apostila escoamento em meios porosos wagner e bismarck 2014

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Apostila Escoamento em Meios Porosos, Engenharia de Reservatórios e Avaliação de Formações.

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  • 1. HIDRODINMICA DOS MEIOS POROSOS E FRATURADOSWAGNER QUEIROZ BARROS BISMARCK GOMES SOUZA JNIORUNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE LABORATRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAO DE PETRLEOMACA - RJ FEVEREIRO - 2014

2. Este documento foi criado com base nas notas de aula do Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz da disciplina "Hidrodinmica dos Meios Porosos e Fraturados" do curso de ps-graduao em Engenharia de Reservatrios e Explorao da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro (UENF), ministrada no primeiro semestre de 2013. Quaisquer dvidas ou sugestes favor encaminhar um e-mail para: bismarckjunior@outlook.com wagnerqb@gmail.com 3. Sumrio1 Equao da Difusividade 1.1 Hiptese do contnuo6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2 Denio de fases e componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.3 Formulao da equao de conservao da massa . . . . . . . . . . .81.3.1 Taxa de acmulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.3.2 Taxa de entrada de matria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.3.3 Taxa de sada de matria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.3.4 Produo de matria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.4 Formulao da equao composicional da difusividade . . . . . . . . .111.4.1 Termo de acmulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.4.2 Termo de uxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.4.3 Termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.5 Lei de Darcy multifsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Formulao Black Oil da Equao da Difusividade162.1 Formulao Black Oil convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.1.1 Pseudo-componente gua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.1.2 Pseudo-componente leo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.1.3 Pseudo-componente gs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.2 Formulao Black Oil modicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.2.1 Pseudo-componente gua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.2.2 Pseudo-componente leo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 4. 2.2.3 Pseudo-componente gs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.3 Formulao Black Oil modicada baseada nas concentraes mssicas 26 2.3.1 Denio das concentraes mssicas . . . . . . . . . . . . . .262.3.2 Deniao das saturaes das fases em funo das concentraes mssicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283 Solues dos Regimes Permanentes da Equao Radial da Difusividade303.1 Equao da difusividade em coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . .303.2 Soluo do regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343.2.1 Soluo da presso no regime permanente. . . . . . . . . . .353.2.2 Presso mdia no regime permanente . . . . . . . . . . . . . . .363.3 Soluo do regime pseudo-permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . .373.3.1 Soluo da presso no regime pseudo-permanente: . . . . . . .393.3.2 Presso mdia no regime pseudo-permanente . . . . . . . . . .403.3.3 Presso em funo do raio e do tempo no regime pseudo-permanente 43 4 Soluo do Regime Transiente da Equao Radial da Difusividade454.1 Adimensionalizao da equao da difusividade radial . . . . . . . . . .454.1.1 Adimensionalizao do raio (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464.1.2 Adimensionalizao do tempo (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . .464.1.3 Adimensionalizao da presso (P ) . . . . . . . . . . . . . . . .474.1.4 Adimensionalizao das condies de contorno . . . . . . . . .484.1.5 Sistema de unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494.2 Soluo do tipo linha-fonte (Transformada de Boltzmann) . . . . . . . .504.2.1 Denio da equao da difusividade na forma de Boltzmann . .504.2.2 Soluo da equao da difusividade na forma de Boltzmann . .534.3 Soluo do tipo linha-fonte (Transformada de Laplace) . . . . . . . . . .564.3.1 Equao da difusividade no campo de Laplace . . . . . . . . . .56 5. 4.3.2 Soluo da equao da difusividade no campo de Laplace . . .584.3.3 Transformada inversa da soluo linha-fonte no campo de Laplace 60 4.4 Algoritimo de Gaver-Stehfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Soluo Reservatrio Radial Innito com Estocagem e Dano61 635.1 Soluo reservatrio innito com poo de raio nito . . . . . . . . . . .635.2 Efeito de dano de formao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .665.2.1 Conceito de fator de pelcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .665.2.2 Conceito de raio equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .685.3 Efeito de estocagem no poo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .695.4 Soluo reservatrio innito com estocagem e dano . . . . . . . . . . .725.5 Anlise de testes de presso por curvas tipo . . . . . . . . . . . . . . .756 Soluo Reservatrio Radial Selado com Estocagem e Dano796.1 Soluo reservatrio nito com estocagem e dano . . . . . . . . . . . .796.2 Curvas Tipo para a soluo do reservatrio selado . . . . . . . . . . . .82Apndice A -- Funo Exponencial Integral86Apndice B -- Transformada de Laplace88Apndice C -- Funes Modicadas de Bessel91C.1 Notao Z das funes modicadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . .91C.2 Relaes de recorrncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92C.3 Derivadas das funes modicadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . .93 6. 