introducao integrais
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O PROBLEMA DA รREA
Como determinar a รกrea sob uma
curva qualquer y = f(x) , entre dois
pontos x1 e x2.
x1 x2
y
๐ ๐ฅ
x
A
Assim como no caso das derivadas,utilizaremos aproximaรงรตes.
x1 x2
โ๐ฅ1โ๐ฅ2. . . . . .
k
โ๐ฅ๐
y
f (k)
x
๐=1
๐
๐(๐) โ โ๐ฅ๐A
A INTEGRAL DEFINIDA
Define-se a Integral da funรงรฃo f (x) entre os pontos x1 x2 , como o limite:
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ ๐ฅ โ ๐๐ฅ = limโ๐ฅ โ 0
๐=1
๐
๐(๐) โ โ๐ฅ๐
x1 x2
y
A = ๐ฅ1๐ฅ2 ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ ๐ฅ
x
Mas o conceito รฉ muito pouco prรกtico, pois o cรกlculo desse limite pode ser muito trabalhoso
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CรLCULO
O Teorema Fundamental do Cรกlculo estabelece uma relaรงรฃo estreita entrederivaรงรฃo e integraรงรฃo. A princรญpio os problemas da tangente e da รกrea nรฃoparecem ter nenhuma relaรงรฃo. Porรฉm, Isaac Barrow (1630-1677), professor deNewton em Cambridge, apรณs alguns experimentos, conjecturou que derivaรงรฃo eintegraรงรฃo sรฃo processo inversos. Mas quem formalizou e provou o Teoremaforam Newton e Leibniz. A prova deste teorema foi a base para odesenvolvimento do Cรกlculo Diferencial e Integral.
A aplicaรงรฃo desse teorema nos permite calcular a รกrea sob qualquercurva sem necessidade de calcular o limite do somatรณrio.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CรLCULO โ PARTE 1
1ยช. Parte : Dada uma funรงรฃo f (s) , contรญnua em um intervalo [a,b], vamos definir a funรงรฃo
๐น ๐ฅ =
๐
๐ฅ
๐(๐ ) โ ๐๐ definida tambรฉm em [a,b]
Observe que F depende apenas de x. Para cada valor fixado de x a integral
๐๐ฅ๐(๐ ) โ ๐๐ รฉ um nรบmero definido, fornecendo o valor da funรงรฃo F no ponto x.
Quando variamos o valor de x , o valor de ๐๐ฅ๐(๐ ) โ ๐๐ tambรฉm varia, permitindo
assim a construรงรฃo da funรงรฃo F(x) .
Podemos dizer entรฃo que F(x) corresponde
a รกrea sob a curva entre a e x.
2ยช. Parte : Tomando a f (s) , contรญnua no intervalo [a,b], como na 1ยช. Parte, podemos
mostrar que a funรงรฃo F(x), definida por
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CรLCULO โ PARTE 2
๐น ๐ฅ =
๐
๐ฅ
๐(๐ ) โ ๐๐
รฉ derivรกvel, e que ๐ญโฒ ๐ = ๐ ๐ .
xa
y
๐ ๐ฅ
xbx+h
hUsando a definiรงรฃo de derivadapodemos escrever a expressรฃo
๐นโฒ ๐ฅ = limโโ0
๐น ๐ฅ + โ โ ๐น(๐ฅ)
โ
Mas ๐น ๐ฅ + โ โ ๐น(๐ฅ) = (รrea sob o
grรกfico entre a e x+h) โ (รrea sob o
grรกfico entre a e x) ๐(๐ฅ) โ โ . Assim,
intuitivamente vemos que ๐ญโฒ ๐ = ๐ ๐ .
A funรงรฃo F (x) รฉ denominada uma antiderivada (ou primitiva) da f , ou seja, a Fรฉ uma funรงรฃo tal que F โ= f . Alรฉm disso, pela definiรงรฃo da F, temos:
๐
๐
๐ ๐ฅ . ๐๐ฅ = ๐น ๐ โ ๐น(๐)
Pelo Teorema Fundamental do Cรกlculo, para calcular a integral de uma funรงรฃo fbasta encontramos uma antiderivada da mesma, o que evita o cรกlculo atravรฉs dolimite de somatรณrios.
A seguir, mostramos uma tabela contendo antiderivadas de algumas funรงรตesfundamentais.
