introdução e análise circuitos - fctunl · (palhetas; termopar, detector de envolvente)....

I/1

Capítulo I- Caracterização de um Instrumento de Medida. Definição e análise de circuitos eléctricos. Simbologia

ÍNDICE

1.1 CARACTERIZAÇÃO DE UM INSTRUMENTO DE MEDIDA E SUAS FUNÇÕES......................................... 2 1.2 ESTRUTURA DA DISCIPLINA. ................................................................................................................................ 4 1.3- SINAL ELÉCTRICO. DEFINIÇÃO DE GRANDEZAS ELÉCTRICAS. ............................................................ 5

1.3.1 SIMBOLOGIA DE COMPONENTES PASSIVOS................................................................................................................ 8 1.3.2 SIMBOLOGIA DE OUTROS COMPONENTES PASSIVOS.................................................................................................. 9 1.3.3 SIMBOLOGIA DE COMPONENTES ACTIVOS............................................................................................................... 10 1.3.4 SIMBOLOGIA GERAL PARA INTERPRETAÇÃO DE ESQUEMÁTICOS ............................................................................ 11

1.4 CIRCUITO ELÉCTRICO .......................................................................................................................................... 12 1.5 LEIS DE KIRCHOFF.................................................................................................................................................. 13 1.6 ASSOCIAÇÃO DE COMPONENTES PASSIVOS NUM CIRCUITO ELÉCTRICO....................................... 13 1.7 VALOR MÉDIO E VALOR EFICAZ. CORRELAÇÃO ENTRE DIFERENTES SINAIS ELÉCTRICOS... 14 1.8 IMPEDÂNCIA DE UM CIRCUITO ELÉCTRICO................................................................................................ 18 1.9 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS: TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON............... 18 1.10 PROBLEMAS SOBRE ANÁLISE DE CIRCUITOS............................................................................................ 19 RESOLUÇÃO................................................................................................................................................................... 23 1.11 ANÁLISE DE TRANSIENTES EM CIRCUITOS ELÉCTRICOS..................................................................... 23 RESOLUÇÃO................................................................................................................................................................... 25 1.12 INDUTÂNCIA MUTUA............................................................................................................................................ 25 1.12 ANÁLISE DE CIRCUITOS COM TRANSFORMADORES .............................................................................. 27 1.13 EXERCÍCIOS POR RESOLVER............................................................................................................................ 29 A) QUESTÕES DE ÍNDOLE TEÓRICA........................................................................................................................ 29 B) QUESTÕES DE ÍNDOLE PRÁTICA ........................................................................................................................ 30

I/2

1.1 Caracterização de um Instrumento de Medida e suas Funções.

Por instrumento de medida entende-se o sistema capaz de fornecer informação acerca de

quantidades de algumas variáveis/ grandezas físicas que se pretendem medir e/ou controlar.

Algumas vezes pretende-se também que essa informação seja registrada para eventual uso

futuro. Isto é, o instrumento de medida serve três funções básicas: indicar, registar e

controlar, em simultâneo, ou parcelarmente.

Para realizar a sua função de “medir”, o instrumento de medida tem de possuir um

componente capaz de converter a grandeza física num sinal, mecânico ou eléctrico e deste ser

compreendido pelo utilizador, em termos de uma indicação de um ponteiro que se desloca

num dado mostrador graduado (indicação analógica) ou por indicação alfanumérica (indicação

digital). Este componente designa-se por transdutor. No caso vertente, estamos interessados

em instrumentos que convertam a grandeza física a medir num sinal eléctrico (instrumento

electrónico). Tal implica que para além do transdutor, exista também no instrumento de

medida um modificador de sinal, que processe/converta/amplifique o sinal fornecido pelo

transdutor de forma a que este proporcione a indicação desejada, para leitura no

Indicador/mostrador.

A forma de selecção do instrumento de medida mais adequado para medir ou fornecer

informação sobre um dado processo de controlo, tem a ver com a fiabilidade da medida, o

grau de exactidão e resolução instrumental pretendida, para além reproducibilidade de valores.

Em termos industriais, o instrumento de medida constituí a unidade básica do processo de

controlo.

Entrada de Energiae/ou material PROCESSO

Perturbação

Instrumento de MedidaControladorElemento de

Controlo Final

Variável Controlada

Valor Desejado da Variável Controlada

Entrada de Energiae/ou material PROCESSO

Perturbação

Instrumento de MedidaControladorElemento de

Controlo Final

Variável Controlada

Valor Desejado da Variável Controlada

Neste caso concreto, é necessário garantir-se que o transdutor e conversor eléctrico utilizado

são fiáveis e que o erro da medida está minimizado, de acordo com o grau de

reproducibilidade e fiabilidade pretendidos. Tal implica que, de algum modo, se conheça o

valor esperado da grandeza a medir.

Assim, na análise do processo, deve-se ter em conta que:

I/3

1. O comportamento teórico previsto, faz-se recorrendo a modelos matemáticos e é

sempre diferente do real.

2. O comportamento previsto, pode ser simulado em curto espaço de tempo, por recurso a

meios computacionais, que minimizam a aproximação clássica “experimentação, erro,

optimização”.

3. Necessidade de se recorrer a instrumentos fiáveis e exactos.

Na posse de todos estes elementos, os passos a dar para a validação do processo envolvem:

a) Teste da validação teórica do modelo utilizado;

b) Formulação genérica das relações empíricas a utilizar;

c) Determinação das características e desempenho funcional das grandezas em jogo

(materiais, parâmetros do processo, etc.);

d) Estudo dos fenómenos a controlar/processar, com o intuito de desenvolver uma

metodologia;

e) Solução Matemática do problema;

f) Definição do sistema electrónico a utilizar;

g) Implementação da electrónica subjacente;

h) Validação do sistema, através da operação de validação.

A estrutura instrumental compatível com a análise de engenharia efectuada, conduz-nos ao

esquemático:

Meio a medir/controlar

Elemento primário sensorial

Elemento de mani-pulação variável

Elemento deConversão variável

Elemento Apresentação de dados

Elemento de transmissão

Armazenamentode dados

Observador/Utilizador

Meio a medir/controlar

Elemento primário sensorial

Elemento de mani-pulação variável

Elemento deConversão variável

Elemento Apresentação de dados

Elemento de transmissão

Armazenamentode dados

Observador/Utilizador

I/4

1.2 Estrutura da disciplina.

Do exposto, constatamos que para a funcionalidade de um instrumento de medida é

importante saber-se como o sinal eléctrico é acondicionado, nomeadamente saber-se

interpretar os componentes de um circuito eléctrico e como ele funciona. A este

conhecimento deve-se acrescentar o conhecimento de erros de medida e formas de

minimizá-los. Na posse destes elementos, será possível exercermos as seguintes funções:

• Selecção do equipamento mais adequado a um dado tipo de função;

• Interpretação dos resultados obtidos;

• Determinação de causas de eventuais avarias e/ou desvios da medida/controlo

efectuado;

• Definição do tipo de circuitaria eléctrica necessária e/ou sua interpretação.

