humberto josé bortolossi - · pdf filecateto adjacente hipotenusa = c a; tg(bb) =...

Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 17

2 de julho de 2011

Aula 17 Pré-Cálculo 1

Trigonometria

Aula 17 Pré-Cálculo 2

Trigonometria

trigonometria

triângulo retângulo funções trigonométricas

(seno de um ângulo) (seno de um número real)

Aula 17 Pré-Cálculo 3

Trigonometria

trigonometria

triângulo retângulo funções trigonométricas

(seno de um ângulo) (seno de um número real)

Aula 17 Pré-Cálculo 4

Trigonometria

trigonometria

triângulo retângulo funções trigonométricas

(seno de um ângulo) (seno de um número real)

Aula 17 Pré-Cálculo 5

Trigonometria

trigonometria

triângulo retângulo funções trigonométricas

(seno de um ângulo) (seno de um número real)

Aula 17 Pré-Cálculo 6

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Aula 17 Pré-Cálculo 7

O que é um ângulo?

Diversos autores dão definições diferentes!

Muitas definições são ambíguas!

Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).

Aula 17 Pré-Cálculo 8

O que é um ângulo?

Diversos autores dão definições diferentes!

Muitas definições são ambíguas!

Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).

Aula 17 Pré-Cálculo 9

O que é um ângulo?

Diversos autores dão definições diferentes!

Muitas definições são ambíguas!

Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).

Aula 17 Pré-Cálculo 10

O que é um ângulo?

Diversos autores dão definições diferentes!

Muitas definições são ambíguas!

Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).

Aula 17 Pré-Cálculo 11

O que é um ângulo?

Diversos autores dão definições diferentes!

Muitas definições são ambíguas!

Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).

Aula 17 Pré-Cálculo 12

O que é um ângulo?

Diversos autores dão definições diferentes!

Muitas definições são ambíguas!

Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).

Aula 17 Pré-Cálculo 13

O que é um ângulo?

Diversos autores dão definições diferentes!

Muitas definições são ambíguas!

Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).

Aula 17 Pré-Cálculo 14

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

A

b

a

c

C

B

sen(B̂) =cateto oposto

hipotenusa=

ba, cos(B̂) =

cateto adjacentehipotenusa

=ca,

tg(B̂) =cateto oposto

cateto adjacente=

bc.

Aula 17 Pré-Cálculo 15

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

A

b

a

c

C

B

sen(B̂) =cateto oposto

hipotenusa=

ba, cos(B̂) =

cateto adjacentehipotenusa

=ca,

tg(B̂) =cateto oposto

cateto adjacente=

bc.

Aula 17 Pré-Cálculo 16

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

A

b

a

c

C

B

sen(B̂) =cateto oposto

hipotenusa=

ba, cos(B̂) =

cateto adjacentehipotenusa

=ca,

tg(B̂) =cateto oposto

cateto adjacente=

bc.

Aula 17 Pré-Cálculo 17

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

A

b

a

c

C

B

sen(B̂) =cateto oposto

hipotenusa=

ba, cos(B̂) =

cateto adjacentehipotenusa

=ca,

tg(B̂) =cateto oposto

cateto adjacente=

bc.

Aula 17 Pré-Cálculo 18

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

A

b

a

c

C

B

sen(B̂) =cateto oposto

hipotenusa=

ba, cos(B̂) =

cateto adjacentehipotenusa

=ca,

tg(B̂) =cateto oposto

cateto adjacente=

bc.

Aula 17 Pré-Cálculo 19

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

A

b

a

c

C

B

sen(B̂) =cateto oposto

hipotenusa=

ba, cos(B̂) =

cateto adjacentehipotenusa

=ca,

tg(B̂) =cateto oposto

cateto adjacente=

bc.

Aula 17 Pré-Cálculo 20

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

A

b

a

c

C

B

sen(B̂) =cateto oposto

hipotenusa=

ba, cos(B̂) =

cateto adjacentehipotenusa

=ca,

tg(B̂) =cateto oposto

cateto adjacente=

bc.

Aula 17 Pré-Cálculo 21

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′

a′=

ba

ec′

a′=

ca

⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).

A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!

A

b

c

C

B A

b

a

c

C

B

a

Aula 17 Pré-Cálculo 22

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′

a′=

ba

ec′

a′=

ca

⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).

A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!

A

b

c

C

B A

b

a

c

C

B

a

Aula 17 Pré-Cálculo 23

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′

a′=

ba

ec′

a′=

ca

⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).

A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!

A

b

c

C

B A

b

a

c

C

B

a

Aula 17 Pré-Cálculo 24

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′

a′=

ba

ec′

a′=

ca

⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).

A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!

A

b

c

C

B A

b

a

c

C

B

a

Aula 17 Pré-Cálculo 25

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′

a′=

ba

ec′

a′=

ca

⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).

A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!

