entrada da cavidade devido abrupta
mudana de direo do escoamento do fluido. Abaixo da parede isotrmica superior,
o escoamento apresentou estratificao trmica horizontal, com a formao
subsequente de uma pluma na sada da cavidade. Devido ao no conhecimento das
condies de contorno na entrada, o domnio numrico foi estendido.
No mesmo ano, Chan e Tien (1985b) avaliaram a transferncia de calor numa
cavidade aberta retangular, estendida na horizontal, com condies de contorno
-
21
similares s utilizadas no estudo anterior (CHAN E TIEN, 1985a). Desta vez,
entretanto, empregaram um domnio computacional restrito ao interior da cavidade,
com a finalidade de reduo do custo computacional das simulaes. Essa nova
abordagem fiel quanto intensidade das trocas de calor na cavidade,
especialmente para uma cavidade alongada. Algumas discrepncias foram
observadas na regio da entrada, onde no foram verificadas as mudanas de
direo no fluido nem as regies de recirculao. Eles obtiveram resultados para
310Ra a 910Ra e Pr 7 . Para baixos valores de Ra , os resultados para nmero
de Nusselt ficaram prximos de um, indicando um processo de transferncia de calor
predominantemente condutivo. Conforme o valor de Ra aumenta, o nmero de
Nusselt mdio se aproxima dos obtidos para a placa vertical plana.
House et al. (1990) fizeram um dos primeiros estudos sobre a transferncia
de calor em cavidades heterogneas. Eles investigaram o efeito que um bloco
condutivo slido e rgido posicionado no centro da cavidade quadrada fechada
exerce na transferncia de calor. A anlise revelou que o escoamento do fluido e a
intensidade das trocas trmicas so governados pelos nmeros de Rayleigh e
Prandtl, pelo tamanho adimensional do bloco e pela razo de condutividade trmica
slido-fluido. Eles apresentaram resultados para Pr 0,71 e para uma ampla gama
dos demais parmetros. A intensidade da transferncia de calor, representada pelo
nmero de Nusselt mdio, pode ser favorecida ou desfavorecida dependendo da
razo de condutividade trmica slido-fluido, e a influncia fica mais pronunciada
com o aumento do tamanho do bloco. Oh et al. (1997) deram prosseguimento ao
trabalho e analisaram a cavidade com um bloco com gerao de calor em seu
interior.
Bhave et al. (2006), no estudo de uma geometria semelhante, verificaram a
influncia do aumento do bloco adiabtico e sem gerao de energia no interior da
cavidade com a inteno de encontrar um tamanho timo que intensificasse a
transferncia de calor. Eles apresentaram resultados para 310Ra a 610Ra e trs
valores de Prandtl, Pr 0,071 , Pr 0,71 e Pr 7,1 . Eles observaram que o valor de
nmero de Nusselt mdio aumenta at um valor mximo com o aumento do
tamanho do bloco. Aps determinado tamanho, o bloco se torna maior que a rea
dominantemente condutiva original, diminuindo a vazo mssica de fluido em
-
22
conveco. O valor do nmero de Nusselt pode aumentar em at 10%, dependendo
do tamanho do bloco. Eles propuseram relaes matemticas para predizer o
tamanho de bloco timo.
Merrikh e Lage (2005) investigaram a conveco natural em uma cavidade
horizontal aquecida lateralmente, preenchida por obstculos slidos quadrados
igualmente espaados, condutivos e desconexos. O efeito dispersivo do constituinte
slido foi isolado pelo aumento do nmero de blocos mantendo uma porosidade
constante. Eles apresentaram resultados para uma ampla gama de nmero de
Rayleigh e de razo de condutividade trmica slido-fluido. O efeito de obstruo do
escoamento e de influncia nas taxas de transferncia de calor se mostrou
dependente de um nmero mnimo de blocos, para cada Ra . Uma expresso
analtica que prediz esse nmero mnimo de blocos que causa a interferncia da
camada limite pela fase slida foi apresentada.
De Lai et al. (2008) estudaram a mesma geometria, porm variaram a
porosidade. Foram avaliados os efeitos que a variao da condutividade trmica
slido-fluido, da porosidade, do nmero de blocos, e do nmero de Rayleigh
exercem sobre a intensidade de transferncia de calor, representada pelo nmero
de Nusselt mdio. Os resultados mostraram que uma maior proximidade dos blocos
das paredes verticais isotrmicas, obstruindo o escoamento na camada limite, pode
tanto aumentar ou diminuir o nmero de Nusselt, dependendo da razo de
condutividade trmica.
Braga e de Lemos (2005) compararam duas formas de abordagem para a
obteno de solues numricas da conveco natural ou turbulenta dentro de uma
cavidade preenchida por uma quantidade fixa de material slido condutivo. No
primeiro modelo, modelo do poro-contnuo ou macroscpico, o meio slido e o meio
fluido so vistos como um meio nico, onde so aplicadas as equaes de
transporte baseadas em mdias volumtricas. No segundo modelo, modelo contnuo
ou microscpico, as equaes de transporte so resolvidas separadamente para a
fase slida e para a fase fluida. Em ambas as abordagens, foi utilizado o mtodo dos
volumes finitos para a soluo. Chegou-se concluso de que, para mesmo nmero
de Rayleigh, os valores de nmero de Nusselt mdio para as duas abordagens so
diferentes, e essa diferena aumenta com a diminuio do nmero de Darcy (modelo
poro-contnuo) ou com o aumento do nmero de blocos (modelo contnuo).