Note-se que ao calcularmos a integral ๐(๐ฅ) โ ๐๐ฅ , as antiderivadas da ๐ sรฃo todas
as funรงรตes do tipo ๐น ๐ฅ + ๐พ , tais que ๐นโฒ ๐ฅ = ๐(๐ฅ) e ๐พ = constante .
A ANTIDERIVADA
๐๐ฅ = ๐ฅ + ๐พ
๐ฅ๐๐๐ฅ =๐ฅ๐+1
๐ + 1+ ๐พ
๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐พ
๐๐ฅ
๐ฅ= ln ๐ฅ + ๐พ
๐๐ฅ
๐ฅ2= โ1
๐ฅ+ ๐พ
๐ฅ ๐๐ฅ =2
3๐ฅ32 + ๐พ
๐ ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โcos ๐ฅ + ๐พ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = sen ๐ฅ + ๐พ
๐ ๐๐2 ๐ฅ ๐๐ฅ = tg ๐ฅ + ๐พ
sec ๐ฅ ๐ก๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = sec ๐ฅ + ๐พ
TABELA DE ANTIDERIVADAS DEFUNรรES FUNDAMENTAIS
๐ โ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐ โ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
(๐ข ๐ฅ + ๐ฃ(๐ฅ))๐๐ฅ = ๐ข ๐ฅ ๐ ๐ฅ + ๐ฃ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐โฒ ๐ฅ โ ๐โฒ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐(๐ ๐ฅ )
REGRAS DE INTEGRAรรO
A Antiderivaรงรฃo รฉ a determinaรงรฃo de uma funรงรฃo cuja derivada รฉ conhecida.
O PROBLEMA DA ANTIDERIVAรรO
Definiรงรฃo: Dada uma funรงรฃo ๐(๐ฅ), definida em um intervalo ๐ผ = (๐, ๐). Umafunรงรฃo, a qual denota-se, ๐น ๐ฅ รฉ denominada uma antiderivada da ๐ se๐นยด ๐ฅ = ๐ ๐ฅ , โ๐ฅ โ ๐ผ.
Exemplo 1 : Se conhecemos a funรงรฃo velocidade ๐ ๐ de uma partรญcula, podemosdeterminar sua funรงรฃo posiรงรฃo ๐(๐). Pois sabemos que a velocidade mede a taxa devariaรงรฃo (derivada) da posiรงรฃo. Logo, a funรงรฃo ๐ ๐ก รฉ uma antiderivada da ๐ฃ(๐ก).
๐ ๐ก = ๐ฃ ๐ก . ๐๐ก
Exemplo 2 : Se um engenheiro sabe que um determinado fluido escoa para dentrode um tanque a uma taxa dada por ๐(๐) (litros/s) , entรฃo ele pode determinar afunรงรฃo ๐ธ(๐), que fornece o volume (litros) escoado atรฉ o instante ๐. Pois se ๐(๐ก)representa a taxa de variaรงรฃo de ๐ ๐ก , entรฃo ๐(๐ก) รฉ uma antiderivada da ๐(๐ก).
๐ ๐ก = ๐ ๐ก . ๐๐ก
O PROBLEMA DA ANTIDERIVAรรO
Devemos ainda lembrar que, se ๐น for uma atiderivada da ๐, entรฃo qualquer funรงรฃo dotipo ๐ญ ๐ + ๐ช , onde ๐ถ รฉ uma constante arbitrรกria, รฉ tambรฉm uma antiderivada da ๐ .
Exemplo : Tomemos a funรงรฃo ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2
Atribuindo diferentes valores a constante ๐ถ obtemos uma famรญlia de funรงรตesantiderivadas da ๐, cujos grรกficos diferem apenas pelo valor da constante.
๐ฅ
๐ฆ
๐ฆ =๐ฅ3
3โ 2
๐ฆ =๐ฅ3
3
๐ฆ =๐ฅ3
3+ 1
๐ฆ =๐ฅ3
3+ 2
Pela tabela de antiderivaรงรฃo sabemos que ๐น ๐ฅ =๐ฅ3
3รฉ uma antiderivada da ๐ . Logo
podemos afirmar que qualquer funรงรฃo do tipo ๐น ๐ฅ =๐ฅ3
3+ ๐ถ tambรฉm o serรก.