As valências acima enumeradas constituem o objecto desta disciplina, onde se pretende:

I) Dar a conhecer os diferentes componentes eléctricos existem e o seu comportamento em circuitos eléctricos de corrente continua (sinal eléctrico constante ao longo do tempo) e corrente alterna; formas de associação de componentes eléctricos passivos; definição de impedância de um circuito. Componentes reactivos e activos da impedância; formas de análise de circuitos eléctricos; comportamento transientes; modos de simplificação de circuitos eléctricos; definição de componente eléctrico activo e sua utilização;

II) Tipos de instrumentos de medida; padrões e referências em instrumentos de medida; erros associados a uma medida e forma de os determinar e minimizar; Análise sistemática de erros; formas de selecção de aparelhos de medida;

III) Medidores analógicos de corrente continua: medidor d’Arsonval e sua utilização em instrumentação analógica para medição de correntes, tensões e ohms. Sensibilidade de um aparelho de medida e efeito de carga. Formas de implementar aparelhos de medida de multi-escala: o “shunt” de Ayrton.; definição de multímetro e formas de calibração de aparelhos de medida. Aplicações destes instrumentos.

IV) Medidores analógicos de corrente alterna: princípio de funcionamento. Definição de valor eficaz e médio de um sinal alterno sinusoidal; circuitos de rectificação de meia e onda completa; Sensibilidade de um medidor de corrente alterna d’Arsonval; Electrodinamómetro: princípio de funcionamento e sua utilização como medidor de corrente, tensão e potência (wattimetro); outros medidores de corrente alterna (palhetas; termopar, detector de envolvente). Aplicações.

V) Circuito potenciométrico e tensões de referência: circuito potenciométrico básico e sua utilização em processos de calibração; díodo Zener; aplicações. Pontes de corrente continua: constituição e forma de funcionamento da ponte de Wheatstone, balanceada e não balanceada. Ponto de Kelvin, funcionamento e aplicação. Pontes de leitores de circuitos digitais. Aplicações (loop de Murray e loop de Varley).

VI) Pontes de corrente alterna: modo de funcionamento e análise das diferentes pontes existes e seu campo de aplicação (ponte dos ângulos similares, ponte de Maxwell, ponte dos ângulos opostos, ponte de Wien, ponte de rádio frequência, ponte de Schering).

VII) Instrumentos de Medida Electrónicos (EVM): caracterização de um amplificador diferencial; amplificadores diferenciais em EVM’s; caracterização de um circuito somador e outro integrador; sensibilidade em EVM e sua utilização na medição de sinais de corrente continua e alterna: medidor de tensão eficaz. Utilização do electrómetro como ohmímetro. Medidor do vector de impedância e de tensão.

I/5

VIII) Osciloscópio: composição e sua funcionalidade; componentes básicos de controlo: circuitos deflectores verticais e horizontais; amplificadores verticais e horizontais; sistema de varrimento temporal; sistema de disparo (trigger) e de sincronismo; atenuadores; pontas de elevada impedância e formas de compensação de sinal. Aplicações: medidas de tensão; frequência e fase. Figuras de Lissajous.

IX) Instrumentos de registro e sua aplicação. Geradores de sinal: critério de Barkhausen. Osciladores áudio e de rádio frequência. Geradores de funções sinusoidais,, de impulsos e de dente de serra. Aplicações.

X) Transdutores: definição de transdutor. Classificação de transdutores; tipo de transdutores; selecção de transdutores. Transdutores resistivos medidores de posição (potenciómetro), pressão. Transdutores capacitivos, indutivos e piezoeléctricos. Transdutores medidores de temperatura: o termopar, a resistência, o termístor, transdutor ultra-sónico. Transdutor fotoeléctrico: o fotomultiplicador, fotocondutores, foto-díodos (células solares); fototransístor.

XI) Ruído: definição e fontes de ruído. Formas de medida do ruído. Figuras de ruído. Técnicas de redução/filtragem do ruído.

XII) Fibras ópticas em instrumentação: sua constituição/composição e forma de funcionamento. Vantagens na utilização de sensores de fibras ópticas em instrumentos de medida.

XIII) Instrumentos Digitais. Instrumentos digitais versus instrumentos de leitura digital. Comparação entre um medidor analógico e outro digital. Fiabilidade, exactidão, precisão e resolução de um instrumento digital. Conversores analógico-digitais. Circuitos contadores binários e de décadas. Contadores electrónicos. O multímetro digital. Instrumentos à base de microprocessadores. Aplicações.

XIV) Avarias em instrumentação: classificação e formas de detecção. Procedimentos a

seguir na detecção e sua reparação. Pontos de teste em instrumentação eléctrica/electrónica. A realização e leitura de esquemáticos.

As grandes áreas anteriormente mencionadas correspondem aos tópicos a abordar ao

longo das 14 semanas efectivas de aulas teóricas, para as quais se pede a comparência dos

alunos, como forma destes mais facilmente ficarem dentro do conjunto de matérias de

índole científicas e técnica a leccionar.

1.3- Sinal Eléctrico. Definição de grandezas eléctricas.

Por sinal eléctrico entende-se o sinal ao qual está associado o transporte de uma dada

energia devido ao fluxo de cargas originado por um gradiente. Ao fluxo de cargas

chamamos de corrente eléctrica, e corresponde ao número de cargas (em Coulomb) que

por unidade de tempo fluem num dado circuito. Para isso, é necessário que esse circuito

seja fechado. Isto é, os terminais de saída do circuito que fornece a energia (designada de

fonte) devem estar ligados entre si através de uma dada carga (impedância). A corrente

exprime-se em Amperes [A=Q/s] e representa-se pela letra I (sinal de corrente continua)

ou i(t) (sinal de corrente alterna).

Ao gradiente que dá origem ao fluxo de cargas, designamos de potencial e ao resultado da

passagem da corrente pela “carga”, designamos por tensão. Ambos exprimem-se em Volts

[V] e representa-se pela letra V (sinal de corrente continua) e por v(t) (sinal de corrente

alterna- cc ou dc). No caso do sinal ser repetitivo no tempo, diz-se que o sinal é periódico

I/6

(c.a ou ac), designando-se o intervalo de tempo em que este se repete por período (T),

sendo normalmente representado em segundo [s]. Ao inverso do período ( número de

vezes por segundo que o sinal se repete) designamos por frequência (T

f 1= ). A frequência

angular corresponde ao número de revoluções circulares equivalentes do sinal por

segundo: ( f××= πω 2 ).

Se o sinal fôr periódico e tiver a forma de uma onda sinusoidal, diz-se de sinal sinusoidal.

t(s)

v(t),

i(t)

V (I)

t(s)

v(t),

i(t)

V (I)

Sinal continuo v(t)=V

t(s)

v(t),

i(t)

V (I)

-V (-I)

t(s)

v(t),

i(t)

V (I)

-V (-I) Sinal alterno sinusoidal do tipo v(t)=Vsin(ωt)

Neste caso tem-se que v(t)=Vsin(ωt), em que V é o valor da amplitude máxima (designada

também de tensão de pico) do sinal sinusoidal.

A fonte que fornece a energia, pode não dificultar a passagem de cargas, de forma a

manter um potencial sempre constante, independentemente das cargas que fluem no

circuito ou pode ter associada uma impedância resistiva muito elevada, de forma a manter

o fluxo de cargas constante. No primeiro caso a fonte designa-se de fonte de tensão,

enquanto no segundo caso se designa de fonte de corrente.