-
23
Yedder e Erchiqui (2009) investigaram a conveco natural numa cavidade
fechada porosa aquecida por baixo e resfriada pelas laterais. Variaram-se os
parmetros nmero de Rayleigh, razo de aspecto da cavidade e o perfil de
temperatura na parede resfriada, que assumiu ou forma senoidal, ou linear. Os
resultados mostram que o escoamento na cavidade basicamente unicelular para
perfis lineares de temperatura nas paredes resfriadas. Para um perfil senoidal, o
escoamento se torna bicelular.
Mais recentemente, Oztop et al (2011) realizaram o estudo da conveco
natural numa cavidade parciamente aberta preenchida por um meio poroso,
adotando-se a abordagem macroscpica. O problema foi considerado em regime
permanente. Foi verificado que com o aumento do nmero de Grashof, a
temperatura nas regies da parede aquecida diminuem, e consequentemente so
observados valores maiores de nmero de Nusselt local em qualquer ponto da
parede aquecida.
Prakash et al. (2012) voltaram ao estudo da conveco natural em cavidades
abertas homogneas. Entretanto, a geometria do problema tridimensional, e trs
formatos diferentes de cavidade foram investigados: cbico, esfrico e semiesfrico.
Foi analisado o comportamento da conveco natural quando so variados a razo
de aspecto da abertura da cavidade, a sua inclinao e o nmero de Rayleigh. Foi
apresentada uma correlao para o nmero de Nusselt em funo desses
parmetros.
O presente trabalho pretende, portanto, dar continuidade a esses estudos da
transferncia de calor em cavidades abertas heterogneas. A anlise a ser
desenvolvida muito similar quela realizada por Merrick e Lage (2005) para a
cavidade fechada. Ser avaliado o efeito que a variao do nmero de blocos, do
nmero de Rayleigh e da razo de condutividade trmica slido-fluido causam nas
transferncias de calor. Alm do nmero de Nusselt, outro resultado de interesse a
vazo volumtrica adimensional de fluido que adentra a cavidade.
-
24
3 MODELAGEM MATEMTICA
Equation Chapter (Next) Section 1
Neste captulo sero apresentadas as equaes de conservao para o
problema da conveco natural, quais sejam: a equao da conservao da massa,
a equao da conservao da quantidade de movimento e a equao da
conservao da energia. A formulao ser realizada para o meio heterogneo,
abordagem microscpica. Sero apresentadas as hipteses simplificadores
adotadas para o problema em estudo e as condies de contorno para as cavidades
aberta e fechada.
Pela soluo dessas equaes, fica determinado o campo de temperatura,
presso e velocidade do problema de conveco natural.
3.1 Hipteses Simplificadoras
Nesta seo so numeradas as hipteses que sero aplicadas para
simplificar as equaes de conservao.
i) Problema bidimensional
A Figura 7 ilustra a geometria da cavidade aberta e o detalhe do interior da
cavidade para o meio heterogneo. Conforme mostrado, o problema est sendo
tratado como bidimensional, envolve apenas duas coordenadas, x e y . Os
resultados obtidos por essa anlise podem ser estendidos para aplicaes que
envolvam a terceira coordenada cartesiana caso os efeitos de borda possam ser
negligenciados, como, por exemplo, caso a largura da cavidade seja suficientemente
maior que sua altura e comprimento.
ii) Regime Permanente
O problema ser tratado como em regime permanente. Os termos que
envolvem o tempo sero descartados na formulao matemtica do problema.
iii) Escoamento laminar
De acordo com Bejan e Lage (1990), para uma placa plana vertical, a
transio do regime de escoamento de laminar para turbulento ocorre na posio em
-
25
que Gr aproximadamente igual a 910 . Esse critrio universal pode ser expresso
tambm em termos do nmero de Rayleigh. Logo, para que haja regime laminar,
9Pr 10Ra Gr (3.1)
No presente trabalho, o nmero de Prandtl ser considerado unitrio, e sero
avaliados nmeros de Rayleigh de 510 a 810 . Apesar de essa relao ser vlida para
uma placa plana vertical, a hiptese pode ser aplicada no estudo da conveco em
cavidades, devido ao aquecimento da parede vertical.
iv) Fluido newtoniano
O fluido de trabalho ser tratado como newtoniano, o que equivale a dizer que
a taxa de deformao de uma partcula fluida linearmente dependente das tenses
cisalhantes (GRAEBEL, 2007). Vrios fluidos de aplicao na engenharia so
considerados fluidos newtonianos em condies normais. Logo, a presente hiptese
aplicvel e abrangente no problema da conveco natural.