INTEGRAL DEFINIDA E CรLCULO DE รREAS
A determinaรงรฃo da รกrea delimitada entre o eixo ๐ฅ e o grรกfico de uma funรงรฃo ๐(๐ฅ),numa regiรฃo contida entre dois pontos ๐ e ๐ do seu domรญnio, รฉ realizada, como jรกvimos, pelo cรกlculo da integral definida da funรงรฃo entre estes dois pontos.
Pelo Teorema Fundamental do Cรกlculo, o valor desta integral definida รฉ dado por
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐น ๐ โ ๐น(๐)
Ou seja, para calcular a Integral definida (รกrea) basta determinar a antiderivada ๐ญ(๐)da funรงรฃo, substituir os valores dos limites de integraรงรฃo ๐ e ๐ e subtrair os resultados.
๐
๐
๐ฆ
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐ด1 < 0
๐ด2 > 0
รrea Total = ๐ด1 + ๐ด2
Notar que, รกreas abaixo doeixo ๐ฅ sรฃo computadas comsinal negativo pela Integral.
EXEMPLOS - CรLCULO DE รREAS
Calcule a รกrea sob o grรกfico das seguintes funรงรตes
๐(๐ฅ) = ๐ฅ2+ 1, entre ๐ฅ = 1 ๐ ๐ฅ = 3 ๐ ๐ฅ =1
๐ฅ, entre ๐ฅ = 1 ๐ ๐ฅ = 4
1
3
(๐ฅ2+1)๐๐ฅ =๐ฅ3
3+ ๐ฅ1
3
=
27
3+ 3 โ
1
3+ 1 = 12 โ
4
3=32
3๐ข. ๐.
1
4๐๐ฅ
๐ฅ= ๐๐๐ฅ 1
4 =
๐๐4 โ ๐๐1 = ๐๐4 = 1,39 u.a.
๐ฅ
๐ฆ
1 4
๐ ๐ฅ =1
๐ฅ
๐ฅ
๐ฆ
31
๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 + 1
MรTODOS DE INTEGRAรรO I
Integraรงรฃo por Substituiรงรฃo
Esta tรฉcnica, baseada na regra da cadeia, รฉ utilizada sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma :
๐ผ = ๐(๐ ๐ฅ ) โ ๐๐โฒ ๐ฅ ๐๐ฅ
A tรฉcnica consiste em fazer a substituiรงรฃo : ๐ข = ๐(๐ฅ) , o que implica๐๐ข = ๐โ(๐ฅ)๐๐ฅ . Logo, podemos reescrever a Integral como :
๐ผ = ๐ ๐(๐ข) โ ๐๐ข
O que deve simplificar o cรกlculo.
Exemplos:
a. ๐2๐ฅ๐๐ฅ , fazendo ๐ข = 2๐ฅ , ๐ก๐๐๐๐๐๐ :๐๐ข
๐๐ฅ= 2 โ ๐๐ฅ =
๐๐ข
2. Logo, temos:
๐2๐ฅ๐๐ฅ = ๐๐ข๐๐ข
2=1
2๐๐ข + ๐พ =
1
2๐2๐ฅ + ๐พ
b. 2๐ฅ 1 + ๐ฅ2 โ ๐๐ฅ , fazendo ๐ข = 1 + ๐ฅ2 , teremos ๐๐ข = 2๐ฅ๐๐ฅ . Logo :
2๐ฅ 1 + ๐ฅ2 ๐๐ฅ = ๐ข ๐๐ข =2
3๐ข3
2 + ๐พ =2
3(1 + ๐ฅ2)
3
2 + ๐พ
c. 1
3๐ฅ+4๐๐ฅ , fazendo ๐ข = 3๐ฅ + 4 , teremos ๐๐ข = 3๐๐ฅ . Logo :
1
3๐ฅ+4๐๐ฅ =
1
๐ข
๐๐ข
3=1
3ln ๐ข + ๐พ =
1
3๐๐ 3๐ฅ + 4 + ๐พ
MรTODOS DE INTEGRAรรO I
d. ๐ ๐๐ (๐๐ฅ + ๐)๐๐ฅ , fazendo ๐ข = ๐๐ฅ + ๐ , teremos ๐๐ข = ๐๐๐ฅ . Logo :
๐ ๐๐(๐๐ฅ + ๐) ๐๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ข๐๐ข
๐= โ1
๐cos ๐ข + ๐พ = โ
1
๐cos(๐๐ฅ + ๐) + ๐พ
e. ๐ฅ2. cos ๐ฅ3 + 2 ๐๐ฅ , fazendo ๐ข = ๐ฅ3 + 2, teremos ๐๐ข = 3๐ฅ2๐๐ฅ . Logo :
๐ฅ2. ๐๐๐ (๐ฅ3 + 2) ๐๐ฅ = cos ๐ข ๐๐ข
3=1
3sen ๐ข + ๐พ =
1
3๐ ๐๐(๐ฅ3 + 2) + ๐พ
Integraรงรฃo por Partes
MรTODOS DE INTEGRAรรO II
Esta tรฉcnica รฉ baseada na regra do produto, e รฉ utilizada sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma :
๐ผ = ๐(๐ฅ) โ ๐โฒ ๐ฅ ๐๐ฅ
Como sabemos, pela regra do produto, ๐ ๐ โ ๐ = ๐๐๐ + ๐๐๐ .Consequentemente ๐๐๐ = ๐ ๐ โ ๐ โ ๐๐๐. Assim, integrando ambos os ladosdessa igualdade, podemos escrever:
๐ผ = ๐ ๐ฅ โ ๐โฒ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ โ ๐โฒ ๐ฅ ๐๐ฅ
Exemplos:
a. ๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฅ , fazendo ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐โ ๐ฅ = ๐๐ฅ , teremos : ๐โ ๐ฅ = 1 e ๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ.
Logo:
๐ฅ๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐ฅ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ๐๐ฅ = ๐ฅ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ = ๐๐ฅ(๐ฅ โ 1) + ๐พ
๐. ln ๐ฅ ๐๐ฅ , fazendo ๐(๐ฅ) = ln ๐ฅ ๐ ๐โ ๐ฅ = 1๐๐ฅ , teremos : ๐โ ๐ฅ =1
๐ฅ๐๐ฅ e ๐ ๐ฅ = ๐ฅ.
Logo:
ln๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ โ ๐๐ ๐ฅ โ ๐ฅ1
๐ฅ๐๐ฅ = ๐ฅ โ ln ๐ฅ โ ๐ฅ + ๐พ
c. ๐ฅ โ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ , fazendo ๐(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ ๐โ ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ , teremos : ๐โ ๐ฅ = 1๐๐ฅ e
๐ ๐ฅ = ๐ ๐๐๐ฅ. Logo :
๐ฅ โ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ + cos ๐ฅ + ๐พ
MรTODOS DE INTEGRAรรO II
d. ๐ ๐๐2๐ฅ ๐๐ฅ , fazendo ๐(๐ฅ) = ๐ ๐๐๐ฅ ๐ ๐โ ๐ฅ = ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐ฅ , teremos : ๐โ ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
e ๐ ๐ฅ = โ๐๐๐ ๐ฅ. Logo :
๐ ๐๐2๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐ ๐๐๐ฅ. ๐๐๐ ๐ฅ + ๐๐๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + 1 โ ๐ ๐๐2๐ฅ . ๐๐ฅ โ
๐ ๐๐2๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ โ ๐ ๐๐2๐ฅ ๐๐ฅ โ 2 ๐ ๐๐2๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ฅ โ
๐ ๐๐2๐ฅ ๐๐ฅ =1
2(๐ฅ โ ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ)
e. ๐๐๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ , fazendo ๐(๐ฅ) = ๐๐๐ ๐ฅ ๐ ๐โ(๐ฅ) = ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ , teremos : ๐โ ๐ฅ = โ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐ฅ
e ๐ ๐ฅ = ๐ ๐๐๐ฅ. Logo :
๐๐๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐๐๐ฅ. ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ ๐๐2๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + 1 โ ๐๐๐ 2๐ฅ . ๐๐ฅ โ
๐๐๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ โ ๐๐๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ โ 2 ๐๐๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ฅ โ
๐๐๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ =1
2(๐ฅ + ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ)
MรTODOS DE INTEGRAรรO II
SUBSTITUIรรES TRIGONOMรTRICAS
Nos casos em que nรฃo hรก o ๐ฅ multiplicando o radical, utiliza-se substituiรงรตes baseadas nasconhecidas identidades trigonomรฉtricas : ๐ ๐๐2๐ฅ + ๐๐๐ 2๐ฅ = 1 e ๐ ๐๐2๐ฅ = 1 + ๐ก๐2๐ฅ
Vamos agora estudar um mรฉtodo para resolver integrais do tipo ๐ฅ2 ยฑ ๐2 ๐๐ฅ ou
๐2 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ.