A fonte diz-se ser de corrente contínua (dc) se a amplitude do sinal eléctrico se mantém

invariável ao longo do tempo. Caso contrário o sinal diz-se alterno (ac).

A relação entre corrente e tensão numa da carga (impedância) corresponde à relação:

IZV ˆ.ˆˆ ×= (01.1)

onde o acento circunflexo sobre as letras significa que as grandezas em presença são

complexas. Isto é, caracterizadas por possuírem (no plano d’Argand) uma componente real

e uma imaginária.

jXRZ +=ˆ (01.2)

A componente real significa que quando da passagem de energia há consumo desta

enquanto que a componente puramente imaginária corresponde a um não consumo de

energia mas sim ao seu armazenamento, sob a forma de energia eléctrica ou magnética.

(nota: 1−=j ).

I/7

θθ jeZXRjXrZ ×=⟨+=+= ˆ()(ˆ 22 (01.2ª)

em que ZXR ˆ( 22 =+ e RXartg=θ

0 termo sob a raiz quadrada representa o modulo da grandeza complexa |Z|. O angulo θ

representa o angulo de fase da grandeza complexa. Isto é o angulo que o vector complexo

Z faz com o eixo das ordenadas.

As unidades em que se exprime a impedância são ohms [Ω]. A componente R, designa-se por

resistência está associada à energia que se perde por efeito de Joule. A dissipação dessa

energia no elemento resistivo dá origem á elevação de temperatura. A componente X designa-

se reactância e corresponde à energia eléctrica armazenada, se o componente em causa for

um condensador (a capacidade exprime-se em Farad, [F], exprime-se pelo símbolo C e

representa-se por):

VCQ ×= (01.3)

ou ao armazenamento de cargas magnéticas, se o elemento em causa for uma indutância

(exprime-se em Henry, [H], exprime-se pelo símbolo L e representa-se por):

LVQ = (01.4)

Se tivermos em conta que i(t)=(dQ/dt), das relações anteriores tira-se que:

dttdvCti )()( ×= (01.5)

dttdiltv )()( ×= (01.6)

Das equações 01.5 e 01.6, constatamos que:

1. Em d.c. o condensador comporta-se como um circuito aberto (não há passagem de

corrente e as cargas são armazenadas no condensador) e a bobine/indutância,

comporta-se como um curto circuito (tensão aos seus terminais praticamente igual

a zero, pelo facto desta, idealmente, ter R≈0 Ω. Neste caso, no interior da bobine

cria-se um campo magnético, cujo sentido é o da corrente que flui no circuito);

2. Em a.c., o condensador comporta-se como um curto circuito ( o condensador vai

carregando e descarregando, de forma alternada, de tal modo que o valor da carga

armazenada, em regime estacionário é zero) e a bobine como um curto circuito

jX

Z

R

I/8

magnético ( o valor médio do campo magnético gerado no seio da bobine é igual a

zero).

Por outro lado, também se tira que para sinais eléctricos sinusoidais se tem:

)()( tvCjti ×= ω e )()( tvLjtv ×= ω (01.7)

Nestas condições tira-se que a reactância capacitiva, Xc é dada por:

CjX c ω

1−= (01.8ª)

e a reactância indutiva é dada por :

LjXL ω= (01.8b)

Aos componentes anteriores (resistência, condensador e bobine), para os quais existe uma

relação linear entre a corrente e a tensão (lei de Ohm), designamos de componentes passivos.

1.3.1 Simbologia de componentes passivos

Os componentes passivos são representados pelos seguintes símbolos.

a) Fonte de tensão dcDC

b) Fonte de corrente dc

DC

c) Bateria d) Fonte de tensão ac

AC

e) Fonte de corrente ac

AC

f) Oscilador

I/9

g) Resistência fixa ; variável

,

h) Fusível [resistência constituída por um fio

condutor (normalmente de cobre), de

comprimento e diâmetro calibrados para uma

dada intensidade de corrente. A

ultrapassagem dessa intensidade de corrente

faz fundir o fio, tendo em conta a energia

dissipada nesta resistência].

i) Bobina fixa , meio

indutor , núcleo de uma bobina

; magneto permanente ;

indutância ajustável

j) Condensador fixo ; variável

. Nota, nos condensadores

electrolíticos deve-se ter em conta a

polaridade.

k) Transformador l) Transformador de potencial

m) Símbolo de polaridade positiva ,

negativa ,

1.3.2 Simbologia de outros componentes passivos

i. Símbolo de ligação à terra

ii. Terra comum a vários aparelhos .

iii. Quebra circuitos

iv. Termopilha

v. Elemento térmico

vi. ligação à terra por chassis

vii. Cristal .

viii. Termopar

ix. Sistema protecção

viii Botão de ignição

ix) Lâmpada fluorescente

I/10

1.3.3 Simbologia de componentes activos

i. Válvula a díodo ;

ii. Válvula tríodo e pentodo

iii. Díodo de estado sólido: normal ;

Zener ; efeito de túnel ;

varactor ; diac

Triac

; comutador controlado

;

rectificador controlado

.;.fotodíodo

.

iv. Transístor bipolar NPN e PNP .

v. MOSFET no modo de enriquecimento N e P

vi. MOSFET no modo de deplexão N e P

vii. JFET N e P

viii. Par de Darlington NPN e PNP

ix.

x. Ponte rectificador de onda completa

xi. Portas lógicas: OR , AND

xv. Inversor

xvi. FLIP FLOP RS

S

Q

Q

R

SET

CLR,

I/11

, NOR ,

NAND ,

xii. Amplificador diferencial

xiii. Amplificador operacional

xiv. Circuitos Amp Op

somadores ,

integradores ,

multiplicadores; ;

divisor ,

xvii. JK

J

Q

Q

K

SET

CLR,

xviii. Modulador (“chopper”)

xix. Motor

xx.

1.3.4 Simbologia geral para interpretação de esquemáticos

a) União rotativa b) Isolador

c) Reactância indutiva de um sistema d) Reactância capacitiva de 1 sistema

e) Shunt (c.c.) equivalente f) Descontínuidade

g) Acoplador direccional h) Circulador fixo

i) Circulador reversível j) Filtro de frequência

k) Adaptador de deslocamento de fase

ß

l) Tomada de dois condutores

m) Saída de tomada ac n) Tomada M/F de 3 condutores

I/12

o) Gerador de sinal

q) Comutador

p) Contactos por relay com 1 e 2

saídas ; relay de bobina ,

relay

r) Símbolo de radiação não ionizante , e

ionizante ,

s) Símbolos de ligação , , , ,

, ,

t) Cabo , u) ponto de soldadura de vários terminais

v) Junção , terminal , ponto de teste

, x) Jack blindada e para cabo coaxial

y) Estação hidroeléctrica

1.4 Circuito Eléctrico

Por circuito eléctrico entende-se a combinação de componentes passivos e activos, interligados

entre si de forma a permitirem o fluxo de cargas eléctricas desejado e/ou o potencial num

dado componente terminal, designado de carga.

Um circuito eléctrico é constituído por malhas e nódos.

Por malha entende-se o circuito eléctrico fechado, sem derivações e/ou ramificações,

caracterizado pela corrente que passa em todos os seus ramos ser a mesma.