v) Fluido incompressvel
A massa especfica do fluido ser tratada como constante, exceto na
avaliao do termo de empuxo. Essa hiptese tambm pode ser utilizada para
diversos fluidos nas condies de baixo gradiente de presso como os encontrados
na conveco natural.
vi) Propriedades fsicas constantes
Alm da massa especfica, todas as demais propriedades do fluido, como
viscosidade, condutividade trmica, difusividade, coeficiente de expanso trmica,
sero tratadas como invariveis.
vii) Dissipao viscosa e trabalho de compresso desprezveis
A dissipao viscosa ocorre pela converso de energia mecnica em energia
trmica. A dissipao viscosa consequncia das tenses cisalhantes no fluido, e
mais pronunciada quanto maior os gradientes de velocidade envolvidos ou quanto
maior a viscosidade do fluido. No caso da conveco natural, os gradientes de
velocidade so baixos e a dissipao viscosa pode ser negligenciada.
-
26
Pela hiptese de fluido incompressvel, temos que o trabalho de compresso
nulo.
viii) No h gerao de energia
Ser considerado na equao de conservao de energia que no h
gerao de energia no problema.
ix) A gravidade atua apenas na direo y
A cavidade est sendo considerada na posio vertical. A gravidade no
possui efeito na direo horizontal.
3.2 Equaes Governantes da Conveco Natural
Nesta seo sero apresentadas as equaes de balano para o processo de
conveco natural, adotando-se as hipteses numeradas na seo 3.1.
3.2.1 Equao de conservao da massa
Para obter equaes locais que sejam vlidas em qualquer ponto do fluido, um
volume de forma arbitrria abstrado, chamado volume de controle. Um volume de
controle um artifcio usado na anlise de escoamentos de fluidos para avaliar
balanos de massa, quantidade de movimento e energia. Possui normalmente uma
forma fixa e referenciado a um sistema de coordenadas. A fronteira do volume de
controle denominada superfcie de controle, por onde o fluido pode entrar ou sair.
A massa especfica e a velocidade do fluido no interior do volume de controle podem
variar com o espao ou com o tempo.
Um enunciado da conservao de massa a taxa lquida de fluxo de massa
para fora da superfcie de controle somada taxa de variao de massa dentro do
volume de controle deve ser nula. Matematicamente, esse enunciado pode ser
escrito como (FOX e MCDONALD, 2006):
0V (3.2)
onde o operador vetorial (eq. (3.3)) e V o vetor velocidade (equao (3.3)).
e e ei j kx x x
(3.3)
-
27
e e ei j kV u v w (3.4)
Pelas hipteses adotadas de regime permanente, fluido incompressvel e
problema bidimensional, a equao da conservao de massa simplificada para
0u v
x y
(3.5)
3.2.2 Equao de conservao da quantidade de movimento
A equao da conservao da quantidade de movimento pode ser obtida pela
aplicao da segunda lei de Newton a uma partcula fluida infinitesimal de massa
dm . Essa lei enuncia que a taxa temporal de variao da quantidade de movimento
num sistema proporcional fora resultante aplicada.
As foras a que uma partcula fluida est submetida so de duas naturezas
distintas: foras de corpo e foras de contato. No presente estudo, a fora de corpo
devida ao efeito gravitacional, enquanto que a fora de contato devida s tenses
cisalhantes e normais. Aplicando as hipteses de fluido newtoniano, de escoamento
incompressvel e de viscosidade constante, a equao da conservao da
quantidade de movimento pode ser escrita como (NIELD e BEJAN, 2009)
2v
vf f fD
p gDt
(3.6)
Considerando o problema como bidimensional e aplicando a aproximao de
Boussinesq, a lei da conservao da quantidade de movimento para uma partcula
fluida ento escrita nas direes x e y como:
na direo x
2 2
2 2
1f
f
u u p u uu v
x y x x y
(3.7)
na direo y
2 2
2 2
1f ref
f
v v p v vu v g T T
x y y x y
(3.8)
Uma vez que a gravidade atua na direo y , o termo de empuxo aparece
apenas em (3.8).
-
28
3.2.3 Equao da conservao da energia
A primeira lei da termodinmica aplicada a um volume de controle enuncia
que a variao da energia acumulada num volume de controle somada ao
trabalho lquido realizado pelo volume de controle no seu ambiente deve se
igualar transferncia de energia movimentada pelo fluido somada
transferncia de energia por conduo e gerao de energia interna. A
formulao da equao da conservao de energia dada por (BEJAN,
2009)
'''p fDT DP
c k T q TDt Dt
(3.9)
onde pc o calor especfico presso constante, a funo dissipao viscosa
e '''q a taxa de gerao interna de energia.
Aplicando as hipteses de fluido incompressvel, de dissipao viscosa
desprezvel, de propriedades do fluido constantes e de regime permanente, a
equao (3.9) pode ser escrita para as fases fluida e slida como
Fase fluida
2 2
2 2f
T T T Tu v
x y x y
(3.10)
Fase slida
2 2
2 20 S
T T
x y
(3.11)
Na equao (3.10) fica claro o balano entre a conveco, lado esquerdo da
igualdade, e conduo, lado direito.
