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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 6
21 de janeiro de 2013
Aula 6 Fundamentos de Matemática 1
Números
Aula 6 Fundamentos de Matemática 2
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 3
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 4
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 5
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 6
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 7
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
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O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 9
Números naturais
Aula 6 Fundamentos de Matemática 10
Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 6 Fundamentos de Matemática 12
Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 6 Fundamentos de Matemática 13
Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 6 Fundamentos de Matemática 17
Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 6 Fundamentos de Matemática 18
Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 26
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 27
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 28
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 29
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 30
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 31
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 32
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 33
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 34
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 6 Fundamentos de Matemática 35
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Aula 6 Fundamentos de Matemática 36
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Aula 6 Fundamentos de Matemática 37
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Aula 6 Fundamentos de Matemática 38
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M
Aula 6 Fundamentos de Matemática 39
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 6 Fundamentos de Matemática 40
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 6 Fundamentos de Matemática 41
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Aula 6 Fundamentos de Matemática 42
Números naturais como números cardinais
Apresentaremos os números naturais como números cardinaisposteriormente!
Aula 6 Fundamentos de Matemática 43
O Princípio da Indução Finita
Aula 6 Fundamentos de Matemática 44
O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 6 Fundamentos de Matemática 57
O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 6 Fundamentos de Matemática 59
O Principio da Indução Finita
Moral:
O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!
Aula 6 Fundamentos de Matemática 60
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 61
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 74
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 75
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 76
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 77
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 78
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 79
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 80
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 81
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 82
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 83
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 84
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 88
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 89
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 90
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 91
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 92
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 93
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 94
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 95
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 96
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 97
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 98
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 99
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 100
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 109
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 110
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 111
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 112
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 6 Fundamentos de Matemática 113
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 114
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 115
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 116
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 117
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 118
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 119
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 120
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 121
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Onde está o erro?
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 136
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 137
Ainda SobreO Princípio da Indução Finita
Aula 6 Fundamentos de Matemática 138
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 139
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 140
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 141
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 142
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 143
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 144
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 145
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 146
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 147
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 148
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 149
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 150
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 151
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 152
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 153
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 154
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 155
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 156
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 157
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 158
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 159
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 160
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 162
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 163
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 164
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 165
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 166
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 167
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 168
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 169
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 6 Fundamentos de Matemática 170
Seção de Exercícios
Aula 6 Fundamentos de Matemática 171