R1

R2

R3I1 I2

Esquemático com 2 malhas, 4 ramos e 2 dois nodos

Por nódo entende-se o ponto de ligação de vários ramos onde confluem, de forma

convergente e/ou divergente fluxo de cargas diferentes.

No caso de se terem fontes de corrente continua, a polaridade é muito importante e define o

sentido de circulação da carga (do pólo positivo para o pólo negativo, externamente). Por

outro lado, o sentido da tensão gerada, se rá do pólo positivo para o negativo, internamente.

I/13

1.5 Leis de Kirchoff

1. O somatório das quedas de tensão ao longo e uma malha fechada é igual a zero

2. O somatório de todas as correntes num nódo é igual a zero

No caso do esquema que encima se mostra tem-se:

Malha 1 02111 =−+− IRIRE (01.9ª)

Malha 2 : 0)( 13211 =+++− RRRIR (01.9b)

Em termos de nódos tem-se:

21 RRG III +=

1.6 Associação de componentes passivos num circuito eléctrico.

a) Associação de resistências

Tendo em conta as leis de Kirchoff anteriormente enunciadas tem-se que:

1. A resistência equivalente (Re) de n resistências ligadas em série (passa a mesma

corrente em todas elas) é dada por:

ne RRRR +++= ...21 (01.10ª)

2. A resistência equivalente de n resistências ligadas em paralelo (sujeitas ao mesmo

potencial) é dada por:

ne RRRR1...111

21

+++= (01.10b)

a) Associação de condensadores

Tendo em conta as leis de Kirchoff anteriormente enunciadas tem-se que:

3. A capacidade equivalente (Ce) de n condensadores ligados em paralelo (sujeitos ao

mesmo potencial) é dada por:

ne CCCC +++= ...21 (01.11ª)

4. A capacidade equivalente de n condensadores ligados em série (sujeitas ao mesmo

fluxo de cargas) é dada por:

ne CCCC1...111

21

+++= (01.11b)

a) Associação de indutâncias

Tendo em conta as leis de Kirchoff anteriormente enunciadas tem-se que:

5. A indutância equivalente (Le) de n bobinas ligadas em série (passa a mesma corrente

em todas elas) é dada por:

I/14

ne LLLL +++= ...21 (01.12ª)

6. A indutância equivalente de n bobinas ligadas em paralelo (sujeitas ao mesmo

potencial) é dada por:

ne LLLL1...111

21

+++= (01.12b)

1.7 Valor médio e valor eficaz. Correlação entre diferentes sinais eléctricos

a) Valor médio e valor eficaz

Por definição, o valor médio de um dado sinal eléctrico é dado por:

∫=T

av dttyT

Y0

)(1, (01.13)

onde T é o período.

Tendo em conta esta definição, conclui-se que o valor médio de um sinal dc corresponde ao

seu próprio valor, enquanto que para sinais sinusoidais, o seu valor é zero.

Por valor eficaz entende-se:

∫=T

ef dttyT

Y0

2 )(1. (01.14)

Se y(t) for uma função sinusoidal do tipo asinwt, Yef=a/√2. Nestas condições, tem-se que

Yav=0 e Yef=0,707Ym.

Se o sinal a analisar não for sinusoidal, deve-se ter em conta o factor de forma, definido como

sendo a razão entre o valor eficaz e o valor médio:

∫

∫===

T

T

av

av

ef

dttyT

dttyT

Y

YY

FF

0

2

0

)(1

)(1

(01.15)

b) Correlação entre sinais eléctricos

Por ângulo de fase entende-se a desfasagem existente entre os sinais de corrente e tensão,

num dado ramo ou circuito eléctrico. Tratando-se de sinais sinusoidais, estes podem ser

representados por grandezas complexas, tais que

tjmeIi ω=

r e tj

meVv ω=r

. (01.16)

i) Carga puramente resistiva

I/15

Num dado circuito eléctrico ac, se a se a tensão e a corrente forem ambos funções sinusoidais

no tempo, a forma como estes sinais se correlacionam entre si tem a ver com a natureza da

carga. No caso da carga ser puramente resistiva, não existe qualquer deslocamento das

funções de onda, uma em relação à outra, sendo os zeros da função , os máximos e mínimos,

localizados para os mesmos tempos. De acordo com a lei de Ohm, tem-se que

iRvrr

= , (01.17)

onde R é um escalar. Nestas condições, o ângulo de fase entre a corrente e a tensão vale 0

graus. Isto é, a corrente e a tensão estão em fases. O componente passivo não introduz

qualquer variação de fase, designando-se por isso de componente activo.

Neste caso diz-se que os sinais estão em fase.

t(s)

v(t),

i(t)

V (I)

-V (-I)

t(s)

v(t),

i(t)

V (I)

-V (-I)

i(t)= Isin(ωt)

ii) Carga puramente capacitiva

Quando a carga é puramente capacitiva, existe um deslocamento entre si, no tempo, das

funções que traduzem o andamento sinusoidal da corrente e da tensão.

Neste caso tem-se que:

iCjdteI

Cv tj

m

rr

ωω −

== ∫1

. (01.18)

Isto é a corrente está “avançada” em relação à tensão de 90 graus, π/2 radianos (o

equivalente à desfasagem devida ao operador -j). Isto é, o condensador comporta-se como um

“número imaginário puro”, um componente passivo não dissipador de energia (armazena-a

sob a forma de energia eléctrica), estando desfasada de -90 graus em relação à resistência.

Por isso designa-se de reactância capacitiva. Isto é, o equivalente a T/4.

Importante realçar que o angulo de fase condiciona o deslocamento das funções no tempo

(desfasagem), não tendo qualquer influência no período ou frequência do sinal eléctrico.

I/16

t(s)

v(t),

i(t)

i(t)= Isin(ωt)

t(s)

v(t),

i(t)

i(t)= Isin(ωt)

ii) Carga puramente indutiva

No caso de no circuito existir uma bobina pura, tem-se que:

iLjeIdtdLv tj

m

rr ωω == . (01.19)

Isto é a corrente está “atrasada” em relação à tensão de 90 graus, π/2 radianos (o equivalente

à desfasagem devida ao operador j e a T/4). Isto é, a bobina comporta-se como um “número

imaginário puro”, um componente passivo não dissipador de energia (armazena-a sob a forma

de energia magnética), estando desfasada de +90 graus em relação à resistência. Por isso

t(s)

v(t),

i(t)

i(t)= Isin(ωt)

t(s)

v(t),

i(t)

i(t)= Isin(ωt) c) Outros tipos de carga

Para outros tipos de carga, a desfasagem é condicionada pelo valor de θ da impedância em

causa. Para combinações do tipo RC ou RL, o angulo de fase é de 45º (π/8), pelo que no

primeiro caso a corrente estará em avanço desse valor e no segundo caso, a corrente estará

em atraso desse valor. Outras combinações traduzir-se-ão em outros tantos deslocamentos,

função da fase da impedância da carga em análise.

I/17

d) potencia

Por potencia define-se a energia que por unidade de tempo se fornece a uma dada carga a

partir de uma dada fonte.

A potencia instantânea corresponde a:

)()()( tvtitp ×= 01.16

t(s)

v(t),

i(t)

i(t)= Isin(ωt)

p(t)

Isto é, o sinal eléctrico resultante passa a ter um valor médio diferente de zero.