3.3 Adimensionalizao das Equaes Governantes
Nesta seo, as equaes governantes da conveco natural sero
adimensionalizadas. No final do processo de adimensionalizao ficar claro quais
os parmetros adimensionais de interesse no problema.
Para a adimensionalizao das equaes dominantes, sero utilizados os
seguintes parmetros adimensionais (CHAN e TIEN, 1985):
para as coordenadas espaciais
-
29
,
,x y
X YH
(3.12)
para as componentes da velocidade
,
,f
u v HU V
(3.13)
para a presso
2
2
f
pHP
(3.14)
para a temperatura
H
T T
T T
(3.15)
Substituindo as equaes (3.12) a (3.15) nas equaes de conservao obtemos
3.3.1 Equao da conservao da massa adimensionalizada
0U V
X Y
(3.16)
3.3.2 Equao da conservao da quantidade de movimento
Na direo X :
2 2 2
2 2
VUU P U UPr
X Y X X Y
(3.17)
Na direo Y :
2 2 2
2 2
UV V P V VPr RaPr
X Y Y X Y
(3.18)
3.3.3 Equao da conservao da energia
Para a fase fluida:
-
30
2 2
2 2
U V
X Y X Y
(3.19)
Para a fase slida:
2 2
2 20
X Y
(3.20)
Pelas equaes (3.16) a (3.20), observa-se que os parmetros Ra e Pr so
determinantes na conveco natural, conforme discutido na seo 2.1.2.
Alm desses parmetros, a equao (3.20) mostra mais dois parmetros de
interesse, a razo de condutividade trmica slido-fluido (eq. (3.21)), e a razo da
capacidade trmica slido-fluido (eq. (3.22)).
S
f
k
k (3.21)
p S
p f
c
c
(3.22)
3.4 Condies de contorno
A cavidade quadrada aberta e as condies de contorno so mostradas
esquematicamente na Figura 11.
-
31
Figura 11 Representao esquemtica da cavidade aberta quadrada com o domnio heterogneo e condies de contorno; detalhe do bloco slido direita.
A parede vertical interna cavidade mantida isotrmica e sob a temperatura
constante e igual a
1Q (3.23)
A energia trmica que transferida ao fluido provm dessa parede vertical. O
fluido temperatura ambiente retira calor da parede aquecida, tem sua massa
especfica diminuda e movimenta-se em direo contrria gravidade devido
fora de empuxo.
As demais paredes so adiabticas, ou seja, o fluido no perde nem recebe
calor nessas posies. Matematicamente, isso equivale a
0Y
(3.24)
0X
(3.25)
-
32
Nas aberturas horizontais, ao sul e ao norte da cavidade, so aplicadas as
condies (CHAN e TIEN, 1985)
0U V
Y Y
(3.26)
0out inY
(3.27)
0P (3.28)
Na abertura vertical, so aplicadas condies de contorno anlogas s das
aberturas horizontais (CHAN e TIEN, 1985)
0U
VX
(3.29)
0in (3.30)
0P (3.31)
Na interface slido-fluido, as temperaturas de ambas as fases devem ser as
mesmas, conforme equao (3.32). Ainda, um balano de energia numa seo
infinitesimal da superfcie do slido indica que os fluxos de calor por conduo no
fluido e no slido devem ser iguais, o que representado pela equao (3.33).
f s (3.32)
f Sn n
(3.33)
Em todas as paredes e nos blocos slidos foi aplicada a condio de no
deslizamento, equao (3.34) .
0U V (3.34)
3.5 Funo linha de corrente
No decorrer do trabalho, ser utilizado o conceito de linhas de corrente para a
visualizao do escoamento. As linhas de corrente so linhas tangentes ao vetor
velocidade em qualquer ponto do domnio, e permitem a visualizao da trajetria do
-
33
escoamento para um problema em regime permanente. A funo linha de corrente
na forma adimensional definida matematicamente pela equao (3.35).
1 1
, , 1 1,
J i
j i
Y X
i j i j i j
Y X
UdY VdX
(3.35)
sendo i e j as posies dos ns da malha nas direes x e y , respectivamente.
Resumo do captulo:
Neste captulo foram apresentadas as equaes governantes do problema da
conveco natural, simplificadas pelas hipteses discutidas e adimensionalizadas
utilizando-se parmetros sugeridos na literatura. Foram enumeradas ainda as
condies de contorno utilizadas, tambm respaldadas na literatura. Foi exposto que
os parmetros fsicos adimensionais de interesse so o nmero de Prandtl, o
nmero de Rayleigh, a razo de condutividade trmica slido-fluido e a razo de
capacidade trmica slido-fluido. A Tabela 1 e apresenta um resumo das equaes
governantes adimensionalizadas.