Expressรฃo Substituiรงรฃo Identidade Triรขngulo
๐2 โ ๐ฅ2 ๐ฅ = ๐. ๐ ๐๐๐ 1 โ ๐ ๐๐2๐ฅ = ๐๐๐ 2๐ฅ
๐ฅ2 + ๐2 ๐ฅ = ๐. ๐ก๐๐ 1 + ๐ก๐2๐ฅ = ๐ ๐๐2๐ฅ
๐ฅ2 โ ๐2 ๐ฅ = ๐. ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐2๐ฅ = 1 + ๐ก๐2๐ฅ
๐๐ฅ
๐
๐
๐ฅ๐
๐
๐ฅ
๐
Se as integrais fossem ๐ฅ ๐ฅ2 ยฑ ๐2 ๐๐ฅ ou ๐ฅ ๐2 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ nรฃo haveria problema, poderรญamos
usar as substituiรงรตes ๐ข = ๐ฅ2 ยฑ ๐2 ou ๐ข = ๐ฅ2 ยฑ ๐2.
SUBSTITUIรรES TRIGONOMรTRICAS - EXEMPLOS
a. I = ๐๐ฅ
๐ฅ2 ๐ฅ2โ4Caso 3 : Fazemos ๐ฅ = 2๐ ๐๐๐ . Logo teremos ๐๐ฅ = 2๐ ๐๐๐. ๐ก๐๐ ๐๐
๐ผ = 2๐ ๐๐๐. ๐ก๐๐. ๐๐
4๐ ๐๐2๐. 4๐ ๐๐2๐ โ 4=
2๐ก๐๐. ๐๐
4๐ ๐๐๐. 4. (๐ ๐๐2๐ โ 1)=
2๐ก๐๐. ๐๐
4๐ ๐๐๐. 2 ๐ก๐2๐
= ๐ก๐๐. ๐๐
4๐ ๐๐๐. ๐ก๐๐=1
4 ๐๐๐ ๐. ๐๐ =
1
4๐ ๐๐๐ + ๐พ
b. I = 9 โ ๐ฅ2๐๐ฅ
Mas pelo triรขngulo : ๐ ๐๐๐ =๐ฅ2โ4
๐ฅLogo : ๐ผ =
๐ฅ2 โ 4
4๐ฅ+ ๐พ
Caso 1 : Fazemos ๐ฅ = 3๐ ๐๐๐ . Logo teremos ๐๐ฅ = 3๐๐๐ ๐ ๐๐
๐ผ = 9 โ 9๐ ๐๐2๐. 3๐๐๐ ๐. ๐๐ = 3 ๐๐๐ 2๐ 3๐๐๐ ๐๐๐
= 9 ๐๐๐ 2๐ ๐๐
= 9(1 โ ๐ ๐๐2๐). 3๐๐๐ ๐. ๐๐
Se recordarmos o exemplo (e) dos slides de Integraรงรฃo por partes
9 ๐๐๐ 2๐ ๐๐ =9
2๐ + ๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐ + ๐พ . Mas pelo triรขngulo : ๐ ๐๐๐ =
๐ฅ
3๐ ๐๐๐ ๐ =
9โ๐ฅ2
3
SUBSTITUIรรES TRIGONOMรTRICAS - EXEMPLOS
Assim, substituindo os valores de ๐ ๐๐๐ ๐ cos ๐ na expressรฃo, temos finalmente :
I = 9 โ ๐ฅ2๐๐ฅ =9
2๐ + ๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐ + ๐พ =
9
2๐๐๐ ๐ ๐๐
๐ฅ
3+๐ฅ
3โ9 โ ๐ฅ2
3+ ๐พ
๐ผ =9
2๐๐๐ ๐ ๐๐
๐ฅ
3+๐ฅ 9 โ ๐ฅ2
9+ ๐พ
c. I = ๐๐ฅ
๐ฅ2 ๐ฅ2+1Caso 2 : Fazemos ๐ฅ = ๐ก๐๐ , portanto ๐๐ฅ = ๐ ๐๐2๐. ๐๐
๐ผ = ๐ ๐๐2๐. ๐๐
๐ก๐2๐. ๐ ๐๐๐= ๐ ๐๐๐. ๐๐
๐ก๐2๐= ๐๐๐ 2๐๐๐
๐๐๐ ๐. ๐ ๐๐2๐= ๐๐๐ ๐. ๐๐
๐ ๐๐2๐
Fazendo ๐ข = ๐ ๐๐๐ , temos ๐๐ข = ๐๐๐ ๐๐๐ e podemos reescrever a expressรฃoacima na forma
๐ผ = ๐๐ข
๐ข2=โ1
๐ข
Desfazendo a substituiรงรฃo temos : ๐ผ = โ1
๐ ๐๐๐
Usando o triรขngulo do caso 2 finalmente : ๐ผ = โ๐ฅ2+1
๐ฅ
APLICAรรO A FรSICA
Suponhamos uma caixa apoiada no chรฃo. E digamos que desejamos deslocรก-la emlinha reta, entre os pontos ๐ e ๐, como mostra a figura. Para deslocarmos a caixaprecisaremos aplicar sobre a mesma uma forรงa (๐).