No caso de sinais dc P=I×V.

Por potência activa (Pa) designa-se a potência que é realmente consumida pela carga, em

condições em que a desfasagem entre a corrente e a tensão é de 0 graus. Portanto, toda a a

energia dissipada numa resistência pura corresponde à potência activa (real) desse mesmo

circuito.

Por potência reactiva (Q) designa-se a potência que não é consumida num dado circuito,

correspondendo a energia armazenada sob a forma magnética (numa bobina pura) ou eléctrica

(condensador puro).

Por potência aparente (S) designa-se a potência total que é debitada sobre um dado circuito

(corresponde à soma vectorial das potências activa e reactiva). Exprime-se normalmente em

VA.

De acordo com as definições anteriores, para o circuito em causa tem-se: p=vi=(R+jωL)i2,

onde 22 RIiRP ==rr

(componente real), 22 IjijQ ωω ==rr

(componente imaginária) e

θω jeLRIS 222 +=r

, onde θ é designado de ângulo de perdas, dado por: θ=tg-10,5(ωL/R).

I/18

Por factor de potência (pf) designa-se o valor de cosθ=R/Z=P/S, que representa a

percentagem de energia total que é realmente convertida em energia útil (P).

1.8 Impedância de um circuito eléctrico

A impedância (Z) de um ramo ou de um circuito eléctrico completo é definida como

correspondendo á razão entre a função tensão e a função corrente. Tratando-se de funções

sinusoidais, esta razão é caracterizada por uma amplitude e um angulo.

a) Atendendo às definições anteriores, tem-se que iRRvrr )( 21 += . Isto é, o angulo de

desfasagem é zero. A impedância será

φjeiv

ivZ == rrr

, (01.20)

em que v/i corresponde ao módulo da razão entre a tensão e a corrente e φ ao angulo de fase

(igual a zero, neste caso particular).

Neste caso tem-se que

210

21 )( RReRRZ j +=+=r

(0.1.21)

b) Para o caso de se re uma resistência em série com um condensador, tem-se:

φ

ωωje

CR

CjRZ 22

2 1()( +=−=r

, (01.22)

onde )1(1 1

CRtg

CRtg

ωφ

ωφ −=→

−= −

c) Para o caso de se ter uma resistência associada em série com uma bobina tem-se:

φωω jeLjRLjRZ +=+= 2()(r

, (01.23)

onde )(1

RLtg

RLtg ωφωφ −=→=

(ver os problemas que se seguem a partir de 01.10 ).

1.9 Simplificação de circuitos eléctricos: teoremas de Thevenin e Norton

Muitas vezes, a análise de malhas de circuitos eléctricos torna-se bastante complexa, tendo

em conta o número de ramos e malhas fechadas a serem analisados.

Em termos de análise dos circuitos, esta será feita tendo em conta as leis de Kirchoff aplicada

a malhas fechadas (análise de tensões) ou de nódulos) análise de correntes). Para qualquer

das análises, é possível simplificar o processo tendo em conta os seguintes teoremas:

Teorema de Thevenin (aplicado a malhas fechadas). Qualquer malha linear activa com uma

saída aos terminais AB pode ser substituída por uma fonte de tensão equivalente V’ em série

com uma impedância equivalente Z’. A tensão equivalente de Thevenin é a tensão em circuito

I/19

aberto medida aos terminais AB e a impedância equivalente de Thevenin è a impedância da

rede vista a partir dos terminais AB quando todas as fontes de tensão internas da malha são

curto-circuitadas (anuladas).A polaridade da tensão equivalente de Thevenin deve ser

escolhida de modo a que a corrente resultante e que passe na impedância equivalente tenha o

mesmo sentido da do circuito originário.

Teorema de Norton (aplicado a nódulos). Em qualquer malha activa com uma saída aos

terminais AB pode ser substituída por uma fonte de corrente equivalente I’ em paralelo com

uma impedância equivalente Z’. A fonte de corrente equivalente é a corrente resultante de

passagem aos terminais AB quando estes são curto-circuitados e a impedância equivalente é a

impedância vista aos terminais AB quando todas as fontes internas são anuladas.

1.10 Problemas sobre Análise de Circuitos

I- Análise de circuito dc

Problema 01.1- A corrente IT divide-se entre dois ramos paralelos de um circuito tendo

resistências R1 e R2. Deduza as fórmulas que lhe permitem calcular as correntes I1 e I2 em

cada um dos ramos, bem como o valor da resistência equivalente (Re) do circuito.

Como os ramos estão em paralelo, a diferença de

potencial è a mesma. Isto é, V=I1R1 e V=I2R2. Por outro

lado, a corrente total é igual à soma das correntes em

cada ramo, pelo que:

IT=I1+I2, donde IT=V/R1+V/R2= V(1/R1+1/R2)=V/Re,

donde se tira:

1/Re=1/R1+1/R2⇒Re=(R1R2)/(R1+R2)

Em termos de correntes nos ramos, devemos ter em

conta que:

IT= I1R1(1/R1+1/R2) ou :

IT= I2R2(1/R1+1/R2), donde se tira que:

I1=IT(R2/(R1+R2) e I2=IT(R1/(R1+R2)

R1

C I

R2

V

ITI2

I1

Problema 01.2- Duas fontes de tensão VA e VB actuam sobre o mesmo circuito, como se

mostra na figura. Qual a corrente que passa no circuito e a potência que cada uma delas

debita.

A corrente que circula na malha fechada é a mesma.

Aplicando a lei de Kirchoff tem-se:

20+I×1-50+I×2=0, donde se tira que I=-10 A. Assim, a

potência debitada por cada uma das fontes será:

20V

1

I2

50V

I/20

P1=20×-10=-200W e P2=50×10=500W. Isto é, a potência

útil no circuito é de 300 W.

II- Análise de circuitos ac

Problema 01.3- A um circuito constituído por uma indutância pura de 0,02 H aplicou-se um

sinal sinusoidal v(t)=150sin1000t. Determine a corrente I(t) instantânea, a potência p(t) e o

valor médio da potência.

Da análise da malha do circuito tira-se:

∫ ∫== tdtdttvLi 1000sin15002,0/1)(/1

i=150/0.02(-cos1000t/1000)=-7,5cos1000t A.

p(t)= -150(7,5)(1/2sin2000t)=-562,5sin2000t W.

P é obviamente igual a zero.

v(t)i

L

Problema 01.4- Considere a montagem do circuito do problema anterior em que se associou

em série com a indutância do circuito uma outra de valor igual a 0,05H. Determine a

indutância equivalente Le.

Sabe-se que v(t)=Ledi/dt=L1di/dt+L2di/dt, donde se conclui que Le=L1+L2=0,08H.

Problema 01.5- Considere a montagem de indutâncias da figura que se segue. Determine a

corrente em cada um dos ramos e a indutância equivalente.

Sabe-se que v(t)=Lldi1/dt=L2di2/dt e que i(t)=i1+i2, pelo que:

∫∫ ∫ +=+= dttvLLdttvLdttvLti )()/1/1()(/1)(/1)( 2121 . Assim, tem-se

que:

1/Le=(1/L1+1/L2), donde Le=(L1L2)/(L1+L2) e se tem que:

)(21

21 ti

LLL

i+

= e )(21

12 ti

LLL

i+

=

v(t)

i(t)L1i1

i2 L2

Problema 01.6- Repita o problema I.4, substituindo as bobinas do circuito por condensadores

(C1 e C2).