61Equao da DifusividadeA equao da difusividade governa o escoamento de uidos em meios porosos. Ela deduzida a partir da equao da conservao da massa, de equaes constitutivas para os componentes presentes no uido e da Lei de Darcy. Para se aplicar essa equao necessrio a denio da hiptese do contnuo.1.1 Hiptese do contnuo Imagine uma poro de uido distribuda em uma regio do espao, podemos considerar as propriedades do uido como sendo constantes nessa poro. A medida que o volume da poro diminu, as propriedades do uido permanecem constantes. Em um determinado limite, as propriedades dos uidos comeam a ser inuenciadas pela regio por onde so medidas, esse limite conhecido como limite do contnuo. Na regio abaixo do limite do contnuo, as propriedades moleculares so importantes na modelagem das propriedades dos uidos. A Fig. 1 mostra a variao da massa especca de um uido em funo do volume de controle, possvel perceber que abaixo do limite do contnuo, as molculas do uido possuem tamanhos da mesma ordem de grandeza do volume de controle, inuenciando o valor de massa especca calculada. Apesar do escoamento em meios porosos ocorrer em poros muito pequenos, na ordem de micrmetros, a hiptese do contnuo satisfeita na maioria das aplicaes prticas em engenharia de reservatrios (LAKE, 1989). 7. 7Figura 1: Variao da massa especca de um uido em funo do volume de controle.1.2 Denio de fases e componentes A formulao deduzida nesse captulo conhecida como "Formulao Composicional da Equao do Balao de Massa", pois leva em considerao a conservao da massa de todos os componentes presentes em todas as fases no uido. Assim, necessrio o entendimento de dois conceitos bsicos utilizados em engenharia de reservatrios: Componente: Compostos que possuem propriedades fsicas e qumicas semelhantes, que fazem parte de uma fase uida. Fase: Mistura de componentes uidos delimitada por meio de interfaces. Dessa forma as diferentes molculas de gs podem ser classicados como componentes (N2 , CO2 , CH4 , etc) pertencendo a uma fase gasosa. Se essas molculas estiverem dissolvidas na gua, esses componentes pertencem a fase aquosa. possvel considerar que os todos os gases possuem propriedades semelhantes, assim, classica-se o componente gs pertencendo fase gs. Como descrito no pargrafo anterior, as denies de componente e fase so bastantes amplas, sendo formuladas de acordo com o problema que ser resolvido. Por conveno, o subscrito "i" refere-se ao componente, e o subscrito "j" refere-se fase. O subscrito ij refere-se ao componente i dissolvido na fase j. Por exemplo, a notao ij indica a massa especca do componente i presente na fase j. 8. 81.3 Formulao da equao de conservao da massa Considere o volume de controle V mostrado na Fig. 2.Figura 2: Volume de controle espacial. Adaptado de Lake (1989). Considerando o escoamento de um uido atravs das fronteiras do volume de controle, possvel escrever a seguinte equao: = + possvel denir cada termo da Eq. (1.1) separadamente:1.3.1 (1.1) Taxa de acmuloA taxa de acmulo do componente i denida como a variao temporal da massa do componente, no interior do volume de controle V . A concentrao do componente i dada por: Wi = i (1.2)Dessa forma a taxa de acmulo dada por: = Wi dV t V(1.3) 9. 91.3.2Taxa de entrada de matriaA taxa de entrada do componente i denida como sendo a massa do componente i atravessando o volume de controle por unidade de tempo. Para se escrever esse conceito necessria a denio de uxo do componente i, denido por: Ni =i (1.4)Considerando que o vetor normal, n, aponta sempre para fora do volume de con trole, a taxa de entrada de matria denido como: 1.3.3 = n Ni dA (1.5)ATaxa de sada de matriaDa mesma forma como foi denida a taxa de entrada de matria, a taxa de sada pode ser escrita como: 1.3.4 = n Ni dA (1.6)AProduo de matriaA produo de matria no interior do volume de controle denido como sendo a massa do componente i criada ou destruda no interior do volume de controle por unidade de tempo. modelada atravs de um termo fonte na Eq. (1.1), denido por:Ri = Assim: i (1.7) 10. 10 = Ri dV(1.8)VUtilizando os resultados obtidos acima, a Eq. (1.1) pode ser escrita como: tWi dV = V n Ni dA + ARi dV(1.9)Vou seja: tWi dV +V n Ni dA = ARi dV(1.10)VA Eq. (1.10) conhecida como a forma fraca da equao da conservao de massa. Essa equao no depende de um sistema de coordenadas, e utilizada quando a equao possui divergncias como ondas de choque, por exemplo. Para se escrever a forma forte da equao, forma diferencial, necessr