Tabela 1 Equaes dominantes adimensionais
Nmero da
equao
Equao de
conservao
adimensionalizada
Expresso adimensional
(3.16) Massa 0U V
X Y
(3.17) Quantidade de
movimento na direo x
2 2 22 2
VUU P U UPr
X Y X X Y
(3.18) Quantidade de
movimento na direo y
2 2 22 2
UV V P V VPr RaPr
X Y Y X Y
(3.19) Energia para a fase
fluida
2 22 2
U V
X Y X Y
(3.20) Energia para a fase
slida
2 2
2 20
K
X Y
-
34
4 MODELAGEM NUMRICA
EQUATION CHAPTER (NEXT) SECTION 1
Nesse captulo ser apresentado o tratamento numrico das equaes de
balano, seo 3.2, a forma de discretizao do domnio e algumas particularidades
como esquema de interpolao e mtodos de acoplamento presso-velocidade.
O mtodo numrico para discretizao das equaes governantes empregado
pelo programa DFC o Mtodo dos Volumes Finitos (MVF) (PATANKAR, 1980).
Nesse mtodo, o domnio fsico dividido em diversos volumes de controle
adjacentes. As grandezas escalares, como temperatura e presso, so avaliadas no
centro de cada um deles, enquanto que as grandezas vetoriais so avaliadas nas
faces. Como forma de soluo, as equaes de transporte so integradas em cada
volume de controle, formando um sistema algbrico de equaes lineares que pode
ser resolvido com o auxlio computacional.
As equaes de transporte para um volume de controle diferencial, de forma
geral, podem ser escritas como
V S (4.1)
Na equao (4.1) em que cada termo possui o seguinte significado fsico:
( )
t
Taxa temporal de acmulo da propriedade fsica associada varivel ;
V Transporte convectivo da propriedade fsica associada varivel ;
Transporte difusivo da propriedade fsica associada varivel ;
S Termo fonte, que contm o que ainda no foi representado das equaes de
transporte.
-
35
onde pode representar uma varivel escalar ou vetorial, o coeficiente de
difuso associado a essa varivel.
Para o escoamento de fluidos newtonianos, incompressveis e de viscosidade
constante, o coeficiente de difuso e o termo fonte S so definidos na Tabela 2.
Tabela 2. Valores de e S para a varivel .
Equao S
Continuidade 1 0 0
Quantidade de
movimento em x u
p
x
Quantidade de
Movimento em y v
pg T T
y
Energia para a
fase fluida T
f
f
p
k
c 0
Energia para a
fase slida T
S
S
p
k
c 0
Aps a integrao da equao (4.1) em um volume de controle, obtm-se
(PATANKAR, 1980):
1
( ) ( )n n
f f f
f
V A J n S Vt
(4.2)
onde J representa o fluxo total da varivel pela face f , definido na equao (4.3)
, fA a rea da face f e fn seu vetor normal e unitrio.
fJ V (4.3)
-
36
A equao (4.2) representa, portanto, a equao integrada geral que
efetivamente resolvida pelo programa DFC para cada volume de controle.
Conforme apresentado na Tabela 2, as equaes de conservao de
quantidade de movimento dependem do gradiente de presso em determinado
ponto do escoamento. Entretanto, no h equao explcita para o clculo da
presso, o que torna necessrio um mtodo de soluo conjunta dos campos de
presso e velocidade, denominado mtodo de acoplamento presso-velocidade.
Basicamente, o clculo da presso realizado por sucessivas correes de forma
que as equaes da quantidade de movimento satisfaam o balano de massa. O
programa DFC utiliza o mtodo SIMPLEST.(PATANKAR, 1980)
Para expressar o valor da varivel nas faces e nos centros de cada volume
de controle, utilizada uma funo de interpolao. O programa DFC utiliza o
esquema hbrido para os termos convectivos, uma combinao dos mtodos de
diferena centrada e Upwind. (PATANKAR, 1981).
A convergncia da soluo monitorada pelo critrio de controle de resduos
de Spalding (1994), em que a soma dos valores absolutos dos resduos locais entre
duas iteraes sucessivas deve ser menor que um determinado valor, normalmente
da ordem de 510 ou 610 , para que a soluo seja considerada convergida. No
presente trabalho adotou-se o valor 610 para a soma dos resduos absolutos de
cada varivel (U , V , P , q ).
O APNDICE C apresenta o cdigo do arquivo de entrada para o programa
DFC, denominado q1, onde foram realizadas as implementaes numricas para o
presente estudo.
-
37
5 VALIDAO DO CDIGO DO PROGRAMA DFC
EQUATION CHAPTER (NEXT) SECTION 1
Nesse captulo ser realizada a etapa de validao necessria para verificar as
rotinas numricas implementadas no programa DFC, em especial para o clculo do
nmero de Nusselt, da funo linha de corrente e da vazo volumtrica adimensional
de entrada de fluido na cavidade aberta, definida na seo 5.3. No ser a inteno
nessa etapa do trabalho discutir os fenmenos fsicos que ocorrem em cada caso
estudado. Apenas ser realizada a comparao dos resultados encontrados no
presente trabalho com solues de referncia na literatura, e discutidos alguns
aspectos de teste de sensibilidade de malha.