A

b

c

C

B A

b

a

c

C

B

a

Aula 17 Pré-Cálculo 26

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′

a′=

ba

ec′

a′=

ca

⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).

A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!

A

b

c

C

B A

b

a

c

C

B

a

Aula 17 Pré-Cálculo 27

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′

a′=

ba

ec′

a′=

ca

⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).

A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!

A

b

c

C

B A

b

a

c

C

B

a

Aula 17 Pré-Cálculo 28

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 29

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 30

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 31

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 32

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 33

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 34

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 35

Identidade trigonométrica fundamental

A

b

a

c

C

B

(cos(B̂)

)2+(

sen(B̂))2

=c2

a2 +b2

a2 =b2 + c2

a2(∗)=

a2

a2 = 1

onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.

Aula 17 Pré-Cálculo 36

Notações

cos2(B̂) significa(

cos(B̂))2

e sen2(B̂) significa(

sen(B̂))2.

A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:

cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.

Aula 17 Pré-Cálculo 37

Notações

cos2(B̂) significa(

cos(B̂))2

e sen2(B̂) significa(

sen(B̂))2.

A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:

cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.

Aula 17 Pré-Cálculo 38

Notações

cos2(B̂) significa(

cos(B̂))2

e sen2(B̂) significa(

sen(B̂))2.

A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:

cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.

Aula 17 Pré-Cálculo 39

Notações

cos2(B̂) significa(

cos(B̂))2

e sen2(B̂) significa(

sen(B̂))2.

A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:

cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.

Aula 17 Pré-Cálculo 40

Notações

cos2(B̂) significa(

cos(B̂))2

e sen2(B̂) significa(

sen(B̂))2.

A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:

cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.

Aula 17 Pré-Cálculo 41

Funções Trigonométricas

Aula 17 Pré-Cálculo 42

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)

Aula 17 Pré-Cálculo 43

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:

E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).

A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.

Aula 17 Pré-Cálculo 44

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:

E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).

A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.

Aula 17 Pré-Cálculo 45

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:

E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).

A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.

Aula 17 Pré-Cálculo 46

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:

E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).

A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.

Aula 17 Pré-Cálculo 47

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:

E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).

A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.

Aula 17 Pré-Cálculo 48

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:

E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).

A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.

Aula 17 Pré-Cálculo 49

A função de Euler e a medida de ângulos em radianos

Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:

E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).

A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.

Aula 17 Pré-Cálculo 50

A função de Euler e a medida de ângulos em graus

Também é possível definir uma função G : R→ C pondo

G(s) = E(

2πs360

), para todo s real.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede s graus.

Aula 17 Pré-Cálculo 51

A função de Euler e a medida de ângulos em graus

Também é possível definir uma função G : R→ C pondo

G(s) = E(

2πs360

), para todo s real.

Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede s graus.

Aula 17 Pré-Cálculo 52

A função de Euler e a medida de ângulos em graus

(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)

Aula 17 Pré-Cálculo 53

A função de Euler e a medida de ângulos em graus

O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,

1rad =

(3602π

)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.

Aula 17 Pré-Cálculo 54

A função de Euler e a medida de ângulos em graus

O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,

1rad =

(3602π

)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.

Aula 17 Pré-Cálculo 55

A função de Euler e a medida de ângulos em graus

O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,

1rad =

(3602π

)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.

Aula 17 Pré-Cálculo 56

A função de Euler e a medida de ângulos em graus

O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,

1rad =

(3602π

)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.

Aula 17 Pré-Cálculo 57

Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)

(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)

Aula 17 Pré-Cálculo 58

Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)

As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:

E(t) = (cos(t), sen(t)).

Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá amedida do ângulo AOP em radianos!.

Aula 17 Pré-Cálculo 59

Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)

As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:

E(t) = (cos(t), sen(t)).

Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá amedida do ângulo AOP em radianos!.

Aula 17 Pré-Cálculo 60

Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)

As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:

E(t) = (cos(t), sen(t)).

Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá amedida do ângulo AOP em radianos!.

Aula 17 Pré-Cálculo 61

Seno e cosseno de números reais (caso: graus)

(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)

Aula 17 Pré-Cálculo 62

Seno e cosseno de números reais (caso: graus)

Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real tdá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos,usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação,também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cadas em R:

G(s) = (cos(s), sen(s)).

Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa ea ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária.

Aula 17 Pré-Cálculo 63

Identidades trigonométricas

(Ir para o GeoGebra)

Aula 17 Pré-Cálculo 64

Identidades trigonométricas

(Ir para o GeoGebra)

Aula 17 Pré-Cálculo 65

Identidades trigonométricas

(Ir para o GeoGebra)

Aula 17 Pré-Cálculo 66

O gráfico da função seno

(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-seno-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-seno-rad-br.html)

Aula 17 Pré-Cálculo 67

O gráfico da função cosseno

(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html)

Aula 17 Pré-Cálculo 68