Neste caso as capacidades C1 e C2 encontram-se associadas em série. Nestas condições v(t)=

v1+v2. Tendo em conta que i(t)=Cdv(t)/dt, obtém-se

∫∫ ∫ +=+= dttiCCdttiCdttiCtv )()/1/1()(/1)(/1)( 2121 , pelo que :

1/Ce=1/C1+1/C2 e portanto Ce=(C1C2)/(C1+C2)

I/21

Problema 01.7- Repita o problema I.5, substituindo as indutâncias por capacidades,

determinando para este caso o valor da capacidade equivalente.

Neste caso as capacidades encontram-se associadas em paralelo, pelo que i(t)=i1+i2 e

i1=C1dv/dt e i2=C2dv/dt, pelo que:

i(t)=(C1+C2)dv/dt, donde se tira que Ce=C1+C2

Problema 01.8 Determine o valor médio e valor eficaz de um dado sinal eléctrico y(t)=Ysinωt.

Por definição, o valor médio de um dado sinal eléctrico é dado por:

∫=T

av dttyT

Y0

)(1, onde T é o período. Por outro lado, o valor eficaz é dado por:

∫=T

ef dttyT

Y0

2 )(1. Se y(t) for uma função sinusoidal do tipo asinwt, Yef=a/√2

Nestas condições, tem-se que Yav=0 e Yef=0,707Ym.

Problema 01.9- Determine o valor eficaz do sinal eléctrico v(t)= 50+ 30sint.

De acordo com as definições dadas no problema I.8, tem-se

VVdtT

V efef 3,542950)90002.2500(21)2sin50(

21 2

2

0

2 =→=++=+= ∫ πππ

ππ

π

Outra forma de calcular é o de substituir a componente sinusoidal por uma grandeza

complexa, isto é: va=30ejt, pelo que Vef=(502+0,5.302)0,5=54,3 V.

Problema 01.10- Determine qual o ângulo de desfasagem entre a corrente e tensão e a

impedância num circuito que possua os seguintes componentes associados em serie:

a) Duas resistências eléctricas

b) Um condensador e uma resistência

c) Uma bobina e uma resistência

Problema 01. 11- Determine qual o valor da potência dissipada numa resistência de 10

ohms, quando por ela passa uma corrente i(t)= 14,14 cosωt.

O valor da potência instantânea é dado por: p=vi=Ri2=2000cos2t. O correspondente valor

médio é dado por ∫ ==π

ωπ 0

10001 WtpdPav ou : ∫ ==π

ωωπ

2

0

2 1000)cos14,14(210 WtdtPav .

I/22

Problema 01.12- Num dado circuito eléctrico constituído por uma bobina e uma resistência

ligadas em série, determine a potência activa e aparente do circuito.

Por potência activa (Pa) designa-se a potência que é realmente consumida pela carga, em

condições em que a desfasagem entre a corrente e a tensão é de 0 graus. Portanto, toda a a

energia dissipada numa resistência pura corresponde à potência activa (real) desse mesmo

circuito.

Por potência reactiva (Q) designa-se a potência que não é consumida num dado circuito,

correspondendo a energia armazenada sob a forma magnética (numa bobina pura) ou eléctrica

(condensador puro).

Por potência aparente (S) designa-se a potência total que é debitada sobre um dado circuito

(corresponde à soma vectorial das potências activa e reactiva). Exprime-se normalmente em

VA.

De acordo com as definições anteriores, para o circuito em causa tem-se: p=vi=(R+jωL)i2,

onde 22 RIiRP ==rr

(componente real), 22 IjijQ ωω ==rr

(componente imaginária) e

θω jeLRIS 222 +=r

, onde θ é designado de ângulo de perdas, dado por: θ=tg-10,5(ωL/R).

Por factor de potência (pf) designa-se o valor de cosθ=R/Z=P/S, que representa a

percentagem de energia total que é realmente convertida em energia útil (P).

Problema 01.13- Considere um dado circuito que apresenta uma impedância Z=3+j4 ao qual

se aplica uma tensão V=100ej30. Determine os valores de P,Q, S e pf.

I=V/Z=20ej(-23). Assim tem-se: P=RI2 e P=3×202=1200 W; Q=XI2 e Q=4×202= 1600 W;

S=ZI2=(9+16)0,5×202=200 VA.

Pf=P/S=0,98.

Problema 01.14- Determine o circuito equivalente de Thévenin da rede eléctrica que a seguir

se indica:

5 Ω 2 Ω j3H

6 Ωj5H10 V ~

A

B

I1I2

I/23

Resolução

Para a determinação do circuito equivalente de Thévenin, considera-se primeiro que os

terminais AB estão em aberto, onde I2 é calculado através de:

º63,72596,0178,0569,08025

50

885555

051055

2 −∠=+−=+−

−=

+−−+

−+

= Ajj

j

jjjj

jj

I

Nestas condições, a tensão aos Terminais AB (VAB) será dada por:

º63,72576,36 2 −∠=⇒×= VVIV ABAB

Para o cálculo da impedância equivalente, considera-se a fonte em cc, analisando-se o circuito

a partir dos terminais AB. Nestas condições, a impedância equivalente é o resultado de se ter a

resistência de 6 Ω, em paralelo com o resultado da soma de 2+j3 com o circuito paralelo de 5Ω

e j5, com obtendo-se:

)(41,132,332

55556

3255556

Ω+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+×

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+×

= jj

jj

jjj

ZTh

1.11 Análise de transientes em circuitos eléctricos

I- excitação a partir de sinais dc

Quando um dado circuito eléctrico é comutado de uma posição de ligado para desligado, ou

vice-versa, existe um período transiente durante o qual os valores de corrente e tensão

associados aos diferentes ramos variam do seu valor inicial para o novo valor estacionário.

Para o caso de se ter um circuito do tipo RL, análise do circuito deve obedecer às leis de

Kirchoff,

Assim tem-se VdtdiLRi =+ ,. Fazendo di/dt=D, obtém-se:

LViLRD /)/( =+ . Trata-se de uma equação homogénea

e do primeiro grau que apresenta uma solução do tipo

y=yc+yp, onde yc corresponde à solução complementar da

equação e yp à solução particular.

R

ViI

LIi

I/24

Isto é: dtLVeeceyyy ataxatpc )/(∫ −+=+= , onde a=R/L e c é uma constante arbitrária

determinada a partir das condições iniciais. Como no instante inicial i=0, tira-se que c=-V/R,

obtendo-se para solução final a equação:

)1( )/( tLReRVi −−= (01.24)

Este tipo de equação é conhecida como uma função exponencial crescente, qaplicável no

instante em que se liga um dado circuito, tendo por assimptota o valor de V/R. À razão R/L

designa-se de constante de tempo e representa o intervalo de tempo necessário para a função

atingir 63% do seu valor máximo (e-1).

Quando se desliga o circuito a equação anterior fica reduzida a:

tLReRVi )/(−−= . (01.25)

O comportamento da tensão será o inverso do referido para a corrente. Isto é, quando a

corrente cresce, a tensão tende para zero e quando a corrente desce, a tensão tende para o

seu valor máximo (porquê?).