5.1 Cavidade Fechada sem Blocos
O problema da conveco natural em uma cavidade quadrada fechada
aquecida lateralmente um problema clssico da literatura. Normalmente, ele
utilizado como uma forma de validao das rotinas numricas desenvolvidas para a
soluo da conveco natural em cavidades.
A Figura 12 apresenta a geometria da cavidade quadrada fechada e as
condies de contorno adimensionais. A nica substncia presente no interior da
cavidade o fluido em escoamento. Conforme mostrado, a cavidade possui
dimenses unitrias. A origem das coordenadas adimensionais X e Y est situada
no canto esquerdo inferior da geometria. A cavidade delimitada por quatro
paredes, duas paredes verticais termicamente ativas e duas paredes horizontais
adiabticas.
/ 0Y
/ 0Y
g
,X U
,Y V
Q
F
(0,0) (1,0)
(0,1)
Figura 12. Cavidade fechada horizontal. Geometria e condies de contorno.
-
38
O estudo da conveco natural na cavidade quadrada fechada sem blocos foi
feito tomando-se como base o trabalho de Hortmann et al (1990), considerado pela
literatura uma soluo de referncia para esse problema. Esses pesquisadores
apresentaram um procedimento multigrid para a investigao numrica. Esse
mtodo consiste em utilizar os campos de velocidade, temperatura e presso obtidos
em malhas imediatamente mais grossas como campos de inicializao das
iteraes. Aps aplicado o multigrid, a malha refinada sucessivamente at
obterem-se resultados abaixo de um erro admissvel.
Hortmann et al. (1990) apresentam resultados para mNu , mxNu (nmero de
Nusselt local mximo na parede aquecida), maxNuY (posio em Y de mxNu ), mxV
(componentes vertical mxima da velocidade no plano 0,5Y ) e mxU (componentes
horizontal mxima da velocidade no plano 0,5X ). No APNDICE A so mostrados
os resultados encontrados para essas variveis por essa soluo de referncia e
pela presente soluo para 510Ra e 610Ra , Pr 1 .
A Tabela 3 apresenta uma comparao do nmero de Nusselt na parede
aquecida entre a soluo de Hortmann et al (1990) e do presente trabalho. Apenas
os valores de mNu so mostrados, por esse ser o principal parmetro de anlise da
transferncia de calor por conveco natural.
Tabela 3 Comparao de mNu para refino de malha computacional
Ra malha Hortmann et
al. (1990) [presente] EP [%]
510
4040 4,617 4,624 0,152
8080 4,545 4,552 0,154
160160 4,528 4,522 0,133
320320 4,523 4,525 0,044
610
4040 9,422 9,416 0,064
8080 8,977 8,960 0,189
160160 8,863 8,864 0,011
320320 8,835 8,836 0,011
-
39
Na Tabela 3, EP representa o erro percentual entre a soluo do presente
trabalho e a soluo de referncia de Hortmann et al. (1990), e definido pela
equao (5.1).
100ref
i
ref
EP
(5.1)
onde representa o resultado de interesse e o subscrito ref est relacionado
soluo de referncia.
Os baixos valores de EP , abaixo de 0,2%, apresentados na Tabela 3 levam
concluso de que a modelagem do problema realizada no programa DFC vlida.
Outro ponto importante na comparao dos resultados entre a presente
soluo e a adotada como referncia a validao da metodologia adimensional
utilizada nas simulaes realizadas em todo este trabalho.
Hortmann et al (1990) consideraram a geometria do problema e as
propriedades do fluido de forma dimensional. Logo, utilizando o mesmo fluido, o
nmero de Rayleigh do escoamento s pode ser alterado pela alterao das
dimenses da cavidade. No presente trabalho optou-se pela variao das
propriedades do fluido, calculados em funo dos parmetros adimensionais Ra e
Pr desejados, mantendo-se a geometria com dimenses unitrias. Isso facilitou a
modelagem da geometria e a definio da malha numrica de todas as cavidades
investigadas.
5.2 Cavidade Fechada Heterognea
O modelo microscpico do meio heterogneo foi verificado levando-se em
considerao o problema clssico da cavidade horizontal quadrada e fechada com a
presena de um bloco slido, fixo, rgido e condutivo centralizado em seu interior. A
geometria do problema e as condies de contorno adimensionais so mostradas na
Figura 13.
-
40
/ 0Y
/ 0Y
g
,X U
,Y V
Q
C
(0,0) (1,0)
(0,1)
D
Figura 13. Cavidade fechada horizontal heterognea, com a presena de um bloco em seu interior.
A malha utilizada na cavidade uniforme com 320320 volumes de controle.
A Tabela 4 mostra os resultados obtidos no programa DFC para mNu e as solues
de referncia encontradas na literatura.
Tabela 4. Resultados de mNu obtidos pela presente soluo e por solues de referncia
encontradas na literatura para a cavidade quadrada e fechada com um bloco.