A Fรญsica define o Trabalho realizado quando se aplica uma forรงa constante ๐ paradeslocar um corpo entre dois pontos ao longo de uma linha reta, pelo produto
๐ = ๐. โ๐ฅ
๐
๐ ๐โ๐ฅ = ๐ โ ๐
A unidade de trabalho รฉ Newton x metro , a qual denomina-se Joule. Ou seja, sempreque a forรงa estiver dada em Newtons e a distรขncia do deslocamento em metros, otrabalho serรก calculado em Joules.
APLICAรรO A FรSICA
Suponhamos agora uma situaรงรฃo mais realista, na qual, em vez de ser constante ao longo de todo o deslocamento, a forรงa seja dada por uma funรงรฃo ๐(๐).
Neste caso, para calcularmos o trabalho realizado,vamos dividir o deslocamento entre ๐ e ๐ empequenos intervalos (โ๐ฅ). De modo que, em cadaintervalo a forรงa pode ser considerada constante ๐(๐ฅ๐).
Usando a mesma ideia usada para o problema da รกrea,podemos dizer que o trabalho total, pode ser calculadopela integral
๐ = ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
De uma forma geral, a ideia de dividir o domรญnio do problema em pequenas porรงรตes, de modo aaproximar uma situaรงรฃo complexa por uma sequรชncia de problemas mais simples รฉ muito usada naEngenharia. Essa ideia รฉ a base do cรกlculo diferencial e integral, criaรงรฃo do gรชnio Isaac Newton.
Desta forma, podemos calcular o trabalho realizado emcada pequeno deslocamento por
๐ค๐ = ๐ ๐ฅ๐ โ โ๐ฅ
๐ฅ๐
๐(๐ฅ๐)
โ๐ฅ
๐ฅ๐๐
๐ฆ
๐(๐ฅ)
APLICAรรO A FรSICA - EXEMPLO
Segundo a Lei de Hooke, uma lei bastante conhecida naFรญsica, quando aplicamos uma forรงa para distender umamola, a partir de sua posiรงรฃo de equilรญbrio, a forรงa quedevemos exercer รฉ dada por
๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ
onde ๐ รฉ a chamada constante de elasticidade da molae ๐ฅ รฉ a extensรฃo do deslocamento.
Podemos entรฃo calcular o trabalho realizado para causar uma distensรฃo de ๐ ๐๐๐ก๐๐๐ em uma mola com constante elรกstica ๐.
๐ = 0
๐
๐๐ฅ ๐๐ฅ =๐
2๐ฅ2
0
๐
=๐
2๐2
๐ฅ
๐(๐)
0
Um carro de fรณrmula 1 entra acelerando em uma reta. Sua velocidade (em๐/๐ ) aolongo do movimento รฉ descrita pela funรงรฃo ๐ฃ ๐ก = 30 + 5t . Supondo que o carroleva 8s para percorrer a reta, determine qual o comprimento da reta em metros.
Os conceitos da Fรญsica nos dizem que a velocidade รฉa taxa de variaรงรฃo da distรขncia. Logo a funรงรฃo ๐ (๐ก),que representa a distรขncia percorrida, รฉ a integralda funรงรฃo velocidade.