Para o caso de um circuito do tipo RC (substituir a bobina no circuito anterior por um

condensador), quando se liga o circuito tem-se:

∫ =+ VRiidtC1

, (01.26)

donde se obtém que

vc=V(1-e-t/RC). (01.27)

II- Excitação a partir de sinais ac

No caso de o sinal eléctrico aplicado ao circuito ser alterno (variável no tempo), ter-se-á que:

a) Circuito RL série

Ri+Ldi/dt=Vmsinωt, ou tLViLRD m ωsin/)/( =+ , donde se tira que:

))/(tansin()(

sin/ 1

22

)/()/( RLtLR

VtdtLVeei m

mtLRtLR

p ωωω

ω −− −+

== ∫ (01.28)

Isto é:

eRLtLR

VRL

LR

Vei mmtLR

p ))/(tansin()(

)/(tansin()(

1

22

1

22

)/( ωωω

ωω

−−− −+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+= (01.29)

b) Circuito RC série

I/25

)sin(1 tVRiidtC m

ω∫ =+

Neste caso tem-se:

ic=ce-t/RC e )/1(tansin()(

1

22CRt

CR

Vi m

p ωωω

−

−+

+= (01.30)

e:

)/1(tansin()(

)/1(sin(tan)(

1

22

1.

22

/ CRtCR

VCR

CR

Vei mmRCt ωω

ωω

ω−

−

−

−

− ++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−= (01.31)

Problema 01.15- Determine a corrente transiente que se estabelece no circuito série RLC que

abaixo se indica, sabendo que V=50 V, R=3kΩ, L=10H e C=200µF. Determine também a

corrente máxima que passa pelo circuito.

Resolução

3K Ω j10H

200 µF50 V ~

A

B

i

Em termos transientes a queda de tensão aos terminais da bobina (VB) e condensador (VC) é

dada por: VB=Ldi/dt e VC=(1/200×10-6)∫idt, enquanto que a queda de tensão aos terminais da

resistência (VR) é: VR=3000i. Pelas leis de Kirchoff aplicadas a um circuito transiente tem-se

que VR+VB+VC=50, ou seja: (D2+300D+500)i=0, onde D representa o operador d/dt.

Resolvendo a equação diferencial obtém-se para soluções: D1=-298,3 e D2=-1,67, donde se

tem que:

i(t)=c1exp(-1,67t)+c2exp(-298,3t). Para o cálculo das constantes c1 e c2 deve-se ter em conta

as condições fronteira iniciais. Isto é, para t=0, i=0 e para t=∞, i=0. Nestas condições tira-se

que c1==0,168 e c2= -0,168.

Para o cálculo da corrente máxima, pomos di/dt=0 e obtém-se da equação anterior de i(t) o

correspondente valor de t. Isto é, t=0,175 s. Substituindo este valor na equação geral, obtém-

se: I=0,161 A.

1.12 Indutância mutua

A tensão aos terminais de uma dada bobina é dada por vL=Ldi/dt, onde a constante de

proporcionalidade se designa de auto-indutância do circuito. No sistema de unidades SI esta

auto-indutância exprime-se em weber/ampére ou henry.

Numa bobina com N espiras, a força electromotriz induzida é dada por:

I/26

didNL

dtdNvL

φφ=⇒= , (01.32)

onde Ndφ representa o fluxo de ligação do circuito do fluxo magnético φ.

Se tivermos duas bobinas (1 e 2, respectivamente) próximas uma da outra, a corrente i1 que

atravessa a bobina 1 estabelece um fluxo magnético φ1. Parte desse fluxo abrange somente a

bobina 1 e por isso, designaremos por φ11. Outra parte irá também abranger/”abraçar” a

bobina 2, dando origem a uma tensão v2, que de acordo com a lei de Faraday será dada por:

dtdNv 12

22φ

= . (01.33)

Como φ12 está relacionado com a corrente i1, v2 é proporcional à razão de variação de i1 ou

seja:

dtdiMv 1

2 = , (01.34)

onde M designado de indutância mutua entre as duas bobinas. Isto é:

1

122

1

122 i

Ndi

dNM φφ≈= (01.35)

De modo similar, quando a bobina 2 é atravessada por uma corrente i2, tem-se que

2

211

iNM φ

≈ . (01.36)

Designa-se de coeficiente de acoplamento k entre duas bobinas à razão: 2

21

1

12

φφ

φφ

==k .

Isto é: 21LLkM = .

Problema 01.16- Considere um dado circuito eléctrico constituído por duas bobinas enroladas

sobre um dado núcleo ferromagnético, em que a primeira (L1) o fluxo magnético originado é

descendente e a outra (L2) o fluxo magnético originado é ascendente. Sabendo que a

resistência do circuito é R, determine a equação que lhe dá a tensão instantânea que se

estabelece aos terminais do circuito e a respectiva impedância, em regime estacionário

Tendo em conta que a tensão da indutância mutua

que se estabelece em cada uma das bobinas é devido

à corrente I que atravessa a outra bobina, de acordo

com o esquema que se tem ao lado, tem-se

vdtdiM

dtdiL

dtdiLRi =−++ 221 , donde se tira que, em

regime estacionário a impedância do circuito é dada

por:

i(t) L1i1 L2

R

2jωM

I/27

)2( 21 MLLjRZ −++= ω (01.38)

Problema 01.17- Duas bobinas possuindo auto-indutâncias de L1= 0,05H e L2=0,2H

encontram-se suficientemente próximas de tal modo que k=0,5. Sabendo que a bobina 2 tem

100 espiras, se a corrente que atravessa a bobina 1 for i1=5sin(400t), determine a tensão que

se desenvolve aos terminais da bobina 2e o máximo fluxo que se desenvolve na bobina 1.

De acordo com as forma anteriores (tem-se que M=0,5(0,05×0,2)0,5=0,05H. Nestas condições

tem-se que: v2=M(di1/dt)= 100cos400t.

Nestas condições tira-se que:

∫ −− ×== ttdt 400sin1025,0400cos10010 3312φ . Isto é, o máximo fluxo de φ12 é de 0,00025

weber. Nestas condições, tem-se que weberk

3max12max1 105,0 −×==

φφ .

1.12 Análise de Circuitos com transformadores

O transformador é um componente eléctrico baseado

no efeito da auto-indução entre bobinas enroladas em

torno de um núcleo ferromagnético, que actua

directamente no valor da corrente e tensão dos

terminais de saída (neste caso, com a designação 2,

no esquema ao lado).

R1

L1 L2

M

R2i1 i2

φ1φ2

Para compreensão do funcionamento deste circuito, vamos considerar que associado com

qualquer das malhas existe uma fonte de tensão v.

Nestas condições tem-se:

121

111 vdtdiM

dtdiLiR =±+ (01.39)

212

222 vdtdiM

dtdiLiR =±+ (01.40)

Onde o sinal da componente devida a M é dependente do sentido do enrolamento das espiras

da bobina, relativamente ao sentido arbitrado para a acorrente, na respectiva malha.