Ra D Zhao et
al (2007)
Das e Reddy (2006)
Lee e Ha
(2005)
Bhave et al
(2006)
Merrikh e Lage (2005)
House et al
(1990)
[presente]*
Pr =0,71
510 0,5 0,2 4,554 4,621 4,631 4,645 4,605 4,624 4,625
5 4,062 4,308 4,308 4,338 4,280 4,324 4,320
610 0,9 0,2 - - - 2,326 2,352 2,402 2,417
5 - - - - - 3,868 3,811
Nota: * Malha 320320
Pela comparao dos dados apresentados na Tabela 4, conclui-se que o
cdigo implementado neste trabalho para a soluo da conveco natural em meio
heterogneo sob a abordagem microscpica vlido. Os erros percentuais ficam
menores que 1%.
5.3 Cavidade Aberta Homognea
At o presente momento, foi validada a conveco natural numa cavidade
fechada com a presena de blocos ou no. Para a simulao da conveco natural
-
41
na cavidade aberta com blocos, ainda necessria a validao das condies de
contorno utilizadas nas aberturas do domnio, e um estudo das dimenses
necessrias do ambiente externo cavidade para que o problema seja bem
representado.
Com esse propsito, ser estudada a conveco natural numa cavidade
aberta homognea, tomando-se como base o trabalho de Chan e Tien (1985). A
Figura 14 apresenta a geometria do problema e as condies de contorno
adimensionais utilizadas.
Assim como nas demais cavidades estudadas at aqui, a cavidade quadrada
aberta apresenta dimenses unitrias. As dimenses totais do domnio numrico so
3L H , em que 1L H . A gravidade aplicada no sentido Y . A parede interna
vertical da cavidade mantida isotrmica 1Q . Na Figura 14 as linhas tracejadas
representam aberturas por onde o fluido pode entrar ou sair do domnio de soluo.
1
3
4
2
(1) e (2): 0/ X ;
(3) e (4): 0/ Y
0out inU V
PY Y Y
0inU
V PY
0U V
X X
0P
Y
2H
X
2L
H
L
2H
g Q
0out inX
Figura 14. Geometria e condies de contorno para a cavidade aberta sem blocos
-
42
Para a soluo desse problema, foi realizado um estudo de malha para
310Ra a 910Ra . A malha utilizada no uniforme, seguindo o modelo de
distribuio potencial, formulado na equao (5.2)
1
3
rx q q
E VC
(5.2)
onde, para a direo x , x q a coordenada do n da posio q , VC o nmero
de volumes de controle e E a extenso do domnio em que a malha aplicada. O
expoente r determina o grau de distribuio da malha.
No interior da cavidade, as malhas utilizadas variam de 20 0 a 80 0
volumes de controle. O expoente r foi mantido igual a 1,6. Na parte externa da
cavidade, tambm se utilizaram malhas no uniformes, com 1,7r . A Figura 15
ilustra a malha usada para a conveco natural na cavidade aberta homognea.
Figura 15 Exemplo de malha utilizada para a simulao da cavidade aberta ( 80 0 no interior da cavidade)
18 18
-
43
A Tabela 5 e a Tabela 6 apresentam o teste de sensibilidade de malha
realizados considerando os valores de nmero de Nusselt e vazo adimensional na
entrada da cavidade, respectivamente. A vazo adimensional na entrada calculada
com o auxlio da equao (5.3) (CHAN e TIEN, 1985).
1
1 1
1
se 0onde
0 se 0
X
X X
X
m UdY
U U U
U U
(5.3)
Tabela 5 Teste de sensibilidade de malha - Nmero de Nusselt, cavidade aberta limpa
Ra 2020 EP [%] 4040 EP [%] 6060 EP [%] 8080
310 1,0720 1,7078 1,0540 0,3236 1,0506 0,076 1,0514
410 3,4294 0,6250 3,4081 0,0587 3,4061 0,050 3,4078
510 7,7256 0,2569 7,7058 0,0571 7,7014 0,013 7,7004
610 15,0120 0,2076 14,9809 0,1440 15,0025 0,013 15,0045
710 28,0954 0,3207 28,0056 0,2631 27,9321 0,036 27,9221
810 51,3025 0,0499 51,2769 0,0133 51,2701 0,231 51,1521
910 94,9650 1,2895 93,7560 0,3884 93,3933 0,244 93,1658
Tabela 6 Teste de sensibilidade de malha - vazo adimensional cavidade aberta limpa
Ra 2020 EP [%] 4040 EP [%] 6060 EP [%] 8080
310 1,9251 0,1035 1,9231 0,4646 1,9142 0,010 1,9140
410 8,0339 0,7724 7,9723 0,2383 7,9533 0,059 7,9486
510 21,0732 0,3386 21,0021 0,0241 20,997 0,005 20,9980
610 46,8690 1,1656 46,3290 1,7092 45,5504 0,407 45,3659
710 93,4350 2,1762 91,4450 1,5535 90,046 0,200 89,8659
810 186,6464 6,8818 174,6288 1,4959 172,055 0,478 171,2369
910 385,4093 14,2110 337,4537 2,4167 329,685 0,120 329,2910
-
44
Na Tabela 5 e na Tabela 6, os erros percentuais so calculados entre as
malhas, e no mais em relao a uma soluo de referncia, conforme equao
100malhagossa malhafina
malhafina
EP
(5.4)
Na simulao da cavidade aberta sem blocos foi utilzado o critrio de erro
admissvel de 0,5% entre as malhas para Nmero de Nusselt e vazo adimensional.
