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Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 13

13 de junho de 2011

Aula 13 Pré-Cálculo 1

Funções Poligonais

Função poligonal

Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seugráfico é uma linha poligonal.

t0t1 t2

Definição

Função poligonal

Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seugráfico é uma linha poligonal.

t0t1 t2

Definição

Observações

Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tntais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], fcoincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-seque fi(ti) = fi−1(ti−1).

t0t1 t2

As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoriaque oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidadecomprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculonumérico, equações diferenciais, topologia, etc.).

Observações

t0t1 t2

Observações

t0t1 t2

Exemplo

Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:

Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –

De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00

Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Exemplo

f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.

0 900 1800 2700

Aplicação: aproximação no cálculo de áreas

(Ir para o GeoGebra)

Exemplo

Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.

Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo

g(x) =

{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,

e h(x) =

{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.

Assim,

f (x) = g(x)+h(x) =

2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1

0 1 2 3

Exemplo: o gráfico de f (x) = |x − 1|+ |x − 2|

0 1 2 3

Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸︷︷︸n fatores

Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn

Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸︷︷︸

n fatores

· x · x · · · · · x︸︷︷︸m fatores

= x · x · · · · · x︸︷︷︸n+m fatores

= xn+m.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.

(1) A função f é par.

(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).

(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.

(1) A função f é ímpar.

(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade

(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.

Proposição

Seja f : R→ R definida por

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Proposição

y = f (x) = xn, com n ∈ N.

Revisão: funções da forma x elevado a n

A função raiz n-ésima

A função raiz n-ésima: caso n par

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).

Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações

x e x1/n

para representarf−1(x).

Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√

a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.

x e x1/n

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.

Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.

Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).

Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.

x e x1/n

Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√

a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.

x e x1/n

A função raiz n-ésima

(Ir para o GeoGebra)

Cuidado!

Se n é par,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é [0, +∞).

Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n

√x = x1/n é R.

Cuidado!

√x = x1/n é [0, +∞).

√x = x1/n é R.

Cuidado!

√x = x1/n é [0, +∞).

√x = x1/n é R.

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

Se n é par, ∀a ∈ R,n√

an = |a|.

Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

=n√−a

n√−b

A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = |a|.

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

=n√−a

n√−b

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = |a|.

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

=n√−a

n√−b

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = |a|.

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

=n√−a

n√−b

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = |a|.

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

=n√−a

n√−b

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = |a|.

a · b = n√

a · n√

b e ∀a, b ≤ 0,n√

a · b = n√−a · n√−b.

Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n

be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n

=n√−a

n√−b

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√

an = a.

Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√

a · b = n√

a · n√

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√

a <n√

Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = a.

a · b = n√

a · n√

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = a.

a · b = n√

a · n√

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = a.

a · b = n√

a · n√

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = a.

a · b = n√

a · n√

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

an = a.

a · b = n√

a · n√

Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n

a <n√

a + b ≤ n√

a +n√

Observações

As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n

√a + b ≤ n

√a + n

da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Observações

(a + b)n =n∑

)an−ibi .

√a + b ≤ n

√a + n

√2 > −2 = 3

√−1 + −3

√−1.

Mais propriedades

Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√

xm = ( n√

Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√

xm = ( n√

Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√

x = n m√

Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√

x = n m√

Mais propriedades

xm = ( n√

x = n m√

Mais propriedades

xm = ( n√

x = n m√

Mais propriedades

xm = ( n√

x = n m√

Mais propriedades

xm = ( n√

x = n m√

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