Aplicando a regra do “saca rolhas”, concluímos que o sentido positivo dos fluxos nas 2 bobinas

é o que se mostra na figura. Isto é, opõem-se entre si, pelo que a os sinais das tensões das

auto-induções é contrário ao originado pelos componentes passivos (R e L). Isto é:

I/28

121

111 vdtdi

Mdtdi

LiR =−+ (01.41ª)

212

222 vdtdi

Mdtdi

LiR =−+ (01.41b)

Se estivermos em presença de sinais periódicos sinusoidais tem-se:

12111 )( VMIjILjR =−+ ωω (01.42a)

21222 )( VMIjILjR =−+ ωω (01.43b)

Isto é, temos um sistema de equações do tipo

1212111 VIZIZ =± (01.44ª)

2222121 VIZIZ =± (01.44b)

onde Z21=Z12

Ao circuito de entrada do transformador designamos por primário enquanto que o circuito de

saída se designa por secundário.

Uma forma prática de determinarmos a polaridade dos fluxos causados por uma bobina é

colocarmos um ponto do lado de cima ou inferior da bobina, de modo a que o sentido seja o

mesmo. Isto é, se tivermos um transformador em que o enrolamento do primário é da

esquerda para a direita e o do secundário é da direita para a esquerda, o ponto no primário

deve ser marcado na parte superior do enrolamento do primário e na parte inferior do

enrolamento secundário.

Problema 01.18- Obtenha o circuito equivalente da montagem do transformador que se

segue. Determine qual o valor da tensão aos terminais da reactância –j10, utilizando para isso

o circuito equivalente.

5

j5 j5

j2

5i1 i2

φ1φ2

v1=10ej90

v1=10

-j10

Circuito equivalente

i(t) j5i1 j5

5 j2 5

-j10v2=10ej90c

v1=10

I/29

As bolas a negrito representam o sentido do fluxo, de acordo com os respectivos

enrolamentos. Nestas condições tem-se:

(5-j5)I1 (5+j3)I2=10

(5+j3)I2 (10+j6)= 10-j10, donde se tira que:

95,1131 015,1

610353555

61010103510

je

jjjj

jjj

I =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

= , nestas condições, a queda de tensão aos terminais da

reactância –j10 é:

V=I1(-j10)=10,15ej23,95 (V).

1.13 Exercícios por Resolver

A) Questões de índole Teórica

R1. Diga o que entende opor instrumento de medida e quais as suas funções

R.2 Indique quais os constituintes de um aparelho de medida indicando quais as funções do

transdutor e indicador

R.3 O que entende por sinal eléctrico.

R.4 Explique de forma sucinta o que entende por corrente eléctrica, potencial e tensão

R.5 O que entende por impedância de um circuito eléctrico? Quais as suas componentes?

R.6 Explique de forma resumida as diferenças existentes entre uma resistência e um

condensador, em termos de consumo de energia.

R.7 Indique por que símbolos representaria: uma bateria; uma fonte de tensão continua; uma

fonte de corrente alterna; uma resistência; uma bobina; um condensador; um fusível; um

transformador; um elemento térmico, um botão de ignição; uma união rotativa; um acoplador

direccional; uma junção; um terminal de terra.

R.8 O que entende por malha e nódulo de um circuito eléctrico?

R.9 O que entende por leis de Kirchoff?

R.10 O que entende por componentes passivos activos e reactivos, num circuito eléctrico?

I/30

R.11 . Explique o que entende por associação série e paralelo de componentes passivos. Dê

exemplos.

R.12 O que entende por valor médio e valor eficaz de um dado sinal eléctrico? Se o sinal for

continuo e tiver uma amplitude A, indique qual o respectivo valor médio e eficaz. Se por

ventura o sinal for alterno e A representar o valor de pico, indique qual o valor médio e eficaz.

R.13 O que entende por ângulo de fase? Se tiver ligados em série uma resistência e um

condensador, diga qual a desfasagem da tensão aos terminais dos dois componentes.

R.14 O que entende por potencia? Quais as diferenças entre potencia, aparente, activa e

reactiva?

R.15 O que entende por teorema de Thevenin? Para que serve?

R.16 O que entende por teorema de Norton? Onde se aplica?

R.17 O que entende por indutância mutua?

R.18 O que entende por transformador. Para que serve e quais os seus principais

constituintes.

B) Questões de índole Prática

P1) Suponha que tem associados em série 3 resistências de valores respectivamente iguais a

20kΩ, 100 kΩ e 1 MΩ. Indique qual o valor de resistência equivalente?. Se as resistências

estivessem ligadas a uma fonte de tensão continua de 5 V, qual o valor da corrente que

passaria nas 3 resistências bem como a respectiva tensão aos terminais de cada uma delas.

P2) Repita o problema anterior, mas agora no caso das resistências estarem associadas em

paralelo.

P3) Suponha que tem 3 condensadores ligados em série e ligados a uma fonte de tensão de 5

V. Sabendo que as capacidades são de 4 µF, 100 nF e 200 pF, determine

a) O valor da capacidade equivalente.

b) A corrente e tensão aos terminais de cada um dos condensadores.

P4) Repita o problema anterior, mas agora para as capacidades ligadas em paralelo.

P5) Suponha que tem um dado circuito eléctrico em que tem um condensador de 200 nF

ligado em série com uma resistência de 100 kΩ, aos terminais de uma fonte de tensão de 5V.

Determine

a) A corrente que circula no circuito

b) A impedância do circuito c) O tempo que o condensador demora a carregar.

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P6) Repita o problema anterior mas agora para o caso em que a fonte usada é sinusoidal, com

um valor de tensão de pico de 50V e f=50 Hz. Para este caso calcule também as componentes

de potencia activa, reactiva e aparente.

P7) Repita o problema anterior, substituindo agora no circuito o condensador por uma bobina

de 0,2 mH.

P8) Considere a associação em paralelo de uma resistência de 20 kΩ e de um condensador de

0,01mF e ligados a uma fonte de 20 V. Indique:

a) a tensão aos terminais de cada um dos componentes

b) A corrente que circula em cada um dos componentes

c) O tempo de carga do condensador

P9) Repita o problema anterior, mas agora para o caso da fonte ser alterna e sinusoidal, com

f=100 Hz.

P10) Suponha que tem um circuito constituído por uma fonte dc de 10 V ligada em série com

uma resistência de 20 kΩ e uma outra de 100 kΩ. Aos terminais desta, estão ligadas outras

duas resistências (2ª malha) de valores iguais a 5 kΩ e 75 kΩ. Determine:

a) a Corrente que circula em cada uma das malhas

b) A corrente total fornecida pela fonte de alimentação

c) A tensão aos terminais da resistência de 75 kΩ.

d) Suponha que pretende interromper o circuito aos terminais da resistência de 75 kΩ,

para ligar uma outra carga. Nestas circunstâncias, determine o circuito equivalente de

Thevenin, calculando a respectiva tensão, resistência equivalente.

e) Relativamente à alínea anterior, determine qual a corrente que circularia na nova carga

de 200 kΩ

Sites a Consultar www.tpub.com (integrated publishing); http://hyperphysics.phy_astr.gsu.edu; www.standrews.ac.uk; www.micro.com; http://regentspred.org/regents/maths; www.sonoma.edu/users; http://acept.la.asu.edu/courses/phs110/ds3/chapter3d.html;