Por esse critrio, observa-se que a malha 6060 adequada.
Pelos resultados apresentados na Tabela 5 e na Tabela 6, percebem-se
baixos erros percentuais, em especial para os valores de nmero de Nusselt.
A Tabela 7 apresenta os resultados encontrados para mNu e m pela soluo
de referncia de Chan e Tien (1985) e pelo presente trabalho. A anlise dos valores
dos erros percentuais permite concluir que as condies de contorno implementadas
no programa DFC para a conveco natural na cavidade aberta esto corretas.
Tabela 7. Resultados de mNu e m obtidos pelo programa PHOENICS-CFD e por Chan e Tien
(1985) para a cavidade quadrada, aberta e homognea.
Ra
mNu m
Chan e Tien (1985)
[presente] EP Chan e Tien
(1985) [presente] EP
104 3,41 3,406 0,12 8,02 7,953 0,84
105 7,69 7,701 0,14 21,1 20,997 0,49
106 15,0 15,003 0,02 47,3 45,550 3,70
Nota: *Valores obtidos com malhas 8080 no-uniformes (interior da cavidade), eq. (5.2).
5.3.1 Escolha das dimenses do domnio computacional para a cavidade
aberta
A escolha das dimenses do domnio computacional interfere no grau de
influncia que as condies de contorno especificadas nas fronteiras abertas
-
45
exercem sobre o escoamento e sobre a intensidade da transferncia de calor no
interior da cavidade e nas regies prximas abertura.
Com o objetivo de minimizar essa influncia, Chan e Tien (1985) realizaram um
estudo de qual seria uma dimenso apropriada do domnio para o estudo numrico
da cavidade aberta quadrada, sem a necessidade de um custo computacional
elevado. Pelas suas concluses, um domnio de dimenses 3L H suficiente (ver
Figura 14).
No presente trabalho questionou-se a possibilidade de reduo dessas
dimenses com o fim de reduzir o tempo de simulao. Como forma de verificao,
as solues obtidas com os domnios 3L H e 2L H para determinados
nmeros de Rayleigh foram comparadas, tanto pelo critrio quantitativo da avaliao
do nmero de Nusselt e da vazo adimensional de entrada na cavidade, quanto pelo
critrio qualitativo da visualizao das isotermas e linhas de corrente.
A Tabela 8 apresenta os resultados de mNu e m encontrados para 510Ra a
810Ra , e indica que a reduo do domnio computacional no causou alteraes
significativas nos valores de nmero de Nusselt mdio e de vazo adimensional de
entrada na cavidade.
Tabela 8. Resultados de mNu e M obtidos para os domnios 2 3L H e 3L H , meio
homogneo.
Ra
mNu m
Domnio
3L H *
Domnio
2L H EP
Domnio
3L H
Domnio
2L H EP
103 1,051 1,052 0,10% 1,914 1,925 0,57%
106 15,003 15,011 0,05% 45,550 45,451 0,22%
108 51,270 51,301 0,06% 172,055 171,326 0,42%
109 93,393 93,454 0,07% 329,491 328,038 0,44%
Nota: *Valores obtidos com malhas 8080 no-uniformes (interior da cavidade), eq. (5.2).
A Figura 16 apresenta os campos de temperatura e de linha de corrente para
310Ra e 810 . Para facilitar a comparao e enfocar a cavidade e suas
proximidades, nas figuras referentes ao domnio 3L H apenas a regio
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correspondente ao domnio 2L H mostrada. Pode-se observar pelas imagens
que as configuraes das isotermas e linhas de corrente sofreram alteraes
tambm pequenas. Para 310Ra , elas so praticamente imperceptveis. Para
810Ra , as mudanas so mais visveis nas linhas de corrente: no domnio
estendido, o fluido penetra a cavidade com maior inclinao na regio prxima ao
vrtice inferior da abertura, promovendo uma recirculao mais intensa na parede
inferior da cavidade. H tambm pequenas mudanas no topo do domnio reduzido.
Entretanto, as mudanas so sutis. Espera-se ainda que para a cavidade com
blocos elas sejam atenuadas. A escolha do domnio 2 3L H , portanto, bastante
razovel.
310Ra 810Ra
3 5L H 2L H 3 5L H 2L H
T
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
T
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
8.69
8.07
7.45
6.83
6.21
5.59
4.97
4.34
3.72
3.10
2.48
1.86
1.24
0.62
0.00
289.59
268.76
247.93
227.10
206.28
185.45
164.62
143.79
122.97
102.14
81.31
60.48
39.66
18.83
-2.00
Figura 16 Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo) para os domnios 3L H e
2 3L H , 310Ra e 810Ra . Obs: Apenas a regio correspondente ao domnio 2 3L H mostrada.
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Neste captulo foram realizadas as etapas de validao do cdigo numrico
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