Podemos entรฃo escrever :
Comprimento = 0830 + 5๐ก ๐๐ก = 30๐ก +
5
2๐ก20
8= 30.8 +
5
264 = 400๐
๐ = 0
8
๐ฃ ๐ก ๐๐ก
APLICAรรO A FรSICA - EXEMPLO
๐ก
๐ฃ๐ฃ ๐ก = 30 + 5t
8s0 Comprimento = ๐ 8 โ ๐ 0 = 08๐ฃ ๐ก ๐๐ก
CAMPOS DE DIREรรES E A ANTIDERIVADA
Suponhamos que quisรฉssemos determinar a antiderivada da funรงรฃo
๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 + 1 โ ๐ฅ , que satisfaz a condiรงรฃo ๐น 0 = 1 .
Encontrar uma expressรฃo algรฉbrica para a antiderivada da funรงรฃo acima nรฃo รฉ uma tarefa fรกcil.Na verdade, sabemos que para algumas funรงรตes essa tarefa รฉ impossรญvel.
๐ฅ
๐ฆ Porรฉm, podemos utilizar um mรฉtodo grรกfico paraesboรงar a antiderivada de qualquer funรงรฃo,utilizando-se do chamado campo de direรงรตes.
Como sabemos, em cada ponto do seu domรญnio a๐(๐ฅ) representa a direรงรฃo da tangente ao grรกfico daantiderivada ๐น ๐ฅ .
Assim, podemos obter o campo de direรงรตesassociado a ๐(๐ฅ) traรงando pequenos segmentos cominclinaรงรฃo ๐(๐ฅ) , para valores selecionados de ๐ฅ.
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Por exemplo :
๐ โ1 = 1
๐ โ0,5 =1,9
๐ 0 = 1
๐ 0,5 = 0,6
๐ 1 = 0,4
๐ 1,5 = 0,6
๐ 2 = 1
๐ 2,5 = 1,6
๐(3) = 2,3
CAMPOS DE DIREรรES E A ANTIDERIVADA
๐ฅ
๐ฆ
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
๐ญ(๐)
โข๐น(0) = 1
Vamos partir do campo de direรงรตesdefinido pela ๐(๐ฅ).
E do ponto P(0, ๐น 0 ) , que nos foidado como condiรงรฃo de contorno paraa antiderivada ๐น(๐ฅ)
Podemos entรฃo esboรงar a curva querepresenta o grรกfico da ๐น(๐ฅ), que serรกtangente ao campo de direรงรตes emcada ponto.
Este mesmo conceito serรก usado mais tarde na resoluรงรฃo de Equaรงรตes Diferenciais
INTEGRAรรO POR SรRIES INFINITAS
Nem sempre รฉ possรญvel explicitar a antiderivada de uma funรงรฃo na forma de umaexpressรตes fechada, que combine as funรงรตes elementares conhecidas.
Funรงรตes elementares, sรฃo aquelas que podem ser expressas como combinaรงรฃo defunรงรตes polinomiais, racionais, potรชncia, logarรญtmica, trigonomรฉtrica e hiperbรณlicas
Exemplos :
a. ๐๐ฅ2๐๐ฅ , b.
๐๐ฅ
๐๐๐ฅ, c.
๐ ๐๐๐ฅ
๐ฅ๐๐ฅ , d. ๐ ๐๐ ๐ฅ2 ๐๐ฅ
Pode-se provar que as antiderivadas das funรงรตes acima nรฃo sรฃo funรงรตeselementares. De fato, a maioria das funรงรตes elementares nรฃo possuemantiderivadas elementares.
Nesses casos pode-se utilizar sistemas algรฉbricos computacionais (em inglรชs CAS) taiscomo: Derive, Maple, Mathematica, etc. ou Mรฉtodos Numรฉricos de Integraรงรฃo, quepermitem exprimir a antiderivada atravรฉs de uma sรฉrie infinita. Esses mรฉtodosutilizam quase sempre o conceito de campo de direรงรตes.
LIVROS RECOMENDADOS
โข Stewart, James โ Cรกlculo Vol. 1, 7ยช. Ediรงรฃo, Ed. Cengage, 2013.
โข Guidorizzi, Hamilton L. โ Cรกlculo Vol. 2, 5ยช Ediรงรฃo, Ed. LTC, 2008
โข Apostol, Tom M. โ Calculo Vol. 1, Ed. Reverte Brasil, 2004
โข Ron Larson and Bruce H. Edwards - Calculus, Ed. Brooks Cole, 2013
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